电磁场中的单杆模型
高中物理模型组合27讲(Word) 电磁场中的单杆模型
模型组合讲解——电磁场中的单杆模型［模型概述］在电磁场中，“导体棒”主要是以“棒生电”或“电动棒”的内容出现，从组合情况看有棒与电阻、棒与电容、棒与电感、棒与弹簧等；从导体棒所在的导轨有“平面导轨”、“斜面导轨”“竖直导轨”等。
［模型讲解］一、单杆在磁场中匀速运动例1. （2005年河南省实验中学预测题）如图1所示，R R 125==6ΩΩ，，电压表与电流表的量程分别为0～10V 和0～3A ，电表均为理想电表。
导体棒ab 与导轨电阻均不计，且导轨光滑，导轨平面水平，ab 棒处于匀强磁场中。
图1（1）当变阻器R 接入电路的阻值调到30Ω，且用F 1＝40N 的水平拉力向右拉ab 棒并使之达到稳定速度v 1时，两表中恰好有一表满偏，而另一表又能安全使用，则此时ab 棒的速度v 1是多少？（2）当变阻器R 接入电路的阻值调到3Ω，且仍使ab 棒的速度达到稳定时，两表中恰有一表满偏，而另一表能安全使用，则此时作用于ab 棒的水平向右的拉力F 2是多大？ 解析：（1）假设电流表指针满偏，即I ＝3A ，那么此时电压表的示数为U ＝IR 并＝15V ，电压表示数超过了量程，不能正常使用，不合题意。
因此，应该是电压表正好达到满偏。
当电压表满偏时，即U 1＝10V ，此时电流表示数为I U R A 112==并设a 、b 棒稳定时的速度为v 1，产生的感应电动势为E 1，则E 1＝BLv 1，且E 1＝I 1(R 1＋R 并)＝20Va 、b 棒受到的安培力为 F 1＝BIL ＝40N 解得v m s 11=/（2）利用假设法可以判断，此时电流表恰好满偏，即I 2＝3A ，此时电压表的示数为U I R 22=并＝6V 可以安全使用，符合题意。
由F ＝BIL 可知，稳定时棒受到的拉力与棒中的电流成正比，所以F I I F N N 2211324060===×。
二、单杠在磁场中匀变速运动例2. （2005年南京市金陵中学质量检测）如图2甲所示，一个足够长的“U ”形金属导轨NMPQ 固定在水平面内，MN 、PQ 两导轨间的宽为L ＝0.50m 。
电磁感应中的单双杆模型
电磁感应中的单双杆问题一、单杆问题（一）与动力学相结合的问题1、水平放置的光滑金属轨道上静止一根质量为m的金属棒MN，电阻为R，左端连接一电动势为E，内阻为r的电源，其他部分及连接处电阻不计，试求：金属棒在轨道上的最大速度？2、水平放置的光滑金属轨道上静止一根质量为m的金属棒MN，电阻为R，左端连接一电阻为R，MN在恒力F的作用下从静止开始运动，其他部分及连接处电阻不计，试求：金属棒在轨道上的最大速度？3、金属导轨左端接电容器，电容为C，轨道上静止一长度为L的金属棒cd，整个装置处于垂直纸面磁感应强度为B的匀强磁场当中，现在给金属棒一初速度v，试求金属棒的最大速度？（二）与能量相结合的题型1、倾斜轨道与水平面夹角为 ，整个装置处于与轨道相垂直的匀强磁场当中，导轨顶端连有一电阻R，金属杆的电阻也为R其他电阻可忽略，让金属杆由静止释放，经过一段时V，且在此过程中电阻上生成的热量为Q。
间后达到最大速度m求：（1）金属杆达到最大速度时安培力的大小（2）磁感应强度B为多少（3）求从静止开始到达到最大速度杆下落的高度2．（20分）如图所示，竖直平面内有一半径为r、内阻为R1、粗细均匀的光滑半圆形金属环，在M、N处与相距为2r、电阻不计的平行光滑金属轨道ME、NF相接，EF之间接有电阻R2，已知R1＝12R，R2＝4R。
在MN上方及CD下方有水平方向的匀强磁场I和II，磁感应强度大小均为B。
现有质量为m、电阻不计的导体棒ab，从半圆环的最高点A处由静止下落，在下落过程中导体棒始终保持水平，与半圆形金属环及轨道接触良好，两平行轨道中够长。
已知导体棒ab下落r/2时的速度大小为v1，下落到MN处的速度大小为v2。
（1）求导体棒ab从A下落r/2时的加速度大小。
（2）若导体棒ab进入磁场II后棒中电流大小始终不变，求磁场I和II之间的距离h 和R2上的电功率P2。
（3）当导体棒进入磁场II时，施加一竖直向上的恒定外力F=mg的作用，求导体棒ab 从开始进入磁场II到停止运动所通过的距离和电阻R2上所产生的热量。
