人教版九年级数学上册专题九圆周角定理的综合运用同步测试及答案

圆周角定理的综合运用一巧作辅助线求角度(教材P89习题24.1第7题)求证：圆内接平行四边形是矩形．已知：如图1，已知平行四边形ABCD是⊙O的内接四边形．求证：平行四边形ABCD是矩形．图1证明：∠A＋∠C＝180 °(圆内接四边形对角互补)又∠A＝∠C(平行四边形对角相等)∴∠A＝∠C＝90 °所以圆内接平行四边形是矩形．如图2，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A＝50°，则∠OCD的度数是(A) 45°C．50°D．60°变形1【解析】如图，连接OB，∵∠A＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°.∵OB＝OC，∴∠OCD＝∠OBC＝180°－∠BOC2＝40°.如图3，点A，B，C，D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝__60°__．变形2【解析】如图，连接DO并延长，∵四边形OABC为平行四边形，∴∠B＝∠AOC.∵∠AOC＝2∠ADC，∴∠B＝2∠ADC.∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B＋∠ADC＝180°，∴3∠ADC＝180°，∴∠ADC＝60°，∴∠B＝∠AOC＝120°.∵∠1＝∠OAD＋∠ADO，∠2＝∠OCD ＋∠CDO，∴∠OAD＋∠OCD＝(∠1＋∠2)－(∠ADO＋∠CDO)＝∠AOC－∠ADC＝120°－60°＝60°.[2012·青岛]如图4，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠AOC ＝60°，则∠ABC 的度数是__150°__．【解析】 在优弧ADC ︵上取点D ，连接AD ，CD ，∵∠AOC ＝60°，∴∠ADC ＝12∠AOC ＝30 °. ADC ＝180°，∴∠ABC ＝180°－∠ADC ＝180°－30°＝150°.故答案为150°.如图5，若AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD ＝55°，则∠BCD 的度数为( A )B ．45°C ．55°D ．75°如图6，A ，P ，B ，C 是半径为8的⊙O 上的四点，且满足∠BAC ＝∠APC ＝60°.(1)求证：△ABC 是等边三角形；(2)求圆心O 到BC 的距离OD .解：(1)在△ABC 中，∵∠BAC ＝∠APC ＝60°，又∵∠APC ＝∠ABC ，∴∠ABC ＝60°，∴∠ACB ＝180°－∠BAC －∠ABC ＝180°－60°－60°＝60°，∴△ABC 是等边三角形；(2)如图，连接OB ，OC ，则∠BOC ＝2∠BAC ＝120°.∵OB ＝OC ，OD ⊥BC ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝12(180°－∠BOC )＝30°.在Rt △BOD 中，∠ODB ＝90°，∠OBC ＝30°，∴OD ＝12OB ＝12×8＝4.二 圆周角定理与垂径定理的综合教材P89习题24.1第5题)如图7，OA ⊥BC ，∠AOB ＝50°，试确定∠ADC 的大小．图7 解：∵OA ⊥BC ，∴AC ︵＝AB ︵，∴∠ADC ＝12∠AOB ＝25°. 【思想方法】 垂径定理与圆周角定理的综合运用一般是通过圆周角定理进行角度、弧度转换，利用垂径定理求解．如图8，⊙O 的弦AB 垂直半径OC 于点D ，∠CBA ＝30°，OC ＝3 3 cm ，则弦AB 的长为( A )图8A ．9 cmB ．3 3 cmC.92 cmD.332cm 解：∵∠CBA ＝30°，∴∠AOC ＝2∠CBA ＝60°，∵AB ⊥OC ，∴∠ADO ＝90°，∴∠OAD ＝30°，∴OD ＝12OA ＝12×33＝323(cm)， 由勾股定理得：AD ＝OA 2－OD 2＝4.5 cm ，∵AB ⊥OC ，OC 过O ，∴AB ＝2AD ＝9(cm)，故选A.如图9，⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连接AO 并延长交⊙O 于点E ，连接EC .若AB ＝8，CD ＝2，则EC 的长为( D )图9 变形2答图A ．215B ．8C ．210D ．