江苏省南通市高一上学期期中数学试卷
江苏省南通市高一上学期期中数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共10题；共20分)
1. （2分）(2018·南昌模拟) 已知集合 ,则（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分） (2020高三上·泸县期末) 已知定义在上的奇函数，满足时，
，则的值为（）
A . -15
B . -7
C . 3
D . 15
3. （2分） (2016高一上·宁波期中) 已知f（x）=ax7﹣bx5+cx3+2，且f（﹣5）=m，则f（5）的值为（）
A . 2﹣m
B . 4
C . 2m
D . ﹣m+4
4. （2分） (2017高二下·临淄期末) 若loga（a2+1）＜loga2a＜0，则a的取值范围是（）
A . 0＜a＜1
B . 0＜a＜
C . ＜a＜1
D . a＞1
5. （2分） (2017高三上·长沙开学考) 已知函数f（x）=x2﹣xlnx﹣k（x+2）+2在区间[ ，+∞）上有两个零点，则实数k的取值范围为（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分） (2016高一上·三亚期中) 在下列四组函数中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分）若函数，则f(f(10))=（）
A . lg101
B . 2
C . 1
D . 0
8. （2分） (2016高一上·佛山期中) 下列函数中，图象关于原点中心对称且在定义域上为增函数的是（）
A .
B . f（x）=2x﹣1
C .
D . f（x）=﹣x3
9. （2分）已知数列满足，且，则的值是（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分）上海世博会期间，某日13时至21时累计入园人数的折线图如图所示，那么在13时～14时，14时～15时，…，20时～21时八个时段中，入园人数最多的时段是（）
A . 13时～14时
B . 16时～17时
C . 18时～19时
D . 19时～20时
二、填空题 (共4题；共4分)
11. （1分） (2019高二下·平罗月考) 若幂函数y＝(m2－2m－2)x－4m－2在x∈(0，＋∞)上为减函数，则实数m的值是________．
12. （1分）若函数的定义域为，则的定义域为________．
13. （1分） (2016高一上·银川期中) 设指数函数f（x）=（a﹣1）x是R上的减函数，则a的取值范围是________．
14. （1分） (2016高三上·闵行期中) 已知偶函数f（x）对任意x∈R都有f（x+4）﹣f（x）=2f（2），则f （2018）=________．
三、解答题 (共5题；共45分)
15. （10分） (2019高一上·田阳月考) 计算：
（1）
（2）
16. （5分）记函数f（x）=log2（2x﹣3）的定义域为集合M，函数g（x）=的定义域为集合N．求：
（Ⅰ）集合M，N；
（Ⅱ）集合M∩N，∁R（M∪N）．
17. （10分） (2016高三上·北区期中) 设a∈R，f（x）= 为奇函数．
（1）求函数F（x）=f（x）+2x﹣﹣1的零点；
（2）设g（x）=2log2（），若不等式f﹣1（x）≤g（x）在区间[ ， ]上恒成立，求实数k 的取值范围．
18. （15分） (2018高一上·泰安月考) 已知函数 .
（1）做出函数图象；
（2）说明函数的单调区间（不需要证明）；
（3）若函数的图象与函数的图象有四个交点，求实数的取值范围.
19. （5分） (2018高一下·商丘期末) 已知函数
（Ⅰ）当且时，求的值域；
（Ⅱ）若 ,对任意的使得成立，求实数的取值范围.
参考答案一、选择题 (共10题；共20分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
三、解答题 (共5题；共45分) 15-1、
15-2、
16-1、
17-1、
17-2、
18-1、18-2、18-3、
19-1、。
江苏省南通一中高一(上)期中数学试卷含答案
∴ 푚2−푚−1 = 1，解得：푚
=
2或푚
=
是幂函数， −1，
푚 = 2时，푓(푥) = 푥，有交点不合题意， 푚 = −1时，푓(푥) = 푥14，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意， 故푚 = −1，
故选 A．
5.【答案】D
【解析】解：当0 < 푎 < 1时，函数푓(푥) = 푥푎(푥 ≥ 0)为增函数，且图象变化越来越平缓， 푔(푥) = −log푎푥的图象为增函数， 当1 < 푎时，函数푓(푥) = 푥푎(푥 ≥ 0)为增函数，且图象变化越来越快， 푔(푥) = −log푎푥的 图象为减函数， 综上：只有 D 符合 故选：D． 结合对数函数和幂函数的图象和性质，分当0 < 푎 < 1时和当푎 > 1时两种情况，讨论函 数푓(푥) = 푥푎(푥 ≥ 0) ，푔(푥) = log푎푥的图象，比照后可得答案． 本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握对数函数和幂函数的图象和性质，是解答的 关键．
C. (−∞,−141)
D. (−∞,−145]
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 函数푓(푥) = 푙표푔12(−푥2 +3푥−2)的单调递增区间是______．
14.
已知푦
=
4푥−3
⋅
2푥
+3 ，当
푥
∈
[0,2]时，其值域是______．
15. 已知定义在 R 上的函数푓(푥)满足푓(−푥) = 푓(푥)，且函数푓(푥)在(−∞,0)上是减函数，
第 4 页，共 17 页
22. 已知定义在区间(0, + ∞)上的函数푓(푥) = |푥 + 4푥−5|， (1)判定函数푔(푥) = 푥 + 4푥在[2, + ∞)的单调性，并用定义证明； (2)设方程푓(푥) = 푚有四个不相等的实根푥1푥2푥3푥4． ①证明：푥1푥2푥3푥4 = 16； ②在[1,4]是否存在实数 a，b，使得函数푓(푥)在区间[푎,푏]单调，且푓(푥)的取值范围 为[푚푎,푚푏]，若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
2022-2023学年江苏省南通中学高一年级上册学期期中数学试题【含答案】
2022-2023学年江苏省南通中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合，则的真子集的个数为（ ）{}3,4,5N =N A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【分析】集合的元素是个，则其真子集个数是个.n 21n-【详解】，则的真子集为：{}3,4,5N =N {}{}{}{}{}{},3,4,5,3,4,3,5,4,5.∅故选：C2．下列图象中，表示函数关系的有（ ）()y f x =A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据函数的概念逐一判断即可.【详解】根据函数的概念知，对于定义域内任意，都有唯一确定的和它对应，由图象可看出，x y 对于A ，当时，有两个值与其对应，不符合；0x =y 对于B ，当时，有两个值与其对应，不符合；0x =y 对于C ，符合定义域内任意，都有唯一确定的和它对应，可表示函数关系；x y 对于D ，当时，有无数个值与其对应，不符合.1x =y 故选：C .3．已知函数是幂函数，且时，单调递减，则的值为()()2231mm f x m m x +-=--()0,x ∈+∞()f x m （ ）A ．B ．1C ．2或D ．21-1-【答案】A【分析】利用幂函数的定义及性质列式计算并判断.【详解】∵是幂函数，()()2231mm f x m m x +-=--∴，即，解得，或，211m m --=()()210m m -+=2m =1m =-又当时，单调递减，∴，()0,x ∈+∞()f x 230m m +-<当时，，不合题意，舍去；2m =2330m m +-=>当，，符合题意，1m =-2330m m +-=-<故．1m =-故选：A ．4．镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（ ）A ．甲同学和乙同学B ．丙同学和乙同学C ．乙同学和甲同学D ．丙同学和甲同学【答案】C的大小关系即可得出答案.【详解】，．∵．102525==105232==2532<<又∵，，6339==6328==>∴．<<又因为镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄．故选：C.5．已知为实数，使“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）a []3,4x ∀∈0x a -<A ．B ．C ．D ．4a >5a >3a >4a ≥【答案】B【分析】根据全称量词命题的真假性求得的取值范围，然后确定其充分不必要条件.a 【详解】解：依题意，全称量词命题：为真命题，[]3,4,0x x a ∀∈-<所以，在区间上恒成立，所以，a x >[]3,44a >所以使“”为真命题的一个充分不必要条件是“”.[]3,4,0x x a ∀∈-<5a >故选：B 6．已知函数由下表给出，若，则()f x ()()()()()0134f f x f f f =+⋅0x =x1234()f x 1312A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】结合表格数据可得的值,进而可求得的值,即可求得.()()()134f f f +⋅()0f x 0x 【详解】由题可得,,则,故.()()()()()01341123f f x f f f =+⋅=+⨯=()02f x =04x =故选:D.【点睛】本题考查了函数值的求法,利用表格中的数据是解决本题的关键,属于基础题.7．已知函数的定义域为，则函数）()f x []22-,()()3g x f x =A ．B ．C ．D ．(]0,120,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【分析】根据题意列出不等式组，求解即可．【详解】要使有意义，则，即，解得，()g x 23210x x x -⎧⎪-⎨⎪⎩ ()232100x x x x -⎧⎪-⎨⎪≠⎩ 203x < 所以函数的定义域为．()g x 20,3⎛⎤⎥⎝⎦故选：D ．8．一次速算表演中，主持人出题：一个35位整数的31次方根仍是一个整数，下面我报出这个35位数，请说出它的31次方根.这个35位数是……未等主持人报出第一位数字，速算专家己经写出了这个数的31次方根：13.其实因为只有一个整数，它的31次方是一个35位整数.速算专家心中记住了右表（表中常用对数为近似值）.请你也尝试借助此表求一求：一个31位整数的64次方根仍是一个整数，这个64次方根是（ ）真数常用对数真数常用对数20.3011 1.0430.4812 1.0840.6013 1.1150.7014 1.1560.7815 1.1870.8516 1.2080.9017 1.2390.9518 1.26101.00191.28A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】由题意可知，两边取对数，然后计算出的取值范围，查表即可得出答案.3064311010a ≤<a 【详解】解：由题意得：，3064311010a ≤< ，6430lg 31101010a ∴≤<，即，6430lg 31a ∴≤<3064lg 31a ≤<故此，即，3031lg 6464a ≤<0.46875lg 0.484375a ≤<又因为为整数，故根据上表可知：，a 3a =故选：B二、多选题9．若不等式的解集是，则下列对于系数，，的结论中，正确的是20ax bx c ++>1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭a b c （ ）A ．B ．C ．D ．a<00c >0a b c ++>0a b c -+>【答案】ABC【分析】由一元二次不等式与一元二次方程根的关系及韦达定理可得b 、c 可用a 的代数式表示，检验各选项即可得结果.【详解】由题意知： 0013222122a a b b aa c a c a ⎧⎪<<⎧⎪⎪⎪⎪-+=-⇒=-⎨⎨⎪⎪=-⎪⎪⎩-⨯=⎪⎩A 项： ，即：A 项正确；a<0B 项： ，即：B 项正确；0c a =->C 项： ，即：C 项正确；3322a b c a a a a ++=--=->D 项：，即：D 项错误.3322a b c a a a a -+=+-=<故选：ABC.10．下列说法中，正确的是（ ）A ．集合和表示同一个集合{}1,2A =(){}1,2B =B ．函数()f x =()1,1-C ．若，，则用，表示2log 3a =2log 7b =a b 423log 561b a b +=++D ．已知是定义在上的奇函数，当时，，则当时，()f x ()(),00,∞-+∞ 0x >()211f x x x =+-0x <()211f x x x=--+【答案】BC【分析】对于A ，根据集合的定义即可判断；对于B ，利用复合函数的单调性即可判断；对于C ，利用对数的换底公式及运算性质即可判断；对于D ，利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式即可判断.【详解】对于A ，集合中元素为数，集合为点，可知表示的不是同一个集合，{}1,2A =(){}1,2B =所以A 选项错误；对于B，根据解得函数，2 320x x+-≥()f x=[]1,3-令则，232t x x=+-y=为二次函数，开口向下，对称轴为，所以函数在区间上单调232t x x=+-1x=232t x x=+-()1,1-递增，在区间上单调递减，()1,3函数为增函数，根据复合函数的单调性可知函数，y=()f x=()1,1-所以B选项正确；对于C，因为，，根据对数的换底公式可得2log3a=2log7b=，所以C选项正确；()()3222222422222222log78log56log7log8log7log23log56log42log76log7log6log7log3log21ba b⨯+++=====⨯+++++对于D，因为当时，，可令，则，所以x>()211f x xx=+-x<0x->，又因为是定义在上的奇函数，所以()()()221111f x x xx x-=-+-=---()f x()(),00,∞-+∞，与题干结果不符，所以D选项错误.