电磁场中的单杆模
模型概述
在电磁场中，“导体棒”主要是以 “棒生电” 的内容出现，从组合情 况看有棒与电阻、棒与电容、棒与 弹簧等；导体棒所在的导轨有“平 面导轨”、“斜面导轨” 、“竖直 导轨”等。
一、单杆在磁场中匀速运动
例1. 如图所示，R =5Ω， R =6 Ω， 电压表与电流表的量程分别为0～ 10V和0～3A，电表均为理想电 表。导体棒ab与导轨电阻均不计， 且导轨光滑，导轨平面水平，ab 棒处于匀强磁场中。
1 2
（2）当变阻器R接入电路的阻值调到 3Ω ，且仍使ab棒的速度达到稳定时， 两表中恰有一表满偏，而另一表能安全 使用，则此时作用于ab棒的水平向右 的拉力F 是多大？
2
二、单杆在磁场中匀变速运动
例2. 如内，MN、PQ两导轨间的宽为L ＝0.50m。一根质量为m＝0.50kg的均匀金属导体 棒ab静止在导轨上且接触良好，abMP恰好围成一个 正方形。该轨道平面处在磁感应强度大小可以调节的 竖直向上的匀强磁场中。ab棒的电阻为R＝0.10Ω， 其他各部分电阻均不计。开始时，磁感应强度 B =0.50T 。
三、单杆在磁场中变速运动
例3. 如图所示，处于匀强磁场中的两根 足够长、电阻不计的平行金属导轨相 距1m，导轨平面与水平面成θ＝37° 角，下端连接阻值为R的电阻。匀强 磁场方向与导轨平面垂直。质量为 0.2kg、电阻不计的金属棒放在两导 轨上，棒与导轨垂直并保持良好接触， 它们之间的动摩擦因数为0.25。（g ＝10m/s2，sin37°＝0.6， cos37°＝0.8）
1 2
（1）当变阻器R接入电路的阻值调到30Ω，且用 F ＝40N的水平拉力向右拉ab棒并使之达到稳定 速度V 时，两表中恰好有一表满偏，而另一表又 能安全使用，则此时ab棒的速度V1是多少？
核心素养微专题6 电磁感应中的“杆+导轨”模型
(1)若涉及变力作用下运动问题，可选用动量守恒和能量守恒的方法解决。
(2)若涉及恒力或恒定加速度，一般选用动力学的观点。若涉及运动时间
问题也可选用动量定理求解。
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二轮 ·物理
[示例3] 如图所示，在大小为B的匀强磁场区域内跟磁场方向垂直的水 平面中有两根固定的足够长的金属平行导轨，在导轨上面平放着两根导 体棒ab和cd，两棒彼此平行，构成一矩形回路。导轨间距为l，导体棒的 质量都为m，电阻都为R，导轨部分电阻可忽略不计。设导体棒可在导 轨上无摩擦地滑行，初始时刻ab棒静止，给cd棒一个向右的初速v0，求： (1)当cd棒速度减为0.8v0时的加速度大小； (2)从开始运动到最终稳定，电路中产生的电能； (3)两棒之间距离增加量Δx的上限。
×mgsin θ＝ma，解得加速度大小为 2.5 m/s2，B 正确；金属杆滑至底端
的整个过程中，整个回路中产生的焦耳热为 mgh－12mv2m，电阻 R 产生的
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二轮 ·物理
焦耳热一定小于 mgh－21mvm2 ，C 错误；金属杆达到最大速度后，根据受 力平衡可得 mgsin θ＝F 安＝BIL，得 I＝mgBsiLn θ＝neSv－，得v－＝ρgnseiBn θ， 其中 n 为单位体积的电子数，ρ 为金属杆的密度，所以杆中定向运动的 电荷沿杆长度方向的平均速度与杆的粗细无关，D 正确。 [答案] BD
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二轮 ·物理
⑦ ⑧
二轮 ·物理
2．单杆“倾斜导轨”模型 匀强磁场与导轨垂直，磁感应强度为 B，导轨间距 L，导体棒 质量 m，电阻 R，导轨光滑，电阻不计(如图)
物理 模型
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二轮 ·物理
棒 ab 由静止释放后下滑，此时 a＝gsin α，棒 ab 速度 v↑→
电磁感应中杆切割磁场问题.
