习题-线性方程组
线性方程组练习题及解析
线性方程组练习题及解析线性方程组是数学中的重要概念，在各个领域都有广泛的应用。
解线性方程组需要掌握一定的求解方法和技巧。
本文将提供一些线性方程组的练习题，并给出详细解析，帮助读者更好地理解和应用线性方程组的知识。
练习题一：解下列线性方程组：1) 2x + y = 83x - y = 42) -3x + 4y = 72x - y = -33) x + 2y = 53x - y = 10解析一：1) 首先，将方程组进行消元，将y消去。
将第一个方程乘以3，得到6x + 3y = 24。
与第二个方程相加，得到9x = 28。
解得x = 28/9。
将x的值代入第一个方程，解得y = 16/9。
因此，该方程组的解为x = 28/9，y = 16/9。
2) 将第一个方程乘以2，得到-6x + 8y = 14。
与第二个方程相加，得到7y = 11。
解得y = 11/7。
将y的值代入第一个方程，解得x = 1/7。
因此，该方程组的解为x = 1/7，y = 11/7。
3) 将第一个方程乘以3，得到3x + 6y = 15。
与第二个方程相加，得到6x + 5y = 25。
解得x = 25/6。
将x的值代入第一个方程，解得y =5/6。
因此，该方程组的解为x = 25/6，y = 5/6。
练习题二：解下列线性方程组：1) x + 2y - z = 52x - y + 3z = 23x + y - 2z = 12) 2x - y + z = 4x + 3y - z = -33x - y + 2z = 73) x - 2y + z = 12x - y + 3z = -33x + y + 2z = 2解析二：1) 首先，将方程组进行消元，将y和z消去。
将第一个方程乘以2，得到2x + 4y - 2z = 10。
与第三个方程相加，得到5x + 3y = 11。
将第一个方程乘以3，得到3x + 6y - 3z = 15。
与第二个方程相加，得到5x +3z = 17。
(完整版)线性代数练习册第四章习题及答案
第四章 线性方程组§4-1 克拉默法则一、选择题1．下列说法正确的是（ C ）A.n 元齐次线性方程组必有n 组解；B.n 元齐次线性方程组必有1n -组解；C.n 元齐次线性方程组至少有一组解，即零解；D.n 元齐次线性方程组除了零解外，再也没有其他解. 2．下列说法错误的是（ B ）A 。
当0D ≠时，非齐次线性方程组只有唯一解;B 。
当0D ≠时，非齐次线性方程组有无穷多解;C 。
若非齐次线性方程组至少有两个不同的解，则0D =; D.若非齐次线性方程组有无解，则0D =. 二、填空题1．已知齐次线性方程组1231231230020x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解,则λ= 1 ，μ= 0 。
2．由克拉默法则可知，如果非齐次线性方程组的系数行列式0D ≠，则方程组有唯一解i x =iD D. 三、用克拉默法则求解下列方程组 1．832623x y x y +=⎧⎨+=⎩解：832062D ==-≠123532D ==-,2821263D ==-所以，125,62D Dx y D D====- 2．123123123222310x x x x x x x x x -+=-⎧⎪+-=⎨⎪-+-=⎩解：213112112122130355011101r r D r r ---=--=-≠+---11222100511321135011011D r r ---=-+-=---,212121505213221310101101D r r --=-+-=-----， 3121225002112211511110D r r --=+=---所以, 3121231,2,1D D Dx x x D D D ======3．21241832x z x y z x y z -=⎧⎪+-=⎨⎪-++=⎩解：132010012412041200183583D c c --=-+-=≠-13110110014114020283285D c c -=-+=，2322112102112100123125D c c -=-+=--, 31320101241204120182582D c c =-=--所以, 3121,0,1D D Dx y z D D D ====== 4．12341234123412345242235232110x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩解：2131412131111111111214012322315053733121102181231235537013814222180514r r D r r r r r r r r ---=------------+=----=-+---3214212325111511102221422518231523528110121101005110010525182733214210252823522c c D c c c c c c --------=----------+=-----=----212314113231511151112140723222150123733021101518723230132123733031284315181518r r D r r r r r r r r -----=--------------=----=------12342213111512151031224522182325111132283101101002510200251521852974265211228115127c c D c c c c c c -------=---------+=-----=----12432322111152115312125252223121135231200100215215552502714251152604c c D c c r r r r --------=----------+=----=---所以， 312412341,2,3,1D D D Dx x x x D D D D========-§4-2 齐次线性方程组一、选择题1．已知m n ⨯矩阵A 的秩为1n -，12,αα是齐次线性方程组0AX =的两个不同的解，k 为任意常数，则方程组0AX =的通解为（ D ）。
线性方程组习题参考答案
第三章 线性方程组习题参考答案P154,1. 用消元法解下来线性方程组.(1) ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-++=-++-=--+--=+-++=-++1234321223145354321542154321543214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x .解:542143313241425152135401135401132211003212121113054312141113074512712111101431213540101431200321200161261200r r r r r r r r r r r r r r r r r r ↔---⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪↔---- ⎪⎪- ⎪⎪↔→-------⎪ ⎪------ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭----→----43435314101354015014312160012128000212241681600000r r r r r r r -⎛⎫⎛⎫-⎪⎪--- ⎪⎪- ⎪⎪→--+⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭11000013500121354010143121014312010012001000001000001000100021200011120001100000020000000000⎛⎫ ⎪⎛⎫-⎛⎫ ⎪⎪-⎪⎪⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭方程组的解是 12345121120112x k x k x x k x k ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩=-=--==--=, k 为任意数.