2019年一轮北师大版(理)数学教案：第6章 第4节 归纳与类比 Word版含解析
北师大版高中数学选修归纳与类比学案
数学归纳法解题数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法.●难点磁场(★★★★)是否存在a 、b 、c 使得等式1·22+2·32+…+n (n +1)2=12)1(+n n (an 2+bn +c ). ●案例探究［例1］试证明：不论正数a 、b 、c 是等差数列还是等比数列，当n ＞1,n ∈N *且a 、b 、c 互不相等时，均有：a n +c n ＞2b n .命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，属★★★★级题目.知识依托：等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤.错解分析：应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况. 技巧与方法：本题中使用到结论：(a k －c k )(a －c )＞0恒成立(a 、b 、c 为正数)，从而a k +1+c k +1＞a k ·c +c k ·a .证明：(1)设a 、b 、c 为等比数列，a =qb,c =bq (q ＞0且q ≠1)∴a n+c n=n n q b +b n q n =b n (n q1+q n )＞2b n(2)设a 、b 、c 为等差数列，则2b =a +c 猜想2n n c a +＞(2c a +)n(n ≥2且n ∈N *)下面用数学归纳法证明：①当n =2时，由2(a 2+c 2)＞(a +c )2，∴222)2(2c a c a +>+②设n =k 时成立，即,)2(2kk k c a c a +>+则当n =k +1时，41211=+++k k c a (a k +1+c k +1+a k +1+c k +1)＞41(a k +1+c k +1+a k ·c +c k ·a )=41(a k +c k )(a +c ) ＞(2c a +)k ·(2c a +)=(2c a +)k +1［例2］在数列{a n }中，a 1=1，当n ≥2时，a n ,S n ,S n －21成等比数列.(1)求a 2,a 3,a 4，并推出a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论； (3)求数列{a n }所有项的和.命题意图：本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识.知识依托：等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明.错解分析：(2)中，S k =－321-k 应舍去，这一点往往容易被忽视.技巧与方法：求通项可证明{n S 1}是以{11S }为首项，21为公差的等差数列，进而求得通项公式.解：∵a n ,S n ,S n －21成等比数列，∴S n 2=a n ·(S n －21)(n ≥2) (*) (1)由a 1=1,S 2=a 1+a 2=1+a 2,代入(*)式得:a 2=－32由a 1=1，a 2=－32,S 3=31+a 3代入(*)式得：a 3=－152同理可得：a 4=－352,由此可推出：a n =⎪⎩⎪⎨⎧>---=)1( )12)(32(2)1( 1n n n n (2)①当n =1,2,3,4时，由(*)知猜想成立.②假设n =k (k ≥2)时，a k =－)12)(32(2--k k 成立故S k 2=－)12)(32(2--k k ·(S k －21)∴(2k －3)(2k －1)S k 2+2S k －1=0∴S k =321,121--=-k S k k (舍) 由S k +12=a k +1·(S k +1－21),得(S k +a k +1)2=a k +1(a k +1+S k －21).1,]1)1(2][3)1(2[22112122)12(1111211212命题也成立即+=-+-+-=⇒--+=-++-⇒++++++k n k k a a k a a k a a k k k k k k k由①②知，a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥---=)2()12)(32(2)1(1n n n n 对一切n ∈N 成立. (3)由(2)得数列前n 项和S n =121-n ,∴S =lim ∞→n S n =0. ●锦囊妙记(1)数学归纳法的基本形式设P (n )是关于自然数n 的命题，若 1°P (n 0)成立(奠基)2°假设P (k )成立(k ≥n 0)，可以推出P (k +1)成立(归纳)，则P (n )对一切大于等于n 0的自然数n 都成立.(2)数学归纳法的应用具体常用数学归纳法证明：恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★★)已知f (n )=(2n +7)·3n +9,存在自然数m ,使得对任意n ∈N ,都能使m 整除f (n )，则最大的m 的值为( )A.30B.26C.36D.6 2.(★★★★)用数学归纳法证明3k ≥n 3(n ≥3,n ∈N )第一步应验证( ) A.n =1 B.n =2 C.n =3 D.n =4 二、填空题3.(★★★★★)观察下列式子：474131211,3531211,2321122222<+++<++<+…则可归纳出_________.4.(★★★★)已知a 1=21,a n +1=33+n n a a ,则a 2,a 3,a 4,a 5的值分别为_________，由此猜想a n =_________.三、解答题5.(★★★★)用数学归纳法证明412+n +3n +2能被13整除，其中n ∈N *.6.(★★★★)若n 为大于1的自然数，求证：2413212111>+++++n n n . 7.(★★★★★)已知数列{b n }是等差数列，b 1=1,b 1+b 2+…+b 10=145. (1)求数列{b n }的通项公式b n ;(2)设数列{a n }的通项a n =log a (1+nb 1)(其中a ＞0且a ≠1)记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与31log a b n +1的大小，并证明你的结论. 8.(★★★★★)设实数q 满足|q |＜1,数列{a n }满足：a 1=2,a 2≠0,a n ·a n +1=－q n ,求a n 表达式，又如果lim ∞→n S 2n ＜3,求q 的取值范围.参考答案难点磁场解：假设存在a 、b 、c 使题设的等式成立，这时令n =1,2,3,有⎪⎩⎪⎨⎧===∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++=10113 3970)24(2122)(614c b a cb ac b a c b a于是，对n =1,2,3下面等式成立1·22+2·32+…+n (n +1)2=)10113(12)1(2+++n n n n记S n =1·22+2·32+…+n (n +1)2设n =k 时上式成立，即S k =12)1(+k k (3k 2+11k +10)那么S k +1=S k +(k +1)(k +2)2=2)1(+k k (k +2)(3k +5)+(k +1)(k +2)2=12)2)(1(++k k (3k 2+5k +12k +24)=12)2)(1(++k k ［3(k +1)2+11(k +1)+10］也就是说，等式对n =k +1也成立.综上所述，当a =3,b =11,c =10时，题设对一切自然数n 均成立. 歼灭难点训练一、1.解析：∵f (1)=36,f (2)=108=3×36,f (3)=360=10×36 ∴f (1),f (2),f (3)能被36整除，猜想f (n )能被36整除. 证明：n =1,2时，由上得证，设n =k (k ≥2)时， f (k )=(2k +7)·3k +9能被36整除，则n =k +1时， f (k +1)－f (k )=(2k +9)·3k +1(2k +7)·3k =(6k +27)·3k －(2k +7)·3k=(4k +20)·3k =36(k +5)·3k －2(k ≥2) ⇒f (k +1)能被36整除∵f (1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m 值等于36. 答案：C2.解析：由题意知n ≥3，∴应验证n =3. 答案：C二、3.解析：11112)11(112321122++⨯<++<+即 12122)12(1)11(11,35312112222++⨯<++++<++即 112)1(131211222++<+++++n n n 归纳为(n ∈N *) 112)1(131211:222++<+++++n n n 答案(n ∈N *) 53,553103,54393,5338333,5237332121333:.454223112+=+==+==+==+=+==+⨯=+=n a a a a a a a a a n 猜想同理解析 73:答案、83、93、10353=n 三、5.证明：(1)当n =1时，42×1+1+31+2=91能被13整除(2)假设当n =k 时，42k +1+3k +2能被13整除，则当n =k +1时， 42(k +1)+1+3k +3=42k +1·42+3k +2·3－42k +1·3+42k +1·3 =42k +1·13+3·(42k +1+3k +2)∵42k +1·13能被13整除，42k +1+3k +2能被13整除∴当n =k +1时也成立.由①②知，当n ∈N *时，42n +1+3n +2能被13整除.6.证明：(1)当n =2时，2413127221121>=+++ (2)假设当n =k 时成立，即2413212111>+++++k k k 2413)1)(12(21241322112124131122112124131111221121213121,1>+++=+-++=+-++++>+-++++++++++++=k k k k k k k k k k k k k k k n 时则当 7.(1)解：设数列{b n }的公差为d ,由题意得⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+=311452)110(10101111d b d b b ,∴b n =3n －2 (2)证明：由b n =3n －2知S n =log a (1+1)+log a (1+41)+…+log a (1+231-n ) =log a ［(1+1)(1+41)…(1+ 231-n )］而31log a b n +1=log a 313+n ,于是，比较S n 与31log a b n +1⇔比较(1+1)(1+41)…(1+231-n )与313+n 的大小.