电磁感应中杆切割磁场问题1.单杆模型（1）单杆AB以一定的初速度v0在光滑的水平轨道上滑动，质量为m,电阻不计。
杆长为L杆减速最终静止。
(2)轨道水平光滑，单杆AB质量为m电阻不计，杆长为L.AB 杆作加速度减小的加速运动，当E 感=E 时，以最大的速度Vm 运动。
Vm=22L B FR =BL E若电路中的电源换成充了电的电容，充电电容与电源作用效果相似。
(3)轨道水平光滑，杆AB 质量为，电阻不计，杆长为L,拉力F 恒定。
AB 杆作加速度减小的加速运动，最终以最大的速度Vm=22L B FR匀速运动。
（4）轨道水平光滑，杆AB 质量为m ，电阻不计，杆长为L,拉力F 恒定。
对杆用动量定理，Ft-BLq=mv-mv 0 , q=CBLv V=CL B m F 22+t 由此式可知杆作匀加速度a=mL CB F +22的匀加速运动。
当F=0时，杆匀速运动。
（5）轨道水平光滑，杆AB 质量为，电阻不计，杆长为L,拉力F 与时间成一次关系（线性）。
导轨接电阻。
F-r R at v L B ++)(022=ma,即F=r R v L B +022+ma+rR L B +22at ，杆受F=Kt,杆做匀加速度运动。
F=K ，则杆最终以0ν匀速运动。
2.双杆模型（1）初速度不为零，不受其他水平外力作用。
①m 1=m 2 L 1=L 2MN作减速运动，PQ加速运动。
最终v1=v2匀速运动。
②m1=m2，L1=2L2MN减速运动，PQ加速。
最终以的速度。
v2=2v1③m1=m2 L1=L2PQ 先减速，MN 杆先减速到零后反向加速，最终二者以共同的速度匀速运动。
（2）初速度为零，受其他水平力作用。
①轨道光滑，质量m 1=m 2，电阻r 1=r 2，长度L 1=L 2开始PQ 作加速度减小的加速运动，MN 作加速度增大的加速运动，后来PQ 和MN 以共同的加速度作匀加速运动。
a=21m m F +,v p -v q =恒量。
完整版电磁感应定律单杆导轨模型含思路分析
单杆+导轨”模型1.单杆水平式（导轨光滑）注：加速度a的推导，a=F合/m （牛顿第二定律），F合=F-F安，F安=BIL ,匸E/R 整合一下即可得到答案。
v变大之后，根据上面得到的a的表达式，就能推出a变小这里要注意，虽然加速度变小，但是只要和v同向，就是加速运动，是a减小的加速运动（也就是速度增加的越来越慢，比如1s末速度是1, 2s末是5, 3s末是6, 4s末是6.1，每秒钟速度的增加量都是在变小的）2.单杆倾斜式（导轨光滑）BLv T【典例1】如图所示，足够长的金属导轨固定在水平面上，金属导轨宽度L二1.0 m,导轨上放有垂直导轨的金属杆P,金属杆质量为m= 0.1 kg,空间存在磁感应强度B= 0.5 T、竖直向下的匀强磁场。
连接在导轨左端的电阻R= 3.0約金属杆的电阻r 二1.0約其余部分电阻不计。
某时刻给金属杆一个水平向右的恒力F, 金属杆P由静止开始运动，图乙是金属杆P运动过程的v—t图象，导轨与金属杆间的动摩擦因数尸0.5。
在金属杆P运动的过程中，第一个2 s内通过金属杆P的电荷量与第二个2 s内通过P的电荷量之比为3 : 5。
g取10 m/s2。
求：（1）水平恒力F的大小；⑵前4 s内电阻R上产生的热量。
【答案】（1）0.75 N （2）1.8 J【解析】（1）由图乙可知金属杆P先做加速度减小的加速运动,2 s后做匀速直线运动当t= 2 s时，v= 4 m/s,此时感应电动势E= BLv感应电流1=吕R+ rB2I2v安培力F = BIL =R+ r根据牛顿运动定律有F —F '―卩m= 0解得 F = 0.75 N o过金JI杆p的电荷量厂"二磊^甘十）；△型BLx所以尸驚qa为尸的位移）设第一个2 s內金属杆P的位移为Xi ；第二个肚内P的位移为助则二号g，又由于如：血=3 : 5麻立解得«=8mj IL=<8m前4 s内由能量守恒定律得其中 Q r : Q R = r : R = 1 : 3解得 Q R = 1.8 J o注：第二问的思路分析，要求 R 上产生的热量，就是焦耳热，首先想到的是公式Q=l2Rt ，但是在这里，前2s 的运动过程中，I 是变化的，而且也没办法求出I 的有效值来（电荷量对应的是电流的平均值，求焦耳热要用有效值，两者不一样）， 所以这个思路行不通。
