福建省厦门市第六中学2020-2021学年第一学期高一期中考试数学试卷
福建省厦门市第三中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷
福建省厦门市第三中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、单选题1．若集合{(,)|0}M x y x y =+=，{(,)|2}P x y x y =-=，则M P ⋂=（）A ．(1,1)-B ．{x ＝1或y ＝−1}C ．{1，−1}D ．{(1,1)}-2．函数31()f x x x=-的图象是（）A ．B ．C ．D ．3．若集合{}{}2,1,1,0,1x x x +=-，则x =（）A ．0B ．1C ．1-D ．1，1-4．下列说法错误的是（）A ．命题“x ∃∈R ，210x x ++<”，则p ⌝：“x ∀∈R ，210x x ++≥”B ．“1x =”是“2320x x -+=”的充分条件C ．若p 是q 的充分不必要条件，则q 是p 的必要不充分条件D ．已知a ，b ∈R ，则“1ab >”是“1a >且1b ≤”的充分而不必要条件5．已知函数()28h x x kx =--，在[]5,10上是单调函数，则k 的取值范围是（）A ．(],10-∞B ．[)20,+∞C ．][(),1020,∞∞-+∪D ．∅6．若正实数a ，b 满足21a b +=，则11a b+有（）A ．最小值，且最小值为1B ．最小值，且最小值为3+C ．最大值，且最大值为1D ．最大值，且最大值为3+7．已知函数()1y f x =+的定义域为[]1,4-，则y =）A ．(]1,2B ．[]1,9-C ．(]1,9D ．[]1,2-8．已知奇函数()f x 满足()10f =，且()f x 在()0,+∞上单调递减，则()()0xf x f x <--的解集是（）A ．()1,1-B ．()(),11,-∞-⋃+∞C ．(),1∞--D ．()()1,+1,0∞- 二、多选题9．已知关于x 的不等式220ax ax -+>对R x ∈恒成立，则实数a 的可取值是（）A ．-2B ．0C ．3D ．710．已知函数()22,11,12x x f x x x +≤-⎧=⎨+-<<⎩，关于函数f (x )的结论正确的是（）A ．f (x )的定义域是RB ．f (x )的值域是(),5-∞C ．若f (x )=3，则xD ．f (x )图象与y =2有两个交点11．已知定义在R 上且不恒为0的函数()f x 满足如下条件：①()()()f xy xf y yf x =+，②当1x >时，()0f x >，则下列结论正确的是（）A ．()10f -=B ．函数()f x 是偶函数C ．函数()f x 在()1,+∞上是增函数D ．不等式()0f x x>的解集为()()1,01,-⋃+∞三、填空题12．函数y x =-.13．函数()()2283,01,0a x a x f x x ax x ⎧-+≤=⎨--+>⎩是R 上的减函数，则a 的取值范围是.14．已知连续函数()f x 对任意实数x 恒有()()()f x y f x f y ++＝，当0x >时，()0f x <，(1)2f =-，则()f x 在[3,3]-上的最大值是四、解答题15．已知集合301x A x x ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，{}251B x m x m =-≤≤+.(1)命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若q 是p 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.(2)命题“:r x A ∃∈，使得x B ∈”是真命题，求实数m 的取值范围.16．（1）已知)2fx =+，求函数()f x 的解析式；（2）已知()f x 是二次函数，且满足()01f =，()()12f x f x x +=+，求函数()f x 的解析式；（3）已知()()223f x f x x +-=+，求()f x 的解析式.17．已知函数()21mx nf x x +=+是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =.(1)求,m n 的值；(2)判断()f x 的单调性，并用定义法证明你的结论；(3)求使()2(1)10f a f a -+-<成立的实数a 的取值范围.18．某企业要建造一个形如长方体的体育馆，其地面面积为540平方米，高为6米.已知甲工程队报价如下：馆顶的造价为每平方米200元，由于利用现成的水泥地面，因此地面不需要花钱，体育馆前、后两侧墙壁的造价为每平方米300元，左、右两侧墙壁的造价为每平方米500元.设体育馆前墙长为x 米.(1)当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？(2)现有乙工程队也参与该体育馆的建造竞标，其给出的整体报价为886360086400a a x +⎛⎫++ ⎪⎝⎭（0a >）元，且报价低的工程队竞标成功.若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a 的取值范围.19．“函数()x ϕ的图象关于点(,)m n 对称”的充要条件是“对于函数()x ϕ定义域内的任意x ，都有()()22x m x n ϕϕ+-=”．若定义在R 上函数()f x 的图象关于点(1,2)对称，且当[]0,1x ∈时，()21f x x ax a =-++．(1)求()()13f f -+的值；(2)设函数()22xg x x=-．（i ）函数()g x 的图像关于点(,)m n 对称，求,m n 的值．（ii ）若对任意[]10,2x ∈，总存在242,3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围．。
2021-2022学年福建省厦门第一中学高一上学期入学考试数学试题(解析版)
2021-2022学年福建省厦门第一中学高一上学期入学考试数学试题一、单选题1 ） A ．2± B ．4±C ．2D ．4【答案】A【解析】，所以所求为4的平方根，按平方根的定义计算即可.【详解】，4的平方根为2±. 故选：A【点睛】本题考查平方根的计算，解题的关键是认真审题，本题属于基础题.2．据厦门中学生助手微信公众号统计，2020年厦门市全社会用于基础建设的资金约为100553000000元，这个数用科学记数法表示为（ ） A ．1.00553×1010元； B ．1.00553×10 11 元； C ．1.00553×1012元； D ．1.00553×1013元【答案】B【分析】直接用科学计数法法表示即可.【详解】解：根据科学计数法可知：11100553000000 1.0055310=⨯， 所以，这个数用科学记数法表示为111.0055310⨯元. 故选：B3．已知,a b 满足方程组51234a b a b +=⎧⎨-=⎩，则a b +的值为（ ）A ．4B ．﹣4C ．2D ．﹣2【答案】A【分析】解方程得2b =，2a =，再计算a b +即可.【详解】解：因为51234a b a b +=⎧⎨-=⎩，所以3153634a b a b +=⎧⎨-=⎩，所以1632b =，即2b =，所以1252a b =-=， 所以4a b += 故选：A4．如图是一块长、宽、高分别为6cm 、4cm 、3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（）A．97cm B．85cm C．9cm D．(3213)+cm 【答案】B【分析】把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，结合勾股定理，即可求解.【详解】第一种情况：把所看的前面和上面组成一个平面，如图所示，则这个长方形的长和宽分别为9和4，所以所走的路程最短线段为229497；第二种情况：把看到的左面与上面组成一个长方形，如图所示，则这个长方形的长和宽分别为7和6，所以所走的路程最短线段为227685；第三种情况：把看到的前面与右面组成一个长方形，如图所示，则这个长方形的长和宽分别为10和3，所以所走的路程最短线段为22+=；103109故选：B.5．函数2和在同一直角坐标系内的图象可以是（）y ax b y ax bx c=+=++A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】分类讨论，0a >和0a <时，由一次函数的单调性与二次函数图象的开口方向，排除一些选项，再由b 的正负，确定二次函数对称轴的位置，从而可得最后结果. 【详解】若a >0，则一次函数y ＝ax ＋b 为增函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向上，故可排除A ；若a ＜0，同理可排除D. 对于选项B ，由直线可知a >0，b >0，从而02ba-<，而二次函数的对称轴在y 轴的右侧，故应排除B. 故选：C.6．一同学在n 天假期中观察： （1）下了7次雨，在上午或下午； （2）当下午下雨时，上午是晴天； （3）一共有5个下午是晴天； （4）一共有6个上午是晴天. 则n 最小为（ ） A ．7 B ．9C ．10D ．11【答案】B【分析】可假设上下午下雨的天数，然后计算出上下午晴天的天数，直到找到符合题意的情况，可得答案.【详解】假设上午或下午下了7次雨，则应有下午或上午下雨0次，即下午或上午有7个是晴天，与一共有5个下午是晴天以及一共有6个上午是晴天都不符合，故假设不成立；假设上午或下午下了6次雨，则应有下午或上午下雨1天，即下午或上午有6个是晴天，与一共有5个下午是晴天不符合，故假设不成立；假设上午或下午下了5次雨，则应有下午或上午下雨2天，即下午或上午有5个是晴天，与一共有6个上午是晴天不符合，故假设不成立；假设上午或下午下了4次雨，则应有下午或上午下雨3天，那么都加上3个上下午都晴天，即上午晴6天，下午晴7天，与题意不符合，故假设不成立；故假设下午下了4次雨，则应有上午下雨3天，那么都加上2个上下午都晴天，即有5个下午是晴天，有6个上午是晴天，与题意都符合，故n 最小为4329++= ； 故选：B7．已知(3)1y x x a =-+-+是关于x 的二次函数， 当x 的取值范围在15x ≤≤时，y 在1x =时取得最大值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．9a =B ．5a =C ．9a ≤D ．5a ≤【答案】D【分析】由题知对应的二次函数开口向下，对称轴为32ax -=-且在15x ≤≤时，y 随着x 的增大而减小，进而解不等式312a--≤即可得答案. 【详解】解：()2(3)131y x x a x a x =-+-+=---+，开口向下，对称轴为32ax -=-， 因为当x 的取值范围在15x ≤≤时，y 在1x =时取得最大值， 所以，x 的取值范围在15x ≤≤时，y 随着x 的增大而减小， 所以312ax -=-≤，解得5a ≤. 所以，实数a 的取值范围是5a ≤. 故选：D8．正方形ABCD 、正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，正方形BEFG 的边长为4，则DEK 的面积为（ ）A ．10B ．12C ．14D ．16【答案】D【分析】根据题意，连接,,BD GE FK ，则////BD GE FK ，进而得GDEGBES S=，GEKGEFSS=，再计算面积即可得答案.【详解】解：如图，连接,,BD GE FK ，则////BD GE FK ， 所以，在梯形BEGD 中，GDEGBES S=（等底等高），在梯形GEKF 中，GEKGEFS S=（等底等高）所以，16GDEGEKGBEGEFBEFGDEKSSS SSS +=+===.故选： D9．如图，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C 在反比例函数241k k y x++=的图像上，若点A 的坐标为(2,3)--，则正数k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．5【答案】A【分析】设()00,C x y ，进而根据题意得006x y =，即200416k x y k =+=+，再解方程即可得答案.【详解】解：设()00,C x y ，因为矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，点A 的坐标为(2,3)--所以，设直线BD 的方程为()0y mx m =≠，()()002,,,3B y D x --，所以0023y m mx =-⎧⎨-=⎩，所以006x y =，因为点C 在反比例函数241k k y x++=的图像上，所以200416k x y k =+=+，即2450k k +-=，解得1k =或5k =-（舍）所以，正数k 的值为1k =. 故选：A10．如图，AB 是⊙O 的直径， 点C 是⊙O 上一点，AD 与过点C 的切线垂直，垂足为D ，直线DC 与AB 的延长线交于点P ，弦CE 平分ACB ∠，交AB 于点F ，连接BE ，72BE =.下列四个结论：①AC 平分DAB ∠；②2·PF PB PA=；③若12BC OP =，则阴影部分的面积为749π344-；④若24PC =，则3tan 4PCB ∠=.其中正确的是（ ）A ．①②B ．③④C ．①②④D ．①②③【答案】C【分析】连接OC ，结合切线的性质得//OC AD ，进而根据平行线的性质判断①；根据几何关系证明PC PF =，再根据PCB PAC △△得2PC PB PA =⋅判断②；连接AE ，根据几何关系证明OBC 是等边三角形，进而计算阴影部分面积判断③；由PCB PAC △△得tan tan BC PBPCB PAC AC PC∠=∠==，再设PB x =，则14PA x =+，根据2PC PB PA =⋅解得18PB =，进而可判断④；【详解】解：对于①，连接OC ，OA OC =，OAC OCA ∴∠=∠， ∵PC 是圆O 的切线，AD CD ⊥，∴90OCP D ︒∠=∠=，∴//OC AD ， ∴CAD OCA OAC ∠=∠=∠，即AC 平分DAB ∠，故①正确； 对于②，∵AB 是直径，∴90ACB ︒∠=，90PCB ACD ︒∴∠+∠=， 又90CAD ACD ︒∠+∠=，CAB CAD PCB ∴∠=∠=∠，又,ACE BCE PFC CAB ACE ∠=∠∠=∠+∠，PCF PCB BCE ∠=∠+∠，PFC PCF ∴∠=∠，PC PF ∴=，∵P ∠是公共角，PCB PAC ∴△△，::PA C PB PC P =∴，2P PC B PA =∴⋅，即2PF PB PA =⋅，故②正确；对于③，连接AE ，∵ACE BCE ∠=∠，∴AE BE =，∴AE BE =，又∵AB 是直径，∴90AEB ︒∠=，∴227214AB BE ==⨯=，∴7OB OC ==，∵PD 是切线，∴90OCP ︒∠=，∵12BC OP =，∴BC 是Rt OPC 的中线，∴BC OB OC ==，即OBC 是等边三角形，∴60BOC ︒∠=， ∴24960493,743606BOC BOC S S ππ==⨯⨯=△扇形， ∴ 阴影部分面积为4949364π-，故③错误； 对于④，PCB PAC △△，∴PB BCPC AC=，tan tan BC PB PCB PAC AC PC ∴∠=∠==， 设PB x =，则14PA x =+，2P PC B PA =∴⋅，224(14)x x ∴=+，解得1218,32x x ==-，18PB ∴=，183tan 244PB PCB PC ∠===，故④正确. 故选：C二、双空题11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，把由两条射线AE ，BF 和以AB 为直径的半圆所组成的图形叫作图形C （注：不含AB 线段）．已知(1,0),(1,0)A B -，AE ∥BF ，且半圆与y 轴的交点D 在射线AE 的反向延长线上．①当一次函数y=x+b 的图象与图形C 恰好只有一个公共点时，b 的取值范围为_________；②已知平行四边形AMPQ （四个顶点A ，M ，P ，Q 按顺时针方向排列）的各顶点都在图形C 上，且不都在两条射线上，则点M 的横坐标x 的取值范围为_________． 【答案】 2b =11b -<<； 21x -<<-或20x ≤<. 【分析】根据直线与半圆的交点个数，讨论y x b =+的位置并确定边界情况下b 的值，即可得参数范围；讨论M 在射线AE ，AD 上以及G 为BD 中点，M 在DG 、GB ，射线BF 上，结合已知条件判断是否有满足要求的平行四边形AMPQ 即可.