最新法向量求二面角

M
C1
由（1）得：面ENF
的法向量为
A1
E
n=（1，1，0），又
N B1
MF=（1，1，-2）
EF=（-1，1，-2）
D
设面EMF的法向量
Cy
为m=（x,y,z) ，则
F
{ MF.m=0 EFm=0
{-xx++yy--22zz==00
A
B
x
令z=1,则m=(0,2,1) cos<m,n>=10/5 由题意可知，所
法向量求二面角
平面的法向量：
l
注意：
1.法向量一定是非零向量;
2.一个平面的所有法向量都
n
互相平行;
求法向量的步骤：
(1)设出平面的法向量n为 (x, y, z)
(2)找出（求出）平 两面 个内 不的 共线的 向量的坐 a标 (a1,b1,c1),b(a2,b2,c2) (3)根据法向量的定关 义于 建 x,y立 ,z的 方程组 n•a0
C
图5
解： 以A为原点如图建立空间直 0 ,0 ,0 ,B 0 ,1 ,0 ,C 1 ,1 ,0 ,D 1 2 ,0 ,0 ,
S A (0 ,0 ,1), S B (0 ,1 ,1)
2
2
SD (1,0 ,1),SC (1 ,1 ,1)
22
例2：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1
中，E，F，M，N分别是A1B1，BC，
C1D1，B1C1的中点，求二面角M-EF-
N的大小
D1
M
C1
A1
E
N B1
D A
C
F B
(2)
解：（1）建系如图
所示，设正方体棱长
为2,则M（0，1，2）
F（1，2，0） E A1
（2，1，2） N
（1，2，2） 则
MF=（1,1，-2）
NF=（0，0，-2）
EF=（-1，1，-2），
设平面ENF的法向量 A
为n=(x,y,z),
x
D1 z E
D
{ 则
EFn=0 NFn=0
{
-x+y-2z=0 -2z=0
{
x=y z=0
令x=y=1,则n=(1,1,0)
M
C1
N B1
Cy
F B
2
解：（2）建系如图， D1 z
n2
n2
n1， n2
n1，n 2
n1
n1
l
l
cos cosn1,n2 cos cosn1,n2
求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角.
二面角的大小与法向量n1 、n2夹角相等或互补。
四、教学过程的设计与实施 总结出利用法向量求二面角大小的一般步骤： 1）建立坐标系，写出点与向量的坐标； 2）求出平面的法向量，进行向量运算求出法 向量的夹角； 3）通过图形特征或已知要求，确定二面角是 锐角或钝角，得出问题的结果．
{
x=0 y=2z
求二面角为锐角，故所求二面角的 大小为arccos(10/5)
例3 如图5，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD
中，AD//BC，∠ABC=900，SA⊥面ABCD，
S A 1 , AB=BC=1， A D 1 .
2
2
求侧面SCD与面SBA所成的二面角的大小。
z S
A
By
D
x
n•b0
(4)解方程组，取其个中解的，一即得法向
例 1：在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) , C(0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量.
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z) 则 n AB ，n AC .∵ AB (3, 4, 0) , AC (3, 0, 2)
2z 0
A1 z B1
D1 C1
取z =1得平面OA1D1的法向 量的坐标n=(2,0,1)
AA Bx
y
O
D
C
复习： 二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点， 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线， 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
二面角的范围： [0, ]
O
法向量法
n1，n 2
n1，n2
y
D E
Cx F B
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则 cosn1,n2|n1 n1 |• •|nn 22|1 1 2 32 3
根据题意知，侧面SCD与面SBA所成的 二面角的大小的大小为
arccos 2 3
练习：在正方体AC1中，E是BB1中点，求 （1）二面角A-DE-B的余弦值；
2 面 A D E 与 面 B 1 C 1 E 所 成 二 面 角 的 余 弦 ；
解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz（如图），
则O（1，1，0），A1（0，0，2），D1（0，2，2）， 设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z), 由 O A 1 =（-1，-1，2），O D 1 =（-1，1，2）得
x y 2z 0 x y 2z 0
解得
x y
2
显然平面SBA的一个法向量为
n1 (1， 0， 0)，
设平面SCD的一个法向量为
n2(x， y， z)，
x
D
则 n2平 面 SC D
z S A1
图5
SA 1 2
By 1 C AD 1
2
,
.
n n 2 2 • • S S C D 0 0 2 x x 2 y z z 0 0 取 z 2 ,则 n 2 ( 2 , 1 ,2 )
∴
( (
x, x,
y, z) (3, 4, 0) y, z) (3, 0, 2)
0 0
即
3 x 3 x
4y 2z
0 0
∴4y-2z=0
令 y=1,则 n =( 4 ,1,2) 3
∴ n =( 4 ,1,2)是平面 ABC 的一个法向量. 3
4
例1、在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1 中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.
3 求 面 A D E 与 面 ZA 1 D E 所 成 二 面 角 的 大 小 ；
D1
C1
A1
B1
D A
X
E C
Y
B
四、教学过程的设计与实施
课后作业：
1、如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1 ，
试用多种方法求二面角A1－BD－C1的余弦值．

练习
已知正方形ABCD的边长为1，PD 平面ABCD，且
PD=1，E、F分别为AB、BC的中点。
①求证：PE AF；
z
②求点D到平面PEF的距离；
P
③求直线AC到平面PEF的距离；
④求直线PA与EF的距离；
⑤求直线PA与EF所成的角； ⑥求PA与平面PEF所成的角； ⑦求二面角A-PE-F的大小。 A