专题三三角函数与三角变换
专题三：三角函数及三角恒等变换
ｚ
Ｂ ．
一ａ ｒ ｇ （ ３ ＋ｉ ） ， ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ ｉ １一ａ ｒ ｇ （ ５
２， 叫 ≥兀
ｒ
ｎ
＋
当∞ ＝兀 ， Ｔ一一１时满 足题 意． 所 以 ＜ ∞的
ｌ
ｎ
最 小值 为 ７ ｃ ．
ｍ “ Ｕ
一
＋ ｉ ） ， ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ １ 一 ａ ｒ ｇ（ ７＋ ｉ ） ， ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ １
２ ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ ２ ＜ ｎ ．
当一 １＜ ｚ ＜ １时
，
＞ ０且 ５ ｔ ＋ ２ ｘ
角形 ） ． 考生在 复 习备 考 时 ， 要 求熟 练 掌 握 和
差倍 半 、 降幂 、 升幂 、 积 化 和差 、 和差 化 积 、 万 ＞Ｏ ， 即 Ｏ ＜ａ ＋ ７ ｃ ， 所 以此 时①成 立． 能公 式 等公 式 ， 还要 求 能 准 确 解答 三角 函数 与 复数 、 不等 式 、 数 列 等综合 问题 ．
丢 ） 上 为 奇 函 数 ，
一 ｙ， ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ
，
可得 ，
即证 厂 （ ｚ ） ＋ （ 一ｚ ） ＝ ＝ ＝ Ｏ ， 即ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ再 ２ － ２ ｘ
ｔ ａ ｎ （ ａ ＋卢 ） 一 ４
＋ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ 一２ ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ ２ ． ①
ｈ 例４ （ ２ ０ １ ３年 北 约 第 ９题 ） 对
一
／Ｌ ＋ 厂 于任 意
＼，
的０ ， 求 ３ ２ Ｃ Ｏ Ｓ 。 一Ｃ Ｏ Ｓ ６ 一６ ｃ ｏ ｓ ４ 一１ ５ ｃ Ｏ ｓ ２ ０
的值．
广
，
ａ ｒ ｇ （ ８ ＋ｉ ），
三角函数与三角恒等变换复习PPT优秀课件
偶函数
A sin( x ) 的图象（A>0, 2、函数 y
第一种变换:
>0 )
y sin( x )
y sin x
图象向左( 向右(
0
)或
1 1)或缩短( 1)到原来的 横坐标伸长( 0 纵坐标不变
纵坐标伸长(A>1 )或缩短( 0<A<1 )到原来的A倍
例3:已知函数
2 2 y sin x 2 sin x cos x 3 cos x , x R ,
求：⑴函数的最小正周期；⑵函数的单增区间；⑶函数的最大值 及相应的x的值； ⑷函数的图象可以由函数 的图象经过怎样的变换得到。 y 2 sin 2 x ,x R
2 2 2 y sin x 2 sin x cos x 3 cos x 1 sin 2 x 2 cos x 解： 1 sin 2 x cos 2 x 1 2 2 sin( 2 x ) 4 2 ⑴ T 2 3 k x k , k Z ⑵由 2 k 2 x 2 k , 得
3 函数的单增区间为 [ k , k ]( k Z ) 8 8 2 x 2 k , 即 x k ( k Z ) 时 , y 2 2 ⑶当 最大值 4 2 8 y 2 sin( 2 x ) 2x 图象向左平移 8 个单位 ⑷ y 2sin 4
1
2 -1
o
2
3 2
2 x
2 -1
3 2
2 x
R [-1，1] T=2
R
[-1，1] T=2
2019年高考数学大二轮复习专题三三角函数3-2三角变换与解三角形练习
3.2三角变换与解三角形【课时作业】A 级1．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝()A ．42B ．30 C.29D ．25解析： ∵cos C 2＝55，∴cos C ＝2cos 2C2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1＝－35.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32，∴AB ＝32＝4 2. 故选A. 答案： A2．(2018·山东菏泽2月联考)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，则tan(π＋2α)＝()A.427B ．±225C ．±427D ．225解析： ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，∴cos α＝13，sin α＝－223，由同角三角函数的商数关系知tan α＝sin αcos α＝－2 2.∴tan(π＋2α)＝tan2α＝2tan α1－tan2α＝－421－－22＝427，故选A. 答案： A3．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于() A.32B ．34C.36D ．38解析： 由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3，又A ＝π3＝B ，则△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34.答案： B 4．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π，且3cos2α＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin2α的值为()A.79B ．－79 C ．－19D ．19解析： 3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π，所以cos α－sin α≠0，所以3(cos α＋sin α)＝22，即cos α＋sin α＝223，两边平方可得1＋sin2α＝89⇒sin2α＝－19.