【详解】由图知：若y x b =+在射线,BF AE 之间时，与图形C 恰好只有一个公共点， 当BF 与y x b =+重合，1b =-； 当AE 与y x b =+重合，1b =；若y x b =+与图形C 12=，即2b = 又y x b =+过一、二、三象限，故2b =综上，2b =11b -<<时，一次函数y=x+b 的图象与图形C 恰好只有一个公共点. 1、当M 在射线AE 上，A ，M ，P ，Q 按顺时针方向排列，则PQ 必在AM 上方，即,P Q 在AM 上不含,A M 两点，所以02PQ <<，而//AM PQ 且AM PQ =，故02AM <<21x -<<-； 2、当M 在AD 上，则PQ 必在AM 下方，结合题图，不存在满足条件的平行四边形AMPQ ； 3、如下图，若G 为BD 中点，连接OG ，当M 在DG 上，过M 作MQ OG ⊥交BD 于Q ，则OG 垂直平分MQ ，再连接A 和其垂足并延长交射线BF 于P ，此时，四边形AMPQ 为平行四边形，满足题设，则20x ≤4、当M 在上图GB 上，则PQ 必在AM 下方，结合上图，不存在满足条件的平行四边形AMPQ ；5、当M 在射线BF 上，则PQ 必在AM 下方，此时P 与B 重合，Q 在射线AE 上，显然不满足A ，M ，P ，Q 不都在两条射线上，不存在满足条件的平行四边形AMPQ ； 综上，21x -<<-或202x ≤<. 【点睛】关键点点睛：判断是否存在平行四边形AMPQ 时，注意讨论M 的位置情况，根据平行四边形的性质判断不同情况下是否可以找到满足条件的平行四边形. 三、填空题 120,21x >-且5x y +=，则x 的取值范围是______． 【答案】172x << 【分析】021x >-，根据分式、根式的性质列不等式组求x 的范围即可. 【详解】0,21x >- 所以70210x x ->⎧⎨->⎩，可得172x <<.故答案为：172x << 13．操场上站成一排的100名学生进行报数游戏，规则是：每位同学依次报自己的顺序数的倒数加1．如：第一位同学报111+，第二位同学报112+，第三位同学报113+，……这样得到的100个数的积为__________． 【答案】101【分析】用数学符号表示出每位同学的报数，再直接相乘即可. 【详解】设第n 位同学的报数为n a ，则111n n a n n+=+=， 则121002310110112100a a a ；故答案为：101.14．为了参加中考体育测试，厦门中学的甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练，球从一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每位传球人传给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传球三次．三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大？____．（填：甲或乙或一样大） 【答案】乙【分析】根据古典概型概率公式计算可得.【详解】三次传球后，所有可能结果为：（乙、甲、乙）、（乙、甲、丙）、（乙、丙、甲）、（乙、丙、乙）、（丙、甲、乙）、（丙、甲、丙）、（丙、乙、甲）、（丙、乙、丙）， 球回到甲脚下的概率：14P =； 球回到乙脚下的概率：38P =； 所以球回到乙脚下的概率大. 故答案为：乙.15．如图是工人将货物搬运上货车常用的方法，把一块木板斜靠在货车车厢的尾部，形成一个斜坡，货物通过斜坡进行搬运.根据经验，木板与地面的夹角为20°（即图中∠ACB =20°）时最为合适，已知货车车厢底部到地面的距离AB =1.5m ，木板超出车厢部分AD =0.5m ，则木板CD 的长度为________．（参考数据：sin20°≈0.3420，cos20°≈0.9397，精确到0.1m ）.【答案】4.9m【分析】根据ACB ∠的正弦函数和AB 的长度求AC 的长，再加上AD 即可． 【详解】解：由题意可知：AB BC ⊥．∴在Rt ABC △中，sin AB ACB AC∠=， 1.5 1.54.39sin sin 200.3420AB AC ACB ∴===≈∠︒，4.390.5 4.89 4.9(m)CD AC AD ∴=+=+=≈．故答案为：4.9m．16．如图所示，正方形ABCD的面积为12，ABE△是等边三角形，点E在正方形ABCD 内，在对角线AC上有一点P，使PD PE+的和最小，则这个最小值为______.【答案】23【分析】连接PB，由正方形的对称性可知PB PD=，所以PD PE PB PE BE+=+≥，求出BE的长可知答案【详解】连接PB，因为正方形ABCD的面积为12，所以1223AB==，因为ABE△是等边三角形，所以23BE AB==，因为P为正方形ABCD对角线AC上一点，所以PB PD=，所以23PD PE PB PE BE+=+≥=，当,,B P E共线时取等号所以PD PE+的最小值为23，故答案为：23四、解答题17．计算（先化简，再求值）：223122111a a aa a--+--+1-5a=【答案】1【分析】根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可.【详解】解：∵a =1<，∴10a -<， 原式=22312211a a a a -----=()21111a a a a a -++-- =11-1a a - =1(1)a a -=1 ∴原式的值为1.18．已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根.(1)是否存在实数k ，使得()()12123222x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由； (2)求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值. 【答案】(1)存在，95k = (2)235k =---，，【分析】（1）利用反证法先假设存在实数k ，使得()()12123222x x x x --=-成立，根据一元二次方程有两个实数根可得95k =，因此原假设不成立，故不存在； （2）根据题意()22212121221121244224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++，可得1k +能被4整除，即可求出k 的值.【详解】(1)假设存在实数k ，使得()()12123222x x x x --=-成立，一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根，()2400Δ(4)441160k k k k k k ≠⎧∴⇒<⎨=--⋅+=-⎩，(不要忽略判别式的要求)， 由韦达定理得1212114x x k x x k +=⎧⎪+⎨=⎪⎩，()()()()2221212121212129322252942k x x x x x x x x x x x x k +∴--=+-=+-=-=-， 95k ⇒=但0k <，∴不存在实数k ，使得()()12123222x x x x --=-成立.(2)()22212121221121244224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++， ∴要使其值是整数，只需要1k +能被4整除，故1124k +=±±±，，，即021335k =---，，，，，， 0k <，235k ∴=---，，.19．某校九年级共有80名同学参与数学科托底训练．其中（1）班30人，（2）班25人，（3）班25人，厦门中学生助手在托底训练后对这些同学进行测试，并对测试成绩进行整理，得到下面统计图表．班级平均数中位数 众数（1）班 75.2 m 82 （2）班 71.2 68 79 （3）班 72.87575(1)表格中的m 落在________组；（填序号）①40≤x ＜50， ②50≤x ＜60， ③60≤x ＜70，④70≤x ＜80， ⑤80≤x ＜90， ⑥90≤x ≤100． (2)求这80名同学的平均成绩；(3)在本次测试中，（2）班小颖同学的成绩是70分，（3）班小榕同学的成绩是74分，这两位同学成绩在自己所在班级托底同学中的排名，谁更靠前？请简要说明理由． 【答案】(1)④ (2)73.2分(3)小颖在自己班级的排名更靠前，理由见解析 【分析】（1）根据成绩分布直方图判断即可； （2）结合表中数据，计算平均数即可； （3）根据表中的中位数大小分析判断即可.【详解】(1)解：根据题意，（1）班成绩在4050x ≤<内的有1人，在5060x ≤<内的有3人，在6070x ≤<内的有6人，在7080x ≤<内的有7人，此时共17人， 所以，（1）班成绩的中位数m 在7080x ≤<内，故选序号④.(2)解：根据题意，（1）班的平均成绩为75.2分，共30人，（2）班的平均成绩为71.2分，共25人，（3）班的平均成绩为72.8分，共25人， 所以，这80名同学的平均成绩为75.23071.22572.82573.280x ⨯+⨯+⨯==分.(3)解：小颖同学在自己班级的托底同学中排名更靠前．理由：因为7068>，所以小颖同学成绩处于自己班级托底同学的中上水平； 因为7475<，所以小榕同学成绩处于自己班级托底同学的中下水平，且这两个班的参加托底训练的人数相同，所以小颖在自己班级的排名更靠前．20．木匠黄师傅用长AB =3，宽BC =2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：方案一：直接锯一个半径最大的圆；方案二：圆心O 1、O 2分别在CD 、AB 上，半径分别是O 1C 、O 2A ，锯两个外切的半圆拼成一个圆；方案三： 沿对角线AC 将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆； 方案四：锯一块小矩形BCEF 拼到矩形AFED 下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆．(1)写出方案一中圆的半径；(2)通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？ (3)在方案四中，设CE =x （0＜x ＜1），圆的半径为y ． ①求y 关于x 的函数解析式；②当x 取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大． 【答案】(1)1 (2)方案三半径较大(3)①答案见解析；②x =12时，最大为54，方案四时可取的圆桌面积最大【分析】（1）直接利用CB 的长即可求出圆的半径.（2）分别利用勾股定理以及相似三角形的判定与性质得出两半径长进而求出答案. （3）首先得出所截出圆的直径最大为3x -或2x +两者中较小的一个，再利用一次函数增减性得出即可.【详解】(1)因为长方形的长宽分别为3，2，那么直接取圆直径最大为2， 则方案一中的半径最大为1；(2)如图1，方案二中连接O 1，O 2，过O 1作O 1E ⊥AB 于E ，方案三中，过点O 分别作AB ，BF 的垂线，交于M ，N ，此时M ，N 恰为⊙O 与AB ，BF 的切点．方案二：设半径为r ，在Rt △O 1O 2E 中，∵O 1O 2=2r ，O 1E =BC =2，O 2E =AB -AO 2-CO 1=3-2r ， ∴（2r ）2=22+（3-2r ）2，解得1312r =． 方案三：设半径为r ，在△AOM 和△OFN 中，∵∠A ＝∠FON ∠OMA ＝∠FNO ，∴△AOM ∽△OFN ， ∴OM FN AM ON =，∴23r r r r -=-，解得65r =． 比较知，方案三半径较大；(3)①∵EC =x ，∴新拼图形水平方向跨度为3-x ，竖直方向跨度为2+x ． 类似（1），所截出圆的直径最大为3-x 或2+x 较小的．a ．当3-x ＜2+x 时，即当1＞x ＞12时，y =12（3-x ）； b ．当3-x =2+x 时，即当x =12时，y =12（3-12）=54；c ．当3-x ＞2+x 时，即当0＜x ＜12时，y =12（2+x ）． ②当x ＞12时，y =12（3-x ）＜12（3-12）=54；当x =12时，y =12（3-12）=54；当x ＜12时，y =12（2+x ）＜12（2+12）=54，∴方案四中，当x =12时，y 最大为54．∵1＜1312＜65＜54，∴方案四时可取的圆桌面积最大．21．已知：直角梯形OABC 中，BC ∥OA ，∠AOC =90°，以AB 为直径的圆M 交OC 于D ，E ，连结AD ，BD ，BE .(1)在不添加其他字母和线的前提下．．．．．．．．．．．．．．，直接．．写出图1中的两对相似三角形. (2)直角梯形OABC 中，以O 为坐标原点，A 在x 轴正半轴上建立直角坐标系（如图2）， 若抛物线223(0)y ax ax a a =--<经过点A ．B ．D ，且B 为抛物线的顶点. ①求抛物线的解析式.②在x 轴下方的抛物线上是否存在这样的点P ：过点P 作PN ⊥x 轴于N ，使得△P AN 与△OAD 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1)△OAD ∽△CDB . △ADB ∽△ECB (2)①2y x 2x 3=-++；②存在，（－2，－5）【分析】（1）由圆周角定理知：90,ADB ∠=︒首先可联想到的相似三角形是,BCD DOA ，易知BAD BED ∠=∠，可得的另一对相似三角形是Rt ,Rt BAD BED ∠.（2）①根据抛物线的解析式，易求得,,B D A 的坐标，也就得到了,,,OA OD CD BC 的长，根据(1)中的相似三角形，即可根据对应的成比例线段求出a 的值，即可求出抛物线的方程. ②由①易得△OAD 为等腰三角形，根据抛物线的解析式设出P 点坐标，然后根据PN =AN 的条件来求出P 点坐标.【详解】(1)如图1，因为AB 为直径，所以90,ADB ∠=︒ 所以90,CDB ADO ∠+∠=︒ 因为90,OAD ADO ∠+∠=︒所以OAD CDB ∠=∠，又因为90C O ∠=∠=︒， 所以△OAD ∽△CDB.因为BAD BED ∠=∠，C ADB ∠=∠，所以△ADB ∽△ECB. △OAD ∽△CDB . △ADB ∽△ECB (2)①顶点B （1，－4a ）， ∵△OAD ∽△CDB ，∴=DC CB OA OD又∵ax 2－2ax －3a =0，可得A （3，0） 又OC =－4a ，OD =－3a ，CD =－a ，CB =1， ∴133-=-a a ∴21a = ∵0a < ∴1a =- 故抛物线的解析式为：2y x 2x 3=-++ ②假设存在，设P （x ，－x 2+2x +3）∵△P AN 与△OAD 相似，且△OAD 为等腰三角形, ∴PN =AN ,当x <0（x <－1）时，－x +3=－（－x 2+2x +3），x 1=－2，x 2=3（舍去）， ∴P （－2，－5）.当x >0（x >3）时，x －3= －（－x 2+2x +3）， x 1=0，x 2=3（都不合题意舍去） 符合条件的点P 为（－2，－5）.22．如图，在矩形ABCD 中，46AB AD E ==，，是AD 边上的一个动点，将四边形BCDE 沿直线BE 折叠，得到四边形BC D E ''，连接AC AD ''，.(1)若直线DA 交BC '于点F ，求证：EF BF =； (2)当433AE AC D ''△是等腰三角形； (3)在点E 的运动过程中，求AC D ''△面积的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)4【分析】（1）根据题意证明FEB FBE ∠=∠即可证明结论；（2）分别过点A 作AG BC ⊥'于点G AH C D ⊥''，于点H ，进而根据几何关系证明AH 是C D ''垂直平分线即可证明结论；（3）作点A 关于BE 的对称点A '，点A '落在以点B 为圆心，以AB 为半径的弧AM 上．设弧AM 交BC 于点M ，过点A '作A N CD '⊥于N ，进而得当点A '落在点M 处时，A CD '的面积最小，再根据142AC D A CDSC DC SM '''=⋅==即可得答案.【详解】(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴//AD BC ． ∴FEB EBC ∠=∠．根据对称可得FBE EBC ∠=∠， ∴FEB FBE ∠=∠．∴BF EF =．(2)证明：如图2，分别过点A 作AG BC ⊥'于点G AH C D ⊥''，于点H ， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴90BAD ∠=︒．∴433343tan AE A B B A E ===∠∴30ABE ∠=︒．∴9060FEB ABE ∠=︒-∠=︒． ∴60FBE FEB ∠=∠=︒．∴30ABG FBE ABE ∠=∠-∠=︒． ∴122AG AB ==． 根据对称可得90BC D C ∠''=∠=，C D CD ''=． ∴90BC D C GA C HA ∠''=∠'=∠'=． ∴四边形AGC H '是矩形． ∴2AG C H ='=．∴AH 是C D ''的垂直平分线． ∴AC AD '='．(3)解：根据对称可得点C '与点D '的对称点分别为点C D ，． 作点A 关于BE 的对称点A '，如图3.由对称性得ACDAC D BA BA ''''=≌，． ∴A CDAC DSS''=，点A '落在以点B 为圆心，以AB 为半径的弧AM 上．设弧AM 交BC 于点M ，过点A '作A N CD '⊥于N ． 由垂线段最短知BA A N BM MC '+'≥+． ∵BA BM '=，∴A N MC '≥．∴当点A '落在点M 处时，A CD '的面积最小． 即A CD '的面积最小．此时2MC BC BM =-=．142AC D A CDSC DC SM '''=⋅==． ∴AC D ''△面积的最小值为4。
