刘徽和割圆术
刘徽割圆术精品PPT课件
第五，刘徽指出：“割之弥细，所失 弥少。割之又割，以至于不可割，则与 圆周合体而无所失矣。”（《九章算术》 方田章圆田术刘徽注）这就是说，圆内 接正多边形的边数无限增加的时候，它 的周长的极限是圆周长，它的面积的极 限是圆面积。
发，求得正十二边形的边长。根据勾股 定理，从圆内接正n边形每边的长，可以 求出圆内接正2n边形每边的长。
第三，从圆内接正n边形每边的长， 可以直接求出圆内接正2n边形面积。如 图所示，四边形OADB的面积等于半径 OD和正n边形边长AB乘积的一半。
第四，圆面积S满足不等式 S2n＜S＜S2n＋（S2n－Sn）。
因为《缀术》失传了，祖冲之究竟是用什么方法将π算 到小数点后第七位，又是怎样找到既精确又方便的密 率的呢？这至今仍是困惑数学家的一个谜。
祖冲之曾写过一本数学著作《缀术》，记录了他 对圆周率的研究和成果。但当时“学官莫能究其 深奥，是故废而不理”，以致后来失传。
很多人都知道用密率355/113表示π的近似值，是 一项了不起的贡献。密率355／113传到了日本后， 1913年日本数学史家三上一夫建议将祖冲之圆周 率的密率数值命名为“祖率”，得到一致赞同。 祖冲之对圆周率的求索，超过了世界水平整整 1000年！直到16世纪德国人V·奥托和荷兰人A·安 托尼斯才发现了圆周率的密率355/113。 但是 “祖率”的妙处，和给今人留下的困惑，不少人 却说不出来。
（二）圆周率的定义
指平面上圆的周长与直径之比。早 在一千四百多年以前，我国古代著名 的数学家祖冲之，就精密地计算出圆 的周长是它直径的3.1415926--3.1415927倍之间。这是当时世界上 算得最精确的数值----圆周率。
[精华]割圆术——刘徽《九章算术注》
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割圆术——刘徽《九章算术注》割圆术（cyclotomic method）所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的周长去无限逼近圆周并以此求取圆周率的方法。
这个方法，是刘徽在批判总结了数学史上各种旧的计算方法之后，经过深思熟虑才创造出来的一种崭新的方法。
中国古代从先秦时期开始，一直是取“周三径一”（即圆周周长与直径的比率为三比一）的数值来进行有关圆的计算。
但用这个数值进行计算的结果，往往误差很大。
正如刘徽所说，用“周三径一”计算出来的圆周长，实际上不是圆的周长而是圆内接正六边形的周长，其数值要比实际的圆周长小得多。
东汉的张衡不满足于这个结果，他从研究圆与它的外切正方形的关系着手得到圆周率。
这个数值比“周三径一”要好些，但刘徽认为其计算出来的圆周长必然要大于实际的圆周长，也不精确。
刘徽以极限思想为指导，提出用“割圆术”来求圆周率，既大胆创新，又严密论证，从而为圆周率的计算指出了一条科学的道路。
在刘徽看来，既然用“周三径一”计算出来的圆周长实际上是圆内接正六边形的周长，与圆周长相差很多；那么我们可以在圆内接正六边形把圆周等分为六条弧的基础上，再继续等分，把每段弧再分割为二，做出一个圆内接正十二边形，这个正十二边形的周长不就要比正六边形的周长更接近圆周了吗？如果把圆周再继续分割，做成一个圆内接正二十四边形，那么这个正二十四边形的周长必然又比正十二边形的周长更接近圆周。
这就表明，越是把圆周分割得细，误差就越少，其内接正多边形的周长就越是接近圆周。
如此不断地分割下去，一直到圆周无法再分割为止，也就是到了圆内接正多边形的边数无限多的时候，它的周长就与圆周“合体”而完全一致了。
按照这样的思路，刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.14和 3.1416这两个近似数值。
这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确的数据。
刘徽对自己创造的这个“割圆术”新方法非常自信，把它推广到有关圆形计算的各个方面，从而使汉代以来的数学发展大大向前推进了一步。
