系统工程03线性规划
工业系统工程线性规划模型
资源分配问题
确定资源需求
通过线性规划模型，可以确定完成生 产任务所需的资源需求，如劳动力、 原材料、设备等。
优化资源分配
线性规划模型可以用于优化资源分配 ，包括确定各种资源的最佳组合和分 配方案，以满足生产需求并最小化资 源消耗。
考虑资源约束
资源分配过程中需要考虑各种资源约 束条件，如资源数量、可用时间等， 线性规划模型可以有效地处理这些约 束条件。
分析不同决策方案
通过构建多个线性规划模型，可以分 析不同的决策方案对系统性能的影响 ，从而为决策者提供参考。
预测未来趋势
基于历史数据和线性规划模型，可以 预测未来趋势，为决策者提供前瞻性 的建议。
制定合理决策方案
确定关键因素
通过线性规划模型，可以确定影响系统 性能的关键因素，从而有针对性地制定 决策方案。
1 2
确定目标变量
明确要优化的目标变量，如成本、利润、产量等 。
确定目标函数的数学形式
根据目标变量的性质和要求，选择适当的目标函 数形式，如最小化、最大化等。
3
确定目标函数的约束条件
明确目标函数的约束条件，如资源限制、时间限 制等。
确定决策变量
01
确定决策变量的类 型
根据问题实际情况，选择适当的 决策变量类型，如连续变量、离 散变量等。
生产计划制定
确定生产目标
通过线性规划模型，可以确定生 产计划的目标，如最大化产量、 最小化成本等。
优化生产流程
线性规划模型可以用于优化生产 流程，包括确定原材料采购、库 存管理、生产调度等方面的最佳 策略。
考虑约束条件
生产计划制定过程中需要考虑各 种约束条件，如设备能力、人员 数量、原材料供应等，线性规划 模型可以有效地处理这些约束条 件。
系统工程复习资料
一、填空1、线性规划的数学模型中，决策者对于实现目标的限制因素称为—约束条件O2、在可行解区中，通过各极点作与目标函数直线斜率相同的平行直线，这些平行直线称之为_等值线o3、线性规划数学模型中，实际系统或决策问题中有待确定的未知因素，称之为—变量一4、对于供求平衡的运输问题，表上作业法是在平衡表的基础上首先求出一个—初始调运方案5、图解法中，可行解区域内满意目标函数的解称之为—可行解—o6、通过一种数学的迭代过程，逐步求得线性规划多变量模型最优解的方法，称之为—单纯形法—O7、用单纯形法求解线性规划问题时，若约束条件是等于或小于某确定数值，则应在每个不等式中引入一个—松驰变量—o8、线性规划的图解法适用于—只含有2~3个变量的线性规划问题o9、若B是原规划的最优可行基，则最优单纯形乘子Y*=C B B-I是其对偶规划的一最优解—o10、在线性规划模型中，没有非负约束的变量称为自由变量o11、在图论中，表示对象之间的某种特定的关系，通常用边或弧表示o12、原问题的第i个约束方程是型，则对偶问题的变量y是自由变量o13、在线性规划中，凡满意约束条件的解均称之_可行解—o14、单纯形法求解线性规划问题时，若要求得基础解，应令非基变量全为0 o15、使用线性规划单纯形法时，为了将模型转换成标准形式，我们可以在每个不等式中引入一个新的变量，这个新变量称一松驰变量C16、在线性规划的图解法中，全部可行解所分布的区域称之为可行解区—o17、在线性规划中，设约束方程的个数为m,变量个数为n, m<n时，我们可以把变量分为基变量和非基变量两部分，基变量的个数为_m个—o18、使目标值达到最优的可行解叫做—最优解—o19、假如实际运输问题的产销不平衡,为了转化为平衡的运输问题,我们可以虚设一个—产地或销地—O20、在产销平衡运输问题中，设产地为m个，销地为n个，那么基可行解中非零变量的个数(不能大于(m+n-l)o21、在一个网络中，假如图形是连通且不含圈的，则这种图形称之为—树—o22、关于线性规划问题，叙述正确的为其最优解若存在，在可行解中必有最优解—o23、使用人工变量法求解极大化线性规划问题时，当全部的检验数丐工。
