2016_2017学年高中数学章末分层突破1学案新人教B版

章末分层突破[自我校对]①p∧q②全称命题③存在量词________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________q”；逆否命题为“若綈q，则綈p”．书写四种命题应注意：(1)分清命题的条件与结论，注意大前提不能当作条件来对待．(2)要注意条件和结论的否定形式．(2016·银川高二检测)将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题以及它们的真假．(1)垂直于同一平面的两条直线平行；(2)当mn＜0时，方程mx2－x＋n＝0有实数根；(3)能被6整除的数既能被2整除，又能被3整除．【精彩点拨】明确命题的条件和结论及命题的关系，再判定真假．【规范解答】(1)将命题写成“若p，则q”的形式为：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行．它的逆命题、否命题和逆否命题如下：逆命题：若两条直线平行，则这两条直线垂直于同一个平面．(假)否命题：若两条直线不垂直于同一个平面，则这两条直线不平行．(假)逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不垂直于同一个平面．(真)(2)将命题写成“若p，则q”的形式为：若mn＜0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根．它的逆命题、否命题和逆否命题如下：逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则mn＜0.(假)否命题：若mn≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根．(假)逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则mn≥0.(真)(3)将命题写成“若p，则q”的形式为：若一个数能被6整除，则它能被2整除，且能被3整除，它的逆命题，否命题和逆否命题如下：逆命题：若一个数既能被2整除又能被3整除，则它能被6整除．(真)否命题：若一个数不能被6整除，则它不能被2整除或不能被3整除．(真)逆否命题：若一个数不能被2整除或不能被3整除，则它不能被6整除．(真)[再练一题]1．给出下列三个命题：①“全等三角形的面积相等”的否命题；②“若lg x2＝0，则x＝－1”的逆命题；③若“x≠y或x≠－y，则|x|≠|y|”的逆否命题．其中真命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3【解析】对于①，否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，它是假命题；对于②，逆命题是“若x＝－1，则lg x2＝0”，它是真命题；对于③，逆否命题是“若|x|＝|y|，则x＝y且x＝－y”，它是假命题，故选B.【答案】 B若p ⇒q ，且pq ，则p 是q 的充分不必要条件，同时q 是p 的必要不充分条件；若p ⇔q ，则p 是q的充要条件，同时q 是p 的充要条件； 若pq ，则p 是q 的既不充分也不必要条件，同时q 是p 的既不充分也不必要条件．(2016·成都高二月考)已知a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC→＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是( )A ．λ1＝λ2＝－1B ．λ1＝λ2＝1C ．λ1λ2＝1D ．λ1λ2＝－1【精彩点拨】 利用向量三点共线的条件及定义判断．【规范解答】 依题意，A ，B ，C 三点共线⇔AB →＝λAC →⇔λ1a ＋b ＝λa ＋λλ2b ⇔⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝λ，λλ2＝1，故选C.【答案】 C [再练一题]2．已知p ：3－m 2＜x ＜3＋m2，q ：x (x －3)＜0，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【解】 记A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪3－m 2＜x ＜3＋m 2， B ＝{x |x (x －3)＜0}＝{x |0＜x ＜3}，若p 是q 的充分不必要条件，则A B . 注意到B ＝{x |0＜x ＜3}≠∅，分两种情况讨论： (1)若A ＝∅，即3－m 2≥3＋m2，解得m ≤0，此时AB ，符合题意；(2)若A ≠∅，即3－m 2＜3＋m2，解得m ＞0，要使AB ，应有⎩⎪⎨⎪⎧3－m2＞0，3＋m2＜3，m ＞0，解得0＜m ＜3.综上可得，实数m 的取值范围是(－∞，3).要判断一个全称命题为真命题，必须对限定集合M 中的每一个x 验证p (x )成立，一般要运用推理的方法加以证明；要判断一个全称命题为假命题，只需举出一个反例即可．要判断一个存在性命题为真命题，只要在限定集合M 中能找到一个x 0使p (x 0)成立即可，否则这一存在性命题为假命题．(1)已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．[e,4]B ．[1,4]C ．(4，＋∞)D ．(－∞，1](2)命题p ：∀x ∈R ，f (x )≥m ，则命题p 的否定綈p 是________． 【精彩点拨】 (1)p ∧q 为真⇔p ，q 都为真； (2)由綈p 的定义写綈p .【规范解答】 (1)由p 为真得出a ≥e，由q 为真得出a ≤4， ∴e≤a ≤4.(2)全称命题的否定是存在性命题，所以“∀x ∈R ，f (x )≥m ”的否定是“∃x 0∈R ，f (x 0)<m ”．【答案】 (1)A (2)∃x 0∈R ，f (x 0)<m [再练一题]3．在下列四个命题中，真命题的个数是( ) ①∀x ∈R ，x 2＋x ＋3＞0； ②∀x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1是有理数；③∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β； ④∃x 0，y 0∈Z ，使3x 0－2y 0＝10.