取n =1，有(1+1)=33311348+⋅=>取n =2，有(1+1)(1+33312378)41+⨯=>>推测：(1+1)(1+41)…(1+231-n )＞313+n (*)①当n =1时，已验证(*)式成立.②假设n =k (k ≥1)时(*)式成立，即(1+1)(1+41)…(1+231-k )＞313+k 则当n =k +1时，)1311(13)2)1(311)(2311()411)(11(3+++>-++-+++k k k k 3131323+++=k k k333222333331)1(343)23(13130)13(49)13()13)(43()23()43()131323(++=+>+++∴>++=+++-+=+-+++k k k k k k k k k k k k k k k31)1(3)1311)(2311()411)(11(++>-+-+++k k k 从而,即当n =k +1时，(*)式成立由①②知，(*)式对任意正整数n 都成立.于是，当a ＞1时，S n ＞31log a b n +1,当 0＜a ＜1时，S n ＜31log a b n+18.解：∵a 1·a 2=－q ,a 1=2,a 2≠0,∴q ≠0,a 2=－29,∵a n ·a n +1=－q n ,a n +1·a n +2=－q n+1两式相除，得qa a n n 12=+,即a n +2=q ·a n 于是，a 1=2,a 3=2·q ,a 5=2·q n …猜想：a 2n +1=－21q n(n =1,2,3,…) 综合①②，猜想通项公式为a n =⎪⎩⎪⎨⎧∈=-∈-=⋅-)(2 21)(12 21N N k k n q k k n q k k 时时下证：(1)当n =1,2时猜想成立(2)设n =2k －1时，a 2k －1=2·q k －1则n =2k +1时，由于a 2k +1=q ·a 2k －1∴a 2k +1=2·q k 即n =2k －1成立. 可推知n =2k +1也成立. 设n =2k 时，a 2k =－21q k,则n =2k +2时，由于a 2k +2=q ·a 2k ,所以a 2k +2=－21q k+1,这说明n =2k 成立，可推知n =2k +2也成立. 综上所述，对一切自然数n ,猜想都成立.这样所求通项公式为a n =⎪⎩⎪⎨⎧∈=-∈-=⋅-)(2 21)(12 21N N k k n q k k n q k k 时当时当S 2n =(a 1+a 3…+a 2n －1)+(a 2+a 4+…+a 2n ) =2(1+q +q 2+…+q n -1)－21(q +q 2+…+q n ) )24)(11()1()1(211)1(2q q q q q q q q n n n ---=--⋅---=由于|q |＜1,∴n n nn S q 2lim ,0lim ∞→∞→=故=)24)(11(qq q n --- 依题意知)1(24q q --＜3,并注意1－q ＞0,|q |＜1解得－1＜q ＜0或0＜q ＜52。
高考数学北师大理一轮复习 第章 推理与证明算法复数 归纳与类比 文档
1．归纳推理根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性．我们将这种推理方式称为归纳推理．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．归纳推理的基本模式：a、b、c∈M且a、b、c具有某属性，结论：任意d∈M，d也具有某属性．2．类比推理由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．简言之，类比推理是两类事物特征之间的推理．类比推理的基本模式：A：具有属性a，b，c，d；B：具有属性a′，b′，c′；结论：B具有属性d′.(a，b，c，d与a′，b′，c′，d′相似或相同)3．归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果不一定正确．4．演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(×)(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(√)(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(×)(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(√)(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是a n＝n(n∈N＋)．(×)(6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(×)1．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于()A ．28B ．76C ．123D ．199 答案 C解析 从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，依据此规律，a 10＋b 10＝123.2．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论： ①垂直于同一个平面的两条直线互相平行； ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ③垂直于同一个平面的两个平面互相平行； ④垂直于同一条直线的两个平面互相平行． 则正确的结论是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 答案 D解析 显然①④正确；对于②，在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，也可以异面或相交；对于③，在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以相交． 3．(教材改编)在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N ＋)成立，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则b 1b 2b 3b 4…b n ＝________________. 答案 b 1b 2b 3b 4…b 17－n (n <17，n ∈N ＋)4．(2014·福建)已知集合{a ，b ，c }＝{0,1,2}，且下列三个关系：①a ≠2，②b ＝2，③c ≠0有且只有一个正确，则100a ＋10b ＋c ＝________. 答案 201解析 因为三个关系中只有一个正确，分三种情况讨论：若①正确，则②③不正确，得到⎩⎪⎨⎪⎧a ≠2，b ≠2，c ＝0，由于集合{a ，b ，c }＝{0,1,2}，所以解得a ＝b ＝1，c ＝0，或a ＝1，b ＝c ＝0，或b＝1，a ＝c ＝0，与互异性矛盾； 若②正确，则①③不正确，得到⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，a ＝2，c ＝0，与互异性矛盾；若③正确，则①②不正确，得到⎩⎪⎨⎪⎧ c ≠0，a ＝2，b ≠2，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝0，c ＝1，符合题意，所以100a ＋10b ＋c ＝201.5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论，设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．答案T 8T 4 T 12T 8解析 对于等比数列，通过类比，有等比数列{b n }的前n 项积为T n ， 则T 4＝a 1a 2a 3a 4，T 8＝a 1a 2…a 8，T 12＝a 1a 2…a 12， T 16＝a 1a 2…a 16，因此T 8T 4＝a 5a 6a 7a 8，T 12T 8＝a 9a 10a 11a 12，T 16T 12＝a 13a 14a 15a 16， 而T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12的公比为q 16，因此T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列.题型一 归纳推理命题点1 与数字有关的等式的推理 例1 (2015·陕西)观察下列等式： 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …，据此规律，第n 个等式可为__________________________． 答案 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n解析 等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n 个等式左边有2n 项且正负交错，应为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n 个有n 项，且由前几个的规律不难发现第n 个等式右边应为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .命题点2 与不等式有关的推理例2 已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x3＋27x 3≥4，…，类比得x ＋ax n ≥n ＋1(n ∈N ＋)，则a ＝________. 答案 n n解析 第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝11＝1；第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝22＝4；第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33＝27，归纳可知a ＝n n . 命题点3 与数列有关的推理例3 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数N (n,6)＝2n 2－n………………………………………可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝____________. 答案 1000 解析 由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k2n ，∴N (10,24)＝24－22×100＋4－242×10＝1100－100＝1000.命题点4 与图形变化有关的推理例4 某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段，且这两条线段与原线段两夹角为120°，…，依此规律得到n级分形图．