应力强度因子的求解方法的综述
1-3应力强度因子的求解
{ε } = [ N ′( x)]{uie }
T 由应变能密度 W = ε Cε / 2 可得单元刚度
[ K ]e = ∫ [ N ′( x)]T C[ N ′( x)]dV
Ve
将所有单元组装，可得 总刚度矩阵
[ K ]{u} = {F }
节点总位移矢量
广义节点力矢量
常规单元
• 裂纹尖端应力场的奇异性要求网格划分足够细，网格尺寸一般为裂纹 尺寸的1/1000~1/100 • 求解平衡方程，得到各节点位移，取裂纹附近节点位移，根据
ξ = −1+ 2 r / l
u = ∑ N i ui
i =1 3
将二次常规单元边 中点移到1/4处
对等参单元
应变
ε=
du 1 3 l l 1 l u1 − 4 − 2 u2 + 2 − u3 = 2 − dr l 2 r r 2 r
⊙⊙⊙⊙ σ 2a
K I = σ πa 1+ κ u 2 ( x, a ) = σ a2 − x2 4µ
K II = σ πa 1+ κ u1 ( x, a) = σ a2 − x2 4µ
K III = σ πa σ u3 ( x , a ) = a2 − x2 4µ
应力强度因子的求解
一般情况
K = Yσ πa
Y为与裂纹体几何有关的参数 a为裂纹几何尺寸相关参数
σ为外载
应力强度因子的求解方法
• • • • • • • 普遍形式的复变函数方法 积分变换法 应力集中系数法 位错连续分布法 权函数法 边界配置法和边界元法 有限元法
权函数法
p(x) P*(x) p(x) P*(x) + =
使用ABAQUS计算应力强度因子
使用ABAQUS计算应力强度因子应力强度因子（Stress Intensity Factor，简称SIF）是应力场的一种特征参数，用于描述应力状态下混合模式断裂的倾向性。
它在断裂力学和疲劳断裂力学中起着非常重要的作用。
在ABAQUS软件中，可以通过线性弹性断裂力学方法来计算应力强度因子。
ABAQUS中计算SIF的方法通常分为两步：1.求解应力场2.计算SIF在求解应力场时，可以采用以下几种途径：1.固定边界条件：如果边界条件已知并且不会发生变化，则可以直接固定边界条件来求解应力场。
这种方法适用于简单的几何形状和加载情况。
2.施加约束：对于复杂几何形状和加载情况，可以施加约束来求解应力场。
例如，可以在加载边界上施加位移或力，并在其他边界上施加自由边界条件。
ABAQUS软件将通过求解线性弹性方程来获得应力场。
3.等效边界法：对于无法通过上述两种方法求解应力场的情况，可以采用等效边界法。
该方法将复杂几何体简化为等效的几何体，通过在等效边界上施加约束来求解应力场。
然后，可以使用所得的应力场计算SIF。
在计算SIF时，可以采用两种方法：1.J积分方法：这是一种基于应变能的方法，通过计算闭合路径上的应力和应变来计算SIF。
ABAQUS提供了J积分的计算方法，可以直接计算SIF。
2.基于位移法：这是一种基于位移的方法，通过计算表面位移场的奇异性来计算SIF。
ABAQUS也提供了这种方法的计算选项。
计算SIF的步骤一般如下：1.定义几何模型和输入材料参数。
2.设置边界条件和加载条件。
3.运行ABAQUS求解应力场。
4.运行相应的计算器（如J计算器或位移计算器）以计算SIF。
5.根据得到的SIF结果进行进一步的断裂力学分析。
需要注意的是，计算SIF是一个相对复杂的过程，需要对模型几何形状、边界条件、加载条件和材料参数等进行仔细考虑和设置。
此外，模型的网格划分和数值求解的精度也会对计算结果产生影响，因此需要进行适当的验证和后处理分析。
应力强度因子的计算
M1
1
0.12(1
a )2 2c
M2
(2B
a
tan
a
)
1 2
2B
表面深裂纹的应力强度因子（应为最深点处）
KI
Me
a
23
§2-4 其他问题应力强度因子的计算 一、Ⅰ.Ⅱ型复合问题应力强度因子的计算
复变数： z x iy z x iy
取复变解析函数：x(z) p iq (z) p1 iq1
KI表 KI边 KI埋 KI中
又有
KI边 K I中
(1
0.1sin 2 A 1
W
tan A
)2
W
裂纹长度 板宽度
19
当
A W
1 时，
sin 2 A 2 A
WW
KI边 1.2 1.1 KI中
KI表 1.1 KI埋
tan A A
WW
KI表
1.1KI埋
利用这个方法可以求解很多”无限大”平板中的穿 透裂纹问题.