福建省福州第一中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题 答案和解析
福建省福州第一中学【最新】高一上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．函数()f x =( ) A ．{|1}x x > B ．{|1}x x ≥ C ．{|12}x x x >≠且D ．{|12}x x x ≥≠且2．图中的阴影表示的集合中是（ ）A ．UA B ⋂ B ．UB A ⋂C ．()UA B ⋂D ．U()A B ⋃3．已知函数()()1,223,2x x f x x f x x +⎧>⎪=-⎨⎪+≤⎩，则()2f 的值等于( )A ．4B ．3C ．2D ．无意义4．已知全集{}1,2,3U =且{}2U C A =，则集合A 的真子集共有( ) A ．1个B ．3个C ．4个D ．7个5．函数1()=ln f x x x-的零点所在的区间可以是 A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)6．下列大小关系正确的是（ ）A ．30.440.43log 0.3<<B ．30.440.4log 0.33<<C ．30.44log 0.30.43D ．0.434log 0.330.4<<7．下列函数中，满足“()()()f xy f x f y =⋅”且为单调递增函数的是( ) A ．()3x f x =B ．3()log f x x =C ．1()f x x -=D ．3()f x x =8．已知函数()()()f x x a x b =--（其中)a b >的图象如图所示，则函数()x g x a b =+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数()212,12,1x x ax x f x a a x ⎧+-≤⎪=⎨⎪->⎩在()0,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(]1,2B ．()1,2C ．[)2,+∞D ．()1,+∞10．已知两条直线1:l y m =和12121441313⨯=，1l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于点A ，B ，2l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于点C, D 。
2020-2021学年度第一学期期中期末考试试卷含答案共六套
2020-2021学年度第一学期期中考试试卷六年级英语（本试卷分为两个部分，共十一个大题，总分100分，考试时间60分钟）第一部分听力(40分)一、请听录音，从A、B、C中选出你听到的正确答案，并用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
（听两遍）（共5小题，每小题2分，计10分）( )1.A.tomorrow B.tonight C.today( )2.A.visit B.write C.get( )3.A.word book ic book C.storybook( )4.A.next B.behind C.near( )5.A.straight B.left C.right二、请听录音，判断下列句子与你听到的内容是否相符，相符的写“T”，不相符的写“F”，并用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
（听两遍）（共5小题，每小题2分，计10分）( )6.Turn left at the bookstore.( )7.It’s red.We must stop and wait.( )8.I’m going to visit my uncle tomorrow.( )9.I have to do my homework now.( )10.Go straight and you can see the Palace museum.三、请听小对话，从A、B、C中选出你听到的正确图片，并用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
（听两遍）（共5小题，每小题2分，计10分）( )11.A. B. C.( )12.A. B. C.( )13.A. B. C.( )14.A. B. C.( )15.A. B. C.四、请听对话，根据所听到的内容补全下面短文中缺少的单词，并将正确答案用黑色墨水笔或黑色签字笔填写在答题卡规定的位置上（一空一词）。
（听三遍）（共5个空，每空2分，计10分）A:Excuse me,sir.How can I get to the 16. ?I’m going to buy a 17. .B:First,18. right here.Then go 19. and you can see it.It’s next tothe 20. .A:Thanks!Bye!第二部分笔试(60分)五、请从A、B、C、D中选出不同类的一项，并用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
2020-2021学年第一学期期中高一数学试卷及答案
高一级期中质量测试数学科试参考答案（第1页共4页）2020－2021学年度第一学期期中高中一年级质量测试数学科试卷参考答案题号123456789101112答案A C D A B D C A AB ABD AD BCD 三、13．1214．{x |x ≥−1且x ≠0}15．5≤4a −2b ≤1016．1516；0或1312．四、解答题17．解：(1)由图象观察可知f (x )的单调增区间为(0,2]；……………………………………5分(2)函数f (x )的图象如图所示：……………………………………………7分f (x )<0的解集为(−∞,−4)∪(4,+∞)．………………………………………………………10分18．解：因为A ∩B ={9}，故9∈A 且9∈B ，………………………………………………1分所以2m −1=9，或者m 2=9，…………………………………………………………………3分解得m =5，或者=±3，…………………………………………………………………………5分当m =5时，A ={−4,9,25}，B ={0,−4,9}，A ∩B ={−4,9}，不合题意；……………………7分当m =3时，B ={−2,−2,9}，与集合元素的互异性矛盾；…………………………………9分当m=−3时，A={−4,−7,9}，B={−8,4,9}，A∩B={9}，符合题意；……………………11分综上所述，m=−3．……………………………………………………………………………12分19．解：(1)已知x<2，∴x−2<0.……………………………………………………………1分∴4x+1x−2=4(x−2)+1x−2+8……………………………………………………………………2分∴−4(x−2)−1x−2≥4，……………………………………………………………………………3分当且仅当−4(x−2)=−1x−2，即x=32时等号成立．………………………………………………4分∴4(x−2)+1x−2≤−4……………………………………………………………………………5分∴4x+1x−2=4(x−2)+1x−2+8≤4∴4x+1x−2的最大值为4………………………………………………………………………6分(2)解：∵x+4y+xy=5，∴5−xy=x+4y≥24xy=4xy……………………………………………………………………7分当且仅当x=4y，x+4y+xy=5即x=2，y=12时，等号成立……………………………………………………………………8分∴xy+4xy−5≤0………………………………………………………………………………9分∴xy≤1………………………………………………………………………………………11分∴xy的最大值为1……………………………………………………………………………12分20．解：(1)f(x)为R上的奇函数，……………………………………………………………1分∴f(0)＝0，得b＝0，…………………………………………………………………………3分又f(1)＝a＋b2＝12，∴a＝1，…………………………………………………………………5分∴f(x)＝xx2＋1……………………………………………………………………………………6分高一级期中质量测试数学科试参考答案（第2页共4页）(2)f(x)在[1,＋∞)上为减函数，……………………………………………………………7分证明如下：在[1,＋∞)上任取x1和x2，且x1＜x2，……………………………………………8分则f(x2)−f(x1)＝x2x22＋1−x1x21＋1＝(x21＋1)x2－(x22＋1)x1(x21＋1)(x22＋1)＝x21x2－x22x1＋x2－x1(x21＋1)(x22＋1)＝(x1－x2)(x1x2－1)(x21＋1)(x22＋1)……………………9分∵x2>x1≥1，∴x1x2−1>0，x1−x2<0，…………………………………………………………10分∴f(x2)−f(x1)<0，即f(x2)<f(x1)，………………………………………………………………11分∴f(x)在[1,＋∞)上为减函数．…………………………………………………………………12分21．解：(1)由已知条件f(x)−g(x)＝x＋ax−2………………①………………………………1分①式中以−x代替x，得f(−x)−g(−x)＝−x−ax−2………②………………………………2分因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，故f(−x)＝−f(x)，g(−x)＝g(x)，②可化为−f(x)−g(x)＝−x−ax−2………③…………………………………………………3分①−③，得2f(x)＝2x＋2ax，……………………………………………………………………4分故f(x)＝x＋ax，g(x)＝2，x∈(−∞,0)∪(0,＋∞)；…………………………………………6分(2)由(1)知，f(x)＋g(x)＝x＋ax＋2，x∈[1,＋∞)，……………………………………………7分当a≥0时，函数f(x)＋g(x)的值恒为正；……………………………………………………8分当a＜0时，函数f(x)＋g(x)＝x＋ax＋2在[1,＋∞)上为增函数，…………………………9分故当x＝1时，f(x)有最小值3＋a，故只需3＋a＞0，解得−3<a<0.………………………………………………………………11分综上所述，实数a的取值范围是(−3,＋∞)．………………………………………………12分高一级期中质量测试数学科试参考答案（第3页共4页）【法二：由(1)知，f(x)＋g(x)＝x＋ax＋2，……………………………………………………7分当x∈[1,＋∞)时，f(x)＋g(x)＞0恒成立，等价于a＞−(x2＋2x)，…………………………9分而二次函数y＝−(x2＋2x)＝−(x＋1)2＋1在[1,＋∞)上单调递减，………………………10分x＝1时，y max＝−3，.…………………………………………………………………………11分故a＞−3………………………………………………………………………………………12分】22．解：(1)由题意知，y−x−(10＋2p)，…………………………………………2分将p＝3−2x＋1代入化简得y＝16−4x＋1−x(0≤x≤a)．…………………………………………5分【注：没注明定义域，扣1分】(2)当a≥1时，y＝17x＋−24x＋1×(x＋1)＝13，…………………………7分当且仅当4x＋1＝x＋1，即x＝1时，上式取等号．…………………………………………8分所以当a≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大为13万元．…………………9分当0<a<1时，y＝16−4x＋1−x在(0,1)上单调递增，…………………………………………11分所以当0<a<1时，促销费用投入a万元时，厂家的利润最大为4161aa－万元………12分高一级期中质量测试数学科试参考答案（第4页共4页）。
福建省厦门市杏南中学2024-2025学年高一上学期10月阶段练习数学试卷
福建省厦门市杏南中学2024-2025学年高一上学期10月阶段练习数学试卷一、单选题1．已知集合{0,1}M =，{1,2,3}N =，则M N ⋃=（ ）A ．{1}B ．{0,1}C ．{0,1,2}D ．{0,1,2,3} 2．不等式(1)0x x ->的解集是（ ）A ．{0xx <∣或1}x > B ．{|01}x x << C ．{|1x x <-或0}x > D ．{10}xx -<<∣ 3．已知命题1:0,2p x x x∀>+>，则p ⌝为（ ） A ．0x ∀>，12x x +≤ B ．0x ∀≤， 12x x +≤ C ．0x ∃≤， 12x x+≤ D ．0x ∃>， 12x x +≤ 4．集合{}Z 03A x x =∈<<的一个子集是（ ）A ．{}0,1B ．{}02x x <<C ．{}03x x <<D ．∅5．如果0a b <<，那么下列各式一定成立的是（ ）．A ．a b <B ．22a b <C ．33a b <D ．11a b< 6．下列不等式中，可以作为2x <的一个必要不充分条件的是（ ）A ．13x <<B ．3x <C ．1x <D ．01x <<7．已知函数2,()3,2x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，则((1))f f -等于（ ）A ．4B ．2-CD ．28．{}2{1,,},1,,2A x y B x y ==，若A B =，则实数x 的取值集合为（ ） A ．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．11,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．10,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．110,,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭二、多选题9．下列各组函数是同一个函数的是（ ）A ．2()21f x x x =--与2()21g t t t =--B ．0()f x x =与()1g x =C ．1()f x x =与2()x g x x=D ．()f x =()g x 10．下列命题是真命题的为（ ）A ．若0a b c d >>>>，则ab cd >B ．若22ac bc >，则a b >C ．若0a b >>且0c <，则22c c a b > D ．若a b >且11a b>，则0ab < 11．已知不等式20ax bx c ++>的解集为{}23xx <<∣，则以下选项正确的有（ ） A ．0abc >B ．0a b c ++>C ．函数2()f x ax bx c =++有两个零点2和3D ．20cx bx a ++<的解集为{3|1x x <或x >12三、填空题12．已知集合()()2,2,3,1A B =-=--，则A B U =．13．已知实数,x y 满足12x -≤<，01y <≤，则3x y -的取值集合是.（用区间表示） 14．设命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2234x m m -≥-恒成立，命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式2210x x m -+-≤成立.若p 为真命题，则实数m 的取值范围是；若p ，q 一真一假，则实数m 的取值范围是.四、解答题15．设全集为R ，集合{}{}|36,|29A x x B x x =≤<=<<(1)分别求(),U A B B A I U ð；(2)已知{}|1C x a x a =<<+，若C B B =U ，求实数a 的取值范围16．已知数()81f x x =-(1)求函数()f x 的定义域(2)求()()2,6f f -；(3)已知()4213f a a+=+，求a 的值. 17．已知正实数x ，y 满足441x y +=.（1）求xy 的最大值；（2）若不等式2415a a x y+≥+恒成立，求实数a 的取值范围. 18．2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变异毒株，尽管我国疫情得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然严峻，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，医用防护用品必不可少，某公司一年购买某种医用防护用品600吨，每次都购买x 吨，运费为6万元/次，一年的存储费用为4x 万元.一年的总费用y （万元）包含运费与存储费用.(1)要使总费用不超过公司年预算260万元，求x 的取值范围.(2)要使总费用最小，求x 的值.19．函数()243f x mx mx =++(1)若1m =，求()0f x ≤的解集；(2)当()0f x >恒成立时，求m 的取值范围；(3)若方程()0f x =有两个实数根12,x x ，且22121230x x x x +->，求m 的取值范围。
