系统工程导论习题解答
系统工程课后题答案
第一章部分习题答案1．名词解释风险——是用危险概率及危险严重度表示的可能损失；是对认识主体可能发生灾害的后果的定量描述，是一定时期产生灾害事件的概率与有害事件危及势的乘积。
（危及势是系统功能残缺或丧失后造成的损害的总和。
）风险度——是衡量危险性的指标，也叫风险率。
系统——系统就是由相互作用和相互依赖得若干组成部分结合成得具有特定功能的有机整体。
系统工程——系统工程是组织管理系统的规划、设计、制造、试验和使用的科学方法，是一种对所有系统都具有普遍意义的科学方法。
可靠性——是指系统在规定的条件下和规定的时间内完成规定功能的能力。
可靠度——是衡量系统可靠性的标准，它是指系统在规定的时间内完成规定功能的概率。
安全——是指在系统使用的周期内，应用科学管理和安全系统工程原理，鉴别危险性并使风险减少到最小限度，从而使系统在操作效率、耗费时间和投资范围内，达到最佳安全的状态；是一个相对的状态概念，是认识主体在某一限度内受到损伤和威胁的状态。
安全系统——在一个工程系统运行、维修以致废弃时都需要有各种手段（包括设施和措施）保证系统的上述工作得以安全进行，这些设施和措施的总和便构成系统中的安全分系统，也可简称安全系统。
第二章部分习题答案1．系统安全分析的含义、目的和任务是什么？系统安全分析含义：是从安全角度对系统中的危险因素进行分析系统安全分析目的：是为了保证系统安全运行，查明系统中的危险因素，以便采取相应措施消除系统故障或事故。
系统安全分析内容：(1)对可能出现的初始的、诱发的及直接引起事故的各种危险因素及其相互关系进行调查和分析。
(2)对与系统有关的环境条件、设备、人员及其他有关因素进行调查和分析。
(3)对能够利用适当的设备、规程、工艺或材料控制或根除某种特殊危险因素的措施进行分析。
(4)对可能出现的危险因素的控制措施及实施这些措施的最好方法进行调查和分析。
(5)对不能根除的危险因素失去或减少控制可能出现的后果进行调查和分析。
系统工程导论主观题答案
一．简答题1. 什么是系统？并用一表达式描述，说明其含义。
答：系统是由相互联系、相互作用的许多要素结合而成的具有特定功能的统一体。
S＝{E，R} 或者 {E｜R}其中，S表示系统（system），E表示要素（elements）的集合(first set)，R表示由集合E产生的各种关系(relations)的集合(first set)。
2．什么是系统的涌现性答：系统的涌现性包括系统整体的涌现性和系统层次间的涌现性。
系统的各个部分组成一个整体之后，就会产生出整体具有而各个部分原来没有的某些东西（性质、功能、要素），系统的这种属性称为系统整体的涌现性。
系统的层次之间也具有涌现性，即当低层次上升为高层次时，一些新的性质、功能、要素就会涌现出来。
3．简述系统与环境的关系答：新系统产生于环境；新系统的约束条件决定于环境；决策的依据来自于环境，试制所需资源来自于环境；最后，系统的品质也这能放在环境中进行评价。
系统对环境的依赖性，产生与环境，运行与环境中，适应环境；系统与环境划分的确定性与相对性；系统与环境相互影响，物质、能量、信息交换；系统+环境=更大系统。
4．按钱学森提出的系统新的分类方法，系统如何分类？对每一类系统举一例。
答：1）按照系统规模分为小系统、大系统、巨系统；2）按照系统结构的复杂程度分为简单系统和复杂系统。
一个人可视为简单的小系统，学校为复杂的大系统，社会是开放的复杂巨系统。
5．如果用下面表达式描述某一企业系统S={E，R}Ω{E∣R}，举例说明E和R分别表示那些内容？答：E表示要素的集合，R表示由集合E产生的各种关系的集合。
E－构成企业的各子系统，R－子系统之间、系统与整体之间、整体与环境之间、子系统与环境之间的关系。
6．系统的结构与功能的关系是怎样的？答：结构与功能是系统普遍存在的两种既相互区别又相互联系的基本属性，是系统中要素之间相互联系相互作用所形成的整体性关系问题的两个方面。
区别：系统结构说明的是系统内部状态和内部作用，系统功能说明的是系统外部状态和外部作用。
系统工程导论陈宏民版课后习题答案
第一章《序言》习题与思考1．从系统工程产生的背景的描述中，你认为系统工程主要适用于研究、处理、解决哪类问题？这些问题有什么特征？【答案要点】（1）对从系统工程产生的历史背景进行描述，如：从其发展的必要性、社会经济角度以及科学技术发展等方面描述。
（2）从描述中得出它成为研究、分析和处理复杂系统问题最有效的理论、方法和工具。
（3）这些问题的基本特征是由很多政治、经济、社会、技术、环境等熔合一起，且规模大、关系复杂、因素众多、目标多样，需要用多种理论和知识、技术综合集成的方法去解决。