(2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-+-=-+--=+-+2521669972543223312325432154321543215421x x x x x x x x x x x x x x x x x x x解：422332322112032111313291131320334512323452701107839961622500332529711313211313201107830110783003325298003003325297r r r r r r r r r r ----⎛⎫⎛⎫-↔ ⎪⎪------ ⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭------⎛⎫ ⎪----⎪→→ ⎪---- ⎪-⎝⎭325298000001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪-⎝⎭最后一列为(0,0,0,0,0,-1），所以方程组无解.(3) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=++-=+-=-+-3371334424324214324321x x x x x x x x x x x x x解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------+→-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------6210012020031110443215248400353503111044321731370110313111044321141232413r r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→01060100300108000101000601003101082001 有唯一解: x 1= -8, x 2=3, x 3=6, x 4=0. (4) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=++=+-=+-+032701613-11402-332075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解：−−−→−+-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------−−−→−---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛14122321342292724120191702332987122312-71613-1142-33-275-43r r r r r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----2019170201917020191709871⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→0000000010010000000010987117201719171317317201719 得解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====--lx k x x x l k lk 4321172017191713173 (5) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+--=+-+=-+-=+-+43212523223124321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解：4324131211112111121111322323223232232511210224002240211340224300003r r r r r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪+------ ⎪ ⎪ ⎪--→ ⎪ ⎪ ⎪----→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭,最后一列为（0,0,0,0,3），所以方程组无解.(6) ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=-++=+++=-+-=-++225512221321231323214321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x解：52324431232212311123111010032111048220112023111015310065122221101120000003 (15520)20000000000r r r r r r r r rr r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----↔ ⎪ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪-+ ⎪⎪ ⎪→---- ⎪ ⎪ ⎪-→--- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭511006671010665100166000000000⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪→ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 一般解为 1234156617661566x k x k x kx k⎧+⎪⎪⎪-⎪⎨⎪+⎪⎪⎪⎩====, k 为任意数.2. 把向量β表成向量α1，α2，α3，α4的线性组合. (1) 解：设β=x 1α1+ x 2α2+ x 3α3+ x 4α4，则⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=-===⇒=+--=-+-=--+=+++41414145112143214321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x .432141414145ααααβ--+=(2) 解：设β=x 1α1+ x 2α2+ x 3α3+ x 4α4，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-===⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+=+++=++010110300024321421424321321x x x x x x x x x x x x x x x x , 即β=α1-α3. 3. 证明：如果向量组α1，α2，…, αr 线性无关， 而向量组α1，α2，…, αr ，β 线性相关，则β可由向量组α1，α2，…, αr 线性表出.证明：因为向量组α1，α2，…, αr ，β 线性相关,所以存在k 1, k 2, ,k r , l 不全为0，使11220r r k k k l αααβ+++=.若l =0, 则k 1,,k r 不全为0，于是存在不全为零的数k 1,,k r 使得011=+r r k k αα 与α1，α2，…, αr 线性无关矛盾. 所以l0，则r s lkl k l k αααβ)()()(2211-++-+-= . 即β可由向量组α1，α2，…, αr 线性表出.证法2. 由于向量组α1，α2，…, αr ，β 线性相关,所以存在k 1, k 2, ,k r , l 不全为0，使11220r r k k k l αααβ+++=. 若l =0, 则得11220r r k k k ααα++=. 因为向量组α1，α2，…, αr 线性无关，所以021====r k k k . 与k 1, k 2, ,k r , l 不全为0矛盾. 所以l0， 这样r s lkl k l k αααβ)()()(2211-++-+-= . 即β可由向量组α1，α2，…, αr 线性表出.4. 设αi =(a i1,a i2,…,a in ), i=1,2,…,n, 证明如果|a ij |0, 则α1，α2，…, αn 线性无关.证明：设x 1α1+x 2α2++x n αn =0，则11121211212222112200n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩因为系数行列式()0T ij ij a a =≠，由Cramer 法则, 上面的方程组有唯一解, 即只有零解，得n x x x === 21=0,于是α1,α2,αn 线性无关.5. 