4.2线性规划ppt课件
目录
• 线性规划简介 • 线性规划的求解方法 • 线性规划的软件实现 • 线性规划案例分析 • 线性规划的优化策略
01
线性规划简介
线性规划的定义
线性规划是数学优化技术的一种 ，它通过将问题转化为线性方程 组，并寻找满足一定约束条件的 解，以实现目标函数的最优解。
线性规划问题通常由决策变量、 约束条件和目标函数三部分组成
运输问题
总结词
运输问题是在物流和供应链管理中常见的线性规划应用，旨在优化运输成本和时 间。
详细描述
运输问题通常涉及多个起点、终点和运输方式，需要考虑运输成本、时间、容量 和路线等约束条件。通过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输 成本最低或运输时间最短。
投资组合优化问题
总结词
投资组合优化问题是在金融领域中常见的线性规划应用，旨 在实现风险和收益之间的平衡。
对偶问题在理论研究和实际应用中都 具有重要的意义，可以用于求解一些 特殊类型的问题，如运输问题、分配 问题等。
对偶问题具有一些特殊的性质，如对 偶变量的非负性、对偶问题的最优解 与原问题的最优解之间的关系等。
初始解的确定
初始解的确定是线性规划求解过程中的 一个重要步骤，一个好的初始解可以大
大减少迭代次数，提高求解效率。
。
决策变量是问题中需要求解的未 知数，约束条件是限制决策变量 取值的条件，目标函数是要求最
大或最小的函数。
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型通常由一 组线性不等式和等式约束以及 一个线性目标函数组成。
线性不等式和等式约束条件可 以用来表示各种资源和限制条 件。
目标函数是决策变量的线性函 数，表示要优化的目标。
线性规划模型的标准形式
第三部分运筹学第四章运筹学建模4.1 运筹学概述运筹学是用数学方法研究各种系统最优化问题的学科。
其研究方法是应用数学语言来描述实际系统，建立相应的数学模型，并对模型进行研究和分析，据此求得模型的最优解；其目的是制定合理运用人力、物力和财力的最优方案；为决策者提供科学决策的依据；其研究对象是各种社会系统，可以是对新的系统进行优化设计，也可以是研究已有系统的最佳运营问题。
因此，运筹学既是应用数学，也是管理科学，同时也是系统工程的基础之一。
运筹学一词最早出现于第二次世界大战期间，当时为了急待解决作战中所遇到的许多错综复杂的战略战术问题，英美一些具有不同学科和背景的科学家，组成了许多研究小组，专门从事军事行动的优化研究。
研究的典型课题有：高射炮阵地火力的最佳配置、护航舰队规模的大小以及开展反潜艇作战的侦察等方面。
由于受到战时压力的推动，加上不同学科互相渗透而产生的协同作用，在上述几个方面的研究都卓有成效，为第二次世界大战盟军的胜利起到积极作用，也为运筹学各个分支的进一步研究打下了基础。
战后，这些科学家们转向研究在民用部门应用类似方法的可能性。
因而，促进了在民用部门中应用运筹学有关方法的研究和实践。
1947年，美国数学家G．B．Dantzig提出了求解线性规划的有效方法——单纯形法。
50年代初，应用电子计算机求解线性规划问题获得了成功。
50年代末，工业先进国家的一些大型企业也陆续应用了运筹学的方法以解决企业在生产经营活动中所出现的许多问题，取得了良好效果。
60年代中期，一些银行、医院、图书馆等都已陆续认识到运筹学对帮助改进服务功能、提高服务效率所起的作用，由此带来了运筹学在服务性行业和公用事业中的广泛应用。
电子计算机技术的迅速发展，为广泛应用运筹学方法提供了有力工具，运筹学的应用又开创了新的局面。
当前，运筹学在经济管理、生产管理、工程建设、军事作战、科学试验以及社会系统等各个领域中都得到了极为广泛的应用。
系统工程理论(1)
