高斯正算公式-Read
高斯投影正反算
高斯投影正反算学院：资源与环境工程工程学院专业：测绘工程 学号：X51414012：超一、高斯投影概述想象有一个椭圆柱面横套在地球椭球体外面，并与某一条子午线相切，椭圆柱的中心轴通过椭球体的中心，然后用一定投影方法，将中央子午线两侧各一定经差围的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影面。
高斯投影由于是正形投影，故保证了投影的角度不变性，图形的相似性以及在某点各方向上长度比的同一性。
由于采用了同样法则的分带投影，这即限制了长度变形，又保证了在不同投影带中采用相同的简便公式和数表进行变形引起的各项改正的计算，并且带与带间的互相换算也能用相同的公式和方法进行。
高斯投影的这些优点必将使它得到广泛的推广和具有国际意义。
二、高斯投影坐标正算公式1.高斯投影必须满足以下三个条件 1）中央子午线投影后为直线 2）中央子午线投影后长度不变 3）投影具有正形性质，即正形投影条件2.高斯正算公式推导1）由第一个条件可知，由于地球椭球体是一个旋转椭球体，所以高斯投影必然有这样一个性质，即中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线。
2）由于高斯投影是换带投影，在每带经差ｌ是不大的，ｌρ是一个微小量，所以可以将X=X （ｌ，q ），Y=Y （l ，q ）展开为经差为l 的幂级数，它可写成如下的形式X=m 0+m 2l 2+m 4l 4+…Y=m 1l+m 3l 2+m 5l 5+…式中m 0,m1,m2,…是待定系数，他们都是纬度B 的函数。
3）由第三个条件：∂y ∂l =∂x ∂q 和∂x ∂l =-∂y∂q ，将上式分别对l 和q 求偏导2340123423401234...........x m m l m l m l m l y n n l n l n l n l =+++++=+++++可得到下式0312123403121234111,,,, 234111,,,,234dm dm dm dm n n n n dq dq dq dq dn dn dn dn m m m m dq dq dq dq ⎧====⎪⎪⎨⎪=-=-=-=-⎪⎩经过计算可以得出232244524632235242225sin cos sin cos (594)224 sin cos (6158)720cos cos (1)6cos (5181458)120N N x X B B l B B t l NB B t t l Ny N B l B t l NB t t t l ηηηηη=+⋅+-+++-+=⋅+-++-++-三、高斯投影坐标反算公式推导1.思路：级数展开，应用高斯投影三个条件，待定系数法求解。
高斯投影坐标正算公式
高斯投影坐标正算公式高斯投影坐标正反算公式2.2.2. 1高斯投影坐标正算公式： B, x,y高斯投影必须满足以下三个条件：⑴中央子午线投影后为直线；⑵中央子午线投影后长度不变；⑶投影具有正形性质，即正形投影条件。
由第一条件知中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线，即式中，x为的偶函数，y为的奇函数；，即，如展开为的级数，收敛。
（2-10）式中是待定系数，它们都是纬度B的函数。
由第三个条件知：分别对和q求偏导数并代入上式(2-11)上两式两边相等，其必要充分条件是同次幂前的系数应相等，即(2-12)(2-12)是一种递推公式，只要确定了就可依次确定其余各系数。
由第二条件知:位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标x应等于投影前从赤道量至该点的子午线弧长X，即(2-10)式第一式中，当时有：(2-13)顾及(对于中央子午线)得：(2-14,15)(2-16)依次求得并代入(2-10)式，得到高斯投影正算公式(2-17)2.2.2. 2高斯投影坐标反算公式x,y B,投影方程：(2-18)高斯投影坐标反算公式推导要复杂些。
⑴由x求底点纬度(垂足纬度),对应的有底点处的等量纬度，求x,y与的关系式，仿照式有，由于y和椭球半径相比较小(1/16.37)，可将展开为y的幂级数；又由于是对称投影，q必是y的偶函数，必是y的奇函数。
(2-19)是待定系数，它们都是x的函数.由第三条件知：，， (2-20)(2-19)式分别对x和y求偏导数并代入上式上式相等必要充分条件，是同次幂y前的系数相等，第二条件，当y=0时，点在中央子午线上，即x=X，对应的点称为底点，其纬度为底点纬度，也就是x=X时的子午线弧长所对应的纬度，设所对应的等量纬度为。
也就是在底点展开为y的幂级数。
由(2-19)1式依次求得其它各系数(2-21)(2-21)1…………将代入(2-19)1式得(2-22)1(2-22)将代入(2-19)2式得(2-23)2式。
高斯——克吕格投影正算-17.01.03
1 第一项
cosi B 0
e
2 2
j
0
k 1
Dk!