(1)n级分形图中共有________条线段；(2)n级分形图中所有线段长度之和为________．答案(1)3×2n－3(2)9－9×⎝⎛⎭⎫23n解析(1)分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图中有3＝(3×2－3)条线段，二级分形图中有9＝(3×22－3)条线段，三级分形图中有21＝(3×23－3)条线段，按此规律n级分形图中的线段条数a n＝(3×2n－3) (n∈N＋)．(2)∵分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段，∴n级分形图中第n级的所有线段的长度和为b n＝3×⎝⎛⎭⎫23n－1(n∈N＋)，∴n级分形图中所有线段长度之和为S n＝3×⎝⎛⎭⎫230＋3×⎝⎛⎭⎫231＋…＋3×⎝⎛⎭⎫23n－1＝3×1－⎝⎛⎭⎫23n1－23＝9－9×⎝⎛⎭⎫23n.思维升华归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．(2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．(3)与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．(4)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．(1)观察下图，可推断出“x”处应该填的数字是________．(2)如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 (1)183 (2)C解析 (1)由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平方和，∴“x ”处应填的数字是32＋52＋72＋102＝183.(2)由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n (n ≥2，n ∈N ＋)层的点数为6(n －1)．设一个点阵有n (n ≥2，n ∈N ＋)层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6(n －1)＝1＋6＋6(n －1)2×(n －1)＝3n 2－3n ＋1，由题意得3n 2－3n ＋1＝169，即(n ＋7)·(n －8)＝0，所以n ＝8，故共有8层． 题型二 类比推理例5 已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N ＋)，则a m ＋n ＝nb －ma n －m .类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n >0，n ∈N ＋)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N ＋)，则可以得到b m ＋n ＝________. 答案 n －m d nc m解析 设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q . 因为a n ＝a 1＋(n －1)d ，b n ＝b 1qn －1，a m ＋n ＝nb －man －m，所以类比得b m ＋n ＝n －m d nc m.思维升华 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等．在平面上，设h a ，h b ，h c 是三角形ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：P a h a ＋P b h b ＋P ch c ＝1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为______________________． 答案P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d＝1 解析 设h a ，h b ，h c ，h d 分别是三棱锥A －BCD 四个面上的高，P 为三棱锥A －BCD 内任一点，P 到相应四个面的距离分别为P a ，P b ，P c ，P d ，于是可以得出结论：P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d ＝1.题型三 演绎推理例6 已知函数f (x )＝－aa x ＋a (a >0，且a ≠1)．(1)证明：函数y ＝f (x )的图像关于点(12，－12)对称；(2)求f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)的值．(1)证明 函数f (x )的定义域为全体实数，任取一点(x ，y )，它关于点(12，－12)对称的点的坐标为(1－x ，－1－y )． 由已知y ＝－aa x ＋a，则－1－y ＝－1＋a a x ＋a ＝－a xa x ＋a ，f (1－x )＝－a a 1－x ＋a ＝－a a a x ＋a＝－a ·a xa ＋a ·a x ＝－a xa x ＋a ，∴－1－y ＝f (1－x )，即函数y ＝f (x )的图像关于点(12，－12)对称．(2)解 由(1)知－1－f (x )＝f (1－x )， 即f (x )＋f (1－x )＝－1.∴f (－2)＋f (3)＝－1，f (－1)＋f (2)＝－1， f (0)＋f (1)＝－1.则f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝－3.思维升华演绎推理是由一般到特殊的推理，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的前提，一般地，若前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为前提．已知函数y＝f(x)满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数．证明设x1，x2∈R，取x1<x2，则由题意得x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，∴x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0，∵x1<x2，∴f(x2)－f(x1)>0，f(x2)>f(x1)．∴y＝f(x)为R上的单调增函数．10．高考中的合情推理问题典例(1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n}，可以推测：①b2014是数列{a n}的第________项；②b2k－1＝________.(用k表示)(2)设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y＝f(x)满足：(1)T＝{f(x)|x∈S}；(2)对任意x1，x2∈S，当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2)．那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是()A．A＝N＋，B＝NB．A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|x＝－8或0<x≤10}C ．A ＝{x |0<x <1}，B ＝RD ．A ＝Z ，B ＝Q解析 (1)①a n ＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2，b 1＝4×52＝a 4，b 2＝5×62＝a 5，b 3＝9(2×5)2＝a 9，b 4＝(2×5)×112＝a 10，b 5＝14×(3×5)2＝a 14，b 6＝(3×5)×162＝a 15，…b 2014＝⎝⎛⎭⎫20142×5⎝⎛⎭⎫20142×5＋12＝a 5035.②由①知b 2k －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1＋12×5－1⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1＋12×52＝5k (5k －1)2. (2)对选项A ，取f (x )＝x －1，x ∈N ＋，所以A ＝N ＋，B ＝N 是“保序同构”的，应排除A ；对选项B ，取f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－8，x ＝－1，x ＋1，－1<x ≤0，x 2＋1，0<x ≤3，所以A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＝－8或0<x ≤10}是“保序同构”的，应排除B ；对选项C ，取f (x )＝tan(πx －π2)(0<x <1)，所以A ＝{x |0<x <1}，B＝R 是“保序同构”的，应排除C.选D. 答案 (1)①5035 ②5k (5k －1)2(2)D温馨提醒 (1)解决归纳推理问题，常因条件不足，了解不全面而致误．应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳．(2)解决类比问题，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由，再去类比另一类问题．[方法与技巧]1．合情推理的过程概括为从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想2．演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理方法，是由一般到特殊的推理．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．[失误与防范]1．合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．2．演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．3．合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据．A组专项基础训练(时间：40分钟)1．下列推理是归纳推理的是()A．A，B为定点，动点P满足|P A|＋|PB|＝2a>|AB|，则P点的轨迹为椭圆B．由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇答案 B解析从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和S n，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理，故应选B.2．