【导学号：15460018】A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 ①中，x 2＋x ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋114≥114＞0，故①为真命题；②中，∀x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1一定是有理数，故②也为真命题；③中，当α＝π4，β＝－π4时，sin(α＋β)＝0，sin α＋sin β＝0，故③为真命题；④中，当x0＝4，y0＝1时，3x0－2y0＝10成立，故④为真命题．【答案】 D进而使问题得到解决的一种解题策略．一般是将复杂的问题进行变换，转化为简单的问题；将较难的问题通过变换，转化为容易求解的问题；将未解决的问题转化为已解决的问题．在本章内容中，转化思想主要体现在四种命题间的相互关系与集合之间关系的等价转化、原命题与其逆否命题之间的等价转化等，即以充要条件为基础，把同一种数学意义的内容从一种数学语言形式等价转化为另一种数学语言形式，从而使复杂问题简单化、具体化．已知命题p：对任意x∈R，函数y＝lg(x2＋m)有意义；命题q：函数f(x)＝(5－2m)x是R上的增函数．若p∧q为真，求实数m的取值范围．【精彩点拨】∀x∈R，y＝lg(x2＋m)有意义，等价于∀x∈R，x2＋m>0恒成立，可求m 的范围．【规范解答】由于p∧q为真，则p真且q真．当p为真时，即对任意x∈R，函数y＝lg(x2＋m)有意义．即对任意x∈R，x2＋m>0恒成立，即m>－x2恒成立，又－x2≤0，所以m>0.当q为真时，即函数f(x)＝(5－2m)x是R上的增函数，所以有5－2m>1，解得m<2.即0<m<2，所以实数m的取值范围是(0,2)．[再练一题]4．判断命题“若m＞0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．【解】∵m＞0，∴12m＞0，∴12m＋4＞0.∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝22－4×1×(－3m)＝4＋12m＞0，∴原命题“若m ＞0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真．又∵原命题与它的逆否命题等价，∴“若m ＞0，则方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根”的逆否命题为真.1．(2016·浙江高考)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( )A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2【解析】 由于存在性命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是存在性命题，所以“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式为“∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2”．【答案】 D2．(2016·四川高考)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 画出p 和q 确定的平面区域，根据图形进行判断．p 表示以点(1,1)为圆心，2为半径的圆面(含边界)，如图所示．q 表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)．由图可知，p 是q 的必要不充分条件．故选A. 【答案】 A3．(2015·福建高考)若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m ”是“l ∥α”的( )A ．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】∵m⊥α，若l∥α，则必有l⊥m，即l∥α⇒l⊥m.但l⊥m l∥α，∵l⊥m时，l可能在α内．故“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件．【答案】 B4．(2015·陕西高考)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0 ”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】cos 2α＝0等价于cos2α－sin2α＝0，即cos α＝±sin α.由cos α＝sin α可得到cos 2α＝0，反之不成立，故选A.【答案】 A章末综合测评(一) 常用逻辑用语(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是( )A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1B．若－1＜x＜1，则x2＜1C．若x＞1或x＜－1，则x2＞1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1【解析】命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”．【答案】 D2．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数【解析】把全称量词改为存在量词并把结论否定．【答案】 D3．命题p：x＋y≠3，命题q：x≠1或y≠2，则命题p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】命题“若p，则q”的逆否命题为“若x＝1且y＝2，则x＋y＝3”，是真命题，故原命题为真，反之不成立．【答案】 A4．设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的( )【导学号：15460019】A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当x＝2且y＝－1时，满足方程x＋y－1＝0, 即点P(2，－1)在直线l上．点P′(0,1)在直线l上，但不满足x＝2且y＝－1，∴“x＝2且y＝－1”是“点P(x，y)在直线l上”的充分不必要条件．【答案】 A5．