内蒙古通辽市高考数学填空题专项训练含解析

内蒙古通辽市高考数学填空题专项训练填空题含答案有解析1．设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若1345a a a a =+++…，则q =__________________． 2．已知向量a ＝(3，2)，b ＝(0，－1)，那么向量3b －a 的坐标是 ．3．已知x ，y 满足11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则z ＝2x+y 的最大值为_____.4．不等式()()120x x -+<的解集是 ．5．对于任意实数x,不等式()()2a 2x 2a 2x 40----<恒成立,则实数a 的取值范围是______ 6．在等差数列{}n a 中，若171321a a a ++=，则{}n a 的前13项之和等于______.7．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么a b +=__________．8．一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75︒距塔64海里的M 处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处,则这只船的航行速度为__________海里/小时．9．已知扇形的圆心角为23π，半径为5，则扇形的弧长l =_________. 10．若4sin 25θ=，且sin 0θ<，则θ是第_______象限角. 11．已知四面体ABCD 的四个顶点均在球O 的表面上，AB 为球O 的直径，4,2AB AD BC ===，四面体ABCD 的体积最大值为____12．函数33()sin log 2f x x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的零点个数为__________． 13．函数2tan 13y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小正周期为________． 14．《九章算术》中，将底面为长方形且由一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2,4PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为__________.15．不等式23710x x -≤的解集为______.16．有五条线段,长度分别为2,3,5,7,9,从这五条线段中任取三条,则所取三条线段能构成一个三角形的概率为___________． 17．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线于交M 、N 两点，若60MAN ∠=，则C 的离心率为__________．18．函数1cos2y x =-的最小正周期是__________.19．（6分）如图，在B 处观测到一货船在北偏西45︒方向上距离B 点1千米的A 处，码头C 位于B 的正东2千米处，该货船先由A 朝着C 码头C 匀速行驶了5分钟到达C ，又沿着与AC 垂直的方向以同样的速度匀速行驶5分钟后到达点D ，此时该货船到点B 的距离是________千米.20．（6分）在ABC 中，2,3AB B π==，点D 在边BC 上，若2BD DC =，ABC 3，则sin sin BAD CAD∠=∠___________ 21．（6分）．已知(1,3),,a OA a b OB a b =-=-=+，若AOB ∆是以点O 为直角顶点的等腰直角三角形，则AOB ∆的面积为 ．22．（8分）从甲、乙、丙等5名候选学生中选2名作为青年志愿者，则甲、乙、丙中有2个被选中的概率为________．23．（8分）不等式21200210321x x+-≥的解集为________. 24．（10分）设,x y 满足约束条件2223600,0x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，则目标函数z x y =+ 的最大值为______． 25．（10分）直线120kx y k -+-=与圆:C ()2213x y -+=的位置关系是______.26．（12分）若正实数,x y 满足1x y +=，则411x y ++的最小值为______． 27．（12分）已知,αβ都是锐角，45sin ,cos()513ααβ=+=，则sin β=_____ 28．在等比数列{}n a 中，11a =，54a =，则3a =______________.29．函数()arcsin 2y x =-的定义域________．30．在ABC 中，60A =︒，1b =3sin sin sin a b cA B C ________．31．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆，设1OA =，则阴影部分的面积是__________.32．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1353a a a ++=，则5S =___________.33．某校选修“营养与卫生”课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法从这70名学生中抽取一个样本，已知在高二年级的学生中抽取了8名，则在该校高一年级的学生中应抽取的人数为________．