八年级上册数学期末复习
浙教版八年级数学上册期末专题复习课件全套
概率初步知识
概率的定义与性质
概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，其性质包括规范性、非负性、可加性和概率 总和为1等。
古典概型概率计算
古典概型是一种理想化的概率模型，适用于某些特定类型的随机试验，其概率计算公式为 $P(A) = frac{n(A)}{n(S)}$，其中$n(A)$是事件A包含的基本事件个数，$n(S)$是样本空 间中基本事件的总数。
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感谢观看
解分式方程
掌握去分母、换元法等基本解法 ，理解分式方程的解法。
总结词
掌握一元一次方程、一元二次方 程、分式方程、不等式和不等式 组的解法，理解方程和不等式的 性质。
解不等式和不等式组
掌握移项、合并同类项、去分母 等基本解法，理解不等式的性质 。
函数
总结词
理解函数的概念，掌握函数的 表示方法，理解函数的性质，
算。
四边形的周长
四边形的周长是所有边 的长度之和。
圆
圆的基本性质
圆心到圆上任一点的距离都相等，即圆的半 径相等。
圆与直线的位置关系
圆与直线有相切、相交、相离三种位置关系 。
圆的周长和面积
圆的周长是2πr，面积是πr^2，其中r是圆 的半径。
圆与圆的位置关系
圆与圆有相切、相交、相离三种位置关系。
03
能进行简单的函数运算。
函数的概念
理解函数的定义，了解函数的 表示方法，如解析式表示法和 图象表示法。
函数的性质
理解函数的增减性、奇偶性、 周期性等性质，能根据函数的 性质判断函数的单调性和奇偶 性。
函数的运算
掌握函数的加、减、乘、除等 基本运算，理解复合函数的概
念和运算方法。
八年级数学上册期末复习资料
初二上册数学全册.第十一章全等三角形综合复习1. 全等三角形的概念及性质；2. 三角形全等的判定；3. 角平分线的性质及判定。
知识点一：证明三角形全等的思路通过对问题的分析，将解决的问题归结到证明某两个三角形的全等后，采用哪个全等判定定理加以证明，可以按下图思路进行分析：⎧→⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎪→⎩⎪⎪→→⎧⎪⎪→⎧⎪⎪⎨⎨⎪→⎨⎪⎪⎪⎪⎪→⎩⎩⎪⎪→⎧⎪⎨→⎪⎩⎪⎩SAS SSSHL AAS SAS ASAAAS ASA AAS 找夹角已知两边找第三边找直角边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一对边切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。
. 例1. 如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。
求证：ACF BDE ∆≅∆。
知识点二：构造全等三角形 例2. 如图，在ABC ∆中，BE 是∠ABC 的平分线，AD BE ⊥，垂足为D 。
求证：21C ∠=∠+∠。
例3. 如图，在ABC ∆中，AB BC =，90ABC ∠=。
F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE BF =，连接,AE EF 和CF 。
求证：AE CF=。
知识点三：常见辅助线的作法..1. 连接四边形的对角线例4. 如图，AB //CD ，AD //BC ，求证：AB CD =。
2. 作垂线，利用角平分线的知识..例5. 如图，,AP CP 分别是ABC ∆外角MAC ∠和NCA ∠的 平分线，它们交于点P 。
求证：BP 为MBN ∠的平分线。
例6. 如图，D 是ABC ∆的边BC 上的点，且CD AB =，ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ∆的中线。
求证：2AC AE =。
4. “截长补短”构造全等三角形.例7. 如图，在ABC ∆中，AB AC >，12∠=∠，P 为AD 上任意一点。
初中八年级数学上册专题及期末复习(附答案解析)
小专题(一) 构造全等三角形的方法技巧类型1 连结线段构造全等三角形【例1】 如图，已知AB ＝AD ，BC ＝CD ，求证：∠B ＝∠D.证明：连结AC ，在△ABC 和△ADC 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，BC ＝DC ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC(SSS )． ∴∠B ＝∠D.【方法归纳】 通过连结两点，构造出三角形，再证明两个三角形全等，然后利用全等三角形的性质说明角相等或边相等．1．如图，已知AB ∥CD ，AD ∥BC ，求证：∠A ＝∠C.证明：连结BD ， ∵AB ∥CD ， ∴∠ABD ＝∠CDB. ∵AD ∥BC ， ∴∠ADB ＝∠CBD. 又∵BD ＝DB ，∴△ABD ≌△CDB(ASA )．∴∠A ＝∠C.2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点M 为BC 中点，MD ⊥AB 于点D ，ME ⊥AC 于点E.求证：MD ＝ME.证明：连结AM.在△ABM 和△ACM 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，AM ＝AM ，BM ＝CM ，∴△ABM ≌△ACM(SSS )． ∴∠BAM ＝∠CAM.∵MD ⊥AB ，ME ⊥AC ，∴MD ＝ME.类型2 利用“截长补短”构造全等三角形【例2】 如图，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE ＝∠CDE ，∠DCE ＝∠ECB.求证：CD ＝AD ＋BC.证明：在CD 上截取DF ＝DA ，连结FE.在△ADE 和△FDE 中，⎩⎨⎧AD ＝FD ，∠ADE ＝∠FDE ，DE ＝DE ，∴△ADE ≌△FDE. ∴∠A ＝∠DFE.又∵AD ∥BC ，∴∠A ＋∠B ＝180°. ∵∠DFE ＋∠EFC ＝180°. ∴∠B ＝∠EFC.在△EFC 和△EBC 中，⎩⎨⎧∠EFC ＝∠B ，∠ECF ＝∠ECB ，EC ＝EC ，∴△EFC ≌△EBC. ∴FC ＝BC.∴CD ＝DF ＋FC ＝AD ＋BC.【方法归纳】 遇到证明线段的和差倍分问题时，通常利用截长法或补短法，具体的作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或者延长某条线段，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质解决．3．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BD ，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB ，BD ，CE 交于点O ，试判断BE ，CD ，BC 的数量关系，并加以证明．解：BC ＝BE ＋CD.证明：在BC 上截取BF ＝BE ，连结OF. ∵BD 平分∠ABC ， ∴∠EBO ＝∠FBO. 又∵BO ＝BO ， ∴△EBO ≌△FBO.∴∠EOB ＝∠FOB.∵∠A ＝60°，BD ，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB ，∴∠BOC ＝180°－∠OBC －∠OCB ＝180°－12∠ABC －12∠ACB ＝180°－12(180°－∠A)＝120°.∴∠EOB ＝∠DOC ＝60°.∴∠BOF ＝60°，∠FOC ＝∠DOC ＝60°. ∵CE 平分∠DCB ，∴∠DCO ＝∠FCO.又∵CO ＝CO ，∴△DCO ≌△FCO.∴CD ＝CF.∴BC ＝BF ＋CF ＝BE ＋CD.4．(德州中考)问题背景：如图1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°.点E ，F 分别是BC ，CD 上的点．且∠EAF ＝60°.探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系．(1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG ＝BE ，连结AG.先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论，他的结论应是EF ＝BE ＋DF ；(2)如图2，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°.E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝12∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由．解：EF ＝BE ＋DF 仍然成立．证明：延长FD 到G ，使DG ＝BE ，连结AG ，∵∠B ＋∠ADC ＝180°，∠ADC ＋∠ADG ＝180°， ∴∠B ＝∠ADG.在△ABE 和△ADG 中，⎩⎨⎧BE ＝DG ，∠B ＝∠ADG ，AB ＝AD ，∴△ABE ≌△ADG(SAS )． ∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG . ∵∠EAF ＝12∠BAD ，∴∠GAF ＝∠DAG ＋∠DAF ＝∠BAE ＋∠DAF ＝∠BAD －∠EAF ＝∠EAF. ∴∠EAF ＝∠GAF.在△AEF 和△AGF 中，⎩⎨⎧AE ＝AG ，∠EAF ＝∠GAF ，AF ＝AF ，∴△AEF ≌△AGF(SAS )．∴EF ＝FG .∵FG ＝DG ＋DF ＝BE ＋DF ，∴EF ＝BE ＋DF.类型3 利用“中线倍长”构造全等三角形【例3】 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，AC>AB ，求证：AB ＋AC>2AD>AC －AB.证明：延长AD 至E ，使AD ＝DE ，并连结CE ， ∵D 是BC 上的中点，∴CD ＝BD.又∵AD ＝DE ，∠ADB ＝∠CDE ， ∴△ADB ≌△EDC(SAS )． ∴AB ＝CE.∵AC ＋CE>2AD>AC －CE ，∴AB ＋AC>2AD>AC －AB.【方法归纳】 当题目中出现中线时，常常延长中线，使所延长部分与中线的长度相等，然后连结相应的端点，便可以得到全等三角形．5．已知：如图，AD ，AE 分别是△ABC 和△ABD 的中线，且BA ＝BD.求证：AE ＝12AC.证明：延长AE 至F ，使EF ＝AE ，连结DF. ∵AE 是△ABD 的中线， ∴BE ＝DE.又∵∠AEB ＝∠FED ，∴△ABE ≌△FDE.∴∠B ＝∠BDF ，AB ＝DF. ∵BA ＝BD ，∴∠BAD ＝∠BDA ，BD ＝DF.∵∠ADF ＝∠BDA ＋∠BDF ，∠ADC ＝∠BAD ＋∠B ， ∴∠ADF ＝∠ADC.∵AD 是△ABC 的中线， ∴BD ＝CD. ∴DF ＝CD. 又∵AD ＝AD ，∴△ADF ≌△ADC(SAS )． ∴AC ＝AF ＝2AE ，即AE ＝12AC.6．如图，AB ＝AE ，AB ⊥AE ，AD ＝AC ，AD ⊥AC ，点M 为BC 的中点，求证：DE ＝2AM.证明：延长AM至点N，使MN＝AM，连结BN，∵M为BC中点，∴BM＝CM.又∵AM＝MN，∠AMC＝∠NMB，∴△AMC≌△NMB(SAS)．∴AC＝BN，∠C＝∠NBM.∴∠ABN＝∠ABC＋∠NBM＝∠ABC＋∠C＝180°－∠BAC＝∠EAD. ∵AD＝AC，AC＝BN，∴AD＝BN.又∵AB＝AE，∴△ABN≌△EAD(SAS)．∴DE＝NA.又∵AM＝MN，∴DE＝2AM.小专题(二) 等腰三角形中的分类讨论类型1 对顶角和底角的分类讨论对于等腰三角形，只要已知它的一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角，就要分两种情况来讨论．在分类时要注意：三角形的内角和等于180°；等腰三角形中至少有两个角相等．1．等腰三角形中有一个角为52°，它的一条腰上的高与底边的夹角为多少度？解：①若已知的这个角为顶角，则底角的度数为(180°－52°)÷2＝64°，故一腰上的高与底边的夹角为26°； ②若已知的这个角为底角，则一腰上的高与底边的夹角为38°. 故所求的一腰上的高与底边的夹角为26°或38°.类型2 对腰长和底长的分类讨论在解答已知等腰三角形边长的问题时，当题目条件中没有明确说明哪条边是“腰”、哪条边是“底”时，往往要进行分类讨论．判定的依据是：三角形的任意两边之和大于第三边；两边之差小于第三边． 2．(1)已知等腰三角形的一边长等于6 cm ，一边长等于7 cm ，求它的周长；(2)等腰三角形的一边长等于8 cm ，周长等于30 cm ，求其他两边的长． 解：(1)周长为19 cm 或20 cm .(2)其他两边的长为8 cm ，14 cm 或11 cm ，11 cm .3．若等腰三角形一腰上的中线分周长为9 cm 和12 cm 两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长．解：如图，由于条件中中线分周长的两部分，并没有指明哪一部分是9 cm 、哪一部分是12 cm ，因此，应有两种情形．设这个等腰三角形的腰长为x cm ，底边长为y cm ，根据题意，得⎩⎨⎧x ＋12x ＝9，12x ＋y ＝12或⎩⎨⎧x ＋12x ＝12，12x ＋y ＝9.解得⎩⎨⎧x ＝6，y ＝9，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝5.故腰长是6 cm ，底边长是9 cm 或腰长是8 cm ，底边长是5 cm .类型3 几何图形之间的位置关系不明确的分类讨论4．已知C 、D 两点在线段AB 的中垂线上，且∠ACB ＝50°，∠ADB ＝80°，求∠CAD 的度数．解：①如图1，当C 、D 两点在线段AB 的同侧时， ∵C 、D 两点在线段AB 的垂直平分线上，∴CA ＝CB.∴△CAB 是等腰三角形． 又∵CE ⊥AB ，∴CE 是∠ACB 的平分线．∴∠ACE ＝∠BCE. ∵∠ACB ＝50°，∴∠ACE ＝25°. 同理可得∠ADE ＝40°，∴∠CAD ＝∠ADE －∠ACE ＝40°－25°＝15°；图1 图2②如图2，当C 、D 两点在线段AB 的两侧时，同①的方法可得∠ACE ＝25°，∠ADE ＝40°，∴∠CAD ＝180°－(∠ADE ＋∠ACE)＝180°－(40°＋25°)＝180°－65°＝115°. 故∠CAD 的度数为15°或115°.类型4 运动过程中等腰三角形中的分类讨论5．(下城区校级期中)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝8 cm ，AC ＝6 cm ，在射线BC 上一动点D ，从点B 出发，以2厘米每秒的速度匀速运动，若点D 运动t 秒时，以A 、D 、B 为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t 为258或5或8秒． 解析：①当AD ＝BD 时，在Rt △ACD 中，根据勾股定理，得AD 2＝AC 2＋CD 2，即BD 2＝(8－BD)2＋62， 解得BD ＝254cm .