16.11.二次根式

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二次根式知识点的相关概念及对应的公式

二次根式知识点的相关概念及对应的公式一、引言二次根式作为数学中的重要概念，它涉及到了数学运算、代数式简化等方面，对于学习数学的人来说是一个基础而又重要的概念。

在学习二次根式的过程中，我们需要了解相关的概念和对应的公式，并且能够灵活运用于实际问题中。

本文将会从深度和广度的角度，全面评估二次根式的相关概念及对应的公式，并给出一个有价值的文章。

二、二次根式的概念1. 二次根式的定义二次根式是形如$\sqrt{a}$（其中$a\geq 0$）的式子，其中$a$称为被开方数。

我们称$\sqrt{a}$为二次根式，通常可以将$\sqrt{a}$理解为一个数，这个数的平方等于$a$。

$\sqrt{4}$就是一个二次根式，它的值为2，因为$2^2=4$。

2. 二次根式的简化在进行数学运算时，我们经常需要对二次根式进行简化。

当被开方数$a$为某个整数的平方时，二次根式$\sqrt{a}$可以进行化简，即$\sqrt{a}=\pm\sqrt{b}$，其中$b$为$a$的正平方根。

$\sqrt{25}=5$。

3. 二次根式的运算二次根式可以进行加减乘除运算，其中需要特别注意的是，二次根式在进行加减运算时，要求根指数相同才能进行运算。

在进行乘法和除法运算时，我们可以利用二次根式的性质进行化简。

三、二次根式的公式1. 二次根式的乘法公式当两个二次根式相乘时，可以利用乘法分配律进行化简，即$(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}) = \sqrt{ab}$。

这个公式在化简乘法运算时非常有用。

2. 二次根式的除法公式当两个二次根式相除时，可以通过有理化的方法，将分母有理化为整数，从而进行化简。

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\cdot\frac{\sqrt{ b}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{ab}}{b}$。

3. 二次根式的加法和减法公式二次根式的加法和减法需要根指数相同才能进行运算。

二次根式的ppt课件

将二次根式化简成最简二次根式，即根号内不含能开方的因数或因式。
变形技巧
根据题目要求，对二次根式进行变形，如平方差公式、完全平方公式等。
估算方法
利用二次根式的性质进行估算，比较大小，求取值范围等。
易错点提醒
忽略二次根式的非负性。运算顺序不正确。
变形过程中出错。
感谢您的观看
THANKS
总结词
有理化因式
详细描述
有理化因式是指将一个二次根式化简为最简二次根式，其关键是将根号下的被开方数分解为两个互为有理数乘积的因式。
方法
例子
选择与原二次根式相乘后，能够使得根号内被开方数= sqrt(-7) = sqrt(7)
二次根式是指根号内含有变量的表达式，其一般形式为$\sqrt{a}$，其中$a$ 是非负数。
二次根式的性质
二次根式具有非负性，即 $\sqrt{a} \geq 0$，当且仅当$a=0$时等号成立。
二次根式的运算
二次根式可以与有理数进行四则运算，运算顺序先乘方再乘除，最后加减。
方法总结
化简方法
表达式与符号
表达式
二次根式可以表示为$\sqrt{a}$（其中a是非负数）及其变体，如 $\sqrt[3]{a}$等。
符号
$\sqrt{}$是二次根式的符号，表示求某个数的平方根。
运算顺序与规则
运算顺序
二次根式的运算顺序与其他数学运算符相同，先乘方再乘除，最后加减。
规则总结
二次根式可以进行加减运算、乘除运算、幂运算等，运算结果需满足二次根式的限制条件。
05
二次根式的综合例题
代数例题
总结词
二次根式的代数例题主要涉及完全平方公式、平方差公式以及多项式展开等知识点。

新人教版八年级数学下册《十六章二次根式 16.1 二次根式章前引言及二次根式》教案_27

16.1.1二次根式教学内容二次根式的概念及其运用教学目标知识与技能目标：a ≥0）的意义解答具体题目．过程与方法目标：提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重难点1．重点：理解二次根式的概念；2．难点：确定二次根式中字母的取值范围教法：讲练结合法: 在例题教学中，引导学生阅读，与平方根进行类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。