刘徽与割圆术
▪ 刘徽由正六邊形開始，不斷倍增正多邊形的邊數。
正6邊形
正12邊形
正24邊形
邊數愈多，正多邊形愈接近圓形。 最後，劉徽求得π≈ 3.1416。 BG
正48邊形
7
谢谢观看
BG
8
BGΒιβλιοθήκη 4②刘徽原理在《九章算术•阳马术》注中，他在用无限分割的方法解决锥体体积时， 提出了关于多面体体积计算的刘徽原理。
③“牟合方盖”说 在《九章算术•开立圆术》注中，他指出了球体积公式V=9D3/16(D为球直径) 的不精确性，并引入了“牟合方盖”这一著名的几何模型。“牟合方盖”是 指正方体的两个轴互相垂直的内切圆柱体的贯交部分。
▪ 成就
▪ 刘徽的成就大致为两方面：
一是清理中国古代数学体系并奠定了它的理论基础。这方面集中体现在《九章算
术注》中。它实已形成为一个比较完整的理论体系： ①在数系理论方面 用数的同类与异类阐述了通分、约分、四则运算，以及繁分数化简等的
运算法则；在开方术的注释中，他从开方不尽的意义出发，论述了无理方根 的存在，并引进了新数，创造了用十B进G 分数无限逼近无理根的方法。 3
④方程新术 在《九章算术•方程术》注中，他提出了解线性方程组的新方法，运用了 比率算法的思想。 ⑤重差术 在白撰《海岛算经》中，他提出了重差术，采用了重表、连索和累矩等 测高测远方法。他还运用“类推衍化”的方法，使重差术由两次测望，发展 为“三望”、“四望”。而印度在7世纪，欧洲在15～16世纪才开始研究两次 测望的问题。
二是在继承的基础上提出了自己的创见。这方面主要体现为以下几项有代表性的
创见： ①割圆术与圆周率 他在《九章算术•圆田术》注中，用割圆术证明了圆面积的精确公式，并
刘徽割圆术
（四）建议将3月14日定为祖冲之纪念日 建议将 月 日定为祖冲之纪念日
美国麻省理工学院首先倡议将3日 日 寓意3﹒ ） 美国麻省理工学院首先倡议将 日14日（寓意 ﹒14）定为国际 圆周率日(National p Day)。1736年，瑞士数学家歐拉 (Euler， 圆周率日 。 年 ， 1707 – 1783) 提倡以希腊字母 p (音：pi) 来表示圓周率，p是圓周 来表示圓周率， 是圓周 音 的字頭。直到現在， 的希腊文 perijereia (英文为 periphery) 的字頭。直到現在，p 已 英文为 成为圓周率的专用符號。在这一天，学生们会彼此祝福“ 成为圓周率的专用符號。在这一天，学生们会彼此祝福“圆周率日 快乐！ 快乐！”用大家熟悉的生日歌旋律唱起 happy pi day to you！学 ！ 院众多对圆周率有兴趣的人聚在一起讨论圆周率问题，吃馅饼(英 院众多对圆周率有兴趣的人聚在一起讨论圆周率问题，吃馅饼 英 同音)以及其他各种以圆周率为主题的食物 文pie，与圆周率英文 同音 以及其他各种以圆周率为主题的食物， ，与圆周率英文pi同音 以及其他各种以圆周率为主题的食物， 举行圆周率背诵比赛。 举行圆周率背诵比赛。 全球各地的一些著名大学的数学系，也在3月 日举行 日举行Party庆 全球各地的一些著名大学的数学系，也在 月14日举行 庆 在圓周率日當天， 祝。在圓周率日當天，加拿大滑铁庐大学还会以供應免費的餡餅来 庆祝。而3月14日恰好又是著名的物理学家爱因斯坦 (Albert 庆祝。 月 日恰好又是著名的物理学家爱因斯坦 Einstein，1879 – 1955) 的生日。所以他们还会「择时辰」以庆祝 的生日。所以他们还会「择时辰」 ， 圆周率日：选择在下午1時 分开始庆祝 分开始庆祝， 圆周率日：选择在下午 時59分开始庆祝，它代表 3.14159 (准确至 准确至 六位小数) 的圓周率近似值。 六位小数 的圓周率近似值。
刘徽和割圆术
刘徽和割圆术中国向来以文明古国自称，谈到中国古代文明，我们一定会说起以“经世致用”为信条，以筹算为主的中国古代数学史。
在这段曲折发展的历史中，我们的古代数学跟其他古文明一样，在一定程度上获得了发展，特别是在算法的深度和广度上有着卓越的发展。