27
二、无限宽板穿透裂纹应力强度因子的计算
实际情况应看成有限宽板计算.必须考虑自由边界对 裂纹尖端应力场和位移场的影响.在理论上得不到完全解. 通过近似的简化或数值计算方法.
方法:边界配置法,有限单元法等. 边界配置法:将应力函数用无穷级数表达,使其满足 双调和方程和边界条件,但不是满足所有的边界条件,而 是在有限宽板的边界上,选足够多的点,用以确定应力函 数,然后再由这样符合边界条件的应力函数确定 K 值. 边界配置法:只限于讨论直边界问题.
E
KⅠ
r
2
应力强度因子的计算.doc
第二章 应力强度因子的计算K --应力、位移场的度量⇒K 的计算很重要,计算K 值的几种方法: 1.数学分析法:复变函数法、积分变换； 2.近似计算法：边界配置法、有限元法； 3.实验标定法：柔度标定法； 4.实验应力分析法：光弹性法.§2-1 三种基本裂纹应力强度因子的计算一、无限大板Ⅰ型裂纹应力强度因子的计算K Z ξ→=→ⅠⅠ计算K 的基本公式，适用于Ⅱ、Ⅲ型裂纹.1.在“无限大”平板中具有长度为2a 的穿透板厚的裂纹表面上，距离x b =±处各作用一对集中力p .Re Im x Z y Z σ'=-ⅠⅠRe Im y Z y Z σ'=+ⅠⅠRe xy y Z τ'=-Ⅰ选取复变解析函数：222()Z z b π=- 边界条件：a.,0x y xy z σστ→∞===.b.,z a <出去z b =±处裂纹为自由表面上0,0y xy στ==。
c.如切出xy 坐标系内的第一象限的薄平板，在x 轴所在截面上内力总和为p 。
y '以新坐标表示：Z=⇒lim()K Zξξ→==Ⅰ2.在无限大平板中,具有长度为2a的穿透板厚的裂纹表面上，在距离1x a=±的范围内受均布载荷q作用.利用叠加原理:微段→集中力qdx→dK=Ⅰ⇒K=⎰Ⅰ令cos cosx a aθθ==,cosdx a dθθ=⇒111sin()1cos22(cosaa aaaK daθθθ--==Ⅰ当整个表面受均布载荷时,1a a→.⇒12()aaK-==Ⅰ3.受二向均布拉力作用的无限大平板,在x轴上有一系列长度为2a,间距为2b 的裂纹.边界条件是周期的: a. ,y x z σσσ→∞==.b.在所有裂纹内部应力为零.0,,22y a x a a b x a b =-<<-±<<±在区间内0,0y xy στ==c.所有裂纹前端y σσ> 单个裂纹时Z =又Z 应为2b 的周期函数⇒sinzZ πσ=采用新坐标:z a ξ=-⇒sin()a Z πσξ+=当0ξ→时,sin,cos1222bbbπππξξξ==⇒sin()sincos cos sin22222a a a bbbbbπππππξξξ+=+σcossin222a a bbbπππξ=+2222[sin()]()cos 2cos sin(sin)2222222a a a a a bbbbbb bπππππππξξξ+=++22[sin()](sin )2cos sin22222a a a a bbbbbπππππξξ⇒+-=sinaZ ξπσ→⇒=sinlim aK ξπσ→⇒===Ⅰ=取w M =修正系数,大于1,表示其他裂纹存在对K Ⅰ的影响. 若裂纹间距离比裂纹本身尺寸大很多(2125a b ≤)可不考虑相互作用,按单个裂纹计算.二、无限大平板Ⅱ、Ⅲ型裂纹问题应力强度因子的计算 1.Ⅱ型裂纹应力强度因子的普遍表达形式(无限大板):lim (K Z ξξ→=Ⅱ2.无限大平板中的周期性的裂纹,且在无限远的边界上处于平板面内的纯剪切力作用.τsin()zZ z πτ=sin()()a Z πτξξ+=lim ()K ξξ→⇒==Ⅱ3.Ⅲ型裂纹应力强度因子的普遍表达形式(无限大板):lim ()K ξξ→=Ⅲ4.