6.流函数
6.流函数求解方法 6.1方法简介
类似于势函数解法，对于理想流体的二维流动在流动区域内流函数也满足Laplace 方程，可以使用类似于势函数的方法进行离散和网格处理，通过递推收敛得到最终结果。
也是一种可行的快速求解方法。
同时，相较于势函数解法而言，流函数还有一大优势就是在物面满足第一类边界条件，相较于势函数的第二类边界条件而言更加容易描述。
然而流函数在求解域边界（近似无穷远）上的边界条件的提法并不是显然的。
在这里我们遇到了一些困难，目前估计是由于边界条件的处理并不十分合理导致流函数解发散。
这一点在后面会更加详细地讨论。
6.2 程序实现
对于流函数的Laplace 函数
02
222=∂∂+∂∂y
x ψ
ψ 和势函数方法一样，我们需要将对物理平面的导数转化为计算平面的导数。
由于
x x x ηηψξξψψ∂∂+∂∂=∂∂ ， y y y ηη
ψ
ξξψψ∂∂+∂∂=∂∂ 令ξηηξy x y x J -=
，得
)(1ξηηψξψψx x J y ∂∂+∂∂-=∂∂ ， )(1ξηη
ψξψψy y J x ∂∂-∂∂=∂∂ 所以有
0)()2(1
2
=⋅∆+⋅∆++-=
∆ηξηηηηξξψηψξγψβψαψψJ
其中
22η
ηαy x += ， ηξηξβy y x x += ，2
2ξξγy x += yy xx ξξξ+=∆ ， yy xx ηηη+=∆
下面将方程离散化
2,1,,1)(2ξψψψψξξ
∆+-=-+j i j i j i ， 2
1
,,1,)
(2ηψψψψηη∆+-=-+j i j i j i ξηψψψψψξη∆∆+--=---++-++41
,11,11,11,1j i j i j i j i
ξ
ψψψξ∆-=
-+2,1,1j i j i ， ηψψψη∆-=-+21
,1,j i j i
对X,Y 的离散类似于对ψ的离散
另外对xx ξ、yy ξ、xx η、yy η、x ξ、y ξ、x η、y η的离散与势函数解法相同，在这里不再论述。
最后得到迭代式：
)]
()()()()[()(21
1,11,11,11,11,1
,,1,1253534141311,n n n n n n n n n j
i j i j i j i j i j i j i j i j i H H H H H H H H H H H ---++-++-+-++--+-+++-+++=+ψψψψψψψψψ
其中2
2
21ξ
η
η∆+=y x H ，ξηηξηξ∆∆+-=22y y x x H ， 2223ηξξ∆+=y x H ξξξ∆+=
24yy xx H ，η
ηη∆+=25yy
xx H
6.3 结果及困难
由于时间仓促，流函数方法求解最终并没能得到一个合理解，目前仍然在debug 中。
在这里主要讨论一下不考虑环量条件下的边界条件和物面条件提法的问题。
首先就是边界条件，边界条件的物理提法是无穷远来流条件，然而在对边界的ψ离散后会发现得到的只是一个边界上各点ψ值的相对关系，并不能得到ψ的准确值，然而可以想见，在流场中必然有一条流线从边界（模拟无穷远）出发终止于物面（驻点），那么这条流线对应的与边界的交点S 处的ψ值就应该等于物面的ψ值，然而S 点位置的确定并不是一件显然的事情。
我们提出的思路是：
（1）先给出尽可能接近真实值的初始条件
（2）利用迭代关系式求解边界上的ψ值，并与（1）中的“可能”近似解进行比较，在可行的范围内增加一定的约束进行迭代，直至收敛。
具体的方法是（1）以物面的前缘点假设为驻点，沿无穷远来流逆向延伸至边界，设置该点ψ值与物面的ψ值相等，之后利用边界上各点ψ值的相对关系给出边界上的初始ψ值。