则t ＝2542＝258(秒)；②当AB ＝BD 时，在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得 AB ＝AC 2＋BC 2＝62＋82＝10(cm )， 则t ＝102＝5(秒)；③当AD ＝AB 时，BD ＝2BC ＝16 cm ，则t ＝162＝8(秒)．综上所述，t 的值可以是：258，5，8.6．(杭州期中)如图，已知△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝8 cm ，BC ＝6 cm ，P 、Q 是△ABC 边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A →B 方向运动，且速度为每秒1 cm ，点Q 从点B 开始沿B →C 方向运动，且速度为每秒2 cm ，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．(1)当t ＝2秒时，求PQ 的长；(2)求出发时间为几秒时，△PQB 是等腰三角形？(3)若Q 沿B →C →A 方向运动，则当点Q 在边CA 上运动时，求能使△BCQ 成为等腰三角形的运动时间．解：(1)BQ ＝2×2＝4(cm )，BP ＝AB －AP ＝8－2×1＝6(cm )， ∵∠B ＝90°，∴PQ ＝BQ 2＋BP 2＝42＋62＝213(cm )． (2)根据题意，得BQ ＝BP ， 即2t ＝8－t ， 解得t ＝83.∴出发时间为83秒时，△PQB 是等腰三角形．(3)分三种情况：①当CQ ＝BQ 时，如图1所示， 则∠C ＝∠CBQ ， ∵∠ABC ＝90°，∴∠CBQ ＋∠ABQ ＝90°，∠A ＋∠C ＝90°. ∴∠A ＝∠ABQ. ∴BQ ＝AQ.∴CQ ＝AQ ＝5 cm . ∴BC ＋CQ ＝11 cm . ∴t ＝11÷2＝5.5(秒)．②当CQ ＝BC 时，如图2所示， 则BC ＋CQ ＝12 cm . ∴t ＝12÷2＝6(秒)．③当BC ＝BQ 时，如图3所示， 过B 点作BE ⊥AC 于点E ， 则BE ＝AB·BC AC ＝6×810＝4.8(cm )．∴CE ＝BC 2－BE 2＝3.6 cm .∴CQ ＝2CE ＝7.2 cm . ∴BC ＋CQ ＝13.2 cm . ∴t ＝13.2÷2＝6.6(秒)．由上可知，当t 为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ 为等腰三角形．小专题(三) 利用勾股定理解决折叠与展开问题类型1 利用勾股定理解决平面图形的折叠问题1．如图所示，有一张直角三角形纸片，∠C ＝90°，AC ＝4 cm ，BC ＝3 cm ，将斜边AB 翻折，使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD ，则CE 的长为(A )A ．1 cmB ．1.5 cmC ．2 cmD ．3 cm第1题图 第2题图2．如图，长方形ABCD 的边AD 沿折痕AE 折叠，使点D 落在BC 上的F 处，已知AB ＝6，△ABF 的面积是24，则FC 等于(B )A ．1B ．2C ．3D ．43．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC ＝5 cm ，BC ＝10 cm ，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 的长为(D )A .252cmB .152cm C .254cmD .154cm第3题图 第4题图4．(铜仁中考)如图，在长方形ABCD 中，BC ＝6，CD ＝3，将△BCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在点C′处，BC ′交AD 于点E ，则线段DE 的长为(B )A ．3B .154C ．5D .1525．(上城区期末)在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3，AD ＝5，如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A′处，折痕为PQ ，当点A′在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动，若限定点P 、Q 分别在线段AB 、AD 边上移动，则点A′在BC 边上可移动的最大距离为(B )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：如图1，当点D 与点Q 重合时，根据翻折对称性可得 A′D ＝AD ＝5.在Rt △A ′CD 中，A ′D 2＝A′C 2＋CD 2， 即52＝(5－A′B)2＋32，解得A′B ＝1.如图2，当点P 与点B 重合时，根据翻折对称性可得A′B ＝AB ＝3. ∵3－1＝2，∴点A′在BC 边上可移动的最大距离为2. 故选B .6．如图所示，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，AC ＝5，将△ABC 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为DE ，则△ABE 的周长为7．第6题图 第7题图7．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6 cm ，AC ＝8 cm ，按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的C′点，那么△ADC′的面积是6_cm 2．8．如图，长方形ABCD 中，CD ＝6，BC ＝8，E 为CD 边上一点，将长方形沿直线BE 折叠，使点C 落在线段BD 上C′处，求DE 的长．解：∵在长方形ABCD 中，∠C ＝90°，DC ＝6，BC ＝8， ∴BD ＝62＋82＝10.由折叠可得BC ′＝BC ＝8，EC ′＝EC ，∠BC ′E ＝∠C ＝90°， ∴C ′D ＝2，∠DC ′E ＝90°. 设DE ＝x ，则C ′E ＝CE ＝6－x . 在Rt △C ′DE 中，x 2＝(6－x )2＋22， 解得x ＝103.∴DE 的长为103.类型2 利用勾股定理解决立体图形的最短路径问题9．如图是一个封闭的正方体纸盒，E 是CD 中点，F 是CE 中点，一只蚂蚁从一个顶点A 爬到另一个顶点G ，那么这只蚂蚁爬行的最短路线是(C )A ．A ⇒B ⇒C ⇒G B ．A ⇒C ⇒G C ．A ⇒E ⇒GD ．A ⇒F ⇒G10．如图，在一个长为2 m ，宽为1 m 的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和场地宽AD 平行且棱长大于AD ，木块从正面看是边长为0.2 m 的正方形，一只蚂蚁从点A 处到达点C 处需要走的最短路程是2.60m .(精确到0.01 m )第10题图第11题图11．(凉山中考)如图，圆柱形玻璃杯，高为18 cm，底面周长为24 cm，在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为20cm.12．一位同学要用彩带装饰一个长方体礼盒．长方体高6 cm，底面是边长为4 cm的正方形，从顶点A到顶点C′如何贴彩带用的彩带最短？最短长度是多少？解：把长方体的面DCC′D′沿棱CD展开至面ABCD上，如图．构成矩形ABC′D′，则A到C′的最短距离为AC′的长度，连结AC′交DC于O，易证△AOD≌△C′OC.∴OD＝OC，即O为DC的中点．由勾股定理得AC′2＝AD′2＋D′C′2＝82＋62＝100，∴AC′＝10 cm.即从顶点A沿直线到DC中点O(或A′B′中点O′)，再沿直线到顶点C′，贴的彩带最短，最短长度为10 cm.13．如图，一个长方体形状的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2)当AB＝4，BC＝4，CC1＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．解：(1)如图，木柜的表面展开图是两个矩形ABC′1D1和ACC1A1.蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图所示的AC′1和AC1两种．(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C′1，爬过的路径的长l1＝42＋（4＋5）2＝97；蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1，爬过的路径的长l2＝（4＋4）2＋52＝89. ∵l1>l2，∴最短路径的长是89.小专题(四) 全等三角形的基本模型类型1 平移型把△ABC 沿着某一条直线l 平行移动，所得到△DEF 与△ABC 称为平移型全等三角形．图1，图2是常见的平移型全等三角形．在证明平移型全等的试题中，常常要碰到移动方向的边加(减)公共边．如图1，若BE ＝CF ，则BE ＋EC ＝CF ＋CE ，即BC ＝EF.如图2，若BE ＝CF ，则BE －CE ＝CF －CE ，即BC ＝EF.1．如图，已知EF ∥MN ，EG ∥HN ，且FH ＝MG ，求证：△EFG ≌NMH.证明：∵EF ∥MN ，EG ∥HN ， ∴∠F ＝∠M ，∠EGF ＝∠NHM. ∵FH ＝MG ，∴FH ＋HG ＝MG ＋HG ， 即GF ＝HM.在△EFG 和△NMH 中，⎩⎨⎧∠F ＝∠M ，GF ＝HM ，∠EGF ＝∠NHM ，∴△EFG ≌△NMH(ASA )．2．(金华六校10月联考)如图，A 、B 、C 、D 四点在同一直线上，请你从下面四项中选出三个选项作为条件，余下一个作为结论，构成一个真命题，并进行证明.①AB ＝CD ；②∠ACE ＝∠D ；③∠EAG ＝∠FBG ；④AE ＝BF. 你选择的条件是：①②③，结论是：④．(填写序号)证明：∵∠EAG ＝∠FBG ， ∴∠EAD ＝∠FBD. ∵AB ＝CD ，∴AB ＋BC ＝BC ＋CD ， 即AC ＝BD.在△ACE 和△BDF 中，⎩⎨⎧∠ACE ＝∠D ，AC ＝BD ，∠EAD ＝∠FBD ，∴△ACE ≌△BDF(ASA)．类型2翻折型将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为翻折型全等三角形．此类图形中要注意其隐含条件，即公共边或公共角相等．3．(下城区校级期中)如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC与DE相交于点F，连结CD、EB.(1)不添加辅助线，找出图中其他的全等三角形；(2)求证：CF＝EF.解：(1)图中其他的全等三角形为：△ACD≌△AEB，△DCF≌△BEF.(2)证明：∵Rt△ABC≌Rt△ADE，∴AC＝AE，AD＝AB，∠CAB＝∠EAD.∴∠CAB－∠DAB＝∠EAD－∠DAB，即∠CAD＝∠EAB.∴△CAD≌△EAB.∴CD＝EB，∠ADC＝∠ABE.又∵∠ADE＝∠ABC，∴∠CDF＝∠EBF.又∵∠DFC＝∠BFE，∴△CDF≌△EBF(AAS)．∴CF＝EF.类型3旋转型将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形．识别旋转型三角形时，如图1，涉及对顶角相等；如图2，涉及等角加(减)等角的条件．4．已知：如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE.求证：AD＝AE.证明：∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAC＝∠DAE＝90°.∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.在△ABD和△ACE中，∠BAD＝∠CAE，AB＝AC，∠ABD＝∠ACE，∴△ABD≌△ACE.5．如图，△ABC ，△CDE 是等边三角形，B ，C ，E 三点在同一直线上．(1)求证：AE ＝BD ；(2)若BD 和AC 交于点M ，AE 和CD 交于点N ，求证：CM ＝CN ； (3)连结MN ，猜想MN 与BE 的位置关系，并加以证明． 解：(1)证明：∵△ABC 和△DCE 均为等边三角形， ∴AC ＝BC ，CE ＝CD ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°. ∴∠BCD ＝∠ACE ＝120°.在△ACE 和△BCD 中，⎩⎨⎧AC ＝BC ，∠ACE ＝∠BCD ，CE ＝CD ，∴△ACE ≌△BCD(SAS )． ∴AE ＝BD.(2)证明：∵△ACE ≌△BCD ，∴∠CBD ＝∠CAE.∵∠ACN ＝180°－∠ACB －∠DCE ＝60°， ∴∠BCM ＝∠ACN.在△BCM 和△ACN 中，⎩⎨⎧∠CBM ＝∠CAN ，CB ＝CA ，∠BCM ＝∠ACN ，∴△BCM ≌△ACN(ASA )． ∴CM ＝CN.(3)MN ∥BE.证明：∵CM ＝CN ，∠MCN ＝60°， ∴△MCN 为等边三角形． ∴∠CMN ＝60°. ∴∠CMN ＝∠ACB. ∴MN ∥BE.类型4 双垂型基本图形如图：此类图形通常告诉BD ⊥DE ，AB ⊥AC ，CE ⊥DE ，那么一定有∠B ＝∠CAE. 6．如图，AD ⊥AB 于点A ，BE ⊥AB 于点B ，点C 在AB 上，且CD ⊥CE ，CD ＝CE.求证：AD ＝CB.证明：∵AD ⊥AB ，BE ⊥AB ， ∴∠A ＝∠B ＝90°. ∴∠D ＋∠ACD ＝90°. ∵CD ⊥CE ，∴∠ACD ＋∠BCE ＝180°－90°＝90°. ∴∠D ＝∠BCE .在△ACD 和△BEC 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠B ，∠D ＝∠BCE ，CD ＝CE ，∴△ACD ≌△BEC (AAS)． ∴AD ＝CB . 7．如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，直线l 经过点A 且绕点A 在△ABC 所在平面内转动，作BD ⊥l ，CE ⊥l ，D 、E 为垂足．求证：DA ＋DB ＝2DE.证明：在l 上截取FA ＝DB ，连结CD 、CF.∵△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD ⊥l ， ∴AC ＝BC ，∠BDA ＝90°.∴∠CBD ＋∠CAD ＝360°－∠BDA －∠ACB ＝360°－90°－90°＝180°. 又∵∠CAF ＋∠CAD ＝180°， ∴∠CBD ＝∠CAF.在△CBD 和△CAF 中，⎩⎨⎧CB ＝CA ，∠CBD ＝∠CAF ，BD ＝AF ，∴△CBD ≌△CAF(SAS )． ∴CD ＝CF. ∵CE ⊥l ，∴DE ＝EF ＝12DF ＝12(DA ＋FA)＝12(DA ＋DB)．∴DA ＋DB ＝2DE.小专题(五) 一元一次不等式(组)的解法1．解下列不等式(组)：(1)(金华金东区期末)5x ＋3＜3(2＋x)； 解：去括号，得5x ＋3＜6＋3x. 移项，得5x －3x ＜6－3. 合并同类项，得2x ＜3. 系数化为1，得x ＜32.(2)(黄冈中考)x ＋12≥3(x －1)－4；解：去分母，得x ＋1≥6(x －1)－8. 去括号，得x ＋1≥6x －6－8. 移项，得x －6x ≥－6－8－1. 合并同类项，得－5x ≥－15. 两边都除以－5，得x ≤3.