第87讲 电磁感应中的单杆模型(解析版)
第87讲电磁感应中的单杆模型1．（2022•上海）宽L＝0.75m的导轨固定，导轨间存在着垂直于纸面且磁感应强度B＝0.4T的匀强磁场。
虚线框Ⅰ、Ⅱ中有定值电阻R0和最大阻值为20Ω的滑动变阻器R。
一根与导轨等宽的金属杆以恒定速率向右运动，图甲和图乙分别为变阻器全部接入和一半接入时沿abcda方向电势变化的图像。
求：（1）匀强磁场的方向；（2）分析并说明定值电阻R0在Ⅰ还是Ⅱ中，并且R0大小为多少：（3）金属杆运动时的速率；（4）滑动变阻器阻值为多少时变阻器的功率最大？并求出该最大功率P m。
【解答】解：（1）a点电势比d点电势高，说明导体棒上端为电源正极，导体棒切割磁感线产生感应电流向上，根据右手定则判断得出匀强磁场的方向垂直纸面向里（2）滑动变阻器从全部接入到一半接入电路，回路里电流变大，定值电阻R0上电压变大，图甲的U cd小于图乙的U cd，可以推理得定值电阻在Ⅰ内，滑动变阻器在Ⅱ根据欧姆定律得：甲图中回路电流I甲=1.2R=1.220A=0.06A，乙图中回路电流I乙=1.0R2=1.010A=0.1A甲图中定值电阻R0上电压φ0﹣1.2＝0.06R乙图中定值电阻R0上电压φ0﹣1.0＝0.1R联立解得：R＝5Ω，φ0＝1.5V（3）金属杆产生的感应电动势E＝BLv，E＝φ0联立解得v=φ0BL= 1.50.4×0.75m/s=5m/s（4）根据甲乙两图可知导体棒电阻不计，由闭合电路欧姆定律得I=E R0+R滑动变阻器上的功率p＝I2R=E2R(R0+R)2= 2.2525R+R+10，当R＝5Ω时，滑动变阻器有最大功率P m＝0.1125W答：（1）匀强磁场的方向垂直纸面向里（2）定值电阻R0在Ⅰ中，定值电阻R0＝5Ω（3）金属杆运动时的速率为5m/s（4）滑动变阻器阻值为5Ω时变阻器的功率最大，最大功率为0.1125W一.知识回顾1.力学对象和电学对象的相互关系2.能量转化及焦耳热的求法(1)能量转化其他形式的能量――→克服安培力做功电能――→电流做功焦耳热或其他形式的能量(2)求解焦耳热Q的三种方法(纯电阻电路)3.单杆模型质量为m、电阻不计的单杆ab 以一定初速度v0在光滑水平轨道上滑动，两平行导轨间距为l 轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为l轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为l，拉力F恒定轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为l，拉力F恒定导体杆做加速度越来越小的减速运动，最终杆静止当E感＝E时，v最大，且v m＝EBl，最后以v m匀速运动当a＝0时，v最大，v m＝FRB2l2，杆开始匀速运动Δt时间内流入电容器的电荷量Δq＝CΔU＝CBlΔv电流I＝ΔqΔt＝CBlΔvΔt＝CBla安培力F安＝IlB＝CB2l2aF－F安＝ma，a＝Fm＋B2l2C，所以杆以恒定的加速度匀加速运动电能转化为动能外力做功转化为外力做功转化为二.例题精析题型一：单杆+电阻模型之动态分析（多选）例1．如图所示，MN和PQ是两根互相平行、竖直放置的足够长的光滑金属导轨，电阻不计，匀强磁场垂直导轨平面向里。
电磁场中的单杆模型
二、单杆在磁场中匀变速运动
例2.如图甲所示，一个足够长的“U”形金属导 轨NMPQ固定在水平面内，MN、PQ两导轨间 的宽为L＝0.50m。一根质量为m＝0.50kg的 均匀金属导体棒ab静止在导轨上且接触良好， abMP恰好围成一个正方形。 该轨道平面处在磁感应强度 大小可以调节的竖直向上的 匀强磁场中。ab棒的电阻为 R＝0.10Ω，其它各部分电阻 均不计。开始时，磁感应强 度B0=0.50T。
F＜0 方向与x轴相同 ⑦ O
⑤
v0 B x
