黑龙江省哈三中2018-2019学年高二上学期期中考试数学(文)试题 Word版含答案
哈三中2018年黑龙江省学业水平考试
数学B 试卷
第I 卷 （选择题, 共60分）
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．)
1．抛物线x y 82-=的准线方程为
A. 2-=y B ． 2-=x C ． 2=y D ． 2=x
2．已知ABC ∆的顶点C B ,在椭圆19
162
2=+y x 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆 的另一个焦点在边BC 上，则ABC ∆的周长是
A ． 8
B ． 12
C ．16
D ．38
3. 圆()2
224x y ++=与圆9)3()2(22=-+-y x 的位置关系是 A. 内切 B. 外切 C. 相离 D. 相交
4. 若椭圆12
42
2=+y x 的弦被点)1,1(平分，则此弦所在的直线方程为 A ．032=-+y x B ．032=-+y x
C ．012=--y x
D ．012=+-y x
5.已知直线012:1=-+ay x l 与01)12(:2=---ay x a l 平行，则a 的值是
A ． 0或1
B ．1或41
C ．0或41
D ．4
1 6．过抛物线x y =2的焦点F ,且倾斜角为︒30的直线交抛物线于不同的两点A 、B ,则 弦长AB 的值为
A ．2
B ．1
C ．4
1 D ．4 7．设经过点()1,2M 的等轴双曲线的焦点为21F F 、，此双曲线上一点N 满足
21NF NF ⊥, 则21F NF ∆的面积为
A. 3 B ．3 C ．2 D ．2
8．已知直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 的右支有两个不同的交点，则k 的取值范围为
A ．)25,0(
B ．]25,1[
C ．)25,25(-
D ．)2
5,1( 9．若椭圆13
42
2=+y x 的左焦点为F ,O 为原点，点P 是椭圆上的任意一点,则 FP OP ⋅的最大值为
A ． 2
B ． 3
C ． 6
D ．8
10．在正ABC ∆中，AC 、BC 边上的高分别为BD 、AE ，则以A 、B 为焦点，且过
D 、
E 的椭圆与双曲线的离心率分别为21,e e ，则2
111e e +的值为 A ．3 B ． 1 C ． 32 D ． 2
11．已知抛物线:C y x 82=的焦点为F ,O 为原点，点P 是抛物线C 的准线上的一动点， 点A 在抛物线C 上，且4=AF ，则PO PA +的最小值为
A ．24
B ．132
C ． 133
D ． 64
12．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点)0,2(F ，P 为抛物线上的任意一点，过点P 作圆03412:22=+-+x y x E 的切线，切点分别为N M ,，圆心为E ,则四边形 PMEN 的面积最小值为
A ． 30
B ．302
C ． 15
D ． 152
第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）
13. 已知实数y x ,满足⎪⎩
⎪⎨⎧≥+≥-≤-22021y x y x y x ，若y x z 32+=，则z 的最大值是 .
14. 与双曲线12
22
=-y x 有相同的渐近线，并且过点)3,2(的双曲线的标准方程 是 .
15. 若直线b x y +=与曲线243x x y --=有公共点，则b 的取值范围是 .
16．已知双曲线)0,0(1:22
22>>=-b a b
y a x E 的左、右顶点分别为A 、B ，M 是E 上 的一点，ABM ∆为等腰三角形，且外接圆面积为24a π，则双曲线E 的离心率 为 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17. (本题满分10分)
已知()02，-A ，()31，P ，B ）（0,5.
（Ⅰ）求过点B 且与直线AP 垂直的直线方程；
（Ⅱ）经过点P 的直线l 把PAB ∆的面积分割成4:3两部分，求直线l 的方程.
18. (本题满分12分)
已知圆C 过点()12，
P ，圆心()35-，C . （Ⅰ）求圆C 的标准方程；
（Ⅱ）如果过点()10，
A 且斜率为k 的直线l 与圆C 没有公共点，求实数k 的取值范围.
19. (本题满分12分)
已知椭圆()01:22221>>=+b a b y a x C 的焦点是双曲线13
:2
22=-y x C 的顶点，双曲线2C 的焦点是椭圆1C 的顶点.
（Ⅰ）求椭圆1C 的离心率；
（Ⅱ）若B A 、分别是椭圆1C 的左、右顶点，P 为椭圆1C 上异于B A 、的一点， 求证：直线PA 和直线PB 的斜率之积为定值.
20. (本题满分12分)
已知抛物线C 的顶点是坐标原点O ，焦点F 在y 轴正半轴上，直线0144=++y x 与抛物线C 相切.
（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程；
（Ⅱ）若斜率为2的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，54=AB ，求直线l 的方程.
21. (本题满分12分)
已知椭圆()111
-:2
2>=+t t y t x C 的左右焦点分别为21F F 、，点P 为椭圆C 的一个 短轴顶点， 6021=∠F PF .
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）若经过椭圆C 左焦点的直线l 交椭圆C 于B A 、两点，Q 为椭圆C 的右顶点， 求ABQ ∆面积的最大值.
22. (本题满分12分)
曲线C ：12
22
=+y x ，直线)0(1:>-=k kx y l 关于直线1-=x y 对称的直线为1l ， 直线1,l l 与曲线C 分别交于点A 、M 和A 、N ，记直线1l 的斜率为1k . （Ⅰ）求证: 1k k ⋅1=；
（Ⅱ）当k 变化时，试问直线MN 是否恒过定点? 若恒过定点，求出该定点坐标；
若不恒过定点，请说明理由.
哈三中2018年黑龙江省学业水平考试数学B 答案
一. 选择题
DCBBC DADCA BD
二．填空题 13. 7 14. 15. 16. 三．解答题
17. （1）
(2)
18. （1）
(2)
19.(1) (2) 20. (1) (2)
21. (1) (2)
22. (1) 略 (2)定点。
黑龙江省哈尔滨市第三中学校2018-2019学年高二数学上学期期中试题 理
黑龙江省哈尔滨市第三中学校2018-2019学年高二数学上学期期中试题 理考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．抛物线x y 82-=的准线方程( )A. 2-=y B ． 2-=x C ． 2=y D ． 2=x2． 已知ABC ∆的顶点C B ,在椭圆191622=+y x 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在边BC 上，则ABC ∆的周长是（ ）A ． 8B ． 12C ．38D ． 163．从标号分别为1、2、3、4的四个红球和标号分别为1、2、3的三个黑球及标号分别为1、2的两个白球中取出不同颜色的两个小球,不同的取法种数共有（ ）A. 24种 B ． 9种 C ． 10种 D ． 26种4. 若椭圆12422=+y x 的弦被点)1,1(平分，则此弦所在的直线方程( ) A ．032=-+y x B ．032=-+y xC ．012=--y xD ．012=+-y x5. 已知直线012:1=-+ay x l 与01)12(:2=---ay x a l 平行，则a 的值是( )A ． 0或1B ． 1或41C ． 0或41D ．41 6．过抛物线y x =2的焦点F 的直线交抛物线于不同的两点A 、B ,则BF AF 11+的值为 ( )．A ．2B ．1C ．41 D ．4 7. 已知直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 的右支有两个交点，则k 的取值范围为（ ）A ．)25,0(B ．]25,1[C ．)25,25(-D ．)25,1( 8．直线01234=++y x 分别与x 轴，y 轴交于B A ,两点，点P 在圆4)2(22=+-y x 上，则ABP ∆面积的取值范围是（ ）A ．]30,10[B ．]15,10[C ．]15,5[D ．]10,5[9．正ABC ∆中，AC 、BC 边上的高分别为BD 、AE ，则以A 、B 为焦点，且过D 、E 的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为（ ）A ．3B ．1C ．32D ．210．已知椭圆1522=+x y 与抛物线ay x =2有相同的焦点为F ,O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，且4=AF ，则PO PA +的最小值为（ ）A ．132 B.24 C ．133 D.6411. 已知}2,1,0,1{,-∈b a ,关于x 的方程022=++b ax x 有实数解的有序实数对),(b a 的个数为 ( )A ．12B ． 13C ． 11D ． 1412．已知直线l 与椭圆)10(1:222<<=+b b y x E 相切于第一象限的点),(00y x P ，且直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，当AOB ∆ (O 为坐标原点)的面积最小时，321π=∠PF F (21F F 、是椭圆的两个焦点)，则此时21PF F ∆中21PF F ∠的平分线的长度为( )A ．532B ． 534C ．1532D ．1534 第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13. 已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥-≤-22021y x y x y x ，若y x z 32+=，则z 的最大值是 .14. 