2．从推动系统工程发展的主要理论看，你认为要研究、处理、解决复杂系统问题还要哪些科学技术的支持？【答案要点】研究、分析、解决系统问题除了需要运筹学、控制论、一般系统理论等基本理论的支持，还需要信息论，耗散结构理论、协同理论、突变论以及现代控制论、计算机科学、信息技术等相关学科，且后三者使系统工程的实际应用成为现实。
3．从我国古代朴素系统观的应用案例的介绍中，你认为这些案例中主要体现了什么样的系统观念？【答案要点】结合案例（孙子兵法、都江堰水利工程、丁谓修复皇宫、冶炼等）可知我国古代朴素系统观念是从系统整体出发，对不同层次以及系统与环境进行全面地分析，从而解决问题。
4．请你谈谈钱学森对中国系统工程做出了哪些杰出贡献。
【答案要点】钱学森对我国系统工程的发展贡献是：（1）创建第一个运筹学研究小组，并把它作为其组建的中国科学院研究所的组成部分；（2）创建第一个军事研究机构，开辟系统科学面向我国武器装备规划的新领域；（3）在其指导下，许多计划和工程部门按照技术上和组织上的各种时序联系和逻辑联系的计划流程图，运用数学方法进行计划和工程的分析预测，分清主次，明确关键，寻求人才资源和物资资源利用的最优方案；（4）他积极建议我国军事部门将系统工程原理和方法，作为我军不断向现代化迈进的重要手段；（5）在他古稀之年，发表一系列关于系统科学的学术演讲；（6）在其倡议和指导下，我国运用系统科学的理论与方法对我国的经济建设与社会发展做出了科学的预测和研究；总之，钱学森对系统科学最重要的贡献是发展了系统学和开饭的复杂巨系统的方法论。
系统工程导论-随堂练习答案
1. 系统工程的主要特点是什么？A: 一个系统，两个最优B: 以软为主，软硬结合C: 跨学科多，综合性强D: 从定性到定量的综合集成研究E: 宏观研究为主，兼顾微观研究F: 实践性与咨询性参考答案：ABCDEF1.阿波罗登月计划是举世公认的系统工程范例。
从___年5月至年12月，历时11年半，耗资___多亿美元，参加研制的美国与外国企业２万多家，大学与研究机构120所，使用大型计算机600多台，参加研制工作的人员达___多万，其中高级技术人员42万。
A: 1961；1972;400;300 B: 1962；1972；300；400； C:1961；1972；300；400； D: 1962；1972；400；300；参考答案：ABD4. 把时间维与逻辑维结合起来形成一个二维结构，称为系统工程的活动矩阵，参考答案：√5. 请填写HALL三维结构中的逻辑图：A: 系统综合、系统分析、确定目标、系统评价。
B: 系统综合、确定目标、系统分析、系统评价。
C: 确定目标、系统分析、系统综合、系统评价。
D: 确定目标、系统综合、系统分析、系统评价。
参考答案：D1. 成本效益分析法主要考虑资金的时间价值。
11. 系统评价工作的两项困难：（1）有的指标没有明确的数量表示，甚至同使用人或评价人的主观感觉与经验有关；（2）不同的方案可能各有所长。
针对这两项困难，相应的解决办法是： A.各项指标数量化 B.所有指标归一化 C.各项指标矢量化 D.所有指标一致化参考答案：AB12. 指标评分法主要有： A.排队打分法； B.专家打分法； C.两两比较法； D.体操计分法； E.连环比率法； F.逻辑判断评分法。
参考答案：ABCDEF13. 所谓的产品的“寿命周期”是从产品开始构思到最终将产品予以处理不用之间的时间区间。
寿命周期分为以下阶段： A.概念和定义阶段； B.设计与开发阶段 C.生产阶段 D.安装阶段； E.运行和维修阶段 F.处理阶段。
《系统工程》课后习题第一章答案
第一章1．举例说明什么是系统，系统具有哪些特性。
系统可被定义为具有一定功能的、相互间具有有机联系的、由许多要素或构成部分组成的一个整体。
由此可见，一台机器、一个部门、一项计划、一个研究项目、一种组织、一套制度都可看成一个系统。
从系统的定义可以看出，所有系统都具有共同的特性：①层次性；②整体性；③集合性；④相关性；⑤目的性；⑥环境适应性。
2．系统工程研究的系统除具有一般系统的特性外，还具有哪些特性？作为系统工程研究的对象，还必须具有以下特性：①可控性；②动态性；③复杂性；④自律性。
3．按照系统存在的形态和性质，举例说明系统有哪些类型。
按照系统在自然界存在的形态和性质，系统可分为以下类型：①自然系统与人工系统；②实体系统与概念系统；③动态系统与静态系统；④控制系统与行为系统；⑤孤立系统、封闭系统与开放系统；⑥因果系统和目的系统；⑦普通系统与大系统；⑧简单系统和复杂系统；⑨面向对象区分的各种系统形态。
4．举例分析管理系统具有的特点。
管理系统除了具有一般系统的特征外，还有如下几个特点：①管理系统是一个具有多重反馈结构的社会系统；②管理系统往往是一个非线性的系统；③管理系统中各变量之间存在着长时滞；④管理系统中原因和结果具有一定的分离性；⑤管理系统具有明显的组织结构特性。