系统工程理论第一节系统科学的学科体系我国著名科学家钱学森提出了一个清晰的现代科学技术的体系结构，认为从应用实践到基础理论，现代科学技术可以分为四个层次：首先是工程技术这一层次，然后是直接为工程技术提供理论基础的技术科学这一层次，再就是基础科学这一层次，最后通过进一步综合、提炼达到最高概括的马克思主义哲学。
如图2-1所示。
在此基础上他又进一步提出了一个系统科学的体系结构。
他认为系统科学是由系统工程这类工程技术，系统工程的理论方法（像运筹学、大系统理论等）这一类技术科学（统称为系统学），以及它们的理论基础和哲学层面的科学所组成的一类新兴科学。
如图2-2所示。
图2-1现代科学技术体系系统学主要研究系统的普遍属性和运动规律，研究系统演化、转化，协同和控制的一般规律、系统间复杂关系的形成法则、结构和功能的关系、有序、无序状态的形成规律以及系统的仿真的基本原理等，随着科学的发展，它的内容也不断在丰富。
由于其尚属于起步阶段，还不够成熟，因而学者们对系统科学的学科体系的认识仍有较大差异。
系统工程是从实践中产生的，它用系统的思想与定量和定性相结合的系统方法处理大型复杂系统的问题，它是一门交叉学科。
系统工程是把自然科学和社会科学的某些思想、理论、方法、策略和手段等根据总体协调的需要，有机地联系起来，把人们的生产、科研、经济和社会活动有效地组织起来，应用定量和定性分析相结合的方法和计算机等技术工具，对系统的构成要素、组织结构、信息交换和反馈控制等功能进行分析、设计、制造和服务，从而达到最优设计、最优控制和最优管理的目的，以便最充分地发挥人力、物力和信息的潜力，通过各种组织管理技术，使局部和整体之间的关系协调配合，以实现系统的综合最优化。
系统工程是一门工程技术，但它与机械工程、电子工程、水利工程等其它工程学的某些性质不尽相同。
上述各门工程学都有其特定的工程物质对象，而系统工程则不然，任何一种物质系统都能成为它的研究对象，而且还不只限于物质系统，它可以包括自然系统、社会经济系统、经营管理系统、军事指挥系统等等。
环境系统工程 线性规划(图解法)
(最优解) 基可行解 可行解域
中南大学
线性规划问题中的基本概念
设有标准型
AX=b (1-3) X≥0 (1-4)
A=(aij)mn
m<n
可行解： 满足约束方程(1-3),(1-4)的解X称为线性规划问 题的可行解。 基(矩阵)： 设B是从A中任取m列元素所构成的方阵。且 |B|≠0则称B是线性规划问题的一个基(矩阵)。 基变量： 若B为基，则B中列所对应的变量称为基变量， 用XB表示，余下的其他变量称为非基变量，用XN表示。
中南大学
基本概念-基、基变量
目标函数 约 束 条 件
=
右边常数
行列式≠0 基矩阵B
=
1) B在A中是任取的，因此A中有很多基 2) 基变量是针对基而言，不同的基有不同的基变量。
中南大学
基本概念-基,基变量说明
x1+x2+ x3 =6 x1+2x2+ x4 =8 x2+ x5=3 x1~x5≥0 1 1 1 0 0 A= 1 2 0 1 0 0 1 0 0 1
X1，X20，X3无限制
化为标准型
中南大学
解：① 令X3 =X4 - X5 ② 加松弛变量X6 ③加剩余变量X7 ④ 令Z'= -Z maxZ'= X1 -2X2 +3X4 -3X5
X1 +X2 +X4 -X5 +X6=7
X1 -X2 +X4 -X5 -X7 =2
X1 , X2 , X4 ,
…
, X7 0
j 1 n n
a x
j 1 ij
j
bi
i 1,2 m j 1,2 n
剩余变量
xj 0
工业系统工程线性规划模型
xx年xx月xx日
目录
• 线性规划模型概述 • 线性规划模型基础知识 • 工业系统工程中的线性规划模型 • 线性规划模型在工业系统工程中的应用案例 • 线性规划模型在工业系统工程中的优缺点 • 工业系统工程线性规划模型未来研究方向及展望
01
线性规划模型概述
线性规划模型定义
可微性
