小学六年级数学校本课程教材

第一讲 工程问题

工程问题是应用题中的一种类型．在工程问题中，一般要出现三个量：工作总量、工 作时间（完成工作总量所需的时间）和工作效率（单位时间内完成的工作量）． 这三个量之间有下述一些关系式： 工作效率×工作时间＝工作总量， 工作总量÷工作时间＝工作效率， 工作总量÷工作效率＝工作时间． 为叙述方便，把这三个量简称工量、工时和工效． 例1 一项工程，甲乙两队合作需12天完成，乙丙两队合作需15天完成，甲丙两队合作 需20天完成，如果由甲乙丙三队合作需几天完成？

答：甲、乙、丙三队合作需10天完成． 说明：我们通常把工量“一项工程”看成一个单位．这样，工效就用工

例2 师徒二人合作生产一批零件，6天可以完成任务．师傅先做5天 批零件各需几天？ 工效和．要求每人单独做各需几天，首先要求出各自的工效，关键在于把师傅先做5天，接着徒弟做3天转化为师徒二人合作3天，师傅再做2天

． 答：如果单独做，师傅需10天，徒弟需15天． 例3 一项工程，甲单独完成需12天，乙单独完成需9天．若甲先做若干天后乙接着做， 共用10天完成，问甲做了几天？

分析 解答工程问题时，除了用一般的算术方法解答外，还可以根据题目的条件，找到 等量关系，列方程解题。

解：设甲做了x天．那么，

两边同乘36，得到：3x＋40－4x＝36， x＝4． 答：甲做了4天． 例4 一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成．甲先做8小时，乙接着做6小时 也可以完成．如果甲做3小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？ 分析 设一件工作为单位“1”．甲做6小时，乙再做12小时完成或者甲先做8小时，乙 再做6小时都可完成，用图表示它们的关系如下：

由图不难看出甲2小时工作量＝乙6小时工作量，∴甲1小时工作量＝乙3小时工作量． 可用代换方法求解问题． 解：若由乙单独做共需几小时： 6×3＋12＝30（小时）． 若由甲单独做需几小时： 8＋6÷3＝10（小时）． 甲先做3小时后乙接着做还需几小时： （10－3）× 3＝21（小时）． 答：乙还需21小时完成． 例5 筑路队预计30天修一条公路．先由18人修12天只完成全部工程

之几（即一人的工效）． 解：①1人1天完成全部工程的几分之几（即一人的工效）：

②剩余工作量若要提前6天完成共需多少人： ＝36（人）． ③需增加几人： 36－18＝18（人）． 答：还要增加18人．

习题一 1．一项工程，甲单独做12天可以完成．如果甲单独做3天，余下工作由乙去做，乙再 用6天可以做完．问若甲单独做6天，余下工作乙要做几天？ 2．一条水渠，甲乙两队合挖30天完工．现在合挖12天后，剩下的由乙队挖，又用24天挖完．这条水渠由乙单独挖，需要多少天？ 3．客车与货车同时从甲、乙两站相对开出，经2小时24分钟相遇，相遇时客车比货车 多行9.6千米．已知客车从甲站到乙站行4小时30分钟，求客车与货车的速度各是多少？ 习题一解答

②余下工作乙几天完成？ 答：余下工作乙要4天完成．

答：乙队单独挖需40天完成． ＝32（千米/小时）． 答：客车与货车的速度分别为每小时32千米和28千米． 第二讲 比和比例 在应用题的各种类型中，有一类与数量之间的（正、反）比例关系有关．在解答这类 应用题时，我们需要对题中各个量之间的关系作出正确的判断． 成正比或反比的量中都有两种相关联的量．一种量（记作x）变化时另一种量（记作 y）也随着变化．与这两个量联系着，有一个不变的量（记为k）．在判断变量x与y是否成 正、反比例时，我们要紧紧抓住这个不变量k．如

成正比例；如果k是y与x的积，即在x变化时，y与x的积不变：xy＝k，那么y与x成反比例．如果这两个关系式都不成立，那么y与x不成（正和反）比例． 下面我们从最基本的判断两种量是否成比例的例题开始． 例1 下列各题中的两种量是否成比例？成什么比例？ ①速度一定，路程与时间． ②路程一定，速度与时间． ③路程一定，已走的路程与未走的路程． ④总时间一定，要制造的零件总数和制造每个零件所用的时间． ⑤总产量一定，亩产量和播种面积． ⑥整除情况下被除数一定，除数和商． ⑦同时同地，竿高和影长． ⑧半径一定，圆心角的度数和扇形面积． ⑨两个齿轮啮合转动时转速和齿数． ⑩圆的半径和面积． (11)长方体体积一定，底面积和高． (12)正方形的边长和它的面积． (13)乘公共汽车的站数和票价． (14)房间面积一定，每块地板砖的面积与用砖的块数． (15)汽车行驶时每公里的耗油量一定，所行驶的距离和耗油总量． 分析 以上每题都是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，那么怎样来 确定这两种量成哪种比例或不成比例呢？关键是能否把两个