周期性裂纹:K =§2-2 深埋裂纹的应力强度因子的计算1950年，格林和斯内登分析了弹性物体的深埋的椭圆形裂纹邻域内的应力和应变，得到椭圆表面上任意点,沿y 方向的张开位移为:1222022(1)x z y y a c=--其中:202(1)ay E μσ-=Γ.Γ为第二类椭圆积分.有φϕ= (于仁东书) 1222220[sin ()cos ]a d cπϕϕϕ=+⎰(王铎书)1962年,Irwin 利用上述结果计算在这种情况下的应力强度因子σ原裂纹面11cos ,sin z x ρϕρϕ==又222222221111221x z c x a z a c a c+=⇒+= ⇒ρ=假设:椭圆形裂纹扩展时,其失径ρ的增值r 与ρ成正比.r f ρ= (f 远小于1)r f ρ⇒==边缘上任一点(,)p x z ''',有:1()sin (1)sin (1)x r f f x ρϕρϕ'=+=+=+1()cos (1)z r f z ρϕ'=+=+11(,),(,)p x z p x z '''⇒均在0y =的平面内. 222242222(1)c x a z f a c a c ''''''⇒+=+=⇒新的裂纹面仍为椭圆.长轴(1)c f c '=+,短轴(1)a f a '=+. ⇒y 向位移22002(1)2(1)(1)(1)a f a y f y E E μσμσϕϕ'--+'===+原有裂纹面:222220()1x z ya c y ++=扩展后裂纹面:222220()1x z y a c y '''++='''以1x x '=,1z z '=,代入⇒原有裂纹面的边缘y 向位移y ',有2222211112222222011(1)(1)x z x z y y a c f a f c'=-+=--'''++。
应力强度因子计算
应力强度因子计算FRANC3D使用M-积分来计算应力强度因子，M-积分又称为交互积分，与J-积分具有相似的数学表达形式，能考虑温度、裂纹面接触、裂纹面牵引及残余应力等因素的影响，并能实现多工况的应力强度因子的叠加。
FRANC3D对围绕裂纹尖端的两个单元环执行守恒积分计算，积分域包括一个15节点奇异楔形单元的内环和一个20节点六面体单元的外环。
FRANC3D的自适应网格划分技术，还会在裂纹尖端周围布置第三个六面体单元环，但不参与积分计算。
M-积分在FRANC3D中的实现利用M-积分可同时计算出三种断裂模式的应力强度因子（KI、KII和KIII），其中，KII 用来预测裂纹扭转角度以确定裂纹前缘的扩展方向。
FRANC3D可计算各项同性和一般各向异性材料中的三种模式的应力强度因子，也是目前唯一一款可以计算一般各向异性材料中三种断裂模式应力强度因子的软件。
同时，还能提供J-积分、T-Stress、Kink Angle等断裂力学参数的结果。
FRANC3D计算应力强度因子时可以考虑温度、裂纹面牵引、裂纹面接触以及它们的组合的影响，还提供多种选项来定义结构中的残余应力或初始条件，包括：●恒定的裂纹面压强载荷●1维径向分布的残余应力●2维（轴向和径向）分布的残余应力●表面处理后的残余应力●基于网格的残余应力（将有限元应力分析结果映射到裂纹网格上，FRANC3D自动计算并转换为裂纹面牵引力）FRANC3D还提供位移法（COD）来计算应力强度因子，也可使用VCCT技术来计算获得能量释放率（GI、GII、GIII）的结果。
计算应力强度因子FRANC3D可以图形化和以列表形式显示应力强度因子的计算结果，能同时显示K I、K II、K III的结果，同时还能显示J-积分和T-应力的结果，并提供多种选项供用户输出想要的结果和数据格式。
结果显示和输出。
应力强度因子的数值计算方法
应力强度因子的数值计算方法一、引言数值计算方法通过将裂纹尖端的应力场分布模拟为一个虚拟的数学模型，利用计算机进行数值求解来得到应力强度因子的数值。
数值计算方法通常分为两种类型：直接方法和间接方法。