5．从系统的角度看，一个工业企业具有哪些系统特征？从经营决策的角度来看，现代工业企业表现出以下系统特征：①工业企业系统是一个“人—机系统”；②工业企业系统是一个可分系统；③工业企业是一个具有自适应能力的动态系统；④工业企业是一个投入产出系统；⑤工业企业是一个开放系统。
6．简述系统科学、系统学和系统工程三者之间的关系。
系统科学是与自然科学和社会科学并列的基础科学，是一门独立于其他各门科学的学科。
系统科学是在研究控制论、信息论、运筹学和一般系统论的过程中发展起来的，从系统科学这一类研究系统的基础科学出发，结合其他基础科学，组成一系列研究系统共同问题的技术科学，这些科学统称为系统学。
系统工程课后答案
7 解：(c):S=( S 1, S 2, S 3, S 4, S 5, S 6, S 7)R b= (S 2 , S 3 ),( S 2 , S 4 ), ( S 3 , S 1 ), ( S 3 , S 4 ), ( S 3 , S 5 ) , ( S 3 , S 6 ), (S 3, S 7) , (S 4, S 1) , ( S 5 , S 3 ) , ( S 7, S 4 ), (S 7, S 6)⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0101000000000000001000000001111100100011000000000A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1101001010000011111010001001111110111111110000001M =(A+I)2 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=111001010000001001111101111111000001'M8、根据下图建立系统的可达矩阵解：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100000000110000000111100111110100000110111001110001000110000101110001010110000001M9、（2）解：规范方法：1、 区域划分因为B(S)={3,6}所以设B中元素Bu=3、Bv=6R(3)={ 1，2，3，4}、R(6)={ 2，4，5，6，7，8}R(3)∩R(6)={ 1，2、3，4} ∩{2，4，5，6，7，8} ≠φ，故区域不可分解2将满足C ＝R 的元素2，8挑出作为第1级 将满足C ＝R 的元素4挑出作为第2级 将满足C ＝R 的元素1，5挑出作为第3级将满足C ＝R 的元素3，7挑出作为第4级 将满足C ＝R 的元素6挑出作为第5级 将M 按分级排列：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=110101110101011100101101000101010000110100000101000000100000000167351482M提取骨架矩阵如下：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010000000001001000001000000001000000010000000001000000000000000067351482'A建立其递阶结构模型如下：（1） 实用方法： （2）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1101100100100100100000000000067351482M建立其递阶结构模型同上。
系统工程练习题答案
系统工程练习题答案系统工程是一个跨学科的领域，它涉及到不同学科和专业的知识与技能，旨在解决复杂问题和优化工作流程。
为了培养学生的综合分析和解决问题的能力，系统工程常常以练习题的形式进行教学和训练。
以下是一些常见的系统工程练习题，以及它们的答案和解析。
1. 问题定义与目标确定在系统工程中，问题定义是非常重要的一步。
假设您正在设计一个物流系统，您需要确定该系统的目标并定义问题。
在该问题中，目标是提高物流效率，并减少成本。
问题定义可以写为：“设计一个物流系统，提高物流效率并降低成本。
”2. 系统边界与子系统划分一个系统往往包含多个子系统，边界的定义是对系统的范围进行划分。
在这个例子中，整个物流系统包括供应链管理、仓储管理、运输管理等子系统。
我们可以将物流系统的边界定义为“从供应链开始，包括原材料采购、生产、仓储和运输，直到产品最终交付给客户为止。