(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥2，①3（x ＋1）>x ＋5；② 解：由①，得x ≥1. 由②，得x>1.所以，不等式组的解集为x>1.(4)(莆田中考)⎩⎪⎨⎪⎧x －3（x －2）≥4，①1＋2x 3>x －1；②解：由①，得x ≤1.由②，得x ＜4.所以原不等式组的解集为x ≤1.(5)(金华金东区期末)⎩⎪⎨⎪⎧5x －2>3（x ＋1），①12x －1≤7－32x.② 解：解不等式①，得x ＞52.解不等式②，得x ≤4. 故不等式组的解集为52＜x ≤4.2．(苏州中考)解不等式2x －1＞3x －12，并把它的解集在数轴上表示出来．解：去分母，得4x －2＞3x －1. 移项，得4x －3x ＞2－1. 合并同类项，得x ＞1.将不等式解集表示在数轴上如图：3．(萧山区校级月考)解不等式x3<1－x －36，并求出它的非负整数解．解：去分母，得2x<6－(x －3)．去括号，得2x<6－x ＋3. 移项，得x ＋2x<6＋3. 合并同类项，得3x<9. 系数化为1，得x<3.所以，非负整数解为0，1，2.4．(杭州经济开发区期末)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥3（x －2），①x ＋113－1>－x.②并把它的解在数轴上表示出来．解：解不等式①，得x ≤1.解不等式②，得x ＞－2. ∴原不等式组的解为－2＜x ≤1. 在数轴上表示为：5．(十堰中考)x 取哪些整数值时，不等式5x ＋2＞3(x －1)与12x ≤2－32x 都成立？解：根据题意解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2>3（x －1），①12x ≤2－32x.② 解不等式①，得x ＞－52.解不等式②，得x ≤1. 所以－52＜x ≤1.故满足条件的整数有－2、－1、0、1.小专题(六) 一元一次不等式的实际应用1．建设“新丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的战略构想，强调相关各国要打造互利共赢的“利益共同体”和共同发展繁荣的“命运共同体”．某国有企业在“一带一路”的战略合作中，向东南亚销售A 、B 两种外贸产品共6万吨．已知A 种外贸产品每吨800元，B 种外贸产品每吨400元．若A 、B 两种外贸产品销售额不低于3 200万元，则至少销售A 产品多少万吨？解：设销售A 产品x 万吨．根据题意，得 800x ＋400(6－x)≥3 200. 解得x ≥2.答：至少销售A 产品2万吨．2．(来宾中考)已知购买一个足球和一个篮球共需130元，购买2个足球和一个篮球共需180元．(1)求每个足球和每个篮球的售价；(2)如果某校计划购买这两种球共54个，总费用不超过4 000元，问最多可买多少个篮球？ 解：(1)设每个足球的售价为x 元，每个篮球的售价为y 元．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝130，2x ＋y ＝180. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝80. 答：每个足球和每个篮球的售价分别为50元、80元． (2)设可购买z 个篮球．根据题意，得 50(54－z)＋80z ≤4 000.解得z ≤1303.∵z 取整数，∴z 最大可取43.答：最多可买43个篮球．3．2017年的5月20日是第17个中国学生营养日，我市某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况，他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息(如图)，若这份快餐中所含的蛋白质与碳水化合物的质量之和不高于这份快餐总质量的70%，这份快餐最多含有多少克的蛋白质？信 息1．快餐成分：蛋白质、脂肪、碳水化合物和其他． 2．快餐总质量为400克．3．碳水化合物质量是蛋白质质量的4倍．解：设这份快餐含有x 克的蛋白质．根据题意，得x ＋4x ≤400×70%.解得x ≤56.答：这份快餐最多含有56克的蛋白质．4．(玉林中考)蔬菜经营户老王近两天经营的是青菜和西兰花．(1)昨天的青菜和西兰花的进价和售价如下表，老王用600元批发青菜和西兰花共200市斤，当天售完后老王一共能赚多少钱？(2)今天因进价不变，老王仍用10%，而西兰花没有损坏仍按昨天的售价销售，要想当天售完后所赚的钱不少于昨天所赚的钱，请你帮老王计算，应怎样给青菜定售价？(精确到0.1元)解：(1) 设老王批发青菜x 市斤，西兰花y 市斤，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝200，2.8x ＋3.2y ＝600.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100，y ＝100. (4－2.8)×100＋(4.5－3.2)×100＝250(元)． 答：当天售完后老王一共能赚250元钱． (2)设青菜的售价定为a 元，根据题意，得 100×(1－10%)a ＋4.5×100－600≥250. 解得a ≥409≈4.44.答：青菜售价至少定为4.5元/市斤．小专题(七) 一次函数的图象与性质类型1 一次函数的图象与字母系数的关系1．在平面直角坐标系中，正比例函数y ＝kx(k<0)的图象可能是(C )2．(怀化中考)一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)在平面直角坐标系中的图象如图所示，则k 和b 的取值范围是(C )A ．k ＞0，b ＞0B ．k ＜0，b ＜0C ．k ＜0，b ＞0D ．k ＞0，b ＜0第2题图 第3题图3．(江山期末)已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象如图所示，则下列语句中不正确的是(B )A ．函数值y 随x 的增大而增大B ．当x ＞0时，y ＞0C ．k ＋b ＝0D ．kb ＜04．已知函数y ＝kx ＋b 的图象如图，则y ＝2kx ＋b 的图象可能是(C )5．已知一次函数y ＝(2k －1)x ＋b －1的图象经过第一、二、四象限，则k ，b 的取值范围为(B )A ．k>12，b>1B ．k<12，b>1C ．k>12，b<1D ．k<12，b<16．对于一次函数y ＝kx ＋b ，其中b 实际是该函数的图象与y 轴交点的纵坐标．在画图实践中我们发现当k>0，b>0时，其图象经过第一、二、三象限．请你随意画几个一次函数的图象继续探究：(1)当b>0时，图象与y 轴的交点在x 轴上方；当b<0时，图象与y 轴的交点在x 轴下方；(2)当k 、b 取何值时，图象经过第一、三、四象限？第一、二、四象限？第二、三、四象限？请写出你的探究结论和同伴交流．解：当k>0，b<0时，图象经过第一、三、四象限； 当k<0，b>0时，图象经过第一、二、四象限； 当k<0，b<0时，图象经过第二、三、四象限．7．一次函数y ＝mx ＋n 的图象如图所示．(1)试化简代数式：m 2－|m －n|；(2)若点(－2，a)，(3，b)在函数图象上，比较a ，b 的大小．解：(1)由图象可知，m ＜0，n ＞0， 所以m －n<0.所以m 2－|m －n|＝－m ＋m －n ＝－n.(2)因为一次函数y ＝mx ＋n 的图象从左往右逐渐下降， 所以y 随x 的增大而减小．又因为点(－2，a)，(3，b)在函数图象上，且－2＜3，所以a ＞b.类型2 一次函数图象上点的坐标特征8．(遂宁中考)直线y ＝2x －4与y 轴的交点坐标是(D )A ．(4，0)B ．(0，4)C ．(－4，0)D ．(0，－4)9．一次函数y ＝5x －2的图象经过点A(1，m)，如果点B 与点A 关于y 轴对称，那么点B 所在的象限是(B )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．已知点(－2，y 1)，(－1，y 2)，(1，y 3)都在直线y ＝－3x ＋2上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是(A )A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＞y 3＞y 2C ．y 2＞y 3＞y 1D ．y 3＞y 2＞y 111．(钦州中考)一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)的图象经过A(1，0)和B(0，2)两点，则它的图象不经过第三象限．12．(株洲中考)已知直线y ＝2x ＋(3－a)与x 轴的交点在A(2，0)，B(3，0)之间(包括A ，B 两点)，则a 的取值范围是7≤a ≤9．类型3 一次函数表达式的确定13．(金华金东区期末)将直线y ＝2x 向右平移2个单位长度所得的直线的表达式是(C )A ．y ＝2x ＋2B ．y ＝2x －2C ．y ＝2(x －2)D ．y ＝2(x ＋2)14．如图，A 、B 两点在坐标平面上，已知A(－3，0)，B(0，－4)，那么直线AB 关于y 轴对称的直线表达式为(B )A ．y ＝－43x －4B ．y ＝43x －4C ．y ＝43x ＋4D ．y ＝－43x ＋415．(江山期末)一次函数的图象经过M(3，2)，N(－1，－6)两点．(1)求函数表达式；(2)请判定点A(1，－2)是否在该一次函数图象上，并说明理由． 解：(1)设y ＝kx ＋b(k ≠0)，将点(3，2)(－1，－6)代入，得⎩⎨⎧2＝3k ＋b ，－6＝－k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－4. ∴y ＝2x －4.(2)当x ＝1时，y ＝2×1－4＝－2， ∴点A(1，－2)在一次函数图象上．16．(益阳中考)如图，直线l 上有一点P 1(2，1)，将点P 1先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到像点P 2，点P 2恰好在直线l 上．(1)写出点P 2的坐标；(2)求直线l 所表示的一次函数的表达式；(3)若将点P 2先向右平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度得到像点P 3.请判断点P 3是否在直线l 上，并说明理由．解：(1)P 2(3，3)．(2)设直线l 所表示的一次函数的表达式为y ＝kx ＋b(k ≠0)． 因为点P 1(2，1)，P 2(3，3)在直线l 上，所以⎩⎨⎧2k ＋b ＝1，3k ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－3.所以直线l 所表示的一次函数的表达式为y ＝2x －3.(3)点P 3在直线l 上．由题意知点P 3的坐标为(6，9)． 因为2×6－3＝9， 所以点P 3在直线l 上．小专题(八) 一次函数与方程、不等式的综合应用类型1 一次函数与一元一次方程的综合应用 1．方程2x ＋12＝0的解是直线y ＝2x ＋12(C )A ．与y 轴交点的横坐标B ．与y 轴交点的纵坐标C ．与x 轴交点的横坐标D ．与x 轴交点的纵坐标2．已知方程kx ＋b ＝0的解是x ＝3，则函数y ＝kx ＋b 的图象可能是(C )A B C D3．一次函数y ＝kx ＋b(k ，b 为常数，且k ≠0)的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx ＋b ＝0的解为(A )A ．x ＝－1B ．x ＝2C ．x ＝0D ．x ＝3第3题图 第4题图4．如图，已知直线y ＝3x ＋b 与y ＝ax －2的交点的横坐标为－2，则关于x 的方程3x ＋b ＝ax －2的解为x ＝－2． 5．已知方程3x ＋9＝0的解是x ＝－3，则函数y ＝3x ＋9与x 轴的交点坐标是(－3，0)，与y 轴的交点坐标是(0，9)．类型2 一次函数与二元一次方程组的综合应用6．如图，已知函数y ＝ax ＋b 和y ＝kx 的图象交于点P ，则根据图象可得关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋b ，y ＝kx 的解是(B )A .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－4B .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4y ＝－2 C .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－4D .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4y ＝2第6题图 第7题图7．如图，两条直线l 1和l 2的交点坐标可以看作下列哪个方程组中的解(B )A .⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1y ＝x ＋2B .⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3y ＝3x －5C .⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋1y ＝x －1D .⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋1y ＝x ＋1 8．体育课上，20人一组进行足球比赛，每人射点球5次，已知某一组的进球总数为49个，进球情况记录如下表，其中进2个球的有x 人，进3个球的有y 人，若(x ，y)恰好是两条直线的交点坐标，则这两条直线的表达式是(C )A .y ＝x ＋9与y ＝23x ＋223B ．y ＝－x ＋9与y ＝23x ＋223C ．y ＝－x ＋9与y ＝－23x ＋223D ．y ＝x ＋9与y ＝－23x ＋2239．利用一次函数的图象解二元一次方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，2x －y ＝5.解：根据图象可得出方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋1，y ＝2x －5的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.10.在平面直角坐标系中，直线l 1经过点(2，3)和点(－1，－3)，直线l 2经过原点O ，且与直线l 1交于点P(－2，a)．(1)求a 的值；(2)(－2，a)可看成怎样的二元一次方程组的解？(3)设直线l 1与y 轴交于点A ，试求出△APO 的面积． 解：(1)设直线l 1的表达式为y ＝kx ＋b ， ∵直线l 1经过(2，3)和(－1，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝3，－k ＋b ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－1. ∴直线l 1的表达式为y ＝2x －1.把P(－2，a)代入y ＝2x －1，得a ＝2×(－2)－1＝－5.(2)设直线l 2的表达式为y ＝mx ，把P(－2，－5)代入，得－5＝－2m ，解得m ＝52.∴直线l 2的表达式为y ＝52x.