设t 1,t 2,…,t r 是互不相同的数(rn)，证明αi =(1, t i , t i 2,…,t i n -1), i=1,2,…,r 线性无关.证法1：添加t r +1,,t n , 使t 1, t 2,,t r , t r +1,,t n 两两不同, 得向量组αi =(1, t t , t t 2,…,t t n -1) i =1,2,...,n .由于α1,α2,,αn 的分量作成一个Vandermonde 行列式且不等于0，由上一题，α1,α2,,αr ,,αn 线性无关，于是它的任一部分组线性无关.证法2：因为rn, 所以令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---1121121111n r n n r t t t t t t A ,则A 的前r 行作成一个r 阶范德蒙行列式B, 从而非零. 于是B 的列向量线性无关, 增加分量后为A 的列向量, 所以A 的列向量也线性无关. 证法3. 设x 1α1+x 2α2++x r αr =0, 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++---0001212111221121r n r n n rr r x t x t x t x t x t x t x x x (1) 考虑(1)的前r 个方程作成的齐次线性方程组:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++---0001212111221121r r r r r rr r x t x t x t x t x t x t x x x (2) 因为t 1, t 2,,t r 两两不同, 所以(2)的系数行列式为r 阶Vandermonde 行列式0111||11211211≠=---r r r r rt t t t t t A. 于是线性方程组(2)有唯一的零解. 又由于(1)的解都是(2)的解, 而(2)只有零解,所以(1)只有零解. 即r x x x === 21=0,于是α1,α2,αr 线性无关.6. 假设α1, α2，α3线性无关，证明β1=α2+α3，β2=α3+α1，β3=α1+α2线性无关. 证法1：设x 1β1+x 2β2+x 3β3=0，则(x 2+x 3)α1+(x 3+x 1)α2+(x 1+x 2)α3=0由于α1, α2, α3线性无关得：23013012x x x x x x +=+=+=⎧⎪⎨⎪⎩，该齐次线性方程组只有零解. x 1= x 2=x 3=0，因而β1, β2, β3线性无关.证法2: 由于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++110011101),,(),,(321133221ααααααααα, 矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=110011101A 可逆, 所以两个向量组等价. 又已知向量组α1, α2, α3的秩为3， 所以后一个向量组的秩也是3， 从而后一个向量组也线性无关.注：无论向量组α1,α2,α3,α4线性无关或相关，α1+α2, α2+α3, α3+α4, α4+α1线性相关. 7. 设向量组A: α1,α2,,α s 的秩为r, 证明向量组A 的任意r 个线性无关的向量组都构成它的一个极大线性无关组. 证明: 设向量组A: α1,α2,,α s 任一线性无关向量组B: αj1, αj2,, α jr , 任取A 中的一个向量β，由于R (A )=r , 所以A 中任意r +1个向量线性相关，有αj1,,αjr , β线性相关，由条件知向量组 B 线性无关，由临界定理，β可以由向量组B 线性表示，故向量组B 是极大无关组. 证法2. 设A:αj1, αj2,, α jr 是α1,α2,,α s 中的任一个线性无关的向量组, β是A中的一个向量, 由于R (A )=r , 所以A 中任意r +1个向量线性相关，有αj1,,αjr , β线性相关，满足极大无关组定义的条件, 所以αj1, αj2,, α jr 是向量组A 的极大无关组.8. 设向量组(I): α1,α2,,α s 的秩为r, αj1, αj2,, αjr 是(I)中的r 个向量，使得(I)中每个向量都可以被它们线性表出，证明αj1, αj2,, α jr 是(I)的极大无关组. 证明：设向量组(I)α1,α2,,αs ，R(A)=r; (II): αj1, αj2,, α jr 是已给向量组，取(I)的极大无关组(III) αk1,αk2,…,αkr , 由条件, (III)可由(II)线性表出, 于是r=R(III)R(II)r. 于是R(II)=r, 即αj1, αj2,, α jr 线性无关, 所以是(I)的极大无关组.9. 证明一个向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成为一个极大无关组. 证明：设A 是一个n 维向量组，A 1是它的一个线性无关组， 1° 逐个检查A 中的向量i α2° a 、若i α可以由向量组A 1线性表示，则去掉i α，检查下一个αb 、若i α不可以由向量组A 1线性表示，则添加i α到A 1中将A 1扩充为A 2，回到检查第1个向量，重复1°、2°若干步后（∵有限步后，任意n+1个n 维向量也相关，必含停止），得到A 1,A 2 ,…A k , 而A k 不能再扩大，于是A k 是一个极大无关组，且A 1A k .10. 设α1=(1,-1,2,4), α2=(0,3,1,2), α3=(3,0,7,14), α4=(1,2,2,0), α5=(2,1,5,6). (1) 证明α1, α2线性无关.(2) 把α1, α2扩充成一个极大无关组.解(1)：∵α1与α2的分量不成比例，故α1与α2线性无关 (2)：解法1. 考虑α1, α2, α3, ∵3α1+α2 =α3 , 去掉α3.考虑α1, α2,α4,取它们的后三个分量124312280120-=≠，∴增加一个分量后仍然线性无关。
解线性方程组练习题
解线性方程组练习题
在解决数学问题中，线性方程组是一种常见的形式。
解决线性方程组可以帮助我们找到一组值，使得所有方程都得到满足。
练题
以下是一些解线性方程组的练题，供参考：
1. 解下列线性方程组:
2x + 3y = 8
4x - 5y = 2
2. 解下列线性方程组:
x + 2y - z = 5
2x - 3y + 4z = 10
3x + y + 2z = -4
3. 解下列线性方程组:
x + 2y + 3z = 7
2x - y + 2z = 1
3x + 3y - 4z = 5
4. 解下列线性方程组:
3x + 2y - z = 10
2x - 4y + 3z = -4
5x + 3y + z = 7
5. 解下列线性方程组:
x + 3y - z = -1
2x - y + 4z = 8
3x - 2y + 2z = -3
以上练题可以帮助提高解线性方程组的能力。
解题时，可以使用消元法、代入法或矩阵方法等不同的策略。
希望通过这些练题，你能更好地掌握解线性方程组的技巧。
结论
解线性方程组是数学中重要的基础概念之一。
掌握解线性方程组的方法和技巧，对于理解和解决实际问题具有重要意义。
通过不断练习和探索，相信你能够在解线性方程组上取得更大的进步！。
线性方程组的解法习题
线性方程组的解法习题问题一：三元一次线性方程组的解法已知线性方程组如下：begin{align*}x + 2y - z &= 5 \\2x + 3y + z &= 7 \\3x + 4y + 2z &= 12 \\end{align*}请计算该方程组的解。
解答一：我们可以使用消元法来解决这个线性方程组。
首先，我们将方程组写成矩阵形式：begin{bmatrix}1 &2 & -1 \\2 &3 & 1 \\3 &4 & 2 \\ end{bmatrix} begin{bmatrix} x \\y \\z \\end{bmatrix}begin{bmatrix} 5 \\7 \\12 \\end{bmatrix}接下来，我们对矩阵进行行变换，使得矩阵的左下角元素变为零。