与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线，并且过点)3,2(的双曲线的标准方程 是 .15.若直线b x y +=与曲线243x x y --=有公共点，则b 的取值范围是 .16．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x E 的左、右顶点分别为A 、B ，M 是E 上一点，ABM ∆为等腰三角形，且外接圆面积为24a π，则双曲线E 的离心率为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17. (本题满分10分)已知()02，-A ，()31，P ，直线52=+y x 交x 轴于点B .（Ⅰ）求过点B 且与直线AP 垂直的直线方程；（Ⅱ）经过点P 的直线l 把PAB ∆的面积分割成4:3两部分，求直线l 的方程.18. (本题满分12分)已知圆C 过点()12，P ，圆心为()35-，C .（Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）如果过点()10，A 且斜率为k 的直线l 与圆C 没有公共点，求实数k 的取值范围.19. (本题满分12分)已知椭圆()01:22221>>=+b a b y a x C 的焦点是双曲线13:222=-y x C 的顶点，椭圆1C 的顶点是双曲线2C 的焦点.（Ⅰ）求椭圆1C 的离心率；（Ⅱ）若B A 、分别是椭圆1C 的左、右顶点，P 为椭圆1C 上异于B A 、的一点，求证：直线PA 和直线PB 的斜率之积为定值.20. (本题满分12分)已知抛物线C 的顶点是坐标原点O ，焦点F 在y 轴正半轴上，直线0144=++y x 与抛物线C 相切.（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程；（Ⅱ）点()m M ，0在y 轴负半轴上,若存在经过F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，使得AMB ∠是钝角，求实数m 的取值范围.21. (本题满分12分)已知椭圆()111:22>=-+t t y t x C 的两个焦点分别为21F F 、，P 为椭圆C 的一个短轴顶点， 6021=∠F PF . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若经过椭圆C 左焦点的直线l 交椭圆C 于B A 、两点，Q 为椭圆C 的右顶点，求ABQ ∆面积的最大值.22. (本题满分12分) 已知动点P 到点)0,1(F 与到直线2=x 的距离比为22, （Ⅰ）求动点P 的轨迹方程（Ⅱ）设动点P 的轨迹为C ， 直线)0(1:>-=k kx y l 关于直线1-=x y 对称的直线为1l ，直线1,l l 与轨迹C 分别交于点A 、M 和A 、N ，记直线1l 的斜率为1k .①求证1k k ⋅为定值；②当k 变化时，试问直线MN 是否恒过定点? 若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由.哈三中2018年黑龙江省学业水平考试数学答案一.选择题DDDBC DDCAA AA二．填空题13. 7 14.15. 16.三．解答题17. （1）(2)18. （1）(2)19.(1) (2)20. (1) (2)21. (1) (2)22. (1) (2) ①为定值1；②定点。
黑龙江省哈尔滨市第三中学校2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
5. 已知直线 l1：x+2ay-1=0，与 l2：（2a-1）x-ay-1=0 平行，则 a 的值是（ ）
1
1
1
A. 0 或 1
B. 1 或4
C. 0 或4
D. 4
6.
过抛物线
x2=y
的焦点
F
的直线交抛物线于不同的两点
1
A、B，则|������������|
+
1
|������������|的值为
2018-2019 学年黑龙江省哈尔滨三中高二（上）期中数学 试卷（理科）
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 抛物线 y2=-8x 的准线方程为（ ）
A. ������ =‒ 2
B. ������ =‒ 1
C. ������ = 1
D. ������ = 2
2.
已知△ABC
的顶点
‒
������2 ������2
=
1(������＞0，������＞0) 的左、右顶点分别为
A、B，M
是
E
上一点，
△ABM 为等腰三角形，且外接圆面积为 4πa2，则双曲线 E 的离心率为______．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）
17. 已知 A（-2，0），P（1，3），直线 x+2y=5 交 x 轴于点 B． （1）求过点 B 且与直线 AP 垂直的直线方程； （2）经过点 P 的直线 l 把△PAB 的面积分割成 3：4 两部分，求直线 l 的方程．
上一动点，点 A 在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值为（ ）
A. 2 13
B. 4 2
黑龙江省哈尔滨市三中2018-2019学年高二上学期模块考试(期末)文科数学试题Word版含解析
黑龙江省哈尔滨市三中2018-2019学年上学期模块考试高二（期末）文科数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 抛物线的准线方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵抛物线的方程为∴抛物线的准线方程是故选D2. 若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵∴∴故选A3. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题:①若，则；②若，则；③，则；④若，则.其中正确的命题个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】①存在反例，所以错误；②正确；③存在反例，所以错误；④直线可能相交或异面，所以错误。
所以正确的是②，个数为1，故选B。
点睛：空间的点、线、面位置关系的判断题型，可以通过现实中的动手操作来寻找是否存在反例情况来判断。
比如①中，直线可以在满足的情况下上下移动，得到反例情况，所以错误。
4. 已知双曲线的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵双曲线的离心率为2∴，即∵∴，即∵双曲线的渐近线方程为∴双曲线的渐近线方程为故选D点睛：双曲线的渐近线方程为，而双曲线的渐近线方程为 (即)，应注意其区别与联系.5. 将函数的图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】将函数的图象向左平移个单位得到的函数的解析式为令，则函数图象的对称轴方程为∴当时，故选B6. 已知一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D. 12【答案】A【解析】由三视图知，该几何体有四分之一圆锥与三棱锥构成，故体积为，故选A.7. 是双曲线右支上一点，是其右焦点，点，则的最小值是（）A. 3B. 6C. 16D. 19【答案】A【解析】根据题意，设双曲线的左焦点为M，∵双曲线的方程为∴，，∵ P是双曲线的右支上一点∴，则，当、、三点共线，即在轴上时，等号成立故选A8. 在中，角所对的边分别是，若，且，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】,故选A.9. 三棱柱底面为正三角形，侧棱与底面垂直，若，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设点到平面的距离为∵∴∴∴故选B点睛：处理点到平面的距离问题，方法主要有二：（1）利用定义直接作出垂线段，计算即可，（2）把点到平面的距离视为某个锥体的高，通过等积法得到所求距离的方程，解之即可. 10. 已知抛物线，过的直线与抛物线交于两点，则(其中为坐标原点）面积的最小值是（）A. B. 1 C. 2 D. 4【答案】D【解析】当直线的斜率不存在时，此时的方程为∴∴当直线的斜率存在时，设直线方程为，代入抛物线方程可化为设，∴，∴∵点到直线的距离∴综上所述（其中为坐标原点）面积的最小值是1故选D点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．11. 在平面直角坐标系中，若不等式组(为常数）所表示的平面区域的面积等于4，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】作出不等式组(为常数）对应的平面区域，若不等式组构成平面区域则，此时对应的区域为，如图所示：则，，∴，则的面积∴故选C点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得. 12. 我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱，其中，若，当“阳马”即四棱锥体积最大时，“堑堵”即三棱柱的体积为（）A. B. C. 1 D. 2【答案】D【解析】设，则，∴最大时，最大，，当且仅当时，取等号∴当“阳马”即四棱锥体积最大时，，此时“堑堵”即三棱柱的体积：故选D第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数，则的值为__________．【答案】【解析】∵函数∴∴故答案为14. 已知定点，动点满足，则点的轨迹方程为__________．