∴(－2，－5)可以看作是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝52x 的解．(3)对于y ＝2x －1，令x ＝0，解得y ＝－1，则A 点坐标为(0，－1)． ∴S △APO ＝12×2×1＝1.11．(青岛中考)甲、乙两人进行赛跑，甲比乙跑得快，现在甲让乙先跑10米，甲再起跑．图中l 1和l 2分别表示甲、乙两人跑步的路程y(m )与甲跑步的时间x(s )之间的函数关系，其中l 1的关系式为y 1＝8x ，问甲追上乙用了多长时间？解：设l 2的关系式为y 2＝kx ＋b(k ≠0)，根据题意，可得方程组⎩⎪⎨⎪⎧10＝b ，22＝2k ＋b.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝6，b ＝10.∴y 2＝6x ＋10.当y 1＝y 2时，8x ＝6x ＋10，解得x ＝5.答：甲追上乙用了5 s .类型3 一次函数与不等式的综合应用12．一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)的图象如图所示，当kx ＋b ＜0时，x 的取值范围是(D )A ．x ＜0B ．x ＞0C ．x ＜2D ．x ＞2第12题图 第14题图 13．对于函数y ＝－x ＋4，当x ＞－2时，y 的取值范围是(D )A ．y ＜4B ．y ＞4C ．y ＞6D ．y ＜614．如图，函数y ＝2x －4与x 轴、y 轴分别交于点(2，0)，(0，－4)，当－4＜y ＜0时，x 的取值范围是(C )A ．x ＜－1B ．－1＜x ＜0C ．0＜x ＜2D ．－1＜x ＜215．(杭州开发区期末)一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)的图象如图所示，当y ＜0时，自变量x 的取值范围是(A )A ．x ＜－2B ．x ＞－2C ．x ＞2D ．x ＜2第15题图 第16题图16．(绍兴五校联考期末)直线l 1：y ＝k 1x ＋b 与直线l 2：y ＝k 2x ＋c 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k 1x ＋b<k 2x ＋c 的解集为x<1．17．已知函数y 1＝kx －2和y 2＝－3x ＋b 相交于点A(2，－1)．(1)求k 、b 的值，在同一坐标系中画出两个函数的图象；(2)利用图象求出：当x 取何值时有：①y 1<y 2；②y 1≥y 2；(3)利用图象求出：当x 取何值时有：①y 1<0且y 2<0；②y 1>0且y 2<0. 解：(1)k ＝12，b ＝5.图象略．(2)①当x<2时，y 1<y 2. ②当x ≥2时，y 1≥y 2.(3)①当53<x<4时，y 1<0且y 2<0.②当x>4时，y 1>0且y 2<0.小专题(九)分段函数1．某蓄水池的横断面示意图如图所示，分深水区和浅水区，如果这个注满水的蓄水池以固定的流量把水全部放出，下面的图象能大致表示水的深度h和放水时间t之间的关系的是(A )第1题图第2题图2．如图是某复印店复印收费y(元)与复印面数(8开纸)x(面)的函数图象，那么从图象中可看出，复印超过100面的部分，每面收费(A )A．0.4元B．0.45 元C．约0.47元D．0.5元3．如图是某工程队在一项修筑公路的工程中，修筑的公路长度y(米)与时间x(天)之间的关系函数(图象为折线)．根据图象提供的信息，可知到第七天止，该工程队修筑的公路长度为(D )A．630米B．504米C．480米D．450米第3题图第4题图4．(绍兴五校联考期末)小波、小威从学校出发到青少年宫参加书法比赛，小波步行一段时间后，小威骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行．他们的路程差s(米)与小波出发时间t(分)之间的函数关系如图所示．下列说法：①小威先到达青少年宫；②小威的速度是小波速度的2.5倍；③a＝24；④b＝480.其中正确的是(B ) A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④5．(江山期末)在全民健身环城越野赛中，甲、乙两选手的行程y(千米)随时间x(小时)变化的图象(全程)如图所示．有下列说法：①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②第1小时两人都跑了10千米；③甲比乙先到达终点；④两人都跑了20千米．。
人教版八年级数学上册期末考试综合复习练习题(含答案)
人教版八年级数学上册期末考试综合复习练习题（含答案）一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共 30分。
下列各题，每小题只有一个选项符合题意。
）1. 下面四个图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D.2. 熔喷布，俗称口罩的“心脏”，是口罩中间的过滤层，能过滤细菌，阻止病菌传播．经测量，医用外科口罩的熔喷布厚度约为0.000156米，将0.000156用科学记数法表示应为（ ）A. 30.15610-⨯B. 31.5610-⨯C. 41.5610-⨯D. 415.610-⨯3. 下列计算正确的是（ ）A. x •x 3=x 4B. x 4+x 4=x 8C. （x 2）3=x 5D. x ﹣1=﹣x 4. 若分式224x x +-有意义，则x 的取值范围是（ ） A. x ≠2 B. x ≠±2 C. x ≠﹣2 D. x ≥﹣25. 已知正多边形的一个内角是135°，则这个正多边形的边数是（ ）A. 3B. 4C. 6D. 86. 若点A （﹣3，a ）与B （b ，2）关于x 轴对称，则点M （a ，b ）所在的象限是（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限7. 如图，已知∠ABD =∠BAC ，添加下列条件还不能判定△ABC ≌△BAD 的依据是（ ）A. AC =BDB. ∠DAB =∠CBAC. ∠C =∠DD. BC =AD8. 计算a ﹣2b 2•（a 2b ﹣2）﹣2正确的结果是（ ） A. 66a b B. 66b a C. a 6b 6 D. 661a b9. 如图，等边ABC ∆的边长为4，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E 是AC 边上一点，若2AE =，当EF CF +取得最小值时，则ECF ∠的度数为（ ）A. 15︒B. 22.5︒C. 30D. 45︒10. 瓜达尔港是我国实施“一带一路”战略构想的重要一步，为了增进中巴友谊，促进全球经济一体化发展，我国施工队预计把距离港口420km 的普通公路升级成同等长度的高速公路，升级后汽车行驶的平均速度比原来提高50％，行驶时间缩短2h ，那么汽车原来的平均速度为（ ）A. 80km/hB. 75km/hC. 70km/hD. 65km/h二.填空题(共5题，总计 15分)11. 分解因式：5x 4﹣5x 2＝________________．12. 若4,8x y a b ==，则232x y -可表示为________（用含a 、b 的代数式表示）．13. 若△ABC ≌△DEF ，△ABC 的周长为100，AB ＝30，DF ＝25，则BC 为 ________．14. 如图，DE AB ⊥于E ，AD 平分BAC ∠，BD DC =，10AC =cm ，6AB =cm ，则AE =______．15. 如图，△ABC 中，∠BAC =60°，∠BAC 的平分线AD 与边BC 的垂直平分线MD 相交于D ，DE ⊥AB 交AB 的延长线于E ，DF ⊥AC 于F ，现有下列结论：①DE =DF ；②DE +DF =AD ；③DM 平分∠EDF ；④AB +AC =2AE ；其中正确的有________．（填写序号）三.解答题(共8题，总计75分)16. （1）计算：()32(2)32x x x x ---； （2）分解因式：229()()6()x x y y y x xy y x ---+-；17. 先化简，再求值：221x 4x 41x 1x 1-+⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭，其中x=3．18. 如图，在平面直角坐标系中，A(1，2)，B(3，1)，C(-2，-1)．（1）在图中作出关于y 轴对称的111A B C △．（2）写出点111,,A B C 的坐标（直接写答案）．（3）111A B C △的面积为___________19. 如图，已知BF ⊥AC 于F ，CE ⊥AB 于E ，BF 交CE 于D ，且BD ＝CD ，求证：点D 在∠BAC 的平分线上．20. 如图，直线m 是中BC 边的垂直平分线，点P 是直线m 上的一动点，若6AB =，4AC =，7BC =．（1）求PA PB +的最小值，并说明理由．（2）求APC △周长的最小值．21. [阅读理解]我们常将一些公式变形，以简化运算过程．如：可以把公式“()2222a b a ab b +=++”变形成()2222a b a b ab +=+-或()()2222ab a b a b =+-+等形式，问题：若x 满足()()203010x x --=，求()()222030x x -+-的值． 我们可以作如下解答；设20a x =-，30b x =-，则()()203010x x ab --==， 即：()()2030203010a b x x +=-+-=-=-．所以()()()()222222203021021080x x a b a b ab -+-=+=+-=--⨯=． 请根据你对上述内容的理解，解答下列问题：（1）若x 满足()()807010x x --=-，求()()228070x x -+-的值． （2）若x 满足()()22202020174051x x -+-=，求()()20202017x x --的值．22. 一水果店主分两批购进某一种水果，第一批所用资金为2400元，因天气原因，水果涨价，第二批所用资金是2700元，但由于第二批单价比第一批单价每箱多10元，以致购买的数量比第一批少25%．（1）该水果店主购进第一批这种水果的单价是多少元？（2）该水果店主计两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降a %销售，结果还是出现了20%的损耗，但这两批水果销售完后仍赚了不低于1716元，求a 的最大值．23. 如图，已知和均为等腰三角形，AB AC =，AD AE =，将这两个三角形放置在一起，使点B ，D ，E 在同一直线上，连接CE ．（1）如图1，若50ABC ACB ADE AED ∠=∠=∠=∠=︒，求证：BAD CAE ≌；（2）在（1）的条件下，求BEC ∠的度数；拓广探索：（3）如图2，若120CAB EAD ∠=∠=︒，4BD =，CF 为BAD 中BE 边上的高，请直接写出BEC ∠的度数和EF 的长度。
人教版八年级上册数学期末常考题型复习训练 含答案
人教版八年级上册数学期末常考题型复习训练一．选择题1．在“回收”、“节水”、“绿色食品”、“低碳”四个标志图案中．轴对称图形是（）A．B．C．D．2．已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（）A．16B．11C．3D．63．分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠1B．x＝1C．x≠﹣1）D．x＝﹣14．点M（1，2）关于y轴对称点的坐标为（A．（﹣1，2）5．下列运算正确的是（A．a3•a4＝a12B．（﹣1，﹣2）C．（1，﹣2）D．（2，﹣1））B．（a3）2＝a5D．a6÷a3＝a2C．（3a2）3＝27a66．如图，已知∠A CB＝∠DB C，添加以下条件，不能判定△AB C≌△D CB的是（）A．∠AB C＝∠D C B B．∠AB D＝∠D C A C．AC＝D B 7．若x2+mxy+4y2是一个完全平方式，那么m的值是（A．±4B．﹣2C．±2D．AB＝D C D．4）8．如图，△AB C为等边三角形，AE＝C D，A D、BE相交于点P，B Q⊥A D于Q，P Q＝3，PE＝1．A D的长是（）A ．5 9．从边长为a 的正方形内去掉一个边长为 b 的小正方形（如图1），然后将剩余部分剪拼成 一个矩形（如图 2），上述操作所能验证的等式是（B ．6C ．7D ．8）A ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab+b 2 C ．（a+b ）2＝a 2+2ab+b 2B ．a 2﹣b 2＝（a+b ）（a ﹣b ） D ．a 2+ab ＝a （a+b ）10．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（ ）A ．60°B ．120°C ．60°或 150°D ．60°或 120°二．填空题11．计算：（6x 4﹣8x 3）÷（﹣2x 2）＝ 12．若分式的值为零，则 x 的值为．．13．禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为 0.000000102m ，将 0.000000102 用科学记数 法表示为14．如果一个多边形的每个外角都等于 60°，则这个多边形的边数是15．如图，已知△ABC 是等边三角形，点 B 、C 、D 、E 在同一直线上，且 C G ＝C D ，DF ＝ D E ，则∠E ＝度．．．16．已知 2 ＝a ，32 ＝b ，y 为正整数，则 23 +10 ＝．x y x y 17．若 a ﹣b ＝1，ab ＝2，那么 a+b 的值为 ．18．繁昌到南京大约150 千米，由于开通了高铁，动车的的平均速度是汽车的2.5 倍，这样 乘动车到南京比坐汽车就要节省 1.2 小时，设汽车的平均速度为 x 千米/时，根据题意列 出方程19．如图，在△AB C 中，AB ＝3，A C ＝4，BC ＝5，EF 垂直平分 BC ，点 P 为直线 EF 上一 动点，则△ABP 周长的最小值是．．20．如图所示，第1个图案是由黑白两种颜色的正六边形地面砖组成，第2个，第3个图案可以看作是第1个图案经过平移而得，那么设第n个图案中有白色地面砖m块，则m与n的函数关系式是．三．解答题32﹣121．计算：20200﹣（）+2÷（﹣2）22．解方程：．23．如图，点E、F在BC上，BE＝FC，AB＝D C，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．24．先化简，再求值：÷（x﹣2﹣），其中x＝3．25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，C D是AB边上的高，（1）尺规作图：作△ABC的角平分线AE，交C D于点F（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：△CEF为等腰三角形．26．某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．这项工程的规定时间是多少天？27．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形B，C，E在同一条直线上，连结D C．（1）请找出图②中的全等三角形，并给予说明（注意：结论中不得含有未标识的字母）；（2）请判断D C与BE的位置关系，并证明；（3）若CE＝2，B C＝4，求△D C E的面积．