学法：1、类比的方法通过观察、类比，使学生感悟二次根式的模型，形成有效的学习策略。

2、练习法采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他检，提高学生的素质。

媒体设计：PPT 课件，展台。

学习过程一、展示学习目标：1. 二次根式的概念2.二次根式有意义的条件3二次根式的双重非负性二．设置问题情境，引入新课：1求下列各数的平方根和算术平方根（1）9（2）0.64（3）0总结：a （a ≥0）的平方根是a （a ≥02．解决问题（1）面积为 S 的正方形边长为________。

（2）．面积为 b －5 的正方形边长为________。

（3）．圆桌的面积为 S ，则半径为________（4）．若圆桌的面积为 S ＋3，则半径为________（5）关系式 h = 5t 2 （t > 0）中，用含有 h 的式子表示 t ，则 t = ________。

总结以上式子有何特征二次根式的概念：a像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式。

因此，一般地，我们把形如（a≥0三．探究新课1．指出二次根式有意义的条件被开方数大于等于零。

提问：二次根式在什么情况下无意义学生讨论后得出：被开方数小于零2．指出下列哪些是二次根式？学生自主完成小练习：辨别下列式子，哪些是二次根式？三．练习四．小结1. 二次根式的概念2.二次根式有意义的条件3二次根式的双重非负性五．作业课本第5页第一题。

关于二次根式的知识点总结

二次根式的知识点总结关于二次根式的知识点总结导语：一般地，形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a 叫做被开方数。

当a≥0时，√a表示a的算术平方根；当a小于0时，√a的值为纯虚数。

以下是小编整理关于二次根式的知识点总结，以供参考。

1．二次根式：一般地，式子a,(a0)叫做二次根式.注意：（1）若a0这个条件不成立，则（2）是一个重要的非负数，即；a ≥0. a不是二次根式；2．重要公式：（1）(a)2a(a0),（2）a2aa(a0) ；注意使用a()(a0). a(a0)3．积的算术平方根：abab(a0,b0)，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；注意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求.4．二次根式的乘法法则：abab(a0,b0).5．二次根式比较大小的方法：（1）利用近似值比大小；（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小；（3）分别平方，然后比大小.6．商的算术平方根：式的'算术平方根.7．二次根式的除法法则：（1）a(a0,b0)； baa(a0,b0)，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除bb（2）abab(a0,b0)；（3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式.8．常用分母有理化因式：a与a，b与ab， mnb与manb，它们也叫互为有理化因式.9．最简二次根式：（1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，① 被开方数的因数是整数，因式是整式。

② 被开方数中不含能开的尽的因数或因式；（2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母；（3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式；（4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式.10．二次根式化简题的几种类型：（1）明显条件题；（2）隐含条件题；（3）讨论条件题.11．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.12．二次根式的混合运算：（1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；（2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等.形如a,(a0)的式子，叫做二次根式（1）二次根式a中，被开方数必须是非负数。

2021年人教版八年级数学下册第十六章《二次根式》公开课课件2.ppt

∴ a-1=0， b+2=0， ∴ a=1， b=-2. 变式一已知 a+2 +|3b-9|+(4 -c)2=0, 求 2a -b+c
的值。解： ∵ a + 2 ≥ 0 、 |3 b -9 |≥ 0 、 (4 -c ) 2≥ 0 ，又 ∵ a+2 +|3b-9|+(4-c) 2=0, ∴ a+2=0 , 3b-9=0 ,4-c=0 。
形的三个顶点，求BC的长. y
解：由图示知
6 5
C(2,5)
AC=5－3=2 AB=5－2=3 根据勾股定理
4
3 2
A(2,3)
B(5,3)
1
123 456 x
BC AB2 AC 2 32 22 13
答：BC长为 13
7. 化简： a 4b
a 2 b
解: a 4b ( a )2 (2 b )2
走进名校：16.1相关练习；拓展探究：课本P5习题16.1 8.
▪ 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2021/1/92021/1/9Saturday, January 09, 2021
▪ 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2021/1/92021/1/92021/1/91/9/2021 3:44:32 PM ▪ 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2021/1/92021/1/92021/1/9Jan-219-Jan-21 ▪ 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2021/1/92021/1/92021/1/9Saturday, January 09, 2021 ▪ 13、志不立，天下无可成之事。2021/1/92021/1/92021/1/92021/1/91/9/2021