答案： C5．(2018·南昌市第一次模拟测试卷)已知台风中心位于城市A 东偏北α(α为锐角)的150千米处，以v 千米/时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A 西偏北β(β为锐角)的200千米处，若cos α＝34cos β，则v ＝() A ．60B ．80 C ．100D ．125解析： 如图，台风中心为B,2.5小时后到达点C ，则在△ABC中，AB sin α＝AC sin β，即sin α＝43sin β，又cos α＝34cos β.∴sin 2α＋cos 2α＝169sin 2β＋916cos 2β＝1＝sin 2β＋cos 2β，∴sin β＝34cos β， ∴sin β＝35，cos β＝45，∴sin α＝45，cos α＝35，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝35×45－45×35＝0，∴α＋β＝π2，∴BC 2＝AB 2＋AC 2，∴(2.5v )2＝1502＋2002，解得v ＝100，故选 C. 答案： C 6．化简：π－α＋sin 2αcos2α2＝________.解析：π－α＋sin 2αcos2α2＝2sin α＋2sin α·cos α12＋cos α＝2sin α＋cos α12＋cos α＝4sinα.答案： 4sin α7．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C ＝________.解析：sin 2A sin C ＝2sin Acos A sin C ＝2a c ·b2＋c2－a22bc ＝2×46·25＋36－162×5×6＝1. 答案： 18．(2018·开封市高三定位考试)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b tan B ＋b tan A ＝2c tan B ，且a ＝5，△ABC 的面积为23，则b ＋c 的值为________．解析： 由正弦定理及b tan B ＋b tan A ＝2c tan B ，得sin B ·sin B cos B ＋sin B ·sin A cos A ＝2sin C ·sin Bcos B ，即cos A sin B ＋sin A cos B ＝2sin C cos A ，亦即sin(A ＋B )＝2sin C cos A ，故sin C ＝2sin C cos A ．因为sin C ≠0，所以cos A ＝12，所以A ＝π3.由面积公式，知S △ABC ＝12bc sin A ＝23，所以bc ＝8.由余弦定理，知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ，代入可得b ＋c ＝7.答案： 79．(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝⎛⎭⎪⎫－35，－45.(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值．解析： (1)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得sin α＝－45.所以sin(α＋π)＝－sin α＝45.(2)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得cos α＝－35，由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－5665或cos β＝1665.10．(2018·北京卷)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17.(1)求∠A ；(2)求AC 边上的高．解析： (1)在△ABC 中，因为cos B ＝－17，所以sin B ＝1－cos2B ＝437. 由正弦定理得sin A ＝asin B b ＝32.由题设知π2<∠B <π，所以0<∠A <π2.所以∠A ＝π3.(2)在△ABC 中，因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝3314，所以AC 边上的高为a sin C ＝7×3314＝332.B 级1．(2018·河南濮阳一模)已知△ABC 中，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，则sin 2Bsin B ＋cos B 的取值范围是() A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，22B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22C ．(－1，2)D ．⎝⎛⎦⎥⎤0，3－32解析： 由sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，知a ，b ，c ，成等比数列，即b 2＝ac ，∴cos B ＝a2＋c2－b22ac ＝a2＋c2－ac 2ac ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a2c ＋c 2a －12≥2a 2c ·c 2a －12＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立，可知B ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π3，设y ＝sin 2B sin B ＋cos B ＝2sin Bcos B sin B ＋cos B，设sin B ＋cos B ＝t ，则2sin B cos B ＝t 2－1.