高中物理万有引力经典讲义

万有引力定律
1.估算中心天体的质量和密度的常见思路
(1)利用中心天体表面的重力加速度g 和天体半径R ，质量为m 的物体在天体表面受到的重力近似等于万有引力，即G Mm R 2＝mg 可得天体质量M ＝gR 2G ，进而求得ρ＝M V ＝M 43
πR 3＝3g 4πGR
.
(2)利用环绕天体的轨道半径r 、周期T ，G Mm r 2＝m 4π2T 2r 即M ＝4π2r 3
GT
2.
若环绕天体绕中心天体表面做匀速圆周运动时，轨道半径r ＝R ，则ρ＝M 43πR 3＝3π
GT 2.
2．计算时应注意的问题
(1)由于环绕天体的质量m 被约分，因此不能求出它的质量和密度．
(2)环绕天体的轨道半径r 等于中心天体的半径R 加上环绕天体离中心天体表面的高度h ，即r ＝R ＋h. (3)当环绕天体在中心天体表面绕行时，轨道半径r ＝R.
例一、 (2012·北京四中模拟)已知下列数据： (1)地面附近物体的重力加速度g ； (2)地球半径R ；
(3)月球与地球的两球心间的距离r ； (4)卫星环绕地球运动的第一宇宙速度v1； (5)月球绕地球运动的周期T1； (6)地球绕太阳运动的周期T2；
(7)万有引力常量G.
试选取适当的数据估算地球的质量．(要求给出三种方法)
1．(2012·青岛模拟)美国宇航局2011年12月5日宣布，他们发现了太阳系外第一颗类似地球的、能适合居住的行星——“开普勒­22b”，它每290天环绕着一颗类似于太阳的恒星运转一周．若万有引力常量已知，下列选项中的信息能求出该行星的轨道半径的是()
A．该行星表面的重力加速度
B．该行星的密度
C．该行星的线速度
D．被该行星环绕的恒星的质量
2.如图2－2－1所示，是美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道，若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，
已知引力常量为G ，则下列关于土星质量M 和平均密度ρ的表达式正确的是( )
A ．M ＝4π2(R ＋h )3Gt 2，ρ＝3π(R ＋h )3
Gt 2R 3
B ．M ＝4π2(R ＋h )2Gt 2，ρ＝3π(R ＋h )2
Gt 2R 3
C ．M ＝4π2t 2(R ＋h )3Gn 2，ρ＝3πt 2(R ＋h )3
Gn 2R 3
D ．M ＝4π2n 2(R ＋h )3Gt 2，ρ＝3πn 2(R ＋h )3
Gt 2R 3
3．(2012·新课标全国高考)假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d .已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( )
A ．1－d R
B ．1＋d
R
C.
⎝⎛⎭⎫R －d R 2 D.⎝⎛⎭⎫R R －d 2
1.人造卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系
做匀速圆周运动的卫星所受的万有引力完全提供所需向心力，即F 引＝F 向， 即G Mm r 2＝m v 2r ＝mrω2＝m 4π2
T
2r ＝ma n ，可推导出：
⎭⎪⎬⎪⎫v ＝
GM
r
ω＝ GM r
3T ＝2π r 3
GM a n
＝G M
r
2
⇒当r 增大时⎩⎪⎨⎪⎧
v 减小
ω减小T 增大a n
减小
2．同步卫星
(1)同步卫星绕地心做匀速圆周运动的周期等于地球的自转周期．
(2)由G Mm (R ＋h )2
＝m 4π2
T 2(R ＋h )，同步卫星都在赤道上空相同的高度上．所有地球同步卫星r 、v 、ω、T 、a 大小均
相同．
3．宇宙速度
1．(2012·石家庄模拟)当卫星绕地球运动的轨道半径为R 时，线速度为v ，周期为T .下列变换符合物理规律的是( )
A ．若轨道半径从R 变为2R ，则运行周期从T 变为22T
B ．若运行周期从T 变为8T ，则轨道半径从R 变为4R
C ．若轨道半径从R 变为2R ，则运行线速度从v 变为v
2
D ．若运行线速度从v 变为v
2
，则运行周期从T 变为2T
3．(2012·洛阳模拟)我国正在建立的北斗导航系统建成后，将有助于减少我国对GPS 导航系统的依赖．北斗导航系统中有几颗卫星是地球同步卫星，GPS 导航系统是由周期约为12 h 的卫星群组成．则北斗导航系统中的同步卫星与GPS 导航卫星相比( ) A ．同步卫星的角速度大 B ．同步卫星的轨道半径大 C ．同步卫星的线速度大 D ．同步卫星的向心加速度大。