福建省福州第一中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试卷
福州一中2020 - 2021学年第二学期第三学段期中考试高一数学第二册期中考试卷（完卷120分钟满分150分）一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足z （1 - i ） = 3 - i （i 是虚数单位），则复数z 的模等于（ ）A .4B .5C .2D .12.已知向量a ⃗ = （9，6），b ⃗ = （3，x ），若a ⃗ ∥b ⃗ ，则b ·（a ⃗ -b⃗ ） = （ ） A . - 26 B . - 25 C .25 D .263.已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ | =6，|b ⃗ | = 2，（a ⃗ -b ⃗ ）·b ⃗ = 1，则向量a ⃗ ，b ⃗ 夹角等于（ ） A .30° B .45° C .60° D .120°4.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满是 bcosA cosB + a = 2c ，则角B = （ ）A . π 6B . π 4C . π 3D . 2π 35.如图，已知等腰△ABC 中，AB = AC = 3，BC = 4，点P 是边BC 上的动点，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ + AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）（ ）A .为定值6B .为定值10C .最大值为18D .与P 的位置有关6.某天象馆的主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体.小明同学为了估算该天象馆的高度，在天象馆的正东方向找到一座建筑物AB ；高为（123 - 12）m .在它们之间的地面上的点M （B ，M ，D 三点共线）处测得楼顶A 以及天象馆顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得天象馆顶C 的仰角为30°，则小明估算该天象馆的高度为（ ）A .16 mB .24 mC .163mD .243m7.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = b ⃗ ，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ = 3EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ = （ ）A . 13 25 a ⃗ + 16 25b ⃗ B . 16 25 a ⃗ + 12 25 b ⃗ C . 2 5 a ⃗ + 4 5 b ⃗D . 1 5 a ⃗ + 3 5 b ⃗ 8.已知点O 是△ABC 的内心，若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ = 4 9 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 1 9 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则cos ∠BAC = （ ）A . 1 5B . 1 6C . 1 8D . 1 9 二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求..全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.在复平面内，下列说法正确的是（ ）A .若复数z = 1+i 1−i （i 是虚数单位），则 z 30 = - 1B .若复数z 满足z 2ϵR ，则z ϵRC .若复数z = a + bi （a ，b ϵR ），则复数z 为纯虚数的充要条件是a = 0D .若复数z 满足|z | = 1，则复数z 对应点的集合是以原点O 为圆心，以1为半径的圆10.设a ⃗ ，b⃗ 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A .若|a ⃗ + b ⃗ | = |a ⃗ | - |b ⃗ |，则a ⃗ ，b⃗ 的方向相同 B .若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则|a ⃗ + b ⃗ |=|a ⃗ - b⃗ | C .若|a ⃗ + b ⃗ | = |a ⃗ | + |b ⃗ |，则a ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影向量为a ⃗D .若存在实数λ使得a ⃗ =λb ⃗ ，则|a ⃗ + b ⃗ | = |a ⃗ | - |b⃗ | 11.若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b - 2a + 4a sin 2 A+B 2 = 0，则下列结论正确的是（ ）A .角C 一定为锐角B .a 2 + 2b 2 - c 2 = 0C .3tan A + tan C = 0D .tan B 的最大值为 √3 312.在同一平面内，设|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ | = 1，点M 满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 - BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 = c （c 为常数），则下列正确的是（ ）A .若c = 1 3 ，则存在满足条件的点M 使得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗B .∀c ϵR ，点M 构成的集合是垂直于线段AB 的一条直线C .若c = 1，则点M 、A 、B 可构成一个直角三角形D .若c = 3，则|MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |min = 1 三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若复数z = ii 2021+2 ，则复数z 在复平面内对应的点在第 _________ 象限.14.已知平面向量a ⃗ =（2， - 1），b ⃗ =（m ，2），且a ⃗ ⊥b ⃗ ，则|a ⃗ +b ⃗ | = _________ .15.为了测量A 、B 两岛屿之间的距离，一艘测量船在D 处观测，A 、B 分别在D 处的北偏西15°、北偏东45°方向。
2020-2021学年上海市交通大附属中学高一上学期期中考试数学试卷(含详解)
上海交通大学附属中学2020-2021学年第一学期高一数学期中考试试卷一､填空题(1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分)1.已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，{}2,3B =则A B ⋂=______.2.函数20202022(0,1)x y aa a +=+>≠的图像恒过定点______.3.已知幂函数()()22322n nf x n n x-=+-（n Z ∈）的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上是减函数，则n 的值为______.4.函数132xy x-=+的图象中心是______.5.函数y =的定义域是______.6.已知实数a 满足()()3322211a a --->+，则实数a 的取值范围是_________.7.已知6x <，求2446x x x ++-的最大值______.8.设log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，则log b ac =______.9.著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是_______．10.若关于x 的方程222210()x xa a a R +⋅++=∈有实根，则实数a 的取值范围是______.11.已知函数)()lg f x ax =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是____________．12.若实数、满足114422x y x y +++=+，则22x y S =+的取值范围是_______．二､选择题(每小题5分，共20分)13.已知,a b ∈R ，则“33a b >”是“33a b >”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件14.若函数()()log a f x x b =+的大致图象如图，其中,a b 为常数，则函数()xg x a b =+的大致图像是（）A. B.C. D.15.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割）,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ,且满足Q M N ⋃=，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素,则称(,)M N 为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割(,)M N ,下列选项中,不可能成立的是（）A.M 没有最大元素,N 有一个最小元素 B.M 没有最大元素,N 也没有最小元素C.M 有一个最大元素,N 有一个最小元素D.M 有一个最大元素,N 没有最小元素16.设函数()y f x =的定义域D ，若对任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，则称函数()y f x =具有性质M .下列结论：①函数3xy =具有性质M ；②函数3y x x =-具有性质M ；③若函数8log (2)y x =+，[]0,x t ∈具有性质M ，则510t =.其中正确的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个三､解答题(共5题，满分76分)17.已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥，求a 的取值范围.18.有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速所度可以表示为函数301log lg 2100x v x =-，单位是km /min ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（参考数据lg 20.3,= 1.2 1.43 3.74,3 4.66==）（1）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（2）若雄鸟的飞行速度为1.5km /min ，雌鸟的飞行速度为1km /min ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？19.柯西不等式具体表述如下：对任意实数1a ，2a ，n a 和1b ，2b n b ，(,2)n Z n ∈≥都有()()()222222212121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++L L L ，当且仅当1212n na a ab b b ===L 时取等号.（1）请用柯西不等式证明：对任意正实数a ，b ，x ，y ，不等式222()a b a b x y x y++≥+成立，(并指出等号成立条件)（2）请用柯西不等式证明：对任意正实数1x ，2x ， ，n x ，且121n x x x +++= ，求证：12212211111x x x x x x n+++≥++++ (并写出等号成立条件).20.已知函数､()y f x =的表达式为()(0,1)xf x a a a =>≠，且1(2)4f -=，（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若()()22log ()4()0m f x f x -+=在区间[]0,2上有解，求实数m 的取值范围；（3）已知113k ≤<，若方程()10f x k --=的解分别为1x ､()212x x x <，方程()1021k f x k --=+的解分别为3x ､()434x x x <，求1234x x x x -+-的最大值.21.对于集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ ，其中每个元素均为正整数，如果任意去掉其中一个元素(1,2,3,)i a i n = 之后，剩余的所有元素组成集合(1,2,)i A i n = ，并且i A 都能分为两个集合B 和C ，满足B C =∅ ，i B C A ⋃=，其中B 和C 的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”.（1）判断集合{}1,2,3,4和{}1,3,5,7,9,11,13是否是“可分集合”(不必写过程)；（2）求证：五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；（3）若集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 是“可分集合”.①证明：n 为奇数；②求集合A 中元素个数的最小值.上海交通大学附属中学2020-2021学年第一学期高一数学期中考试试卷一､填空题(1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分)1.已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，{}2,3B =则A B ⋂=______.【答案】{}1【解析】【分析】通过全集，计算出{}0,1,4B =，根据交集的定义即可．【详解】因为{}0,1,2,3,4U =，{}2,3B =，所以{}0,1,4B =所以{}1A B ⋂=．故答案为：{}1．2.函数20202022(0,1)x y aa a +=+>≠的图像恒过定点______.【答案】()2020,2023-【解析】【分析】根据01(0,1)a a a =>≠，结合条件，即可求得答案.【详解】 01(0,1)a a a =>≠，令20200x +=，得2020x =-，020222023y a =+=，∴函数20202022(0,1)x y a a a +=+>≠的图象恒过定点()2020,2023-，故答案为：()2020,2023-.3.