34．已知一圆锥的侧面展开图为半圆,且面积为S,则圆锥的底面积是_______35．设()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则函数()f x 是__________函数（奇偶性）.参考答案填空题含答案有解析151- 【解析】【分析】由1345a a a a =+++…可知1q <,算出345a a a +++…用1a 表示的极限,再利用性质计算得出q 即可.【详解】显然公比不为1,所以公比为q 的等比数列{}n a 求和公式1(1)1-=-n n a q S q, 且1345a a a a =+++…,故01q <<.此时1(1)1-=-n n a q S q当n →∞时,求和极限为11a q -,所以3345...1a a a a q +++=-,故2311345...=11a a q a a a a q q=+++=--,所以2211101a q a q q q =⇒+-=-,故12q -±=,又01q <<,故q =.. 【点睛】 本题主要考查等比数列求和公式1(1)1-=-n n a q S q,当01q <<时1lim 1n n a S q →∞=-. 2．(3,5)--【解析】试题分析：因为(3,2),(0,1)a b ==-,所以33(0,1)(3,2)(3,5)b a -=--=--.考点：向量坐标运算.3．1.【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，2z x y =+表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最大值即可．【详解】解：11y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩，在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是(1,1)A --，11,22B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(2,1)C -， 在ABC ∆中满足2z x y =+的最大值是点C ，代入得最大值等于1．故答案为：1．【点睛】本题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题． 4．{|21}x x -<<【解析】【详解】因为()()1201,2x x x x -+=⇒==-,且抛物线开口方向向上，所以(1)(2)0x x -+<21x ⇔-<<，不等式()()120x x -+<的解集是{|21}x x -<<.5．(]2,2-【解析】【分析】对a 分类讨论，利用判别式，即可得到结论．【详解】（1）a ﹣2=0，即a=2时，﹣4＜0，恒成立；（2）a ﹣2≠0时，()2204(2)1620a a a -⎧⎨-+-⎩＜＜，解得﹣2＜a ＜2， ∴﹣2＜a≤2故答案为：(]2,2-．【点睛】对于二次函数的研究一般从以几个方面研究：一是，开口；二是，对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；三是，判别式，决定于x 轴的交点个数；四是，区间端点值.6．91【解析】【分析】根据题意，以及等差数列的性质，先得到77a =，再由等差数列的求和公式，即可求出结果.【详解】因为{}n a 是等差数列，171321a a a ++=，所以7321a =，即77a =，记前n 项和为n S ，则11313713()13137912+===⨯=a a S a . 故答案为：91【点睛】本题主要考查等差数列前n 项和的基本量的运算，熟记等差数列的性质以及求和公式即可，属于基础题型.7【解析】分析：由a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，求出数量积，先将a b +平方，再开平方即可的结果. 详解：∵()222||2cos ,a b a b a b a b a b +=+=++⋅⋅ 1211=+⨯⨯⨯=点睛：平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， ·cos ·a b a bθ= （此时·a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是a b b⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;(4)求向量ma nb + 的模（平方后需求a b ⋅）.8．【解析】由0000064sin 7564cos 7545)MN =+=+==，行驶了4小时，这只船的航行速度为4= 海里/小时． 【点睛】本题为解直角三角形应用题，利用直角三角形边角关系表示出两点间的距离，在用辅助角公式变形求值，最后利用速度公式求出结果.9．103π 【解析】【分析】根据扇形的弧长公式进行求解即可．【详解】∵扇形的圆心角α23π=，半径为r ＝5， ∴扇形的弧长l ＝rα23π=⨯5103π=． 故答案为：103π． 【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式的计算，熟记弧长公式是解决本题的关键，属于基础题．10．三【解析】【分析】利用二倍角公式计算出cos θ的值，结合sin 0θ<判断出角θ所在的象限.【详解】 由二倍角公式得2247cos 12sin 1202525θθ⎛⎫=-=-⨯=-< ⎪⎝⎭， 又sin 0θ<，因此，θ是第三象限角，故答案为三.