1.直接方法直接方法是指直接通过有限元分析软件求解裂纹尖端的应力场分布，并通过一些后处理技术来计算应力强度因子。
其中最常用的方法是J积分法和节点法。
（1）J积分法：J积分法是一种常用的裂纹应力强度因子计算方法，它通过在裂纹尖端附近引入一个虚拟断裂面，将裂纹尖端附近的应力场分布（由有限元分析得到）转化为裂纹尖端处的应力强度因子。
具体计算方法较为复杂，一般需要通过数值积分的方法求解。
（2）节点法：节点法是一种基于有限元网格节点的方法，其基本思想是通过增加节点对裂纹尖端附近的应力场进行离散，利用节点处的应力场计算应力强度因子。
节点法相对于J积分法计算简单，但适用条件较为有限。
2.间接方法间接方法是指通过已知应力场的变化率来计算应力强度因子的方法。
常用的间接方法有格里菲斯准则法、欠奇性法和EOS法。
（1）格里菲斯准则法：格里菲斯准则法是最早提出的计算裂纹扩展的方法之一，基于弹性力学理论和线弹性断裂力学基本假设，通过对裂纹尖端周围应力场的分析，得到应力强度因子与裂纹尖端形状和尺寸以及应力场的关系。
（2）欠奇性法：欠奇性法是一种基于能量原理的裂纹尖端应力强度因子计算方法，通过构造合适的应变能表达式和裂纹尖端应力强度因子的定义，利用应变能的分式展开求解裂纹尖端处的应力强度因子。
（3）EOS法：EOS法是一种在裂纹尖端周围选取合适的控制体，通过求解控制体内外表面的应力分布，建立应力强度因子与表面应力之间的关系，从而计算裂纹尖端处的应力强度因子。
三、应用场景1.断裂力学：数值计算方法可以用于预测和分析裂纹扩展行为，在断裂力学领域中有着重要的应用。
通过计算裂纹尖端的应力强度因子，可以评估材料的断裂韧性和脆性。
2.疲劳分析：3.材料破坏：数值计算方法可以用于分析材料的破坏机理和破坏行为。
应力强度因子的数值计算方法
应力强度因子的数值计算方法应力强度因子是用来描述裂纹尖端应力场的重要参数，它在研究裂纹扩展、断裂行为等问题中具有重要的应用价值。
本文将介绍应力强度因子的数值计算方法，包括解析方法和数值方法。
一、解析方法解析方法是指通过求解弹性力学方程，得到应力场的解析表达式，进而计算应力强度因子。
常见的解析方法有：1. 爱尔兰函数法：该方法适用于轴对称问题，通过引入爱尔兰函数，将弹性力学方程转化为常微分方程，进而得到应力强度因子的解析表达式。
2. 奇异积分法：该方法适用于不规则裂纹形状或复杂载荷情况。
通过奇异积分的性质，将应力场分解为奇异和非奇异两部分，进而得到应力强度因子的解析表达式。
3. 线性弹性断裂力学方法：该方法通过建立合适的应力强度因子与裂纹尺寸之间的关系，利用裂纹尖端应力场的奇异性，通过分析弹性力学方程的边界条件，得到应力强度因子的解析表达式。
二、数值方法数值方法是指通过数值计算的方式，求解弹性力学方程，得到应力场的数值解，从而计算应力强度因子。
常见的数值方法有：1. 有限元法：有限元法是一种广泛应用的数值方法，通过将结构离散为有限个单元，建立节点间的关系，利用数值方法求解离散方程组，得到应力场的数值解，进而计算应力强度因子。
2. 边界元法：边界元法是一种基于边界积分方程的数值方法，通过将边界上的应力场表示为边界积分方程的形式，利用数值方法对积分方程进行离散求解，得到应力场的数值解，进而计算应力强度因子。
3. 区域积分法：区域积分法是一种基于区域积分方程的数值方法，通过将应力场表示为积分方程的形式，利用数值方法对积分方程进行离散求解，得到应力场的数值解，进而计算应力强度因子。
以上介绍了应力强度因子的数值计算方法，包括解析方法和数值方法。
解析方法适用于问题简单、载荷条件规则的情况，可以得到解析表达式并具有较高的精度；数值方法适用于问题复杂、载荷条件不规则的情况，通过数值计算可以得到应力场的数值解，并利用数值解计算应力强度因子。
应力强度因子的计算
满足双调和方程
24
分析第一应力不变量
x
y
2
x2