已知幂函数()()22322n n f x n n x -=+-（n Z ∈）的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上是减函数，则n 的值为______.【答案】1【解析】【分析】根据函数是幂函数得2221+-=n n ，求得3n =-或1，再检验是否符合题意即可.【详解】因为()()22322n n f x n n x -=+-是幂函数，2221n n ∴+-=，解得3n =-或1，当3n =-时，()18=f x x 是偶函数，关于y 轴对称，在()0,∞+单调递增，不符合题意，当1n =时，()2f x x -=是偶函数，关于y 轴对称，在()0,∞+单调递减，符合题意，1n ∴=.故答案为：1.4.函数132xy x-=+的图象中心是______.【答案】()2,3--【解析】【分析】将函数化成ky b x a=++，根据的对称中心为(,)a b -，即可得出答案.【详解】1373(2)73222x x y x x x --+===-+++，因为函数72y x =+的图象的对称中心是()2,0-，所以函数732y x =-+的图象的对称中心是()2,3--.故答案为：()2,3--.【点睛】对称性的3个常用结论：（1）若函数()y f x a =+是偶函数，即()()f a x f a x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称；（2）若对于R 上的任意x 都有(2)()f a x f x -=或(2)()f a x f x +=-，则()y f x =的图象关于直线x a =对称；（3）若函数()y f x b =+是奇函数，即((0))f x b f x b +++-=，则函数()y f x =关于点(,0)b 中心对称.5.函数y =的定义域是______.【答案】(7,)+∞【解析】【分析】根据被开方数非负且分母不为零可得132log 05x ⎛⎫>⎪-⎝⎭，解对数不等式即可求得定义域.【详解】1322log 00155x x ⎛⎫>⇒<<⎪--⎝⎭，()()271075055x x x x x -<⇒>⇒-->--且5x ≠，解得5x <或7x >，2055x x <⇒>-，∴函数y =(7,)+∞.故答案为：(7,)+∞6.已知实数a 满足()()3322211a a --->+，则实数a 的取值范围是_________.【答案】1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据幂函数的定义域和单调性得到关于a 的不等式，解之可得实数a 的取值范围.【详解】由题意知，3322(21)(1)a a --->+，>由于幂函数32y x =的定义域为[0,)+∞，且在[0,)+∞上单调递增，则2101121110a a a a ->⎧⎪⎪>⎨-+⎪+>⎪⎩，即：()()12202111a a a a a ⎧>⎪⎪-⎪>⎨-+⎪⎪>-⎪⎩，所以1221a a a ⎧>⎪⎪<⎨⎪>-⎪⎩，所以实数a 的取值范围是：122a <<．故填：1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查幂函数的定义域和单调性，属于基础题．7.已知6x <，求2446x x x ++-的最大值______.【答案】0【解析】【分析】原式化为64(6)166x x -++-，结合基本不等式即可求解最大值．【详解】6x < ，所以60x ->，2244(6)16(6)6464(6)16666x x x x x x x x ++-+-+==-++---因为64(6)6x x -+-64[(6)]166x x =--+-=--，当且仅当2x =-时，取等号；∴2244(6)16(6)6464(6)160666x x x x x x x x ++-+-+==-++---．即2446x x x ++-的最大值为0．故答案为：0．【点睛】方法点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.8.设log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，则log b ac =______.【答案】3737±【解析】【分析】根据题意由韦达定理得log log 5c c a b +=-，log log 3c c a b ⋅=-，进而得()2log log 37c c a b -=，再结合换底公式得137log 37log b acc b a==±【详解】解：因为log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，所以由韦达定理得log log 5c c a b +=-，log log 3c c a b ⋅=-，所以()()22log log log log 4log log 37c c c c c c a b a b a b -=+-⋅=，所以log log c c b a -=所以1137log log log 37log b c c acc b b a a===±-.故答案为：3737±【点睛】本题解题的关键在于根据韦达定理与换底公式进行计算，其中()()22log log log log 4log log c c c c c c a b a b a b -=+-⋅，1log log b acc b a=两个公式的转化是核心，考查运算求解能力，是中档题.9.著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是_______．【答案】存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.【解析】【分析】从命题的否定入手可解.【详解】反证法先否定命题，故答案为存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.【点睛】本题主要考查反证法的步骤，利用反证法证明命题时，先是否定命题，结合已知条件及定理得出矛盾，从而肯定命题.10.若关于x 的方程222210()x xa a a R +⋅++=∈有实根，则实数a 的取值范围是______.【答案】(,4-∞-【解析】【分析】利用换元法，设20x t t =>，，转化为方程2210t at a +++=，有正根，分离参数，求最值.【详解】设20x t t =>，，转化为方程2210t at a +++=，有正根，即221(2)4(2)55[(2)]4222t t t a t t t t ++-++=-=-=-++++++，022t t >∴+> ，，则5[(2)4442t t -+++≤-+=-+当且仅当5(2)2t t +=+，即2t =时取等，(,4a ∴∈-∞-故答案为：(,4-∞-11.已知函数)()lgf x ax =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是____________．【答案】[1,1]-【解析】【分析】根据对数函数的真数大于0，得出+ax ＞0恒成立，利用构造函数法结合图象求出不等式恒成立时a 的取值范围．【详解】解：函数f （x ）＝lg （+ax ）的定义域为R ，+ax ＞0恒成立，-ax 恒成立，设y =，x ∈R ，y 2﹣x 2＝1，y ≥1；它表示焦点在y 轴上的双曲线的一支，且渐近线方程为y ＝±x ；令y ＝﹣ax ，x ∈R ；它表示过原点的直线；由题意知，直线y ＝﹣ax 的图象应在y =的下方，画出图形如图所示；∴0≤﹣a ≤1或﹣1≤﹣a <0，解得﹣1≤a ≤1；∴实数a 的取值范围是[﹣1，1]．故答案为[﹣1，1]．【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查数形结合思想与转化思想，是中档题．12.若实数、满足114422x y x y +++=+，则22x y S =+的取值范围是_______．【答案】24S <≤【解析】【详解】1122224+4=2+2(2)(2)2(22)(22)2222(22)x y x y x x y x y x y x y ++⇒+=+⇒+-⋅⋅=+22222xyS S -=⋅⋅，又22(22)022222x y xyS +<⋅⋅≤=．22022S S S <-≤，解得24S <≤二､选择题(每小题5分，共20分)13.已知,a b ∈R ，则“33a b >”是“33a b >”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分、必要条件定义判定即可.【详解】解：当33a b >时，根据指数函数3x y =是定义域内的增函数可得a b >，因为幂函数3y x =是定义域内的增函数，所以33a b >，所以充分性成立，当33a b >时，因为幂函数3y x =是定义域内的增函数，所以a b >，又指数函数3x y =是定义域内的增函数，所以33a b >，所以必要性成立，综上：“33a b >”是“33a b >”的充要条件.故选：C.【点睛】充分条件、必要条件的三种判定方法:（1）定义法：根据,p q q p ⇒⇒进行判断，适用于定义、定理判断性问题；（2）集合法：根据,p q 对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题；（3）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题.14.若函数()()log a f x x b =+的大致图象如图，其中,a b 为常数，则函数()xg x a b =+的大致图像是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】由函数()log ()a f x x b =+的图象为减函数可知，01a <<，且01b <<，可得函数()x g x a b =+的图象递减，且1(0)2g <<，从而可得结果.【详解】由函数()log ()a f x x b =+的图象为减函数可知，01a <<，再由图象的平移知，()log ()a f x x b =+的图象由()log a f x x =向左平移可知01b <<，故函数()x g x a b =+的图象递减，且1(0)2g <<，故选B.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.15.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割）,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ,且满足Q M N ⋃=，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素,则称(,)M N 为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割(,)M N ,下列选项中,不可能成立的是（）A.M 没有最大元素,N 有一个最小元素 B.M 没有最大元素,N 也没有最小元素C.M 有一个最大元素,N 有一个最小元素 D.M 有一个最大元素,N 没有最小元素【答案】C 【解析】【分析】由题意依次举出具体的集合,M N ，从而得到,,A B D 均可成立．【详解】对A ，若{|0}M x Q x =∈<，{|0}N x Q x =∈；则M 没有最大元素，N 有一个最小元素0，故A 正确；对B ，若{|M x Q x =∈<，{|N x Q x =∈；则M 没有最大元素，N 也没有最小元素，故B 正确；对C ，M 有一个最大元素，N 有一个最小元素不可能，故C 错误；对D ，若{|0}M x Q x =∈，{|0}N x Q x =∈>；M 有一个最大元素，N 没有最小元素，故D 正确；故选：C ．【点睛】本题考查对集合新定义的理解，考查创新能力和创新应用意识，对推理能力的要求较高．16.设函数()y f x =的定义域D ，若对任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，则称函数()y f x =具有性质M .下列结论：①函数3xy =具有性质M ；②函数3y x x =-具有性质M ；③若函数8log (2)y x =+，[]0,x t ∈具有性质M ，则510t =.其中正确的个数是（）A.0个 B.1个C.2个D.3个【答案】C 【解析】【分析】根据函数性质M 的定义和指数对数函数的性质，结合每个选项中具体函数的定义，即可判断.【详解】解：对于①：3x y =的定义域是R ，所以1212()()13x x f x f x +⋅==，则120x x +=.对于任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，所以函数3x y =具有性质M ，①正确；对于②：函数3y x x =-的定义域为R ，所以若取10x =，则1()0f x =，此时不存在2x R ∈，使得12()()1f x f x ⋅=，所以函数3y x x =-不具有性质M ，②错误；对于③：函数8log (2)y x =+在[]0,t 上是单调增函数，其值域为[]88log 2,log (2)t +，要使得其具有M 性质，则88881log 2log (2)1log (2)log 2t t ⎧≤⎪+⎪⎨⎪+≤⎪⎩，即88log 2log (2)1t ⨯+=，解得3(2)8t +=，510t =，故③正确；故选：C.【点睛】本题考查函数新定义问题，对数和指数的运算，主要考查运算求解能力和转换能力，属于中档题型.三､解答题(共5题，满分76分)17.已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥，求a 的取值范围.【答案】（1）32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞ .【解析】【分析】（1）分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到()()21f x a ≥-，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当2a =时，()43f x x x =-+-.当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤；当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥；综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭.（2）()()()()22222121211f x x a x a x ax a a a a =-+-+≥---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号），()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞ .【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.18.有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速所度可以表示为函数301log lg 2100xv x =-，单位是km /min ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（参考数据lg 20.3,= 1.2 1.43 3.74,3 4.66==）（1）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（2）若雄鸟的飞行速度为1.5km /min ，雌鸟的飞行速度为1km /min ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？【答案】（1）466；（2）3倍.【解析】【分析】（1）将05x =，0v =代入函数解析式，计算得到答案．（2）根据题意得到方程组13023011.5log lg 210011log lg 2100x x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相减化简即可求出答案．【详解】（1）将05x =，0v =代入函数301log lg 2100x v x =-，得：31log lg 502100x-=，即()3log 2lg 521lg 2 1.40100x==-=，所以1.403 4.66100x==，所以466x =．故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位．