由于t ＝sin B ＋cos B ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4，B ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3，所以t ∈(1，2]，故y ＝sin 2B sin B ＋cos B ＝2sin Bcos B sin B ＋cos B ＝t2－1t ＝t －1t ，t ∈(1，2]，因为y ＝t －1t 在t ∈(1，2]上是增函数，所以y ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，22.故选B. 答案： B2．(2018·石家庄质量检测(一))如图，平面四边形ABCD 的对角线的交点位于四边形的内部，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝CD ，AC ⊥CD ，当∠ABC 变化时，对角线BD 的最大值为________．解析： 设∠ABC ＝θ，θ∈(0，π)，则由余弦定理得AC 2＝3－22cos θ，由正弦定理得1sin∠ACB ＝AC sin θ，得sin ∠ACB ＝sin θAC .在△DCB 中，由余弦定理可得，BD 2＝CD 2＋2－22CD cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋∠ACB ＝AC 2＋2＋22AC sin ∠ACB ＝3－22cos θ＋2＋22AC ×sin θAC ＝5＋22(sin θ－cos θ)＝5＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，当θ＝3π4时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4max ＝1，∴BD 2m ax ＝9，∴BD max ＝3.答案： 33．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，b ＝(－sin x ，3sin x )，f (x )＝a ·b . (1)求函数f (x )的最小正周期及f (x )的最大值；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，a ＝23，求△ABC 面积的最大值．解析： (1)易得a ＝(－sin x ，cos x )， 则f (x )＝a ·b ＝sin 2x ＋3sin x cos x ＝12－12cos2x ＋32sin2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π， 当2x －π6＝π2＋2k π，k ∈Z 时，即x ＝π3＋k π(k ∈Z )时，f (x )取最大值是32.(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＋12＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12⇒A ＝π3.因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 所以12＝b 2＋c 2－bc ， 所以b 2＋c 2＝bc ＋12≥2bc ，所以bc ≤12(当且仅当b ＝c 时等号成立)，所以S ＝12bc sin A ＝34bc ≤3 3.所以当△ABC 为等边三角形时面积取最大值是3 3.4．如图，在一条海防警戒线上的点A 、B 、C 处各有一个水声检测点，B 、C 两点到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A 、B 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B 、C 到P 的距离，并求出x 的值； (2)求P 到海防警戒线AC 的距离．解析： (1)依题意，有PA ＝PC ＝x ，PB ＝x －1.5×8＝x －12. 在△PAB 中，AB ＝20，cos ∠PAB ＝PA2＋AB2－PB22PA·AB ＝x2＋202－－2x·20＝3x ＋325x，同理，在△PAC 中，AC ＝50，cos ∠PAC ＝PA2＋AC2－PC22PA·AC ＝x2＋502－x22x·50＝25x .∵cos ∠PAB ＝cos ∠PAC ，∴3x ＋325x ＝25x， 解得x ＝31.(2)作PD ⊥AC 于点D ，在△ADP 中， 由cos ∠PAD ＝2531，得sin ∠PAD ＝1－cos2∠PAD＝42131，∴PD ＝PA sin ∠PAD ＝31×42131＝421.故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为421千米．。
三角恒等变换和三角函数性质专题
知识梳理 1.正弦、余弦、正切函数图像与性质
函数
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
图像
定义域 值域 奇偶性 最小正周期
单调性
R
[－1,1] 奇函数 2π
在[－������＋2kπ，������＋2kπ](k∈Z)上递增．
2
2
在[������＋2kπ，3������＋2kπ](k∈Z)上递减
2
x＝－������＋2kπ，k∈Z时，y取得最小值－1
2
x＝2kπ，k∈Z时，y取得最大值1. 无最值
x＝π＋2kπ，k∈Z时，y取得最小值－1
对称中心：(kπ，0)(k∈Z)． 对称轴：x＝������+kπ(k∈Z)
2
对称中心：(������+kπ，0)(k∈Z)．
2
对称轴：x＝kπ(k∈Z)
2
2
R [－1,1] 偶函数 2π
在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增． 在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上递减
{x|x≠������＋kπ，k∈Z}
2
R 奇函数 π
在 ( － ������ ＋ kπ ， ������ ＋ kπ)(k ∈ Z)
2
2
上递增
最值 对称性
x＝������＋2kπ，k∈Z时，y取得最大值1.