平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为()A ．n ＋1B ．2n C.n 2＋n ＋22D ．n 2＋n ＋1 答案 C解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……；n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n (n ＋1)2＝n 2＋n ＋22个区域，选C. 3．给出下列三个类比结论：①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ；②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2.其中正确结论的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析 (a ＋b )n ≠a n ＋b n (n ≠1，a ·b ≠0)，故①错误．sin(α＋β)＝sin αsin β不恒成立．如α＝30°，β＝60°，sin90°＝1，sin30°·sin60°＝34， 故②错误．由向量的运算公式知③正确．4．若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }(b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n )也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c n nB ．d n ＝c 1·c 2·…·c n nC ．d n ＝n c n 1＋c n 2＋…＋c n n nD ．d n ＝n c 1·c 2·…·c n 答案 D解析 若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ， ∴b n ＝a 1＋(n －1)2d ＝d 2n ＋a 1－d 2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n 1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·q n (n －1)2， ∴d n ＝n c 1·c 2·…·c n ＝c 1·q n －12，即{d n }为等比数列，故选D. 5．在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2为a n 与a n ＋1(n ∈N ＋)的积的个位数，则a 2017等于( )A ．8B ．6C ．4D ．2答案 D解析 由题意得a 3＝4，a 4＝8，a 5＝2，a 6＝6，a 7＝2，a 8＝2，a 9＝4，a 10＝8，a 11＝2，a 12＝6，a 13＝2，a 14＝2.可见从第3项开始，{a n }为周期为6的循环数列，根据规律得a 2017＝2.6．观察下列不等式：1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， ……照此规律，第五个不等式为________________________．答案 1＋122＋132＋142＋152＋162<116解析 观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母的开方与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．故第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116. 7．若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2＋y 0y b 2＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程是________________．答案 x 0x a 2－y 0y b 2＝1 解析 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1，P 2的切线方程分别是x 1x a 2－y 1y b 2＝1，x 2x a 2－y 2y b 2＝1. 因为P 0(x 0，y 0)在这两条切线上，故有x 1x 0a 2－y 1y 0b 2＝1， x 2x 0a 2－y 2y 0b 2＝1， 这说明P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线x 0x a 2－y 0y b 2＝1上， 故切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2－y 0y b 2＝1. 8．已知等差数列{a n }中，有a 11＋a 12＋…＋a 2010＝a 1＋a 2＋…＋a 3030，则在等比数列{b n }中，会有类似的结论：______________________.答案 10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 30解析 由等比数列的性质可知b 1b 30＝b 2b 29＝…＝b 11b 20， ∴10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 30.9．设f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．解 f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3 ＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33， 同理可得：f (－1)＋f (2)＝33， f (－2)＋f (3)＝33，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1. 归纳猜想得：当x 1＋x 2＝1时，均有f (x 1)＋f (x 2)＝33. 证明：设x 1＋x 2＝1，f (x 1)＋f (x 2)＝13x 1＋3＋13x 2＋3＝(3x 1＋3)＋(3x 2＋3)(3x 1＋3)(3x 2＋3)＝3x 1＋3x 2＋233x 1＋x 2＋3(3x 1＋3x 2)＋3＝3x 1＋3x 2＋233(3x 1＋3x 2)＋2×3＝3x 1＋3x 2＋233(3x 1＋3x 2＋23)＝33. 10．在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC2，那么在四面体A —BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．解 如图所示，由射影定理得AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝BC ·DC ，∴1AD 2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2. 又BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2. 猜想，四面体A —BCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2. 证明：如图，连接BE 并延长交CD 于F ，连接AF .∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝D ，AC平面ACD ，AD 平面ACD ，∴AB ⊥平面ACD . ∵AF 平面ACD ，∴AB ⊥AF .在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ，∴1AE 2＝1AB 2＋1AF2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴1AF 2＝1AC 2＋1AD2， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2. B 组 专项能力提升(时间：30分钟)11．设是R 的一个运算，A 是R 的非空子集．若对于任意a ，b ∈A ，有a b ∈A ，则称A 对运算封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( )A ．自然数集B ．整数集C ．有理数集D ．无理数集答案 C解析 A 错：因为自然数集对减法、除法不封闭；B 错：因为整数集对除法不封闭；C 对：因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；D 错：因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭．12.如图，我们知道，圆环也可以看作线段AB 绕圆心O 旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S ＝π(R 2－r 2)＝(R －r )×2π×R ＋r 2.所以，圆环的面积等于以线段AB ＝R －r 为宽，以AB 中点绕圆心O 旋转一周所形成的圆的周长2π×R ＋r 2为长的矩形面积．请你将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：若将平面区域M ＝{(x ，y )|(x －d )2＋y 2≤r 2}(其中0<r <d )绕y 轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是( )A ．2πr 2dB ．2π2r 2dC ．2πrd 2D ．2π2rd 2答案 B解析 平面区域M 的面积为πr 2，由类比知识可知：平面区域M 绕y 轴旋转一周得到的旋转体为实心的车轮内胎，旋转体的体积等于以圆(面积为πr 2)为底，以O 为圆心、d 为半径的圆的周长2πd 为高的圆柱的体积，所以旋转体的体积V ＝πr 2×2πd ＝2π2r 2d ，选B.13．如图(1)若从点O 所作的两条射线OM 、ON 上分别有点M 1、M 2与点N 1、N 2，则三角形面积之比S △OM 1N 1S △OM 2N 2＝OM 1OM 2·ON 1ON 2.如图(2)，若从点O 所作的不在同一平面内的三条射线OP 、OQ 和OR 上分别有点P 1、P 2，点Q 1、Q 2和点R 1、R 2，则类似的结论为__________________．