首先，我们将第二行乘以2，并减去第一行的两倍：begin{bmatrix}1 &2 & -1 \\0 & -1 & 3 \\3 &4 & 2 \\end{bmatrix}begin{bmatrix}x \\y \\z \\end{bmatrix}begin{bmatrix}5 \\3 \\12 \\end{bmatrix}然后，我们将第三行乘以3，并减去第一行的三倍：begin{bmatrix}1 &2 & -1 \\0 & -1 & 3 \\0 & -2 & 5 \\end{bmatrix}begin{bmatrix}x \\y \\z \\end{bmatrix}begin{bmatrix}5 \\3 \\3 \\end{bmatrix}继续变换，我们将第三行减去第二行的两倍：begin{bmatrix}1 &2 & -1 \\0 & -1 & 3 \\0 & 0 & -1 \\end{bmatrix}begin{bmatrix}x \\y \\z \\end{bmatrix}begin{bmatrix}5 \\3 \\1 \\end{bmatrix}现在，方程组的系数矩阵已经化为上三角矩阵形式。
线性方程组练习题
线性方程组练习题引言：线性方程组是数学中的重要概念之一，它对于解决实际问题和研究抽象数学理论都有着重要意义。
本文将通过一些线性方程组的练习题，以帮助读者更好地理解线性方程组的概念、性质和解法。
一、一元一次线性方程组1、已知线性方程组：{ 2x + 3y = 7 (1)4x - 5y = 1 (2)求解方程组。
解:首先，我们可以使用消元法来求解方程组。
以第一个方程为基准，将第二个方程中的x消去：(2) * 2 - (1) * 4，得到：-14y = -13解得 y = 13/14。
将y的值代入方程(1)中，得到：2x + 3 * (13/14) = 7化简，得到：2x = 7 - 39/142x = 98/14 - 39/142x = 59/14解得x = 59/28。
综上所述，方程组的解为：x ≈ 2.107，y ≈ 0.929。
2、练习题：考虑以下线性方程组：{ 3x + 2y = 5 (1)5x - y = 1 (2)请你解答：该线性方程组有无解？若有解，求解方程组。
解:我们同样使用消元法来求解方程组。
以第一个方程为基准，将第二个方程中的x消去：(2) * 3 - (1) * 5，得到：-11y = 2解得 y = -2/11。
将y的值代入方程(1)中，得到：3x + 2 * (-2/11) = 5化简，得到：3x = 55/11 + 4/113x = 59/11解得x = 59/33。
综上所述，方程组的解为：x ≈ 1.788，y ≈ -0.181。
二、二元一次线性方程组1、已知线性方程组：{ 3x - 2y = 5 (1)2x + y = 1 (2)求解方程组。
解:我们可以使用消元法来求解方程组。
以第一个方程为基准，将第二个方程中的y消去： (2) * 3 + (1) * 2，得到：7x = 8解得 x = 8/7。
将x的值代入方程(2)中，得到：2 * (8/7) + y = 1化简，得到：y = 1 - 16/7y = -9/7综上所述，方程组的解为：x ≈ 1.143，y ≈ -1.286。
线性方程组的解的存在唯一性练习题
线性方程组的解的存在唯一性练习题在线性代数中，解线性方程组是一个经常遇到的问题。
解线性方程组的存在和唯一性是我们关注的核心问题之一。
本文将解答一些关于线性方程组解存在唯一性的练习题，帮助读者更好地理解这一概念。
1. 练习题一考虑以下线性方程组：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，aᵢₙ为系数矩阵中的元素，bᵢ为常数向量中的元素，xₙ为待求解的变量。
问题：证明当且仅当线性方程组的系数矩阵的秩等于常数向量矩阵与系数矩阵的增广矩阵的秩时，线性方程组存在解且唯一。
解析：首先，我们需要了解秩的概念。
一个矩阵的秩是指矩阵的行（列）向量组的极大线性无关组的向量个数。
在这个练习题中，我们考虑系数矩阵的秩、增广矩阵的秩和常数向量矩阵的秩。
当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时，即rank(A) = rank([A | b])，我们可以得出以下结论：1. 如果rank(A) = rank([A | b])且rank(A) = n（n为方程组的未知数个数），则线性方程组存在唯一解。
这是因为方程组中的未知数个数与系数矩阵的秩相同，说明方程组中每个未知数都构成了一个线性无关的方程，因此可以唯一地确定解。
2. 如果rank(A) = rank([A | b])且rank(A) < n，则线性方程组存在无穷多解。
这是因为方程组中的未知数个数大于系数矩阵的秩，即存在自由变量，从而导致方程组存在无穷多个解。
3. 如果rank(A) ≠ rank([A | b])，则线性方程组不存在解。
这是因为增广矩阵中的增广列b无法表示成系数矩阵的线性组合，即无法通过消元得到一个矛盾的等式，因此线性方程组无解。
2. 练习题二考虑以下线性方程组：2x + 3y = 74x + 6y = 14问题：判断线性方程组的解的存在唯一性。
线性方程组习题解答
习题33-1．求下列齐次线性方程组的通解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=+-087305302z y x z y x z y x .解 对系数矩阵施行行初等变换，得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1440720211873153211A)(000720211阶梯形矩阵B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−0002720211)(000271021101行最简形矩阵C =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−， 与原方程组同解的齐次线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+0270211z y z x ， 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=z y z x 27211（其中z 是自由未知量）， 令1=z ，得到方程组的一个基础解系T)1,27,211(--=ξ, 所以，方程组的通解为,)1,27,211(Tk k --=ξk 为任意常数． （2）⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=++++086530543207224321432154321x x x x x x x x x x x x x .解 对系数矩阵施行行初等变换，得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21202014101072211086530543272211A)(7000014101072211阶梯形矩阵B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−70000141010211201)(100000101001201行最简形矩阵C =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−，与原方程组同解的齐次线性方程组为⎪⎩⎪⎨⎧==+=++0002542431x x x x x x ， 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=--=02542431x x x x x x （其中43,x x 是自由未知量）， 令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T，得到方程组的一个基础解系T )0,0,1,0,2(1-=ξ，T )0,1,0,1,1(2--=ξ，所以，方程组的通解为=+2211ξξk k T T k k )0,1,0,1,1()0,0,1,0,2(21--+-，21,k k 为任意常数．（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-+=-++-=-+-=--+0742420436240203543215432143215421x x x x x x x x x x x x x x x x x x ．