“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于( )A．∃x0∈R，使得f(x0)＞0成立B．∃x0∈R，使得f(x0)≤0成立C．∀x∈R，使得f(x)＞0成立D．∀x∈R，f(x)≤0成立【解析】“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于“存在实数x0，使得f(x0)＞0成立”．故选A.【答案】 A6．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】若四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD，反之，若AC⊥BD，则四边形ABCD不一定是菱形，故选A.【答案】 A7．命题p：函数y＝lg(x2＋2x－c)的定义域为R；命题q：函数y＝lg(x2＋2x－c)的值域为R.记命题p为真命题时c的取值集合为A，命题q为真命题时c的取值集合为B，则A∩B＝( )A ．∅B ．{c |c <－1}C ．{c |c ≥－1}D ．R【解析】 命题p 为真命题，即x 2＋2x －c >0恒成立，则有Δ＝4＋4c <0，解得c <－1，即A ＝{c |c <－1}；令f (x )＝x 2＋2x －c ，命题q 为真命题，则f (x )的值域包含(0，＋∞)．即Δ＝4＋4c ≥0，求得c ≥－1，即B ＝{c |c ≥－1}．于是A ∩B ＝∅，故选A.【答案】 A8．对∀x ∈R ，kx 2－kx －1＜0是真命题，则k 的取值范围是( ) A ．－4≤k ≤0 B ．－4≤k ＜0 C ．－4＜k ≤0D ．－4＜k ＜0【解析】 由题意知kx 2－kx －1＜0对任意x ∈R 恒成立，当k ＝0时，－1＜0恒成立；当k ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，Δ＝k 2＋4k ＜0，即－4＜k ＜0，所以－4＜k ≤0.【答案】 C9．已知命题p ：若(x －1)(x －2)≠0，则x ≠1且x ≠2；命题q ：存在实数x 0，使2x 0＜0.下列选项中为真命题的是( )A ．綈pB ．綈p ∨qC ．綈q ∧pD ．q【解析】 很明显命题p 为真命题，所以綈p 为假命题；由于函数y ＝2x，x ∈R 的值域是(0，＋∞)，所以q 是假命题，所以綈q 是真命题．所以綈p ∨q 为假命题，綈q ∧p 为真命题，故选C.【答案】 C10．设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】 等比数列{a n }为递增数列的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，0<q <1.故“q >1”是“{a n }为递增数列”的既不充分也不必要条件．【答案】 D11．已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x>1，则綈p 为( ) A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1 B ．∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1 C ．∀x >0，总有(x ＋1)e x≤1 D ．∀x ≤0，使得(x ＋1)e x ≤1【解析】 因为全称命题∀x ∈M ，p (x )的否定为∃x 0∈M ，綈p (x )，故綈p ：∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1.【答案】 B12．已知p ：点P 在直线y ＝2x －3上；q ：点P 在直线y ＝－3x ＋2上，则使p ∧q 为真命题的点P 的坐标是( )A ．(0，－3)B ．(1,2)C ．(1，－1)D ．(－1,1)【解析】 因为p ∧q 为真命题，所以p ，q 均为真命题．所以点P 为直线y ＝2x －3与直线y ＝－3x ＋2的交点．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －3，y ＝－3x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，即点P 的坐标为(1，－1)．【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上) 13．命题p ：若a ，b ∈R ，则ab ＝0是a ＝0的充分条件，命题q ：函数y ＝x －3的定义域是[3，＋∞)，则“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”中是真命题的为________．【解析】 p 为假命题，q 为真命题，故p ∨q 为真命题，綈p 为真命题．【答案】 p ∨q 与綈p14．(2016·临川高二检测)“末位数字是1或3的整数不能被8整除”的否定形式是____________________，否命题是____________________．【解析】 命题的否定仅否定结论，所以该命题的否定形式是：末位数字是1或3的整数能被8整除；而否命题要同时否定原命题的条件和结论，所以否命题是：末位数字不是1且不是3的整数能被8整除．【答案】 末位数字是1或3的整数能被8整除 末位数字不是1且不是3的整数能被8整除15．已知f (x )＝x 2＋2x －m ，如果f (1)>0是假命题，f (2)>0是真命题，则实数m 的取值范围是______．【解析】 依题意，⎩⎪⎨⎪⎧f ＝3－m ≤0，f ＝8－m >0，∴3≤m <8.【答案】 [3,8) 16．给出以下判断：①命题“负数的平方是正数”不是全称命题；②命题“∀x ∈N ，x 3>x 2”的否定是“∃x 0∈N ，使x 30>x 20”； ③“b ＝0”是“函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数”的充要条件； ④“正四棱锥的底面是正方形”的逆命题为真命题．其中正确命题的序号是________.【导学号：15460020】【解析】 ①②④是假命题，③是真命题． 【答案】 ③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)写出下列命题的否定，并判断其真假，同时说明理由． (1)q ：所有的矩形都是正方形； (2)r ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0； (3)s ：至少有一个实数x 0，使x 30＋3＝0.