()()211f f x xxx-=-+-+=故选：BC.11．已知，，且，则（）a>0b>281a b+=A．B C．D．281a b->-1≥164ab≤221168a b+≥【答案】ACD【分析】对于A，利用换元结合不等式的性质即可求解；对于B、C、D三个选项可以利用基本不等式证明求解.【详解】对于A，因为，所以，又因为，，281a b+=218a b=-0a>0b>所以，即，所以，2180a b=->18b<<28188116a b b b b-=--=-又因为，所以，可知A选项正确；18b<<1281a b-<-<对于B，因为，22812841222a b a ba b++=++=≤+=当且仅当，即，时等号成立，28a b=14a=116b=，可知B选项错误；1+≤对于C，因为，当且仅当，即，时281a b+=≥=164ab≤28a b=14a=116b=等号成立，可知C选项正确；对于D ，因为，所以，281a b +=142a b +=所以，()2222222224161616241162228a b a b a b a b a b a b ++++++⋅⋅+=≥==当且仅当，即，时等号成立，可知D 选项正确.4a b =14a =116b =故选：ACD.12．定义在上的函数满足，当时，，则以下()1,1-()f x ()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭10x -<<()0f x <结论正确的是（ ）A ．B ．为奇函数()00f =()f x C ．为单调减函数D ．为单调增函数()f x ()f x 【答案】ABD【分析】A.令求解判断；B.令求解判断；CD.令，，且，由0x y ==y x =-1x x =2y x =-12x x <判断其符号即可.()()()()121212121x x f x f x f x f x f x x ⎛⎫--=+-= ⎪-⎝⎭【详解】解：令得，即得，A 正确；0x y ==()()()000f f f +=()00f =在定义域范围内令得，即得是奇函数，B 正确；y x =-()()()00f x f x f +-==()f x 令，，且，1x x =2y x =-12x x <所以，()()()()121212121x x f x f x f x f x f x x ⎛⎫--=+-= ⎪-⎝⎭又且，，120x x -<111x -<<211x -<<所以，即，()()()()1221121110x x x x x x ---=+->1212101x x x x --<<-所以，即()()120f x f x -<()()12f x f x <所以在上是单调增函数，D 正确，C 错误．()f x ()1,1-故选：ABD ．三、填空题13．计算：________.2log 312-⎛⎫=⎪⎝⎭【答案】3【分析】根据指数幂运算法则、对数恒等式运算即可.【详解】解：.22log 3log 31232-⎛⎫== ⎪⎝⎭故答案为：3.14．已知函数，则________.()2231f x x =+()f x =【答案】2314x +【分析】用换元法求解析式,令,得,代入,即可得到的解析式2t x =2tx =2(2)31f x x =+()f x 【详解】解：令,得,代入得2t x =2t x =2(2)31f x x =+223()31124t f t t ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭即的解析式为()f x 23()14f x x =+故答案为：2314x +15．已知为正实数，则的最小值为__________．,x y 162y x x x y ++【答案】6【分析】将原式变形为，结合基本不等式即可求得最值.162y yx x ++【详解】由题得，162y xx x y+=+162y yx x ++设，则.(0)y t t x =>1616()22282622f t t t t t =+=++-≥=-=++当且仅当时取等.2t =所以的最小值为6.162y xx x y ++故答案为：6四、双空题16．已知函数，其中，()22,25,x x m f x x mx m x m ⎧≤=⎨-+>⎩0m >（1）若函数在单调，则实数的范围是__________；()f x ()0,∞+m （2）若存在互不相等的三个实数，，，使得，则函数1x 2x 3x ()()()123f x f x f x ==的值域为__________.y m =【答案】(]0,3(),1-∞-【分析】（1）利用单调性的定义进行处理.（2）利用函数图象以及换元法来处理.【详解】（1）当时，，在单调递增，当时，，其x m ≤()2f x x=(0,)m x >m ()225f x x mx m =-+对称轴为，所以在x m =()f x (,)m +∞上单调递增，若函数在单调，则，()f x ()0,∞+22252||2m m m m m -+≥=解得.03m <≤（2）若存在互不相等的三个实数，，，使得，()f x 1x 2x 3x ()()()123f x f x f x ==则的图象如图所示：()f x则，即，解得或(舍去).222||225m m m m m =>-+230m m ->3m >0m <对于函数，令，，所以，y m =t =2t >22(1)1y t t t t =--=-++其对称轴为，所以在上单调递减，所以，则函数12t =21y t t =-++()2,+∞22211y <-++=-的值域为.y m =(),1-∞-故答案为：，.(]0,3(),1-∞-五、解答题17．（1）求的值；1103488127⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（2）已知，求的值.114x x -+=1122224200x x x x --+++-【答案】（1）；（2）8343-【分析】（1）利用指数幂的运算性质化简计算即可；（2）把平方，结合即可求得，利用可得1122x x -+114x x -+=1122x x -+()22212x x x x --+=+-的值，代入所求的式子即可得答案．22x x -+【详解】（1）；()1134134134828811273233133⨯⎛⎫=-+=-+=⎛⎫-+ ⎝⎭⎪⎭⎪⎝（2），，，211122216x x x x --⎛⎫+++= ⎪⎝⎭= 11220x x ->+11224x x -∴+=，．()22212194x x x x--+=+-=11222242344419420000x x x x --+∴-+=-=-++18．已知命题：对任意实数，不等式都成立，命题：关于的方程p x 21202mx x -+>q x 无实数根.若命题，有且只有一个是真命题，求实数的取值范围.()244210x m x +-+=p qm 【答案】(][)1,23,⋃+∞【分析】先求出真、真时的取值范围，根据题设条件可得真假或假真，从而可求出p qm p qp q实数的取值范围.m 【详解】若真，对任意实数，不等式都成立.p x 21202mx x -+>∴当时，显然对于任意实数，不等式不都成立0m =x 1202x -+>当时，，解得0m ≠4200m m -<⎧⎨>⎩m>2∴真时，；p m>2若真，则方程无实数根，q ()244210x m x +-+=∴，()2162160m --<∴真时，.q13m <<∵命题、中有且仅有一个真命题，p q∴当真假时，且，故实数m 的取值范围是：；p qm>2(][),13,m ∈-∞+∞ 3m ≥当假真时，且，故实数m 的取值范围是：；p q2m ≤13m <<12m <≤综上，实数的取值范围为m (][)1,23,⋃+∞19．已知函数是定义域上的奇函数.()21x bf x x +=-()1,1-（1）确定的解析式；()f x （2）用定义证明：在区间上是减函数；()f x ()1,1-（3）解不等式.()()10f t f t -+<【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.()21x f x x =-1,12⎛⎫⎪⎝⎭【解析】（1）利用奇函数的定义，经过化简计算可求得实数，进而可得出函数()()f x f x -=-b 的解析式；()y f x =（2）任取、，且，作差，化简变形后判断的符号，1x ()21,1x ∈-12x x <()()12f x f x -()()12f x f x -即可证得结论；（3）利用奇函数的性质将所求不等式变形为，再利用函数的定义域和单()()1f t f t -<-()y f x =调性可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围.t t 【详解】（1）由于函数是定义域上的奇函数，则，()21x bf x x +=-()1,1-()()f x f x -=-即，化简得，因此，；()2211x b x b x x -++=-+-+0b =()21xf x x =-（2）任取、，且，即，1x ()21,1x ∈-12x x <1211x x -<<<则，()()()()()()()()()()()()2212212112121222221211221211111111111x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x x x ----+-=-==---+-+--，，，，，，.1211x x -<<< 210x x ∴->1210x x +>110x -<110x +>210x -<210x +>，，因此，函数在区间上是减函数；()()120f x f x ∴->()()12f x f x ∴>()y f x =()1,1-（3）由（2）可知，函数是定义域为的减函数，且为奇函数，()y f x =()1,1-由得，所以，解得.()()10f t f t -+<()()()1f t f t f t -<-=-111111t t t t ->-⎧⎪-<-<⎨⎪-<<⎩112t <<因此，不等式的解集为.()()10f t f t -+<1,12⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数、利用定义法证明函数的单调性以及函数不等式的求解，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.20．某地拟建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓如图所示，曲线是以点为圆心的AB E 圆的四分之一部分，其中，轴，垂足为；曲线是抛物线()()0,025E t t <≤AF x⊥F BC 的一部分；，垂足为，且恰好等于的半径，假定拟建体育馆()2500y ax a =-+>CD OD ⊥D CD E 的高（单位：米，下同）.50OB =(1)试将用和表示；DF a t (2)若要求体育馆侧面的最大宽度不超过75米，求的取值范围.DF a 【答案】(1)50DF t =-()025t <≤(2)1,100⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据抛物线方程求得，从而可得半径，即，进而求解出点坐标()0,50B 50CD t =-C 后，可知；50DF t =-()025t <≤（2）根据题意，恒成立，即恒成立，再根据基本不等式求最5075DF t =-≤162550a t t ≥++值即可得答案.【详解】（1）解：由抛物线方程得：，()0,50B 50BE t∴=-∵，均为圆的半径，BE CD ，圆的半径为：，50CD t ∴=-E 50t -∴，入抛物线方程可得，解得(),50C C x t -25050Ct ax -=-+C x =∵曲线是以点为圆心的圆的四分之一部分，其中，轴，垂足为，AB E ()0,E t AF x ⊥F ∴，50OF AE t ==-∴.50DF OF OD t =+=-()025t <≤（2）解：∵要求体育馆侧面的最大宽度不超过75米，DF ，整理可得：，5075DF t ∴=-()216252550ta t t t ≥=+++，(]0,25t ∈（当且仅当时取等号），62550t t ∴+≥=25t = ，1162510050t t ∴≤++.1100a ∴≥∴的取值范围为：a 1,100⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭21．已知集合，集合.{A x y =={}220B x x x a a =-+-<(1)若，求的取值范围；A B A ⋃=a (2)在中有且仅有两个整数，求的取值范围.A B ⋂a 【答案】(1)；[0,1](2).(1,2][1,0)- 【分析】（1）根据二次根式的性质，结合一元二次不等式的解法、集合并集的性质分类讨论进行求解即可；（2）根据集合交集的定义，结合题意进行求解即可.【详解】（1）由，所以.22002x x x -≥⇒≤≤[0,2]A =由，220()[(1)]0x x a a x a x a -+-<⇒---<因为，所以，A B A ⋃=B A ⊆当时，即时，不等式为，显然该不等式解集为空集，1a a =-12a =21()02x -<即，显然成立；B =∅B A ⊆当时，即时，，1a a >-12a >(1,)B a a =-要想，只需，而，所以；B A ⊆0112a a a ≤-⎧⇒≤⎨≤⎩12a >112a <≤当时，即时，，1a a <-12a <(,1)B a a =-要想，只需，而，所以，B A ⊆0012a a a ≤⎧⇒≥⎨-≤⎩12a <102a ≤<综上所述：的取值范围为；a [0,1]（2）由（1）可知：当时，，此时不符合题意；12a =B =∅A B ⋂=∅由（1）可知：当时，，12a >(1,)B a a =-要想中有且仅有两个整数，只需，或，A B ⋂1012a a -<⎧⎨<≤⎩0112a a ≤-<⎧⎨>⎩由，显然，所以，101212a a a -<⎧⇒<≤⎨<≤⎩12a >12a <≤由，0112a a a ≤-<⎧⇒∈∅⎨>⎩所以；12a <≤由（1）可知：时，，12a <(,1)B a a =-要想中有且仅有两个整数，只需，或，A B ⋂0112a a <⎧⎨<-≤⎩0112a a ≤<⎧⎨->⎩由，而，即，010112a a a <⎧⇒-≤<⎨<-≤⎩12a <10a -≤<由，0112a a a ≤<⎧⇒∈∅⎨->⎩所以，10a -≤<综上所述：的取值范围为.a (1,2][1,0)- 【点睛】关键点睛：根据一元二次方程两根的大小确定一元二次不等式的解集，分类讨论是解题的关键.22．对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是D ()y f x =[],m n D ⊆()f x [],m n 单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”．