《割圆术》教学设计

《割圆术》教学设计
苍南中学 王加义
一、教学内容解析
本节课选自人教版普通高中课程标准实验教科书必修3第一章《算法初步》的阅读与思考材料，“割圆术”是由我国魏晋时期数学家刘徽创立的，263年左右，刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆面积；另一方面，这些圆内接正多边形每边外有一余径，用边长乘以余径，加到正多边形的面积上，则大于圆的面积，这样就得到了圆面积的上限和下限。

当半径为1时，圆面积就等于圆周率π，可以求得圆周率π的近似值。

本文的主要内容包括三点：
（1）从算法的角度，解释“割圆术”的理论；
（2）刘徽的割圆术由现在的计算机可以求得更加精确的近似值；
（3）通过对割圆术的学习，增强国人的自豪感。

对圆周率的计算，我国有两位非常杰出的数学家，一是刘徽，二是南北朝时期数学家祖冲之，继承并发展了刘徽的割圆术，求得π的范围为3.1415926<π<3.1415927。

二、教学目标设置
知识与技能：了解割圆术的算法；通过对“割圆术”的学习，更好的理解“算法化”的思维方法，并注意理解推导“割圆术”的操作步骤。

过程与方法：改变解决问题的思路，将抽象的数学思维转变为具体的步骤化的思维方式，提高逻辑推理能力。

情感、态度与价值观：通过学生的主动参与，师生、生生的合作交流，提高学生兴趣，激发其求知欲，培养探索精神；体会中国古代数学对世界数学发展的贡献，增强爱国主义情怀。

三、学生学情分析
高一的学生对圆周率π已经有了初步的了解，知道圆周率主要用于解决有关圆和球的问题；学生已经具备了一定的计算能力，能计算圆内接正六边形、正十二边形等的面积；具有一定的归纳推理，能在求圆内接正六边形的面积6S ，圆内接正十二边形的面积12S ，圆内接正二十四边形的面积24S ，……的过程中归纳
出圆内接正2n 边形的面积与圆内接正n 边形的面积之间的递推关系。

但是学生在思想方面的感悟及总结的能力还有待加强，对“割圆术”中所蕴含着数学思想，还需要学生去体会，并能与已有的数学知识进行融会贯通。

四、教学策略分析
在整个教学过程中，我做了一些调整，首先开门见山，就说本节课我们将共同揭开圆周率π的神秘面纱；从圆周率的定义出发，介绍圆周率的符号及其背景；通过学生动手试验，去测量圆周率π的近似值，发现误差，再去寻找科学的方法，即引出刘徽的“割圆术”。

本节课始终以学生为主题，抓住学生思考方式，沿着历史的足迹，探寻计算圆周率π的科学方法。

五、教学过程
（歌曲引入）
[师]课间我们同学欣赏了由π为谱作成的曲子，堪称神曲！领略了π的神奇。

在数学史上有三个非常神秘的无理数，同学们知道是什么吗？
[生]一个是π，一个是e ，一个是φ（黄金分割比）。

[师]今天这节课，我们将共同来揭开π的神秘面纱……
[师]在此之前，老师想知道，关于圆周率π，我们同学的了解有多少？
[生1]141592653.3≈π
[生2]圆周长=R π2，圆面积=2
R π
（追踪历史）
[师]同学们可知道，人类是如何发现π这个无理数的吗？
[师]早在远古时期，人类就已经发现：一个圆的圆周长与直径的比始终为定值，并将其定义为圆周率，后由欧拉于1748年将其"命名"为π，π是希腊文圆周的第一个字母。

既然圆周率是一个客观存在的常数，那人们最早是如何找到这个常数的呢？
[生]测量的方法。

（实践验证）
[师]请同学们动手试一试，利用已有的工具材料，测量圆周率π的值。

（学生动手试验）
[师]由上述试验结果的数据，同学们发现了什么？
[生1]一个圆的圆周长与直径的比始终为定值，与圆半径大小无关。

[生2]测量的结果存在误差。

[师]那你的结果与π值比较是大还是小？
[生]不知道
[师]可见，利用测量的方法不能准确找到这个常数，同学们想想，还有没有其他更科学的方法？
[生]利用圆内接多边形的面积来逼近圆面积，当圆内接正多边形的边数无限增加时，正多边形的面积可无限逼近圆面积。