（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为1x ，雌鸟每分钟耗氧量为2x ，由题意可得：13023011.5log lg 210011log lg 2100x x x x⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相减可得：13211log 22x x =，所以132log 1x x =，即123x x =，故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍．【点睛】方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.19.柯西不等式具体表述如下：对任意实数1a ，2a ，n a 和1b ，2b n b ，(,2)n Z n ∈≥都有()()()222222212121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++L L L ，当且仅当1212n na a ab b b ===L 时取等号.（1）请用柯西不等式证明：对任意正实数a ，b ，x ，y ，不等式222()a b a b x y x y++≥+成立，(并指出等号成立条件)（2）请用柯西不等式证明：对任意正实数1x ，2x ， ，n x ，且121n x x x +++= ，求证：12212211111x x x x x x n+++≥++++ (并写出等号成立条件).【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据任意正实数a ，b ，x ，y ，由柯西不等式得222()(()a b x y a b x y +++，从而证明222()a b a b x yx y+++成立；（2）由121n x x x ++=…+，得121(1)(1)(1)n n x x x +=++++⋯++，然后利用柯西不等式，即可证明12212211111x x xx x x n++⋯⋯+++++成立．【详解】（1）对任意正实数a ，b ，x ，y ，由柯西不等式得()()()()222222222a b a b x y a b x y ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎢⎥++=++⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当且仅当x y a b=时取等号，∴222()a b a b x y x y+++．（2）121n x x x ++⋯+= ，121(1)(1)(1)n n x x x ∴+=++++⋯++，2221212()(1)111n nx x x n x x x ++⋯+++++222121212()[(1)(1)(1)]111n n nx x x x x x x x x =++⋯+++++⋯+++++212()1n x x x ++⋯+=，当且仅当121n x x x n==⋯==时取等号，∴222121211111n nx x x x x x n ++⋯+++++．【点睛】方法点睛：利用柯西不等式求最值或证明不等式时，关键是对原目标代数式进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件,配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标代数式进行配凑后利用柯西不等式解答.20.已知函数､()y f x =的表达式为()(0,1)xf x a a a =>≠，且1(2)4f -=，（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若()()22log ()4()0m f x f x -+=在区间[]0,2上有解，求实数m 的取值范围；（3）已知113k ≤<，若方程()10f x k --=的解分别为1x ､()212x x x <，方程()1021k f x k --=+的解分别为3x ､()434x x x <，求1234x x x x -+-的最大值.【答案】（1）()2x f x =；（2）[]3,1-；（3）2log 3-.【解析】【分析】（1）由2211(2)4f aa --===可得答案.（2）由条件可得()2()4()1m f x f x -+=在区间[]0,2上有解，设2x t =，由[]0,2x ∈，则14t ≤≤，即()24123t t t m -+==--在区间[]1,4t ∈上有解，可得答案.（3）由条件121x k =-，221x k =+，即12121x x k k --=+，以及431221xk k +=+或3+1221x k k =+，所以341312x x k k -+=+，从而可得()()1234341241111322213131331x x x x x x x x k k k k k k k -+---+-+-=⋅=⨯==-++++，求出最大值可得答案.【详解】（1）由2211(2)4f a a --===，所以2a =所以()2xf x =（2）()()22log ()4()0m f x f x -+=在区间[]0,2上有解即()2()4()1m f x f x -+=在区间[]0,2上有解即()22421x x m -+⨯=在区间[]0,2上有解即设2x t =，由[]0,2x ∈，则14t ≤≤所以()24123t t t m -+==--在区间[]1,4t ∈上有解当[]1,4t ∈时，[]2134,1t t ∈--+所以31m -≤≤（3）由()10f x k --=，即21x k =+或21x k=-由方程()10f x k --=的解分别为1x ､()212x x x <，则121x k =-，221x k=+所以12121x x k k--=+由()1021k f x k --=+，即31212121x k k k k +=+=++或+1212121xk k k k =-=++方程()1021k f x k --=+的解分别为3x ､()434x x x <，则431221x k k +=+或3+1221xk k =+所以341312x xk k -+=+所以()()1234341241111322213131331x x x x x x x x k k k k k k k -+---+-+-=⋅=⨯==-++++函数431133y k =++-在113k ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，上单调递减，当13k =时，431133y k =++-有最大值13.所以()()1234123x x x x -+-≤，则1322421log log 33x x x x -=-+≤-所以1234x x x x -+-的最大值为2log 3-【点睛】关键点睛：本题考查指数的运算和方程有解求参数，方程根的关系，解答本题的关键是由题意可得()22421x x m -+⨯=在区间[]0,2上有解，设2x t =，分类参数即()24123t t t m -+==--在区间[]1,4t ∈上有解，以及根据方程的根的情况可得()()1234341241111322213131331x x x x x x x x k k k k k k k -+---+-+-=⋅===-++++，属于中档题.21.对于集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ ，其中每个元素均为正整数，如果任意去掉其中一个元素(1,2,3,)i a i n = 之后，剩余的所有元素组成集合(1,2,)i A i n = ，并且i A 都能分为两个集合B 和C ，满足B C =∅ ，i B C A ⋃=，其中B 和C 的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”.（1）判断集合{}1,2,3,4和{}1,3,5,7,9,11,13是否是“可分集合”(不必写过程)；（2）求证：五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；（3）若集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 是“可分集合”.①证明：n 为奇数；②求集合A 中元素个数的最小值.【答案】（1）集合{}1,2,3,4不是，集合{}1,3,5,7,9,11,13是；（2）证明见解析；（3）①证明见解析；②7.【解析】【分析】（1）根据“可分集合”定义直接判断即可得到结论；（2）不妨设123450a a a a a <<<<<，分去掉的元素是1a 时得5234a a a a =++①，或2534a a a a +=+②，去掉的元素是2a 得5134a a a a =++③，或1534a a a a +=+④，进而求解得矛盾，从而证明结论.（3）①设集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 所有元素之和为M ，由题可知，()1,2,3,,i M a i n -= 均为偶数，所以()1,2,3,,i a i n = 的奇偶性相同，进而分类讨论M 为奇数和M 为偶数两类情况，分析可得集合A 中的元素个数为奇数；②结合（1）（2）问依次验证3,5,7n n n ===时集合A 是否为“可分集合”从而证明.【详解】解：（1）对于集合{}1,2,3,4，去掉元素1，剩余的元素组成的集合为{}12,3,4A =，显然不能分为两个集合B 和C ，满足B C =∅ ，1B C A ⋃=，其中B 和C 的所有元素之和相等，故{}1,2,3,4不是“可分集合”对于集合{}1,3,5,7,9,11,13，去掉元素1，{}13,5,7,9,11,13A =，显然可以分为{}{}11,13,3,5,7,9B C ==，满足题意；去掉元素3，{}21,5,7,9,11,13A =，显然可以分为{}{}1,9,13,5,7,11B C ==，满足题意；去掉元素5，{}31,3,7,9,11,13A =，显然可以分为{}{}1,3,7,11,9,13B C ==，满足题意；去掉元素7，{}41,3,5,9,11,13A =，显然可以分为{}{}1,9,11,3,5,13B C ==，满足题意；去掉元素9，{}51,3,5,7,11,13A =，显然可以分为{}{}7,13,1,3,5,11B C ==，满足题意；去掉元素11，{}61,3,5,7,9,13A =，显然可以分为{}{}3,7,9,1,5,13B C ==，满足题意；去掉元素13，{}71,3,5,7,9,11A =，显然可以分为{}{}1,3,5,9,7,11B C ==，满足题意；故{}1,3,5,7,9,11,13是可分集合.（2）不妨设123450a a a a a <<<<<，若去掉的是1a ，则集合{}12345,,,A a a a a =可以分成{}{}5234,,,B a C a a a ==或{}{}2534,,,B a a C a a ==，即：5234a a a a =++①或2534a a a a +=+②若去掉的是2a ，则集合{}21345,,,A a a a a =可以分成{}{}5134,,,B a C a a a ==或{}{}1534,,,B a a C a a ==，即：5134a a a a =++③或1534a a a a +=+④，由①③得21a a =，矛盾；由①④21a a =-，矛盾；由②③得21a a =-，矛盾；由②④21a a =，矛盾；所以五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；（3）①证明：设集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 所有元素之和为M ，由题可知，()1,2,3,,i M a i n -= 均为偶数，所以()1,2,3,,i a i n = 的奇偶性相同，若M 为奇数，则()1,2,3,,i a i n = 也均为奇数，由于12n M a a a =+++ ，所以n 为奇数；若M 为偶数，则()1,2,3,,i a i n = 也均为偶数，此时设()21,2,3,,i i a b i n == ，则{}12,,,n b b b 也是“可分集合”，重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“可分集合”，此时各项之和也为奇数，集合A 中的元素个数为奇数.综上所述，集合A 中的元素个数为奇数.②当3n =时，显然任意集合{}123,,A a a a =不是“可分集合”；当5n =时，第二问已经证明集合{}12345,,,,A a a a a a =不是“可分集合”；当7n =时，第一问已验证集合{}1,3,5,7,9,11,13A =是“可分集合”.所以集合A 中元素个数的最小值为7.【点睛】本题考查集合新定义的问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义理解清楚，然后根据定义依次验证，证明即可.注意对问题思考的全面性，考查学生的思维迁移能力，分析能力.本题第二问解题的关键在于假设123450a a a a a <<<<<，以去掉元素1a 和2a 两种情况下的可分集合推出矛盾，进而证明，是难题.。
2020-2021学年福建省厦门市思明区双十中学九年级(上)期中数学试卷
2020-2021学年福建省厦门市思明区双十中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10题，每小题4分，共40分；每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）1．（4分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（4分）函数y＝﹣x2+1的图象大致为（）A．B．C．D．3．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜1B．m＞﹣1C．m＞1D．m＜﹣14．（4分）关于抛物线y＝x2﹣2x+1，下列说法错误的是（）A．开口向上B．与x轴有一个交点C．对称轴是直线x＝1D．当x＞1时，y随x的增大而减小5．（4分）如图，在⊙O中，若点C是弧AB的中点，∠A＝50°，则∠BOC等于（）A．50°B．45°C．40°D．35°6．（4分）如图所示，在一幅矩形风景画的四周镶一条相同宽度的边框，制成一幅长为80cm ，宽为50cm的挂图，设边框的宽为xcm，如果风景画的面积是2800cm2，下列方程符合题意的是（）A．（50+x）（80+x）＝2800B．（50+2x）（80+2 x）＝2800C．（50﹣x）（80﹣x）＝2800D．（50﹣2x）（80﹣2x）＝28007．（4分）如图，将等边三角形OAB放在平面直角坐标系中，A点坐标（1，0），将△OAB 绕点A顺时针旋转60°，则旋转后点B的对应点B′的坐标为（）A．（，）B．（1，）C．（，）D．（，）8．（4分）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是40m；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s．其中正确的是（）A．①④B．①②C．②③④D．②③9．（4分）已知二次函数的顶点坐标为（2，﹣1），图象与x交于P，Q两点，且PQ＝6，若图象经过（1，a），（3，b），（﹣1，c），（﹣3，d）四个点，则a，b，c，d中值一定为正数的是（）A．a B．b C．c D．d10．（4分）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）＝0有两个相等的实数根，下列判断正确的是（）A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a＝0的根B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a＝0的根C．1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根D．1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）已知x＝﹣1是方程x2﹣a＝0的解，则a＝．12．（4分）不等式组的解集是．13．（4分）如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AD⊥DE，BD＝5，DE＝3，则BE的长是．14．（4分）二次函数y＝﹣2（x﹣1）2﹣3的最大值是．15．（4分）如图，已知点A（2，0），B（0，4），C（2，4），D（6，6），连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为．16．（4分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A，且经过平行四边形ABCD的顶点A，B（1，m），D（7，1），它的对称轴经过AC，BD的交点，若AB＝5，则这条抛物线的解析式为．