【答案】【解析】∵动点满足∴由椭圆的定义得：动点的轨迹是以为焦点的椭圆，则，，∴动点的轨迹方程是故答案为点睛：求轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立之间的关系；(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程；(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(4)代入(相关点)法：动点依赖于另一动点的变化而运动，常利用代入法求动点的轨迹方程．15. 在中，角所对的边分别是，且，则的值为__________．【答案】3【解析】∵中，∴由正弦定理可得∴∴∴∴故答案为316. 平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，过的直线交抛物线于两点，于，于，中点为，于，则下列说法：①为钝角三角形②为直角三角形③为钝角三角形④正确命题的序号是__________(填写你认为正确的所有命题的序号.【答案】①②④【解析】∵抛物线的焦点为∴设经过点的直线的方程为，代入到抛物线方程，可得∵，，∴∴对于①，∴为钝角，故①正确；对于③，如图：由抛物线的定义可知，，三角形是等腰三角形；∵∥∴平分同理平分∴，故③错误；对于②，由③得，，∴平分，平分∴，故②正确对于④，设与交于点，由②③得≌∴，故④正确．故答案为①②④．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在中，角所对的边分别是，且依次成等差数列.（1）求角的大小；（2）若，求周长的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由三角形内角和定理结合依次成等差数列求得；（2）由正弦定理求出周长，结合角的范围即可求出周长的取值范围．试题解析：（1）∵成等差数列∴.又∵∴.（2）在中，由正弦定理，∴的周长.又∵∴18. 已知函数.（1）求函数的单调递减区间；（2）求函数在区间上的最大值，并求出取得最大值时的值.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）利用和与差，二倍角和辅助角公式化简，结合三角函数性质即可求解单调递减区间；（2）由区间，求解内层函数的范围，结合三角函数性质即可求解最大值．试题解析：（1）∵∴∴，即函数的单调减区间为.（2）∵∴∴当，即时，.19. 如图1，已知知矩形中，点是边上的点，与相交于点,且，现将沿折起，如图2,点的位置记为，此时.（1）求证：面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）推导出，，，由此能证明面；（2）推导出，，，，由此能求出三棱锥的体积.试题解析：（1）证明：∵为矩形，,∴，因此，图2中，又∵交于点，∴面.（2）∵矩形中，点是边上的点，与相交于点，且∴，，∽∴∴，，∵∴∴∴三棱锥的体积.点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解；(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．20. 已知双曲线的离心率为2，右顶点为.（1）求双曲线的方程；（2）设直线与轴交于点，与双曲线的左、右支分别交于点，且，求的值.【答案】（1）；（2）1..................试题解析：（1）∵，∴（2）设点横坐标为,点横坐标为.平行线分线段成比例定理：联立：得：，，则或（舍）与实际情况不符21. 已知四棱锥中，平面，底面是边长为的正方形，，为中点，为上一点，且.（1）求证：平面；（2）设与交于点，为的中点，若点到平面的距离为，求的值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）取中点，连接，，由三角形中位线定理可得，．然后利用平面与平面平行的判定得到面面，进一步得到平面；（2）利用等体积法，即，即可求出试题解析：（1）取中点，连，则，连，，则，∴面面又∵∴平面（2）∵底面是边长为的正方形，为的中点∴∵平面，∴∵，∴∴∴∵∴∴.点睛：证明线面平行有两种方法，一是利用线面平行的判定定理，常常利用三角形的中位线定理或者利用平行四边形得出线线平行，进而得出线面平行；二是面面平行，证明直线所在的平面与另一个平面平行，进而说明线面平行；求体积除了直接计算外，大多都使用体积变换，利用变换顶点，转化底面，平行转化、对称转化、比例转化等，然后在进行体积计算.22. 已知点，为抛物线上两动点，且.（1）求证：直线必过一定点；（2）求线段的中点的轨迹方程.【答案】（1）；（2）见解析试题解析：（1）设直线方程为，整理得设，则，∴，即，，∴直线方程为，过定点（2）设线段的中点为∵为抛物线上两动点，∴由点差法得弦中点公式为则，整理得 (在已知抛物线内部）点睛：（1）含参数的直线求定点的方法就是按参数整理直线方程，系数和常数分别为0，求得即定点坐标；（2）当遇到直线与抛物线的相交弦中点问题时可以运用点差法，解得直线斜率与中点坐标之间的数量关系，从而可以求出直线的斜率.。
2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市第三中学校高二上学期期末考试数学(文)试题Word版含解析
2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市第三中学校高二上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．若，且为第二象限角，则的值等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由同角三角函数间的基本关系即可求解．【详解】∵sinα，且α为第二象限角，∴cosα，∴tanα．故选：D．【点睛】本题主要考查了同角三角函数间的基本关系在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．2．利用计算机产生之间的均匀随机数，则事件“”发生的概率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可得概率为线段长度之比，计算可得．【详解】由题意可得总的线段长度为1﹣0＝1，在其中满足3a﹣2＜0，即a，∴所求概率P，故选：D ．【点睛】 本题主要考查“长度型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.3．总体由编号为的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）A ．08B ．07C ．02D ．01【答案】B【解析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．【详解】从随机数表第1行的第3列开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号 依次为16，08，02，14，07，01，则第5个个体的编号为07．故选：B ．【点睛】本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，比较基础．4．为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，可以将函数sin2y x =的图象（ ） A ．向右平移6π个单位 B ．向左平移6π个单位C ．向右平移12π个单位 D ．向左平移12π个单位 【答案】C 【解析】函数sin2y x =的图象平移|k|个单位(k>0向左；k<0,向右)所得图像对应函数为()()sin2sin 22;y x k x k =+=+令222,.612x k x x ππ+=-∴=-故选C5．把红、黑、白3张纸牌随机地分给甲、乙、丙3个人，每个人分得1张 , 事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（ ）A ．对立事件B ．两个不可能事件C ．互斥但不对立事件D ．两个概率不相等的事件【答案】C【解析】事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不能同时发生，但能同时不发生，由此能求出结果．【详解】把红、蓝、白3张纸牌随机地分发给甲、乙、丙三个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不能同时发生，但能同时不发生，∴事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．故选：C ．【点睛】本题考查对立事件、互斥事件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件、互斥事件的定义的合理运用．6．已知的三个内角的对边分别为，已知，则的面积等于（ ）A ．B ．C ．9D ．【答案】A【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin B 的值，根据余弦定理可求a 的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【详解】∵b ，c ＝4，cos B ，∴sin B，∴由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，可得：7＝a2+16﹣2，整理可得：a2﹣6a+9＝0，解得：a＝3，∴S△ABC．故选：A．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．7．从装有个红球、个白球的袋中任取2个球，则所取的2个球都是红球的概率是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先求出基本事件，再求出满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可．【详解】从装有3个红球和2个白球的袋中任取2个球，基本事件总数n＝C52＝10，所取的2个球中所取的2个球都是红球包含的基本事件个数：m＝C32＝3，∴所取的2个球都是红球的概率是P．故选：B．【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．