由于目标函数和约束条件的线性性，线性规 划模型具有可微性，可以使用微积分方法进 行求解。
线性规划模型发展历程
线性规划模型的起源可以追溯到1940年代，当时 美国科学家Gantmakher和Krein开始研究线性规 划问题。
随着计算机技术的发展，线性规划方法逐渐得到 广泛应用，成为一种重要的数学优化技术。
线性规划模型是一套用来描述具有线性约束 条件和线性目标函数的问题的数学模型。
它以线性代数理论为基础，通过运用数学优 化技术来寻找最优决策方案。
线性规划模型特征
目标函数的线性性
线性规划模型的目标函数是线性的，即输出 与输入成比例变化。
约束条件的线性性
线性规划模型的约束条件也是线性的，即输入的增 加会导致输出的等比例增加。
函数。
约束条件
线性规划模型的约束条件是线性 的，通常包括等式约束和不等式 约束。
可行解
满足所有约束条件的解称为可行解 。
线性规划模型标准形式
标准形式
将线性规划模型中的变量和约束条件转换 为一组标准形式，以便于求解和分析。
VS
标准形式转换
将非标准形式的线性规划模型转换为标准 形式，需要将变量和约束条件进行适当的 变换。
03
对问题背景要求高
线性规划模型对于问题的背景和 特征需要有较深入的理解才能建 立有效的模型。
系统工程概论(统筹学)复习题
一、单选题1. 一个线性规划问题（P）与它的对偶问题（D）不存在哪一个关系【】A.（P）可行（D）无解，则（P）无有限最优解B.（P)、(D）均有可行解，则都有最优解C.（P)有可行解，则（D）有最优解D.(P）（D)互为对偶2。
当线性规划问题的一个基本解满足下列哪项要求时称之为一个基本可行解【】A.大于0 B.小于0 C。
非负 D.非正3。
在用对偶单纯形法解最大化线性规划问题时，每次迭代要求单纯形表中【】A。
b列元素不小于零B。
检验数都大于零C.检验数都不小于零D。
检验数都不大于零4。
若运输问题已求得最优解，此时所求出的检验数一定是全部【】A。
大于或等于零B。
大于零 C.小于零 D.小于或等于零5。
在线性规划模型中，没有非负约束的变量称为【】A。
多余变量 B.松弛变量 C.自由变量 D.人工变量6. 在产销平衡运输问题中，设产地为m个，销地为n个,那么解中非零变量的个数【】A。
不能大于(m+n-1) B.不能小于(m+n—1) C。
等于（m+n-1) D。
不确定7。
箭线式网络图的三个组成部分是A.活动、线路和结点B.结点、活动和工序C.工序、活动和线路D。
虚活动、结点和线路8。
在系统工程方法分析方法中,霍尔三维结构的核心内容是【】A。
定量分析B。
优化分析C。
比较学习D。
认识问题9. 若原问题中xi为自由变量，那么对偶问题中的第i个约束一定为【】A.等式约束B。
“≤”型约束 C.“≥”约束 D.无法确定10. 线性规划一般模型中，自由变量可以代换为两个非负变量的【】A.和B。
差C。
积 D.商11. 总运输费用最小的运输问题,若已得最优运输方案，则其中所有空格的改进指数【】A.大于或等于0B.小于或等于0 C。
大于0 D.小于012。
.下列不属于系统分析的基本要素的是【】A.问题B。
模型 C.方案D。
技术13. 在建立结构模型时，用来描述系统各要素间邻接状态的是【】A。
可达矩阵B。
邻接矩阵 C.矩阵元素 D.ISM法14. 在系统分析中，层次分析法适用于进行【】A.系统预测 B 系统评价 C.系统仿真D。
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Hale Waihona Puke 5.1、线性规划问题的一般形式 5.2、线性规划问题的标准形式 5.3、将线性规划问题的一般形式化称标 准形式 5.4、线性规划问题的图解 5.5、单纯形法
5.1线性规划问题的一般形式
max(min) y ci xi
i 1 r r
s.t.