三、解答题（本大题有9小题，共86分）17．（6分）解方程：2x2＝4x﹣118．（8分）化简并求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣1．19．（8分）如图，在⊙O中，若＝，且AD＝3，求CB的长度．20．（8分）如图，在边长为1的方格纸中建立直角坐标系，△OAB旋转得到△OA'B′，观察图形并回答问题：（1）请将作图过程补充完整；并说明△OAB是如何旋转得到△OA'B'．（2）填空：△OAA′的形状是．21．（8分）如图，抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，抛物线的顶点为点D．（1）求AB的长度和点D的坐标；（2）请你写出一种平移方法，使抛物线经过平移后与坐标轴只有两个交点．（不需证明）22．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0．其中m、n是常数．（1）若m＝n+3，试判断该一元二次方程根的情况；（2）若该一元二次方程有两个相等的实数根，且在平面直角坐标系中，点（m，n）关于原点的对称点在直线y＝x+2上，求m的值．23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△MNC，连接BM．（1）∠BCM＝，连接BN，则BN的长是．（2）求证：AC⊥BM；（3）连接AN，求AN的长．24．（14分）某企业生产一种新产品，每件成本50元．（1）由于新产品市场占有率较低，去年上市初期销量逐渐减少，1至6月，月销售量y1（件）与月份x（月）满足一次函数关系；随着新产品逐渐得到市场认可，销量增加，6至12月，月销售量y2（件）与月份x（月）满足二次函数关系，且6月份的月销售量是该二次函数的最小值，函数关系如图所示．①分别求出y1、y2与x之间的函数关系式；②已知去年1至6月每件该产品的售价z（元）与月份x之间满足函数关系：z＝60+x（1≤x≤6，x为整数）．除成本外，平均每销售一件产品还需额外支出杂费p元，p与月份x之间满足函数关系：p＝x（1≤x≤6，x为整数），从7月至12月每件产品的售价和杂费均稳定在6月的水平．去年1至12月，该产品在第几月获得最大利润？并求出最大利润．（2）今年以来，由于物价上涨及积压了去年未销售的产品等因素，该企业每月均需支出杂费6000元（不论每月销售量如何，且天数不满一月时，按整月计算）．为了出售去年积压的4000件该产品，企业计划以单价70元销售，每月可卖出350件．为了尽快回拢资金并确保获利，企业决定降价销售，每降价1元（降价金额为整数），每月可多卖出50件，且要求在5个月内（含5个月）将这批库存全部售出，如何定价可使获利最大？25．（14分）如图1，抛物线的顶点为P（1，9），与x轴的交于点A和点B（4，0）．（1）M为x轴上方抛物线上一点，MB与抛物线的对称轴交于点C，若∠COB＝2∠CBO ，求点M的坐标；（2）如图2，将原抛物线沿对称轴平移后得到新的抛物线为：y＝ax2+bx+h，E，F是y ＝ax2+bx+h在第一象限内互不重合的两点，EG⊥x轴，FH⊥x轴，垂足分别为G，H，若存在这样的点E，F，满足△GEO≌△HOF，求h的取值范围．2020-2021学年福建省厦门市思明区双十中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10题，每小题4分，共40分；每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）1．（4分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A．平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意；B．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；C．矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项不合题意；D．正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：A．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原来的图形重合．2．（4分）函数y＝﹣x2+1的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴，和y轴的交点可得相关图象．【解答】解：∵二次项系数a＜0，∴开口方向向下，∵一次项系数b＝0，∴对称轴为y轴，∵常数项c＝1，∴图象与y轴交于（0，1），故选：B．【点评】考查二次函数的图象的性质：二次项系数a＜0，开口方向向下；一次项系数b ＝0，对称轴为y轴；常数项是抛物线与y轴的交点的纵坐标．3．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜1B．m＞﹣1C．m＞1D．m＜﹣1【分析】方程没有实数根，则Δ＜0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．【解答】解：由题意知，Δ＝4﹣4m＜0，∴m＞1故选：C．【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．4．（4分）关于抛物线y＝x2﹣2x+1，下列说法错误的是（）A．开口向上B．与x轴有一个交点C．对称轴是直线x＝1D．当x＞1时，y随x的增大而减小【分析】把二次函数解析式化为顶点式，逐项判断即可得出答案．【解答】解：∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，当x＞1时，y随x的增大而增大，∴A、C正确，D不正确；令y＝0可得（x﹣1）2＝0，该方程有两个相等的实数根，∴抛物线与x轴有一个交点，∴B正确；故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y ＝a（x﹣h）2+k中，其对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．5．（4分）如图，在⊙O中，若点C是弧AB的中点，∠A＝50°，则∠BOC等于（）A．50°B．45°C．40°D．35°【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠AOB，根据垂径定理求出AD＝BD，根据等腰三角形性质得出∠BOC＝∠AOB，代入求出即可【解答】解：∵∠A＝50°，OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝50°，∴∠AOB＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∵点C是弧AB的中点，∴∠BOC＝∠AOB＝40°，故选：C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，等腰三角形的性质的应用，注意：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，其中有一对相等，那么其余两对也相等．6．（4分）如图所示，在一幅矩形风景画的四周镶一条相同宽度的边框，制成一幅长为80cm，宽为50cm的挂图，设边框的宽为xcm，如果风景画的面积是2800cm2，下列方程符合题意的是（）A．（50+x）（80+x）＝2800B．（50+2x）（80+2 x）＝2800C．（50﹣x）（80﹣x）＝2800D．（50﹣2x）（80﹣2x）＝2800【分析】根据矩形的面积＝长×宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（整个挂图的长﹣2个边框的宽度）×（整个挂图的宽+2个边框的宽度）＝风景画的面积，由此可得出方程，化为一般形式即可．【解答】解：依题意，设边框的宽为xcm，（80﹣2x）（50﹣2x）＝2800，故选：D．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程是解题关键．7．（4分）如图，将等边三角形OAB放在平面直角坐标系中，A点坐标（1，0），将△OAB 绕点A顺时针旋转60°，则旋转后点B的对应点B′的坐标为（）A．（，）B．（1，）C．（，）D．（，）【分析】如图，作BH⊥OA于H．证明BB′∥OA，求出BH即可解决问题．【解答】解：如图，作BH⊥OA于H．∵A（1，0），△AOB，△ABB′都是等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝BB′＝1，∠OAB＝∠ABB′＝60°，∴BB′∥OA，∵BH⊥OA，∴OH＝AH＝，BH＝OH＝，∴B′（，），故选：C．【点评】本题考查旋转变换，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．8．（4分）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是40m；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s．其中正确的是（）A．①④B．①②C．②③④D．②③【分析】根据函数的图象中的信息判断即可．【解答】解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m；故①错误；②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确；④设函数解析式为：h＝a（t﹣3）2+40，把O（0，0）代入得0＝a（0﹣3）2+40，解得a＝﹣，∴函数解析式为h＝﹣（t﹣3）2+40，把h＝30代入解析式得，30＝﹣（t﹣3）2+40，解得：t＝4.5或t＝1.5，∴小球的高度h＝30m时，t＝1.5s或4.5s，故④错误；故选：D．【点评】本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是正确的理解题意，属于中考基础题，常考题型．9．（4分）已知二次函数的顶点坐标为（2，﹣1），图象与x交于P，Q两点，且PQ＝6，若图象经过（1，a），（3，b），（﹣1，c），（﹣3，d）四个点，则a，b，c，d中值一定为正数的是（）A．a B．b C．c D．d【分析】根据题意可以得到该函数的对称轴，开口方向和与x轴的交点坐标，从而可以判断a、b、c、d的正负，本题得以解决．【解答】解：∵二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），此函数图象与x轴相交于P、Q 两点，且PQ＝6，∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝2，与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（5，0），∵此函数图象通过（1，a）、（3，b）、（﹣1，c）、（﹣3，d）四点，∴a＜0，b＜0，c＝0，d＞0，故选：D．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．10．（4分）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）＝0有两个相等的实数根，下列判断正确的是（）A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a＝0的根B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a＝0的根C．1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根D．1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根【分析】根据方程有两个相等的实数根可得出b＝a+1或b＝﹣（a+1），当b＝a+1时，﹣1是方程x2+bx+a＝0的根；当b＝﹣（a+1）时，1是方程x2+bx+a＝0的根．再结合a+1≠﹣（a+1），可得出1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）＝0有两个相等的实数根，∴，∴b＝a+1或b＝﹣（a+1）．当b＝a+1时，有a﹣b+1＝0，此时﹣1是方程x2+bx+a＝0的根；当b＝﹣（a+1）时，有a+b+1＝0，此时1是方程x2+bx+a＝0的根．∵a+1≠0，∴a+1≠﹣（a+1），∴1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）已知x＝﹣1是方程x2﹣a＝0的解，则a＝1．【分析】根据方程的根的定义把x＝﹣1代入方程，计算即可．【解答】解：∵x＝﹣1是方程x2﹣a＝0的解，∴（﹣1）2﹣a＝0，解得，a＝1，故答案为：1．【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握解一元二次方程的一般步骤、方程的根的定义是解题的关键．12．（4分）不等式组的解集是x＜﹣1．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．【解答】解：，由①得：x＜2，由②得：x＜﹣1，则不等式组的解集为x＜﹣1．故答案为：x＜﹣1．【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．13．（4分）如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AD⊥DE，BD＝5，DE＝3，则BE的长是2．【分析】根据中心对称的性质得到：AB＝DE＝3，∠DAB＝∠ADE＝90°，在直角△ABD中利用勾股定理求得AD＝4，则CD＝AC＝2；然后在直角△DCE最后再次利用勾股定理求得CE的长度，则BE＝2CE．【解答】解：根据中心对称的性质得到：AB＝DE＝3，∠DAB＝∠ADE＝90°，DC＝AC ，EC＝BC．在直角△ABD中，BD＝5，AB＝3，根据勾股定理，得AD＝＝＝4，则CD＝AC＝2．在直角△DCE中，CE＝＝＝．所以BE＝2CE＝2．故答案是：2．【点评】本题主要考查了勾股定理，中心对称．中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．14．（4分）二次函数y＝﹣2（x﹣1）2﹣3的最大值是﹣3．【分析】直接利用二次函数的性质求解．【解答】解：y＝﹣2（x﹣1）2﹣3，∵a＝﹣2＜0，∴当x＝1时，y有最大值，最大值为﹣3．故答案为﹣3．【点评】本题考查了二次函数的最值：对于二次函数y＝a（x﹣k）2+h，当a＞0时，x＝k时，y有最小值h，当a＜0时，x＝k时，y有最大值h．15．（4分）如图，已知点A（2，0），B（0，4），C（2，4），D（6，6），连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为（4，2）．【分析】画出平面直角坐标系，作出线段AC，BD的垂直平分线的交点P，点P即为旋转中心．【解答】解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P点，P（4，2）．故答案为（4，2）．【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．16．（4分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A，且经过平行四边形ABCD的顶点A，B（1，m），D（7，1），它的对称轴经过AC，BD的交点，若AB＝5，则这条抛物线的解析式为或y＝﹣+﹣．【分析】设抛物线解析式后利用平行四边形的性质以及抛物线的对称轴可得出A（4，a+b+c﹣4），在利用D（7，1），A（4，a+b+c﹣4）和对称轴为直线x＝4可列出方程，得到牌抛物线解析式．【解答】解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），因为四边形ABCD是平行四边形，所以AC，BD互相平分且O'为AC，BD的中点，又因为B（1，m），D（7，1），所以，所以抛物线对称轴为直线x＝4，过点A作AE⊥直线x＝1于点E，因为AE＝3，AB＝5，由勾股定理可得“，又因为B（1，m），所以A（4，m﹣4）或（4，m+4），因为B在抛物线上，所以B（1，a+b+c），A（4，a+b+c﹣4）或（4，a+b+c+4），根据抛物线经过点D（7，1），A（4，a+b+c﹣4）或（4，a+b+c+4）且对称轴为直线x ＝4可列方程为：或，解得：或．