【点睛】本题考查利用三角函数值的符号与角的象限之间的关系，考查了二倍角公式，对于角的象限与三角函数值符号之间的关系，充分利用“一全二正弦、三切四余弦”的规律来判断，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.11．2【解析】【分析】AB 为球O 的直径，可知ABD ∆与ABC ∆均为直角三角形，求出点C 到直线AB 可知点C 在球上的运动轨迹为小圆.【详解】如图所示，四面体ABCD 内接于球O ，AB 为球O 的直径，2ADB ACB π∴∠=∠=， 4,2AB AD BC ===，23BD AC ∴==，过C 作CE AB ⊥于E ，∴11223322AB CE BC AC CE ⋅⋅=⋅⇒==， ∴点C 在以E 为圆心，3CE =为半径的小圆上运动，当面ABD ⊥面ABC 时，四面体ABCD 的体积达到最大，max 11111()(232)3233232ABD V S CE BD AD CE ∆∴=⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=.【点睛】立体几何中求最值问题，核心通过直观想象，找到几何体是如何变化的？本题求解的突破口在于找到点C 的运动轨迹，考查学生的空间想象能力和逻辑思维能力.12．3【解析】【分析】运用三角函数的诱导公式先将函数化简，再在同一直角坐标系中做出两支函数的图像，观察其交点的个数即得解.【详解】由三角函数的诱导公式得3sin cos 2x x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 所以令()0f x =，求零点的个数转化求方程3cos log x x π=根的个数，因此在同一直角坐标系分别做出cos y x =和3log y x π=的图象，观察两支图象的交点的个数为3个，注意在做3log y x π=的图像时当3x π=时，1y =,故得解.【点睛】本题考查三角函数的有界性和余弦函数与对数函数的交点情况，属于中档题.13．1.【解析】【分析】 根据正切型函数的周期公式可计算出函数2tan 13y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小正周期. 【详解】 由正切型函数的周期公式得1T ππ==， 因此，函数2tan 13y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小正周期为1，故答案为1. 【点睛】本题考查正切型函数周期的求解，解题的关键在于正切型函数周期公式的应用，考查计算能力，属于基础题.14．20π【解析】【分析】由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且PA ⊥平面ABC ，可得25PC =22PB =PBC 为直角三角形，可得23BC =PB BC ⊥，因此AB BC ⊥，结合几何关系，可求得外接球O 的半径2222152PA R r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，代入公式即可求球O 的表面积． 【详解】本题主要考查空间几何体．由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，4AC =，25PC =22PB =因为PBC 为直角三角形， 因此23BC =7BC =（舍）．所以只可能是BC =此时PB BC ⊥，因此AB BC ⊥，所以平面ABC 所在小圆的半径即为22AC r ==， 又因为2PA =，所以外接球O 的半径R ===所以球O 的表面积为24π20πS R ==．【点睛】本题考查三棱锥的外接球问题，难点在于确定BC 的长，即得到AB BC ⊥，再结合几何性质即可求解，考查学生空间想象能力，逻辑推理能力，计算能力，属中档题．15．1013x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法直接求解可得结果.【详解】由23710x x -≤得：()()2371031010x x x x --=-+≤ 1013x ∴-≤≤ 即不等式23710x x -≤的解集为1013x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭故答案为：1013x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭【点睛】 本题考查一元二次不等式的求解问题，属于基础题.16．310【解析】【分析】列出所有的基本事件，并找出事件“所取三条线段能构成一个三角形”所包含的基本事件，再利用古典概型的概率公式计算出所求事件的概率．【详解】所有的基本事件有：()2,3,5、()2,3,7、()2,3,9、()2,5,7、()2,5,9、()2,7,9、()3,5,7、()3,5,9、()3,7,9、()5,7,9，共10个，其中，事件“所取三条线段能构成一个三角形”所包含的基本事件有：()3,5,7、()3,7,9、()5,7,9，共3个， 由古典概型的概率公式可知，事件“所取三条线段能构成一个三角形”的概率为310，故答案为310． 【点睛】本题考查古典概型的概率的计算，解题的关键就是列举基本事件，常见的列举方法有：枚举法和树状图法，列举时应遵循不重不漏的基本原则，考查计算能力，属于中等题． 17．233【解析】 如图所示，由题意可得|OA|=a ，|AN|=|AM|=b ， ∵∠MAN=60°， ∴3， ∴22223||||4OA PA a b -=-设双曲线C 的一条渐近线y=bax 的倾斜角为θ，则t an θ=223||2||34AP OP a b =-． 