例4.已知f ������
= sin
������
+
������ 6
+ sin
������
−
������ 6
+������������������������ + ������的最大值为1
三角函数与三角恒等变换的综合运用
三角函数与三角恒等变换的综合运用三角函数和三角恒等变换是数学中的重要概念，广泛应用于各种实际问题的求解中。
本文将探讨三角函数和三角恒等变换的综合运用，并通过一些实例来说明它们在实际问题中的应用。
一、三角函数的基本概念在介绍三角函数的综合运用之前，我们首先回顾一下三角函数的基本概念。
在直角三角形中，对于给定的一个角A，我们可以定义其正弦、余弦和正切等三个三角函数，分别记作sinA，cosA和tanA。
它们的定义如下：sinA = 对边/斜边cosA = 邻边/斜边tanA = 对边/邻边二、三角函数的综合运用1. 三角函数在三角形的计算中的应用三角函数在求解三角形的各种问题中起着重要的作用。
以求解三角形边长为例，假设我们已知一个直角三角形的一条边和其对应的一个角，利用三角函数可以很方便地求解出另外两条边的长度。
同样地，在已知两边和夹角的情况下，我们也可以利用三角函数来求解三角形的面积。
2. 三角函数在物理问题中的应用三角函数在物理问题中的应用广泛而重要。
例如，在力学中，一个物体在平面上做直线运动时，我们可以将其位移的x轴和y轴分解为其在x轴和y轴上的分量。
而这些分量之间恰好是两个相互垂直的直角三角形，通过使用三角函数，可以很容易地求解出物体的位移和速度等物理量。
三、三角恒等变换的应用1. 三角恒等变换在三角方程的求解中的应用三角恒等变换在解三角方程时起到了至关重要的作用。
通过利用一些特定的三角恒等变换，我们可以将复杂的三角方程化简为简单的等式，从而更方便地求解。
例如，通过应用和差化积公式和倍角公式，我们可以将一些复杂的三角方程转化为简单的线性方程或二次方程，进而求解出未知量。
2. 三角恒等变换在三角函数的化简中的应用三角恒等变换在化简三角函数表达式时也起到了重要的作用。
通过运用正弦、余弦和正切的平方恒等变换、和差化积公式等，我们可以将复杂的三角函数表达式化简为简单的形式，从而方便计算和求解。
这对于在数学推导和物理计算中的精确性和效率都很重要。
三角函数与三角恒等变换例题与习题
三角函数与三角恒等变换专题复习高考动态 (3)复习建议 (3)专题一：任意角及其三角函数 (4)考点一：终边相同的角的集合 (4)考点二：弧长及面积公式 (6)考点三：任意角的三角函数的定义 (8)考点四：三角函数值的符号及其取值范围 (9)考点五：同角三角函数的基本关系 (11)考点六：诱导公式及其应用 (13)专题二：三角函数的图象与性质 (14)考点一：三角函数的定义域、值域 (14)考点二：三角函数的单调性、周期性 (17)考点三：三角函数的奇偶性、对称性 (20)考点四：三角函数的最值 (22)考点五：三角函数的图象和性质的综合 (24)附1：高考真题回放与示例 (27)附2：高考经典题组训练 (28)专题三：函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象与性质 (29)考点一：y＝A sin(ωx＋φ)的图象及平移伸缩变换 (30)考点二：求函数y＝A sin(ωx＋φ)的解析式 (32)考点三：函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象与性质的综合应用 (35)考点四：三角函数模型的应用 (38)考点五：三角函数的综合 (40)附1：高考真题回放与示例 (42)附2：高考经典题组训练 (44)专题四：和差角和二倍角的三角函数 (46)概述： (46)公式汇总 (46)考点一：给角求值 (48)考点二：给值求值 (52)考点三：给值求角 (55)考点四：型 (57)考点五：型 (59)熟悉考查内容与形式，从而有效地复习。
①小题，重在基础：三角函数小题考查的重点在于基础知识：解析式、图象及图象变换、两域(定义域、值域)、四性(单调性、奇偶性、对称性、周期性)以及简单的三角变换(求值、化简及比较大小)．②大题，重在本质：有关三角函数的解答题，考查基础知识、基本技能和基本方法．③应用，融入三角形之中：这种考点既能考查解三角形的知识与方法，又能考查运用三角公式进行恒等变换的技能．主要解法是充分利用三角形的内角和定理、正(余)弦定理、面积公式等，并结合三角公式进行三角变换．专题一：任意角及其三角函数任意角的三角函数主要包括，任意角的概念、角度值和弧度制的转换、弧长面积公式、任意角的三角函数的概念、单位圆及其三角函数线、同角三角函数的关系、诱导公式。
三角函数与三角恒等变换知识点
三角函数与三角恒等变换（知识点）1．⑴ 角度制与弧度制的互化：π弧度180=o ，1180π=o 弧度，1弧度180()π=o '5718≈o .⑵ 弧长公式：||l R α=；扇形面积公式：211||22S R Rl α==. 2．三角函数定义：⑴ 设α是一个任意角，终边与单位圆交于点P (x ,y )，那么y 叫作α的正弦，记作sin α；x 叫作α的余弦，记作cos α；yx叫作α的正切，记作tan α. ⑵ 角α中边上任意一点P 为(,)x y ，设||OP r =，则：sin ,cos ,y x r r αα==tan yxα=.三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 3．三角函数线：正弦线：MP ； 余弦线：OM ； 正切线： AT . 4．诱导公式：六组诱导公式统一为“()2k Z α±∈”，记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限. 5．同角三角函数基本关系：22sin cos 1αα+=（平方关系）；sin tan cos ααα=（商数关系）.6．两角和与差的正弦、余弦、正切：①sin()sin coscos sin αβαβαβ±=±；② cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=m ； ③ tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=m .7．二倍角公式：① sin22sin cos ααα=；② 2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-； ③ 22tan tan 21tan ααα=-. 变形：21cos2sin 2αα-=；21cos2cos 2αα+=. （降次公式）8．化一：sin cos )y a x b x x x =+)x ϕ+. 9. 物理意义：物理简谐运动sin(),[0,)y A x x ωϕ=+∈+∞，其中0,0A ω>>. 振幅为A ，表示物体离开平衡位置的最大距离；周期为2T πω=，表示物体往返运动一次所需的时间；频率为12f T ωπ==，表示物体在单位时间内往返运动的次数；x ωϕ+为相位；ϕ为初相.11. 正弦型函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的性质及研究思路：① 最小正周期2T πω=，值域为[,]A A -.② 五点法图：把“x ωϕ+”看成一个整体，取30,,,,222x ππωϕππ+=时的五个自变量值，相应的函数值为0,,0,,0A A -，描出五个关键点，得到一个周期内的图象.③ 三角函数图象变换路线：sin y x =ϕ−−−−−→左移个单位sin()y x ϕ=+ ω−−−−−→1横坐标变为倍sin()y x ωϕ=+A −−−−−→纵坐标变为倍sin()y A x ωϕ=+. 或：sin y x = ω−−−−−→1横坐标变为倍sin y x ω=ϕω−−−−−→左移个单位sin ()y x ϕωω=+A −−−−−→纵坐标变为倍sin()y A x ωϕ=+. ④ 单调性：sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的增区间，把“x ωϕ+”代入到sin y x =增区间[2,2]()22k k k Z ππππ-++∈，即求解22()22k x k k Z πππωϕπ-+≤+≤+∈.⑤ 整体思想：把“x ωϕ+”看成一个整体，代入sin y x =与tan y x =的性质中进行求解. 这种整体思想的运用，主要体现在求单调区间时，或取最大值与最小值时的自变量取值.。
高考必考点：三角函数与三角变换
高考必考点：三角函数与三角变换一、知识点回顾
二、典题剖析
解题心得
化异为同法:解决三角函数化简与求值问题的总体思路就是化异为同,目的是消元减少未知量的个数.如把三角函数式中的异名、异角、异次化为同名、同角、同次;如在三角函数求值中,把未知角用已知角表示,或把未知角通过三角变换化成已知角;对于三角函数式中既有正弦、余弦函数又有正切函数,化简方法是切化弦,或者弦化切,目的是化异为同。
解题心得
对于已知的三角函数是由多个三角函数式通过四则运算组合而成的,若求其函数的性质,一般的思路是通过三角变换,把多个三角函数式的代数和(或积、商)化成只有一项且只有一种名称的三角函数式。
解题心得
利用函数y=sin x的有关性质求三角函数f(x)=Asin(ωx+φ)的单调区间、对称轴方程、φ值大小的题目,把ωx+φ看作一个整体,整体代换函数y=sin x的相关性质,进而求出题目所要求的量.
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专题三：三角函数与三角变换（附参考答案）1.高考要求解读1.1考纲要求：1.1.1三角函数 1.任意角、弧度制（1）了解任意角的概念和弧度制的概念 （2）能进行弧度与角度的互化。
2.三角函数（1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。
（2）能利用单位圆中的三角函数线推导出απαπ±±,2的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出x y x y x y tan ,cos ,sin ===的图像，了解三角函数的周期性。
（3）正确理解正弦函数、余弦函数在[]π2,0上的性质（如单调性、最大值和最小值、图像与x 轴的交点等），理解正切函数在⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ内的单调性。
（4）理解同角三角函数的基本关系式：.tan cos sin ,1cos sin 22x xxx x ==+ （5）了解函数)sin(ϕω+=x A y 的物理意义；能画出函数)sin(ϕω+=x A y 的图像，了解参数ϕω,,A 对函数图像变化的影响。
（6）会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。
1.1.2三角恒等变换1.两角和与差的三角函数公式（1）会用向量的数量出两角差的余弦公式。
（2）会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式。
（3）会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解他们的内在联系。
2.简单的三角恒等变换能运用上述公式进惊醒简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）。
1.2考点解读1.2.1考情分析三角函数是高考的考查热点，命题的一般模式为一个选择题（或填空题）和一个解答题，其中选择题（填空题）一般多为基础题，解答题为中档题。
解答题多为三角函数与三角变换的综合问题或三角函数与其他知识的教会问题。
近年宁夏高考题，命题从三角函数与解三角形结合的问题出发命题的趋势明显。
高考中三角函数所占分值大约在10~14分之间。
1.2.2考点分析 考点一：基本概念考查任意角的概念、弧度制、三角函数的概念、三角函数的符号等。
直角三角形中锐角的三角函数定义在与空间几何结合的问题中频繁考查，应予以重视任意角三角函数的定义的应用。
其中三角函数的符号是考查重点。
考点二：同角三角函数的基本关系式和诱导公式考查运用这两类公式进行三角函数式的求值、化简和证明。
其中，同角三角函数的基本关系式和三角函数式的求值问题是考查的重点。
考点三：考查三角函数的图像和性质考查三角函数图像的画法、性质，性质主要包括正弦函数、余弦函数、正切函数在[]π2,0的单调性、最大值和最小值、零点、最小正周期等。
考点四：函数)0,0)(sin(>>+=ωϕωA x A y 的图像和性质。
考查函数)0,0)(sin(>>+=ωϕωA x A y 的定义域、值域（最值）、单调性、周期性、对称性等性质等，是三角函数考查的热点。
另外对函数)0,0)(sin(>>+=ωϕωA x A y 的图像伸缩、平移变换的考查也是热点。
考点五：考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式。
主要考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，而倍角的正弦、余弦、正切公式的运用。
考点六：考查简单的三角恒等变换。
主要考查综合运用同学们在以前学习的三角公式，进行一些简单的三角恒等变换，解决化简、求值、证明等问题。
考点七：考查三角函数和三角恒等变换的综合应用。
本考点是一个考查重点，主要考查通过三角恒等变换化简三角函数式，进而研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值等性质。
2要点知识分析要点知识复习2.1任意角的三角函数 ①任意角的三角函数定义已知角α终边上任意一点P 的坐标为),(y x ，则22y x r +=，其中r 为点P 到原点的距离.xy r x r y ===αααtan ;cos ;sin ②同角三角函数基本关系式.tan cos sin ,1cos sin 22x xxx x ==+ ③诱导公式第一组：关于απαπ±±2;的诱导公式 απααπαcos )2cos(sin )2sin(=+=+k k ααπααπcos )cos(sin )sin(-=-=- ααπααπcos )cos(sin )sin(-=+-=+ααπααπcos )2cos(sin )2sin(=-=- ααπααπcos )2cos(sin )2sin(=+=+记忆方法:函数名不变，符号看象限第二组：关于απαπ±±23,2的诱导公式ααπααπsin )2cos(cos )2sin(=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin(-=+=+ ααπααπsin )23cos(cos )23sin(-=--=- ααπααπsin )23cos(cos )23sin(=+-=+记忆方法：函数名变为余函数名，符号看象限 2.2函数图像和性质①函数x y sin =、x y cos =、x y tan =的图像和性质。
②函数)0,0)(sin(>>+=ωϕωA x A y 的图像和性质。
“五点法”可画出正弦函数、余弦函数的简图，还可利用此法求参数ϕω,,A 的值。
在复习函数)0,0)(sin(>>+=ωϕωA x A y 的图像时，要掌握由x y sin =的图像经过平移、伸缩等一系列变换得到函数)0,0)(sin(>>+=ωϕωA x A y 的图像的变换步骤。
求平移的量时，若x 的系数不为1，需把x 的系数先提出来，提完后在括号中x 加或减的那个量才是平移的量。
2.3三角变换①两角和与差的正弦、余弦、正切公式。
)1tan (tan tan tan 1tan tan )tan(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(±≠±=±=±±=±βαβαβαβαβαβαβαβαβαβα变形公式:)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+ )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα+-=- 两角和与差的正切公式的变形公式是考查的重点。
②二倍角公式αααααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos cos sin 22sin -=-=-==)1(tan tan 1tan 22tan 2±≠-=αααα二倍角的余弦公式正用有升幂的作用；逆用有降幂的作用。
在三角变换中要根据具体情境灵活应用。
变形公式：22cos 1sin ;22cos 1cos 22αααα-=+=3、典型例题例1（本小题满分12分）已知0,1413)cos(,71cos 且=β-α=α<β<α<2π,(Ⅰ)求α2tan 的值. （Ⅱ）求β.本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力。
变式训练：（北京卷）已知函数1)4()cos x f x xπ-=， （Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）设α是第四象限的角，且4tan 3α=-，求()f α的值例2（江苏卷）︒-︒︒+︒︒40cos 270tan 10sin 310cos 20cot ＝【解后反思】方法不拘泥,要注意灵活运用,在求三角的问题中,要注意这样的口决“三看”即(1)看角,把角尽量向特殊角或可计算角转化，(2)看名称,把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切，(3)看式子,看式子是否满足三角函数的公式.如果满足直接使用,如果不满足转化一下角或转换一下名称,就可以使用. 变式训练：3．sin15cos75cos15sin105+等于（ ）Ａ．0Ｂ．12Ｄ．1例3. 已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数sin()y A x ωϕ=+的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．变式训练：已知函数2πππ()12sin 2sin cos 888f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．求： （I ）函数()f x 的最小正周期； （II ）函数()f x 的单调增区间．．例4.（本小题满分12分）如图，函数π2cos()(0)2y x x ωθθ=+∈R ，≤≤的 图象与y轴交于点(0，且在该点处切线的斜率为2-． （1）求θ和ω的值；（2）已知点π02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA的中点，当02y =，0ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求0x 的值．变式训练：(重庆卷)设函数f (x )=3x ω2cos +x x ωωcos sin +a(其中ω＞0,a ∈R ),且f (x )的图象在y 轴右侧的第一个高点的横坐标为6π. （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）如果f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-65,3ππ上的最小值为3，求a 的值.例5. 设函数b a x f •=)(,其中向量=(m,cos2x),=(1+sin2x,1),x ∈R ,且函数y=f(x)的图象经过点⎪⎭⎫⎝⎛2,4π，（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值及此时x 的值的集合.变式训练：已知0αβπ<<4，为()cos 2f x x π⎛⎫=+ ⎪8⎝⎭的最小正周期，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1,41tan βα，()2,cos α=b ，且•m =．求22cos sin 2()cos sin ααβαα++-的值． 本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推理能力．本小题满分12分．随堂练习一、选择题（本小题共10个小题，每小题5分） 1.（全国Ⅰ文）α是第四象限角，12cos 13α=，sin α=（ ） Ａ．513Ｂ．513-Ｃ．512 Ｄ．512-2. （全国Ⅱ）函数sin y x =的一个单调增区间是（ ） A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭，B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭，C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D ．32π⎛⎫π⎪2⎝⎭， 3. （江西文）函数5tan(21)y x =+的最小正周期为（ ） Ａ．π4Ｂ．π2Ｃ．πＤ．2π4. （福建文）函数πsin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象（ ） Ａ．关于点π03⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称Ｂ．关于直线π4x =对称 Ｃ．关于点π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称Ｄ．关于直线π3x =对称 5. （福建文）sin15cos75cos15sin105+等于（ ） Ａ．0Ｂ．12Ｃ．2Ｄ．16.（宁夏，海南）若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+的值为（ ）Ａ．2-Ｂ．12-Ｃ．12Ｄ．27. （宁夏，海南）已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ） Ａ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥ Ｂ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥ Ｃ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >Ｄ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x >8．（宁夏，海南）函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的简图是（ ）9x的图象（ ） A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π3个单位D ．向左平移π6个单位10.（浙江）若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，2ϕπ<）的最小正周期是π，且(0)f =则（ ）A ．126ωϕπ==，B ．123ωϕπ==，C ．26ωϕπ==，D ．23ωϕπ==，二、填空题（本题共有5个小题）11.（上海春）函数2)cos sin (x x y +=的最小正周期为 .12.（江苏卷）若13cos(),cos()55αβαβ+=-=，.则tan tan αβ= .13.（安徽文）函数π()3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，如下结论中正确的是 （写出所有正确结论的编号．．）． ①图象C 关于直线11π12x =对称； ②图象C 关于点2π03⎛⎫⎪⎝⎭，对称； ③函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫- ⎪⎝⎭，内是增函数；④由3sin 2y x =的图角向右平移π3个单位长度可以得到图象C ．14.（浙江）已知1sin cos 5θθ+=，且324θππ≤≤，则cos2θ的值是15.（全国II ）若f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝三、解答题（本题共有5个小题）16.（安徽卷）已知310,tan cot 43παπαα<<+=- （Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求225sin 8sincos11cos 822222ααααπα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭的值。