公
式
1
a1 N c
上式中的 c cos B 。上式与《控制测量学》中的 a1 N cos B 完全相同。
2 第二项
cosi B
0
e
2 2
j
k 2
Dk!
公
式
0
1
a2
N sc 2 1 Nt cos 2 B 完全相同。 2
N s c 1 546c 2 4200c 4 5040c 6 40320 9219c 2 51240c 4 52920c 6 2 49644c 2 228375c 4 213150c 6 4 121800c 2 495684c 4 430269c 6 6 151872c 2 566832c 4 465816c 6 8 94080c 2 329088c 4 259056c 6 10 23040c 2 76608c 4 58240c 6 12
高斯——克吕格 投影正算
Hanford 2017 年 01 月 03 日
目
录
目 录
第1章 1 2 3 4 5 6 7 8 9 高斯——克吕格投影正算 ...........................................................................1
a3
1 N (1 t 2 2 ) cos3 B 6
上式与《控制测量学》中的 a3 完全相同。
4 第四项
2 cosi B e2 公 式 k Dk! 0 0 4 -1 N s c 1 6c 2 9c 2 2 4c 2 4 a4 2 0 4 6 24 4 1 4 9 6 2 4 4 把余弦 c 替换为正切 t，可得 1 a4 Nt (5 t 2 9 2 4 4 ) cos 4 B 24
高斯投影高斯投影正算公式
高斯－克吕格投影也称等角横切椭圆柱投 影，它可看作是等角圆柱投影（墨卡托投 影，1569）的一种，它由德国科学家高斯 处理三角测量成果时首先提出，后经克吕 格完善（1919） ，我国于1952年起正式采 用高斯－克吕格投影。
四个世纪以来，世界各国都用墨卡托投影作 为海图的数学基础。当代常用于较大比例尺 分幅海图或赤道附近的航空图。
《大地测量学基础》（FOUNDATION OF GEODESY）
高斯－克吕格投影 高斯平面坐标系与大地坐标系
的关系（1）
测绘学院一系大地测量教研室
上节课内容回顾
☺ 长度比？ m d s
dS
☺ 椭球面到平面的长度比在什么方 向取极值？
子午方向和卯酉方向 MNcosB
☺ 最大角度变形？ sin a b
② 分带的方法
1) 6°带划分 (n为带号 )
6°带中央子午线的经度计算公式 L0 6 n3
已知6°带中央子午线的经度反算带号
n
1 6
(L0
3
)
计算任意经度所在投影带的带号公式
nL的 整 数 商 （ 1有 余 数 时 ） 6
2、高斯投影的分带
Zone-dividing of Gauss Projection
② 分带的方法
2) 3°带划分 (n'为带号 )
3°带中央子午线的经度计算公式 L0 3 n
已知3°带中央子午线的经度反算带号 n L 0 3
计算任意经度所在投影带的带号公式 n L 1.5 1 3
③ UTM分带的方法
UTM的分带是从经度180°起向东每6°为一 带，即与国际百万分之一地形图的划分一致；
（135°02′30″）
南海南沙群岛的曾母 暗沙（3°52′）
高斯平面直角坐标与大地坐标的相互转换——高斯投影的正算与反算.