➢ （08全国卷2）24．（19分）如图，一直导体棒质 量为m、长为l、电阻为r，其两端放在位于水平面内 间距也为l的光滑平行导轨上，并与之密接；棒左侧 两导轨之间连接一可控制的负载电阻（图中未画 出）；导轨置于匀强磁场中，磁场的磁感应强度大 小为B，方向垂直于导轨所在平面。开始时，给导 体棒一个平行于导轨的初速度v0。在棒的运动速度 由v0减小至v1的过程中，通过控制负载电阻的阻值 使棒中的电流强度I保持恒定。
（1）若保持磁感应强度B0的大小不变，从 t＝0 时刻开始，给ab棒施加一个水平向右 的拉力，使它做匀加速直线运动。此拉力F 的大小随时间t变化关系如图乙所示。求ab 棒做匀加速运动的加速度及ab棒与导轨间 的滑动摩擦力。
➢（2）若从t＝0开始，使磁感应强度的
大小从B0开始以
B t
＝0.20T/s的变化
➢C．沿运动方向作用在导体棒ab上的外力
的功率之比为1：2
➢D．流过任一横截面的电量之比为1：2
a
a
AB R
v Bl
R
EI
b
b
x
一般方法
→判断产生电磁感应现象的那一部分 导体（电源）
→利用 E N 或E=BLv求感应电动 势的大小 t
电磁感应中的“杆+导轨”模型
电磁感应中的“杆+导轨”模型电磁感应中的“杆+导轨”模型一、单棒模型阻尼式：在单棒模型中，导体棒相当于电源，根据洛伦兹力的公式，可以得到安培力的特点为阻力，并随速度减小而减小，加速度随速度减小而减小，最终状态为静止。
根据能量关系、动量关系和瞬时加速度，可以得到公式B2l2v R rF和q mv/Bl，其中q表示流过导体棒的电荷量。
需要注意的是，当有摩擦或者磁场方向不沿竖直方向时，模型的变化会受到影响。
举例来说，如果在电阻不计的光滑平行金属导轨固定在水平面上，间距为L、导轨左端连接一阻值为R的电阻，整个导轨平面处于竖直向下的磁感应强度大小为B的匀强磁场中，一质量为m的导体棒垂直于导轨放置，a、b之间的导体棒阻值为2R，零时刻沿导轨方向给导体棒一个初速度v，一段时间后导体棒静止，则零时刻导体棒的加速度为0，零时刻导体棒ab两端的电压为BLv，全过程中流过电阻R的电荷量为mv/Bl，全过程中导体棒上产生的焦耳热为0.二、发电式在发电式中，导体棒同样相当于电源，当速度为v时，电动势E＝Blv。
根据安培力的特点，可以得到公式22Blv/l＝Blv/(R＋r)。
加速度随速度增大而减小，最终特征为匀速运动。
在稳定后的能量转化规律中，F-BIl-μmg=m*a，根据公式可以得到a=-(F-μmg)/m、v=0时，有最大加速度，a=0时，有最大速度。
需要注意的是，当电路中产生的焦耳热为mgh时，电阻R中产生的焦耳热也为mgh。
1.如图所示，相距为L的两条足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ与水平面的夹角为θ，N、Q两点间接有阻值为R的电阻。
整个装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向下。
将质量为m、阻值也为R的金属杆cd垂直放在导轨上，杆cd由静止释放，下滑距离x时达到最大速度。
重力加速度为g，导轨电阻不计，杆与导轨接触良好。
求：1)杆cd下滑的最大加速度和最大速度；2)上述过程中，杆上产生的热量。
电磁场中的单杆模型
电磁场中的单杆模型在电磁场中，“导体棒”主要是以“棒生电”或“电动棒”的内容出现，从组合情况看有棒与电阻、棒与电容、棒与电感、棒与弹簧等；从导体棒所在的导轨有“平面导轨”、“斜面导轨”“竖直导轨”等。
一、单杆在磁场中匀速运动例1、如图1所示，，电压表与电流表的量程分别为0～10V和0～3A，电表均为理想电表。
导体棒ab与导轨电阻均不计，且导轨光滑，导轨平面水平，ab棒处于匀强磁场中。
图1（1）当变阻器R接入电路的阻值调到30，且用＝40N的水平拉力向右拉ab棒并使之达到稳定速度时，两表中恰好有一表满偏，而另一表又能安全使用，则此时ab棒的速度是多少？（2）当变阻器R接入电路的阻值调到，且仍使ab棒的速度达到稳定时，两表中恰有一表满偏，而另一表能安全使用，则此时作用于ab棒的水平向右的拉力F2是多大？解析：（1）假设电流表指针满偏，即I＝3A，那么此时电压表的示数为U＝＝15V，电压表示数超过了量程，不能正常使用，不合题意。