[],m n ()f x [],m n [],m n (1)写出函数的一个“优美区间”；()212f x x=(2)求证：函数不存在“优美区间”；()64g x x =+(3)已知函数有“优美区间”，当变化时，求出的最()()()221R,0a a x y h x a a a x+-==∈≠[],m n a n m -大值．【答案】(1)[0,2](2)答案见解析【分析】（1）结合“优美区间”的定义，即可写出函数的一个“优美区间”；()212f x x=（2）若函数存在“优美区间”，可得函数在上单调递减，从而可得，联立可推()g x [,]m n ()()g m n g n m =⎧⎨=⎩出矛盾，即可证明结论；（3）函数有“优美区间”，结合单调性可得，说明是方程()h x ()()h m mh n n =⎧⎨=⎩,m n 的两个同号且不等的实数根，结合根与系数的关系可求得的关系，进而222()10a x a a x -++=,m n 可求得的最大值．n m -【详解】（1）是的一个“优美区间”，证明如下：[0,2]21()2f x x=在区间上单调递增，212y x =[0,2]又，，∴的值域为，(0)0f =(2)2f =212y x =[0,2]∴是的一个“优美区间”．[0,2]21()2f x x=（2）设是函数的定义域的子集．[,]m n ()g x 由，可得或，0x ≠[,](,0)m n ∞⊆-[,](0,)m n ∞⊆+∴函数在上单调递减．6()4g x x =+[,]m n 若是函数的“优美区间”，则，[,]m n ()g x 6464n m mn ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得，，则，66n m m n -=-6()n m n m mn -=-，6,6,n m mn n m >∴=∴= 则，显然等式不成立，664m m +=∴函数不存在“优美区间”．6()4g x x =+（3）的定义域为，是函数的定义域的子集，()h x {|0}x x ≠[,]m n ()h x 则或，[,](,0)m n ∞⊆-[,](0,)m n ∞⊆+而函数在上单调递增，()()222111a a x y x h x a a xa a +-==+=-[,]m n 若是函数的“优美区间”，则，[,]m n ()h x ()()h m mh n n =⎧⎨=⎩∴是方程，即的两个同号且不等的实数根．,m n 211a x a a x +-=222()10a x a a x -++=，∴同号，21mn a => ,m n 只需，解得或，2222()4(3)(1)0a a a a a a ∆=+-=+->1a >3a <-，，211,a m n mn a a++== n m>，n m ∴-====∴当时，3a =n m -。
江苏省南通市2022-2023学年高一上学期数学期中考试试卷(含答案)1
江苏省南通市2022-2023学年高一上学期数学期中考试试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．已知集合A＝{U0<<2}，B＝{U1<<5}，则A∪B＝（）A．{U0<<5}B．{U2<<5}C．{U0<<2}D．{U<2或>5}2．“0<<2”是“2−−6<0”的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知f（2x﹣1）＝4x+6，则f（5）的值为（）A．26B．24C．20D．184．《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，可以直接通过比较线段OF与线段CF的长度完成的无字证明为（）A．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0）B．r2>B(>0，>0)C．r2≤+a＞0，b＞0）D．2B r≤B（a＞0，b＞0）5．函数=1+−1−2的值域为（）A．(−∞，32]B．(−∞，32)C．[32，+∞)D．(32，+∞) 6．函数op=1r1+25−2（−1<<52）的最小值是（）A．76B．87C．98D．657．已知f（x）为偶函数，且函数g（x）＝xf（x）在[0，+∞）上单调递减，则不等式（1﹣2x）f（2x﹣1）+xf （x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，13）B．（﹣∞，1）C．（，+∞）D．（1，+∞）8．对任意正数x，y，不等式x（x+y）≤a（x2+y2）恒成立，则实数a的最小值为（）A B．2﹣1C．2+1D二、多选题9．已知集合U是全集，集合M，N的关系如图所示，则下列结论中正确的是（）A．∩∁=∅B．∪∁=C．∁∪∁=∁D．∁∩∁=∁10．已知定义在R上的函数f（x），下列说法正确的有（）A．若f（2）＞f（1），则f（x）在R上不是减函数B．若f（x+1）是偶函数，则f（x）图象关于x＝1对称C．若f（﹣1）＝f（1），则f（x）是偶函数D．若f（x）满足任意x1≠x2，都有o1)−o2)1−2>0，则f（x）在R上是增函数11．已知3=5=15，则a，b满足的关系有（）A．1+1=1B．B>4C．2+2<4D．(+1)2+(+1)2>1612．给定区间D，对于函数f（x）与g（x）及任意x1，x2∈D（其中x1＞x2），若不等式f（x1）﹣f（x2）＞g （x1）﹣g（x2）恒成立，则称f（x）对于g（x）在区间D上是“渐先函数”.已知函数f（x）＝2ax2+2ax对于函数g（x）＝x+a在区间[a，a+1]上是“渐先函数”，则实数a的值可能是（）A．1B．0C．﹣1D．﹣2三、填空题13．若函数op=f(x)的定义域为.14．已知∃x∈R，使得x2﹣2x﹣m＜0是真命题，则实数m的取值范围是.15．为了落实“提速降费”的要求，某市移动公司欲下调移动用户的消费资费，已知该公司共有移动用户10万人，人均月消费50元.经测算，若人均月消费下降x%（x为正数），则用户人数会增加8万人.若要保证该公司月总收入不减少，则x的取值范围为.16．已知函数op=|2−B+2|+，∈，若op在区间[−1，1]上的最大值是3，则实数的最大值是.四、解答题17．（1）已知+−1=6(>1)，求12−−12的值；（2）log232+(1+lg2)lg5+(lg2)2−4log4318．已知不等式B2−3+2>0的解集为{U<1或>V（其中>1）．（1）求实数，的值；（2）解关于的不等式K14B−≥1．19．已知幂函数f（x）＝（m2﹣4m+4）xm﹣2在（0，+∞）上单调递减.（1）求f（x）的解析式；（2）若正数a，b满足2a+3b＝4m，若不等式3+2≥n恒成立，求实数n的最大值.\20．已知函数op=2r1，∈(0，+∞)（1）判断函数的单调性，并用定义法证明；（2）若o2−1)>o1−p，求实数的取值范围.21．已知函数op=2+，∈(0，+∞)，其中>0.（1）若op的图象与直线=2没有公共点，求实数a的取值范围；（2）当=1时，函数op=12(p+op的最小值为−8，求实数m的值.22．函数=op的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数=op为奇函数，可以将其推广为：函数=op的图象关于点o，p成中心对称图形的充要条件是函数=o+p−为奇函数，给定函数op=2+K6r1.（1）求op的对称中心；（2）已知函数op同时满足：①o+1)−1是奇函数；②当∈[0，1]时，op=2−B+.若对任意的1∈[0，2]，总存在2∈[1，5]，使得o1)=o2)，求实数m的取值范围.答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】由题设∪={U0<<2}∪{U1<<5}={U0<<5}.故答案为：A【分析】根据并集的定义进行计算可得答案.2．【答案】B【解析】【解答】解不等式2−−6<0，得−2<<3而集合={U0<<2}是集合={U−2<<3}的真子集，所以“0<<2”是“2−−6<0”的充分而不必要条件故答案为：B【分析】利用一元二次不等式的解法可得2−−6<0的解集，再结合充分条件、必要条件的定义可得答案.3．【答案】D【解析】【解答】由于f（2x﹣1）＝4x+6，则f（5）＝f（2×3﹣1）＝4×3+6＝18.故答案为：D.【分析】可把f(5)中的5拆成2×3−1的形式，即可利用已知关系式求出f（5）的值.4．【答案】C【解析】【解答】解：由图形可知，O=12B=12(+p，O=12(+p−=12(−p，在Rt△OCF中，由勾股定理可得，CF=∵CF≥OF，≥12(+p，故答案为：C.【分析】由图形可知，O=12B=12(+p，O=12(−p，在Rt△OCF中，由勾股定理可求出CF，结合CF≥OF即可求出答案.5．【答案】A【解析】【解答】设1−2=，则≥0，=1−22，所以=1+1−22−=12(−2−2+3)=−12(+1)2+ 2，因为≥0，所以≤32，所以函数=1+−1−2的值域为(−∞，32].故答案为：A．【分析】根据已知条件，结合换元法以及二次函数的性质，即可求出答案.6．【答案】B【解析】【解答】由−1<<52，可得+1>0，5−2>0，op=1+1+25−2=22+225−2=27[(2+2)+(5−2p](12+2+15−2) =27(2+5−22r2+2r25−2)≥27(2+=87，仅当5−22r2=2r25−2，即=34时等号成立，故op的最小值为87.故答案为：B【分析】由op=1r1+25−2=22r2+25−2=27[(2+2)+(5−2p](12r2+15−2)展开后运用基本不等式可求出答案.7．【答案】B【解析】【解答】f（x）为偶函数，g（x）＝xf（x）为奇函数，又g（x）在[0，+∞）上单调递减，g（x）在R上单调递减.∴由（1﹣2x）f（2x﹣1）+xf（x）＜0，得（1﹣2x）f（1﹣2x）+xf（x）＜0.∴g（1﹣2x）十g（x）＜0，∴g（1﹣2x）＜﹣g（x）＝g（﹣x），∴1﹣2x＞﹣x，解得x＜1，即x∈（﹣∞，1）.故答案为：B.【分析】由题意可得g(x)=xf(x)为奇函数，且g(x)在R上单调递减，原不等式可化为g（1-2x）＜g（-x）即为1-2x＞-x，解不等式可得所求解集.8．【答案】D【解析】【解答】∵x＞0，y＞0，∴x（x+y）≤a（x2+y2）⇔xy≤（a﹣1）x2+ay2⇔(−1)()2−+≥0，令=>0，f（t）＝（a﹣1）t2﹣t+a，依题意，−1>0−14(K1)≥0，解得o12(K1)，即>1∴实数a故答案为：D.【分析】利用换元法结合二次函数的性质可求出实数a的最小值.9．【答案】B,D【解析】【解答】由韦恩图可知，∩∁≠∅，∪∁=，∁∪∁=∁，∁∩∁=∁，AC不符合题意，BD符合题意，故答案为：BD【分析】利用韦恩图结合集合间的基本运算，逐项进行判断，可得答案.10．【答案】A,B,D【解析】【解答】A：若op在R上是减函数，显然由2>1⇒o2)>o1)，不可能有o2)>o1)成立，所以op在R上不是减函数，因此A项正确；B：因为o+1)是偶函数，所以函数o+1)的图象关于轴对称，因为函数o+1)的图象向右平移1个单位得到op图象，所以op图象关于=1对称，B项正确；C：若o−1)=o1)=0，则函数op有可能是奇函数，不是偶函数，C项错误；D：o1)−o2)1−2＞0的含义是分子分母同号，即op中，自变量越大，函数值也大，所以op在R上是增函数，D项正确.故答案为：ABD.【分析】根据函数单调性的性质，函数奇偶性的性质，函数图象变换的性质逐项进行判断，可得答案. 11．【答案】A,B,D【解析】【解答】由3=5=15，则=log315>0，=log515>0，A：1+1=1log315+1log515=log153+log155=log1515=1，正确；B：由A知：1+1=1且>0，>0，≠，所以1=1+1>B>4，故正确，C：由A、B知：+=B，而2+2=(+p2−2B=(B)2−2B=(B−1)2−1>8，故错误，D：由上，(+1)2+(+1)2=2+2+2(+p+2=(B)2+2>18>16，故正确.故答案为：ABD.【分析】先把指数式化为对数式，再利用对数的运算性质可判断A；由A可知1+1=1，再结合基本不等式可判断B、C、D.12．【答案】A,D【解析】【解答】根据题意知，要使函数f（x）＝2ax2+2ax对于函数g（x）＝x+a在区间[a，a+1]上是“渐先函数”，则a≠0，不等式f（x1）﹣f（x2）＞g（x1）﹣g（x2）在[a，a+1]上恒成立，∵x1＞x2，∴o1)−o2)1−2在[a，a+1]上恒成立，1−2＞o1)−o2)∴'(p≥'(p，即4ax+2a≥1在[a，a+1]上恒成立，当a＞0时，只需（4ax+2a）min＝4a2+2a≥1，即4a2+2a﹣1≥0，解得当a＜0时，只需（4ax+2a）min＝4a（a+1）+2a≥1，即4a2+6a﹣1≥0，解得，综上可得，故实数a的值可能是1，﹣2.故答案为：AD.【分析】由已知及导数的定义可知o1)−o2)1−2＞o1)−o2)1−2在[a，a+1]上恒成立，即f'(x)>g'(x)，分别对已知函数求导，求出a的取值范围，即可得实数a的值.13．【答案】[﹣1，0)∪(0，1]【解析】【解答】∵op=1−2|U∴1−2≥0|U≠0，∴−1≤≤1≠0∴﹣1≤x<0或0<x≤1即f(x)的定义域为[﹣1，0)∪(0，1]故答案为：[﹣1，0)∪(0，1]【分析】由已知可得1−2≥0|U≠0，解不等式组可得f(x)的定义域.14．【答案】（﹣1，+∞）【解析】【解答】解：因为∃x∈R，使得x2﹣2x﹣m＜0是真命题，即m＞x2﹣2x在R上有解，只需m＞（x2﹣2x）min，又函数x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1≥﹣1，所以m＞﹣1，即实数m的范围为（﹣1，+∞），故答案为：（﹣1，+∞）.【分析】由已知可得m＞x2-2x在R上有解，只需m＞（x2-2x）min，再根据二次函数的性质求出最小值，由此即可求解出实数m的取值范围.15．【答案】(0，20]【解析】【解答】设该公司下调消费投资后的月总收入为y元，则=50(1−100)(10+8)，要保证该公司月总收入不减少，则50(1−100)(10+8)≥10×50，解得0≤≤20，∵x为正数，∴x的取值范围为(0，20].故答案为：(0，20]【分析】设该公司下调消费投资后的月总收入为y元，则=50(1−100)(10+8)，进而有50(1−100)(10+ 8)≥10×50，求解出x的取值范围.16．【答案】0【解析】【解答】因为op=|2−B+2|+，当2−4≤0，即−2≤≤2时，2−B+2≥0，op=2−B+2+，此时对称轴为=2∈[−1，1]，所以op max=max{o−1)，o1)}，即op max=max{3+2，3}，所以3+2≤3，解得≤0，所以−2≤≤0；当2−4>0，即<−2或>2时，2−B+=0有两个根，1，2，设1<，此时对称轴为=2<−1或=2>1，当即op max=max{3+2，3}所以3+2≤3，解得≤0，所以<−2；当2>1，即>2时，op max=max{o−1)，o1)}，即op max=max{3+2，3}所以3+2≤3，解得≤0，不满足>2，故无解.