答案 VO －P 1Q 1R 1VO －P 2Q 2R 2＝OP 1OP 2·OQ 1OQ 2·OR 1OR 2解析 考查类比推理问题，由图看出三棱锥P 1－OR 1Q 1及三棱锥P 2－OR 2Q 2的底面面积之比为OQ 1OQ 2·OR 1OR 2，又过顶点分别向底面作垂线，得到高的比为OP 1OP 2，故体积之比为VO －P 1Q 1R 1VO －P 2Q 2R 2＝OP 1OP 2·OQ 1OQ 2·OR 1OR 2. 14．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°；②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°；③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解 (1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30° ＝1－14＝34. (2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α·(cos30°·cos α＋sin30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α ＝sin 2α＋34cos 2α－14sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 15．对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，请你根据这一发现， (1)求函数f (x )的对称中心；(2)计算f (12013)＋f (22013)＋f (32013)＋f (42013)＋…＋f (20122013)． 解 (1)f ′(x )＝x 2－x ＋3，f ″(x )＝2x －1，由f ″(x )＝0，即2x －1＝0，解得x ＝12. f (12)＝13×(12)3－12×(12)2＋3×12－512＝1. 由题中给出的结论，可知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为(12，1)． (2)由(1)，知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为(12，1)， 所以f (12＋x )＋f (12－x )＝2， 即f (x )＋f (1－x )＝2.故f (12013)＋f (20122013)＝2， f (22013)＋f (20112013)＝2， f (32013)＋f (20102013)＝2， …f (20122013)＋f (12013)＝2.2 2013)＋f(32013)＋f(42013)＋…＋f(20122013)＝12×2×2012＝2012.所以f(12013)＋f(。
北师大版选修(1-2)3.1《归纳与类比学案》word教案
1.1归纳与类比(高二理)使用说明：1.独立认真限时完成导学案，规范书写。
2•认真反思，总结方法规律。
重点、难点：用归纳与类比进行推理与猜想一. 学习目标：1. 了解归纳与类比的定义。
2.会用归纳与类比进行简单的推理与猜想，3.掌握用归纳与类比推理事物规律的方法及过程。
4 •体验数学推理过程，激发学生学习兴趣，培养创新能力。
二：问题导学：1. _________________ 推理一般包括推理和推理。
2.根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中________ 都有这种属性，我们将这种推理方式称为___________ 推理。
3.由于两类不同的对象具有某些________ 特征，在此基础上，根据一类对象的_________ 特征，推断另一类对象也具有________ 特征，我们将这种推理过程称为 ___________ 推理。
4. _______ _________ 推理和推理是常见的合情推理。
合情推理是_________________________________________________________________________ 。
演绎推理是_________________________________________________________________________ 。
三.合作探究：2a例1已知数列 a ｛满足-1, a n—— (n • N..),a n +2(1)求a2，a3，a4.(2)猜测a5及数列的通项公式；例2如图(1)有面积关系：S PAB二PA PB则图(2)有体积关系：V p^BcS庄AB pA PB四.巩固拓展:1.根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有_________ 个点2•图（1）为相互成120角的三条线段，长度均为 1,图（2）在图（1）的每条线段的前端 各作两条与该线段成120角的线段，长度为其一半，图（3）用图（2）的方法在每条线段的前端生成两条线段， 长度为其一半，重复前面的方法至第 n 张图，设第n 张图所有线段长度之和为 a n ,则a n= ________________ 3•经计算发现下列不等式：• 2 -18 ：：2.10, .4.5•15.5 ：： 2 -10, 3 . 2 .. 17 —，2 ：： 2 . 10,……根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数 a,b 都成立的条件不等式 __________________1 j4. 三角形的面积为 S a b c r, a,b,c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，禾U2用类比推理可以得出四面体的体积为（ ）11 A . V abcB. V sh 331 C • V = —（3 +S2 +S3 +S4 r, （ S 1 S 2,S 3,S 4为四个面的面积，r 为内切球的半径） 31 JD. V ab bc ac h, （h 为四面体的高）3 5. 有“等腰三角形的两底角相等，两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是_________ (1)求 a 1,a 2,a 3(2)猜想a n7•已知以下过程可以求 1+2 + 3+ OOOOOO 因为(n+1 f —n 2=2n + 16.设数列'a n 匚的各项为正数，前n 项之和为 a n+n 的和。
高考数学一轮复习 第6章 不等式、推理与证明 第6讲 数学归纳法课件 理 北师大版
1 k＋
1）
3，
因为2（
1 k＋
1）
2－21k2－（
1 k＋
1）
3＝2（kk＋＋31）
3－21k2
＝2（－k＋3k－ 1）13k2<0，
所以
f(k＋
1)<32－2（
1 k＋
1）
2＝
g(k＋
1)，
由①、②可知，对一切 n∈N*，
都有 f(n)≤g(n)成立．
“归纳——猜想——证明”的模式 “归纳——猜想——证明”的模式是不完全归纳法与数学 归纳法综合应用的解题模式．其一般思路是：通过观察有限 个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这 种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命 题中有着广泛的应用．其关键是归纳、猜想出公式.
考点二 用数学归纳法证明不等式
用数学 归纳法证明不等式
2＋1·4＋1·…·2n＋1> n＋1.
24
2n
[证明] (1)当 n＝1 时，左式＝32，
右式＝ 2，
左式>右式，所以结论成立．
(2)假设 n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，
即2＋1·4＋1·…·2k＋1> k＋1，
24
2k
则当
n＝ k＋ 1
f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k) ＝k[f(k)－1]＋f(k) ＝(k＋1)f(k)－k
＝(k＋1)f（k＋1）－k＋1 1－k
＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1) ＝(k＋1)[f(k＋1)－1]， 所以当 n＝k＋1 时结论仍然成立． 由(1)(2)可知：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n ∈ N* )．
新北师大版小学六年级数学上册-第六单元《比的认识》教案教学内容
第六单元：比的认识单元教学目标：1、经历从具体情境中抽象出比的过程，理解比的意义及其与除法、分数的关系。
2、在实际情境中，体会化简比的必要性，会运用商不变的性质或分数的基本性质化简比，并能解决一些简单的实际问题。
3、能运用比的意义，解决按照一定的比进行分配的实际问题，进一步体会比的意义，提高解决问题的能力，感受比在生活中的广泛应用。
单元教材分析：这部分内容是在学生已经学过分数的意义以及分数与除尘的关系的基础上学习的。
本单元学习的主要内容有:生活中的比、比的化简、比的应用。
单元教学安排：内容课时数生活中的比 3比的化简 4比的应用练习五 3机动 2生活中的比教学内容：课本第69-71页教学目标：1、经历从具体情境中抽象出比的过程，理解比的意义。
2、认识比的各部分名称，能正确读写比，会求比值。
3、理解比与除法、分数的关系，体会事物之间的联系。
4、能利用比的知识解释一些简单的生活问题，感觉比在生活中的广泛存在。
教学重点：理解比的意义，了解比的各部分名称。
教学难点：理解比的意义。
教学用具：多媒体课件。
教学过程：一、提供丰富的实例，感受“比”的意义（一）实例1师：同学们，今天老师带来了一张可爱的图片，你们想不想看？（出示图）师：请同学们仔细观察这些图片，哪几张图片与图A比较像？生：图B和图D与图A比较像。
师；哪谁能说说图C和图E为什么与图A不像呢？生：图C变矮变胖了，图E变长变瘦了。
师：哪图B和图D为什么会像？它们之间有什么秘密？会和什么有关呢？下面我们一起来研究一下。
（出示课本探究活动的图）师：为了更好的弄清这些图片为什么像又为什么不像？老师把这些图片的长方形画在方格纸上。
师：长方形的大小与谁有关？生：与长方形的长和宽有关。
师：对，刚才，我们是用眼睛直接判断出像与不像，现在能不能通过算式来研究这些长方形的长和宽到底有什么关系，使得这些图片有的像有的不像。
师：这张图中的方格每一格的长是1厘米，请同学们打开书本第66页，完成下面的做一做。
2018一轮北师大版理数学课件：第6章 第4节 归纳与类比 精品
1．归纳推理 (1)定义： 根据一类事物中部分事物具有某种 属性， 推断该类事物中每一个事 物都有这种 属性的推理方式． (2)特点：①是由部分 到整体，由 个别到一般 的推理． ②利用归纳推理得出的结论不一定是正确的．
2．类比推理 (1)定义：由于两类不同对象具有某些类似 的特征，在此基础上，根据一类 对象的其他特征，推断另一类对象也具有 类似的其他特征的推理过程． (2)特点：①是两类事物特征之间的推理． ②利用类比推理得出的结论不一定是正确的．