因此，应该是电压表正好达到满偏。
当电压表满偏时，即U1＝10V，此时电流表示数为设a、b棒稳定时的速度为，产生的感应电动势为E1，则E1＝BLv1，且E1＝I1(R1＋R并)＝20Va、b棒受到的安培力为F1＝BIL＝40N解得（2）利用假设法可以判断，此时电流表恰好满偏，即I2＝3A，此时电压表的示数为＝6V可以安全使用，符合题意。
由F＝BIL可知，稳定时棒受到的拉力与棒中的电流成正比，所以。
二、单杠在磁场中匀变速运动例2、如图2甲所示，一个足够长的“U”形金属导轨NMPQ固定在水平面内，MN、PQ两导轨间的宽为L＝0.50m。
一根质量为m＝0.50kg的均匀金属导体棒ab静止在导轨上且接触良好，abMP恰好围成一个正方形。
该轨道平面处在磁感应强度大小可以调节的竖直向上的匀强磁场中。
ab棒的电阻为R＝0.10Ω，其他各部分电阻均不计。
开始时，磁感应强度。
图2（1）若保持磁感应强度的大小不变，从t＝0时刻开始，给ab棒施加一个水平向右的拉力，使它做匀加速直线运动。
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知识准备
1.感应电流的产生条件 2.感应电流的方向判断
3.感应电动势的大小计算
模型概述
在电磁场中，“导体杆”在平面
导轨上滑动切割磁感线，“导体 杆”中会产生感应电动势，闭合 电路中会产生感应电流，磁场又 会对“导体杆”施加安培力作用， 影响“导体杆”的运动。
电磁感应中的综合问题分析
B R/kL2 1T
6
4
F(N) 0 2 4 6 8 10 12
(3)由直线的截距可以求得金属杆受到的阻力f， f=2 (N) 若金属杆受到的阻力仅为滑动摩擦力，由截距可求得动 摩擦因数 μ=0.4
[06上海物理卷.12] 如图所示，平行金属导轨与水平 面成θ角，导轨与固定电阻R1和R2相连，匀强磁场垂 直穿过导轨平面．有一导 B 体棒ab，质量为m，导体 a R1 棒的电阻与固定电阻R1和 θ R2的阻值均相等，与导轨 b 之间的动摩擦因数为μ， R2 θ 导体棒ab沿导轨向上滑动， 当上滑的速度为v时，受到安培力的大小为F．此时 （A）电阻R1消耗的热功率为Fv／3． （B）电阻 R2消耗的热功率为 Fv／6． （C）整个装置因摩擦而消耗的热功率为μmgvcosθ． （D）整个装置消耗的机械功率为（F＋μmgcosθ）v·
F＋f＝ma， F＝ma－f＝ma－B2l 2v0/R ⑤ ∴ 当v0＜maR/B2l 2＝10米/秒 时， a m v F＞0 方向与x轴相反 ⑥ 0 R B 2 2 当v0＞maR/B l ＝10米/秒 时， F＜0 方向与x轴相同 ⑦ O x
（08全国卷2）24．（19分）如图，一直导体棒质 量为m、长为l、电阻为r，其两端放在位于水平面内 间距也为l的光滑平行导轨上，并与之密接；棒左侧 两导轨之间连接一可控制的负载电阻（图中未画 出）；导轨置于匀强磁场中，磁场的磁感应强度大 小为B，方向垂直于导轨所在平面。开始时，给导 体棒一个平行于导轨的初速度v0。在棒的运动速度 由v0减小至v1的过程中，通过控制负载电阻的阻值 使棒中的电流强度I保持恒定。 导体棒一直在磁场中运动。 若不计导轨电阻，求此过程中 导体棒上感应电动势的平均值 和负载电阻上消耗的平均功率。
这类问题覆盖面广，题型也多种多样；但解决这类问 题的关键在于通过运动状态的分析来寻找过程中的临界状 态，如速度、加速度取最大值或最小值的条件等，基本思 路是：
确定电源 （E，r）
E I Rr
感应 电流
F=BIL
运动导体所 受的安培力 F=ma
v与a方向
临界 状态 运动状态 的分析 关系 a变化 情况
（1）若保持磁感应强度B0的大小不变，从 t＝0 时刻开始，给ab棒施加一个水平向右 的拉力，使它做匀加速直线运动。此拉力F 的大小随时间t变化关系如图乙所示。求ab 棒做匀加速运动的加速度及ab棒与导轨间 的滑动摩擦力。
（2）若从t＝0开始，使磁感应强度的 B 大小从B0开始以 t ＝0.20T/s的变化 率均匀增加。求经过多长时间ab棒开 始滑动？此时通过ab棒的电流大小和方 向如何？（ab棒与导轨间的最大静摩擦 力和滑动摩擦力相等）