8．已知函数，则的一个单调递减区间是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】函数化简可得，由，解得，则的一个单调递减区间是，故选A.9．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：不妨设直线，即椭圆中心到的距离，故选B.【考点】1、直线与椭圆；2、椭圆的几何性质.【方法点晴】本题考查直线与椭圆、椭圆的几何性质，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 不妨设直线，即椭圆中心到的距离，利用方程思想和数形结合思想建立方程是本题的关键节点.10．总体的样本数据的频率分布直方图如图所示.总体中的数据不超过, 总体中的数据不超过. 则的估计值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先求出每一小组的频率，结合体50%的数据不超过a，总体中80%的数据不超过b，即可求出a，b的值．【详解】由于第一组频率为0.02×4＝0.08，第二组频率为0.08×4＝0.32，第三组频率为0.09×4＝0.36，第四，组组频率为0.03×4＝0.12，则a＝18+4，由于0.08+0.32+0.36＝0.76，则b＝22+4，故选：D．【点睛】本题考查了频率分布直方图，属于基础题．11．如果函数的图象关于直线对称，那么该函数的最大值为（）A．B．C．2 D．3【答案】B【解析】根据三角函数的辅助角公式求出最大值，结合三角函数的对称性建立方程关系进行求解即可．。
2018-2019学年高二上学期期中考试数学(文)试题(含答案)
哈三中2018—2018学年度上学期 高二学年第一模块数学（文）试卷考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分， 满分150分．考试时间为120分钟；（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第I 卷 （选择题， 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1． 已知异面直线a 、b 所成的角为60︒，直线//b 直线c ，则异面直线a 、c 所成的角为A ．30︒B ．0︒C ．120︒D ．60︒ 2． 如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是 A ． BD ∥平面CB 1D 1 B ． AC 1⊥B 1D 1 C ． AC 1⊥平面CB 1D 1D ． 异面直线AD 与CB 1成角为60°3． 一个三角形水平放置的直观图，是一个以O B ''为斜边的等腰直角三角形A O B '''，且2O B ''=（如图），则原三角形AOB 的面积是AB ．1 CD4． 双曲线 221416x y -+=的两条渐近线为A ．14y x =±B ．4y x =±C ．12y x =± D ．2y x =±5． 如图，一个空间几何体的主视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为ABD C1A1B1D 1CA ．4π B ．54π C ．π D ．32π 6． 若,x y 满足约束条件2030x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为A ．0B ．4C ．5D ．67． 抛物线24y x =上两点A 、B ，弦AB 的中点为(2,1)P ，则直线AB 的斜率为A ．2B ．2或2-C ．2或12D ．2- 8． 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，∠ACB ＝90°，AA 1＝2，AC ＝BC ＝1，则异面直线A 1B 与AC 所成角的余弦值是 A ．B ．C ．D ．9． 已知点P 在抛物线x y 42=上，点()3,5A ，F 为该抛物线的焦点，则PAF ∆周长的最小值为 A ．9B ．10C ．11D ．1210．已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线2y x =垂直，则双曲线的方程为A ．22182x y -=B ．22128x y -=C ．221328x y -=D ．221832x y -=11．如图（1）所示，已知正方体一个面的对角线长为a ，沿阴影将它切割成两块，拼成如图（2）所示的几何体，那么此几何体的全面积为正视图 侧视图俯视图A B C D 12．若双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的左支上存在一点P ，满足以1||PF 为边长的正方形的面积等于2ac （其中1F 为双曲线的左焦点），则双曲线的离心率的取值范围是A ．(]1,2B ．[2,+∞）C ．(1,2+ D ．)⎡+∞⎣第Ⅱ卷 （非选择题， 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上) 13．已知抛物线方程是24y x =-，则它准线方程为 ．14．将一个半径为R 半圆形纸片没有重叠的卷成一个圆锥（如图），则圆锥的体积为 ．15．设,αβ为互不重合的平面，,m n 是互不重合的直线，给出下列四个命题：①//,,//m n n m αα⊂若则 ②,,//////m n m n ααββαβ⊂⊂若，，则③//,,//m n m nαβαβ⊂⊂若，则 ④若,,,,m n n m n αβαβαβ⊥⋂=⊂⊥⊥则；其中正确命题的序号为 ．16．一个三棱锥的三视图如下图所示，则该几何体的体积为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本题10分）斜率为1的直线过抛物线x y 42=的焦点，与抛物线交于两点A 、B ，M 为抛物线上的点． (I)求AB ；(II)若24=∆ABM S ，求点M 的坐标．18．（本题12分）如图，正方体1111ABCD A BC D -中，M 、N 分别为AB 、BC 中点． (I)当点P 在棱1DD 上运动时，是否都有//MN 平面11AC P ，证明你的结论；(II)若P 是1DD 的中点，若Q 是1BB 的四等分点，且13BQ QB =， 求证：平面//MNQ 平面11AC P ．侧视图俯视图QABDC1A1B1D1CPMN19．（本题12分）如图，四面体ABCD中，AB AD CB CD ====AC =BD (I)求证：AC BD ⊥；(II)求证：平面ABC ⊥平面ADC ．20．（本题12分）矩形纸板ABCD 中，将ABD ∆沿BD 折起到A BD '∆，使CD A B '⊥． (I)求证：A C A B ''⊥；(II)已知1AB =，2AD =，求异面直线A C '与BD 所成角的余弦．21．（本题12分）已知双曲线221x y -=与直线:1l y kx =-有两个不同的交点,A B ． (I)求实数k 的取值范围；(II)若0OA OB ⋅>，求实数k 的取值范围．ABDCA B CDA 'BCD22．（本题12分）已知抛物线L ：()022>=p px y 的焦点为F ，直线24=y 与y 轴的交点为P ，与L 的交点为Q ，若QF PQ 32=． （1）求L 的方程；（2）过Q 作抛物线L 的切线与x 轴相交于N 点， N 点关于原点的对称点为M 点，过点M 的直线交抛物线L 于B A ,两点，求2216141BM AM +的最小值．哈三中2018—2018学年度上学期 高二学年第一模块数学（文）试卷答案一、选择题DDDDC DADCA BC 二、填空题13. 1=x 14. 3243R π 15. ④ 16. 2 三、解答题17. （Ⅰ）8； （Ⅱ）(9,6)(1,-2),(1,2),. 18. （Ⅰ）是； （Ⅱ）证明略. 19. （Ⅰ）证明略； （Ⅱ）证明略. 20. （Ⅰ）证明略； （Ⅱ）515. 21. （Ⅰ）)2(1,(-1,1),-1)2( -； （Ⅱ）)2(1,,-1)2( -. 22. （Ⅰ）x y 82=； （Ⅱ）9.。
黑龙江省哈尔滨市第三中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学文试题 含答案 精品
哈三中2017—2018学年度上学期 高二学年第一模块数学（文）试卷考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分， 满分150分．考试时间为120分钟；（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第I 卷 （选择题， 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1． 已知异面直线a 、b 所成的角为60︒，直线//b 直线c ，则异面直线a 、c 所成的角为A ．30︒B ．0︒C ．120︒D ．60︒ 2． 如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是 A ． BD ∥平面CB 1D 1 B ． AC 1⊥B 1D 1 C ． AC 1⊥平面CB 1D 1D ． 异面直线AD 与CB 1成角为60°3． 一个三角形水平放置的直观图，是一个以O B ''为斜边的等腰直角三角形A O B '''，且2O B ''=（如图），则原三角形AOB 的面积是AB ．1 CD4． 双曲线 221416x y -+=的两条渐近线为A ．14y x =±B ．4y x =±C ．12y x =± D ．2y x =±5． 如图，一个空间几何体的主视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为ABD C1A 1B 1D 1CA ．4π B ．54π C ．π D ．32π 6． 若,x y 满足约束条件2030x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为A ．0B ．4C ．5D ．67． 抛物线24y x =上两点A 、B ，弦AB 的中点为(2,1)P ，则直线AB 的斜率为A ．