a
i 1
1i
xi (, )b1
a
i 1
r
2i
xi ( , )b2
a
i 1
r
mi
xi (, )bm
xi 0, i 1,2, , r
5.2线性规划问题的标准形式
max y ci xi
i 1 r r
s.t.
a
i 1
1i
xi b1
a
i 1
r
2i
xi b2
a
i 1
x1 , x1 0, x3 x3 x3 , x3 , x3 0 x1 加入松弛变量 x4和x6，以及剩余变量 x5
max
x 2 4 x3 4 x3 z x1 4 x3 x 4 9 3 x 2 4 x3 x x x5 6 1 2 2 x3 x6 16 5 x 2 2 x3 , x 2 , x3 , x3 , x 4 , x5 , x6 0 x1
5.3一般形式转化成标准形式
P88-89 例5－5
min
z x1 x 2 4 x3 3x 2 4 x3 9 x x 6 1 2 5 x 2 x 16 2 3 x1 0, x 2 0, x3无限制
s.t.
5.3一般形式转化成标准形式
s.t.
5.3一般形式转化成标准形式
max f 2 x1 3 x 2 0 x3 0 x 4 0 x5 8 x1 2 x 2 x3 4 x x4 16 1 4 x2 x5 12 xi 0, i 1,2,3,4,5
s.t.
s.t.
5.4 线性规划问题的图解
P90 例5－6
max
f 2 x1 3 x 2 x1 2x 2 8 4 x1 16 4 x 2 12 x1 0, x 2 0
s.t.
5.4 线性规划问题的图解
x2
x1 2 x2 8 4 x2 12 4 x1 16
5.3一般形式转化成标准形式
(2)
min
r i 1
max
max y ci xi
i 1 r
min y ci xi
(3) 将 bi 化成非负数
ai1 x1 ai 2 x2 air xr bi
若 bi 0 ，则同乘 (1)
ai1 x1 ai 2 x2 air xr bi
f 14
0
f 0
x1
f 6
5.4 线性规划问题的图解
可以得出：线性规划问题的可行域是由凸多 边形所围成的区域，最优点不在区域内部， 而在边界所围成的顶点上。
ak1 x1 ak 2 x2 akr xr xr 1 bk
5.3一般形式转化成标准形式
不等式约束为
ak1 x1 ak 2 x2 akr xr bk
加入剩余变量 xr 1，且有xr 1 0
ak1 x1 ak 2 x2 akr xr xr 1 bk
5.3一般形式转化成标准形式
(4) 若实际中， x i 的约束为 xi 引入变量 xi 和 xi ， xi 0, xi 0
xi xi xi
5.3一般形式转化成标准形式
P84-85 例5－1
max
f 2 x1 3 x 2 x1 2x 2 8 4 x1 16 4 x 2 12 x1 0, x 2 0
r
mi
xi bm
xi 0, i 1,2, , r b j 0, j 1,2, , m
5.3一般形式转化成标准形式
(1)将不等式约束化为等式约束 不等式约束为
ak1 x1 ak 2 x2 akr xr bk
加入松弛变量 xr 1，且有xr 1 0