解 对系数矩阵施行行初等变换，得11031112104263424247A --⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭11031022210003100000--⎛⎫⎪- ⎪−−→⎪- ⎪⎪⎝⎭)(阶梯形矩阵B =)(0000031100065011067011行最简形矩阵C =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−→−，与原方程组同解的齐次线性方程组为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=--=-+03106506754532531x x x x x x x x ， 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+-=54532531316567x x x x x x x x （其中53,x x 是自由未知量）， 令=T x x ),(53(1,0)T ，(0,1)T，得到方程组的一个基础解系T )0,0,1,1,1(1-=ξ，T )1,31,0,65,67(2=ξ，所以，方程组的通解为=+2211ξξk k T T k k )1,31,0,65,67()0,0,1,1,1(21+-，21,k k 为任意常数．3-2．当λ取何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=++z z y x y z y x x z y x λλλ6774334 有非零解？解 原方程组等价于⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=++-=++-0)6(707)4(303)4(z y x z y x z y x λλλ, 上述齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式0671743134=-----λλλ，即0)756(2=-+λλλ，从而当0=λ和2123±-=λ时方程组有非零解．3-3．求解下列非齐次线性方程组：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=++--=-+-=++-5521212432143214321x x x x x x x x x x x x .解 对增广矩阵A 施行行初等变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=551211112111121A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−000001100011121B =，因为()()r A r A =，所以方程组有解，继续施行行初等变换B ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−→−000001100000121C =， 与原方程组同解的齐次线性方程组为⎩⎨⎧==+-124321x x x x , 即⎩⎨⎧=-=124321x x x x （其中32,x x 为自由未知量）， 令TT x x )0,0(),(32=，得到非齐次方程组的一个解T )1,0,0,0(0=η，对应的齐次方程组（即导出方程组）为⎩⎨⎧=-=024321x x x x （其中32,x x 为自由未知量）， 令T x x ),(32(1,0)T =，(0,1)T，得到对应齐次方程组的一个基础解系T )0,0,1,2(1=ξ，T )0,1,0,1(2-=ξ,方程组的通解为0112212(0,0,0,1)(2,1,0,0)(1,0,1,0)T T T k k k k ηηξξ=++=++-，其中21,k k 为任意常数．（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=+--=+--=-+-810957245332231324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x .解 对增广矩阵A 施行行初等变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------=810957245113322311312A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−000000000039131024511B =， 因为()()r A r A =，所以方程组有解，继续施行行初等变换B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−000000000039131015801C =， 与原方程组同解的齐次线性方程组为⎩⎨⎧-=-+-=-+3913158432431x x x x x x , 即⎩⎨⎧+--=+--=4324319133581x x x x x x （其中43,x x 为自由未知量）， 令34(,)(0,0)T Tx x =，得到非齐次方程组的一个解T )0,0,3,1(0--=η,对应的齐次方程组（即导出方程组）为⎩⎨⎧+-=+-=43243191358x x x x x x （其中43,x x 为自由未知量），令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T，得到对应齐次方程组的一个基础解系T )0,1,13,8(1--=ξ，T )1,0,9,5(2-=ξ，方程组的通解为0112212(1,3,0,0)(8,13,1,0)(5,9,0,1)T T T k k k k ηηξξ=++=--+--+-,其中21,k k 为任意常数．（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-+=-+-=-+10013212213321321321321x x x x x x x x x x x x ．解 对增广矩阵A 施行行初等变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=101400201034101311100111132112121311A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−→−96000540034101311101400540034101311，因为3)(4)(=≠=A r A r ，所以方程组无解.3-4．讨论下述线性方程组中，λ取何值时有解、无解、有惟一解？并在有解时求出其解．⎪⎩⎪⎨⎧=++++=+-+=+++3)3()1(3)1(2)3(321321321x x x x x x x x x λλλλλλλλ． 解 方程组的系数行列式为231211(1)3(1)3A λλλλλλλλ+=-=-++.（1）当0A ≠时，即01λλ≠≠且时，方程组有惟一解． （2）当0A ＝时，即01λλ＝或＝时， (i) 当0λ＝时,原方程组为12323133200333x x x x x x x ++=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩， 显然无解．(ii) 当1λ＝时，原方程组为⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=++346112432131321x x x x x x x x ， 对该方程组的增广矩阵A 施行行初等变换412110111011012361430000A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()()23r A r A ==<，所以方程组有无穷多组解， 与原方程组同解的方程组为1323123x x x x +=⎧⎨-=-⎩， 即1323132x x x x =-⎧⎨=-+⎩（其中3x 为自由未知量）， 令30x =，得到非齐次方程组的一个解0(1,3,0)T η=-，对应的齐次方程组（即导出方程组）为13232x x x x =-⎧⎨=⎩（其中3x 为自由未知量）， 令31x =，得到对应齐次方程组的一个基础解系(1,2,1)T ξ=-，方程组的通解为0(1,3,0)(1,2,1)T T k k ηηξ=+=-+-，其中k 为任意常数．3-5．写出一个以1222341001x c c -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为通解的齐次线性方程组．