……
照此规律，
sin
π 2n＋1
－2
＋
sin
2π 2n＋1
－2
＋
sin
3π 2n＋1
－2
＋…＋
sin
2nπ 2n＋1
－2
＝
________.
mm＋1 4 m (1)C (2) n(n＋1) [(1)数列 在数列中是第 1＋2＋3＋…＋m＝ 3 2 m＋1 5 5 项，当 m＝5 时，即 是数列中第 15 项，则第 20 项是 ，故选 C. 6 7 4 4 (2)通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的 是个固定数， 后面第一 3 3 4 个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中 π 的系数的一半， 后面第二个 3 4 4 数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为 ×n×(n＋1)，即 n(n＋1)．] 3 3
3Hale Waihona Puke 合情推理 (1)定义：是根据实验和实践的结果，个人的经验和直觉，已有的事实和正 确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式． (2)归纳推理和类比推理是最常见的合情推理．
4．演绎推理 (1)定义：是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结 论的推理过程． (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
高三数学一轮复习 7-7数学归纳法 北师大版
首页
上页
下页
末页
第六章 数列
(2)由此猜想 an＝n(2n－1)． 下面用数学归纳法加以证明： ①当 n＝1 时，a1＝1×(2－1)＝1，结论成立． ②假设 n＝k 时，结论正确，即 ak＝k(2k－1)， 则当 n＝k＋1 时，有aakk＋ ＋11＋ －aakk－ ＋11＝k
首页
上页
下页
末页
第六章 数列
知识梳理 数学归纳法 数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命 题的一种方法，它的基本步骤是： (1)验证： n＝1 时，命题成立； (2)在假设 n＝k(k≥1) 时，命题成立的前提下，推出
n＝k＋1 时，命题成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n都成立．
首页
上页
下页
末页
第六章 数列
②假设当n＝2k－1(k∈N*)时命题成立，即(x＋y)能整 除x2k－1＋y2k－1则当n＝2k＋1时，
x2k＋1＋y2k＋1＝x2x2k－1＋x2y2k－1－x2y2k－1＋y2y2k－1 ＝x2(x2k－1＋y2k－1)－(x＋y)(x－y)y2k－1 ∵x＋y能整除(x2k－1＋y2k－1) 又x＋y能整除(x＋y)(x－y)y2k－1 ∴(x＋y)能整除(x2k＋1＋y2k＋1) 由(1)(2)可知当n为正奇数时xn＋yn能被x＋y整除．
首页
上页
下页
末页
第六章 数列
首页
上页
下页
末页
第六章 数列
[例 1] 用数学归纳法证明：n∈N*时，1×1 3＋3×1 5 ＋…＋2n－112n＋1＝2nn＋1.
[解析] (1)当 n＝1 时，左边＝1×1 3， 右边＝2×11＋1＝31，左边＝右边．∴等式成立．
2019高三数学(北师大版理科)一轮课件7.3 归纳与类比精选ppt版本
关键能力
-20-
考点1 考点2 考点3 考点4
对点训练 2(1)已知在等差数列{an}中,有������11+������121+0…+������20 =
������1+������2+30…+������30,则在等比数列{bn}中,会有类似的结论:
.
(2)设△ABC的三边长分别为a,b,c,△ABC的面积为S,内切圆半径为 (r别1,)则1为0 S������11r,1S=���2������1,���S2+23…���,������S���+;���4类������,���2四0比=面这体30个A������结1B���C���论2D…可的������3知体0 ,积四为面V体,内AB切C球D的半四径个为面R,则的面积分 关闭 由R=等比数列的性质知 b1b3.0=b2b29=…=b11b20,所以10 b11b12…b20 =
好;乙看到丙的成绩则知道自己的成绩.又丁看到甲的成绩,所以丁也知道 关闭
自D 己的成绩,故选D.
解析 答案
必备知识
-9-
知识梳 理
考点自 测
12345
5.在平面上,若两个正三角形的边长的比为1∶2,则它们的面积比
为1∶4.类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,则它
们的体积比为
.
关闭
由平面图形的面积类比立体图形的体积得出:在空间内,若两个正四面体 的棱长的比为1∶2,则它们的底面积之比为1∶4,对应高之比为1∶2,所以
论:B具有属性d'.(a,b,c,d与a',b',c',d'相似或相同)
必备知识
-3-
六年级上册数学北师大版第六单元复习教学设计 教案
18、甲、乙、丙三个数的平均数是63，这三个数的比是6：1：2，甲数是多少？
当堂检测：一个长方形的周长是96厘米，长和宽的比是7：5，这个长方形的长和宽分别是多少？
整理知识点
德育渗透
在梳理知识的过程中感受复习的重要性和必要性，形成自学复习所学知识的良好习惯
2、把11克盐溶解在100克水中，盐与盐水的比是（ ），水占盐水的（ ），盐与水的比是（ ）。
3、大正方体的边长是7分米，小正方体的边长是4分米，大小正方体的边长比是（ ），周长比是（ ），小正方体与大正方体的面积比的（ ），大正方体与小正方体的体积比是（ ）。
4、甲数的20％等于乙数的25％，甲数与乙数的比是（ ）。
出示课件
训练学生说：
数量对应的份数是多少？
练习
关注：
学1、比的意义
2、比的化简（比与比值的区别）
3、比的应用
课后
反思
在本节课中，学生能够抓住数量关系进行分析，思路清晰，准确率较高。但对于已知长方形的周长求面积，个别学生算理不清。
第6单元比的认识
复习教案
课题
比的复习
课型
复习
教学
目标
1、进一步理解比的意义及其与除法、分数的关系。
2、能用商不变的性质或分数的基本性质化简比，并能解决简单的实际问题。
3、在梳理知识的过程中感受复习的重要性和必要性，形成自学复习所学知识的良好习惯。
重点
掌握比的意义，比的化简知识
难点
熟练应用比的意义解决实际问题
（二）应用题
10、一种铜和铝的合金，重7500克，铜和铝的质量的比是2：3，这种合金中的铜和铝各重多少？
2020版高考数学一轮复习第6章不等式、推理与证明第4节归纳与类比教学案理北师大版
第四节归纳与类比[考纲传真] 了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用．1．归纳推理根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性．我们将这种推理方式称为归纳推理．2．类比推理由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．3．归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果不一定正确．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( )(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.( )(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.[答案](1)×(2)√(3)×2．(教材改编)已知数列{a n}中，a1＝1，n≥2时，a n＝a n－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的表达式是( )A．a n＝3n－1 B．a n＝4n－3C．a n＝n2D．a n＝3n－1C[a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想a n＝n2.]3．下面几种推理是合情推理的是 ( )①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③李锋某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n 边形内角和是(n－2)·180°.A．①② B．①③C．①②④ D．②④C [合情推理分为类比推理和归纳推理．其中①是类比推理，②④是归纳推理．故选C.] 4．(教材改编)在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n ＜19，n ∈N *)成立，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则b 1b 2b 3…b n ＝________.b 1·b 2·…·b 17－n (n ＜17，n ∈N *) [∵b 9＝1，∴在等比数列中b 1·b 2·b 3·…·b n ＝b 1·b 2·…·b 17－n (n ＜17，n ∈N *)．]归纳推理►考法1 与数式有关的推理【例1】 (1)(2019·南昌模拟)已知13＋23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622,13＋23＋33＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1222,13＋23＋33＋43＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2022，…，若13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝3 025，则n ＝( )A ．8B ．9C ．10D ．11(2)(2019·济宁模拟)已知a i ＞0(i ＝1,2,3，…，n )，观察下列不等式：a 1＋a 22≥a 1a 2；a 1＋a 2＋a 33≥3a 1a 2a 3；a 1＋a 2＋a 3＋a 44≥4a 1a 2a 3a 4；……照此规律，当n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a nn≥______.(1)C (2)na 1a 2…a n [(1)观察所提供的式子可知，等号左边最后一个数是n 3时，等号右边的数为⎝⎛⎭⎪⎫n n ＋22，因此，令⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋22＝3025，则n n ＋2＝55，n ＝10或n ＝－11(舍)．故选C.(2)由题意得a 1＋a 2＋…＋a n n≥n a 1a 2…a n (n ∈N *，n ≥2)．]►考法2 与图形有关的推理【例2】 某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是从一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n 级分形图．(1)n 级分形图中共有________条线段； (2)n 级分形图中所有线段长度之和为________．(1)3×2n －3(n ∈N *) (2)9－9×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n (n ∈N *) [(1)由题图知，一级分形图中的线段条数为3＝3×2－3，二级分形图中的线段条数为9＝3×22－3，三级分形图中的线段条数为21＝3×23－3，按此规律，n 级分形图中的线段条数为a n ＝3×2n －3(n ∈N *)．