但我们不得不提及，在中国古代长达2000多年的封建制度统治下，数学研究一直停留在计算层面，理论的严谨和系统却不尽如人意，这同时也导致了一些错误的结果的出现。
在这样的数学背景下，刘徽可谓是中国数学史上的一朵奇葩，他有着“为数学而数学”的价值观，曾令中国古代数学的严谨与系统达到前所未有的高度。
下面我将主要介绍刘徽及其最耐人寻味的一段成就——割圆术。
刘徽，生于公元250年左右，是魏晋时人。
他的一生为数学刻苦探求，虽然地位低下，但人格高尚。
他所撰的《九章算术注》是中国最宝贵的数学遗产。
刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观，是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人。
他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人。
由于篇幅有限，对刘徽卓越的成就不能一一介绍，只能介绍其最耐人寻味的割圆术。
割圆术可谓是中国古代数学的奇迹，在后面与阿基米德求圆面积方法的比较中，您将发现割圆术的精妙与美丽。
在《九章算术》中曾提到“圆田术”---半周半径相乘得积步。
这就是著名的圆面积公式:(1) 其中S 表示圆面积，C 表示周长，R 表示半径。
我们今天可以得出这个公式是正确的，但在《九章算术》中只是提到了这一结论，却未给出严谨的证明。
在刘徽之前人们以圆内接正六边形的周长代替圆周长C ,以圆内接正十二边形的面积代替圆面积S ,用出入相补原理将正十二边形拼补成一个以正六边形的周长的一半作为长,以圆半径作为宽的长方形来推证上述公式。
在今天，我们可以看出用圆内12S CR接正六边形和圆内接正十二边形来近似代替圆是相当粗糙的，但在当时很少有人能指出这一算法的不严谨性，而刘徽却说此方法“合径率一而外周率三也”，一针见血的指出了这一方法的不严格性。
刘徽与割圆术
他沿着割圆术的思 路，从圆内接正六 边形算起，边数依 次加倍，相继算出 正12边形，正24边 形……直到正192边 形的面积，得到圆 周率兀的近似值为 157/50 (3.14)；后 来，他又算出圆内 接正3 072边形的面 积，从而得到更精 确的圆周率近似值： 兀≈3927/1 250(3.1416)。
刘徽首创“割圆术” 的方法，可以说他是中国古 代极限思想思想的杰出代表，不仅为200年后祖 冲之圆周率的计算提供了思想方法与理论依据， 也对中国古代的数学研究产生了很大影响。
在生活中，我们也要善于观察、勤于思考， 养成爱动脑的好习惯。你们也有可能成为数 学家哦！
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ刘徽与割圆术
刘徽是公元三世纪世 界上最杰出的数学家， 他在公元263年撰写 的著作《九章算术注》 以及后来的《海岛算 经》，是我国最宝贵 的数学遗产，从而奠 定了他在中国数学史 上的不朽地位。
我国古代的刘徽他为了圆周率的计算一直 潜心钻研着。
一次，刘徽看到石匠在加工石头，觉得 很有趣就仔细观察了起来。
“哇！原本一块 方石，经石匠师 傅凿去四角，就 变成了八角形的 石头。再去八个 角，又变成了十 六边形。”
一斧一斧地凿下去，一块方形石料就被加工成了一根圆柱。
谁会想到，在一般人看来非常普通的事情，却触发 了刘徽智慧的火花。他想：“石匠加工石料的方法， 可不可以用在圆周率的研究上呢？”
于是，刘徽采用这个方法，把圆逐渐分割下去， 一试果然有效。他发明了亘古未有的“割圆术”。
《刘徽割圆术》课件
割圆术与极限思想的关系
极限思想是数学中一个重要的 概念，它描述了当某量变化时 ，其极限的存在性。
割圆术体现了极限思想的应用 ，即通过不断增加多边形的边 数，使得多边形的周长无限接 近于圆的周长。
这种极限思想的应用使得刘徽 能够利用有限的手段来逼近无 限的数值，从而得到圆周率的 近似值。
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THANKS
计算机图形学