28．如图（1）AC⊥AB，B D⊥AB，AB＝12cm，AC＝B D＝8cm，点P在线段AB上以2cm/s 的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段B D上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝2时，△ACP与△BP Q是否全等，请说明理由；（2）在（1）的条件下，判断此时线段PC和线段P Q的位置关系，并证明；（3）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，B D⊥AB”改为“∠C AB＝∠DBA＝50°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BP Q全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题1．解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、是轴对称图形，故此选项符合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不合题意．故选：C．2．解：设第三边的长度为x，由题意得：7﹣3＜x＜7+3，即：4＜x＜10，故选：D．3．解：根据题意可得x﹣1≠0；解得x≠1；故选：A．4．解：点M（1，2）关于y轴对称点的坐标为（﹣1，2）．故选：A．5．解：A．a3•a4＝a7，故本选项不合题意；B．（a3）2＝a6，故本选项不合题意；C．（3a2）3＝27a6，正确，故选项C符合题意；D．a6÷a3＝a3，故本选项不合题意．故选：C．6．解：A、∵在△ABC和△D C B中∴△ABC≌△D C B（ASA），故本选项不符合题意；B、∵∠AB D＝∠D C A，∠DB C＝∠ACB，∴∠AB D+∠DB C＝∠AC D+∠A CB，即∠ABC＝∠D C B，∵在△ABC和△D C B中∴△ABC≌△D C B（ASA），故本选项不符合题意；C、∵在△AB C和△D C B中∴△ABC≌△D C B（SAS），故本选项不符合题意；D、根据∠ACB＝∠DB C，B C＝B C，AB＝D C不能推出△ABC≌△D C B，故本选项符合题意；故选：D．7．解：∵x2+mxy+4y2＝x2+mxy+（2y）2，∴mxy＝±2x•2y，解得：m＝±4．故选：A．8．解：∵△AB C为等边三角形，∴AB＝CA，∠BAE＝∠AC D＝60°；又∵AE＝C D，在△ABE和△CAD中，，∴△ABE≌△CAD（SAS）；∴BE＝A D，∠CA D＝∠ABE；∴∠BP Q＝∠ABE+∠BA D＝∠BA D+∠CA D＝∠BAE＝60°；∵B Q⊥A D，∴∠A QB＝90°，则∠PB Q＝90°﹣60°＝30°；∵P Q＝3，∴在Rt△BP Q中，BP＝2P Q＝6；又∵PE＝1，∴A D＝BE＝BP+PE＝7．故选：C．9．解：∵从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形，剩余部分的面积是：a2﹣b2，拼成的矩形的面积是：（a+b）（a﹣b），2∴根据剩余部分的面积相等得：a﹣b＝（a+b）（a﹣b），2故选：B．10．解：当高在三角形内部时（如图1），顶角是60°；当高在三角形外部时（如图2），顶角是120°．故选：D．二．填空题11．解；原式＝6x4÷（﹣2x2）﹣8x3÷（﹣2x2）＝﹣3x+4x，2故答案为：﹣3x+4x．212．解：，则|x|﹣1＝0，即x＝±1，且x+1≠0，即x≠﹣1．故x＝1．故若分式的值为零，则x的值为1．13．解：0.000000102＝1.02×10﹣7．故答案为：1.02×10．﹣714．解：360°÷60°＝6．故这个多边形是六边形．故答案为：6．15．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∠AC D＝120°，∵C G＝C D，∴∠C D G＝30°，∠F DE＝150°，∵DF＝DE，∴∠E＝15°．故答案为：15．16．解：∵32y＝b，∴（2）＝2＝b5y5y∴23x+10y＝2•2＝（2）•（2）＝a b．3x10y x35y232故答案为：a b．3217．解：把a﹣b＝1，两边平方得：（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝1，把ab＝2代入得：a+b＝5，22∴（a+b）＝a+b+2ab＝9，222则a+b＝±3，故答案为：±318．解：设原来火车的平均速度为x千米/时，则动车运行后的平均速度为1.8x，由题意得，故答案为：＝＝+1.2．+1.2．19．解：∵EF垂直平分BC，∴B、C关于EF对称，连接AC交EF于D，∴当P和D重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长，∴△ABP周长的最小值是4+3＝7．故答案为：7．20．解：首先发现：第一个图案中，有白色的是6个，后边是依次多4个．所以第n个图案中，是6+4（n﹣1）＝4n+2．∴m与n的函数关系式是m＝4n+2．故答案为：4n+2．三．解答题21．解：原式＝1﹣3+8÷4＝1﹣3+2＝0．22．解：去分母得：2＝x2+2x﹣x2+4，解得：x＝﹣1，经检验x＝﹣1是分式方程的解．23．证明：∵BE＝FC，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE；又∵AB＝D C，∠B＝∠C，∴△ABF≌△D C E（SAS），∴∠A＝∠D．＝＝＝÷•．当x＝3时，原式＝1．25．（1）解：如图线段AE即为所求；（2）证明：∵CD⊥AB，∴∠B D C＝∠ACB＝90°，∴∠AC D+∠D C B＝90°，∠D CB+∠B＝90°，∴∠AC D＝∠B，∵∠CFE＝∠ACF+∠CAF，∠CEF＝∠B+∠EAB，∠CAF＝∠EAB，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．26．解：设这项工程的规定时间是x天，根据题意得解得：x＝30．经检验x＝30是方程的解．答：这项工程的规定时间是30天．27．解：（1）△ABE≌△AC D，∵△ABC和△A D E是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AE＝A D，∠BA C＝∠EA D＝90°，∴∠BAC+∠EA C＝∠DAE+∠EA C，∴∠BAE＝∠CAD，在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD（SAS）．（2）∵△ABE≌△AC D，∴∠AEB＝∠A D C．∵∠A D C+∠AF D＝90°，∴∠AEB+∠AF D＝90°．∵∠AF D＝∠CFE，∴∠AEB+∠CFE＝90°，∴∠FCE＝90°，∴D C⊥BE；（3）∵CE＝2，B C＝4，∴BE＝6，∵△ABE≌△ACD，∴C D＝BE＝6，∴△D CE的面积＝CE•C D＝×2×6＝6．28．解：（1）△AC P与△BP Q全等，理由如下：当t＝2时，AP＝B Q＝4cm，则BP＝12﹣4＝8cm，∴BP＝AC＝8cm，又∵∠A＝∠B＝90°，在△ACP和△BPQ中，，∴△ACP≌△BPQ（SAS）．（2）PC⊥P Q，证明：∵△ACP≌△BP Q，∴∠ACP＝∠BPQ，∴∠APC+∠BP Q＝∠APC+∠ACP＝90°．∴∠CP Q＝90°，即线段PC与线段P Q垂直．（3）①若△ACP≌△BP Q，则AC＝BP，AP＝B Q，∴12﹣2t＝8，解得，t＝2（s），则x＝2（cm/s）．②若△ACP≌△BQ P，则AC＝B Q，AP＝BP，则2t＝×12，解得，t＝3（s），则x＝8÷3＝（cm/s），故当t＝2s，x＝2cm/s或t＝3s，x＝cm/s时，△AC P与△BP Q全等．∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．26．解：设这项工程的规定时间是x天，根据题意得＝1．解得：x＝30．经检验x＝30是方程的解．答：这项工程的规定时间是30天．27．解：（1）△ABE≌△AC D，∵△ABC和△A D E是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AE＝A D，∠BA C＝∠EA D＝90°，∴∠BAC+∠EA C＝∠DAE+∠EA C，∴∠BAE＝∠CAD，在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD（SAS）．（2）∵△ABE≌△AC D，∴∠AEB＝∠A D C．∵∠A D C+∠AF D＝90°，∴∠AEB+∠AF D＝90°．∵∠AF D＝∠CFE，∴∠AEB+∠CFE＝90°，∴∠FCE＝90°，∴D C⊥BE；（3）∵CE＝2，B C＝4，∴BE＝6，∵△ABE≌△ACD，∴C D＝BE＝6，∴△D CE的面积＝CE•C D＝×2×6＝6．28．解：（1）△AC P与△BP Q全等，理由如下：当t＝2时，AP＝B Q＝4cm，则BP＝12﹣4＝8cm，∴BP＝AC＝8cm，又∵∠A＝∠B＝90°，在△ACP和△BPQ中，，∴△ACP≌△BPQ（SAS）．（2）PC⊥P Q，证明：∵△ACP≌△BP Q，∴∠ACP＝∠BPQ，∴∠APC+∠BP Q＝∠APC+∠ACP＝90°．∴∠CP Q＝90°，即线段PC与线段P Q垂直．（3）①若△ACP≌△BP Q，则AC＝BP，AP＝B Q，∴12﹣2t＝8，解得，t＝2（s），则x＝2（cm/s）．②若△ACP≌△BQ P，则AC＝B Q，AP＝BP，则2t＝×12，解得，t＝3（s），则x＝8÷3＝（cm/s），故当t＝2s，x＝2cm/s或t＝3s，x＝cm/s时，△AC P与△BP Q全等．∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．26．解：设这项工程的规定时间是x天，根据题意得＝1．解得：x＝30．经检验x＝30是方程的解．答：这项工程的规定时间是30天．27．解：（1）△ABE≌△AC D，∵△ABC和△A D E是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AE＝A D，∠BA C＝∠EA D＝90°，∴∠BAC+∠EA C＝∠DAE+∠EA C，∴∠BAE＝∠CAD，在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD（SAS）．（2）∵△ABE≌△AC D，∴∠AEB＝∠A D C．∵∠A D C+∠AF D＝90°，∴∠AEB+∠AF D＝90°．∵∠AF D＝∠CFE，∴∠AEB+∠CFE＝90°，∴∠FCE＝90°，∴D C⊥BE；（3）∵CE＝2，B C＝4，∴BE＝6，∵△ABE≌△ACD，∴C D＝BE＝6，∴△D CE的面积＝CE•C D＝×2×6＝6．28．解：（1）△AC P与△BP Q全等，理由如下：当t＝2时，AP＝B Q＝4cm，则BP＝12﹣4＝8cm，∴BP＝AC＝8cm，又∵∠A＝∠B＝90°，在△ACP和△BPQ中，，∴△ACP≌△BPQ（SAS）．（2）PC⊥P Q，证明：∵△ACP≌△BP Q，∴∠ACP＝∠BPQ，∴∠APC+∠BP Q＝∠APC+∠ACP＝90°．∴∠CP Q＝90°，即线段PC与线段P Q垂直．（3）①若△ACP≌△BP Q，则AC＝BP，AP＝B Q，∴12﹣2t＝8，解得，t＝2（s），则x＝2（cm/s）．②若△ACP≌△BQ P，则AC＝B Q，AP＝BP，则2t＝×12，解得，t＝3（s），则x＝8÷3＝（cm/s），故当t＝2s，x＝2cm/s或t＝3s，x＝cm/s时，△AC P与△BP Q全等．∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．26．解：设这项工程的规定时间是x天，根据题意得＝1．解得：x＝30．经检验x＝30是方程的解．答：这项工程的规定时间是30天．27．解：（1）△ABE≌△AC D，∵△ABC和△A D E是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AE＝A D，∠BA C＝∠EA D＝90°，∴∠BAC+∠EA C＝∠DAE+∠EA C，∴∠BAE＝∠CAD，在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD（SAS）．（2）∵△ABE≌△AC D，∴∠AEB＝∠A D C．∵∠A D C+∠AF D＝90°，∴∠AEB+∠AF D＝90°．∵∠AF D＝∠CFE，∴∠AEB+∠CFE＝90°，∴∠FCE＝90°，∴D C⊥BE；（3）∵CE＝2，B C＝4，∴BE＝6，∵△ABE≌△ACD，∴C D＝BE＝6，∴△D CE的面积＝CE•C D＝×2×6＝6．28．解：（1）△AC P与△BP Q全等，理由如下：当t＝2时，AP＝B Q＝4cm，则BP＝12﹣4＝8cm，∴BP＝AC＝8cm，又∵∠A＝∠B＝90°，在△ACP和△BPQ中，，∴△ACP≌△BPQ（SAS）．（2）PC⊥P Q，证明：∵△ACP≌△BP Q，∴∠ACP＝∠BPQ，∴∠APC+∠BP Q＝∠APC+∠ACP＝90°．∴∠CP Q＝90°，即线段PC与线段P Q垂直．（3）①若△ACP≌△BP Q，则AC＝BP，AP＝B Q，∴12﹣2t＝8，解得，t＝2（s），则x＝2（cm/s）．②若△ACP≌△BQ P，则AC＝B Q，AP＝BP，则2t＝×12，解得，t＝3（s），则x＝8÷3＝（cm/s），故当t＝2s，x＝2cm/s或t＝3s，x＝cm/s时，△AC P与△BP Q全等．。
北师大版数学八年级上册全册复习
例4 李老师让同学们讨论这样一个问题，如图1－3所示，有 一个长方体盒子，底面正方形的边长为2 cm，高为3 cm，在长
方体盒子下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面的F点处
的食物，则怎样爬行路程最短？最短路程是多少？
过了一会，李老师问同学们答案，甲生说：先由A点到B点， 再走对角线BF；乙生说：我认为应由A先走对角线AC，再走C到F 点；丙生说：将长方形ABCD与长方形BEFC展开成长方形AEFD， 利用勾股定理求AF的长；丁生说：将长方形ABCD与正方形CFGD 展开成长方形ABFG，利用勾股定理求AF的长．你认为哪位同学
则BF＝BC＋CF＝3＋2＝5(cm)，AB＝2 cm，连接AF，在 Rt△ABF中，AF2＝BF2＋AB2＝52＋22＝29≈5.392，
∴AF＝5.39 cm.连接AC， ∵AF<AC＋CF，
∴丁的方法比乙的好． 比较丙生与丁生的计算结果，知丙生的说法正确．
图1－4
图1－5
方法技巧
最短路径问题是勾股定理在立体几何中的应用，一般做法 是把长方体(或其他几何体)侧面展开，将立体图形问题转化为 平面图形问题，再根据两点之间线段最短，用勾股定理求解．
图1－19
15.一个棱长为6的木箱(如图1－20)，一只苍蝇位于左面的壁 上，且到该面上两侧棱距离相等的A处．一只蜘蛛位于右面壁上 ，且到该面与上、下底面两交线的距离相等的B处．已知A到下 底面的距离AA′＝4，B到一个侧面的距离BB′＝4，则蜘蛛沿这 个立方体木箱的内壁爬向苍蝇的最短路程为多少？
在 Rt△ECF 中，有 EF2＝a22＋a42＝156a2. 在 Rt△FDA 中，有 AF2＝a22＋a2＝54a2.