(2)∵从分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的13的线段，∴n 级分形图中第n 级的所有线段的长度和为b n ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1(n ∈N *)，∴n 级分形图中所有线段长度之和为S n ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫230＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫231＋…＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝3×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n1－23＝9－9×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n .](1)《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：223＝223，338＝338，4415＝4415，5524＝5524，…，则按照以上规律，若99n＝99n具有“穿墙术”，则n ＝( )A ．25B ．48C ．63D ．80(2)如图的图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n 个图形中小正方形的个数是________．(1)D (2)n n ＋2(n ∈N *) [(1)由223＝223，338＝338，4415＝4415，5524＝5524，…， 可得若99n＝99n具有“穿墙术”，则n ＝92－1＝80.(2)由题图知第n 个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n .所以总个数为n n ＋2(n ∈N *)．]类比推理【例3】 (1)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在2＋2＋2＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2＋x ＝x 确定出来x ＝2，类似地不难得到1＋11＋11＋…＝( )A.－5－12 B ．5－12C.1＋52D ．1－52(2)(2018·南昌一模)平面内直角三角形两直角边长分别为a ，b ，则斜边长为a 2＋b 2，直角顶点到斜边的距离为aba 2＋b 2.空间中三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，类比推理可得底面积为S 21＋S 22＋S 23，则三棱锥顶点到底面的距离为( )A.3S 1S 2S 3S 21＋S 22＋S 23B ．S 1S 2S 3S 21＋S 22＋S 23C.2S 1S 2S 3S 21＋S 22＋S 23D ．3S 1S 2S 3S 21＋S 22＋S 23(1)C (2)C [(1)令1＋11＋11＋…＝x (x ＞0)，即1＋1x ＝x ，即x 2－x －1＝0，解得x ＝1＋52(x ＝1－52舍)，故1＋11＋11＋…＝1＋52，故选C.(2)设空间中三棱锥O ABC 的三条两两垂直的侧棱OA ，OB ，OC 的长分别为a ，b ，c ，不妨设三个侧面的面积分别为S △OAB ＝12ab ＝S 1，S △OAC ＝12ac ＝S 2，S △OBC ＝12bc ＝S 3，则ab ＝2S 1，ac＝2S 2，bc ＝2S 3.过O 作OD ⊥BC 于D ，连接AD (图略)，由OA ⊥OB ，OA ⊥OC ，且OB ∩OC ＝O ，得OA ⊥平面OBC ，所以OA ⊥BC ，又OA ∩OD ＝O ，所以BC ⊥平面AOD ，又BC 平面OBC ，所以平面OBC ⊥平面AOD ，所以点O 在平面ABC 内的射影O ′在线段AD 上，连接OO ′. 在直角三角形OBC 中，OD ＝bcb 2＋c 2. 因为AO ⊥OD ，所以在直角三角形OAD 中，OO ′＝OA ·ODOA 2＋OD 2＝a ·bc b 2＋c 2a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫bc b 2＋c 22＝abcab 2＋ac 2＋bc2＝ab bccaab2＋ac2＋bc2＝S 1S 2S 3S 12＋S 32＋S 22＝2S 1S 2S 3S 21＋S 22＋S 23.](1)在正项等差数列{a n }中有41426020＝12100100成立，则在正项等比数列{b n }中，类似的结论为________．(2)如图(1)所示，点O 是△ABC 内任意一点，连接AO ，BO ，CO ，并延长交对边于A 1，B 1，C 1，则OA 1AA 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＝1，类比猜想：点O 是空间四面体VBCD 内的任意一点，如图(2)所示，连接VO ，BO ，CO ，DO 并延长分别交面BCD ，VCD ，VBD ，VBC 于点V 1，B 1，C 1，D 1，则有________．(1)20b 41b 42b 43…b 60＝100b 1b 2b 3…b 100 (2)OV 1VV 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＋OD 1DD 1＝1 [(1)由等差数列的性质知，a 41＋a 42＋…＋a 6020＝a 41＋a 6020＝a 1＋a 1002，a 1＋a 2＋…＋a 100100＝a 1＋a 100100＝a 1＋a 1002，所以a 41＋a 42＋…＋a 6020＝a 1＋a 2＋…＋a 100100.在正项等比数列{b n }中，类似的有： 20b 41b 42b 43…b 60＝20b 41b 6010＝20b 1b 10010＝b 1b 100，100b 1b 2b 3…b 100＝100b 1b 10050＝b 1b 100，所以20b 41b 42b 43…b 60＝100b 1b 2b 3…b 100，所以在正项等比数列{b n }中，类似的结论为20b 41b 42b 43…b 60＝100b 1b 2b 3…b 100.(2)利用类比推理，猜想应有OV 1VV 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＋OD 1DD 1＝1. 用“体积法”证明如下：OV 1VV 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＋OD 1DD 1＝V O BCD V V BCD ＋V O VCD V B VCD ＋V O VBD V C VBD ＋V O VBC V D VBC ＝V V BCDV V BCD＝1.] 推理在生活中的应用【例4】 (1)甲、乙、丙、丁四位同学参加比赛，只有其中三位获奖．甲说：“乙或丙未获奖”；乙说：“甲、丙都获奖”；丙说：“我未获奖”；丁说：“乙获奖”．四位同学的话恰有两句是对的，则 ( )A ．甲和乙不可能同时获奖B ．丙和丁不可能同时获奖C ．乙和丁不可能同时获奖D ．丁和甲不可能同时获奖(2)(2019·郑州模拟)甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙比学习委员的年龄大，甲与体育委员的年龄不同，体育委员比乙的年龄小，据此推断班长是________．(1)C (2)乙 [(1)若甲未获奖，则乙、丙、丁三位同学获奖，此时甲、乙、丙说的都错了，与题设矛盾，所以甲一定获奖了；若丙未获奖，则甲、乙、丁三位同学获奖，此时甲、丙、丁说的都对，与题设矛盾，所以丙也一定获奖了，由此可知乙、丁只有一个获奖，不可能同时获奖，故选C.(2)若甲是班长，由于体育委员比乙的年龄小，故丙是体育委员，乙是学习委员，但这与丙比学习委员的年龄大矛盾，故甲不是班长；若丙是班长，由于体育委员比乙的年龄小，故甲是体育委员，这和甲与体育委员的年龄不同矛盾，故丙不是班长；若乙是班长，由于甲与体育委员的年龄不同，故甲是学习委员，丙是体育委员，此时其他条件均成立，故乙是班长．]甲、乙、丙三人各从图书馆借来一本书，他们约定读完后互相交换．三人都读完了这三本书之后，甲说：“我最后读的书与丙读的第二本书相同．”乙说：“我读的第二本书与甲读的第一本书相同．”根据以上说法，推断乙读的最后一本书是________读的第一本书．丙[因为共有三本书，而乙读的第一本书与第二本书已经明确，只有丙读的第一本书乙还没有读，所以乙读的最后一本书是丙读的第一本书．]1．(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( ) A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩D[由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D．]2.(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________1和3[法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．故甲的卡片上的数字是1和3.法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.]3．(2014·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．A[由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A.]。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第四节归纳与类比[考纲传真] 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的重要性；掌握演绎推理的基本模式，并能用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．1．归纳推理(1)定义：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性的推理方式．(2)特点：①是由部分到整体，由个别到一般的推理．②利用归纳推理得出的结论不一定是正确的．2．类比推理(1)定义：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征的推理过程．(2)特点：①是两类事物特征之间的推理．②利用类比推理得出的结论不一定是正确的．3．合情推理(1)定义：是根据实验和实践的结果，个人的经验和直觉，已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．(2)归纳推理和类比推理是最常见的合情推理．4．演绎推理(1)定义：是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理．( )(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( )(3)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m 是3的倍数，则m 一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．( )(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．由“半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推出“半径为R 的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是( )A ．