解析：导体棒所受的安培力为：F=BIl………① 由题意可知，该力的大小不变，棒做匀减速运动， 因此在棒的速度从v0减小到v1的过程中，平均速度 1 为： v (v0 v1 ) ……………………② 2 当棒的速度为v时，感应电动势的大小为： E=Blv………………③ 棒中的平均感应电动势为： E Blv ………④ 1 综合②④式可得： E 2 Blv0 v1 ………………⑤ 2 P I r …………⑥ 导体棒中消耗的热功率为： 1 负载电阻上消耗的热功率为： P2 EI P1 ……⑦ 1 2 P Bl v v I r …………⑧ 由以上三式可得：2 0 1
A．导体棒ab中感应电流之比为1：2 B．电阻R中产生热量之比为1：2 C．沿运动方向作用在导体棒ab上的外力 的功率之比为1：2 D．流过任一横截面的电量之比为1：2
a a
AB
R
v b
B
l
R
E
I
x
b
一般方法
→判断产生电磁感应现象的那一部分 导体（电源） →利用 E N 或E=BLv求感应电动 t 势的大小 →利用右手定则或楞次定律判断感应 电流的方向 →分析电路结构，画出等效电路图。
y v0 B d x
E1＝B1v1 d＝3k v03d／16 a ．
解后小结
→与“导体单棒”组成的闭合回路 中 的磁通量发生变化 →导体棒产生感应电动势 →感应电流 →导体棒受安培力 →合外力 →加速度
三、单杆在磁场中变速运动
倾角为 30°的斜面上，有一导体框架，宽为 1m ，不计电阻，垂直斜面的匀强磁场磁感应 强度为 0.2T ，置于框架上的金属杆 ab ，质量 0.2kg ，电阻 0.1Ω ，如图所示 . 不计摩擦，当金 属杆ab由静止下滑时，求： (1)当杆的速度达到2m/s B a 时，ab两端的电压； L (2)回路中的最大电流和功率. b
02年上海 22 如图所示，两条互相平行的光滑金属导 轨位于水平面内，距离为l＝0.2米，在导轨的一端接有 阻值为R＝0.5欧的电阻，在x≥0处有一与水平面垂直的 均匀磁场，磁感应强度 B ＝ 0.5 特斯拉。一质量为 m ＝ 0.1 千克的金属直杆垂直放置在导轨上，并以 v0 ＝ 2 米 / 秒的初速度进入磁场，在安培力和一垂直于杆的水平 外力 F 的共同作用下作匀变速直线运动，加速度大小 为 a ＝ 2 米 / 秒 2 、方向与初速度方向相反。设导轨和金 属杆的电阻都可以忽略，且接触良好。求： （1）电流为零时金属杆所处的位置； a m v0 R B （2）电流为最大值的一半时施加 在金属杆上外力F的大小和方向； O x （3）保持其他条件不变，而初速度v0取不同值，求开 始时F的方向与初速度v0取值的关系。
y R O v0 B d x
解 : （1）金属杆在导轨上先是向右做加速度为a 的匀减速直 线运动，到导轨右方最远处速度为零，后又沿导轨向左做 加速度为a 的匀加速直线运动．当过了y 轴后，由于已离 开了磁场区，故回路不再有感应电流．
以t1表示金属杆做匀减速运动的时间，有 t1 ＝ v0 / a ．
解:（1）感应电动势 E＝B l v， I＝E/R ∴ x＝v02／2a＝1（米） ① ∴ I＝ 0 时 v ＝ 0 （2）最大电流 Im＝B l v0/R I′＝Im／2＝B l v0／2R 安培力 f＝I´Bl ＝B2l 2v0／2R =0.02N ② 向右运动时 F＋f＝ma F＝ma－f＝0.18（牛） 方向与x轴相反 ③ 向左运动时F－f＝ma F＝ma＋f＝0.22（牛） 方向与x轴相反 ④ （3）开始时 v＝v0， f＝ImB l＝B2l 2v0/R
30°
ห้องสมุดไป่ตู้
在磁感应强度为B的水平均强磁场中，竖直放置一个冂 形金属框ABCD，框面垂直于磁场，宽度BC＝L ，质 量 m 的金属杆 PQ 用光滑金属套连接在框架 AB 和 CD 上 如图 .金属杆 PQ电阻为 R，当杆自静止开始沿框架下滑 时：(1)开始下滑的加速度为多少?(2)框内感应电流的方 向怎样？(3)金属杆下滑的最大速度是多少?(4)从开始下 滑到达到最大速度过程中重力势能转化为什么能量?