（2）对于迭代求解的边界ψ值，找到其中与物面ψ值最相近的位置，如果这个位置在初始条件中给出的“可能”位置附近，则承认这组边界条件值中S 点的位置，然后根据新的S 点位置给出下一次迭代使用的边界ψ值。
对于流函数而言，物面显然是一条流线，因而在物面上const =ψ，然而注意到上述递推关系式为ψ的多项式，因而const 最好不要取值为0，这样可以加快收敛速度。
另一方面，
ξ∆和η∆的取值最好也不要取的过小，因为这两个数的取值虽然不会影响最终结果，但是
如果取得过小的话会导致计算过程中一些参数变得过大，导致程序中出现NaN （Not A Number ）致使程序崩溃。
另外在编程过程中如果使用Fortran 语言，在编写subroutine 的过程中要注意变量声明的问题，要尽量使用全局变量而不是在subroutine 中声明大量变量，因为这些变量全部存储在一个栈中，大量变量的声明会导致程序堆栈溢出。
同时Fortran 语言中实型、整型的转化也应该注意，否则就会导致一些很难察觉但是影响巨大的错误，这些都是我们在编程过程中遇到的问题。
虽然这些都是编程的具体问题，但是在计算流体力学这样
一个集成性很强的学科中，任何一方面的问题都会导致进度受阻，因此程序语言方面的问题也不容忽视。
目前我们的程序已确认没有明显的语法错误，目前求解不收敛，计算域内 值达到NAN，估计可能的原因是边界条件不合理，下面将进行进一步的研究探讨。
流函数拉普拉斯方程
流函数拉普拉斯方程流函数拉普拉斯方程是一种描述流体运动的重要方程，广泛应用于流体力学、电磁学等领域。
本文将从基本概念、方程的意义和应用等方面进行介绍。
我们来了解一下流函数的概念。
在流体力学中，流函数是描述流体流动的一种数学函数。
它的引入是为了简化流体流动的描述，使得方程形式更加简洁。
在二维流动中，流函数可以用来表示流体运动的特性，它是一个标量函数，满足拉普拉斯方程。
具体来说，对于二维流动，我们可以定义流函数为：ψ = ψ(x, y)其中，(x, y)为平面上的坐标点，ψ表示流函数。
通过流函数的定义，我们可以得到流体速度的两个分量：u = ∂ψ/∂yv = -∂ψ/∂x其中，u和v分别表示流体速度在x和y方向上的分量。
可以看出，流函数的引入将三维流动问题简化为了二维问题，从而简化了计算和分析的复杂性。
流函数拉普拉斯方程是描述流函数的方程，也是拉普拉斯方程在流体力学中的应用之一。
流函数拉普拉斯方程可以写成：△ψ = 0其中，△表示拉普拉斯算子，它表示对流函数ψ的二阶偏导数之和。
这个方程的物理意义是，在没有外力作用的情况下，流函数ψ满足的偏微分方程是零。
也就是说，流函数在流体运动中满足无源、无旋的条件，即流体运动是无旋的。
流函数拉普拉斯方程具有许多重要的性质和应用。
首先，它是一个椭圆型偏微分方程，具有良好的数学性质。
其次，它可以用来描述稳定的流体流动，例如稳定的定常流、稳定的湍流等。
此外，流函数拉普拉斯方程还可以应用于电磁学中的电势场和磁势场的求解，其中流函数对应电势或磁势。
在实际应用中，流函数拉普拉斯方程在流体力学和电磁学等领域具有广泛的应用。
在流体力学中，通过求解流函数拉普拉斯方程，可以得到流体的速度分布和流线的形状，从而帮助我们理解和分析流体运动的特性。
在电磁学中，流函数拉普拉斯方程可以用来求解电势场和磁势场的分布，从而帮助我们理解和分析电磁场的特性。
流函数拉普拉斯方程是一种重要的偏微分方程，用于描述流体运动和电磁场的分布。
流函数实验报告