”3. 问题分析与数据收集在解决问题之前，需要进行问题分析和数据收集。
例如，在物流系统的设计中，您需要了解当前物流系统的问题和瓶颈。
通过对当前物流网络的分析，您可以确定瓶颈和改进的机会，并收集相关的数据进行进一步分析。
4. 方案设计与优化在物流系统的设计过程中，您需要提出一些方案，并通过评估和比较来确定最优的方案。
例如，您可以提出优化运输路线、改进仓储管理和提高供应链响应性的方案。
通过模拟实验和数据分析，您可以评估每个方案的性能，并选择最优方案。
5. 实施与评估一旦确定了最优方案，您需要开始实施并评估其效果。
实施过程中，您可能需要进行一些调整和改进。
例如，您可能需要与供应商、生产部门和物流服务提供商进行合作，并监控物流效率和成本。
通过评估实施结果，您可以确定方案是否达到了预期效果。
总结起来，系统工程练习题主要涉及问题定义与目标确定、系统边界与子系统划分、问题分析与数据收集、方案设计与优化、实施与评估等环节。
通过练习这些题目，学生可以培养系统思维、分析问题和解决问题的能力。
网络辅导：《系统工程导论》(第三次面授：总复习题
总复习题一、底子概念〔判断、填空〕1． 指标综合的加法原那么和乘法原那么，其本色都是一种加权平均法的思路。
〔p197〕2． 典型故障曲线〔浴盆曲线〕〔p223〕早期故障期〔从高到低〕；偶然故障期〔大体保持不变〕；耗损故障期〔逐渐升高〕 〔p223〕3． 并联系统的定义可以看出，从理论上讲，可以无限提高系统的可靠度。
〔p227〕4．系统阐发的重点在于确定问题的目标，以及对各种可行方案进行量化阐发与评价。
〔p149〕5．成本效益阐发法主要考虑资金的时间价值。
〔p158〕6．贝塔朗菲的理论可以归纳为以下四点：整体性原那么，动态布局原那么，能动性原那么，有序性原那么。
〔p16〕7．在编制投入产出表时，首先遇到的问题是部分〔或产物〕划分的问题。
〔p246〕8．把时间维与逻辑维结合起来形成一个二维布局{}77⨯=ija A ，称为系统工程的活动矩阵。
〔p60〕9．系统模型，是对于系统的描述、模仿或抽象。
它反映系统的物理本质与主要特征。
〔p125〕 10．所谓反响，就是系统的输出对于输入的影响〔Feedback,亦称回授〕，或者说是输入与输出之间的反向联系。
简单地说，就是系统的输出反过来影响系统的原输入作用。
〔p85〕11．香农把信息定义为两次不确定性之差，即：信息(量) = 通信前的不确定性 － 通信后尚存的不确定性。
〔p97〕12．从系统工程的不雅点看，系统的主要属性有： 、 、、、、。
答：调集性、相关性、层次性、整体性、目的性、系对于统环境的适应性。
13．80年代末，钱学森提出处置开放的复杂巨系统的方法论是，结合系统学理论和人工智能技术的开展，又于己于1992年提出了建设体系，进一步开展了开放的复杂巨系统的系统方法。
答：从定性到定量综合集成方法。
从定性到定量综合集成研讨厅。
14．对模型一般有以下要求：、、。
答：真实性、简明性、完整性、尺度化。
15．我国著名科学家钱学森提出了一个清晰的现代科学技术的体系布局，认为从应用实践到根底理论，现代科学技术可以分为四个层次：、、、。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
习 题1. 某油田产量为Q 吨/年，分别供应A 、B 、C 、D 四个城市，各城市每年的原油需求量分别为10、50、5、35吨。
油田与各城市间有八条通路相联系（如图所示），每条通路的允许流量和费用如表所示。
问如何安排运送计划最为经济？试建立此问题的数学模型。
通路 1 2 3 4 5 6 7 8 允许流量 40 10 20 40 40 70 18 40 单位运输费用10804010357040852. 某冷饮店要制定七八月份的日进货计划。
该品质的冷饮进货成本为每箱30元，销售价为50元，当天销售后每箱可获利20元。
如果剩一箱，由于冷藏及其它原因要亏损10元。
今年的市场情况不清楚，但有前两年同期120天的日销售资料如表所示。
试问今年平均每天进多少箱为好？日销售量（箱）完成销售的天数100 24 110 48 120 36 130123. 试将下列线性规划问题化为标准型。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-=-+-≥+-≤++-+-=无约束，，321321321321321052327..32min x x x x x x x x x x x x t s x x x f4. 试写出下列线性规划问题的对偶问题。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+≥-≤++=无约束，21212121210510342023..54max x x x x x x x x t s x x f 4 56732 81 油田 A C B D5. 某工厂计划生产A 、B 两种产品，生产这两种产品需要煤、电力和劳动力三种资源。