综上所述，的取值范围是(−∞，0]，故的最大值为0.故答案为：0【分析】分−2≤≤2，<−2或>2三种情况，结合二次函数的性质分类讨论，求出a的范围即可求出实数的最大值.17．【答案】（1）解：由题意得(12−−12)2=+1−2=4，而>1，则12−−12>0，12−−12=2（2）解：原式=13+(1+lg2)(1−lg2)+(lg2)2−3=13+1−3=−53【解析】【分析】(1)利用有理数指数幂的运算性质，结合完全平方公式求解出12−−12的值；(2)利用对数的运算性质求解即可.18．【答案】（1）解：由题意可得B2−3+2>0的解集为{U<1或>V，则>0且1和为方程B2−3+2=0的两个根．则1+=31×=2，解得=1=2．（2）解：不等式K14B−≥1化为K14K2≥1，转化为3K12K1≤0，即(3−1)(2−1)≤02−1≠0所以13≤<12，解集为{U13≤<12}．【解析】【分析】（1）由题意可得>0且1和为方程B2−3+2=0的两个根，由韦达定理列出关于a、b的方程组求解出实数，的值；（2）不等式K14B−≥1转化为3K12K1≤0，求解分式不等式，可得不等式的解集.19．【答案】（1）解：幂函数f（x）＝（m2﹣4m+4）xm﹣2在（0，+∞）上单调递减，所以2，解得m＝1，所以f （x ）的解析式为f （x ）＝x ﹣1.（2）解：正数a ，b 满足2a+3b ＝4m ，则a ＞0，b ＞0，2a+3b ＝4，所以3+2＝14（3+2）（2a+3b ）＝14（12+4+9）≥6，当且仅当4＝9，即a ＝1，b ＝23时等号成立，故3+2的最小值为6，又不等式3+2≥n 恒成立，所以n≤6，即实数n 的最大值6.【解析】【分析】（1）利用幂函数的定义和单调性列出方程，求出f （x ）的解析式；（2）由已知条件可得a ＞0，b ＞0，2a+3b ＝4，利用基本不等式求出3+2的最小值，即可得实数n 的最大值.20．【答案】（1）解：op =2r1=2(r1)−2r1=2+−2r1，∈(0，+∞)，该函数由op =−2向左平移一个单位，再向上平移2个单位即可得到，如图：由图可知，函数在∈(0，+∞)单增，现证明如下：设0<1<2，则o 1)=2+−21+1，o 2)=2+−22+1，o 2)−o 1)=21+1−22+1=2(2−1)(1+1)(2+1)，∵0<1<2，2−1>0，o 2)−o 1)>0，op =2r1在∈(0，+∞)上单调递增（2）解：若o2−1)>o1−p ，由op =2r1在∈(0，+∞)上单调递增，得2−1>01−>02−1>1−，即23<<1，则实数的取值范围为23<<1【解析】【分析】（1）采用分离常数法，结合反比例函数图象的平移法则进行预判，再采用定义法证明即可；（2）op =2r1，∈(0，+∞)根据增减性判断，应满足2−1>01−>02−1>1−，化简求值即可.21．【答案】（1）解：由题意2+=2在∈(0，+∞)上无解，即22−+2=0在∈(0，+∞)上无解，由2=−22，∈(0，+∞)，而−22=−2(−14)2+18≤18，所以>116，所以实数a的取值范围为(116，+∞).（2）解：当=1时op=2+1，则1op=+1，所以op=12(p+op=2+12+o+1)=(+1)2+o+1)−2，令=+1，又∈(0，+∞)，故≥2（仅当=1时等号成立）所以=2+B−2在[2，+∞)上的最小值为−8，又=2+B−2的图象开口向上，对称轴为=−2，当−2≤2，即≥−4时，=2+B−2在[2，+∞)上单调递增，所以min=4+2−2=2+2=−8，解得=−5，不满足≥−4，故无解；当−2>2，即<−4时，=2+B−2在[2，−2)上单调递减，在(−2，+∞)上单调递增，所以min=24−22−2=−24−2=−8，解得=±26，又<−4，故=−26，综上所述，=−26.【解析】【分析】(1)由题意可得22−+2=0在∈(0，+∞)上无解，由二次函数的性质求出实数a的取值范围；(2)由题意可得op=(+1)2+o+1)−2，令=+1，则有t≥2，将问题转化为=2+B−2在[2，+∞)上的最小值为−8，由二次函数的性质讨论函数的单调性和对应的最小值即可求得m的值. 22．【答案】（1）解：op=2+K6r1=(r1)2−(r1)−6r1=−6r1，设op的对称中心为(，p，由题意，得函数=o+p−为奇函数，则o−+p−=−o+p+，即o+p+o−+p−2=0，即(+p−6rr1+(−+p−6−rr1−2=0，整理得(−p2−[(−p(+1)2−6(+1)]=0，所以−=(−p(+1)2−6(+1)=0，解得=−1，=−1，所以函数op的对称中心为(−1，−1)；（2）解：因为对任意的1∈[0，2]，总存在2∈[1，5]，使得o1)=o2)，所以函数op的值域是函数op的值域的子集，因为函数=，=−6r1在[1，5]上都是增函数，所以函数op=−6r1在[1，5]上是增函数，所以op的值域为[−2，4]，设函数op的值域为集合，则原问题转化为⊆[−2，4]，因为函数o+1)−1是奇函数，所以函数op关于(1，1)对称，又因为o1)=1，所以函数op恒过点(1，1)，当2≤0，即≤0时，op在[0，1]上递增，则函数op在(1，2]上也是增函数，所以函数op在[0，2]上递增，又o0)=，o2)=2−o0)=2−，所以op的值域为[，2−p，即=[，2−p，又=[，2−p⊆[−2，4]，2−≤4≤0，解得−2≤≤0，所以≥−2当2≥1即≥2时，op在[0，1]上递减，则函数op在(1，2]上也是减函数，所以函数op在[0，2]上递减，则=[2−，p，又=[2−，p⊆[−2，4]，2−≥−2≤4，解得2≤≤4，所以≥2当0<2<1即0<<2时，op在(0，2)上递减，在(2，1)上递增，又因函数op过对称中心(1，1)，所以函数op在(1，2−2)上递增，在(2−2，2)上递减，故此时op min=min{o2)，o2)}，op max=max{o0)，o2−2)}，要使⊆[−2，4]，只需要o2)=2−o0)=2−≥−2o2)=−24+≥−2o0)=≤4o2−2)=2−o2)=24−+2≤40<<2，解得0<<2，综上所述实数m的取值范围为[−2，4].【解析】【分析】(1)设op的对称中心为(，p，根据对称性得到关于a，b的方程，解方程求出op的对称中心；(2)求出op的值域为[−2，4]，设函数op的值域为集合，则问题可转化为⊆[−2，4]，分m≤0，m≥2和0<<2三种情况讨论，从而可求出实数m的取值范围.。
2023-2024学年江苏省南通市如东县高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省南通市如东县高一（上）期中数学试卷一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分。
在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合A ＝{x |﹣3＜x ＜3}，B ＝{x |1＜x ＜4}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣3，4）B ．（﹣3，1）C ．（1，3）D ．（1，4）2．已知a ∈R ，则“a ＞0”是“a ＞1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．函数f(x)=x+13x−2(x −1)0的定义域为（ ）A ．(23，+∞) B ．[23，1)∪(1，+∞) C ．(23，1)∪(1，+∞)D ．[23，+∞]4．函数f （2x +1）＝x 2﹣3x +1，则f （3）＝（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．25．R 上的函数y ＝f （x ）满足以下条件：①f （﹣x ）＝f （x ），②对任意x 1，x 2∈（﹣∞，0]，当x 1＞x 2时都有f （x 1）＞f （x 2），则f （2），f （π），f （﹣3）的大小关系是（ ） A ．f （π）＞f （2）＞f （﹣3） B ．f （π）＞f （﹣3）＞f （2）C ．f （π）＜f （2）＜f （﹣3）D ．f （π）＜f （﹣3）＜f （2）6．一个容器装有细沙acm 3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，tmin 后剩余的细沙量为y ＝ae bt （cm 3），经过4min 后发现容器内还有一半的沙子，若当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，则前后共需经过的时间为（ ） A ．8minB ．12minC ．16minD ．18min7．设0＜m ＜14，若t =1m +41−4m ，则t 的最小值为（ ） A ．32B ．16C ．8D ．48．已知函数f(x)={2x +1，x ≤1x 2−1，x ＞1，若n ＞m ，且f （n ）＝f （m ），设t ＝n ﹣m ，则t 的最小值为（ ）A ．1B ．.√5−1C ．.1712D ．.43二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省南通市高一上学期数学期中考试试卷
江苏省南通市高一上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知函数，则（）A . 是偶函数，且在R上是增函数B . 是奇函数，且在R上是增函数C . 是偶函数，且在R上是减函数D . 是奇函数，且在R上是减函数2. （2分） (2018高二上·大连期末) 在等差数列中，则（）A . 7B . 8C . 9D . 103. （2分） (2019高一上·仁寿期中) 设集合，则（）A .B .C .D .4. （2分）设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（）A . {1，3}B . {3，5}C . {5，7}D . {1，7}5. （2分） (2018高一下·南平期末) 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均属章》有如下问题：今有五人分六钱，令前三人所得与后二人等，各人所得均增，问各得几何？其意思是“已知”五个人分重量为6钱（“钱”是古代的一种重量单位）的物品，三人所得钱数之和与二人所得钱数之和相同，且每人所得钱数依次成递增等差数列，问五个人各分得多少钱的物品？”在这个问题中，分得物品的钱数是（）A . 钱B . 钱C . 钱D . 钱6. （2分） (2017高一上·焦作期末) 已知集合A={x|ax2﹣5x+6=0}，若2∈A，则集合A的子集个数为（）A . 4B . 3C . 2D . 17. （2分）已知定义在上的函数是周期为2的偶函数,当时,,如果直线与曲线恰有两个交点,则实数的值是（）A . 0B .C . 或D . 或8. （2分）(2019·滨海新模拟) 已知全集，集合，，那么等于（）A .B .C .D .9. （2分） (2020高二下·莆田期中) 已知函数在处可导，若，则（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高一上·林芝期中) 若，则（）A .B .C .D .11. （2分） (2019高一上·林芝期中) 函数y＝x2－6x＋10在区间(2，4)上是（）A . 递减函数B . 递增函数C . 先递减再递增D . 先递增再递减12. （2分）如果集合A={x|ax2+2x+1=0}中只有一个元素，则a的值是（）A . 0B . 0 或1C . 1D . 不能确定二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一上·新余月考) 若函数为幂函数，则 ________．14. （1分）(2020·银川模拟) 已知（4，﹣1），（2，t2﹣1），若 5，则t＝________.15. （1分）(2019·和平模拟) 如果（表示虚数单位），那么________.16. （1分）已知函数是定义在上的奇函数，则 ________.三、解答题 (共6题；共45分)17. （10分） (2018高二下·邱县期末) 已知数列是等比数列，其前项和为，满足.（1）求数列的通项公式；（2）是否存在正整数，使得？若存在，求出符合条件的的最小值；若不存在，说明理由.18. （10分） (2019高一上·林芝期中) 求下列各式的值：（1）；（2） .19. （10分） (2019高一上·林芝期中) 下列函数的定义域：（1）；（2） .20. （5分）已知函数，（Ⅰ）证明f（x）在[1，+∞）上是增函数；（Ⅱ）求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值．21. （5分） (2019高一上·林芝期中) 已知集合，集合，若，求实数的取值集合．22. （5分） (2019高一上·林芝期中) 已知是一次函数，且，求的解析式.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、。
江苏省南通中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题含答案
联立③④⑤解得 a 1 ， b c 1 .
8
2
6
所以 f x 1 x2 1 x 1 .
8 22
（3）由 x 0, ，使得 f x m x 1 成立可得：
24 mx 1 x2 1 x 1 在 x 0 上有解 28 2 4 （i） x 0 时， 0 1 不满足，∴ x 0 ；
∴ g x 在1, 上单调增
① a 0 ， g x 2x 1，显然不成立
②
a
0
，
a
0 2 2a
1
，解得
a
1
，故答案为
1,
.
四、17.（1）
CR B
,
5 2
1,
A
B
5 2
,
3
（2）3,
18.（1）
f
x
x 1 x2
（2）用定义法按步骤证明即可
19.（1） P 7 ， Q 2 3
①对任意实数 x，都有 f x x ；
②当 x 1,3 时，有 f x 1 x 22 成立．
8
（1）求证： f 2 2 ；
（2）若 f 2 0 ，求函数 f x 的解析式；
（3）在（2）的条件下，若 x 0, ， f x m x 1 成立，求实数 m 的取值范围．
24
22．（本题满分
f x 是单调递增函数。
f kx x2 f x 1 0 ， f kx x2 f x 1 f 1 x
7
kx x2 1 x 恒成立，即 x2 k 1 x 1 0 恒成立
k 12 4 0 ， 3 k 1 （3） f 1 a 1 3 ， a 0 ，解得 a 2
,
22.（1）因为是奇函数，所以 f 0 0 ，1 t 1 0 ，解得 t 2 .