（引出课题）
[师]非常好，你的这个想法与我国魏晋时期的刘徽所想的完全一样，我们把刘徽的这个方法称作“割圆术”。

[师]给你一个圆，你会选择从圆内接几边形开始算？
[生1]圆内接正方形
[生2]圆内接正六边形。

（理论探求）
[师]据记载，刘徽当时是从圆内接正六边形开始算的，下面请同学求一下圆内接正六边形的面积，令R=1。

[生]598.22
332312166≈=⨯⨯⨯=S [师]如果让你继续往下算，你会算圆内接正几边形的面积？
[生]圆内接正十二边形。

[师]怎么算？
[生]),1(21666612h x S S -⨯⨯⨯+=266)2
(1x h -=。

[师]如果让你继续往下算，你会算圆内接正几边形面积？
[生]圆内接正二十四边形。

[师]怎么算？
[生]),1(211212121224h x S S -⨯⨯⨯+=21212)2
(
1x h -=，262612)1()2(h x x -+=
[师]继续往下算，我们可以求？
[生]),1(212424242448h x S S -⨯⨯⨯+=22424)2
(1x h -=，21221224)1()2
(h x x -+=。

[师]要求圆内接正四十八边形面积，只需求……
[生]24S 和24x
[师]要求圆内接正二十四边形面积，只需求……
[生]12S 和12x
[师]要求圆内接正十二边形面积，只需求……
[生]6S 和6x
[师]依次类推，我们可以求得圆内接正2n 边形面积，即
[生]),1(212n n n n h x n S S -⨯⨯⨯+=2)2(1n n x h -=，222)1()2
(n n n h x x -+=。

[师]这样我们就找到了n S 2与n S 的递推关系式。

刘徽一直算到，n=192时，π的
近似值为3.14，n=3072时，π的近似值为3.1416，为了纪念刘徽的伟大贡献，我们将π=3.14称作徽率。

我国南北朝时期数学家祖冲之继承并发展了刘徽的割圆术，算得3.1415926<π<3.1415927。

这不仅在当时是最准的，而且领先世界达1000多年，是一项非常了不起的成就。

[师]现在随着计算机的发展，我们可以借助计算机来求圆周率的近似值。

不难发现：随着n 值的增大，圆内接正2n 边形的面积也随之增大，当半径为1时，我们可以用圆内接正2n 边形的面积来近似代替π的值。

但所求的值与π比较始终来得……
[生]小
[师]为什么？
[生]因为是用圆内接多边形来逼近的。

[师]我们把这些值称作π的下限，那π的上限怎么求？
[生]利用圆的外切正多边形来无限逼近圆。

[师]有没有更好的方法？
[生]利用余径乘以边长，可得)(222n n n n S S S S -+<π<
[师]这个方法与上个方法相比较，好在哪里？
[生]一、计算的结果比它更精确，少求两个三角形的面积；二、涉及的计算量与它比较少了一半，有一种事半功倍的效果。

[师]我们用excel 来感受一下。

（思想归纳）
[师]前面我们沿着刘徽的足迹，计算了圆周率π的近似值，在计算过程中，同学们体会到了数学上哪些有用的思想方法。

[生]无限趋近（极限），以直代曲，两边夹思想和数形结合的思想。

[师]其实计算圆周率π的方法还有很多，刘徽是从面积的角度出发，也可以从圆周长的角度出发，最有代表性的是古希腊的阿基米德，阿基米德利用内接多边形和外切多边形逼近圆周，从而获得圆周率的近似值。

阿基米德一直割到正96边形，得到14.3=π。

西方数学将14.3=π称作阿基米德数或阿氏率。

[师]这节课我们沿着古人的足迹，先发现圆周率π，再用测量得到这个常数，最后运用科学计算得到更高精度的近似值，从中体会到了割圆术蕴含着的一些思想方法。

（布置作业）
[师]今天这节课我们解开了圆周率π的神秘面纱，那e 和φ又是如何计算的呢？请同学课后去查阅资料。