故抛物线的解析式为：或y＝﹣+﹣．【点评】本题重点利用平行四边形的性质和二次函数的性质的一道综合应用题，能够准确画出图象是解题的关键．三、解答题（本大题有9小题，共86分）17．（6分）解方程：2x2＝4x﹣1【分析】根据公式法即可求出答案．【解答】解：原方程化为：2x2﹣4x+1＝0，∴a＝2，b＝﹣4，c＝1，∴△＝16﹣8＝8，∴x＝＝；【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．18．（8分）化简并求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣1．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝•＝，当x＝﹣1时，原式＝＝＝．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．（8分）如图，在⊙O中，若＝，且AD＝3，求CB的长度．【分析】根据＝，得到＝，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到CB＝AD．【解答】解：∵＝，∴﹣＝﹣，即＝，∴CB＝AD＝3．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理，掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键．20．（8分）如图，在边长为1的方格纸中建立直角坐标系，△OAB旋转得到△OA'B′，观察图形并回答问题：（1）请将作图过程补充完整；并说明△OAB是如何旋转得到△OA'B'．（2）填空：△OAA′的形状是等腰直角三角形．【分析】（1）首先判断出旋转角是90°，作出点B的对应点B′即可．（2）利用勾股定理的逆定理证明∠AOA′＝90°即可．【解答】解：（1）如图，△OA'B'即为所求．观察图象可知，△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OA'B'．（2）△AOA′是等腰直角三角形．理由：∵OA＝OA′＝5，AA′＝5，∴AO2+OA′2＝AA′2，∴∠AOA′＝90°，∴△AOA′是等腰直角三角形．故答案为：等腰直角三角形．【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．21．（8分）如图，抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，抛物线的顶点为点D．（1）求AB的长度和点D的坐标；（2）请你写出一种平移方法，使抛物线经过平移后与坐标轴只有两个交点．（不需证明）【分析】（1）将已知抛物线解析式转化为两点式和顶点式，分别求得点A、B、D的坐标；（2）若要与坐标轴只有两个交点，只需抛物线与x轴相切即可，最简单的办法直接往上平移4个单位．【解答】解：（1）由y＝x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）得到：A（﹣3，0），B（1，0），则AB＝|﹣3﹣1|＝4．由y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4得到：D（﹣1，﹣4）．（2）若要抛物线与坐标轴只有两个交点，抛物线与x轴相切即可．将抛物线向上平移4个单位即可，此时抛物线的解析式为y＝（x+1）2．【点评】本题考查了二次函数的性质、二次函数的图象以及抛物线与x轴的交点，解题的关键是：（1）利用配方法将二次函数解析式变为顶点式；（2）若与对称轴只有两个交点，只能相交．22．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0．其中m、n是常数．（1）若m＝n+3，试判断该一元二次方程根的情况；（2）若该一元二次方程有两个相等的实数根，且在平面直角坐标系中，点（m，n）关于原点的对称点在直线y＝x+2上，求m的值．【分析】（1）进行判别式的值得到Δ＝m2﹣4×2n，把m＝n+3代入后变形得到Δ＝（n ﹣1）2+8，则利用非负数的性质可判断Δ＞0，从而根据判别式的意义得到方程根的情况；（2）利用判别式的意义得到m2﹣8n＝0，再利用关于原点对称的点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征得到﹣n＝﹣m+2，即n＝m﹣2，消去n得到m2﹣8（m﹣2）＝0，然后解关于m的方程即可．【解答】解：（1）∵m＝n+3，∴Δ＝m2﹣4×2n＝（n+3）2﹣8n＝n2﹣2n+9＝（n﹣1）2+8，而（n﹣1）2≥0，∴（n﹣1）2+8＞0，即Δ＞0，∴该一元二次方程有两个不相等的实数根；（2）根据题意得Δ＝m2﹣4×2n＝0，∵点（m，n）关于原点的对称点为（﹣m，﹣n），∴﹣n＝﹣m+2，即n＝m﹣2，把n＝m﹣2代入m2﹣8n＝0得m2﹣8（m﹣2）＝0，整理得m2﹣8m+16＝0，解得m1＝m2＝4，即m的值为4．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△MNC，连接BM．（1）∠BCM＝105°，连接BN，则BN的长是．（2）求证：AC⊥BM；（3）连接AN，求AN的长．【分析】（1）由旋转的性质可得BC＝CN，∠BCN＝60°＝∠ACM，AC＝CM，可得∠BCM＝∠BCA+∠ACM＝105°，△BCN是等边三角形，即可求解；（2）可证△ACM是等边三角形，可得AM＝CM，可证BM垂直平分AC，可得结论；（3）连接AN，并延长AN交CM于H，可证AH垂直平分CM，可求NH和AH的长，即可求解．【解答】解：（1）连接BN，∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，AC＝AB＝2，∵将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△MNC，∴BC＝CN，∠BCN＝60°＝∠ACM，AC＝CM，∴∠BCM＝∠BCA+∠ACM＝105°，△BCN是等边三角形，∴BN＝BC＝，故答案为：105°，；（2）连接AM，∵AC＝CM，∠ACM＝60°，∴△ACM是等边三角形，∴AM＝CM，又∵BC＝BA，∴BM垂直平分AC，∴BM⊥AC；（3）连接AN，并延长AN交CM于H，如图，∵将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△MNC，∴CA＝CM＝2，CN＝MN＝CB＝AB＝，∠ACM＝60°，∠CNM＝∠CBA＝90°，∴△ACM为等边三角形，∴AC＝AM，而NC＝NM，∴AH垂直平分CM，∴CH＝NH＝CM＝1，AH＝CH＝，∴AN＝AH﹣NH＝﹣1．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形．24．（14分）某企业生产一种新产品，每件成本50元．（1）由于新产品市场占有率较低，去年上市初期销量逐渐减少，1至6月，月销售量y1（件）与月份x（月）满足一次函数关系；随着新产品逐渐得到市场认可，销量增加，6至12月，月销售量y2（件）与月份x（月）满足二次函数关系，且6月份的月销售量是该二次函数的最小值，函数关系如图所示．①分别求出y1、y2与x之间的函数关系式；②已知去年1至6月每件该产品的售价z（元）与月份x之间满足函数关系：z＝60+x （1≤x≤6，x为整数）．除成本外，平均每销售一件产品还需额外支出杂费p元，p与月份x之间满足函数关系：p＝x（1≤x≤6，x为整数），从7月至12月每件产品的售价和杂费均稳定在6月的水平．去年1至12月，该产品在第几月获得最大利润？并求出最大利润．（2）今年以来，由于物价上涨及积压了去年未销售的产品等因素，该企业每月均需支出杂费6000元（不论每月销售量如何，且天数不满一月时，按整月计算）．为了出售去年积压的4000件该产品，企业计划以单价70元销售，每月可卖出350件．为了尽快回拢资金并确保获利，企业决定降价销售，每降价1元（降价金额为整数），每月可多卖出50件，且要求在5个月内（含5个月）将这批库存全部售出，如何定价可使获利最大？【分析】（1）设出一次函数与二次函数解析式，利用待定系数法求出即可；（2）利用获得的利润＝（每件产品的利润﹣额外支出的杂费）×月销售量，列出函数分段对比即可；（3）把两种方案分别计算比较结果即可．【解答】解：（1）设y1＝kx+b，把（1，600）（4，450）代入解析式得，，解得，∴y1＝﹣50x+650；把x＝6代入y1得y1＝﹣50×6+650＝350；设y2＝a（x﹣6）2+350，把（10，430）代入y2得430＝a（10﹣6）2+350，得a＝5，∴y2＝5（x﹣6）2+350．（2）设所获得的利润为W，当1≤x≤6时，W＝（60+x﹣50﹣x）（﹣50x+650）＝﹣100（x﹣4）2+8100；在4月份时，获得的最大利润为8100元；当7≤x≤12时，W＝[5（x﹣6）2+350]（60+6×﹣50﹣×6）＝110（x﹣6）2+7700，∵y随x增大而增大，∴当x＝12时，获得的利润最大，最大利润为110×（12﹣6）2+7700＝11660元；综上所知12月获得的利润最大，这个最大值为11660元．（3）设降价m元销售，所获得的利润为W，由题意得W＝（70﹣50﹣m）×4000﹣6000×＝﹣4000m+80000﹣6000×，∵要求在5个月内（含5个月）将这批库存全部售出，∴≤5，∴9≤m＜20，4000能被350+50m整除且符合题意，m可以取9、13，当m＝9，W＝14000；当m＝13，W＝4000；答：当降价9元时，利润最大为14000元．【点评】此题综合考查了二次函数的实际应用，以及利用函数解决方案选择的问题，注意分段函数的运用．25．（14分）如图1，抛物线的顶点为P（1，9），与x轴的交于点A和点B（4，0）．（1）M为x轴上方抛物线上一点，MB与抛物线的对称轴交于点C，若∠COB＝2∠CBO ，求点M的坐标；（2）如图2，将原抛物线沿对称轴平移后得到新的抛物线为：y＝ax2+bx+h，E，F是y ＝ax2+bx+h在第一象限内互不重合的两点，EG⊥x轴，FH⊥x轴，垂足分别为G，H，若存在这样的点E，F，满足△GEO≌△HOF，求h的取值范围．【分析】（1）由∠COB＝2∠CBO得到∠ACO＝∠CAO，则OC＝OA＝2，进而求解；（2）点E（m，n），则点F的坐标为（n，m），则，得到n＝3﹣m ，求出h＝m2﹣2m+n＝（m﹣）2+，即可求解．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣1）2+9，将点B的坐标代入上式得：0＝a（4﹣1）2+9，解得a＝﹣1，故抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣1）2+9＝﹣x2+2x+8①，由函数的对称性知，点A（﹣2，0），设函数对称轴交x轴于点H，连接AC，根据函数的对称性知，AC＝BC，则∠CAB＝∠CBA，∵∠COB＝2∠CBO＝∠CAO+∠ACO，∴∠ACO＝∠CAO，则OC＝OA＝2，而OH＝1，则Rt△COH中，CH＝＝＝，故点C的坐标为（1，），由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣x+②，联立①②并解得，故点M的坐标为（﹣2，2﹣）；（2）∵新抛物线是将原抛物线沿对称轴平移，则新抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+h，∵△GEO≌△HOF，则OH＝EG，FH＝OG，设点E（m，n），则点F的坐标为（n，m），将点E、F的坐标代入抛物线表达式得，①﹣②并整理得：（n﹣m）（m+n﹣3）＝0，由题意得：m≠n，故m+n＝3，即n＝3﹣m，∵m≠n，故m≠n≠，∵n＞0，m＞0，故n＝3﹣m＞0，故0＜m＜3且m≠，由①得：h＝m2﹣2m+n＝m2﹣2m+3﹣m＝（m﹣）2+，∵1＞0，故该抛物线开口向上，当m＝时，y取得最小值，最小值为，即h＞，当x＝3时，y取得最大值，最大值为3，故＜h＜3．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、图形的平移、三角形全等等，综合性强，难度较大．。
福建省厦门市第六中学高一数学上学期期中试题
厦门六中2016—2017学年上学期高一期中考试数 学 试 卷满分：150分 考试时间：120分钟 、第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题 (本题共12小题，每小题5分，共60分)1．下列命题正确的是 （ ）A.接近0的实数可以构成集合B.{}R =实数集C.集合{}2|1y y x =-与集合(){}2,|1x y y x =-是同一个集合D.参加2016年金砖国家峰会的所有国家可以构成一个集合．2．函数()()1lg 2f x x x =-++的定义域为 （ ）A.()2,1-B.[]2,1-C.()2,-+∞D.(]2,1-3．已知幂函数()f x x α=的图象过点)2,2(，则1()4f = （ ）A.12- B.2 C.12 D.34．下列四个函数中，在),0(+∞上为增函数的是 （ ）A ．x x f -=3)(B ．x x x f 3)(2-=C ．11)(+-=x x f D ．x x f -=)(5．已知函数b a bx ax x f +++=3)(2是定义域为]2,1[a a -的偶函数，则b a +的值 （ ）A ．0B ．31C ． 1D ．1-6．若()()12f x f x +=，则()f x 的解析式可以是 （ ）A.()2f x x =B.()2x f x =C.()2f x x =+D.()2log f x x =7．用二分法求方程x x -=3lg 的近似解，可以取的一个区间是 （ ）A ． )1,0(B ．)2,1(C ．)3,2(D ．)4,3(8．已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =．则 （ ）A.>>a b cB.>>a c bC.>>c a bD.>>c b a9．若22log log 0a b +=（0,0,1,1a b a b >>≠≠），则函数()x f x a =与()log b g x x =-的图像 关于 （ ）A.直线y x =对称B. x 轴对称C. y 轴对称D.原点对称10．函数2()ln ||f x x x =的图象大致是 （ ）A ．y O xB ．y O xC ．y O x D ．yO x11．若()f x 是定义在R 上的增函数，下列函数中①()2y f x =⎡⎤⎣⎦是增函数；②()1y f x =是减函数；③()y f x =-是减函数；④()y f x =是增函数；其中正确的结论是 （ ）A ．③B ．②③C ．②④D ．①③12．已知函数21,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则3122341()x x x x x ++的取值范围是 （ ） A ．(1,)-+∞ B ．(]1,1- C ．(,1)-∞ D ．[)1,1-第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．某林场今年造林10000亩，计划以后每一年比前一年多造林10%，那么从明年算起第3年内将造林 亩.14．已知函数|1|(1)()3(1)x x x f x x -⎧=⎨>⎩≤，()2f a =，则a = ． 15．若集合{}2(2)210A x k x kx =+++=有且仅有2个子集，则实数k 的值是__ _．16．已知函数()f x 对于一切实数,x y 均有()()()21f x y f y x x y +-=++成立,且(1)0f =,则当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,不等式()2log a f x x +<恒成立时,则实数a 的取值范围是 .三．解答题（本大题有6小题，共70分;解答时应写出文字说明与演算步骤）17．（本小题满分10分）计算下列各题：（1）()025lg 4lg 2549π+-+- （2）2334lg 32lg 427256lg 2-++18．（本小题满分12分）已知集合{}2|log ,4A y y x x ==≥，1|(),102x B y y x ⎧⎫==-≤≤⎨⎬⎩⎭． （1）求A B I ；（2）若集合{}C |21x a x a =≤≤-，且C B B =U ，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分12分）已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()2f x x x =-.（1）画出()f x 的简图, 并求()f x 的解析式；（2）利用图象讨论方程()f x k =的根的情况。