江苏省南通市2024-2025学年高一上学期11月期中数学试题
江苏省南通市2024-2025学年高一上学期11月期中数学试题一、单选题1．已知集合{1,0,1},{}A B y y x A =-==∈∣，则A B = （）A ．{1,1}-B ．{0,1}C ．[1,)+∞D ．[0,)+∞2．“2m <”是“|1|1m -<”的（）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．下列说法正确的是（）A ．若a b <，则11a b>B ．若11a b>，则a b <C ．若a b >，则22ac bc >D ．若22a bc c>，则a b >4．已知函数(1)f x -的定义域为(2,4)，则函数()2()f x f x +的定义域为（）A ．B ．C ．(1,4)D ．(1,9)5．若2520a b ==，则21a b+=（）A ．0B ．1C ．2D ．36．已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()f x x x=+，则当0x <时()f x 的取值范围是（）A ．(,-∞B ．(,-∞-C ．)+∞D ．[)-+∞7．若命题“[]3,6x ∀∈，不等式10x +-恒成立”是真命题，则实数k 的取值范围是（）A ．(),2-∞B ．(),7-∞C ．()2,7D ．()7,+∞8．存在三个实数123,,a a a ，满足下列两个等式：①1232a a a =；②1230a a a ++=，其中M 表示这三个实数123,,a a a 中的最大值，则（）A ．M 的最大值是2B ．M 的最小值是2C ．M D ．M 的最小值是二、多选题9．下列结论正确的有（）A ．45891log 5log 8log 9log 4⋅=⋅B ．6886log 2log 2log 4log 4-=-C ．2(lg 2)lg 2lg5lg502+⋅+=D ．若9310,log 25ab ==，则2log 5a a b=-.10．已知函数()f x 满足()()()4f x y f x f y +=+-，下列结论正确的是（）A ．(0)4f =B ．(2)(2)8f f -+=C ．()4f x -为奇函数D ．()4f x -为偶函数11．已知0,0,4a b a b ab >>+=，则下列结论正确的有（）A ．ab 的最小值为4B ．a b +的最小值为9C ．114a b a b ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭的最小值为10D ．2216a b +的最小值为128三、填空题12．计算102ln 247e 96-⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.13．若函数2()3f x ax x =-+在区间(,2]-∞上单调递减，则实数a 的取值范围是.14．如图，边长为4的菱形ABCD 的两条对角线交于点O ，且60DAB ︒∠=.动点P 从点A 出发，沿着菱形四条边逆时针运动回到A 点，记P 运动的路程为x ，点P 到点O 距离的平方为()f x ，则函数()f x 在(0,3)x ∈上单调递（填“增”或“减”）；若关于x 的方程()f x m =恰有4个不等实根，则实数m 的取值范围是.四、解答题15．已知集合23102A x x x ⎧⎫=--<⎨⎬⎩⎭，集合{}322B x m x m =-≤≤+.(1)若1m =，求()A B ⋃R ð；(2)若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.16．已知函数12()(0)f x x x =>.(1)若()1()3f x f x -+=，求1x x -+的值;(2)若1()()()g x f x f x =+，求函数()23()y g x g x =-的最小值.17．已知定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的奇函数()f x 满足：对12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x ≠，都有()()2112120x f x x f x x x -<-成立，且(1)2f =.(1)若函数()()f x g x x=.①求证：函数()g x 是偶函数;②求函数()g x 的单调区间;(2)求不等式()2f x x >的解集.18．已知函数22229,0,()(1)(1),0.x a x f x x a x a x -+≤⎧=⎨-++->⎩(1)若()f x 是R 上的增函数，求实数a 的取值范围;(2)若3a =，方程()f x t =有三个实数解()123123,,x x x x x x <<.①写出实数t 和3121x x x x +的取值范围;②求证:2323111324x x x x +>++.19．已知二次函数2()(,,)f x ax bx c a b c =++∈R 满足：()0f x =有两个实数根12,x x .(1)若1251,,4a cb x x ==+≠，求实数b 的取值范围;(2)若(0)1,(1)0f f ==，记()f x 在[1,1]x ∈-时的最小值为()g a ，求()g a 的表达式;(3)若*1,2,4,a b a c a x ∈=-=-N 与2x 都是整数且12x x <，求12,x x 的值.。
江苏省南通中学2023-2024学年高一上学期期中 数学试题(含解析)
（1）求函数 y f x 的解析式，并写出函数 y f x 图象恒过的定点；
（2）若
f
x
3 a2
5
，求
x
的取值范围．
21．已知二次函数 f x x2 ax ba,b R .
(1)若 f 2 0 ，且对于 x R ， f 1 x f 1 x 恒成立，求 a ， b 的值；
v0 1 2 3
Q 0 0.7 1.6 3.3
为描述该超级块艇每小时航行费用 Q 与速度 v 的关系，现有以下两种函数模型供选择：
Q av3 bv2 cv， Q 0.5v a .
(1)试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； (2)该超级快艇应以多大速度航行才能使 AB 段的航行费用最少?并求出期少航行费用.
C．若 a b 0 ，则 a2 ab b2
D．若
a
b
0
，则
1 a
1 b
11．已知 f x 是 R 上的偶函数，且在0, 上是单调减函数，则满足不等式
f 2t 1 f t 2 的所有整数 t 的值为（ ）
A． 2
B． 1
C．0
D．1
12．已知 f x 、 g x 都是定义在 R 上的函数，且 f x 为奇函数， g x 的图像关于直
所以若要 7 m 5 2m ，则 m Î [- 1, 2]，
63
也即函数 f x 的值域为 R 时，
则实数 m 的取值范围为： m Î [- 1, 2]，
故选：D.
8．A
【分析】先根据题意得到
1 y
1 x
2
，从而得到
y
1 y
江苏省南通市启东中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题+答案解析
2023-2024学年度江苏省启东中学高一期中考试（数学）一､单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.对于全集U 的子集M ，N ，若M 是N 的真子集，则下列集合中必为空集的是（）．A.()UNM ⋂ð B.()U M Nð C.()()UUM N ⋂痧 D.M N⋂【答案】B 【解析】【分析】根据题目给出的全集是U ，M ，N 是全集的子集，M 是N 的真子集画出集合图形，由图形表示出三个集合间的关系，从而看出是空集的选项．【详解】解：集合U ，M ，N 的关系如图，由图形看出，只有()U N M I ð是空集．故选：B ．【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础题.本题解题的关键在于根据题意，给出集合的图形表示法，数形结合解．2.已知集合{}20A x R x a =∈+>，且2A ∉，则实数a 的取值范围是（）A.{}4a a ≤ B.{}4a a ≥ C.{}4a a ≤- D.{}4a a ≥-【答案】C 【解析】【分析】结合元素与集合的关系得到220a +≤，解不等式即可求出结果.【详解】由题意可得220a +≤，解得4a ≤-，故选：C3.已知实数x ，y 满足41x y -≤-≤-，145x y -≤-≤，则9z x y =-的取值范围是（）A.{}726z z -≤≤B.{}120z z -≤≤C.{}415z z ≤≤ D.{}115z z ≤≤【答案】B 【解析】【分析】令m x y =-，4n x y =-，可得85933z x y n m =-=-，再根据,m n 的范围求解即可.【详解】令m x y =-，4n x y =-，则343n m x n my -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，所以85933z x y n m =-=-．因为41m -≤≤-，所以5520333m ≤-≤．因为15n -≤≤，所以8840333n -≤≤，所以120z -≤≤.故选：B4.加油（两次加油时油价不一样），甲方案：每次购买汽油的量一定；乙方案：每次加油的钱数一定．问哪种加油的方案更经济？（）A.甲方案B.乙方案C.一样D.无法确定【答案】B 【解析】【分析】设两次加油的油价分别为x ，y （,0x y >，且x y ≠），分别计算两种方案的平均油价，然后比较即得.【详解】设两次加油的油价分别为x ，y （,0x y >，且x y ≠），甲方案每次加油的量为()0a a >；乙方案每次加油的钱数为()0b b >，则甲方案的平均油价为：22ax ay x ya ++=，乙方案的平均油价为：22211bxy b bx y x yx y==+++，因为22()022()x y xy x y x y x y +--=>++，所以22x y xy x y+>+，即乙方案更经济．故选：B ．5.若a 为实数，则“1a =”是“3()3+=-x x a f x a为奇函数的”（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据函数的的偶性的定义及判定方法，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】当1a =时,函数31()31+=-x x f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ 关于原点对称，且3131313()()1331313x x x x xx x xf x f x --+++-===-=----，即()()f x f x -=-，此时函数()f x 为奇函数，所以充分性成立；反之：当3()3+=-x x a f x a ，则满足()()f x f x -=-，即3333x xx xa aa a--++=---，即133133x x xxa aa a +⋅+=--⋅-，解得1a =±，所以必要性不成立.综上可得，1a =是函数3()3+=-x x a f x a为奇函数的充分不必要条件.故选：A.6.若函数()()2,16,1x ax x f x a x a x ⎧-+<⎪=⎨--⎪⎩满足对任意实数12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是（）A.(-∞，2] B.(1,2)C.[2，6)D.72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】由题意()f x 是R 上的增函数，所以分段函数的每一段单调递增且分界点处单调递增，列出不等式组求出a 的取值范围即可.【详解】根据题意，任意实数12x x ≠都有1212()()0f x f x x x ->-成立，所以函数()f x 是R 上的增函数，则分段函数的每一段单调递增且分界点处单调递增，所以()21216016a a a a a⎧-⎪⨯-⎪⎪->⎨⎪-+--⎪⎪⎩，解得：723a ≤≤，所以实数a 的取值范围是：[2,7]3.故选：D.7.已知()4y f x =+是定义域为R 的奇函数，()2y g x =-是定义域为R 的偶函数，且()y f x =与()y g x =的图象关于y 轴对称，则（）A.()y f x =是奇函数B.()y g x =是偶函数C.()y f x =关于点()2,0对称D.()y g x =关于直线4x =对称【答案】A 【解析】【分析】根据函数()4y f x =+，()2y g x =-的奇偶性可推出()y f x =以及()y g x =的对称性，结合()y f x =与(y g x =的图象关于y 轴对称，推出()y f x =的奇偶性以及对称性，判断A,C;同理推得()y g x =的奇偶性以及对称性，判断B,D.【详解】由于()4y f x =+是定义域为R 的奇函数，则()y f x =的图象关于(4,0)成中心对称，()2y g x =-是定义域为R 的偶函数，则()y g x =的图象关于2x =-对称，因为()y f x =与()y g x =的图象关于y 轴对称，则()y f x =的图象关于2x =对称，又()y f x =的图象关于(4,0)成中心对称，则()y f x =的图象关于(0,0)成中心对称，故()y f x =为奇函数，A 正确；因为()y f x =为奇函数，故()()f x f x -=-，由()y f x =与()y g x =的图象关于y 轴对称，可得()(),()()f x g x g x f x =-=-，故()()()()g x f x f x g x -==--=-，故()y g x =为奇函数，B 错误；由A 的分析可知()y f x =的图象关于2x =对称，故C 错误；由A 的分析可知()y f x =的图象关于(4,0)成中心对称，()y f x =为奇函数，则()y f x =的图象也关于(4,0)-成中心对称，而()y f x =与()y g x =的图象关于y 轴对称，则()y g x =的图象关于(4,0)成中心对称，故D 错误，故选：A【点睛】本题综合考查了函数的奇偶性以及对称性的应用，对抽象函数的性质的考查能较好地反映学生的思维能力和数学素养，解答时要注意综合应用函数性质的相关知识解答.8.已知函数()22f x ax x =+的定义域为区间[m ，n ]，其中,,a m n R ∈，若f （x ）的值域为[-4，4]，则n m -的取值范围是（）A.[4，]B.，]C.[4，]D.，8]【答案】C 【解析】【分析】先讨论0a =，再结合二次函数的图象与性质分析0a >时，n m -的最大值与最小值，同理可得a<0时的情况即可得解.【详解】若0a =，()2f x x =，函数为增函数，[,]x m n ∈时，则()24,()24f m m f n n ==-==，所以2(2)4n m -=--=，当0a >时，作图如下，为使n m -取最大，应使n 尽量大，m 尽量小，此时14a =，由22()424()424f n am m f m an n =⎧+=⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩，即2240ax x +-=，所以24,m n mn a a+=-=-，所以n m -=，即n m -≤，当14a -<-时，即10a 4<<时，此时,m n 在对称轴同侧时n m -最小，由抛物线的对称性，不妨设,n m 都在对称轴右侧，则由22()24,()24f n an n f m am m =+==+=-，解得24162416,22n m a a-+-==，42n m a a∴-==，当且仅当1414a a+=-,即0a =时取等号，但0a >，等号取不到，4n m ∴->，a<0时，同理，当14a =-时，max ()n m -=，当14a >-时，()min 4n m ->，综上，nm -的取值范围是，故选：C二､多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.下列说法正确的是（）A.若0,R a b >∈，则“a b >”是“a b >”的必要不充分条件B.“0c <”是“二次方程20(,R)x bx c b c ++=∈有两个不等实根”的充分不必要条件C.