213【解析】 ∵⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，AB ＝8，∴AC ＝BC ＝4，设⊙O 的半径为r ，则OC ＝r －2，在Rt △AOC 中，∵AC ＝4，OC ＝r －2，∴OA 2＝AC 2＋OC 2，即r 2＝42＋(r －2)2，解得r ＝5，∴AE ＝2r ＝10，连接BE ，∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE ＝90°，在Rt △ABE 中，∵AE ＝10，AB ＝8， ∴BE ＝AE 2－AB 2＝102－82＝6，在Rt △BCE 中，∵BE ＝6，BC ＝4，∴CE ＝BE 2＋BC 2＝62＋42＝213.故选D.如图10，半圆O 的直径AB ＝10，弦AC ＝6 cm ，AD 平分∠BAC ，则AD 的长为( A )图10 变形3答图A ．4 5 cmB ．3 5 cmC ．5 5 cmD ．4 cm【解析】 连接OD ，OC ，作DE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，∵∠CAD ＝∠BAD (角平分线的性质)，∴CD ︵＝BD ︵，∴∠DOB ＝∠OAC ＝2∠BAD ，∴△AOF ≌△OED ，∴OE ＝AF ＝12AC ＝3 cm ， 在Rt △DOE 中，，DE ＝OD 2－OE 2＝4 cm ，在Rt △ADE 中，AD ＝DE 2＋AE 2＝4 5 cm ，故选A.如图11，AB 是⊙O 的一条弦，点C 是⊙O 上一动点，且∠ACB ＝30°，点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，直线EF 与⊙O 交于G ，H 两点，若⊙O 的半径为7，则GE ＋FH 的最大值为__10.5__．图11 变形4答图【解析】 如图，当GH 为⊙O 的直径时，GE ＋FH 有最大值．∵⊙O 的半径为7，∴GH ＝14.连接OA ，OB .∵∠ACB ＝30°，∴∠AOB ＝2∠ACB ＝60°，∵OA ＝OB ，∴△AOB 为等边三角形，∴AB ＝OA ＝OB ＝7，∵点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，∴EF ＝12AB ＝3.5， ∴GE ＋FH ＝GH －EF ＝14－3.5＝10.5.故答案为10.5.如图12，在⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点P ，∠CAB ＝40°，∠APD ＝65°.(1)求∠B 的大小； O 到BD 的距离．图12变形5答图解：(1)∵∠APD ＝∠C ＋∠CAB ，∴∠C ＝∠APD －∠CAB ＝65°－40°＝25°.∴∠B ＝∠C ＝25°.(2)如图，过点O 作OE ⊥BD 于点E ，则DE ＝BE .又∵AO ＝BO ，∴OE ＝12AD ＝12×6＝3.∴圆心O 到BD 的距离为3.如图13所示，AB 是⊙O 的一条弦，E 在⊙O 上，设⊙O 的半径为4 cm ，AB ＝4 3 cm ，(1)求圆心O 到弦AB 的距离OD ；(2)求∠AEB 的度数．解：(1)连接OA ，OB .∵OD ⊥AB ，∴AD ＝12AB ＝2 3 cm. 在Rt △ODA 中，OA ＝4 cm ，∴OD ＝OA 2－AD 2＝16－12＝2 (cm)；(2)Rt △ODA 中，OA ＝4 cm ，OD ＝2 cm ，∴∠OAD ＝30°，∴∠AOD ＝60°.∵OA ＝OB ，OD ⊥AB ，∴∠AOB ＝2∠AEB ＝120°，∴∠AEB ＝1∠AOB ＝60°.图14如图14，已知在⊙O 中，AB ＝43，AC 是⊙O 的直径，AC ⊥BD 于F ，∠A ＝30°，求BD 及OF 的长．解：∵AB ＝43，AC ⊥BD 于F ，∠A ＝30°，∴BF ＝12AB ＝43×12＝23，AF ＝AB 2－BF 2＝（43）2－（23）2＝6. ∵AC 是⊙O 的直径，∴BD ＝2BF ＝2×23＝4 3.设OF ＝x ，则OB ＝AF －OF ＝6－x ，在Rt △OBF 中，OB 2＝BF 2＋OF 2，即(6－x )2＝(23)2＋x 2，解得x ＝2，即OF ＝2.答：BD 的长是43，OF 的长是2.如图15，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，以OA 为直径的⊙D 与AC 相交于点E .(1)若AC ＝16，求AE 的长．(2)若C 点在⊙O 上运动(不包括A ，B 两点)，则在运动的过程中AC 与AE 有何特殊的数量关系？请把你探究得到的结论填写在横线上．解：(1)如图，连接OE ，∵AO 是⊙D 的直径，∴∠OEA ＝90°，∴OE ⊥AC .∵OE 过⊙O 的圆心O ，∴AE ＝CE ＝12AC ＝12×16＝8. (2)若C 点在⊙O 上运动(不包括A ，B 两点)，则在运动的过程中AE ＝12AC .。