归纳推理B ．类比推理C ．演绎推理D ．以上都不是B [类比推理的一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性．(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．所以，由“半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R 的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是类比推理．]3．(教材改编)已知数列{a n }中，a 1＝1，n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是( )A ．a n ＝3n －1B ．a n ＝4n －3C ．a n ＝n 2D ．a n ＝3n －1C [a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16，猜想a n ＝n 2.] 4．“因为指数函数y ＝a x 是增函数(大前提)，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是指数函数(小前提)，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x是增函数(结论)”，上面推理的错误在于( ) A ．大前提错误导致结论错误B ．小前提错误导致结论错误C ．推理形式错误导致结论错误D ．大前提和小前提错误导致结论错误A [“指数函数y ＝a x 是增函数”是本推理的大前提，它是错误的．因为实数a 的取值范围没有确定，所以导致结论是错误的．]5．(2014·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．A [由题意可推断：甲没去过B 城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A ，C 城市，而乙“没去过C 城市”，说明乙去过城市A ，由此可知，乙去过的城市为A.](1)(2016·武汉4月调研)数列12，13，23，14，24，34，…，1m ＋1，2m ＋1，…，m m ＋1，…的第20项是( ) A.58 B.34 C.57 D.67(2)(2016·山东高考)观察下列等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3－2＝43×1×2； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 8π9－2＝43×4×5； ……照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________.(1)C (2)43n (n ＋1) [(1)数列m m ＋1在数列中是第1＋2＋3＋…＋m ＝m (m ＋1)2项，当m ＝5时，即56是数列中第15项，则第20项是57，故选C.(2)通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的43是个固定数，43后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，43后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为43×n ×(n ＋1)，即43n (n ＋1)．] [规律方法] 1.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳，合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．2．归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．[变式训练1] (1)已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥4，…，类比得x ＋a x n ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝__________.(2)下面图形由小正方形组成，请观察图6-4-1(1)至图(4)的规律，并依此规律，写出第n 个图形中小正方形的个数是__________.【导学号：57962303】图6-4-1(1)n n (n ∈N *) (2)n (n ＋1)2(n ∈N *) [(1)第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝11＝1；第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝22＝4；第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33＝27，归纳可知a ＝n n .(2)由题图知第n 个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n .所以总个数为n (n ＋1)2(n ∈N *)．]n {b n }⎝ ⎛⎭⎪⎫b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也是等差数列，类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c n nB ．d n ＝c 1·c 2·…·c n nC ．d n ＝n c n 1＋c n 2＋…＋c n n nD ．d n ＝n c 1·c 2·…·c n(2)(2016·贵州六校联考)在平面几何中，△ABC 的∠C 的平分线CE 分AB 所成线段的比为AC BC ＝AE BE .把这个结论类比到空间：在三棱锥A -BCD 中(如图6-4-2)，DEC 平分二面角A -CD -B 且与AB 相交于E ，则得到类比的结论是________________.【导学号：57962304】图6-4-2(1)D (2)AE EB ＝S △ACD S △BCD[(1)法一：从商类比开方，从和类比到积，则算术平均数可以类比几何平均数，故d n的表达式为d n＝nc1·c2·…·c n.法二：若{a n}是等差数列，则a1＋a2＋…＋a n＝na1＋n(n－1)2d，∴b n＝a1＋(n－1)2d＝d2n＋a1－d2，即{b n}为等差数列；若{c n}是等比数列，则c1·c2·…·c n＝cn1·q1＋2＋…＋(n－1)＝c n1·q n(n－1)2，∴d n＝nc1·c2·…·c n＝c1·qn－12，即{d n}为等比数列，故选D.(2)由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得AEEB＝S△ACDS△BCD.][规律方法] 1.进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想，其中找到合适的类比对象是解题的关键．2．类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与高维类比；等差数列与等比数列类比；运算类比(和与积、乘与乘方，差与除，除与开方)．数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等．[变式训练2]给出下面类比推理(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“a，c∈C，则a－c＝0⇒a ＝c”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋b i＝c＋d i⇒a＝c，b＝d”类比推出“a，b，c，d∈Q，则a＋b2＝c＋d2⇒a＝c，b＝d”；③“a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”；④“若x∈R，则|x|<1⇒－1<x<1”类比推出“若z∈C，则|z|<1⇒－1<z<1.”其中类比结论正确的个数为()A．1B．2C．3 D．4B[类比结论正确的有①②.]数列{a n}的前n项和记为S n，已知a1＝1，a n＋1＝n S n(n∈N*)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列； (2)S n ＋1＝4a n .【导学号：57962305】[证明] (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n .2分 ∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，又S 11＝1≠0， (小前提)故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列． (结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)5分 (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1 ＝4a n (n ≥2)，(小前提)8分又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提)∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论) (第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件) 12分[规律方法] 演绎推理的一般模式为三段论，三段论推理的依据是：如果集合M 的所有元素都具有性质P ，S 是M 的子集，那么S 中所有元素都具有性质P .应用三段论解决问题时，首先应该明确什么是大前提，小前提，然后再找结论．[变式训练3] 如图6-4-3所示，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 上的点，∠BFD ＝∠A ，且DE ∥BA .求证：ED ＝AF (要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论，并最终把推理过程用简略的形式表示出来).【导学号：57962306】图6-4-3[证明] (1)同位角相等，两条直线平行， (大前提)∠BFD 与∠A 是同位角，且∠BFD ＝∠A ， (小前提)所以DF ∥EA . (结论)5分(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形， (大前提)DE ∥BA 且DF ∥EA ， (小前提)所以四边形AFDE 为平行四边形． (结论)8分(3)平行四边形的对边相等， (大前提)ED 和AF 为平行四边形的对边， (小前提)所以ED ＝AF . (结论)上面的证明可简略地写成：⎭⎬⎫∠BFD ＝∠A ⇒DF ∥EA DE ∥BA ⇒ 四边形AFDE 是平行四边形⇒ED ＝AF . 12分[思想与方法]1．合情推理的过程概括为 从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想2．演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．[易错与防范]1．在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误．2．合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．3．演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严谨性，书写格式的规范性．。