二次根式ppt课件

02
二次根式的化简与求值
化简二次根式的方法
因式分解法
将被开方数进行因式分解，提取完全平方数。例如，√(24) = √(4×6) = 2√6。
分母有理化
当分母含有二次根式时，通过与其共轭式相乘使分母变为有理数。例如，1/(√3 + 1) = (√3 - 1)/[(√3 + 1)(√3 - 1)] = (√3 - 1)/2。
计算$(sqrt{3} + sqrt{2})(sqrt{3} - sqrt{2})$。
利用平方差公式进行计算，即 $(sqrt{3} + sqrt{2})(sqrt{3} sqrt{2}) = (sqrt{3})^2 (sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$。
04
二次根式在方程中的应用
二次根式与一元二次方程的关系
二次根式ppt课件
目录
• 二次根式基本概念与性质 • 二次根式的化简与求值 • 二次根式的运算与变形 • 二次根式在方程中的应用 • 二次根式在不等式中的应用 • 二次根式在函数中的应用
01
二次根式基本概念与性质
二次根式的定义
01
02
03geq 0$）的式子叫做二次根式。
二次根式的变形技巧
分母有理化
利用平方差公式将分母化为有理数，同时保持分子的形式不变。
提取公因式
将多项式中相同的部分提取出来，简化计算过程。
完全平方公式
将某些二次根式化为完全平方的形式，便于进行开方运算。
典型例题解析
例题1
解析
例题2
解析
计算$sqrt{8} + sqrt{18}$。
先将$sqrt{8}$和$sqrt{18}$化为最简二次根式，即$sqrt{8} = 2sqrt{2}$，$sqrt{18} = 3sqrt{2}$，然后根据同类二次根式的加法法则进行计算，即 $2sqrt{2} + 3sqrt{2} = 5sqrt{2}$。