一、实验目的1. 了解流函数的概念和性质。
2. 通过实验验证流函数在流体运动中的应用。
3. 熟悉实验仪器的操作和使用方法。
二、实验原理流函数是一种描述二维不可压缩流体运动的无量纲函数，它可以用来描述流体中任意点的速度分布。
对于二维不可压缩流体，其速度场可以用流函数φ表示，即：v₁ = ∂φ/∂xv₂ = -∂φ/∂y其中，v₁和v₂分别为流体在x和y方向的速度分量。
三、实验仪器与材料1. 流函数实验装置：包括实验台、水槽、泵、流量计、流量调节阀、透明塑料薄膜等。
2. 记录工具：记录本、笔、尺子等。
四、实验步骤1. 安装实验装置，确保各部件连接牢固。
2. 将透明塑料薄膜平铺在水槽底部，使其紧贴水槽。
3. 打开泵，调节流量调节阀，使水槽中的水流保持稳定。
4. 在塑料薄膜上滴一滴墨水，观察墨水在水中的扩散情况。
5. 记录墨水扩散的轨迹，分析流体速度分布。
6. 改变流量调节阀的开度，重复步骤4和5，观察不同流量下墨水扩散情况的变化。
7. 根据实验数据，绘制流函数φ随x和y变化的曲线。
五、实验结果与分析1. 观察到墨水在流体中呈螺旋状扩散，说明流体存在旋转运动。
2. 通过记录墨水扩散轨迹，绘制出流函数φ随x和y变化的曲线。
3. 分析实验数据，得出以下结论：a. 在水流中心区域，流函数φ随x和y的变化较为平缓，说明该区域流体速度较小；b. 在水流边缘区域，流函数φ随x和y的变化较为剧烈，说明该区域流体速度较大；c. 随着流量调节阀的开度增大，流体速度增大，流函数φ随x和y的变化更加剧烈。
六、实验总结1. 通过本次实验，我们了解了流函数的概念和性质，验证了流函数在流体运动中的应用。
2. 实验过程中，我们熟悉了实验仪器的操作和使用方法，提高了实验技能。
3. 实验结果表明，流函数可以有效地描述二维不可压缩流体的速度分布，为流体动力学研究提供了有力工具。
七、注意事项1. 实验过程中，确保实验装置连接牢固，避免发生意外。
流函数和势函数公式
流函数和势函数公式流函数与势函数是描述流体运动的两个重要概念，在流体力学中被广泛应用。
本文将介绍流函数和势函数的基本概念、性质以及求解方法。
1.流函数的概念和性质流函数是描述在二维定常流动中，各个流线上速度矢量的旋转情况的函数。
对于二维流动，假设流体流动的速度场为V(x,y)，则流函数Ψ(x,y)定义为：V=∇Ψ=(∂Ψ/∂x,∂Ψ/∂y)其中，∇Ψ是流函数Ψ的梯度向量。
流函数的性质如下：1)斜率定理：沿着流线的方向，流函数的局部斜率等于流体的速度分量。
2)流线定理：流线上的流函数值保持不变，即Ψ为常数。
3)流函数的连续性：在空间中的流函数是连续的，除非在相应的流体内有边界。
4)流函数的耗散性：流函数对时间是线性的，即流函数在时间方向上是耗散的。
2.势函数的概念和性质势函数是描述流体在无旋力场中流动时所具备的性质的函数。
无旋力场是指速度场的旋度等于零。
对于二维流动，假设流体流动的速度场为V(x,y)，则势函数φ(x,y)定义为：V=∇φ=(∂φ/∂x,∂φ/∂y)其中，∇φ是势函数φ的梯度向量。
势函数的性质如下：1)势函数的梯度向量是速度向量。
2)势流是不可压缩的，即∇·V=0。
3)势函数满足拉普拉斯方程，即∇²φ=0。
4)由于速度场的旋度等于零，势函数是无旋的。
3.流函数和势函数的关系在二维流动中，流函数和势函数之间存在一种特殊的关系，称为流函数-势函数耦合关系。
根据流函数和势函数的定义，可以得到流函数和势函数的关系：Ψ = ∫(∂φ/∂y)dx + f(y)φ = ∫(∂Ψ/∂x)dy + g(x)其中，f(y)和g(x)是任意常数函数。