解 由已知，1(2,3,1,0)T ξ=-和2(2,4,0,1)Tξ=-是齐次线性方程组AX O =的基础解系，即齐次线性方程组AX O =的基础解系所含解向量的个数为2，而未知数的个数为4，所以齐次线性方程组AX O =的系数矩阵A 的秩为422-=，故可设系数矩阵1112131421222324a a a a A a a a a ⎛⎫=⎪⎝⎭, 由AX O =可知()111121314,,,a a a a α=和()221222324,,,a a a a α=满足方程组()12342234,,,1001x x x x O -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 即方程组123124230240x x x x x x -+=⎧⎨-++=⎩的线性无关的两个解即为12,αα,方程组的系数矩阵2310204324010111-⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,该方程组等价于134234243x x x x x x =--⎧⎨=--⎩（其中43,x x 为自由未知量）， 令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T，得到该齐次方程组的一个基础解系1(2,1,1,0)T α=--，23(,1,0,1)2T ξ=--，故要求的齐次线性方程组为AX O =，其中211031012A --⎛⎫⎪= ⎪--⎝⎭,即12312420302x x x x x x --+=⎧⎪⎨--+=⎪⎩. 3-6．设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=++0022111212111n mn m m n n x a x a x a x a x a x a， 的解都是02211=+++n n x b x b x b 的解，试证Tn b b b ),,,(21 =β是向量组T n a a a ),,,(112111 =α,T n a a a ),,,(222212 =α,,),,,(21mn m m m a a a =α的线性组合．证 把该线性方程组记为（*），由已知，方程组（*）的解都是02211=+++n n x b x b x b 的解，所以方程组（*）与方程组111122111221122000n n m m mn n n n a x a x a x a x a x a x b x b x b x ++=⎧⎪⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩, 同解，从而有相同的基础解系，于是二者有相同的秩，则它们系数矩阵的行向量组12,,,m ααα和12,,,,m αααβ的秩相同，故β可由12,,,m ααα线性表示．3-7．试证明：()()r AB r B =的充分必要条件是齐次线性方程组O ABX =的解都是O BX =的解．证 必要性.因为()()r AB r B =，只须证O ABX =与O BX =的基础解系相同．O ABX =与O BX =的基础解系都含有()n r B -个线性无关的解向量．又因为O BX =的解都是O ABX =得解．所以O BX =的基础解系也是O ABX =的基础解系．即O ABX =与O BX =有完全相同的解．所以O ABX =的解都是O BX =的解．充分性.因O ABX =的解都是O BX =的解，而O BX =的解都是ABX O =的解，故O ABX =与O BX =有完全相同的解，则基础解系也完全相同，故()()n r AB n r B -=-，所以()()r AB r B =．3-8．证明()1r A =的充分必要条件是存在非零列向量a 及非零行向量Tb ，使T A ab =．证 充分性.若存在列向量12m a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭及行向量()12T n b b b b =，其中,i j a b 不全为零1,,i m =，1,,j n =，则有()1111212212221212n n T n m m m m n a a b a b a b aa b a b a b A ab b b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 显然矩阵A 的各行元素对应成比例，所以()1r A =．必要性.若()1r A =，则A 经过一系列的初等变换可化为标准形100000000D ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 而矩阵D 可以表示为()100100001,0,,0000D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则存在可逆矩阵P ，Q 使得1P AQ D -=，从而()11101,0,,00A PDQ P Q --⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，其中1,P Q -均可逆，记100a P ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， ()11,0,,0T b Q -=，又因为P 可逆，则P 至少有一行元素不全为零，故列向量a 的分量不全为零，同理，因为1Q -可逆，所以行向量Tb 的分量不全为零．因此，存在非零列向量a 及非零行向量Tb ，使TA ab =．补充题B3-1.设A 是m n ⨯矩阵，AX O =是非其次线性方程组AX b =所对应齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ D ）.（A ） 若AX O =仅有零解，则AX B =有惟一解； （B ） 若AX O =有非零解，则AX B =有无穷多个解； （C ） 若AX B =有无穷多个解，则AX O =仅有零解；（D ） 若AX B =有无穷多个解，则AX O =有非零解．B3-2.设A 为n 阶实矩阵，T A 是A 的转置矩阵，则对于线性方程组 （ⅰ）AX O =； （ⅱ）TA AX O =，必有（ D ）． （A ）（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）的解也是（Ⅱ）的解； （B ）（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，但（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解； （C ）（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解，（Ⅱ）的解也不是（Ⅰ）的解； （Ｄ）（Ⅰ）的解是（Ⅱ）的解，但（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解．B3-3．设线性方程组AX B =有n 个未知量，m 个方程组，且()r A r =，则此方程组（ A ）．（Ａ）r m =时，有解； （Ｂ）r n =时，有惟一解；（Ｃ）m n =时，有惟一解； （Ｄ）r n <时，有无穷多解．B3-4．讨论λ取何值时，下述方程组有解，并求解：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++21λλλλλz y x z y x z y x ． 解 （法一）方程组的系数行列式21111(1)(2)11A λλλλλ==-+，（1）当0A ≠时，即12λλ≠≠-且时，方程组有惟一解211(1),,222x y z λλλλλ++=-==+++．（2）当0A ＝时，即12λλ-＝或＝时 (i) 当λ＝1时,原方程组为1x y z ++=，因为()()1r A r A ==，所以方程组有无穷多组解，其通解为0112212(1,0,0)(1,1,0)(1,0,1)T T T k k k k ηηξξ=++=+-+-,其中21,k k 为任意常数． (ii) 当λ＝-2时，原方程组为212224x y z x y z x y z -++=⎧⎪-+=-⎨⎪+-=⎩， 对该方程组的增广矩阵A 施行行初等变换2111112412120112112400015A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，因为()2()3r A r A =≠=，所以方程组无解．解 （法二）对该方程组的增广矩阵A 施行行初等变换2211111111111111A λλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2223110110111λλλλλλλλλ⎛⎫⎪→--- ⎪ ⎪---⎝⎭22223110110021λλλλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪→--- ⎪⎪--+--⎝⎭2221101100(1)(2)(1)(1)B λλλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪→---= ⎪ ⎪-+-+⎝⎭，(1)当 12λλ≠≠-且时, ()()3r A r A ==，方程组有惟一解211(1),,222x y z λλλλλ++=-==+++.