在 Rt△ABE 中，有 BE＝a－14a＝34a，
人教版八年级数学上册(RJ) 期末复习专题：三角形及其性质
专题三角形及其性质☞解读考点☞2年中考【题组】（崇左）如果一个三角形的两边长分别是2和5，则第三边可能是（）1．A．2 B．3 C．5 D．8【答案】C．【解析】试题分析：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得5﹣2＜x＜5+2，即3＜x＜7．故选C．考点：三角形三边关系．（来宾）如图，△ABC中，∠A=40°，点D为延长线上一点，且∠CBD=120°，2．则∠C=（）A．40° B．60° C．80° D．100°【答案】C．【解析】试题分析：由三角形的外角性质得，∠C=∠CBD﹣∠A=120°﹣40°=80°．故选C．考点：三角形的外角性质．3．（柳州）如图，图中∠1的大小等于（）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】D．考点：三角形的外角性质．4．（南通）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．5，6，10 B．5，6，11 C．3，4，8 D．4a，4a，8a （a＞0）【答案】A．【解析】试题分析：A．∵10﹣5＜6＜10+5，∴三条线段能构成三角形，故本选项正确；B．∵11﹣5=6，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误；C．∵3+4=7＜8，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误；D．∵4a+4a=8a，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误．故选A．考点：三角形三边关系．5．（宿迁）若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为（）A．9 B．12 C． 7或9 D．9或12【答案】B．【解析】试题分析：当腰为5时，根据三角形三边关系可知此情况成立，周长=5+5+2=12；当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；所以这个三角形的周长是12．故选B．考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系；3．分类讨论．6．（雅安）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．10【答案】B．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的性质；4．分类讨论．7．（绵阳）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=（）A．118° B．119° C．120° D．121°【答案】C．【解析】试题分析：∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵BE，CD是∠B、∠C 的平分线，∴∠CBE=∠ABC，∠BCD=∠BCA，∴∠CBE+∠BCD=（∠ABC+∠BCA）=60°，∴∠BFC=180°﹣60°=120°，故选C．考点：三角形内角和定理．8．（广州）已知2是关于x的方程的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（）A．10 B．14 C．10或14 D．8或10【答案】B．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．一元二次方程的解；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质；5．分类讨论．9．（北海）三角形三条中线的交点叫做三角形的（）A．内心 B．外心 C．中心 D．重心【答案】D．【解析】试题分析：三角形的重心是三角形三条中线的交点．故选D．考点：三角形的重心．10．（百色）下列图形中具有稳定性的是（）A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形【答案】A．【解析】试题分析：∵三角形具有稳定性，∴A正确，B．C、D错误．故选A．考点：三角形的稳定性．11．（百色）△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，则第三条高的长度是（）A．4 B．4或5 C．5或6 D．6【答案】B．【解析】试题分析：设长度为4、12的高分别是a，b边上的，边c上的高为h，△ABC的面积是S，那么a=，b=，c=，又∵a﹣b＜c＜a+b，∴，即，解得3＜h＜6，∴h=4或h=5，故选B．考点：1．一元一次不等式组的整数解；2．三角形的面积；3．三角形三边关系；4．综合题．12．（广安）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（）A． B．C．D．【答案】D．考点：三角形的角平分线、中线和高．13．（宜昌）下列图形具有稳定性的是（）A．正方形 B．矩形 C．平行四边形 D．直角三角形【答案】D．【解析】试题分析：直角三角形具有稳定性．故选D．考点：1．三角形的稳定性；2．多边形．14．（长沙）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】试题分析：为△ABC中BC边上的高的是A选项．故选A．考点：三角形的角平分线、中线和高．15．（鄂尔多斯）如图，A．B是边长为1的小正方形组成的网格上的两个格点，在格点中任意放置点C，恰好能使△ABC的面积为1的概率是（）A． B． C． D．【答案】A．考点：1．概率公式；2．三角形的面积．16．（淄博）如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD=AB，点E、F分别为AB、AD的中点，则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为（）A． B． C． D．【答案】C．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形的面积；3．三角形中位线定理；4．综合题．17．（淮安）将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠1的度数是．【答案】75°．【解析】试题分析：如图，∵含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，∴AB∥CD，∴∠3=∠4=45°，∴∠2=∠3=45°，∵∠B=30°，∴∠1=∠2+∠B=30°+45°=75°，故答案为：75°．考点：1．三角形的外角性质；2．三角形内角和定理．18．（宜宾）如图，AB∥CD，AD与BC交于点E．若∠B=35°，∠D=45°，则∠AEC= ．【答案】80°．考点：1．平行线的性质；2．三角形的外角性质．19．（巴中）若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足，则第三边c的取值范围是．【答案】1＜c＜5．【解析】试题分析：由题意得，，，解得a=3，b=2，∵3﹣2=1，3+2=5，∴1＜c＜5．故答案为：1＜c＜5．考点：1．三角形三边关系；2．非负数的性质：偶次方；3．非负数的性质：算术平方根．（南充）如图，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A=80°，20．∠B=40°，则∠ACE的大小是度．【答案】60．【解析】试题分析：∵∠ACD=∠B+∠A，而∠A=80°，∠B=40°，∴∠ACD=80°+40°=120°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=60°，故答案为：60．考点：三角形的外角性质．21．（佛山）各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有个．【答案】10．【解析】试题分析：∵各边长度都是整数、最大边长为8，∴三边长可以为：1，8，8；2，7，8；2，8，8；3，6，8；3，7，8；3，8，8；4，5，8；4，6，8；4，7，8；4，8，8；故各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有10个．故答案为：10．考点：三角形三边关系．（广东省）如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若，22．则图中阴影部分的面积是．【答案】4．考点：1．三角形的面积；2．综合题．23．（长春）如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为．【答案】5．【解析】试题分析：过E作EM⊥AB于M，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∴EM=AD，BM=CE，∵△ABE的面积为8，∴×AB×EM=8，解得：EM=4，即AD=DC=BC=AB=4，∵CE=3，由勾股定理得：BE===5，故答案为：5．考点：1．正方形的性质；2．三角形的面积；3．勾股定理．24．（昆明）如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=，在BE上截取BG=2，以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为．【答案】．考点：1．等边三角形的判定与性质；2．三角形的重心；3．三角形中位线定理；4．综合题；5．压轴题．25．（临沂）如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD 与CE相交于点O，则= ．【答案】2．【解析】试题分析：∵△ABC的中线BD、CE相交于点O，∴点O是△ABC的重心，∴=2．故答案为：2．考点：1．三角形的重心；2．相似三角形的判定与性质．26．（六盘水）如图，已知， l1∥l2，C1在l1上，并且C1A⊥l2，A为垂足，C2，C3是l1上任意两点，点B在l2上，设△ABC1的面积为S1，△ABC2的面积为S2，△ABC3的面积为S3，小颖认为S1＝S2＝S3，请帮小颖说明理由．【答案】理由见试题解析．考点：1．平行线之间的距离；2．三角形的面积．27．（达州）化简，并求值，其中a与2、3构成△ABC 的三边，且a为整数．【答案】，1．【解析】试题分析：原式第一项约分后，两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到结果，把a的值代入计算即可求出值．考点：1．分式的化简求值；2．三角形三边关系．28．（青岛）【问题提出】用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？【问题探究】不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以先从特殊入手，通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得出结论．【探究一】（1）用3根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？此时，显然能搭成一种等腰三角形．所以，当n=3时，m=1．（2）用4根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形．所以，当n=4时，m=0．（3）用5根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形．若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形．所以，当n=5时，m=1．（4）用6根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形．若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形．所以，当n=6时，m=1．综上所述，可得：表①【探究二】（1）用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？（仿照上述探究方法，写出解答过程，并将结果填在表②中）（2）用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？（只需把结果填在表②中）表②你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究，…【问题解决】：用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（设n分别等于4k﹣1，4k，4k+1，4k+2，其中k是正整数，把结果填在表③中）表③【问题应用】：用根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（写出解答过程），其中面积最大的等腰三角形每腰用了根木棒．（只填结果）【答案】【探究二】：2；1；2；2；【问题解决】：k；k﹣1；k；k；【问题应用】：672．考点：1．作图—应用与设计作图；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的判定与性质；4．探究型．【题组】1.（福建南平）下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（）A．1，2，1 B．1，2，2 C．1，2，3 D．1，2，4 【答案】B．【解析】试题分析：根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可：A、1+1=2，不能组成三角形，故此选项错误；B、1+2＞2，能组成三角形，故此选项正确；C、1+2=3，不能组成三角形，故此选项错误；D、1+2＜4，能组成三角形，故此选项正确．故选B．考点：三角形的三边关系．2.（浙江台州）如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD＝50cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为（）A．25cm B．50cm C．75cm D．100cm【答案】D．考点：三角形的中位线．3．（•北海）如图△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，已知DE=5，则BC的长为（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C．【解析】试题分析：∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC=2DE=2×5=10．故选C．考点：三角形中位线定理．4.（•营口）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，∠B=50°，∠A=26°，将△ABC沿DE折叠，点A的对应点是点A′，则∠AEA′的度数是（）A．145° B．152° C．158° D．160°【答案】B．考点：翻折变换（折叠问题）；三角形中位线定理．5.（•威海）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（）A．∠BAC=70°B．∠DOC=90°C．∠BDC=35°D．∠DAC=55°【答案】B．【解析】试题分析：根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠BAC=70°，再根据角平分线的定义求出∠ABO，然后利用三角形的内角和定理求出∠AOB 再根据对顶角相等可得∠DOC=∠AOB，根据邻补角的定义和角平分线的定义求出∠DCO，再利用三角形的内角和定理列式计算即可∠BDC，判断出AD为三角形的外角平分线，然后列式计算即可求出∠DAC．试题解析：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-50°-60°=70°，故A选项正确，∵BD平分∠ABC，∴∠ABO=∠ABC=×50°=25°，在△ABO中，∠AOB=180°-∠BAC-∠ABO=180°-70°-25°=85°，∴∠DOC=∠AOB=85°，故B选项错误；∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=（180°-60°）=60°，∴∠BDC=180°-85°-60°=35°，故C选项正确；∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，∴AD是△ABC的外角平分线，∴∠DAC=（180°-70°）=55°，故D选项正确．故选B．考点：角平分线的性质；三角形内角和定理．6.（江苏淮安）若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可以为（只需填一个整数）【答案】4（答案不唯一）．考点：三角形的三边关系．7、（广东广州）△ABC中，已知∠A=60°，∠B=80°，则∠C的外角的度数是___________°．