根据流函数-势函数耦合关系可以求解流体的速度场，并且满足连续性方程和运动方程。
4.求解流函数和势函数的方法求解流函数和势函数的方法有多种，常用的方法有分离变量法、解析法和数值法。
4.1分离变量法分离变量法是将流函数和势函数分解为各自的变量函数，并通过解偏微分方程的边值问题来确定这些变量函数。
第五版 流体力学习题答案完整版
《流体力学》答案1-6．当空气温度从00C 增加至020C 时，ν值增加15%，容重减少10%，问此时μ值增加多少？⎡⎤⎣⎦解0000000000(115%90%)()()0.035 3.5%gggγγννμμρνρνμρνγν⨯---====1-7．图示为一水平方向运动的木板，其速度为1m s ，平板浮在油面上，油深 1mm δ=，油的0.09807Pa s μ=，求作用于平板单位面积上的阻力？⎡⎤⎣⎦解10.0980798.070.001du Pa dy τμ==⨯= 1-9．一底面积为4045cm ⨯，高为1cm 的木板，质量为5kg ，沿着涂有润滑油的斜面等速向下运动，已知1m v s =，1mm δ=，求润滑油的动力粘滞系数？⎡⎤⎣⎦解0T GSin α-= 55255131313T GSin G g g α==⋅=⨯⨯=所以 10.400.451800.001du T A dy μμμ==⨯=但 259.8070.10513180Pa s μ⨯==⋅⨯所以1-10．一个圆锥体绕其铅直中心轴等速旋转，锥体与固定壁的间距为δ＝1mm ，全部为润滑油充满，μ＝0.1Pa.s ，当旋转角速度ω＝16s －1，锥体底部半径R ＝0.3m,高H ＝0.5m 时，求：作用于圆锥的阻力矩。
解： 取微元体， 微元面积：阻力矩为：阻力： 阻力矩51213GVδ22cos 0dhdA r dl r du r dy dT dA dM dT rππθωτμμδτ=⋅=⋅-====⋅0333012cos 12()cos 12cos HHHM dM rdT r dAr r dh r dh r tg h tg h dhττπθωμπθδθωμπθδθ====⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅=⋅⋅⋅⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰1-14．图示为一采暖系统图，由于水温升高引起水的体积膨胀，为了防止管道及暖气片胀裂，特在顶部设置一膨胀水箱，使水的体积有自由膨胀的余地，若系统内水的总体积38V m =，加热前后温度差050t C =，水的热胀系数0.0005α=，求膨胀水箱的最小容积？⎡⎤⎣⎦解因为 dV V dt α=所以 30.00058500.2dV Vdt m α==⨯⨯=2-2．在封闭管端完全真空的情况下，水银柱差250Z mm =，求盛水容器液面绝对压强1p 及测压管中水面高度1Z ？⎡⎤⎣⎦解312013.6109.80.056664a p Z p γ=+=⨯⨯⨯=11 6.6640.686809.8p Z m mm γ==== 2-6．封闭容器水面的绝对压强20107.7KNp m =，当地大气压强298.07a KNp m =，试求（1）水深0.8h m =的A 点的绝对压强和相对压强？（2）若容器水面距基准面高度5Z m =，求A 点的测压管高度和测压管水头。
流函数和涡量的关系
流函数和涡量的关系首先，我们来了解一下流函数的概念。
在二维不可压缩流动中，可以引入一个标量函数ψ（psi），称为流函数。