(2) 当λ＝1时， ()()1r A r A ==，方程组有无穷多组解，其通解为0112212(1,0,0)(1,1,0)(1,0,1)T T T k k k k ηηξξ=++=+-+-,其中21,k k 为任意常数．(3) 当λ＝-2时，由B 知，()2()3r A r A =≠=，所以方程组无解．B3-5.若321,,ηηη是某齐次线性方程组的一个基础解系，证明：122331,,ηηηηηη+++也是该方程组的一个基础解系．证 设有三个数123,,k k k 使得112223331()()()0k k k ηηηηηη+++++=,则有131122233()()()0k k k k k k ηηη+++++=,因为321,,ηηη是某齐次线性方程组的一个基础解系，所以321,,ηηη线性无关，故131223000k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩, 该方程组的系数行列式10111020011=≠, 所以该方程组只有零解．即1230k k k ===．即122331,,ηηηηηη+++线性无关． 又由齐次线性方程组的性质知122331,,ηηηηηη+++都是方程组的解．所以122331,,ηηηηηη+++构成方程组的一个基础解系．B3-6.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ξξξ是它的三个解向量，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54321ξ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+432132ξξ，求该方程组的通解．解 因为4,3n r ==，故原方程组的导出组的基础解系含有1n r -=个解向量，所以只须找出其导出组的一个非零解向量即可． 由解的性质知，1213,ξξξξ--均为导出组的解，所以1213123()()2()ξξξξξξξ-+-=-+为导出组的解，即123342()56ηξξξ⎛⎫⎪ ⎪=-+= ⎪ ⎪⎝⎭,为导出组的解．故原方程组的通解为123344556k k ξξη⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k 为任意常数．B3-7. 设*ξ是非齐次线性方程组B AX =的一个解，r n -ηηη,,,21 是它对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明：（1）,*ξr n -ηηη,,,21 线性无关；（2）r n -+++ηξηξηξξ*2*1**,,,, 线性无关．证（１） 反证法.设,*ξr n -ηηη,,,21 线性相关，由r n -ηηη,,,21 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系知r n -ηηη,,,21 线性无关，故*ξ可由r n -ηηη,,,21 线性表示，即*ξ是对应的齐次线性方程组的解，与题设矛盾．故,*ξr n -ηηη,,,21 线性无关．证（2） 反证法.设r n -+++ηξηξηξξ*2*1**,,,, 线性相关，则存在不全为零的数012,,,,n r k k k k -，使得****01122()()()0n r n r k k k k ξξηξηξη--+++++++=,即*0121122()0n r n r n r k k k k k k k ξηηη---++++++++=,由（１）知，,*ξr n -ηηη,,,21 线性无关，则0120n r k k k k -++++=，10k =，20k =，．．．，0n r k -=,从而00k =，这与012,,,,n r k k k k -不全为零矛盾,故r n -+++ηξηξηξξ*2*1**,,,, 线性无关．B3-8．设线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a22112222212*********， 的系数矩阵的秩等于矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛02121222221111211nn nn n n n n b b b b a a a b a a a b a a a 的秩，试证这个方程组有解．证 令111212122212n n n n nn a a a aa a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 11121121222212n n n n nn n a a a b a a a b A a a a b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 11121121222212120n n n n nn n na a ab a a a b B a a a b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 因为A 比A 多一列，B 比A 多一行，故()()()r A r A r B ≤≤,而由题设()()r A r B =，所以()()r A r A =，所以原方程组有解．B-9．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，证明：⎪⎩⎪⎨⎧-<-===*1,01,1,n r n r n r n r A A A A 当当当. 证 若A r n =，因为0A ≠，而**AA A A A E ==，1*0n A A-=≠，故A r n *=．若1A r n =-，因为0A =，所以*AA A E O ==，又因为A AA A r r r n **≥+-，而0AA r *=，所以1A r *≤；又因为1A r n =-，所以至少有一个代数余子式0ij A ≠，从而1A r *≥，故1A r *=．若1A r n <-，则A 的任一个代数余子式0ij A =，故*0A =，所以0A r *=．B3-10．设A 是m n ⨯阶方阵，证明：AX AY =，且A r n =，则X Y =． 证 因为AX AY =，所以()A X Y O -=，又因为A r n =，所以方程组()A X Y O -=只有零解，即X Y O -=，所以X Y =．。
线性方程组习题
第四章 线性方程组习题1231231231.322.x x x x x x x x x λλλλλ++=-⎧⎪++=-⎨⎪++=-⎩取何值时，线性方程组有唯一解，无解或有无穷多解？当方程组有无穷多解时求其通解12,312132.,(3,1,1),(2,0,2),.T T AX b ηηηηηηη+=-+=-=设三元非齐次方程组AX=b 的系数矩阵A 的秩为2，且它的三个解向量，满足求的通解1234123413412422123.21,223,2,335x x x x x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++=⎪⎨-+=⎪⎪-+=⎩=设线性方程组则方程组满足条件的全部解为什么？1231234122304.().()20(2,1,2,1),(1,2,4,8).(1)()(2)()()T T x x x I II x x x x a a I a I II αα+-=⎧⎨++-=⎩-+-+设四元齐次线性方程组为而已知另一四元齐次线性方程组的一个基础解系为＝＝求方程组的一个基础解系.当为何值时，方程组与方程组有非零公共解？在有非零公共解时，求出其所有非零公共解.1231235.(120,2),(1,4,2,),(3,3,1,6)(151,),(1,8,2,2),(5,2,,10),T T T T T T a a b a b ξξξηηη------已知向量组＝，，－＝＝与向量组＝，，＝＝均是齐次线性方程组的基础解系，则应满足什么条件？12126.00,,,,.t t AX AX αααβββαβαβα==设,,,是齐次线性方程组的一个基础解系，向量不是方程组的解，证明：向量组+++线性无关7.