“A B B = ”是“()B A B ⊆ ”的充分不必要条件D.若“x >m ”是“2021x <或“2022x >”的充分不必要条件，则m 的最小值为2022【答案】BD 【解析】【分析】根据充分、必要条件逐个分析判断.【详解】对A ：若a b >，则a b b >≥，即a b >若a b >，比如：12a b =>=-，则a b >不成立∴“a b >”是“a b >”的充分不必要条件，A 错误；对B ：若0c <，则240b c ∆=->，即二次方程20(,R)x bx c b c ++=∈有两个不等实根若二次方程20(,R)x bx c b c ++=∈有两个不等实根，等价于240b c ∆=->比如：3,1b c ==满足0∆>，但0c <不成立∴“0c <”是“二次方程20(,R)x bx c b c ++=∈有两个不等实根”的充分不必要条件，B 正确；对C ：∵A B B B A =⇔⊆ 且()B A B B A ⊆⋂⇔⊆则()A B B B A B =⇔⊆⋂ ∴“A B B = ”是“()B A B ⊆ ”的充要条件，C 错误；对D ：根据题意可得：2021m ≥，则m 的最小值为2022，D 正确；故选：BD.10.设矩形ABCD （AB BC >）的周长为定值2a ，把ABC 沿AC 向ADC △折叠，AB 折过去后交DC 于点P ，如图，则下列说法正确的是（）A.矩形ABCD 的面积有最大值B.APD △的周长为定值C.APD △的面积有最大值D.线段PC 有最大值【答案】BC 【解析】【分析】根据基本不等式的性质，结合图形折叠的性质，结合对钩函数的性质逐一判断即可.【详解】设AB x =，则BC a x =-，因为AB BC >，所以,2a x a ⎛⎫∈⎪⎝⎭．矩形ABCD 的面积22()24x a x a S AB BC x a x +-⎛⎫=⋅=-<= ⎪⎝⎭，因为2ax ≠，所以无最大值．故A 错．根据图形折叠可知APD △与1CPB △全等，所以APD △周长为1AP PD DA AP PB DA AB DA a ++=++=+=．故B 正确．设DP m =，则AP PC x m ==-，有222DP DA AP +=，即222()()m a x x m +-=-，得22a m a x=-，22321313()224224ADP a a a S a a x ax a x x ⎛⎫⎛⎫-=--=-+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△，当2x a =时，取最大值．故C 正确．22a PC x a x =+-，因为函数22a y x a x =+-在2(0,)2a 上单调递减，在2,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以当,2a x a ⎛⎫∈⎪⎝⎭，当2x a =时函数有最小值，无最大值．故D 错误．故选：BC ．【点睛】关键点睛：利用基本不等式的性质、对钩函数的性质是解题的关键.11.已知2log 3m =，3log 7n =，则42log 56的值不可能是（）A.31mn mn ++ B.321m n m n ++++ C.31mn mn m +++ D.31mn mn m +-+【答案】ABD 【解析】【分析】利用对数运算的公式计算即可.【详解】由换底公式得：223log 7log 3log 7mn =⋅=，71log 2mn=，()424242427878log 56log log log ⨯==+，其中4277771111711log 421log 61log 2log 311log mnmn m mn n=====++++++，424222233383242log log log log lo 67g 1mnm ====+++，故42313log 5611mn m mn m mn mn m mn +=++=+++++故选：ABD.12.已知关于x 的不等式(1)(3)20a x x -++>的解集是()12,x x ，其中12x x <，则下列结论中正确的是（）A.1220x x ++=B.1231x x -<<<C.124x x ->D.1230x x +<【答案】ACD 【解析】【分析】由一元二次不等式的解集可得12122230x x x x a +=-⎧⎪⎨=-<⎪⎩判断A 、D ，再将题设转化为()(1)(3)2f x a x x =-+>-，结合二次函数的性质，应用数形结合的方法判断B 、C.【详解】由题设，2(1)(3)22320a x x ax ax a -++=+-+>的解集为()12,x x ，∴a<0，则12122230x x x x a +=-⎧⎪⎨=-<⎪⎩，∴1220x x ++=，12230x x a+=<，则A 、D 正确；原不等式可化为()(1)(3)2f x a x x =-+>-的解集为()12,x x ，而()f x 的零点分别为3,1-且开口向下，又12x x <，如下图示，∴由图知：1231x x <-<<，124x x ->，故B 错误，C 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：由根与系数关系得12122230x x x x a +=-⎧⎪⎨=-<⎪⎩，结合二次函数的性质及数形结合思想判断各选项的正误.三､填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知“()2160x a +->”的必要不充分条件是“2x ≤-或3x ≥”，则实数a 的最大值为______．【答案】1【解析】【分析】首先解出不等式()2160x a +->，再根据题意得到4243a a --≤-⎧⎨-≥⎩，即可求出a 的取值范围，从而得解；【详解】解：由()2160x a +->，得4x a <--或4x a >-，因为()2160x a +->的必要不充分条件是“2x ≤-或3x ≥”，所以4243a a --≤-⎧⎨-≥⎩，解得21a -≤≤，所以实数a 的最大值为1；故答案为：114.已知0a >，0b >，下面四个结论:①22ab a b a b +≤+；②2a b +>a b >，则22c c a b ≤；④若11111a b +=++，则2+a b 的最小值为；其中正确结论的序号是______.(把你认为正确的结论的序号都填上)【答案】①③④【解析】【分析】①可以由222a b ab +≥得2224a b ab ab ++≥，然后变形可得是正确的，②可以由222a b ab +≥得222222()2()a b a b ab a b +≥++=+，然后变形可得是错误的，③可以()1112211a b a b ⎛⎫++++ ⎪++⎝⎭展开由基本不等式推导出来.【详解】因为222a b ab +≥，所以2224a b ab ab ++≥即2()4a b ab +≥所以22ab a ba b +≤+，故①正确因为222a b ab+≥所以222222()2()a b a b ab a b +≥++=+2a b +≥，故②错误因为0a b >>，所以11a b<因为2c ≥0，所以22c c a b≤，故③正确因为()112(1)1122121111b a a b a b a b ++⎛⎫++++=+++⎪++++⎝⎭3≥+，当且仅当2(1)111b a a b ++=++即2a b ==时取得最小值因为11111a b +=++，所以1223a b +++≥+即2a b +≥，故④正确故答案为：①③④【点睛】0a >，0b >22112a b aba b a b+≥≥=++15.关于x 的不等式22(1)ax x -<恰有2个整数解，则实数a 的取值范围是__．【答案】3443(,[,2332-- ．【解析】【分析】先将原不等式转化为[(1)1][(1)1]0a x a x +---<，再对a 分类讨论分别求出原不等式的解集，然后根据其解集中恰有两个整数求出实数a 的取值范围．【详解】不等式22(1)ax x -<可化为[(1)1][(1)1]0a x a x +---<，①当1a =时，原不等式等价于210x ->，其解集为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭，不满足题意；②当1a =-时，原不等式等价于210x +<，其解集为1 ,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，不满足题意；③当1a >时，原不等式等价于11011x x a a ⎛⎫⎛⎫--< ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭，其解集为11,11a a ⎛⎫ ⎪+-⎝⎭，其解集中恰有2个整数，∴12 1131a a ⎧<⎪⎪-⎨⎪⎪-⎩，解得：4332a ≤<；④当11a -<<时，原不等式等价于11011x x a a ⎛⎫⎛⎫--> ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭，其解集为11(,,11a a ⎫⎛⎫-∞⋃+∞⎪ ⎪-+⎭⎝⎭，不满足题意；⑤当1a <-时，原不等式等价于11011x x a a ⎛⎫⎛⎫--< ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭，其解集为11,11a a ⎛⎫ ⎪+-⎝⎭，其解集中恰有2个整数，121131a a ⎧<-⎪⎪+∴⎨⎪-⎪+⎩，解得：3423a -<-，综合以上，可得：3443,,2332a ⎛⎤⎡⎫∈-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.故答案为：3443,,2332a ⎛⎤⎡⎫∈-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ ．【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是正确的分类讨论，二是要注意在处理满足整数解时等号的取舍．16.已知函数()22,11,1x x f x x x x -≥⎧=⎨+-<⎩，那么()()4f f =___________若存在实数a ，使得()()()f a f f a =，则a 的个数是___________.【答案】①.1②.5【解析】【分析】求出()4f 的值，再计算()()4ff 的值；设()f a t =，则()f t t =，可求得1t =或1t =-，再解方程()1f a =或()1f a =-，可求得a 的值即可求解.【详解】因为()22,1,1x x f x x x x -≥⎧=⎨+-<⎩，所以()4242f =-=-，所以()()()()2422211ff f =-=---=，设()f a t =，则()f t t =，当1t ≥时，()2f t t t =-=，可得1t =，当1t <时，()21f t t t t =+-=，可得1t =-，所以()1f a =或()1f a =-，当1a ≥时，由()21f a a =-=或()21f a a =-=-可得1a =或3a =；当1a <时，()211f a a a =+-=或，()211f a a a =+-=-可得2a =-或1a =（舍）或1a =-或0a =，综上所述：2a =-，1-，0，1，3，有5个a 符合题意，故答案为：1；5.四､解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.计算下列各式：（102)--（2）23948(lg 2)lg 2lg 50lg 25(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+++⋅+【答案】（1）19（2）134【解析】【分析】（1）、利用指数幂的运算性质求解即可；（2）、利用对数的运算性质求解.【小问1详解】4032)18---)21216=19=+--+.【小问2详解】23948(lg 2)lg 2lg 50lg 25(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+++⋅+()23232111(lg2)lg2lg512lg5log 22log 3log 3223⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭23235(lg2)lg2lg5lg22lg5log 2log 326=++++⨯()5lg2lg2lg5+lg22lg54=+++52lg22lg54=++134=18.设集合{}12A x x =-≤≤，{}21B x m x =<<，{1C x x =<-或}2x >．（1）若A B B = ，求实数m 的取值范围；（2）若B C ⋂中只有一个整数，求实数m 的取值范围．【答案】（1）12m m ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭（2）312m m ⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】（1）根据集合交集的性质，可得两集合之间的关系，分类讨论是否为空集，列出不等式，可得答案；（2）由题意，明确交集中的唯一的整数，结合这个整数，列出不等式，可得答案.【小问1详解】因为A B B = ，所以B A ⊆．①当B ≠∅时，由B A ⊆，得2121m m <⎧⎨≥-⎩，解得1122m -≤<；②当B =∅，即12m ≥时，B A ⊆成立．综上，实数m 的取值范围是12m m ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭．【小问2详解】因为B C ⋂中只有一个整数，所以B ≠∅，且322m -≤<-，解得312m -≤<-，所以实数m 的取值范围是312m m ⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩⎭．19.已知命题:p x R ∀∈，2210ax x ++≠；命题:q x R ∃∈，210ax ax ++≤（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题p 与q 均为假命题，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()1,+∞；（2）[]0,1.【解析】【分析】（1）根据题意，可知命题p 为真命题，则0a ≠且Δ0<，即可求出a 的取值范围；（2）根据题意，分别求出p ⌝和q ⌝，由命题p 与q 均为假命题，可知p ⌝和q ⌝都是真命题，由p ⌝是真命题，得0a =或0Δ440a a ≠⎧⎨=-≥⎩，由q ⌝是真命题，得0a =或2Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，化简计算后，可得出实数a 的取值范围.【小问1详解】解：因为命题:p x R ∀∈，2210ax x ++≠，若命题p 为真命题，则0a ≠且Δ0<，即20240a a ≠⎧⎨-<⎩，解得：1a >，所以实数a 的取值范围是()1,+∞.【小问2详解】解：因为命题:p x R ∀∈，2210ax x ++≠；命题:q x R ∃∈，210ax ax ++≤，则:p x R ⌝∃∈，2210ax x ++=，:q x R ⌝∀∈，210ax ax ++>，若命题p 与q 均为假命题，则p ⌝和q ⌝都是真命题，由p ⌝是真命题，得0a =或0Δ440a a ≠⎧⎨=-≥⎩，解得：1a ≤，由q ⌝是真命题，得0a =或2Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，解得：04a ≤<，联立104a a ≤⎧⎨≤<⎩，得01a ≤≤，所以实数a 的取值范围为[]0,1.20.十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，2020年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产x （百辆）需另投入成本y （万元），且210100,0100005014500,40x x x y x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩.由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（1）求出2020年的利润S （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（利润=销售额—成本）（2）当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）2104003000,040()100001500,40x x x S x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--≥⎪⎩（2）100百辆，最大利润为1300万【解析】【分析】（1）根据题意分情况列式即可；（2）根据分段函数的性质分别计算最值.【小问1详解】由题意得当040x <<时，22()500(10100)3000104003000S x x x x x x =-+-=-+-，当40x ≥时，1000010000()500501450030001500S x x x x x x ⎛⎫=-+--=-- ⎪⎝⎭，所以2104003000,040()100001500,40x x x S x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--≥⎪⎩,【小问2详解】由（1）得当040x <<时，2()104003000S x x x =-+-，当20x =时，max ()1000S x =，当40x ≥时，1000010000()15001500()S x x x x x=--=-+10000200x x +≥= ，当且仅当10000x x =，即100x =时等号成立，()150********S x ∴≤-=，100x ∴=时，max ()1300S x =，13001000> ，100x ∴=时，即2020年产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为1300万元.21.设函数()xxf x ka a-=-（0a >且1,a k R ≠∈），()f x 是定义域为R 的奇函数：，（1）求k 的值，（2）判断并证明当1a >时，函数()f x 在R 上的单调性；（3）已知3a =，若()()3f x f x λ≥⋅对于[]1,2x ∈时恒成立．请求出最大的整数λ．【答案】（1）1k =；（2）()f x 在R 上为增函数；证明见解析；（3）10．【解析】【分析】（1）由()00f =，解得1k =，再检验其成立；（2）利用定义法证明单调性；（3）用分离参数法求出919λ≤，即可得到λ的最大整数值．【详解】（1）∵()xxf x ka a -=-（0a >且1,a k R ≠∈）是定义域为R 的奇函数，∴()00f =，解得1k =．此时()xxf x a a-=-，对任意x R ∈，有()()()x x x x f x a a a a f x ---=-=--=-，即()f x 是R 上的奇函数，符合题意．故1k =．（2）由（1）得()xxf x a a-=-．判断该函数为增函数.下面证明：设12,x x R ∈，且12x x <，则()()()()()()1122121212xx x x x x x x f x f x a aaa a a a a -----=---=---12121212111()()()(1x x x x x x x x a a a a a a a +=---=-+∵1a >，且12x x <，∴120-<x x a a ，又12110x x a ++>∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，∴()f x 在R 上为增函数．（3）由（1），不等式()()3f x f x λ≥⋅对于[]1,2x ∈时恒成立，即3333(33)x x x x λ---≥-，亦即不等式22(33)(313)(33),[1,2]x x x x x x x λ---≥∈-++-恒成立．令33,[1,2]x x t x -∈=-，则880,39t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，问题转化为关于t 的不等式2(3)t t t λ+≥对任意880,39t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，亦即不等式2+3t λ≤，对任意880,39t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立．当83t =时，2min 91(3)9t +=，919λ∴≤，则λ的最大整数为10．【点睛】（1）函数奇偶性的应用:①一般用()()f x f x =-或()()f x f x =-;②有时为了计算简便,我们可以对x 取特殊值:(1)(1)f f =-或(1)(1)f f =-.（2）分离参数法是求参数范围的一种非常常用的方法.22.已知二次函数2()f x ax bx c =++满足对任意实数x ，不等式212()(1)2x f x x ≤≤+恒成立.（1）求a b c ++的值；（2）若该二次函数与x 轴有两个不同的交点，其横坐标分别为1x ､2x .①求a 的取值范围；②证明：12x x 为定值.【答案】（1）2；（2）①10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；②证明见解析.【解析】【分析】(1)由212()(1)2x f x x ≤≤+取1x =可求a b c ++，(2)由2()x f x ≤恒成立，结合(1)可得a ，b ，c 的关系，再由()f x 与x 轴有两个不同的交点可求a 的范围，并证明12x x 为定值.【详解】解：（1）对任意实数x ，不等式2212(1)2x ax bx c x ≤++≤+恒成立.令212(1)2x x =+得x =1令x =1，得2≤a +b +c ≤2，∴a +b +c =2.（2）①当a +b +c =2时，22ax bx c x ++≥，即()220ax b x c +-+≥恒成立，所以()()()22202440a b ac a c ac a c >⎧⎪⎨--=+-=-≤⎪⎩，所以0,22a c b a =>=-.因为二次函数有两个不同的零点，所以()22244140b ac a a -=-->，解得12a <∴a 的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭②由韦达定理得121c x x a ==，∴12x x 为定值。
2022-2023学年江苏省南通中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年江苏省南通中学高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1．已知集合N ＝{3，4，5}，则N 的真子集的个数为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．82．（多选）下列图象中，表示函数关系y ＝f （x ）的有（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知函数f(x)=(m 2−m −1)x m2+m−3是幂函数，且x ∈（0，+∞）时，f （x ）单调递减，则m 的值为（ ） A ．1B ．2C ．2或﹣1D ．﹣14．镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为√55，√33，√2．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（ ） A ．甲同学和乙同学 B ．丙同学和乙同学 C ．乙同学和甲同学D ．丙同学和甲同学5．已知a 为实数，使“∀x ∈[3，4]，x ﹣a ＜0”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．a ＞4B ．a ＞5C ．a ＞3D ．a ≥46．已知函数f （x ）由下表给出，若f （f （x 0））＝f （1）+f （3）•f （4），则x 0＝（ ）A．1B．2C．3D．47．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，则函数g（x）＝f（3x）+√x的定义域为（）A．（0，1]B．[0，23]C．[−23，1]D．(0，23]8．一次速算表演中，主持人出题：一个35位整数的31次方根仍是一个整数，下面我报出这个35位数，请说出它的31次方根．这个35位数是…未等主持人报出第一位数字，速算专家已经写出了这个数的31次方根：13．其实因为只有一个整数，它的31次方是一个35位整数．速算专家心中记住了右表（表中常用对数为近似值）．请你也尝试借助此表求一求：一个31位整数的64次方根仍是一个整数，这个64次方根是（）A．2B．3C．4D．5二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分．9．若不等式ax2+bx+c＞0的解集是（−1，2），则下列对于系数a，b，c的结论中，正确的是（）2A．a＜0B．c＞0C．a+b+c＞0D．a﹣b+c＞010．下列说法中，正确的是（）A．集合A＝{1，2}和B＝{（1，2）}表示同一个集合B．函数f（x）=√3+2x−x2的单调增区间为（﹣1，1）C ．若log 23＝a ，log 27＝b ，则用a ，b 表示log 4256=b+3a+b+1D ．已知f （x ）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x ＞0时，f(x)=x 2+1x −1，则当x ＜0时，f(x)=−x 2−1x+111．已知a ＞0，b ＞0，且2a +8b ＝1，则（ ） A ．2a ﹣8b ＞﹣1 B ．√a +2√b ≥1C ．ab ≤164D ．a 2+16b 2≥1812．定义在（﹣1，1）上的函数f （x ）满足f （x ）+f （y ）＝f (x+y1+xy)，当﹣1＜x ＜0时，f （x ）＜0，则以下结论正确的是（ ） A ．f （0）＝0B ．f （x ）为奇函数C ．f （x ）为单调减函数D ．f （x ）为单调增函数三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置． 13．计算；（12）﹣log23＝ ．14．已知f （2x ）＝3x 2+1，则f （x ）＝ ．15．已知函数f(x)={2|x|，x ≤m x 2−2mx +5m ，x ＞m，其中m ＞0，（1）若函数f （x ）在（0，+∞）单调，则实数m 的范围是 ；（2）若存在互不相等的三个实数x 1，x 2，x 3，使得f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则函数y =√1+m −m 的值域为 ． 16．已知x ，y 为正实数，则yx +16x 2x+y的最小值为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）求8114−（√5−√3）0+(827)−13的值； （2）已知x +x ﹣1＝14，求x 12+x −12+4x 2+x −2−200的值．18．（12分）已知命题p ：对任意实数x ，不等式mx 2﹣2x +12＞0都成立，命题q ：关于x 的方程4x 2+4（m ﹣2）x +1＝0无实数根．若命题p ，q 有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围． 19．（12分）已知函数f （x ）=x+bx 2−1是定义域（﹣1，1）上的奇函数，（1）确定f（x）的解析式；（2）用定义证明：f（x）在区间（﹣1，1）上是减函数；（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．20．（12分）某地拟建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓如图所示，曲线AB是以点E为圆心的圆的四分之一部分，其中E（0，1）（0＜t≤25），AF⊥x轴，垂足为F；曲线BC是抛物线y＝﹣ax2+50（a＞0）的一部分；CD⊥OD，垂足为D，且CD恰好等于E的半径，假定拟建体育馆的高OB＝50（单位：米，下同）．（1）试将DF用a和t表示；（2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过75米，求a的取值范围．21．（12分）已知集合A＝{x|y=√2x−x2}，集合B＝{x|x2﹣x+a﹣a2＜0}．（1）若A∪B＝A，求a的取值范围；（2）在A∩B中有且仅有两个整数，求a的取值范围．22．（12分）对于定义域为D的函数y＝f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足；①f（x）在[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]，则称[m，n]是该函数的“优美区间”．（1）求证：[0，2]是函数f(x)=12x2的一个“优美区间”．（2）求证：函数g(x)=4+6x不存在“优美区间”．（3）已知函数y=ℎ(x)=(a2+a)x−1a2x（a∈R，a≠0）有“优美区间”[m，n]，当a变化时，求出n﹣m的最大值．2022-2023学年江苏省南通中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．已知集合N＝{3，4，5}，则N的真子集的个数为（）A．5B．6C．7D．8解：∵集合N＝{3，4，5}有3个元素，∴N的真子集的个数为23﹣1＝7，故选：C．2．下列图象中，表示函数关系y＝f（x）的有（）A．B．C．D．解：根据函数的定义知，一个x有唯一的y对应，由图象可看出，对于A，当x＝0时，y有两个值与其对应，不符合；对于B，符合一个x有唯一的y对应，可表示函数关系；对于C，符合一个x有唯一的y对应，可表示函数关系；对于D，当x＝1时，y有无数个值与其对应，不符合；故选：BC．3．已知函数f(x)=(m2−m−1)x m2+m−3是幂函数，且x∈（0，+∞）时，f（x）单调递减，则m的值为（）A ．1B ．2C ．2或﹣1D ．﹣1解：∵函数f(x)=(m 2−m −1)x m2+m−3是幂函数，且x ∈（0，+∞）时，f （x ）单调递减，∴{m 2−m −1=1m 2+m −3＜0，解得m ＝﹣1， 故选：D ．4．镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为√55，√33，√2．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（ ） A ．甲同学和乙同学 B ．丙同学和乙同学 C ．乙同学和甲同学D ．丙同学和甲同学解：因为(√55)10=52=25，(√2)10=25=32， 又25＜32，所以√55＜√2，又(√33)6=33=9，(√2)6=23=8，所以√33＞√2， 故√55＜√2＜√33，又因为镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄． 故选：C ．5．已知a 为实数，使“∀x ∈[3，4]，x ﹣a ＜0”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．a ＞4B ．a ＞5C ．a ＞3D ．a ≥4解：∵∀x ∈[3，4]，x ﹣a ＜0为真命题， ∴a ＞x max ，∴a ＞4， ∵（5，+∞）⫋（4，+∞），∴使∀x ∈[3，4]，x ﹣a ＜0为真命题的一个充分不必要条件是a ＞5， 故选：B ．6．已知函数f （x ）由下表给出，若f （f （x 0））＝f （1）+f （3）•f （4），则x 0＝（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解：由题意可得，f （1）＝1，f （3）＝1，f （4）＝2， ∴f （f （x 0））＝f （1）+f （3）•f （4）＝3， ∴f （x 0）＝2，∴x 0＝4， 故选：D ．7．已知函数f （x ）的定义域为[﹣2，2]，则函数g （x ）＝f （3x ）+√x 的定义域为（ ） A ．（0，1]B ．[0，23]C ．[−23，1]D ．(0，23]解：∵函数f （x ）的定义域为[﹣2，2]，∴由{−2≤3x ≤2x ≥0，得0≤x ≤23．∴函数g （x ）＝f （3x ）+√x 的定义域为[0，23]．故选：B ．8．一次速算表演中，主持人出题：一个35位整数的31次方根仍是一个整数，下面我报出这个35位数，请说出它的31次方根．这个35位数是…未等主持人报出第一位数字，速算专家已经写出了这个数的31次方根：13．其实因为只有一个整数，它的31次方是一个35位整数．速算专家心中记住了右表（表中常用对数为近似值）．请你也尝试借助此表求一求：一个31位整数的64次方根仍是一个整数，这个64次方根是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5解：设此数为x ，则30≤lgx ＜31，而0.4688＜lgx 64＜0.4844，观察已知数据，x 164=3．故选：B ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分． 9．若不等式ax 2+bx +c ＞0的解集是（−12，2），则下列对于系数a ，b ，c 的结论中，正确的是（ ） A ．a ＜0B ．c ＞0C ．a +b +c ＞0D ．a ﹣b +c ＞0解：由已知可得−12，2是方程ax 2+bx +c ＝0的两根，且a ＜0，故A 正确， 则由韦达定理可得：{−12+2=−ba −12×2=ca，解得b =−32a ＞0，c ＝﹣a ＞0，故B 正确， 则a +b +c ＝a −32a −a =−32a ＞0，故C 正确， a ﹣b +c ＝a ﹣（−32a ）﹣a =32a ＜0，故D 错误， 故选：ABC ．10．下列说法中，正确的是（ ）A ．集合A ＝{1，2}和B ＝{（1，2）}表示同一个集合B ．函数f （x ）=√3+2x −x 2的单调增区间为（﹣1，1）C ．若log 23＝a ，log 27＝b ，则用a ，b 表示log 4256=b+3a+b+1D ．已知f （x ）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x ＞0时，f(x)=x 2+1x−1，则当x ＜0时，f(x)=−x 2−1x +1解：集合A ＝{1，2}中有两个元素，B ＝{（1，2）}中只有一个元素，不表示同一集合，故A 错误； 函数f （x ）=√3+2x −x 2，由3+2x ﹣x 2≥0，解得﹣1≤x ≤3，而t ＝3+2x ﹣x 2在x ∈[﹣1，1]上递增，y =√t 在t ∈[0，+∞）递增，所以函数f （x ）=√3+2x −x 2的单调增区间为（﹣1，1），故B 正确； 若log 23＝a ，log 27＝b ，则log 4256=log 256log 242=log 27+log 28log 22+log 23+log 27=3+b1+a+b，故C 正确；f （x ）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x ＞0时，f(x)=x 2+1x−1，则当x ＜0时，﹣x ＞0，f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝﹣（x 2−1x−1）＝﹣x 2+1x+1，故D 错误． 故选：BC ．11．已知a ＞0，b ＞0，且2a +8b ＝1，则（ ） A ．2a ﹣8b ＞﹣1 B ．√a +2√b ≥1C ．ab ≤164D ．a 2+16b 2≥18解：因为a ＞0，b ＞0，且2a +8b ＝1，故8b ＝1﹣2a ＞0，得0＜a ＜12，a +4b =12， 所以2a ﹣8b ＝4a ﹣1＞﹣1，故A 正确； （√a +2√b ）2＝a +4b +4√ab =12+2√a ⋅4b ≤12+a +4b =1，即√a +2√b ≤1，当且仅当a =14，b =116时取等号，故B 错误； 因为1＝2a +8b ≥2√16ab =8√ab ，√ab ≤18，故ab ≤164，当且仅当a =14，b =116时取等号，故C 正确； 由a +4b =12得a 2+16b 2+2a •4b =14，而2a •4b ≤a 2+16b 2，代入上式得2（a 2+16b 2）≥14，即a 2+16b 2≥18，当且仅当a =14，b =116时取等号，故D 正确． 故选：ACD ．12．定义在（﹣1，1）上的函数f （x ）满足f （x ）+f （y ）＝f (x+y1+xy )，当﹣1＜x ＜0时，f （x ）＜0，则以下结论正确的是（ ） A ．f （0）＝0B ．f （x ）为奇函数C ．f （x ）为单调减函数D ．f （x ）为单调增函数解：因为f （x ）定义在（﹣1，1）上，且满足f （x ）+f （y ）＝f (x+y 1+xy )恒成立，﹣1＜x ＜0时，f （x ）＜0，令x ＝y ＝0，解得f （0）＝0，故A 正确；再令y ＝﹣x ，则f （﹣x ）+f （x ）＝f （0）＝0，故f （﹣x ）＝﹣f （x ），故f （x ）是奇函数，故B 正确； 任取﹣1＜x 1＜x 2＜1，则﹣2＜x 1﹣x 2＜0，0＜1﹣x 1x 2＜2，且x 1x 2﹣1﹣（x 1﹣x 2）＝（x 2﹣1）（1+x 1）＜0，所以﹣2＜x 1x 2﹣1＜x 1﹣x 2＜0，所以﹣1＜x 1−x21−x 1x 2＜0，所以f （x 1）﹣f （x 2）＝f （x 1）+f （﹣x 2）＝f （x 1−x 21−x 1x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2），故f （x ）在（﹣1，1）上单调递增，故D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置． 13．计算；（12）﹣log23＝ 3 ．解：（12）﹣log23＝2log 23=3．故答案为：3．14．已知f （2x ）＝3x 2+1，则f （x ）＝34x 2+1 ．解：令2x ＝t ，则x =t2，代入f （2x ）＝3x 2+1可得 f （t ）=3(t 2)2+1=34t 2+1 ∴f （x ）=34x 2+1 故答案为：34x 2+115．已知函数f(x)={2|x|，x ≤mx 2−2mx +5m ，x ＞m，其中m ＞0，（1）若函数f （x ）在（0，+∞）单调，则实数m 的范围是 （0，3] ；（2）若存在互不相等的三个实数x 1，x 2，x 3，使得f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则函数y =√1+m −m 的值域为 （﹣∞，﹣1） ．解：（1）当x ≤m 时，f （x ）＝2|x |，在（0，m ）单调递增，当x ＞m 时，f （x ）＝x 2﹣2mx +5m ，其对称轴为x ＝m ，所以f （x ）在（m ，+∞）上单调递增，若函数f （x ）在（0，+∞）单调，则m 2﹣2m 2+5m ≥2|m |＝2m ， 解得0＜m ≤3．（2）若f （x ）存在互不相等的三个实数x 1，x 2，x 3，使得f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）， 则f （x ）的图象如图所示：则2|m |＝2m ＞m 2﹣2m 2+5m ，即m 2﹣3m ＞0，解得m ＞3或m ＜0（舍去），对于函数y =√1+m −m ，令t =√1+m ，t ＞2，所以y ＝t ﹣（t 2﹣1）＝﹣t 2+t +1，其对称轴为t =12，所以y ＝﹣t 2+t +1在（2，+∞）上单调递减，所以y ＜﹣22+2+1＝﹣1，则函数y =√1+m −m 的值域为（﹣∞，﹣1）， 故答案为：（0，3]，（﹣∞，﹣1）．16．已知x ，y 为正实数，则y x +16x 2x+y 的最小值为 6 ． 解：由x ＞0，y ＞0，得y x +16x 2x+y =y x +162+y x ，令y x=t （t ＞0）， 则f （t ）＝t +16t+2=t +2+16t+2−2≥2√(t +2)(16t+2)−2＝8﹣2＝6， 当且仅当t +2=16t+2，即t ＝2时等号成立， 所以y x +16x 2x+y 的最小值为6．故答案为：6．四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）求8114−（√5−√3）0+(827)−13的值； （2）已知x +x ﹣1＝14，求x 12+x −12+4x 2+x −2−200的值．解：（1）原式=34×14−1+(23)3×(−13)=3﹣1+32=72； （2）∵x +x ﹣1＝14，∴（x +x ﹣1）2＝x 2+x ﹣2+2＝196， ∴x 2+x ﹣2＝194， ∴（x 12+x −12）2＝x +x ﹣1+2＝16， ∵x 12+x −12＞0， ∴x 12+x −12=4，∴原式=4+4194−200=−43．18．（12分）已知命题p ：对任意实数x ，不等式mx 2﹣2x +12＞0都成立，命题q ：关于x 的方程4x 2+4（m ﹣2）x +1＝0无实数根．若命题p ，q 有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围．解：命题p ：对任意实数x ，不等式mx 2﹣2x +12＞0都成立，若p 是真命题，则当m ＝0时，﹣2x +12＞0不都成立，当m ≠0时，{4−2m ＜0m ＞0，解得m ＞2， ∴p 真时，m ＞2；若q 真，则方程4x 2+4（m ﹣2）x +1＝0无实数根，∴16（m ﹣2）2﹣16＜0，∴q 真时，1＜m ＜3．∵命题p ，q 有且只有一个是真命题，∴p 真q 假或p 假q 真．当p 真q 假时，m ＞2且m ∈（﹣∞，1]∪[3，+∞），∴实数m 的取值范围是[3，+∞）；当p 假q 真时，m ≤2且1＜m ＜3．∴实数m 的取值范围是（1，2]．综上，实数m 的取值范围是（1，2]∪[3，+∞）．19．（12分）已知函数f （x ）=x+b x 2−1是定义域（﹣1，1）上的奇函数， （1）确定f （x ）的解析式；（2）用定义证明：f （x ）在区间（﹣1，1）上是减函数；（3）解不等式f （t ﹣1）+f （t ）＜0．解：（1）根据题意，函数f （x ）=x+b x 2−1是定义域（﹣1，1）上的奇函数， 则有f （0）=b −1=0，则b ＝0； 此时f （x ）=x x 2−1，为奇函数，符合题意， 故f （x ）=x x 2−1， （2）证明：设﹣1＜x 1＜x 2＜1，f （x 1）﹣f （x 2）=x 1x 12−1−x 2x 22−1=−(x 1x 2+1)(x 1−x 2)(x 12−1)(x 22−1)又由﹣1＜x 1＜x 2＜1，则（x 1﹣x 2）＜0，x 1x 2+1＞0，（x 12﹣1）＜0，（x 22﹣1）＜0，则有f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即函数f （x ）在（﹣1，1）上为增函数；（3）根据题意，f （t ﹣1）+f （t ）＜0⇒f （t ﹣1）＜﹣f （t ）⇒f （t ﹣1）＜f （﹣t ）⇒{−1＜t −1＜1−1＜t ＜1t −1＞−t，解可得：12＜t ＜1，即不等式的解集为（12，1）． 20．（12分）某地拟建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓如图所示，曲线AB 是以点E 为圆心的圆的四分之一部分，其中E （0，1）（0＜t ≤25），AF ⊥x 轴，垂足为F ；曲线BC 是抛物线y ＝﹣ax 2+50（a ＞0）的一部分；CD ⊥OD ，垂足为D ，且CD 恰好等于E 的半径，假定拟建体育馆的高OB ＝50（单位：米，下同）．（1）试将DF 用a 和t 表示；（2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过75米，求a的取值范围．解：（1）由抛物线方程得：B（0，50）∴BE＝50﹣t，∵BE，CD均为圆的半径，∴CD＝50﹣t，圆E的半径为：50﹣t，∴C（x C，50﹣t），代入抛物线方程可得50﹣t＝﹣a x C2+50，解得x C=√t a，∵曲线AB是以点E为圆心的圆的四分之一部分，其中E（0，t），AF⊥x轴，垂足为F，∴OF＝AE＝50﹣t，∴DF＝OF+OD＝50﹣t+√ta，（0＜t≤25）．（2）解：∵要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过75米，∴DF=50−t+√ta≤75，整理可得：a≥1t+625t+50，∵t∈（0，25]，∴t+625t≥2√625=50（当且仅当t＝25时取等号），∴1t+625t +50≤1100，a≥1 100，∴a的取值范围为：[1100．+∞）．21．（12分）已知集合A＝{x|y=√2x−x2}，集合B＝{x|x2﹣x+a﹣a2＜0}．（1）若A∪B＝A，求a的取值范围；（2）在A∩B中有且仅有两个整数，求a的取值范围．解：由题意得，2x﹣x2≥0，解得0≤x≤2，则A＝{x|0≤x≤2}，（1）∵A∪B＝A，∴B⊆A，∵x2﹣x+a﹣a2＜0，∴（x﹣a）（x﹣1+a）＜0，①当a＝1﹣a，即a=12时，B＝∅，满足题意，②当a＜1﹣a，即a＜12时，B＝{x|a＜x＜1﹣a}，则{a ≥01−a ≤2，∴0≤a ＜12， ③当a ＞1﹣a ，即a ＞12时，B ＝{x |1﹣a ＜x ＜a }，则{1−a ≥0a ≤2，∴12＜a ≤1， 综上，a 的取值范围为{a |0≤a ≤1}．（2）集合A 中有3个整数0，1，2，①当a ＝1﹣a ，即a =12时，B ＝∅，不满足题意，②当a ＜1﹣a ，即a ＜12时，B ＝{x |a ＜x ＜1﹣a }，若B 中仅有整数0，1，则﹣1≤a ＜0，1＜1﹣a ≤2，∴﹣1≤a ＜0，若B 中仅有整数1，2，则0≤a ＜1，2＜1﹣a ≤3，无解，则﹣1≤a ＜0，③当a ＞1﹣a ，即a ＞12时，B ＝{x |1﹣a ＜x ＜a }，若B 中仅有整数0，1，则﹣1≤1﹣a ＜0，1＜a ≤2，解得1＜a ≤2，若B 中仅有整数1，2，则0≤1﹣a ＜1，2＜a ≤3，无解，则1＜a ≤2，∴a 的取值范围为[﹣1，0）∪（1，2]．22．（12分）对于定义域为D 的函数y ＝f （x ），如果存在区间[m ，n ]⊆D ，同时满足；①f （x ）在[m ，n ]内是单调函数；②当定义域是[m ，n ]时，f （x ）的值域也是[m ，n ]，则称[m ，n ]是该函数的“优美区间”．（1）求证：[0，2]是函数f(x)=12x 2的一个“优美区间”．（2）求证：函数g(x)=4+6x 不存在“优美区间”．（3）已知函数y =ℎ(x)=(a 2+a)x−1a 2x （a ∈R ，a ≠0）有“优美区间”[m ，n ]，当a 变化时，求出n ﹣m 的最大值．解：（1）∵y =12x 2在区间[0，2]上单调增．又∵f （0）＝0，f （2）＝2，∴值域为[0，2]，∴区间[0，2]是f （x ）＝x 2的一个“优美区间”．（2）设[m ，n ]是已知函数定义域的子集．∵x ≠0，[m ，n ]⊆（﹣∞，0）或[m ，n ]⊆（0，+∞），∴函数g(x)=4+6x 在[m ，n ]上单调递减．若[m ，n ]是已知函数的“优美区间”，则{4+6m =n(1)4+6n =m(2)， 由（1）﹣（2）得：6m −6n =n −m ，∴6(n−m)mn =n −m ， ∵n ＞m ，∴mn ＝6，∴n =6m ．代入（1）等式不成立，∴函数g(x)=4+6x不存在优美区间．（3）设[m ，n ]是已知函数定义域的子集．∵x ≠0，[m ，n ]⊆（﹣∞，0）或[m ，n ]⊆（0，+∞）， ∴函数y =(a 2+a)x−1a 2x =a+1a −1a 2x 在[m ，n ]上单调递增． 若[m ，n ]是已知函数的“优美区间”，则{ℎ(m)=m ℎ(n)=n ， ∴m 、n 是方程a+1a −1a 2x =x ，即a 2x 2﹣（a 2+a ）x +1＝0的两个同号且不等的实数根． ∵mn =1a 2＞0， ∴m ，n 同号，只须Δ＝a 2（a +3）（a ﹣1）＞0，即a ＞1或a ＜﹣3，∵n −m =√(n +m)2−4mn =√(a 2+a a 2)2−4a 2 =√−3(1a −13)2+43， ∴当a ＝3时，n ﹣m 取最大值2√33．。