又tan θ=ba， ∴223234bb a a b =-，解得a 2=3b 2， ∴221231133b a +=+=． 答案：33点睛：求双曲线的离心率的值（或范围）时，可将条件中提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量,,a b c 的方程或不等式，再根据222b c a =-和ce a=转化为关于离心率e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值（或取值范围）． 18．π； 【解析】 【分析】利用余弦函数的最小正周期公式2T ωπ=即可求解.【详解】因为函数1cos2y x =-，2ω= 所以222T πππω===， 故答案为：π 【点睛】本题考查了含余弦函数的最小正周期，需熟记求最小正周期的公式，属于基础题. 19．3 【解析】 【分析】先在ABC 中，由余弦定理算出AC 和cos ACB ∠，然后在BCD 中由余弦定理即可求出BD . 【详解】由题意可得，在ABC 中，1,135AB BC ABC ==∠=︒所以由余弦定理得：2222cos1355AC AB BC AB BC =+-⋅⋅︒=即AC =CD因为222cos210AC BC AB ACB AC BC +-∠===⋅所以sin 10ACB ∠=所以cos cos(90)sin BCD ACB ACB ∠=︒+∠=-∠= 所以在BCD 中有：2222cos BD CD BC CD BC BCD =+-⋅⋅∠10522529⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭即3BD = 故答案为：3 【点睛】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，是基本知识的考查． 20．2 【解析】 【分析】 由2,3AB B π==，ABC 的面积为3可以求解出三角形，再通过2BD DC =，我们可以得出2ABDACD SS=(两三角形等高)再利用正弦形式表示各自面积，即能得出sin sin BADCAD∠∠的值.【详解】2,3AB B π==，ABC 的面积为113sin 23222S ac B c c ==⨯⨯=⇒=， 所以ABC 为等边三角形，又2BD DC =所以2ABDACDS S=（等高），又11sin ,sin 22ABDACDSAB AD BAD S AC AD CAD =⋅∠=⋅∠ sin 2sin ABD ACDS BADSCAD∠∴==∠所以填写2 【点睛】已知三角形面积及一边一角，我们能把形成该角的另外一边算出，从而把三角形所有量都能计算出来（如果需要），求两角正弦值的比值，我们更多联想到正弦定理的公式，或面积公式. 21．4 【解析】由(1,3a =-得2a =；由AOB ∆是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则OA OB ⊥，2OA OB ==.由OA OB ⊥得0OA OB ⋅=.又,OA a b OB a b =-=+，则()()0a b a b -⋅+=，所以224a b == 又OA OB =，则22||OA OB =，则()()22a b a b -=+，所以222222a b a b a b a b +-⋅=++⋅所以0a b ⋅=； 则2222OA OB a b ==+=则AOB ∆的面积为11422S OA OB =⋅=⋅= 22．310【解析】因为从5名候选学生中任选2名学生的方法共有10种，而甲、乙、丙中有2个被选中的方法有3种，所以甲、乙、丙中有2个被选中的概率为310. 23．(],0-∞ 【解析】 【分析】将三阶矩阵化为普通运算，利用指数函数的性质即可求出不等式的解集. 【详解】 不等式化为()()22162210xxx -++-+≥，整理得()()21240xx-+≤，240x +>，210x ∴-≤，即0221x ≤=，0x ∴≤，即不等式的解集为(],0-∞故答案为：(],0-∞ 【点睛】此题考查了其他不等式的解法，指数函数的性质，以及三阶矩阵，是一道中档题. 24．7 【解析】 【分析】首先画出可行域，然后判断目标函数的最优解，从而求出目标函数的最大值. 【详解】如图，画出可行域，作出初始目标函数0x y +=，平移目标函数，当目标函数过点B 时，目标函数取得最大值，222360x y x y -=⎧⎨-+=⎩ ，解得3,4x y ==, max 347z ∴=+=.故填：7. 【点睛】本题考查了线性规划问题，属于基础题型. 25．相交 【解析】 【分析】由直线系方程可得直线过定点()2,1P ，进而可得点P 在圆内部，即可得到位置关系. 【详解】化直线方程120kx y k -+-=为()210k x y --+=，令2010x y -=⎧⎨-=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，所以直线120kx y k -+-=过定点()2,1P ， 又圆:C ()2213x y -+=的圆心坐标为()1,0，半径3r =而()()22211023CP =-+-=所以点P 在圆C 内部，故直线与圆的位置关系是相交. 故答案为：相交. 【点睛】本题考查直线与圆位置关系的判断，考查直线系方程的应用，属于基础题. 26．92【解析】 【分析】由1x y +=得()12x y ++=，将411x y ++转化为()14112x y x y ⎡⎤++⎛⎫⎣⎦+⨯ ⎪+⎝⎭， 整理，利用基本不等式即可求解。