2
y 2
4 Re[x' (z)]
对于Ⅰ.Ⅱ型复合裂纹
Ⅰ型：
x
Re ZI
y Im
Z
' I
y Re ZI y Im ZI'
21
1.巴里斯和薛
a c 0 时， 接近于单边切口试样 M1 1.12
a c
1
时，
接近于半圆形的表面裂纹
M1 1
利用线性内插法
M1
1
0.12(1
a c
)
利用中心穿透裂纹弹性体的厚度校正系数
M2
(2B
a
tan
a
)
1 2
2B
裂纹深度 板厚
浅裂纹不考后自由表面的影响
22
2. 柯巴亚希.沙.莫斯
y 0, xy 0
sin z
Z
2b
(sin z )2 (sin a )2
2b
2b
7
采用新坐标: z a
sin ( a)
Z
2b
(sin ( a))2 (sin a )2
2b
2b
当 0 时，sin , cos 1
KI表 KI边 KI埋 KI中
又有
KI边 K I中
(1
0.1sin 2 A 1
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应力强度因子的求解方法的综述摘要：应力强度因子是结构断裂分析中的重要物理量，计算应力强度因子的方法主要有数学分析法、有限元法、边界配置法以及光弹性法。
本文分别介绍了上述几种方法求解的原理和过程，并概述了近几年来求解应力强度因子的新方法，广义参数有限元法，利用G*积分理论求解，单元初始应力法，区间分析方法，扩展有限元法，蒙特卡罗方法，样条虚边界元法，无网格—直接位移法，半解析有限元法等。
关键词：断裂力学；应力强度因子；断裂损伤；Solution Methods for Stress Intensity Factor of Fracture MechanicsShuanglin LU(HUANGSHI Power Survey&Design Ltd.)Abstract: The solution methods for stress intensity factor of fracture mechanics was reviewed, which include mathematical analysis method, finite element method, boundary collocation method and photo elastic method. The principles and processes of those methods were introduced, and the characteristics of each method were also simply analyzed in this paper.Key words: fracture mechanics; stress intensity factors0 引言断裂力学的基础理论最初起源于1920年Griffith的研究工作[1]。
Griffith在研究玻璃、陶瓷等脆性材料的断裂现象时，认为裂纹的存在及传播是造成断裂的原因。
裂纹的扩展过程,从能量的观点来看,存在着两种完全对抗的因素：一种是阻止裂纹扩展的因素，另一种是推动裂纹扩展的因素。
Griffith由此建立了材料的脆性断裂判据[1]：(1)在(1)式中：—断裂应力；E—材料的弹性模量；—材料的表面能；a—裂纹长度的一半。
Griffith判据并不能完全成功地应用于金属断裂问题。
1949年, Orowan考虑到裂纹释放的应变能不仅转化成表面能，也同时转化成使裂纹顶附近材料发生塑性变形所需要的功。
因此，Orowan对Griffith判据进行修正并得到了具有塑性变形的金属材料的断裂判据[1]：(2)在(2)式中：—断裂应力；E—材料的弹性模量；为塑性功；a—裂纹长度的一半。
1975年，Irwin认为裂纹是脆性断裂破坏的要害，而裂纹顶端区域的应力场又是其中的核心。