昆明冶金高等专科学校测绘学院 （4）计算公式
3 2 2 2 4 ( 5 3 t 9 t ) y f f f f 2M f N f 2 4M f N 3 f tf 2 4 6 (6 1 9 0t f 4 5t f ) y 7 2 0M f N 5 f 1 1 2 2 3 l y (1 2t f f ) y 3 N f co s B f 6 N f co s B f 1 2 5 (5 2 8t 2 t4 2 2 f 24 f 6 f 8 f t f )y 5 1 2 0N f co s B f B Bf tf y2 tf
式中：
2 e 2 cos2 B
t 2 tan2 B l （L L0） X为B对应子午线弧长 N为卯酉圈曲率半径 20626 5
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2
高斯投影坐标反算公式
（1）高斯投影反算：
已知某点 x, y ，求该点 L, B ，即 x, y ( L, B) 的坐标变换。 （2）投影变换必须满足的条件
昆明冶金高等专科学校测绘学院
二、高斯投影坐标正反算得实用公式及算例
1 高斯投影坐标正算公式 （1）高斯投影正算： 已知某点的 L, B ，求该点的 x, y ，即 （2）投影变换必须满足的条件： 中央子午线投影后为直线； 中央子午线投影后长度不变； 投影具有正形性质，即正形投影条件。 （3）投影过程 在椭球面上有对称于中央子午线的两点 P1 和 P2 ,它们的大地坐标 分别为 ( L1 , B1 )或（l1 , B1）及 （L2 , B2）或(l2 , B2 ) 式中 l 为椭球面上点的经 度与中央子午线 ( L0 ) 的经度差：l L L0 ,点在中央子午线之东, l 为正，在西则为负，则投影后的平面坐标一定为P1 ( x1 , y1 ) 和 P2 ( x 2 , y 2 ) 。
高斯投影坐标计算
B
d B dq
2
dX dq dq
c
(
cos B dV V dB
2
dB dq
sin B dB V dq
2
)
2
d B dq
2
cos B c ( tan B V
2 2
3
V
sin B cos B
)
N sin B cos B
同理得
d X dq
3
N cos B ( 1
3
3
2
0
l
L
L
0
高斯投影坐标正算的函数式：
x y
l 是以弧度为单位的经度差。
F B , l F B , l
1 2
一 高斯投影坐标正算公式计算
如图，椭球面上一点投影 到平面后为d点，椭球面上 该点的平行圈（B或q为一 常数）与中央子午线的交 点为e点，若将上式中的展 开点z0设为e处，则很据高 斯投影条件，中央子午线 的长度比m=1，且纵坐标x 等于从赤道起到该平行圈 间的子午线弧长X。此时 可以写出下列方程：
4 2
二、高斯投影坐标反算公式
最后得到坐标反算的公式为：
B B
f
2M
f
t
f
y N
f
2
t 24 M
2 f
f
f
f
N
4 f
3 f
5 3 t
6
2 f
2 f
9 f t
2
2 f
y
4
t
高斯投影正反算编程一.高斯投影正反算基本公式
高斯投影正反算编程一．高斯投影正反算基本公式（1）高斯正算基本公式（2）高斯反算基本公式以上主要通过大地测量学基础课程得到，这不进行详细的推导，只是列出基本公式指导编程的进行。
二．编程的基本方法和流程图（1）编程的基本方法高斯投影正反算基本上运用了所有的编程基本语句，本文中是利用C++语言进行基本的设计。
高斯正算中对椭球参数和带宽的选择主要运用了选择语句。
而高斯反算中除了选择语句的应用，在利用迭代算法求底点纬度还应用了循环语句。
编程中还应特别注意相关的度分秒和弧度之间的相互转换，这是极其重要的。
（2）相关流程图1）正算2）反算三．编程的相关代码（1）正算# include "stdio.h"# include "stdlib.h"# include "math.h"# include "assert.h"#define pi (4*atan(1.0))int i;struct jin{double B;double L;double L0;};struct jin g[100];main(int argc, double *argv[]){FILE *r=fopen("a.txt","r");assert(r!=NULL);FILE *w=fopen("b.txt","w");assert(r!=NULL);int i=0;while(fscanf(r,"%lf %lf %lf",&g[i].B,&g[i].L,&g[i].L0)!=EOF){double a,b;int zuobiao;printf("\n请输入坐标系：北京54=1，西安80=2，WGS84=3：");scanf("%d",&zuobiao);getchar();if(zuobiao==1){a=6378245;b=6356863.0187730473;}if(zuobiao==2){a=6378140;b=6356755.2881575287;}if(zuobiao==3){a=6378137;b=6356752.3142;} //选择坐标系//double f=(a-b)/a;double e,e2;e=sqrt(2*f-f*f);e2=sqrt((a/b)*(a/b)-1);//求椭球的第一，第二曲率//double m0,m2,m4,m6,m8;double