对于无旋流动，流函数满足以下两个条件：1.流函数在流体中的每一点都是唯一的；2.流函数在流体中的每一点的梯度是与流线垂直的。
具体来说，对于一个二维不可压缩流动，流函数满足的方程为：∇^2ψ=0其中，∇^2表示Laplace算子，表示函数的二阶空间偏导数之和。
这个方程被称为二维无旋流动的流函数方程。
流函数的一个重要性质是它处处连续，因此在流体中任意两点之间的流函数值的差是固定的。
这一性质可以用来构建流函数图，通过等值线的形状和密度可以直观地了解流场的分布和性质。
接下来，我们来看一下涡量的概念。
在流体动力学中，涡量（vorticity）被定义为速度场的旋度（curl）。
对于一个三维流体流动，涡量的定义如下：ω=∇×v其中，∇×表示旋度算子，v表示流体的速度场。
对于二维流动，可以令速度场的z分量等于0，即v=(u,v,0)，其中u和v分别表示速度场在x和y方向的分量。
这样，涡量的定义可以转化为：ω=∇×(u,v,0)=(∂v/∂x-∂u/∂y)k其中,k表示z方向的单位向量。
从上述定义可以看出，涡量的数量是一个矢量，垂直于流体流动平面，并有一个不为零的标量分量。
涡量描述了流体流动中的旋转性质，是流体旋转的程度的度量。
涡量的大小和方向可以用来描述流体流动的各种特征。
例如，涡量在流线上的积分值可以用来计算闭合曲线上的涡量通量，从而揭示了流体中的环量守恒原理。
ωx=-∂ψ/∂yωy=∂ψ/∂x从上述公式可以看出，流函数的梯度的分量与涡量的分量之间存在一一对应的关系。
因此，在已知流函数的情况下，可以通过求偏导数的方式获得涡量的x和y分量。
v=∇ψ×k其中，k表示z方向的单位向量。
从上述公式可以看出，速度场的旋度就是涡量。
因此，在已知流函数的情况下，可以通过求旋度的方式获得涡量的大小和方向。
1-6 势函数流函数
V
V V
v u 0 x y D u v 0 x y
无辐散涡旋流，产生涡旋部分
无旋辐散流，引起散度部分
பைடு நூலகம்
V V , V 0 V V , V 0
二、流函数
引入流体散度的概念之后，可将流体运动分为：
无辐散流 流体运动
V 0
V 0
辐散流
考虑二维无辐散流动，即满足：
u u x , y, t , v v x , y, t
w0
u / x v / y 0
则流线方程为：
dx dy u v vdx udy 0
d x, y, t vdx udy 0
d x, y, t vdx udy 0
u ,v y x
V k
流函数与流线的关系？
流函数与流线的关系
d x, y, t vdx udy 0
积分
x, y, t C
，位势梯度小，相应的 流速小。
势函数和散度的关系
u v w D x y z
V
D
2
2 2 2 2 其中， 为三维拉普拉斯算子 2 2 x y z 2 那么，如果给定D，通过求解泊松（Poisson）方程，即
可求得势函数；已知u、v、w，先计算D，再解泊松方 程，得φ；已知φ，求导计算即可获得u、v、w 。
③形变张量的概念。
§6速度势函数和流函数 ①势函数的定义、表示流体运动的方法； ②流函数的定义、表示流体运动的方法； ③速度势函数、流函数表示二维流动。
流体力学选择题
第一章流体及其物理性质1、如果在某一瞬间使流体中每个流体微团的密度均相同，则这种流体一定是( )。
A、可压缩流体；B、不可压缩流体；C、均质流体；D、非均质流体；2、牛顿内摩擦定律告诉我们( )。
A、作用于流层上切向应力与压力成正比；B、作用于流层上切向应力与速度梯度成正比；C、作用于流层上切向应力与速度梯度成反比；D、作用于流层上切向应力与流层面积成反比；3、流体的特点是( )。