从(1)、(2)可以看出：是一个常数，也就是说与载荷条件、式样尺寸、裂纹大小毫不相干，是只由材料的固有性质决定的不变值。
当大于这个值时裂纹就快速扩展，因而，这个常数才真正代表了材料对断裂的抵抗能力。
于是，Irwin对应提出了一个崭新的物理量—应力强度因子。
由裂纹尖端的应力应变的表达式[2]可以看出：裂纹尖端附近各点的应力、应变和位移均由应力强度因子K唯一确定，因此，如何计算K值是断裂力学中的一个重要内容。
目前，对于无限体中的简单裂纹和有限边界的贯穿裂纹，确定K值的主要方法有：数学分析、数值计算、试验标定以及光弹性法等。
1数学分析法1.1复变函数法对于平面弹性问题，利用复变函数能够很方便的求得裂纹尖端应力应变场。
在文献[2]中详细给出了针对型裂纹，利用威斯特葛尔德(Westergaard)应力函数求解应力分量的过程，最后得到各应力分量的表达式为：(3)根据(3)式可以由胡克定律得到应变分量，然后再根据应变与位移之间的关系式可以得到位移分量的表达式。
由上所述可以看出，只要知道了ZI函数的表达式，应力分量、应变分量和位移分量都可以求出来了。
因此，用复变函数法求解应力强度因子的思想就是，针对不用的裂纹情况构造出满足相应边界条件的复变解析函数，并由此复变函数求得裂纹尖端的应力应变场，最后由应力强度因子的表达式求得K值。
复变函数法在弹性平面问题的应用中比较方便，但对于弹塑性或三维空间问题，该方法就不再实用，其主要原因是构造满足边界条件的复变函数很困难。
文献[3]和文献[4]中给出了利用复变函数法求解正交各向异性含内部裂纹板、带单裂纹无限平板中作用有集中力和力矩以及带单裂纹无限弹性体作用有纵向集中力等情况下应力强度因子的计算方法。
1.2积分变换法弹性理论已经证明，常体力下弹性平面问题存在应力函数，称为Airy应力函数，为双调和函数[5]。
对于平面问题，可用Laplace Transform和Fourier Transform来解答应力场强度因子。
鉴于求解方程为4Ψ=0（Ψ为Airy应力函数）很困难，故可考虑Fourier Transform来解断裂力学问题。
首先对Ψ取Fourier变换，记为，即：(4)于是，应满足方程：(5)用降阶法可以求出方程(5)的通解为：(6)由(6)式结果来求解应力分量如下：(7)其相应的位移场为：(8)经过反演分析即可得出Ψ以及σ，μ等全部场量。
如用Fourier变换仍求解椭圆形裂缝问题得KI，则由：(9)一旦两个材料参数m、s确定，则KⅠ、KⅡ的数值可以根据下列公式十分容易地求得：(10)在式(10)中：σ为材料的抗压强度；l为裂纹长度。
2边界配置法由弹性力学可知，二维弹性力学问题的应力函数为双调和函数，即满足微分方程式：。
当裂纹表面满足边界条件，，时，有Williams无穷级数的应力函数[6,7]：(11)其中：(12)在(12)式中：为偶函数部分，相当于Ⅰ型裂纹里对称加载；为奇函数部分，相当于Ⅱ型裂纹里反对称加载。
应用复应力强度因子公式：(13)注意到(12)式中的Cj=-Cj/2=-Cn以及Dj=-Dj/2=-Dn，因此有，Cj/2 -C1和Dj/2 -D1故有：(14)即：(15)因此，要计算应力强度因子KⅠ、KⅡ，则先要求解(12)式。
为此，需要由边界条件建立含有Ci、Di的线性方程组，求解此方程组以确定系数C1、D1。
由弹性力学可知，弹性力学问题的解必须满足平衡条件和边界条件。
这里，在边界上取2m个配置点，对于每一个配置点i可以提出两个边界条件：(16)在(16)式中：，分别为含裂纹体的应力函数及其法向偏导数；，分别为非裂纹体的应力函数及其法向偏导数。
因此，对于2m个配置点便可以建立4m个类似的边界条件，由4m个方程式组成线性方程组。
解此线性方程组即可求得4m个未知量的值。