在现代计算机图形学中，刘徽割圆术 的思想被广泛应用于生成平滑的曲线 和曲面，例如在制作动画、游戏、电 影等领域。
数值分析
刘徽割圆术中的数值计算方法也被广 泛应用于现代科学中的数值分析领域 ，例如在计算物理、工程等领域中， 可以利用刘徽割圆术的方法进行数值 模拟和计算。
04
刘徽割圆术的局限性与挑战
在数学史上的地位
推动了中国古代数学的发展
刘徽割圆术是中国古代数学发展史上的重要里程碑，它的出现标志着中国古代数学从经验型向理论型的转变。
对世界数学史的影响
刘徽割圆术的提出和应用，不仅对中国古代数学产生了深远影响，也对世界数学史的发展产生了重要影响，为后 来的数学家提供了宝贵的启示和借鉴。
在现代科学中的应用
古代科学技术的局限性
缺乏精确的测量工具
古代科学技术的限制使得刘徽在进行 割圆术时无法获得精确的数值和比例 。
缺乏数学理论支持
受限于经验和实践
由于历史背景和知识体系的限制，刘 徽只能通过直观和实践来验证割圆术 ，这使得其结果的可靠性和准确性存 在一定问题。
当时的数学理论尚未发展到能够完全 支撑刘徽割圆术的证明，这使得该方 法在理论上的可靠性受到质疑。
刘徽割圆术在现代科学中的应用前景
数学建模
刘徽割圆术的基本思想和技巧可以应用 于数学建模中，为解决实际问题提供新 的思路和方法。例如，在物理、工程、 经济等领域中，可以利用刘徽割圆术的 思想来建立数学模型，解决复杂的问题 。
刘徽割圆术求圆面积的过程
刘徽割圆术求圆面积的过程
刘徽首先从圆的内接正六边形开始割圆，然后将边数逐渐增加，照这样一直分割下去，等到不可割的时候，圆的内接正多边形就和圆合二为一了。
然后他将这个正多边形分割成以圆心为原点，以每条边为底的等腰三角形，这些等腰三角形的高和底相乘得出的结果，是它本身面积的两倍。
因此将他们全部相加便是圆的面积的两倍，而这些等腰三角形的底边之和便是圆的周长，因此圆的面积等于圆的周长的一半乘以半径。
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刘徽和割圆术
中国向来以文明古国自称，谈到中国古代文明，我们一定会说起以“经世致用”为信条，以筹算为主的中国古代数学史。
在这段曲折发展的历史中，我们的古代数学跟其他古文明一样，在一定程度上获得了发展，特别是在算法的深度和广度上有着卓越的发展。
但我们不得不提及，在中国古代长达2000多年的封建制度统治下，数学研究一直停留在计算层面，理论的严谨和系统却不尽如人意，这同时也导致了一些错误的结果的出现。
在这样的数学背景下，刘徽可谓是中国数学史上的一朵奇葩，他有着“为数学而数学”的价值观，曾令中国古代数学的严谨与系统达到前所未有的高度。
下面我将主要介绍刘徽及其最耐人寻味的一段成就——割圆术。
刘徽，生于公元250年左右，是魏晋时人。
他的一生为数学刻苦探求，虽然地位低下，但人格高尚。
他所撰的《九章算术注》是中国最宝贵的数学遗产。
刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观，是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人。
他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人。
由于篇幅有限，对刘徽卓越的成就不能一一介绍，只能介绍其最耐人寻味的割圆术。
割圆术可谓是中国古代数学的奇迹，在后面与阿基米德求圆面积方法的比较中，您将发现割圆术的精妙与美丽。
在《九章算术》中曾提到“圆田术”---半周半径相乘得积步。
这就是著名的圆面积公式:
(1) 其中S 表示圆面积，C 表示周长，R 表示半径。
我们今天可以得出这个公式是正确
的，但在《九章算术》中只是提到了这一结论，却未给出严谨的证明。
在刘徽之前人们以圆内接正六边形的周长代替圆周长C ,以圆内接正十二边形的面积代替圆面积S ,用出入相补原理将正十二边形拼补成一个以正六边形的周长的一半作为长,以圆半径作为宽的长方形来推证上述公式。