2B ．2或2-C ．2或12D ．2- 8． 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，∠ACB ＝90°，AA 1＝2，AC ＝BC ＝1，则异面直线A 1B 与AC 所成角的余弦值是A ．B ．C ．D ．9． 已知点P 在抛物线x y 42=上，点()3,5A ，F 为该抛物线的焦点，则PAF ∆周长的最小值为 A ．9B ．10C ．11D ．1210．已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线2y x =垂直，则双曲线的方程为A ．22182x y -=B ．22128x y -=C ．221328x y -=D ．221832x y -=11．如图（1）所示，已知正方体一个面的对角线长为a ，沿阴影将它切割成两块，拼成如图（2）所示的几何体，那么此几何体的全面积为正视图 侧视图俯视图A B C D 12．若双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的左支上存在一点P ，满足以1||PF 为边长的正方形的面积等于2ac （其中1F 为双曲线的左焦点），则双曲线的离心率的取值范围是A ．(]1,2B ．[2,+∞）C ．(1,2D ．)⎡+∞⎣第Ⅱ卷 （非选择题， 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上) 13． 已知抛物线方程是24y x =-，则它准线方程为 ．14．将一个半径为R 半圆形纸片没有重叠的卷成一个圆锥（如图），则圆锥的体积为 ．15．设,αβ为互不重合的平面，,m n 是互不重合的直线，给出下列四个命题：①//,,//m n n m αα⊂若则 ②,,//////m n m n ααββαβ⊂⊂若，，则③//,,//m n m nαβαβ⊂⊂若，则 ④若,,,,m n n m n αβαβαβ⊥⋂=⊂⊥⊥则；其中正确命题的序号为 ．16． 一个三棱锥的三视图如下图所示，则该几何体的体积为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本题10分）斜率为1的直线过抛物线x y 42=的焦点，与抛物线交于两点A 、B ，M 为抛物线上的点． (I)求AB ；(II)若24=∆ABM S ，求点M 的坐标． 18．（本题12分）如图，正方体1111ABCD A BC D -中，M 、N 分别为AB 、BC 中点． (I)当点P 在棱1DD 上运动时，是否都有//MN 平面11AC P ，证明你的结论；(II)若P 是1DD 的中点，若Q 是1BB 的四等分点，且13BQ QB =， 求证：平面//MNQ 平面11AC P ．侧视图俯视图QABDC1A 1B 1D 1C P MN19．（本题12分）如图，四面体ABCD中，AB AD CB CD ====AC =BD = (I)求证：AC BD ⊥；(II)求证：平面ABC ⊥平面ADC ．20．（本题12分）矩形纸板ABCD 中，将ABD ∆沿BD 折起到A BD '∆，使CD A B '⊥． (I)求证：A C A B ''⊥；(II)已知1AB =，2AD =，求异面直线A C '与BD 所成角的余弦． 21．（本题12分）已知双曲线221x y -=与直线:1l y kx =-有两个不同的交点,A B ． (I)求实数k 的取值范围；(II)若0OA OB ⋅>，求实数k 的取值范围．ABDCA B CDA 'BCD22．（本题12分）已知抛物线L ：()022>=p px y 的焦点为F ，直线24=y 与y 轴的交点为P ，与L 的交点为Q ，若QF PQ 32=． （1）求L 的方程；（2）过Q 作抛物线L 的切线与x 轴相交于N 点， N 点关于原点的对称点为M 点，过点M 的直线交抛物线L 于B A ,两点，求2216141BM AM +的最小值．哈三中2017—2018学年度上学期 高二学年第一模块数学（文）试卷答案一、选择题 DDDDC DADCA BC 二、填空题13. 1=x 14. 3243R π 15. ④ 16. 2 三、解答题17. （Ⅰ）8； （Ⅱ）(9,6)(1,-2),(1,2),. 18. （Ⅰ）是； （Ⅱ）证明略. 19. （Ⅰ）证明略； （Ⅱ）证明略. 20. （Ⅰ）证明略； （Ⅱ）515. 21. （Ⅰ）)2(1,(-1,1),-1)2( -； （Ⅱ）)2(1,,-1)2( -. 22. （Ⅰ）x y 82=； （Ⅱ）9.。
2018-2019黑龙江省哈尔滨市校高二上学期数学（文）试题
哈三中2018-2019学年度上学期高二第一次阶段性测试数学(文)试卷考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分120分，考试时间90分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 （选择题, 共50分）一、选择题（(共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线的方程为A. 012=-+y xB. 052=-+y xC. 052=-+y xD. 072=+-y x2. 圆066222=++-+y x y x 的圆心和半径分别为A. 圆心()1,3，半径为2B. 圆心()1,3-，半径为2C. 圆心()1,3-，半径为4D. 圆心()1,3-，半径为43. 若两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为A. 510B. 5102C. 26105D. 4. 下列说法的正确的是A.B. 经过定点()b A ，0C.D. 经过任意两个不同的点()()222111y x P y x P ，、，的直线的方程都可以表示为5. 若变量x y ，满足⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥222x y x x y ，则y x z 3-=的最小值为A. 2-B. 4-C. 6-D. 8-6. 过点()1,3,(3,1)A B --，且圆心在直线210x y --=上的圆的标准方程为A. ()()22114x y +++=B. ()()221116x y +++=C. ()22113x y -+=D. ()2215x y -+=7. 若点）（y x P ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-+≤-0134053201y x y x x ，点）（y x Q ,在圆1)2(222=+++y x ）（ 上，则PQ 的最大值为A. 6B. 5C. 23D. 123+8. 已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是A. 34k ≥B. 324k ≤≤C. 324k k ≥≤或 D. 2k ≤ 9. 过坐标原点O 作圆()()22341x y -+-=的两条切线，切点为,A B，直线AB 被圆截得弦AB 的长度为A.B.C. D. 10. 若直线1y x =+和x 轴，y 轴分别交于点,A B ，以线段AB 为边在第一象限内做等边ABC ∆，如果在第一象限内有一点1(,)2P m 使得ABP ∆和ABC ∆的面积相等，则m 的值为 A.233 B. 32 C. 235 D. 第Ⅱ卷 （非选择题, 共70分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）11. 若直线l 经过直线12+=x y 和13-=x y 的交点,且平行于直线032=-+y x ，则直线l 方程为 .12. 点)2,2(A 关于直线0942=+-y x 的对称点的坐标为 .13. 已知直线l 截圆2220x y y +-=所得的弦AB 的中点坐标为13,22⎛⎫-⎪⎝⎭，则弦AB 的垂直平分线方程为 . 14. 若变量x y ，满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-1211y x y x y x ，则目标函数132+++=x y x z 的最大值为______. 三、解答题（本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15. (本题满分12分)已知一组动直线方程为:)(,021R k k y kx ∈=-+-.(1) 求证:直线恒过定点，并求出定点P 的坐标;(2) 若直线与x 轴正半轴，y 轴正半轴半分别交于点,A B 两点，求AOB ∆面积的最小值.16. (本题满分12分)哈三中学生食堂出售甲、乙两种食品，甲每份售价0.55元、乙每份售价0.40元，经检测，食品中含有三种学生所需的营养物A 、B 、C ，其中食品甲每份含A 、B 、C 分别为10、3、4毫克，食品乙每份含A 、B 、C 分别为2、3、9毫克，而营养师认为学生每餐至少需此三种营养物A 、B 、C 分别为20、18、36毫克.问一学生进餐应对甲、乙食品各买几份，能保证足够的营养要求，又花钱最少？17. (本题满分13分)已知菱形ABCD 的一边所在直线方程为04=+-y x ，一条对角线的两个端点分别为()2,2-A 和()4,4C .(1) 求对角线AC 和BD 所在直线的方程;(2) 求菱形另三边所在直线的方程.18. (本题满分13分)已知圆C 的圆心坐标为)0,2(, 直线01:1=--ky x l 与圆C 交于点P M ,, 直线0:2=-+k y kx l 与圆C 交于点Q N ,, 且N M ,在x 轴的上方. 当1=k 时, 有MP =·(1) 求圆C 的方程;(2) 当直线PQ 的方程为b x y +-= (其中0<b )时, 求实数b 的值.哈三中2018-2019学年度上学期高二第一次阶段性测试数学(文)试卷答案1-5 A B D D D 6-10 B A C B C11. 092=-+y x 12. ）（4,113. 01=-+y x 14. 415. （1）定点）（1,2（2）最小值为4，21-=k 时取等号 16. 当⎩⎨⎧==51y x 时，最小值为2.55元 17. AC: 083=+-y x ， BD: 06-y x 3=+三边为0=-y x ，012-7=+y x ，032-7=+y x18. （1）7222=+-y x ）（ （2）1--=x y。