两种形式，或只能写出加减法关系，那么这两种量就不成比例．例如① ×零 件数＝总时间，总时间一定，制造每个零件用的时间与要制造的零件总数成反比例．③路 程一定，已走的路程和未走的路程是加减法关系，不成比例． 解：成正比例的有：①、⑦、⑧、(15) 成反比例的有：②、④、⑤、⑥、⑨、(11)、(14) 不成比例的有：③、⑩、(12)、(13)． 例2 一条路全长60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长的比依次是1：2： 3，某人走各段路程所用时间之比依次是4∶5∶6，已知他上坡的速度是每小时3千米，问此人走完全程用了多少时间？ 分析 要求此人走完全程用了多少时间，必须根据已知条件先求出此人走上坡路用了多 少时间，必须知道走上坡路的速度（题中每小时行3千米）和上坡路的路程，已知全程60千米，又知道上坡、平路、下坡三段路程比是1∶2∶3，就可以求出上坡路的路程． 解：上坡路的路程：

走上坡路用的时间： 上坡路所用时间与全程所用时间比： 走完全程所用时间：

例3 一块合金内铜和锌的比是2∶3，现在再加入6克锌，共得新合金36克，求新合金内铜和锌的比？ 分析 要求新合金内铜和锌的比，必须分别求出新合金内铜和锌各自的重量．应该注意 到铜和锌的比是2∶3时，合金的重量不是36克，而是（36－6）克．铜的重量始终没有变． 解：铜和锌的比是2∶3时，合金重量： 36－6＝30（克）．

铜的重量： 新合金中锌的重量： 36－12＝24（克）． 新合金内铜和锌的比： 12∶24＝1∶2． 答：新合金内铜和锌的比是1∶2． 例4 师徒两人共加工零件168个，师傅加工一个零件用5分钟，徒弟加工一个零件用9分钟，完成任务时，两人各加工零件多少个？

工作量与工作效率成正比例． 解法1：设师傅加工x个，徒弟加工（168－x）个．

5x＝168×9－9x， 14x＝168×9， x＝108． 168－x＝168－108＝60（个）． 答：师傅加工108个，徒弟加工60个．

＝60（个），（徒弟）．

考方法 可求出两人各用了多少分钟．然后用师、徒每分钟各自的效率，分别乘以540就是各自加工零件的个数． 解法4：按比例分配做： 习题二 1．一块长方形的地，长和宽的比是3∶2，长比宽多24米，这块地的面积是多少平方 米？ 2．一块长方形的地，长和宽的比是3∶2，长方形的周长是120米，求这块地的面积？ 3．水果店运来橘子、苹果共96筐，橘子和苹果筐数的比是5∶3，求橘子、苹果各是多少筐？ 4．化肥厂计划生产化肥1400吨，由于改进技术5天就完成了计划的25％，照这样计 算，剩下的任务还需多少天完成？ 习题二解答 2．120÷2＝60（米）， 36×24＝864（平方米）． 3．5＋3＝8，

4．设剩下的任务还需x天完成． 25％x=75％×5， x=15．

第三讲 分数、百分数应用题（一） 分数、百分数应用题是小学数学的重要内容，也是小学数学重点和难点之一．一方面它是在整数应用题基础上的继续和深化；另一方面，它有其本身的特点和解题规律．因此，在这类问题中，数量之间以及“量”、“率”之间的相依关系与整数应用题比较，就显得较为复杂，这就给正确地选择解题方法，正确解答带来一定困难． 为了学好分数、百分数应用题的解法必须做好以下几方面工作． ①具备整数应用题的解题能力．解答整数应用题的基础知识，如概念、性质、法则、 公式等仍广泛用于分数、百分数应用题． ②在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用． ③学会画线段示意图．线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关 系，发现量与百分率之间的隐蔽条件．它可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路， 正确地进行分析、综合、判断和推理． ④学会多角度、多侧面思考问题的方法．分数百分数应用题的条件与问题之间的关系 变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法．因此，在解题过程中，要善 于掌握对应、假设、转化等多种解题方法，在寻找正确的解题方法同时，不断地开拓解题 思路． 例1 （1）本月用水量比上月节约7％，可以联想到哪些关系？ ①上月用水量与单位“1”的关系． ②本月节约用水量与上月用水量的7％的关系． ③本月用水量与上月用水量的（1－7％）的关系． （2）蓝墨水比红墨水多20％，可以联想到哪些关系？ ①红墨水与单位“1”的关系． ②蓝墨水比红墨水多出的量与红墨水的20％的关系． ③蓝墨水与红墨水的（1＋ 20％）的关系． （3）已看的页数比未看的页数多15％，可以联想哪些关系？ ①未看的页数与单位“1”的关系． ②已看的与未看的页数的差与未看页数的15％的关系． ③已看的页数与未看的页数的（1＋15％）的关系．

事书是多少页？ 分析 每天看15页，4天看了15×4＝60页．解题的关键是要找出

解：①看了多少页？