a0,a2,a4,a6,a8;m0=a*(1-e*e);m2=3*e*e*m0/2;m4=5*e*e*m2/4;m6=7*e*e*m4/6;m8=9*e*e*m6/8;a0=m0+m2/2+3*m4/8+5*m6/16+35*m8/128;a2=m2/2+m4/2+15*m6/32+7*m8/16;a4=m4/8+3*m6/16+7*m8/32;a6=m6/32+m8/16;a8=m8/128;double Bmiao,Lmiao, L0miao;Bmiao=(int)(g[i].B)*3600.0+(int)((g[i].B-(int)(g[i].B))*100.0)*60.0+( g[i].B*100-(int)(g[i].B*100))*100.0;Lmiao=(int)(g[i].L)*3600.0+(int)((g[i].L-(int)(g[i].L))*100.0)*60.0+(g [i].L*100-(int)(g[i].L*100))*100.0;L0miao=(int)(g[i].L0)*3600.0+(int)((g[i].L0-(int)(g[i].L0))*100.0)*60. 0+(g[i].L0*100-(int)(g[i].L0*100))*100.0;double db;db=pi/180.0/3600.0;double B1,L1,l;B1=Bmiao*db;L1= Lmiao*db;l=L1-L0miao*db;//角度转化为弧度//double T=tan(B1)*tan(B1);double n=e2*e2*cos(B1)*cos(B1);double A=l*cos(B1);double X,x,y;X=a0*(B1)-a2*sin(2*B1)/2+a4*sin(4*B1)/4-a6*sin(6*B1)/6+a8*sin(8*B1)/8;//求弧长//double N=a/sqrt(1-e*e*sin(B1)*sin(B1));int Zonewide;int Zonenumber;printf("\n请输入带宽：3度带或6度带Zonewide=");scanf("%d",&Zonewide);getchar();if(Zonewide==3){Zonenumber=(int)((g[i].L-Zonewide/2)/Zonewide+1);}else if(Zonewide==6){Zonenumber=(int)g[i].L/Zonewide+1;}else{printf("错误");exit(0);}//选择带宽//doubleFE=Zonenumber*1000000+500000;//改写为国家通用坐标//y=FE+N*A+A*A*A*N*(1-T*T+n*n)/6+A*A*A*A*A*N*(5-18*T*T+T *T*T*T+14*n*n-58*n*n*T*T)/120;x=X+tan(B1)*N*A*A/2+tan(B1)*N*A*A*A*A*(5-T*T+9*n*n+4*n*n *n*n)/24+tan(B1)*N*A*A*A*A*A*A*(61-58*T*T+T*T*T*T)/720;printf("\n所选坐标系的转换结果：x=%lf y=%lf\n",x,y);fprintf(w,"%lf %lf\n",x,y);//输出结果到文本文件//}fclose(r);fclose(w);system("pause");return 0;}（2）反算# include "stdio.h"# include "stdlib.h"# include "math.h"# include "assert.h"#define pi (4*atan(1.0))double X,Y,B1,B2,B3,F,t;double m0,m2,m4,m6,m8;double a0,a2,a4,a6,a8,a1,b1;double BB,LL,Bf;double e,e1;int d,m,s,i,zuobiao;double sort(double,double);struct jin{double x;double y;double L0;};struct jin g[100];//x,y,L0为输入量：x,y坐标和中央子午线经度// main(int argc, double *argv[]){FILE *r=fopen("c.txt","r");assert(r!=NULL);FILE *w=fopen("d.txt","w");assert(r!=NULL);int i=0;while(fscanf(r,"%lf %lf %lf",&g[i].x,&g[i].y,&g[i].L0)!=EOF)//文件为空，无法打开//{double a1=6378245.0000000000;//克拉索夫斯基椭球参数//double b1=6356863.0187730473;double a75=6378140.0000000000;//1975国际椭球参数//double b75=6356755.2881575287;double a84=6378137.0000000000;//WGS-84系椭球参数//double b84=6356752.3142000000;double M,N;//mouyou圈曲率半径，子午圈曲率半径//double t,n;double A,B,C;double BB,LL,Bf,LL0,BB0;double