A、只能承受微小剪切力作用；B、受任何微小压力都能连续变形；C、当受到剪切力作用时，仅能产生一定程度的变形；D、受任何微小剪切力作用将发生连续变形；4、在地球的重力场中，流体的密度和重度的关系为( )。
A、gργ=；B、gργ=；C、ργg=；D、γρg=；5、流体是那样一种物质，它( )。
A、不断膨胀，直到充满任意容器；B、实际上是不可压缩的；C、不能承受切应力；D、在任意切应力作用下，不能保持静止；6、流体的力学特征为( )。
A、只能承受微小剪切力作用；B、受任何小压力都能连续变形；C、与受到剪切力作用时，仅产生一定程度的变形；D、受任何微小剪切力都能连续变形；7、流体的粘性受温度的影响很大，液体的粘性随温度的升高而( )，气体的粘性随温度的升高而( )。
A、增大；B、减小；C、无规则地变化；D、趋于一稳定值；8、流体层流流动时，内摩擦阻力的大小( )。
A、与正压力成正比B、与速度梯度成正比C、与流体的动力粘度无关9、流体的运动粘度系数ν的关系式为( )。
A、ρμν=； B、μρν=；C、ρμν=； D、νρμ=；10、不可压缩流体( )。
A、其中任意一个流体质点的密度始终不定；B、其中每一个流体质点的密度均相同；C、就是密度等于常数的流体；D、就是流体微团的密度不随压力变化的第二章流体力学的基本概念1、定常流动是指( )。
A、任一点流动情况不随时间改变；B、t∂∂→ν不变；C、相邻两点任意瞬时流动情况相同；D、流动情况总是随时间变化；2、水力半径可由下列之一给出( )。
第六章 不可压缩理想流体平面无旋流动
ϕ = xV∞ cos α + yV∞ sin α + c1 ∂ψ ∂ψ dψ = dx + dy = −V∞ sin α dx + V∞ cos α dy
∂x ∂y
ψ = − xV∞ sin α + yV∞ cos α + c2
令通过原点的流函数及势函数及势函数的值为零，则 c1 = c2 = 0 ，最后得到均匀场速度势与流函数为
V×V = 0
将V = ∇ϕ 及 V = ∇ψ × k 代入，得
V × V = ∇ϕ × (∇ψ × k ) = (∇ϕ ⋅ k )∇ψ − (∇ϕ ⋅ ∇ψ )k = −(∇ϕ ⋅ ∇ψ )k = 0
∇ϕ ⋅ ∇ψ = 0
所以
§ 9-4 不可压理想流体平面无旋流动的 复势与复速度
一.复势与复速度
2 2
1 d[(x − x0 ) +(y − y0 ) ] 2 2 σ 1 2 d ln σ 2
Γ φ = ∫ dφ + const = − ln σ + const 2π Γ ln σ φ= − 2π y − y0 Γ arctg ϕ= 2π x − x0 Γ ' ϕ= ε 2π
Γ ' ⎛ Γ ⎞ χ = ϕ + iφ = ε + i ⎜ − ln σ ⎟ 2π ⎝ 2π ⎠ iΓ ⎡ iε ⎤ =− ln σ + ln e ⎥ ⎣ ⎦ 2π ⎢ iΓ iε =− ln σ e 2π iΓ =− ( z-z0 ) 2π iΓ χ ( z ) = − ( z-z0 ) 2π
一、流函数的定义
∂ρ + ∇i( ρV ) = 0 ∂t ∇iV = 0 ∇i( ρV ) = 0 ∂ = 0 ,Vz = 0 ∂z 1 ⎛ ∂h2 ρV1 ∂h1ρV2 ⎞ ∇iV = + ⎜ ⎟=0 h1h2 ⎝ ∂q1 ∂q2 ⎠
流函数与势函数.docx
一、流函数流函数概念的提出是仅对不可压缩流体的平面流动而言的。
所谓平面流动是指流场中各点的流速都平行于某一固定平面，并且各物理量在此平面的垂直方向上没有变化。
