辽宁省大连市2018届高三第一次模拟数学理试题+Word版含解析

辽宁省大连市2018届高三第一次模拟数学理试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得：，∴故选：C2. 若复数为纯虚数，则实数的值为（）A. 1B. 0C.D. -1【答案】D【解析】设，得到：+∴，且解得：故选：D3. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，则8771 用算筹可表示为，故选：C．4. 如图所示程序框图是为了求出满足的最小正偶数，那么空白框中及最后输出的值分别是（）A. 和6B. 和6C. 和8D. 和8【答案】D【解析】空白框中n依次加2可保证其为偶数，排除A，C时，，时，所以D选项满足要求．故选：D．5. 函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由函数是偶函数，排除A，C，当，.排除B故选：D.点睛：识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．6. 某几何体的三视图如图所示（单位：），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：）是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥，.故选：B.7. 6本不同的书在书架上摆成一排，要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（）种.A. 24B. 36C. 48D. 60【答案】A【解析】第一步：甲、乙两本书必须摆放在两端，有种排法；第二步：丙、丁两本书必须相邻视为整体与其它两本共三本，有种排法；∴故选：A.8. 的内角的对边分别为，若，，则面积的最大值是（）A. 1B.C. 2D. 4【答案】B【解析】由题意知，由余弦定理，，故，有，故..................................故选：B9. 已知边长为2的等边三角形，为的中点，以为折痕进行翻折，使为直角，则过四点的球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】折后的图形可放到一个长方体中，其体对角线长为，故其外接球的半径为，其表面积为.故选：D.点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．10. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则的值可以为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】将函数的图象向右平移个单位得到函数∴，∴得到：.当k=1时，故选：C.11. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，若上存在一点满足，且的面积为3，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D. 3【答案】B【解析】由双曲线可知，从而.故选：B.12. 若直线和曲线的图象交于，，三点时，曲线在点、点处的切线总是平行的，则过点可作曲线的（）条切线.A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】直线过定点由题意可知：定点是曲线的对称中心，，解得，所以曲线，f′（x）=，设切点M（x0，y0），则M纵坐标y0=，又f′（x0）=，∴切线的方程为：又直线过定点，得﹣-2=0，，即解得：故可做两条切线故选：C点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设实数，满足约束条件则的最大值为__________．【答案】【解析】作出可行域，如图：由可行域可确定目标函数在处取最大值故的最大值为14故答案为：14点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14. 已知半径为的圆周上有一定点，在圆周上等可能地任意取一点与点连接，则所得弦长介于与之间的概率为__________．【答案】【解析】在圆上其他位置任取一点B，设圆半径为R，其中满足条件AB弦长介于与之间的弧长为•2πR，则AB弦的长度大于等于半径长度的概率P==；故答案为：．15. 已知抛物线，过点任作一条直线和抛物线交于、两点，设点，连接，并延长，分别和抛物线交于点和，则直线过定点__________．【答案】【解析】设方程为：，代入抛物线得：设A，，则同理：B，，又AB过定点，∴共线，∴∴，即∴，又，∴直线：，利用点在抛物线上化简得：∴∴直线过定点故答案为：16. 已知腰长为2的等腰直角中，为斜边的中点，点为该平面内一动点，若，则的最小值为__________．【答案】【解析】如图建立平面直角坐标系，,∴，当sin时，得到最小值为故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设数列的前项和为，且，在正项等比数列中，，.求和的通项公式；设，求数列的前项和.【答案】（1），（2）【解析】试题分析：（1）由求出的通项公式，由等比数列的基本公式得到的通项公式；（2）利用错位相减法求出数列的前项和.试题解析：解：，当时，，，，.又数列为等比数列，，，又，.由得：设数列的前项和为当时，，，，，，.当时，，又当时，，综上，.点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n－qS n”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.18. 大连市某企业为确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：）和年利润（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.表中，.根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）根据的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；已知这种产品的年利润与、的关系为.根据的结果回答下列问题：年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.【答案】（1）（2）（3）年销售量，年利润.年宣传费为46.24千元时，年利润预报值最大.【解析】试题分析：（1）由散点图可以判断适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型；（2）利用公式计算，从而得到关于的回归方程；（3）由知，当时，年销售量的预报值为，年利润的预报值为；根据的结果知，年利润的预报值，求二次函数的最值即可.试题解析：解：由散点图可以判断适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型.令，先建立关于的线性回归方程，，所以关于的线性回归方程为，所以关于的线性回归方程为.由知，当时，年销售量的预报值为，年利润的预报值为.根据的结果知，年利润的预报值，当，即时，年利润的预报值最大，故年宣传费为46.24千元时，年利润预报值最大.19. 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面，分别是线段，的中点，.求证：平面；求到平面的距离.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）取中点，连接，易得四边形为平行四边形，从而所以∥平面；（2）平面，且四边形是正方形，两两垂直，以为原点，，，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，代入公式得到所成锐二面角的余弦值.解：方法一：取中点，连接，分别是中点, ，为中点，为正方形，，,四边形为平行四边形，平面，平面，平面.方法二：取中点，连接，.是中点，是中点，，又是中点，是中点，，，，又，平面，平面，平面，平面，平面平面.又平面，平面.方法三：取中点，连接，，在正方形中，是中点，是中点又是中点，是中点，，又，，，平面//平面.平面平面.方法四：平面,且四边形是正方形，两两垂直，以为原点，，，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，则设平面法向量为，则, 即, 取，，所以，又平面，∥平面.平面,且四边形是正方形，两两垂直，以为原点，，，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则设平面法向量为，，则, 即，取,则设平面法向量为，则, 即, 取，.平面与平面所成锐二面角的余弦值为.（若第一问用方法四，则第二问部分步骤可省略）点睛：本题主要考查线面垂直的判定定理以及用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20. 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，点在椭圆上.求椭圆的方程；已知与为平面内的两个定点，过点的直线与椭圆交于两点，求四边形面积的最大值.【答案】（1）（2）6【解析】试题分析：（1）由椭圆定义得到动圆圆心的轨迹的方程；（2）设的方程为，联立可得，通过根与系数的关系表示弦长进而得到四边形面积的表达式，利用换元法及均值不等式求最值即可.试题解析：解：由可得，，又因为，所以.所以椭圆方程为，又因为在椭圆上，所以.所以，所以，故椭圆方程为.方法一：设的方程为，联立，消去得，设点，有，所以令，有，由函数，故函数，在上单调递增，故，故当且仅当即时等号成立，四边形面积的最大值为.方法二：设的方程为，联立，消去得，设点，有有，点到直线的距离为，点到直线的距离为，从而四边形的面积令，有，函数，故函数，在上单调递增，有，故当且仅当即时等号成立，四边形面积的最大值为.方法三：①当的斜率不存在时，此时，四边形的面积为.②当的斜率存在时，设为：，则，，四边形的面积，令则,，，综上，四边形面积的最大值为.21. 已知函数.若在上是单调递增函数，求的取值范围；设，当时，若，且，求证：.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）在上是单调递增函数等价于在上，恒成立，即：，构造新函数求最值即可；（2）要证，即证，记，易证在上递增，转证。