AC
04年上海22 （14分）水平面上两根足够长的金属导
轨平行固定放置，间距为L，一端通过导线与阻值为R的 电阻连接；导轨上放一质量为m的金属杆（见图），金 属杆与导轨的电阻忽略不计；均匀磁场竖直向下.用与导 轨平行的恒定拉力F作用在金属杆上，杆最终将做匀速运 动.当改变拉力的大小时，相对应的匀速运动速度v也会 变化，v与F的关系如右下图.（取重力加速度g=10m/s2） （1）金属杆在匀速运动之前做什么运动？ （2）若m=0.5kg,L=0.5m,R=0.5Ω;磁感应强度B为多大？ （3）由v-F图线的截距可求得什么物理量?其值为多少?
D
（08山东卷）22、两根足够长的光滑导 轨竖直放置，间距为L ，底端接阻值为R 的电阻。将质量为m的金属棒悬挂在一个 固定的轻弹簧下端，金属棒和导轨接触良 好，导轨所在平面与磁感应强度为B 的匀 强磁场垂直，如图所示。除电阻R 外其余 电阻不计。现将金属棒从弹簧原长位置由静止释放．则 A．释放瞬间金属棒的加速度等于重力加速度g B．金属棒向下运动时，流过电阻R 的电流方向为a→b B 2 L2v C．金属棒的速度为v时．所受的安培力大小为 F R D．电阻R 上产生的总热量等于金属棒重力势能的减少
二、单杆在磁场中匀变速运动
例2.如图甲所示，一个足够长的“U”形金属导 轨NMPQ固定在水平面内，MN、PQ两导轨间 的宽为L＝0.50m。一根质量为m＝0.50kg的 均匀金属导体棒ab静止在导轨上且接触良好， abMP恰好围成一个正方形。 该轨道平面处在磁感应强度 大小可以调节的竖直向上的 匀强磁场中。ab棒的电阻为 R＝0.10Ω，其它各部分电阻 均不计。开始时，磁感应强 度B0=0.50T。
模型讲解
一、单杆在磁场中匀速运动 二、单杆在磁场中匀变速运动 三、单杆在磁场中变速运动 四、变杆问题
一、单杆在磁场中匀速运动
例1.如图所示，水平放置的平行金属导轨左端 接一电阻R，匀强磁场方向垂直于导轨平面， 导体棒ab垂直导轨放在导轨上，并能无摩擦 地沿导轨滑动。导轨和导体棒的电阻均可忽 略不计．先后两次将导体棒ab从同一位置匀 a 速地拉离导轨。第一 次速度v1 = v，第二 v B l R 次速度v2 = 2v，在先、 后两次拉离导轨过程中 b
2
如图所示，两根相距为d的足够长的平行金属导轨位于 水平的xOy平面内，一端接有阻值为R的电阻．在x＞ 0 的一侧存在沿竖直方向的非均匀磁场，磁感强度B随x 的增大而增大，B＝kx，式中的k是一常量．一金属直 杆与金属导轨垂直，可在导轨上滑动．当t=0 时位于 x=0处，速度为v0，方向沿x轴的正方向．在运动过程中， 有一大小可调节的外力F作用于金属杆以保持金属杆的 加速度恒定，大小为ａ，方向沿x轴的负方向．设除外 接的电阻R外，所有其他电阻都可以忽略．问： （1）该回路中的感应电流持续的时间多长？ （2）当金属杆的速度大小为v0／2 时，回路中的感应 电动势有多大？