2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市第三中学校高二上学期期中(第一学段)考试数学(文)试题(Word版)
2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市第三中学校高二上学期期中（第一学段）考试数学文试卷考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0. 5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．抛物线x y 82-=的准线方程为A. 2-=y B ． 2-=x C ． 2=y D ． 2=x2．已知ABC ∆的顶点C B ,在椭圆191622=+y x 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆 的另一个焦点在边BC 上，则ABC ∆的周长是A ． 8B ． 12C ．16D ．383. 圆()2224x y ++=与圆9)3()2(22=-+-y x 的位置关系是 A . 内切 B . 外切 C . 相离 D . 相交4. 若椭圆12422=+y x 的弦被点)1,1(平分，则此弦所在的直线方程为 A ．032=-+y x B ．032=-+y xC ．012=--y xD ．012=+-y x5.已知直线012:1=-+ay x l 与01)12(:2=---ay x a l 平行，则a 的值是A ． 0或1B ．1或41C ．0或41D ．41 6．过抛物线x y =2的焦点F ,且倾斜角为︒30的直线交抛物线于不同的两点A 、B ,则 弦长AB 的值为A ．2B ．1C ．41 D ．4 7．设经过点()1,2M 的等轴双曲线的焦点为21F F 、，此双曲线上一点N 满足21NF NF ⊥, 则21F NF ∆的面积为A . 3B ．3C ．2D ．28．已知直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 的右支有两个不同的交点，则k 的取值范围为 A ．)25,0( B ．]25,1[ C ．)25,25(- D ．)25,1( 9．若椭圆13422=+y x 的左焦点为F ,O 为原点，点P 是椭圆上的任意一点,则 FP OP ⋅的最大值为A ． 2B ． 3C ． 6D ．810．在正ABC ∆中，AC 、BC 边上的高分别为BD 、AE ，则以A 、B 为焦点，且过D 、E 的椭圆与双曲线的离心率分别为21,e e ，则2111e e +的值为 A ．3 B ． 1 C ． 32 D ． 211．已知抛物线:C y x 82=的焦点为F ,O 为原点，点P 是抛物线C 的准线上的一动点， 点A 在抛物线C 上，且4=AF ，则PO PA +的最小值为A ．24B ．132C ． 133D ． 6412．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点)0,2(F ，P 为抛物线上的任意一点，过点P 作圆03412:22=+-+x y x E 的切线，切点分别为N M ,，圆心为E ,则四边形PMEN 的面积最小值为A ．30 B ．302 C ． 15 D ． 152第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13. 已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥-≤-22021y x y x y x ，若y x z 32+=，则z 的最大值是 .14. 与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线，并且过点)3,2(的双曲线的标准方程 是 .15. 若直线b x y +=与曲线243x x y --=有公共点，则b 的取值范围是 .16．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x E 的左、右顶点分别为A 、B ，M 是E 上 的一点，ABM ∆为等腰三角形，且外接圆面积为24a π，则双曲线E 的离心率为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17. (本题满分10分)已知()02，-A ，()31，P ，B ）（0,5.（Ⅰ）求过点B 且与直线AP 垂直的直线方程；（Ⅱ）经过点P 的直线l 把PAB ∆的面积分割成4:3两部分，求直线l 的方程.18. (本题满分12分)已知圆C 过点()12，P ，圆心()35-，C .（Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）如果过点()10，A 且斜率为k 的直线l 与圆C 没有公共点，求实数k 的取值范围.已知椭圆()01:22221>>=+b a b y a x C 的焦点是双曲线13:222=-y x C 的顶点，双曲线2C 的焦点是椭圆1C 的顶点.（Ⅰ）求椭圆1C 的离心率；（Ⅱ）若B A 、分别是椭圆1C 的左、右顶点，P 为椭圆1C 上异于B A 、的一点，求证：直线PA 和直线PB 的斜率之积为定值.20. (本题满分12分)已知抛物线C 的顶点是坐标原点O ，焦点F 在y 轴正半轴上，直线0144=++y x 与抛物线C 相切.（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程；（Ⅱ）若斜率为2的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，54=AB ，求直线l 的方程.已知椭圆()111-:22>=+t t y t x C 的左右焦点分别为21F F 、，点P 为椭圆C 的一个 短轴顶点， 6021=∠F PF .（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若经过椭圆C 左焦点的直线l 交椭圆C 于B A 、两点，Q 为椭圆C 的右顶点， 求ABQ ∆面积的最大值.22. (本题满分12分)曲线C ：1222=+y x ，直线)0(1:>-=k kx y l 关于直线1-=x y 对称的直线为1l ， 直线1,l l 与曲线C 分别交于点A 、M 和A 、N ，记直线1l 的斜率为1k .（Ⅰ）求证: 1k k ⋅1=；（Ⅱ）当k 变化时，试问直线MN 是否恒过定点? 若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由.答案一.选择题DCBBC DADCA BD二．填空题13. 7 14.15. 16.三．解答题17. （1）(2)18. （1）(2)19.(1) (2)20. (1) (2)21. (1) (2)22. (1) 略(2)定点。
黑龙江省哈尔滨市第三中学校2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
2018-2019学年黑龙江省哈尔滨三中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.抛物线y2=-8x的准线方程为（）A. B. C. D.2.已知△ABC的顶点B，C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC上，则△ABC的周长是（）A. 8B.C. 16D. 243.从标号分别为1、2、3、4的四个红球和标号分别为1、2、3的三个黑球及标号分别为1、2的两个白球中取出不同颜色的两个小球，不同的取法种数共有（）A. 24种B. 9种C. 10种D. 26种4.如果椭圆+=1的弦被点（1，1）平分，则这条弦所在的直线方程是（）A. B. C. D.5.已知直线l1：x+2ay-1=0，与l2：（2a-1）x-ay-1=0平行，则a的值是（）A. 0或1B. 1或C. 0或D.6.过抛物线x2=y的焦点F的直线交抛物线于不同的两点A、B，则的值为（）A. 2B. 1C.D. 47.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4的右支有两个交点，则k的取值范围为（）A. B. C. D.8.直线4x+3y+12=0分别与x轴、y轴交于A、B两点，点P在圆（x-2）2+y2=4上，则△ABP面积的取值范围是（）A. B. C. D.9.正△ABC中，AC、BC边上的高分别为BD、AE，则以A、B为焦点，且过D、E的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为（）A. B. 1 C. D. 210.已知椭圆+x2=1与抛物线x2=ay有相同的焦点F，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值为（）A. B. C. D.11.已知a，b∈（-1，0，1，2），关于x的方程ax2+2x+b=0=0有实数解的有序实数对（a，b）的个数为（）A. 12B. 13C. 11D. 1412.已知直线l与椭圆：＜＜相切于第一象限的点P（x0，y0），且直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，当△AOB（O为坐标原点）的面积最小时，（F1、F2是椭圆的两个焦点），则此时△F1PF2中F1PF2的平分线的长度为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知实数x、y满足，若z=2x+3y，则z的最大值是______．14.与双曲线有相同的渐近线，并且过点（2，3）的双曲线的标准方程是________．15.若直线y=x+b与曲线y=3-有公共点，则b的取值范围是______．16.已知双曲线：＞，＞的左、右顶点分别为A、B，M是E上一点，△ABM为等腰三角形，且外接圆面积为4πa2，则双曲线E的离心率为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知A（-2，0），P（1，3），直线x+2y=5交x轴于点B．（1）求过点B且与直线AP垂直的直线方程；（2）经过点P的直线l把△PAB的面积分割成3：4两部分，求直线l的方程．18.已知圆C过点P（2，1），圆心为C（5，-3）．（1）求圆C的标准方程；（2）如果过点A（O，1）且斜率为k的直线l与圆C没有公共点，求实数k的取值范围．19.已知椭圆：＞＞的焦点是双曲线：的顶点，椭圆C1的顶点是双曲线C2的焦点．（1）求椭圆C1的离心率；（2）若A、B分别是椭圆C1的左、右顶点，P为椭圆C1上异于A、B的一点．求证：直线PA和直线PB的斜率之积为定值．20.已知抛物线C的顶点是坐标原点O，焦点F在y轴正半轴上，直线4x+4y+1=0与抛物线C相切．（1）求抛物线C的标准方程；（2）点M（0，m）在y轴负半轴上，若存在经过F的直线l与抛物线C交于A、B两点，使得AMB是钝角，求实数m的取值范围．21.已知椭圆：＞的两个焦点分别为F1、F2，P为椭圆C的一个短轴顶点，PF1F2=60°．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若经过椭圆C左焦点的直线l交椭圆C于A、B两点，Q为椭圆C的右顶点，求△ABQ面积的最大值．22.已知动点P到点F（1，0）与到直线x=2的距离比为．（1）求动点P的轨迹方程；（2）设动点P的轨迹为C，直线l：y=kx-1（k＞0）关于直线y=x-1对称的直线为l1，直线l、l1与轨迹C 分别交于点A、M和A、N，记直线l1的斜率为k1：①求证k•k1为定值；②当k变化时，试问直线MN是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】抛物线y2=-8x的开口向左，2p=8，从而可得抛物线y2=-8x的准线方程．本题考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．【解答】解：抛物线y2=-8x的开口向左，2p=8，∴抛物线y2=-8x的准线方程为x==2故选：D．2.【答案】C【解析】解：△ABC的顶点B，C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC上，由椭圆的定义可得：△ABC的周长是4a=4×4=16．故选：C．利用椭圆的定义转化求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．3.【答案】D【解析】解：红球和黑球中各取一个，共有4×3=12种，红球和白球中各取一个，共有4×2=8种，白球和黑球中各取一个，共有2×3=6种，根据分类计数原理，共有12+8+6=26中，故选：D．根据分类计数原理即可求出．本题考查了分类计数原理，关键是分类，属于基础题4.【答案】A【解析】解：设过点A（1，1）的直线与椭圆相交于两点，E（x1，y1），F（x2，y2），由中点坐标公式可知：，则，两式相减得：+=0，∴=-，∴直线EF的斜率k==-，∴直线EF的方程为：y-1=-（x-1），整理得：2y+x-3=0，故选：A．由题意可知：将E，F代入椭圆方程，由中点坐标公式，做差求得直线EF的斜率公式，由直线的点斜式方程，即可求得条弦所在的直线方程．本题考查直线的点斜式方程，中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：当a=0时，两直线的斜率都不存在，它们的方程分别是x=1，x=-1，显然两直线是平行的．当a≠0时，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等，由≠，解得：a=．综上，a=0或，故选：C．先检验当a=0时，是否满足两直线平行，当a≠0时，两直线的斜率都存在，由≠，解得a的值．本题考查两直线平行的条件，要注意特殊情况即直线斜率不存在的情况，要进行检验．6.【答案】D【解析】解：设过抛物线x2=y的焦点F的直线方程为y=kx+．由⇒，，，∴则===．故选：D．由抛物线x2=y与过其焦点F（0，）的直线方程联立，消去y整理成关于x的一元二次方程，设出A（x1，y1）、B（x2，y2）两点坐标，再依据抛物线的定义得出|AF|=y1+，|BF|=y2+，由韦达定理可以求得答案．本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，考查数形结合思想，属中档题．7.【答案】D【解析】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，∴当-1＜k≤1时，直线与双曲线的右支只有1个交点，当k≤-1时，直线与双曲线右支没有交点，把y=kx-1代入x2-y2=4得：（1-k2）x+2kx-5=0，令△=4k2+20（1-k2）=0，解得k=或k=-（舍）．∴1＜k＜．故选：D．根据双曲线的渐近线和切线的方程得出k的范围．本题考查了双曲线的性质，切线方程的求解，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：∵直线4x+3y+12=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，∴A（-3，0），B（0，-4），AB=5如图，圆心（2，0）到直线4x+3y+12=0的距离d=．∴点P到AB的距离h，4-2≤h≤4+2，则S=，则△ABP面积的取值范围是[5，15]．故选：C．求出A，B坐标，圆心（2，0）到直线4x+3y+12=0的距离d=．可得点P到AB的距离h，利用S=即可求解．本题考查三角形面积的取值范围的求法，考查直线方程、点到直线的距离公式，是中档题．9.【答案】A【解析】解：设椭圆长、短半轴分别为a，b，双曲线的实、虚轴分别为m\n，设正△ABC的边长为2，则2a=+1，2m=，∴以A、B为焦点，且过D、E的椭圆与双曲线的离心率分别为，．∴．故选：A．设椭圆长、短半轴分别为a，b，双曲线的实、虚轴分别为m\n，设正△ABC的边长为2，则2a=+1，2m=，可得椭圆与双曲线的离心率分别为，．即可求解．本题考查椭圆、双曲线的几何性质，及离心率的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：∵椭圆+x2=1，∴c2=5-1=4，即c=2，则椭圆的焦点为（0，±2），不妨取焦点（0，2），∵抛物线x2=ay=4（）y，∴抛物线的焦点坐标为（0，），∵椭圆+x2=1与抛物线x2=ay有相同的焦点F，∴=2，即a=8，则抛物线方程为x2=8y，准线方程为y=-2，∵|AF|=4，由抛物线的定义得，∴A到准线的距离为4，y+2=4，即A点的纵坐标y=2，又点A在抛物线上，∴x=±4，不妨取点A的坐标A（4，2）；A关于准线的对称点的坐标为B（4，-6）则|PA|+|PO|=|PB|+|PO|≥|OB|，即O，P，B三点共线时，有最小值，最小值为|AB|==．故选：A．利用抛物线的定义由|AF|=4得到A到准线的距离为4，即可求出点A的坐标，最后利用平面几何的方法即可求出距离之和的最小值．本题主要考查学生灵活运用抛物线的简单性质解决最小值问题，灵活运用点到点的距离、对称性化简求值，是一道中档题．11.【答案】B【解析】解：（1）当a=0时，方程为2x+b=0，此时一定有解；此时b=-1，0，1，2；即（0，-1），（0，0），（0，1），（0，2）四种．（2）当a≠0时，方程为一元二次方程，∴△=4-4ab≥0，∴ab≤1．所以a=-1，1，2，此时a，b的对数为：（-1，0），（-1，2），（-1，-1），（-1，1），（1，-1），（1，0），（1，1），（2，-1），（2，0），共9种，关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为13种，故选：B．由于关于x的方程ax2+2x+b=0有实数根，所以分两种情况：（1）当a≠0时，方程为一元二次方程，那么它的判别式大于或等于0，由此即可求出a的取值范围；（2）当a=0时，方程为2x+b=0，此时一定有解．本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根，在解题时要注意分类讨论思想运用．考查分类讨论思想．12.【答案】A【解析】解：由题意，切线方程为xx0+=1，∵直线l与x、y轴分别相交于点A、B，∴A（，0），B（0，），∴S△AOB=•，∵1=+≥∴≥，∴S△AOB≥b，当且仅当x0==时，△AOB（O为坐标原点）的面积最小，设|PF1|=x，|PF2|=y，则x+y=2a=2，由余弦定理可得4c2=x2+y2-xy，∴xy=b2，∴△PF1F2的面积S=xysin=b2，∴×2c•y0=b2，∴y0==b，∴c=b，∵c2+b2=a2=1，∴b=，设△F1PF2中F1PF2的平分线的长度为m，则|PF1|•m•sin+|PF1|•m•sin=（x+y）==×，∴m=，故选：A．由题意，切线方程为xx0+=1，利用基本不等式，结合△AOB（O为坐标原点）的面积最小，可得切点坐标，利用三角形的面积公式，建立方程，即可求出实数m的值．本题考查三角形面积的计算，考查直线与椭圆的位置关系，考查余弦定理的运用，属于难题．13.【答案】7【解析】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分）由z=2x+3y，得y=-x+，平移直线y=-x+，由图象可知当直线y=-x+经过点A时，直线y=-x+的截距最大，此时z最大．由，解得A（2，1）．此时z的最大值为z=2×2+3×1=7，故答案为：7．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．14.【答案】-=1【解析】【分析】本题考查双曲线方程的求法，考查双曲线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题，设双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为=λ，（λ≠0），把点（2，3）代入，求出λ=-7，由此能求出双曲线方程．【解答】解：设双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为=λ（λ≠0），把点（2，3）代入，得：=-7，∴λ=-7，∴所求双曲线方程为-=1，故答案为：-=1．15.【答案】[1-，3]【解析】解：如图所示：曲线y=3-，即y-3=-，平方可得（x-2）2+（y-3）2=4（1≤y≤3，0≤x≤4），表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆．由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，可得=2，∴b=1+，或b=1-．结合图象可得1-≤b≤3，故答案为：[1-，3]．曲线即（x-2）2+（y-3）2=4（1≤y≤3），表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆，由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，解得b=1+b=1-．结合图象可得b的范围．本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．16.【答案】【解析】解：设M在双曲线的右支上∵外接圆面积为4πa2，∴4πa2=πR2，⇒R=2a．MA=AB=2a，MAB=θ，∴=2R=4a，⇒sinθ=，则M的坐标为（2a，a），代入双曲线方程可得，可得a=b，即有e=．故答案为：．设M在双曲线的右支上，由题意可得M的坐标为（2a，a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的知识，求得M的坐标是解题的关键．17.【答案】解：（1）k AP==1，∴过点B且与直线AP垂直的直线方程为：y=-（x-5），化为：x+y-5=0；（2）直线x+2y=5交x轴于点B（5，0）．设直线l与x轴相交于点M（x，0）．∵经过点P的直线l把△PAB的面积分割成3：4两部分，∴=，解得x=1．∴直线l的方程为：x=1．【解析】（1）利用斜率计算公式可得：k AP，即可得出过点B且与直线AP垂直的直线方程．（2）直线x+2y=5交x轴于点B（5，0）．设直线l与x轴相交于点M（x，0）．根据经过点P的直线l把△PAB的面积分割成3：4两部分，可得=，解得x，即可得出直线l的方程．本题考查了斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、直线方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.【答案】解：（1）由已知可得圆的半径r=|PC|=．∴圆C的标准方程（x-5）2+（y+3）2=25；（2）由题意可知，直线方程为y=kx+1，即kx-y+1=0．由＞5，解得k＞．∴实数k的取值范围是（，+∞）．【解析】（1）由已知求出圆的半径，然后直接写出圆的标准方程；（2）写出过A的直线方程，由圆心到直线的距离大于半径求得实数k的取值范围．本题库存车圆的标准方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，是基础题．19.【答案】解：（1）双曲线：的顶点为（±1，0），焦点为（±2，0）；则椭圆C1的焦点是（±1，0），顶点是（±2，0）；∴a=2，c=1，∴椭圆C1的离心率e==；（2）证明：b2=a2-c2=3，∴椭圆C1的标准方程为+=1，则椭圆的左、右顶点为A（-2，0）、B（2，0），设点P（x1，y1），x1≠±2，∴+=1，∴ =3（1-）=（4-）；∴k PA==，k PB==，∴k PA•k PB===-，∴直线PA和直线PB的斜率之积为定值．【解析】（1）根据双曲线与椭圆的定义和性质，求出椭圆C1的离心率；（2）写出椭圆C1的标准方程，设出点P的坐标，计算直线PA和直线PB的斜率，求斜率之积即可．本题考查了椭圆与双曲线的定义和简单几何性质的应用问题，是基础题．20.【答案】解：（1）设抛物线方程为x2=2py（p＞0），联立，可得2x2+4px+p=0．由△=16p2-8p=0，得p=．∴抛物线C的标准方程为x2=y；（2）如图，由抛物线C的标准方程为x2=y，得F（0，），直线l的方程为y=kx+，联立，得4x2-4kx-1=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=k，，=，y1y2=．，，，，由AMB是钝角，得：==＜0．则关于k的不等式-16mk2+16m2-8m-3＜0有解，∴16m2-8m-3＜0，解得-＜m＜．∴实数m的取值范围是（，）．【解析】（1）设抛物线方程为x2=2py（p＞0），联立直线方程与抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，由判别式为0求得p，则抛物线方程可求；（2）由抛物线C的标准方程为x2=y，得F（0，），得到直线l的方程为y=kx+，联立直线方程与抛物线方程，利用根与系数的关系可得A，B的横纵坐标的和与积，再由AMB是钝角，得：，由此可得实数m的取值范围．本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．21.【答案】解：（1）∵椭圆：＞的两个焦点分别为F1、F2，P为椭圆C的一个短轴顶点，PF1F2=60°．∴a=2c，a2=t，b2=t-1，c2=a2-b2，联立解得c=1，a=2，b2=3，∴椭圆C的标准方程为：+=1．（2）由题意可得：直线l的斜率不为0，设直线l的方程为：ty=x+1．设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：（3t2+4）y2-6ty-9=0，△＞0，∴y1+y2=，y1y2=，∴|y1-y2|===．∴S△ABQ=•|y1-y2|•（c+a）=×3=．令=m≥1，可得：t2=m2-1．∴S△ABQ==f（m），f′（m）=≤0，可得m=1，即t=0时，函数f（m）取得最大值，即S△ABQ=，∴△ABQ面积的最大值为．【解析】（1）椭圆的两个焦点分别为F1、F2，P为椭圆C的一个短轴顶点，PF1F2=60°．可得a=2c，a2=t，b2=t-1，c2=a2-b2，联立解出，可得椭圆C的标准方程．（2）由题意可得：直线l的斜率不为0，设直线l的方程为：ty=x+1．设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立椭圆方程可得：（3t2+4）y2-6ty-9=0，利用根与系数的关系可得|y1-y2|=，利用S△ABQ=•|y1-y2|•（c+a），通过换元利用导数研究其单调性即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、三角形面积计算公式、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：（1）动点P（x，y）到点F（1，0）与到直线x=2的距离比为，可得=，平方可得2（x2+y2-2x+1）=x2-4x+4，即x2+2y2=2，可得动点P的轨迹方程为+y2=1；（2）①证明：设直线l上任意一点P（x，y）关于直线y=x-1对称点为P0（x0，y0），直线l与直线l1的交点为（0，-1），∴l：y=kx-1，l1：y=k1x-1，k=，k1=，由=-1，得y+y0=x+x0-2…①，由=-1，得y-y0=x0-x…②，由①②得，kk1===1；②设点M（x1，y1），N（x2，y2），由得（1+2k2）x2-4kx=0，可得x=0或x=，即M（，），由kk1=1，可将k换为，可得N（，），k MN==-，即直线MN：y-y N=k MN（x-x N），可得y-=-（x-），即为y=-x+3，则当k变化时，直线MN过定点（0，3）．【解析】（1）设P（x，y），运用两点的距离公式和点到直线的距离公式，化简即可得到所求轨迹方程；（2）①设直线l上任意一点P（x，y）关于直线y=x-1对称点为P0（x0，y0），利用P与P0关于直线y=x-1对称可得关系，代入斜率乘积即可得到k•k1的值；②设出M，N的坐标，分别联立两直线方程与椭圆方程，求出M，N的坐标，进一步求出MN所在直线的斜率，写出直线方程的点斜式，整理后由直线系方程可得当k变化时，可得直线MN过定点．本题考查椭圆的简单性质，直线恒过定点的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．。
黑龙江省哈尔滨市第三中学校2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题(含精品解析)
求证：直线 PA 和直线 PB 的斜率之积为定值．
20. 已知抛物线 C 的顶点是坐标原点 O，焦点 F 在 y 轴正半轴上，直线 4x+4y+1=0 与 抛物线 C 相切． （1）求抛物线 C 的标准方程； （2）点 M（0，m）在 y 轴负半轴上，若存在经过 F 的直线 l 与抛物线 C 交于 A、B 两点，使得∠AMB 是钝角，求实数 m 的取值范围．
由中点坐标公式可知：
，
则
，两式相减得：
+
=0，
∴
=- ，
∴直线 EF 的斜率 k=
=- ，
∴直线 EF 的方程为：y-1=- （x-1），整理得：2y+x-3=0， 故选：A．
由题意可知：将 E，F 代入椭圆方程，由中点坐标公式
，做差求得
直线 EF 的斜率公式，由直线的点斜式方程，即可求得条弦所在的直线方程．
14.
������2
与双曲线 2
‒
������2
=
1有相同的渐近线，并且过点（2，3）的双曲线的标准方程是
________．
15. 若直线 y=x+b 与曲线 y=3- 4������ ‒ ������2有公共点，则 b 的取值范围是______．
16.
已知双曲线������：������������22
红球和白球中各取一个，共有 4×2=8 种， 白球和黑球中各取一个，共有 2×3=6 种， 根据分类计数原理，共有 12+8+6=26 中，
故选：D．
根据分类计数原理即可求出．
本题考查了分类计数原理，关键是分类，属于基础题
4.【答案】A
【解析】
解：设过点 A（1，1）的直线与椭圆相交于两点，E（x1，y1），F（x2，y2），