【答案】140．．【解析】试题分析：∵∠A=60°，∠B=80°，∴∠C的外角=∠A+∠B=60°+80°=140°．考点：三角形的外角的性质．8.（湖北随州）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为度．【答案】75．【解析】试题分析：如答图．∵∠3=60°，∠4=45°，∴∠1=∠5=180°﹣∠3﹣∠4=75°．考点：1．三角形内角和定理；2．对顶角的性质．☞考点归纳归纳 1：三角形的有关线段基础知识归纳：中线：连接一个顶点与它对边中点的线段，三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心高线：从三角形一个顶点到它对边所在直线的垂线段．角平分线：一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点与交点之间的线段中位线：连接三角形两边中点的线段基本方法归纳：三角形的中位线平行线于第三边，且等于第三边的一半注意问题归纳：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分【例1】如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若AB ＝4，BC＝6，则DF＝_____．【答案】1．考点：1．三角形中位线定理；2．等腰三角形的判定与性质．归纳 2：三角形的三边关系基础知识归纳：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边．基本方法归纳：三角形的三边关系是判断三条线段能否构成三角形的依据，并且还可以利用三边关系列出不等式求某些量的取值范围．注意问题归纳：三角形的三边关系是中考的热点问题之一，是解决三角形的边的有关问题的重要依据．【例2】已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是（）A．5 B．10 C．11 D．12【答案】B．考点：三角形三边关系．归纳 3：内角和定理基础知识归纳：三角形三个内角的和等于180°．基本方法归纳：在同一个三角形中，大边对大角，小边对小角．注意问题归纳：三角形的内角和定理是求三角形一个角的度数或证明角相等的重要工具．【例3】如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC 于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是（）A．45°B．54°C．40°D．50°【答案】C．【解析】试题分析：∵∠B=46°，∠C=54°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-46°-54°=80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠BAC=×80°=40°，∵DE∥AB，∴∠ADE=∠BAD=40°．故选C．考点：平行线的性质；三角形内角和定理．归纳 4：三角形的外角基础知识归纳：（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．基本方法归纳：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．注意问题归纳：三角形的外角是解决角的计算与角的大小比较的重要工具．【例4】如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，∠B=30°，∠D=40°，则∠AOC的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．90°【答案】B．考点：1．平行线的性质；2．三角形的外角性质．☞1年模拟1．（北京市平谷区中考二模）如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=65°，则∠2的度数为（）A．10° B．15° C．20° D．25°【答案】D．【解析】试题分析：根据平行线的性质及三角形的内角和定理，有图像可知∠1与∠2互余，因此∠2=90°-65°=25°．故选D．考点：1．平行线的性质；2．三角形内角和定理．2．（安徽省安庆市中考二模）如图所示，AB∥CD，∠D=26°，∠E=35°，则∠ABE的度数是（）A．61° B．71° C．109° D．119°【答案】A ．考点：1．平行线的性质；2．三角形的外角性质．3．（山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°．若∠1+∠B=70°，则∠2的度数为（）A．20° B．40° C．30° D．25°【答案】A．【解析】试题分析：由三角形的外角性质，∠3=∠1+∠B=70°，∵a∥b，∠DCB=90°，∴∠2=180°﹣∠3﹣90°=180°﹣70°﹣90°=20°．故选A．考点：1．三角形的外角性质；2．平行线的性质．4．（广东省佛山市初中毕业班综合测试）如图，将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，则∠1+∠2的度数为（）A．120° B．135° C．150° D．180°【答案】D．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．三角形内角和定理．5．（山东省济南市平阴县中考二模）如图，△ABC的各个顶点都在正方形的格点上，则sinA的值为（）A． B． C． D．【答案】A．【解析】试题分析：如图所示：延长AC交网格于点E，连接BE，∵AE=2，BE=，AB=5，∴AE2+BE2=AB2，∴△ABE是直角三角形，∴sinA=，故选A．考点：1．锐角三角函数的定义；2．三角形的面积；3．勾股定理；4．表格型．6．（山东省威海市乳山市中考一模）如图，已知S△ABC=8m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC= m2．【答案】4．考点：1．等腰三角形的判定与性质；2．三角形的面积．7．（四川省成都市外国语学校中考直升模拟）长为1、2、3、4、5的线段各一条，从这5条线段中任取3条，能构成钝角三角形的概率是．【答案】．【解析】试题分析：从长度分别为1，2，3，4，5的五条线段中，任取三条，所有的情况共有10种，其中，取出的三边能构成钝角三角形时，必须最大边的余弦值小于零，即：较小的两个边的平方和小于第三边的平方，故满足构成钝角三角形的取法只有：2、3、4 和2、4、5 两种，故取出的三条线段为边能构成钝角三角形的概率是．考点：1．列表法与树状图法；2．三角形三边关系．8．（广东省佛山市初中毕业班综合测试）如图，已知△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2=度．【答案】220．考点：1．三角形的外角性质；2．三角形内角和定理．9．（湖北省黄石市6月中考模拟）如图，点A1，A2，A3，A4，…，An在射线OA上，点B1，B2，B3，…，Bn﹣1在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥An﹣1Bn﹣1，A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥AnBn﹣1，△A1A2B1，△A2A3B2，…，△An﹣1AnBn﹣1为阴影三角形，若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1、4，则△A1A2B1的面积为__________；面积小于的阴影三角形共有__________个．【答案】；6．【解析】试题分析：由题意得，△A2B1B2∽△A3B2B3，因此可知==，==，再由考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行线的性质；3．三角形的面积；4．规律型．。
2024八年级数学上册第二部分期末专题复习专题2图形与几何习题课件新版新人教版
(1)图中与 MF 相等的线段是
；
CE
(2)当 BF ＋ CE 取最小值时，∠ AFB
＝ 95
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19. [2023北京海淀区期中] 如图，在△ ABC 中， AC ＝ BC ，
∠ ACB ＝90°， AD 平分∠ CAB ，交 BC 于点 D . 点 A
与点 E 关于直线 BC 对称，连接 BE ， CE ，延长 AD 交
BE 于点 F .
(2)求证：△ BDF 是等腰三角形；
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(2)证明：∵ AC ＝ BC ，∠ ACB ＝90°，
∴∠ CAB ＝∠ CBA ＝45°.
∵ AD 是∠ CAB 的平分线，
∴△ BDF 是等腰三角形.
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19. [2023北京海淀区期中] 如图，在△ ABC 中， AC ＝ BC ，
∠ ACB ＝90°， AD 平分∠ CAB ，交 BC 于点 D . 点 A
人教版八年级数学上册期末综合复习测试题(含答案)
八年级数学上册期末综合复习测试题（含答案）一、选择题(本大题10小题，每小题3分，共30分) 1．下列图形中具有稳定性的是( ) A ．正方形 B ．长方形 C ．直角三角形 D ．平行四边形 2．计算：a 6÷a 3＝( ) A ．a 2 B ．a 3 C ．1 D ．0 3．点(－3，－2)关于x 轴对称的点是( )A ．(3，－2)B ．(－3，2)C ．(3，2)D ．(－2，－3) 4．若分式x ＋3x －2的值为0，则x 的值为( ) A ．x ＝－3 B ．x ＝2 C ．x ≠－3 D ．x ≠25．如图1，AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，垂足分别为C ，D ，再添加一个条件，仍不能判定△ABC ≌△BAD 的是( )图1A ．AC ＝BDB ．AD ＝BC C ．∠ABD ＝∠BAC D ．∠CAD ＝∠DBC 6．若x 2＋2mx ＋9是一个完全平方式，则m 的值是( ) A ．6 B ．±6 C ．3 D ．±3 7．如图2，在△ABC 中，D ，E 分别是边BC ，AB 的中点．若△ABC 的面积是8，则△BDE 的面积是( )图2A.2 B ．3 C ．4 D ．5 8．已知2m ＋3n ＝3，则9m ·27n 的值是( ) A ．9 B ．18 C ．27 D ．819．某生产小组计划生产3 000个口罩，由于采用新技术，实际每小时生产口罩的数量是原计划的2倍，因此提前5小时完成任务．设原计划每小时生产口罩x 个，根据题意，所列方程正确的是( )A ．3 000x －3 000x ＋2＝5 B ．3 0002x －3 000x ＝5C ．3 000x ＋2－3 000x ＝5D ．3 000x －3 0002x＝510．如图3，在平面直角坐标系中，点A ，B 分别在y 轴、x 轴上，∠ABO ＝60°，在坐标轴上找一点P ，使得△P AB 是等腰三角形，则符合条件的点P 的个数是( )图3A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个 二、填空题(本大题7小题，每小题4分，共28分)11．人体淋巴细胞的直径大约是0.000 009米，将0.000 009用科学记数法表示为__________．12．如果等腰三角形的一个内角是80°，那么它的顶角的度数是__________．13．当a ＝4b 时，a 2＋b 2ab的值是__________．14．如图4，在△ABC 中，分别以点A 和点C 为圆心，大于12 AC 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN 分别交BC ，AC 于点D ，E ，若△ABC 的周长为23 cm ，△ABD 的周长为13 cm ，则AE 的长为__________cm.图415．若x ＋y ＝6，xy ＝－3，则2x 2y ＋2xy 2＝__________．16．如图5，在△ABC 中，AB ＝BC ，BE 平分∠ABC ，AD 为BC 边上的高，且AD ＝BD ，则∠DAC ＝__________°.图517．如图6，△ABC 是等边三角形，AD 是BC 边上的高，E 是AC 的中点， P 是AD 上一动点，当PC 与PE 的和最小时，∠ACP 的度数是__________．图6三、解答题(一)(本大题3小题，每小题6分，共18分)18．解方程：4x 2－9 －x3－x ＝1.19．先化简，再求值：(－x －y )2－(－y ＋x )(x ＋y )＋2xy ，其中x ＝－2，y ＝12.20．如图7，在△ABC 中，∠BAC ＝60°，∠C ＝80°，AD 是△ABC 的角平分线，E 是AC 上一点，且∠ADE ＝12∠B ，求∠CDE 的度数．图7四、解答题(二)(本大题3小题，每小题8分，共24分)21．在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的位置如图8所示．(1)请画出△ABC 关于y 轴对称的△A ′B ′C ′；(其中A ′，B ′，C ′分别是A ，B ，C 的对应点，不写画法)(2)请直接写出点A ′，B ′，C ′的坐标； (3)求出△A ′B ′C ′的面积．图822．如图9，点B ，C ，E ，F 在同一条直线上，点A ，D 在BC 的异侧，AB ＝CD ，BF ＝CE ，∠B ＝∠C .(1)求证：AE ∥DF ； (2)若∠A ＋∠D ＝144°，∠C ＝30°，求∠AEC 的度数．图923．随着智能分拣设备在快递业务中的普及，快件分拣效率大幅提高．使用某品牌智能分拣设备，每人每小时分拣的快件量是传统分拣方式的25倍，经过测试，由5人用此设备分拣8 000件快件的时间，比20人用传统方式分拣同样数量的快件节省4小时．(1)使用智能分拣设备后，每人每小时可分拣快件多少件？(2)已知某快递中转站平均每天需要分拣10万件快件，每天工作时间为8小时，如果使用此智能分拣设备，每天只需要安排多少名工人就可以完成分拣工作？五、解答题(三)(本大题2小题，每小题10分，共20分)24．如图10①，把一个长为2m 、宽为2n 的矩形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小矩形，然后拼成一个如图10②所示的正方形．(1)请用两种不同的方法求图10②中阴影部分的面积．(直接用含m ，n 的式子表示) 方法1：____________________________； 方法2：____________________________．(2)根据(1)中结论，下列三个式子(m ＋n )2，(m －n )2，mn 之间的等量关系为____________________．(3)根据(2)中的等量关系，解决如下问题：已知x ＋1x ＝3，请求出x －1x的值．图1025．(1)【问题发现】如图11①，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A ，D ，E 在同一条直线上，连接BE ，求∠AEB 的度数．(2)【拓展探究】如图11②，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，点A ，D ，E 在同一条直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE .请求出∠AEB 的度数及线段CM ，AE ，BE 之间的数量关系，并说明理由．图11答案1．C 2.B 3.B 4.A 5.D 6.D 7.A 8.C 9.D 10.B11．9×10－6 12.80°或20° 13.174 14.5 15.－36 16.22.5 17.30°18．解：方程两边乘(x －3)(x ＋3)，得4＋x (x ＋3)＝x 2－9.解得x ＝－133.检验：当x ＝－133 时，(x －3)(x ＋3)≠0.所以，原分式方程的解是x ＝－133.19．解：原式＝x 2＋y 2＋2xy －(x 2－y 2)＋2xy ＝x 2＋y 2＋2xy －x 2＋y 2＋2xy ＝2y 2＋4xy . 当x ＝－2，y ＝12 时，原式＝2×⎝⎛⎭⎫12 2 ＋4×(－2)×12 ＝－72 .20．解：在△ABC 中，∠BAC ＝60°，∠C ＝80°，∴∠B ＝180°－60°－80°＝40°. ∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝12 ∠BAC ＝30°.∴∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ＝70°.∵∠ADE ＝12 ∠B ＝20°，∴∠CDE ＝∠ADC －∠ADE ＝70°－20°＝50°.21．解：(1)如答图1，△A ′B ′C ′即为所求．答图1(2)A ′(3，3)，B ′(－1，－3)，C ′(0，4).(3)由图可得S △A ′B ′C ′＝4×7－12 ×1×7－12 ×3×1－12 ×4×6＝11.22．(1)证明：∵BF ＝CE ，∴BF ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF . 在△ABE 和△DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DC ，∠B ＝∠C ，BE ＝CF ，∴△ABE ≌△DCF (SAS).∴∠AEB ＝∠DFC .∴AE ∥DF .(2)解：∵△ABE ≌△DCF ，∴∠A ＝∠D ，∠B ＝∠C ＝30°. ∵∠A ＋∠D ＝144°，∴∠A ＝72°. ∴∠AEC ＝∠A ＋∠B ＝72°＋30°＝102°.23．解：(1)设使用传统分拣方式，每人每小时可分拣快件x 件，则使用智能分拣设备后，每人每小时可分拣快件25x 件．依题意，得 8 00020x －8 0005×25x＝4.解得x ＝84.经检验，x ＝84是原方程的解，且符合题意．∴25x ＝2 100.答：使用智能分拣设备后，每人每小时可分拣快件2 100件． (2)100 000÷8÷2 100＝52021 (名)，5＋1＝6(名).答：每天只需要安排6名工人就可以完成分拣工作． 24．解：(1)(m ＋n )2－4mn (m －n )2. (2)(m －n )2＝(m ＋n )2－4mn .(3)∵x ＋1x ＝3，∴⎝⎛⎭⎫x －1x 2 ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2 －4x ·1x ＝9－4＝5.∴x －1x＝±5 .25．解：(1)∵△ACB 和△DCE 均为等边三角形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝∠CDE ＝∠CED ＝60°. ∴∠ACB －∠DCB ＝∠DCE －∠DCB ，即∠ACD ＝∠BCE . 在△ACD 和△BCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCE ，CD ＝CE ，∴△ACD ≌△BCE (SAS).∴∠ADC ＝∠BEC .∵点A ，D ，E 在同一条直线上，∴∠ADC ＝180°－∠CDE ＝120°. ∴∠BEC ＝120°.∴∠AEB ＝∠BEC －∠CED ＝60°. (2)∠AEB ＝90°，AE ＝BE ＋2CM .理由：∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形， ∴CA ＝CB ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝90°.∴∠ACB －∠DCB ＝∠DCE －∠DCB ，即∠ACD ＝∠BCE . 在△ACD 和△BCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧CA ＝CB ，∠ACD ＝∠BCE ，CD ＝CE ，∴△ACD ≌△BCE (SAS).∴AD ＝BE ，∠ADC ＝∠BEC . ∵△DCE 为等腰直角三角形， ∴∠CDE ＝∠CED ＝45°.∵点A ，D ，E 在同一条直线上， ∴∠ADC ＝180°－∠CDE ＝135°. ∴∠BEC ＝135°.∴∠AEB ＝∠BEC －∠CED ＝90°. ∵CD ＝CE ，CM ⊥DE ， ∴DM ＝ME ，∠DCM ＝90°－∠CDE ＝45°. ∴∠DCM ＝∠CDE . ∴DM ＝ME ＝CM .∴AE ＝AD ＋DE ＝BE ＋2CM。
人教版数学八年级上册 期末复习专项练习题(选择+填空)(含简单答案)
人教版数学八年级上册期末复习专项练习题（选择+填空）一、选择题1．若一个三角形的三边长分别为2、6、a，则a的值可以是（）A．8 B．7 C．4 D．32．下列交通标志的图案是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝（）A．35°B．95°C．85°D．75°有意义，则x的取值范围是（）4．若分式1x−3A．x>3B．x<3C．x=3D．x≠35．下列运算正确的是（）A．4a−a=3a B．a4⋅a2=a8C．a6÷a3=a2D．(−2a2)3=8a66．如图，∠A=∠D，∠1=∠2，要使△ABC≌△DEF，还应给出的条件是（）A．∠E=∠B B．ED=BC C．AB=EF D．AF=CD 7．如图，△ABC≌△ADE，∠B＝20°，∠E＝110°，∠EAB＝30°，则∠BAD的度数为（）A．80°B．110°C．70°D．130°8．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线， DE⊥AC，若∠B＝40°，∠C＝60°，则∠ADE的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°9．下列多项式能使用平方差公式进行因式分解的是（）A．4x2+1B．−m2+1C．−a2−b2D．2x2−y210．如图，在等边△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则下列结论不正确的是（）A．BD=12AB B．BC＝2DE C．∠ABE＝15°D．DE＝2AE11．计算a2−1a2÷(1a+1)的结果是（）A．a+1a B．−a+1aC．a−1aD．−a−1a12．已知多项式ax2+bx+c，其因式分解的结果是(x+1)(x−4)，则abc的值为（）A．12 B．-12 C．6 D．-6二、填空题13．因式分解：(x−y)2+4xy=．14．如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线交AC 于点M，交 BC 于点 N，若AB =3，BC=13，那么△ABN 的周长是.15．如图，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，∠A＝70°，则∠BOC＝°．16．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB=12，CD=3，则△DBE的面积为值为0，x=．17．分式|x|−4x+4参考答案1．B2．B3．C4．D5．A6．D7．A8．C9．B 10．D 11．C 12．A 13．(x+y)2 14．16 15．125 16．9 17．4。
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30. 如图，已知正方形ABCD中，边长为10厘米，点E在AB边上， BE=6厘米． （1）如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同 时，点Q在线段CD上由C点向D点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与 △CQP是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度 为多少时，能够使△BPE与△CQP全等？ （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度 从点B同时出发，都逆时针 沿正方形ABCD四边运动，求经过多长 时间点P与点Q第一次在正方形ABCD边上的何处相遇？
(2)求△ABC的面积．
23．(6分)如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB， 过A作AD⊥AB交BC的延长线于点D，过点C作 CE⊥AC，使AE＝BD.求证：∠E＝∠D.
[来源:学科网]
24．(8分)如图，已知△ABC和△DBE均为等腰直角三角形． (1)求证：AD＝CE； (2)猜想：AD和CE是否垂直？若垂直，请说明理由；若不垂直 ，则只写出结论，不用写理由．
期末检测题1
一、选择题(每小题3分，共30分) 1．我国传统建筑中，窗框(如图①)的图案玲珑剔透、千变万化．窗框一 部分如图②所示，它是一个轴对称图形，其对称轴有( ) A．1条 B．2条 C ． 3 条 D． 4 条 2．下列运算中，结果正确的是( A． x3· x3＝x6 B．3x2＋2x2＝5x4 C．(x2)3 ＝x5 D．(x＋y)2＝x2＋y2 )
x-2 2x+5
的值为0. __．
12．计算：(－2a－2b)3÷2a－8b－3＝__
13．一个多边形的内角和是外角和的2倍， 则这个多边形的边数为 . 14．若(a＋b)2＝17，(a－b)2＝11，则a2＋b2＝____．
15．已知三角形的边长分别为4，a，8，则a的取值范围 是____；如果这个三角形中有两条边相等， 那么它的周长是____． 16．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC， ∠BAD＝30°，AD＝AE，则∠EDC的度数是__ ．
)
5．如图，点E，F在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使 △ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是( ) A．∠A＝∠C B．∠D＝∠B C．AD∥BC D．DF∥BE
，
6．如图，在△ABC中,AD平分∠BAC，DE⊥AB于E， S△ABC＝15，DE＝3，AB＝6，则AC的长是( ) A．7 B．6 C．5 D．4
2 2 2 0 ( ) 2 | 3 2 | ( 7 1) (1) 3
(2)[2(m＋1)2－(2m＋1)(2m－ 1)－3]÷(－4m)
20．(8分)分解因式：
(1)3x2y－6xy＋3y;
(2)(a2＋1)2－ 4a2
21．(9分)(1)解方程
5 1 x (1) 2 1 2x 4 2 x x 4
29、如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、 BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的 速度都为1cm/s， (1)连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； （2）何时△PBQ是直角三角形？ （3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC 上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化， 则说明理由，若不变，则求出它的度数．
x+m 9．若关于x的方程 ＋ ＝2的解为正数，则m的取值范围是( x-2 2-x 2
)
A．m<6 B．m>6 C．m<6且m≠0 D．m>6且m≠8
10．在平面直角坐标系中有A，B两点，要在y轴上找一点 C，使得它到A，B的距离之和最小，现有如下四种方案，其 中正确的是( )
11．当x＝
时，分式
1
17．若
(2n-12n-1)
＋
b (2n+1)
，对任意自然数n都成
立，则a＝____，b＝____；
18．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和 x轴上，∠ABO＝60°，在坐标轴上找一点P，使得 △PAB是等腰三角形，则符合条件的P点共有____个．
．
19．(8分)计算：
28、在等边△ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上， 且ED=EC． （1）若点E是AB的中点，如图1，求证：AE=DB． （2）若点E不是AB的中点时，如图2，试确定线段AE与DB的 大小关系，并写出证明过程．
29、如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、 BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们 的速度都为1cm/s， (1)连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中， ∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的 度数；
29、如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、 BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们 的速度都为1cm/s， (1)连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中， ∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的 度数； （2）何时△PBQ是直角三角形？
2
(2)先化简，再求值
a2 1 a a4 ( 2 2 ) a 2 a 4a 4 a
其中a满足a2－4a－1＝0.
22．(6分)(1)如图，在平面直角坐标系中，请画出△ABC关于y 轴对称的△A′B′C′，并写出A′，B′，C′三点的坐标；(其中A′， B′，C′分别是A，B，C的对应点，不写画法)
25．(9分)某高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、 乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天 数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做20天，剩下的工程 再由甲、乙两队合作60天完成． (1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)已知甲队每天的施工费用为8.6万元，乙队每天的施工费用为5.4万元 ，工程预算的施工费用为1000万元．若在甲、乙工程队工作效率不变的情 况下使施工时间最短，问拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需 追加预算多少万元？
30. 如图，已知正方形ABCD中，边长为10厘米，点E在AB边上， BE=6厘米． （1）如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同 时，点Q在线段CD上由C点向D点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与 △CQP是否全等，请说明理由；
30. 如图，已知正方形ABCD中，边长为10厘米，点E在AB边上， BE=6厘米． （1）如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同 时，点Q在线段CD上由C点向D点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与 △CQP是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度 为多少时，能够使△BPE与△CQP全等？
26．(12分)如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°， AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD. (1)求证：BE＝AD；[来源:学+科+网Z+X+X+K] (2)求证：AC是线段ED的垂直平分线； (3)△DBC是等腰三角形吗？并说明理由．
27．如图（1），AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm．点 P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段 BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与 △BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位 置关系； （2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改 “∠CAB=∠DBA=60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出 相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
3．下列各式的变形中，正确的是( ) A．(－x－y)(－x＋y)＝x2－y2 B.1/x－x＝(1-x)/x C．x2－4x＋3＝(x－2)2＋1 D．x÷(x2＋x)＝ 1/x＋1
4．在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝55°，则△ABC是( A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
7．(2017·泰州模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC 的中点，AC的垂直平分线交AC，AD，AB于点E，O，F， 则图中全等三角形的对数是( ) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
8．如图，△ABC的两条角平分线BD，CE交于点O，且∠A＝60°，则下 列结论中不正确的是( ) A．∠BOC＝120° B．BC＝BE＋CD C．OD＝OE D．OB＝OC