()1,0.n A r A n AX =-=设阶方阵的各行元素之和都为零，且求方程组的一般解128.0,0,0(,,,)().ij T i i in n A A A AX k A A A k R =≠=∈设阶方阵的行列式且有某个代数余子式证明:方程组的一般解为12123129.112133321,.x x k k x k k -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦设一个非齐次线性方程组的全部解为其中为任意常数，求满足此条件的一个非齐次线性方程组12121*110.,,,,,,,,(1)()(2)()(3);(4)(5)(6)n n m T n A kA k A m A A A A A P n P AP λλλξξξ--已知阶方阵的特征值为对应的特征向量分别为则为常数的特征值为，对应的特征向量为；为正整数的特征值为，对应的特征向量为；的特征值为，对应的特征向量为可逆时，的特征值为，对应的特征向量为；可逆时，的特征值为，对应的特征向量为；为阶可逆矩阵，的特征值为，对应的特征10111011(7)()().m m m m m m m m f x c x c x c x c f A c A c A c A c I ----++++向量为；设＝++，则矩阵多项式＝++的特征值为,对应的特征向量为3211.31,1,2,2||.A B A A B -=-=已知阶方阵的特征值为则矩阵的特征值为，1212212.(,,,),(,,,)0,,(1);(2)T T T n n T a a a b b b A A A αβαβαβ====设向量都是非零向量，且满足记求矩阵的特征值和特征向量.20010013.22020.31100A a B a b b --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭已知矩阵与相似，求和的值*214.||0,().A n A A A E λ≠+设为阶矩阵，若有特征值，则必有特征值*15.3||0,2,2,4.A A A A ≠设为阶矩阵，的特征值是－－，求的特征值 *16.(1,3,2)(1,1,2),(2).T T T B A B A E αβαβ==-=+已知,,,若矩阵相似，则的特征值为1*32201017.232101,2223001A P B P A P B E -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥===+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设矩阵,,求的特征值和特征向量.*18.|3|0,2,||0,T A I A AA I A A +==<设矩阵是4阶方阵，满足求的一个特征值.121119.121(1,,1),.112T A A k k α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭设方阵的逆的特征向量为＝求的值11220.301(1)428;401133(2)353.664P AP A A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭判断下列矩阵是否可相似对角化？若可以，求出可逆矩阵P,使为对角矩阵.12321.(1,2,3),(1,22),(2,21),(2,1,2),.T T T i i A A i i A ααααα==--设三阶方阵满足其中＝，＝－，＝求方阵12312322.111123149113(1),,(2).n A A ξξξββξξξβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭设三阶方阵的特征值为1,2,3,对应的特征向量依次为＝＝＝又向量＝将用线性表示；求3223.12,12,(1)(2)||2B A B B A A B I =-+已知三阶方阵的特征值为，－，又方阵求方阵的特征值及其相似对角阵；和||.42224.040,().022n A A n ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭设求为正整数。
线性代数第4章习题答案(48p)
由于 D = 1
2 −1
⇒ k ≠ 4且k ≠ −1. 故应选 (C) .
(2) 线性方程组 Am×n X = b 有唯一解的条件是 B ). 有唯一解的条件是( (B) R(A) = R(A b) = n ; (A) m = n ; ) 都不对. 都不对 (C) Ax = θ 只有零解 只有零解; (D) (A),(B),(C)都不对 解: 线性方程组 Am×n X = b 有唯一解的充要条件是其 系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等且为n 选项(A)只 系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等且为 . 选项 只 表明方程组中方程的个数与未知量个数相同, 表明方程组中方程的个数与未知量个数相同 此时系 数矩阵的秩与增广矩阵的秩未必相等且为n 数矩阵的秩与增广矩阵的秩未必相等且为 , 故选项 (A)不正确 选项 成立的条件是系数矩阵的秩为 , 不正确. 选项(C)成立的条件是系数矩阵的秩为 成立的条件是系数矩阵的秩为n 不正确 也不正确. 但此时增广矩阵的秩未必为n, 故选项(C)也不正确 但此时增广矩阵的秩未必为 故选项 也不正确 由排除法知选项(B)正确 因此应选(B). 由排除法知选项 正确, 因此应选 正确
四. 求方程组
x1 + 2 x2 + 3 x3 + 4 x4 = 5 的特解. x1 − x2 + x3 + x4 = 1 的特解
解: B = 1 2 3 4 5 → 1 2 3 4 5 1 −1 1 1 1 0 −3 −2 −3 −4
∴ R( A) = R( B) = 2 < 4 = n.
α 4. 设Ax = b为四元齐次线性方程组，R(A)=3，1 , α 2 , α 3 为四元齐次线性方程组， 为四元齐次线性方程组 ，
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1已知矩阵⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=2221A ，则=∞)(A cond 。
2已知矩阵⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=2011A ，则=∞A =1A ，2A =. 3.求解线性方程组3
212312
1010⎩⎨⎧=+=+x x x x ，系数矩阵的条件数)(A cond ∞约为
4若线性方程组b Ax =，已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=512241113A ，若用雅克比迭代法求解，此迭
代公式是否收敛。
5用列主元消去法解1231231
23341290431x x x x x x x x x -+=⎧⎪-+-=⎨⎪-+=-⎩，第1次消元，选择主元为。
6设线性方程组b AX =的迭代格式为f MX X k k +=+)()1(，则对任意初始向量 )0(X 都收敛的充分必要条件是。
7设有线性方程组b AX =，系数矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=123211311A
（1）写出雅可比迭代矩阵
（2）证明雅可比迭代法对于任意的初值)0(X 均收敛。
8用高斯列主元消去法解线性方程组
⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++21.0301045132321
321321x x x x x x x x x
9用雅克比迭代法解线性方程组
⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+-335333321
321321x x x x x x x x x
（1） 写出迭代矩阵B ，讨论收敛性；
（2） 并计算)2(X 。
10证明当2
121<<-a 时，b Ax =的雅克比迭代矩阵收敛。
其中 ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=111a a a a
a a A
11写出求解以下线性方程组的雅可比迭代格式，并证明此格式收敛。
12310127.211028.3115 4.2x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭。