高中数学三角函数综合复习讲义

高中数学三角函数综合复习讲义1：产生背景：初中锐角三角函数定义：设a是一个任意大小的角，角的终边上任意一点P的坐标是（x,y），它于原点的距离是r（r>0），那么正弦: sinα=y/r余弦: cosα=x/r正切: tanα=y/x余切: cotα=x/y正割: secα=r/x余割: cscα=r/y都是a的函数，这六个函数统称为角a的三角函数。

2：找出结构：[函数]包括定义域，值域，对应法则。

本质:对于定义域内地任一x值在对应法则f(x)下都有值域中唯一的y和x对应，即y=f(x)3：分类：[角的大小]包括：正角三角函数，负角三角函数；[定义域]包括：【0，2π】，【0，2π】之外的[对应法则]包括：正弦: y= sinx余弦: y= cosx正切: y= tanx余切: y= cotx正割: y= secx余割: y= cscx[角的位置]包括:象限角的三角函数，坐标轴上的角的三角函数4：产生的条件：三角函数是在角的集合与实数集合之间建立的一种一一对应的关系。

5：研究概念的性质{特征、用途、作用、功能}基本三角函数的性质：同角的三角函数：倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secαsin 2α＋cos 2α＝1 1＋tan 2α＝sec 2α 1＋cot 2α＝csc 2α诱导公式sin （－α）＝－sinα cos （－α）＝cosα tan （－α）＝－tanαcot （－α）＝－cotαsin （π/2－α）＝cos α cos （π/2－α）＝sin α tan （π/2－α）＝cot α cot （π/2－α）＝tan αsin （π/2＋α）＝cos αcos （π/2＋α）＝－sin α tan （π/2＋α）＝－cot α cot （π/2＋α）＝－tan α sin （π－α）＝sin α cos （π－α）＝－cos α tan （π－α）＝－tan α cot （π－α）＝－cot αsin （π＋α）＝－sin αcos （π＋α）＝－cos α tan （π＋α）＝tan α cot （π＋α）＝cot αsin （3π/2－α）＝－cos α cos （3π/2－α）＝－sin α tan （3π/2－α）＝cot α cot （3π/2－α）＝tan αsin （3π/2＋α）＝－cos α cos （3π/2＋α）＝sin α tan （3π/2＋α）＝－cot α cot （3π/2＋α）＝－tan α sin （2π－α）＝－sin α cos （2π－α）＝cos α tan （2π－α）＝－tan α cot （2π－α）＝－cot α sin （2k π＋α）＝sin αcos （2k π＋α）＝cos α tan （2k π＋α）＝tan α cot （2k π＋α）＝cot α(其中k∈Z)两角和与差的三角函数公式sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ（＋）＝＋（－）＝－（＋）＝－（－）＝＋ =1 ?tan tan tan tan tan αβαβαβ＋（＋）－1? ?tan tan tan tan tan αβαβαβ－（－）＝＋半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α2tanαtan2α＝—————1－tan2αsin3α＝3sinα－4sin3αcos3α＝4cos3α－3cosα3tanα－tan3αtan3α＝——————1－3tan2α万能公式2tan(α/2) 1－tan2(α/2) 2tan(α/2) cosα＝—————— sinα＝—————— tanα＝——————1＋tan2(α/2) 1＋tan2(α/2) 1－tan2(α/2) 三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式sinα＋sinβ＝2sin2βα+cos2βα-sinα－sinβ＝2cos2βα+sin2βα-cosα＋cosβ＝2cos2βα+·cos2βα-cosα－cosβ＝－2sin2βα+·sin2βα-sinα ·cosβ＝21[sin（α＋β）＋sin（α－β）]cosα ·sinβ＝-21[sin（α＋β）－sin（α－β）]cosα ·cosβ＝21[cos（α＋β）＋cos（α－β）]sinα ·sinβ＝－21[cos（α＋β）－cos（α－β）]【三角形边角关系】1.正弦定理：在△ABC 中，∠A , ∠B , ∠C 的对边分別为 a , b , c ，则其中R 为外接圆半径。

2.余弦定理：在△ABC 中，∠A , ∠B , ∠C 的对边分別为 a , b , c同理，也可以将其改为：其中c 是γ角的对边，而a 和b 是γ角的邻边。

Y6：研究重要下位： (1)B x A y ++=)sin( ω[][][]↓-+-+∈↑-+--∈++-∈∈]23222[]2222[)00(],[ωωππωωωππωωωππωωωππωωk ，k x k ，k x ，A＞＞B A B A y Rx 单调性值域定义域[][][][]；z k k x xx ＞，A ＞b x A y bx A y ，x ③。

A ，，x ②y y b y y ，b x A ①y b b ＜b ＞x A y ，x A y x A ④y x A y x A y x A ③y ＞x A y x A y x ②y A ，x y x A y x ：①y 。

，y x wx x ：、x T f x ，f ②x A y x A y b x A y b x A y ①TB k k轴对称成的图像关于直线对称性从而求得得再由易求位置准确判断第一个零点的需根据图像的升降情况点确定五点法中第一个零则和最低点的值值根据图像找出最高点的首先由图像求解析式个单位平移或向下向上的图像上的所有点将倍坐标变为原来的的图像上的所有点的横将个单位平移或向右的图像上的所有点向左将倍变为原来的的图像上各点的纵坐标将变换作图描点作图值值及对应的求相应的设作图五点法作图图像定义法周期性非奇非偶函数奇函数奇偶性),2()00()sin()sin(0),0,(2,,;)sin()3()0()0()sin()sin()sin( 1)sin(),sin()sin( ＜0)()0(sin ),sin(sin sin ,sin sin )2(,2,23,,2,0”（1）“1)()())cot(),tan((T ))cos(,)sin((2 0B 0002121∈+=+=++=++==++=++=+=+=→+=+=+=→+==+=→===→==+=+=+=+==++=++==⎩⎨⎧≠=ππωωωωωωωωωωωωππππωωωπωωωπ []⎩⎨⎧≠∈=+=不是中心对称图形时成中心对称时关于点，b Z k k x x b b k k 0),)(0,(0πω2解三角形（1） 正弦定理：在一个三角形中，各边和它对角的正弦的比相等，即R ccB b A a 2s i n s i n s i n === （R 为外接圆半径） 解决以下两类有关三角形的问题①已知两角和任一边，求其它两边和一角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）（2） 余弦定理：在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a,b,c,则 C ab b a c cos 222-+= 同理：Bac c a b A bc c b a cos 2cos 2222222-+=-+=[]0cos 900==C ，：C则如其中有一角为直角∴有222b ac +=[变形] bc a c b A 2cos 222-+= ac b a c B 2cos 222-+= abc b a C 2cos 222-+=3三角函数求值问题首先，熟悉角的拆拼，变换，即角之间的关系如：2β=（α+β）-（α-β） α=（α+β）-β=（α-β）+β 2α是4α的2倍角等等（1）正弦，余弦，正切，余切之间的转化例如已知正弦值求正切值方法：利用同角三角函数公式⎪⎩⎪⎨⎧==+a acos sin tan 1cos sin 22ααα （2）“1”的转化已知某一三角函数值，求解a c a a b a 22cos sin cos sin ++α ……①方法：将①式的分母“1”化为a a 22cos sin +，然后分子分母同时除以a 2cos 求值 （3） 升幂降幂角变大降幂，角变小升幂（4） 三角形面积 设△ABC 的三边分别是 a,b,c.对应的三个角为A ，B ，C 。

其面积为S①)(21为高h ah S =②C ab S sin 21=③)(sin sin sin 22为外接圆半径R C B A R S =④))(21())()((c b a p c p b p a p p S ++=---=4 求最值 （定义域优先的原则）（1）整理后，形如C a B A y ++=cos cos 2（正弦，正切同）方法：设t a =cos []1,1-∈t 转化为二次函数在指定区间上求最值的问题 （2）整理后，形如b x A y ++=)sin( ω 方法：利用图像的性质求解 （3）x x b x a y 22cos sin sin ++=可先降次，整理转化为)sin(cos sin 22a x b a x b x a y ++=+=其中22c o s ba a+=22sin ba b +=（4）dx c bx a y ++=sin sin （或b x c b x a y ++=cos cos ）可转化为只有分母含sinx 或cosx 的函数式或sinx=f(y),cosx=f(y)的形式，由正，余弦函数的有界性求解 （5）)0,,(sin sin c ＞b a x b c x a y +=令sinx=t,则转化为求)11(≤≤-+=t btcat y 的最值，一般用图像（6）d x b c x a y ++=cos sin ，一般应用万能公式转化为关于2tan x的二次方程，由判别式法，求其最值或转化为关于2tan x的函数式后构造应用均值不等式及单调性求最值，也可以转化为)()sin(y f x =+ 的形式，由正，余弦函数的有界性求最值。