由不可压缩流体的平面流动的连续方程得du dv--- =—―dx dy平面流动的流线微分方程为吗一血" ⑵式(1)是式(2)成为某一函数的全微分的必要且充分的条件，即于是很显然，在流线上(1屮二0或屮二C。
每条流线对应一个常数值, 所以称函数屮为流函数。
对于不可压缩流体的平面流动，用极坐标表示的连续方程、流函数的微分和速度分量分别为:(1)dr dddy/流函数具有明确的物固愿契：平面流动中两条流线间单位厚度通过的体积流量等于两条流线上的流函数常数之差。
在流函数屮的定义中，为保证流函数变化值（1屮与流量增量值dq、同号，规定绕B点逆时针方向穿过曲线AB的流量为正，反之为负，这里的流量4,.是指通过z方向为单位高度的柱面的体积流量。
通过A点的流线的流函数值屮1 ,通过B点的流线的流函数值屮2 ，则通过AB柱面的体积流量为¥ r w 辛q v = \V -dZ = J \u cos(n7 x) +v cos(再y)](SA A["字 + v(-务问二j (T -vdx)AB\(1屮=屮2_屮\A在引出流函数这个概念时，既没有涉及流体是粘性的还是非粘性的，也 没有涉及流体是有旋的还是无旋的。
所以，无论是理想流体还是粘性流 体，无论是有旋流动还是无旋流动，只要是不可压缩流体的平面流动, 就存在流函数，dv du .----- —=0对于xoy 平面内的无旋流动，有CO Z =0,即：去Oy口2 才屮 d 2i// 门VV=—r + —r=0也可得dx创即不可压缩流体的平面无旋流动的流函数满足拉普拉斯方程，也是调和 函数。
对于极坐标系，该满足拉普拉斯方程为d 2u/ 1 du/ 1 d 2u/ c+ -- +——^=0 dr 2 r dr r 2 d02二、速度势函数屮】对于无粘性（理想）流体的无旋流动而言，由斯托克斯定理可知， 沿流场中任意封闭周线的速度线积分，即速度环量均为零。
速度势函数和流函数
引入流函数的优点： ① 可以减少表征流体运动的变量。2 个变1 个。 ② 流函数还可以用来表示流体体积通量。
10
流函数与体积通量：
图中自南向北的4 条线是流线（等流函数线），任取AB曲线，在 该线上任一点的速度矢是 ，法向单位矢是 ，曲线单位矢是
上式表明，两点的流函数值之差等于过这两点的任何曲线的流体 的体积通量（体积流量）值，跟曲线的形状、长短无关。
称为无辐散涡旋流(流函数对应)
称为无旋辐散流(势函数对应)
14
速度矢的分解
已知速度矢，如何得到速度的分解： 1）根据速度求出涡度和散度，即： 2）我们在前面已经给出了【势函数与散度】的关系，【流函数与 涡度】的关系，如下： 这是两个泊松方程，连立求解就得到势函数和流函数
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15
3）根据辐散流和势函数的关系，涡旋流和流函数的关系，得到两 个风速分量，即：
根据流线方程的求法，（* ）的流线方程为：
（1.75 ）可积的充要条件是无辐散，与（1.76 ）对比，发现是一 样的。对（1.76 ）积分，得： 上式时间取定，常数也取定时，就代表了某时刻的某一条流线， 或等流函数线，此曲线上的切线处处跟流速矢方向一致。
9
注意：
① ②
流函数引入的条件是流体运动为二维，而流体是不可压缩的，不 论流体是有旋还是无旋，流函数都存在。 如将流函数应用到一般的三维流体运动则会引起相当大的解析困 难。）
6
流函数：
我们对流函数的讨论是建立在二维运动 XOY，且运动无辐散。即：
由无辐散条件 ，可以找到一个函数与速度矢对应，我们把这个函 数写成ψ ，ψ 的全微分为：