采用边界配置法就是将(11)式或(12)式截断，然后由边界上的2m个配置点处4m个边界条件去确定其中的4m个待定常数Cj、Dj，把问题归结于求解4m个线性方程组，用计算机及程序计算很方便。
3有限元法随着有限元法的发展，有限元在断裂力学中的应用越来越普及。
近些年，计算机技术得到迅猛发展，很多大型通用软件，如ANSYS、ADINA以及MSC/Nastran等都具有计算各算各种断裂参数的功能，因此利用有限元计算断裂力学中的应力强度因子也得到广泛的应用。
构件中的裂纹可以抽象为二维或三维模型，如图1所示。
求解断裂力学问题的步骤包括先进行弹性或弹塑性静力分析，然后用特殊的后处理命令或宏命令计算所需的断裂参数。
在有限元中主要采用1/4法计算应力强度因子。
根据县弹性断裂理论，裂纹尖端的位移场可以表示为[7]：(17)在(17)式中：u、v和w为对应于裂纹尖端局部坐标的位移；r和θ是计算点在局部柱坐标的坐标值；G是剪切模量,v是泊松比；对于平面应力，而对于平面应变。
、和分别为Ⅰ型、Ⅱ型和Ⅲ型裂纹的应力强度因子；0(r)是高阶无穷小量。
根据公式(17),如果裂纹表面(θ=±180°)某一点垂直于裂纹平面的位移已知，可以导出对称裂纹的应力强度因子计算公式：图1裂纹的二维和三维模型(18)对于非对称裂纹体,其应力强度因子的计算公式为：(19)在(19)式中：Δu、Δv和Δw分别为两个裂纹面之间的相对位移。
由于裂纹尖端的应力和应变是奇异的,因此在进行有限单元建模或单元网格划分时,必须先在裂纹尖端位置定义应变奇异点,而且围绕裂纹定点的有限单元是二项式的奇异单元,它是把单元边上的中间点放到1/4边处。
图2所示为ANSYS 的2-D和3-D模型中所采用的奇异单元。
图2裂纹尖端的奇异单元应用有限元方法计算裂纹体的应力强度因子,关键是要建立一个能够反映裂纹体特征的共线(共面)的裂纹几何模型,并确定裂纹尖端的局部坐标。
在划分裂纹尖端附近的几何体时,必须选用具有奇异特征的单元。
在完成静力学计算后,才能计算裂纹尖端的应力强度因子。
文献[8]和文献[9]中的计算结果表明，应用有限元分析软件计算出的应力强度因子与断裂力学求得的应力强度因子非常相近，因此，利用有限元计算材料的断裂强度因子是可行的。
4光弹性法由于光弹性法可以确定光弹性模型在裂纹尖端附近的应力变化规律，因此提供了用实验方法确定裂纹尖端应力强度因子K的基础[11]。
利用透光材料制成含裂纹的试件，用激光光源照射，由于实时全息干涉原理，在照片上可以看到一组以裂纹尖端为中心的明暗交替的条纹。
可以证明：条纹中光的强度和试件的主应力、间的关系如下：(20)在(20)式中：是材料的应力—光学常数；是光的波长；是光波振幅；是光的强度。
因为出现暗条纹的条件是，即：也就是：(21)引进常量m，它与条纹序数N的关系为：，因此：(22)对于张开型裂纹，在裂纹延长线上( )，由裂纹尖端应力分量的表达式可看出xy=0，因为在裂纹上的剪应力为0，所以σx和σy就是主应力σ1和σ2。
因此，由裂纹尖端应力分量的表达式可得：(23)由于(23)式是在双向应力σ作用下导出来的，为了得到单项拉伸下的应力场公式，可在x方向叠加一套应力，，，但这并不改变裂纹尖端的奇异性和K Ⅰ值，这套应力在裂纹内产生一个均匀的应力场，故x方向的合力为：则单向拉伸时x轴上的应力为：(24)(25)将(25)式代入到(22)之中得：(26)在远离裂纹处，只有在y方向的均匀拉应力，这时σ1+σ2=σy=σ,该处的m 用表示，代入到(22)式得：(27)联立(26)式和(27)式得：(28)由于一般KⅠ的表达式为：(29)将(29)式代入(28)式得：(30)由可得：(31)联立(28)式和(31)式，得：(32)其中，N为裂纹线上距裂纹顶端为r的干涉条纹序数，N*为远离裂纹其应力等于均匀拉应力处的条纹序数。
按(32)式可以为纵坐标，为横坐标的直角坐标系中将实验结果画出，它是一条直线，其斜率就是Y。