在今天，我们可以看出用圆内接正六边形和圆内接正十二边形来近似代替圆是相当粗糙的，但在当时很少有人能指出这一算法的不严谨性，而刘徽却说此方法“合径率一而外周率三也”，一针见血的指出了这一方法的不严格性。
为了给出这一公式的严格证明方法，刘徽发明了割圆术。
所谓割圆术其实就是现代微积分中的极限的思想，即用圆内接正多边形的面积来逼近圆的面积。
正如他在《九章算术注》中所说“割之弥细，所失弥少。
割之又割以至于不可割则与圆合体而无所失矣”。
在利用这一方法证明这一公式的过程中，刘徽还计算出了当时最精确的圆周率近似值---徽率（ ），
这一结果要早西方很多年。
同时，我们了解割圆术后会发现利用这种方法我们可
以将圆周率计算到任意精确程度，但当时计算能力有限，只能依靠手工验算，
所以刘徽能算到
，已是很了不起了。
下面我们看一下刘徽割圆术的具体做法。
12S CR 1575015750
首先，刘徽从圆内接正六边形出发，开始割圆。
利用迭代的计算方法依次得到圆内接正62⨯，262⨯，……边形。
我们记圆内接正62n ⨯边形的面积为n S ，0,1,2,3,...n =，记圆的面积为S ，则有
n S S <
而随着分割次数的增多,n S S -越来越小，到不可再割时，n S 与S 重合，也就有了
lim n n S S →∞
= 然后，圆内接正62n ⨯边形的每边和圆周之间有一段距离n r ，如下图CD ，称之为余径。
记正62n ⨯边形的边长为n a ，将n a 乘n r ，其总和便是()12n n S S +-（这在下图中可以很显然的得到）。
而()12n n S S +-正是下图中矩形''AA B B 的面积，将它加到n S 上，则有
()12n n n S S S S +<+-
然而到不可割时，正62n ⨯边形与圆周合体,则有余径为0，即
lim 0n n r →∞
= 于是有 lim 0n n n r a →∞
= 因此
()1lim 2n n n n S S S S +→∞
+-=⎡⎤⎣⎦ 这就证明了圆面积的上界序列与下界序列的极限都是圆面积。
最后便是求出圆的周长。
刘徽把不可再割时与圆周合体的正多边形分割成无穷多个以圆心为顶点,以
B'
A'
D
C B A O
正多边形每边长为底的小等腰三角形,以圆半径乘这个多边形的边长是每个小等腰三角形面积的2 倍,也就是刘徽所说的“觚而裁之,每辄自倍”。
显然,所有这些小等腰三角形的底边之和就是圆周长,并且所有这些小等腰三角形面积的总和, 就是圆的面积。
于是就有了,圆半径乘圆周长,就是圆面积的2 倍，即
2CR S =
这样就证明了《九章算术》中著名的圆面积公式，即公式(1).
说到刘徽的割圆术，我们不得不提到古希腊数学家阿基米德计算圆面积的方法。
阿基米德是分别用圆的内接正多边形和圆的外切正多边形来作为圆的上界序列和圆的下界序列来逼近圆的。
这样就要进行两次来分别得到圆的内接正多边形和外切正多边形的面积，在古代的计算能力范围内，这无疑是增加了难度。
比较下来，我们发现刘徽的割圆术可谓是事半功倍。
从割圆术的巧妙中我们看到了刘徽的智慧与严谨，这在中国古代数学中是难能可贵的。
另外，割圆术中还包含了许多我们现在还在利用的数学方法和数学思想：
（1） 数形结合的的思想方法
在割圆的过程中刘徽一面画出图形，一面进行计算，这正是我们现代
数学中经常提到的数形结合的方法。
在数形结合的过程中，让他的计算方法更为直观，易于后人的理解领悟。
（2） 极限的思想方法
割圆的不断进行，越割多边形的边数越多，越来越接近于圆，这样不断分割逼近圆的思想这是我们现代数学中所讲的极限思想。
在刘徽的时代，他就能运用极限这是令人惊叹的。
（3） 数列极限的两面夹思想方法
在求数列极限的时候我们经常会用到两面夹准则。
刘徽在割圆的过程
中就是利用了两面夹的方法。
分别用n S 和n n+1n 2S S S +（-）从小大两个方向来
夹逼圆，两个数列极限一致，从而得出圆的面积公式。
不管是从数学本身还是文化层面来看割圆术，我们都能看到它的价值，它是中国古代数学的奇葩。
至今仍是值得我们研究学习的。
而刘徽的严谨治学的态度和精妙的解决方法至今也是值得我们后人效仿和学习的。