二次根式主要知识点

二次根式主要知识点二次根式是一个重要的数学概念，主要涉及到一些基本定义、性质和运算法则。

以下是关于二次根式的主要知识点的详细解释：1.二次根式的定义：对于非负实数a，它的二次根式表示为√a。

如果a是一个非负实数的平方，则√a是一个实数。

否则，√a是一个虚数。

2.二次根式的符号：一般情况下，√a表示正根式。

我们通常将正根式表示为√a=b，其中b≥0。

负根式表示为-√a=-b，其中b≥0，它们之间的关系是：-√a=√a*(-1)。

3.二次根式的基本性质：a)正根式的值总是非负实数。

b)负根式的值总是负实数或者是虚数。

c)对于任何非负实数a和b，如果a=b，则√a=√b。

d)对于任何非负实数a，(√a)^2=a。

4.二次根式的化简：当二次根式的被开方数有一个因子是一些完全平方数时，可以将其化简。

例如，√16=√(4*4)=45.二次根式的加减法：a)当两个二次根式的被开方数相同时，可以进行加减法。

例如，√5+√5=2√5b)当两个二次根式的被开方数不同时，无法进行加减法。

6.二次根式的乘法：对于任何非负实数a和b，有√(a*b)=√a*√b。

例如，√2*√3=√67.二次根式的除法：对于任何非负实数a和b，有√(a/b)=√a/√b。

例如，√6/√2=√38.混合根式：混合根式是指含有不同次方的根式。

例如，√(2+√3)。

对于混合根式，通常需要根据具体情况进行化简或者进行运算。

9.二次根式的大小比较：对于任何非负实数a和b，如果a>b，则√a>√b。

例如，√2>√110.二次根式的应用：二次根式在数学和物理等领域有广泛的应用。

例如，在几何学中，二次根式可以表示长度、面积和体积等量；在物理学中，二次根式可以表示速度、加速度和力等物理量。

总结起来，二次根式是数学中的一个重要概念，它涉及到一些基本定义、性质和运算法则，如根式的符号、基本性质、化简、加减法、乘除法、大小比较和应用等。

掌握这些知识点，有助于我们更好地理解和运用二次根式。

八年级数学下册第十六章二次根式 16.1 二次根式 16.1.1 二次根式课件

负数
平方根.。2.下列各式中,不一定是二次根式的是(
).。A.x≥0
B.x≤0。C.x>0
D.x<0。会判断一个根式是二次根式。分析:(2)中,因为被开方数小于0,所以不是二次根式。关闭
No
Image
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数不是2,所以不是二次根式;(6)中,因为-x2-8<0,被开方数小于0,所以不是二
次根式;(3)中,因为x≤6,所以6-x≥0,即被开方数非负,所以是二次根式;(5)中因
为m2-2m+1=(m-1)2≥0,所以是二次根式.
解:(1)(3)(5)是二次根式.
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互动课堂理解
(a≥
0)的式子叫做
2.下列各式中,不一定是二次根式的是(
A.
3
C. 9
). A
B.- 2 + 1
D.
2
3
3.在实数(shìshù)范围内x,
有意义,则x的取值范围是 (
A.x≥0 B.x≤0
C.x>0
二次
,“ 根式 ”称为(chēnɡ
D.x<0
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A).
数有两个互为相反数的平方根,即a的平方根记作
就是(jiù
±shì)它的
平方根.
平方根
.一般地,正
,其中正的平方根
;0的平方根和算术平方根都是
算术(suànshù)平方根 ;负数
没有
0
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快乐预习感知
学前温故
(wēn ɡù)

八年级数学下册第十六章二次根式 16.1 二次根式第1课时二次根式的概念课件新人教版

解： 3，－ 16， 3a(a≥0)， x2＋1满足二次根式的定义，故是二次根式；3 4 是三次根式，故不是二次根式；－5的被开方数小于 0，故不是二次根式．
7．[2018·内江]若函数 y＝ xx－＋11，则自变量 x 的取值范围是( B )
A．－1＜x＜1
B.x≥－1 且 x≠1
C．x≥－1
A．x>3
B.x≠3
C．x≥3
D.x≥0
4．[2018·北京]若 x在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是 x≥0 .
分层作业
1．下列各式中，一定是二次根式的是( C )
A. －7
B.3 m
C. 1＋x2
D. 2x
2．[2018·达州]二次根式 2x＋4中 x 的取值范围是( D )
A．x＜－2
第十六章二次根式
16.1 二次根式第1课时二次根式的概念
学习指南知识管理归类探究当堂测评分层作业
学习指南
★本节学习主要解决以下问题★ 1．二次根式的概念此内容为本节的重点．为此设计了【归类探究】中的例 1；【当堂测评】中的第 1,2 题；【分层作业】中的第 1,6 题．
2．二次根式的被开方数中字母的取值范围此内容为本节的重点，也是难点．为此设计了【归类探究】中的例 2；【当堂测评】中的第 3,4 题；【分层作业】中的第 2,3,4,5,7,8,9,10 题． 3．二次根式的实际应用此内容为本节的重点，也是难点．为此设计了【归类探究】中的例 3；【分层作业】中的第 5,11 题．
x＋2 (4) 3x .
解：(1)根据题意，得 5－2x≥0，解得 x≤52， ∴当 x≤52时， 5－2x有意义． (2)根据题意，得－(x－3)2≥0，即(x－3)2≤0，解得 x＝3， ∴当 x＝3 时，－x－32有意义． (3)根据题意，得x8＋－8x≥ ≥00，，解得－8≤x≤8， ∴当－8≤x≤8 时， x＋8＋ 8－x有意义．

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一般地，我们把形如 (a≥0) 的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号
例1：当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？解：由x–2≥0,得 x≥2 当x≥2时，在实数范围内有意义。练习：当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1)
(2)
(3)
一般地，我们把形如 (a≥0) 的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号
类型题：求二次根式在实数范围内的意义。在实数范围内，对于任意x，都有意义；只有当x≥0时，才有意义；对于二次根式，当n为偶数时，恒有意义。
一般地，我们把形如 (a≥0) 的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号
类型题：求二次根式在实数范围内的意义。在实数范围内，对于任意x，都有意义；只有当x≥0时，才有意义；对于二次根式，当n为偶数时，恒有意义。
D.
5.下列二次根式不可能同时在实数范围内有意义的是： ;
;
;
;
6. 观察式子：
=1； =2； =3； =4……
请写出第12个式子_______，由此可以得到结论______.
作业：习题21.1 第1、2、3题
练习 1. 求下列未知数的取值范围：
(1) (2)
(3)
(4)
(5)(6)Fra bibliotek2.当x_____时，二次根式 3. 当a ____时，二次根式 4.若|2b+1|+ A.
C.
在实数范围内无意义。在实数范围内无意义。
+(a+b+c)2=0，则a=__，b=__，c=__。 B.
一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号
一般地，我们把形如 (a≥0) 的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号
例1：当x是怎样的实数时，实数范围内有意义？在
一般地，我们把形如 (a≥0) 的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号
例1：当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？解：由x–2≥0,得 x≥2 当x≥2时，在实数范围内有意义。