a,b;printf("\n选择参考椭球：1=克拉索夫斯基椭球，2=1975国际椭球，3=WGS-84系椭球:");scanf("%d",&zuobiao);getchar();if(zuobiao==1){a=a1;b=b1;}if(zuobiao==2){a=a75;b=b75;}if(zuobiao==3){a=a84;b=b84;}//选择参考椭球，求解第一偏心率e,第二偏心率e1// Bf=sort(a,b);//调用求解底点纬度的函数//double q=sqrt(1-e*e*sin(Bf)*sin(Bf));double G=cos(Bf);M=a*(1-e*e)/(q*q*q);N=a/q;double H,I;A=g[i].y/N;H=A*A*A;I=A*A*A*A*A;t=tan(Bf);n=e1*cos(Bf);B=t*t;C=n*n;BB0=Bf-g[i].y*t*A/(2*M)+g[i].y*t*H/(24*M)*(5+3*B+C-9*B*C)-g[i] .y*t*I/(720*M)*(61+90*B+45*B*B);LL0=g[i].L0*pi/180.0+A/G-H/(6*G)*(1.0+2*B+C)+I/(120*G)*(5.0+28 *B+24*B*B+6*C+8*B*C);//利用公式求解经纬度//int Bdu,Bfen,Ldu,Lfen;double Bmiao,Lmiao;Ldu=int(LL0/pi*180);Lfen=int((LL0/pi*180)*60-Ldu*60);Lmiao=LL0/pi*180*3600-Ldu*3600-Lfen*60;Bdu=int(BB0/pi*180);Bfen=int((BB0/pi*180)*60-Bdu*60);Bmiao=BB0/pi*180*3600-Bdu*3600-Bfen*60;//将弧度转化为角度//printf("\n所选坐标系的转换结果：%d度%d分%lf秒%d 度%d分%lf秒\n",Bdu,Bfen,Bmiao,Ldu,Lfen,Lmiao);fprintf(w,"%d°%d’%lf”%d°%d’%lf”\n",Bdu,Bfen,Bmiao,Ldu,Lfen,Lmiao);//将结果输出到文本文件//}fclose(r);fclose(w);system("pause");return 0;}double sort(double a,double b){double e,e1;e=sqrt(1-(b/a)*(b/a));e1=sqrt((a/b)*(a/b)-1);double m0,m2,m4,m6,m8;double a0,a2,a4,a6,a8;m0=a*(1-e*e);m2=3*e*e*m0/2;m4=5*e*e*m2/4;m6=7*e*e*m4/6;m8=9*e*e*m6/8;a0=m0+m2/2+3*m4/8+5*m6/16+35*m8/128;a2=m2/2+m4/2+15*m6/32+7*m8/16;a4=m4/8+3*m6/16+7*m8/32;a6=m6/32+m8/16;a8=m8/128;B1=g[i].x/a0;do{F=-a2*sin(2*B1)/2+a4*sin(4*B1)/4-a6*sin(6*B1)/6+a8*sin(8*B1 )/8;B2=(g[i].x-F)/a0;B3=B1;B1=B2;} while(fabs(B3-B2)>10e-10);//利用迭代算法求解底点纬度//return B2; }。
1 高斯投影坐标正算公式
1 高斯投影坐标正算公式（1）高斯投影正算：已知椭球面上某点的大地坐标，求该点在高斯投影平面上的直角坐标，即的坐标变换。
（2）投影变换必须满足的条件中央子午线投影后为直线；中央子午线投影后长度不变；投影具有正形性质，即正形投影条件。
（3）投影过程在椭球面上有对称于中央子午线的两点和,它们的大地坐标分别为（）及（），式中为椭球面上点的经度与中央子午线的经度差：, 点在中央子午线之东, 为正，在西则为负，则投影后的平面坐标一定为和。
（4）计算公式当要求转换精度精确至0.OOlm时，用下式计算：2 高斯投影坐标反算公式（1）高斯投影反算：已知某点的高斯投影平面上直角坐标，求该点在椭球面上的大地坐标，即的坐标变换。
（2）投影变换必须满足的条件坐标轴投影成中央子午线，是投影的对称轴；轴上的长度投影保持不变；投影具有正形性质，即正形投影条件。
（3）投影过程根据计算纵坐标在椭球面上的投影的底点纬度，接着按计算（）及经差，最后得到、。
（4）计算公式当要求转换精度至时，可简化为下式：3高斯投影相邻带的坐标换算（1）产生换带的原因高斯投影为了限制高斯投影的长度变形，以中央子午线进行分带，把投影范围限制在中央子午线东、西两侧一定的范围内。
因而，使得统一的坐标系分割成各带的独立坐标系。
在工程应用中，往往要用到相邻带中的点坐标，有时工程测量中要求采用带、带或任意带，而国家控制点通常只有带坐标，这时就产生了带同带（或带、任意带）之间的相互坐标换算问题，如图所示：（2）应用高斯投影正、反算公式间接进行换带计算计算过程把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标。
首先把某投影带（比如Ⅰ带）内有关点的平面坐标，利用高斯投影反算公式换算成椭球面上的大地坐标，进而得到；然后再由大地坐标，利用投影正算公式换算成相邻带的（第Ⅱ带）的平面坐标。
在这一步计算时，要根据第Ⅱ带的中央子午线来计算经差，亦即此时。
算例在中央子午线的Ⅰ带中，有某一点的平面直角坐标，，现要求计算该点在中央子午线的第Ⅱ带的平面直角坐标。