【解】 (1)綈q ：至少存在一个矩形不是正方形，真命题．这是由于原命题是假命题．(2)綈r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，真命题．这是由于∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1≥1>0恒成立．(3)綈s ：∀x ∈R ，x 3＋3≠0，假命题．这是由于当x ＝－33时，x 3＋3＝0. 18．(本小题满分12分)指出下列命题中，p 是q 的什么条件？ (1)p ：{x |x >－2或x <3}；q ：{x |x 2－x －6<0}； (2)p ：a 与b 都是奇数；q ：a ＋b 是偶数；(3)p ：0<m <13；q ：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根．【解】 (1)因为{x |x 2－x －6<0}＝{x |－2<x <3}， 所以{x |x >－2或x <3}{x |－2<x <3}，而{x |－2<x <3}⇒{x |x >－2或x <3}． 所以p 是q 的必要不充分条件．(2)因为a ，b 都是奇数⇒a ＋b 为偶数，而a ＋b 为偶数a ，b 都是奇数，所以p 是q的充分不必要条件．(3)mx 2－2x ＋3＝0有两个同号不等实根⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，3m >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧4－12m >0，m >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m <13，m >0⇔0<m <13.所以p 是q 的充要条件．19．(本小题满分12分)已知命题p ：不等式2x －x 2<m 对一切实数x 恒成立，命题q ：m 2－2m －3≥0，如果“綈p ”与“p ∧q ”同时为假命题，求实数m 的取值范围． 【解】 2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，所以p 为真时，m >1.由m 2－2m －3≥0得m ≤－1或m ≥3，所以q 为真时，m ≤－1或m ≥3. 因为“綈p ”与“p ∧q ”同时为假命题，所以p 为真命题，q 为假命题，所以得⎩⎪⎨⎪⎧m >1，－1<m <3，即1<m <3，即m 的取值范围为(1,3)．20．(本小题满分12分)已知两个命题p ：sin x ＋cos x ＞m ，q ：x 2＋mx ＋1＞0，如果对任意x ∈R ，有p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数m 的取值范围．【解】 当命题p 是真命题时，由于x ∈R ，则sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥－2，所以有m ＜－ 2. 当命题q 是真命题时， 由于x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0， 则Δ＝m 2－4＜0，解得－2＜m ＜2.由于p ∨q 为真，p ∧q 为假，所以p 与q 一真一假．考虑到函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象为开口向上的抛物线，对任意的x ∈R ，x 2＋mx ＋1≤0不可能恒成立．所以只能是p 为假，q 为真，此时有⎩⎨⎧m ≥－2，－2＜m ＜2，解得－2≤m ＜2，所以实数m 的取值范围是[－2，2)．21．(本小题满分12分)已知命题p ：对数函数log a (－2t 2＋7t －5)(a >0，且a ≠1)有意义；命题q ：实数t 满足不等式t 2－(a ＋3)t ＋a ＋2<0.(1)若命题p 为真，求实数t 的取值范围；(2)若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【解】 (1)因为命题p 为真，则对数的真数－2t 2＋7t －5>0，解得1<t <52.所以实数t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52. (2)因为p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫t ⎪⎪⎪1<t <52是不等式t 2－(a ＋3)t ＋a ＋2<0的解集的真子集．法一 因为方程t 2－(a ＋3)t ＋a ＋2＝0的两根为1和a ＋2， 所以只需a ＋2>52，解得a >12.即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 法二 令f (t )＝t 2－(a ＋3)t ＋a ＋2，因为f (1)＝0， 所以只需f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<0，解得a >12. 即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 22．(本小题满分12分)设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.【证明】 充分性：∵∠A ＝90°， ∴a 2＝b 2＋c 2.于是方程x 2＋2ax ＋b 2＝0可化为x 2＋2ax ＋a 2－c 2＝0， ∴x 2＋2ax ＋(a ＋c )(a －c )＝0. ∴[x ＋(a ＋c )][x ＋(a －c )]＝0.∴该方程有两根x 1＝－(a ＋c )，x 2＝－(a －c )，同样另一方程x 2＋2cx －b 2＝0也可化为x 2＋2cx －(a 2－c 2)＝0，即[x ＋(c ＋a )][x ＋(c －a )]＝0，∴该方程有两根x 3＝－(a ＋c )，x 4＝－(c －a )． 可以发现，x 1＝x 3， ∴方程有公共根．必要性：设x 是方程的公共根，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋b 2＝0， ①x 2＋2cx －b 2＝0， ②由①＋②，得x ＝－(a ＋c )或x ＝0(舍去)． 代入①并整理，可得a 2＝b 2＋c 2. ∴∠A ＝90°. ∴结论成立．。