已知该厂可利用的煤有360吨，电力有200千瓦，劳动力有300个，生产每千克产品的资源消耗量和可获得的利润如表所示。
问该厂应生产A 、B 两种产品各多少千克才能使总利润最大？请用单纯形法求解。
A B资源 限制量 煤 9 4 360 电力 4 5 200 劳动力 3 10 300 利润7126. 设有如图所示的网络图，计算网络图中各节点的最早、最迟时间，并求出关键路线。
7. 从油田铺设管道，把原油运输到原油加工厂。
要求管道必须沿着如图所示的给定路线进行铺设，图中顶点1为油田，顶点8为原油加工厂，弧权为相应路段的管道长度，应如何铺设管道，才能使油田到原油加工厂的管道总长最短？试用标号算法确定其最短距离及其相应的路线。
产品资源消耗量/kg资源1 3 5 24A B G F DH E C 47 7 10 5 3 23 7 54 59 54 1 6 76 4 41 2 3 4 5 678习题解答1. 某油田产量为Q 吨/年，分别供应A 、B 、C 、D 四个城市，各城市每年的原油需求量分别为10、50、5、35吨。
油田与各城市间有八条通路相联系（如图所示），每条通路的允许流量和费用如表所示。
问如何安排运送计划最为经济？试建立此问题的数学模型。
通路 1 2 3 4 5 6 7 8 允许流量 40 10 20 40 40 70 18 40 单位运输费用1080401035704085解：设各条通路要安排的全年运油总量分别为x j （j =1, 2, …, 8）。
本问题的目标为总运输费用最小，即876543218540703510408010min x x x x x x x x f +++++++=首先，考虑各城市需求量约束，则有）（供应城市）（供应城市）（供应城市）（供应城市D C B A 3555010876265375481≥+++≥--≥-+≥-x x x x x x x x x x x x其次，总供应量不能超过油田产量，即Q x x x x ≤+++4321再次，各条通路的运量不能超过其允许流量，则有404020104054321≤≤≤≤≤x x x x x 401870876≤≤≤x x x 故该问题的数学模型为4 56 7328 1 油田 A C B D⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤≤≤≤≤≤≤≤≤+++≥+++≥--≥-+≥-+++++++=)8,,1(040187040402010403555010..8540703510408010min 87654321432187626537548187654321 j x x x x x x x x x Qx x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x x x f j2. 某冷饮店要制定七八月份的日进货计划。
该品质的冷饮进货成本为每箱30元，销售价为50元，当天销售后每箱可获利20元。
如果剩一箱，由于冷藏及其它原因要亏损10元。
今年的市场情况不清楚，但有前两年同期120天的日销售资料如表所示。
试问今年平均每天进多少箱为好？日销售量（箱）完成销售的天数概率值 100 24 24/120=0.2 110 48 48/120=0.4 120 36 36/120=0.3 130 12 12/120=0.1合计1201.0解：先根据前两年的销售数据，确定不同日销售量的出现概率值，如上表所示。
再根据每天可能的销售量，计算不同进货方案的收益值，并编成如下所示的决策表。
100箱C 1 P(C 1) = 0.2 110箱C 2 P(C 2) = 0.4 120箱C 3 P(C 3) = 0.3 130箱C 4 P(C 4) = 0.1 100箱A 1 2000 2000 2000 2000 110箱A 2 1900 2200 2200 2200 120箱A 3 1800 2100 2400 2400 130箱A 41700200023002600最后由公式),()()(41j j i j i C A U C P A U ∑==计算各销售方案的期望利润值，则U(A 1) = 2000×0.2+2000×0.4+2000×0.3+2000×0.1=2000 U(A 2) = 1900×0.2+2200×0.4+2200×0.3+2200×0.1=2140销 售 结 局 利润（元）方 案U(A 3) = 1800×0.2+2100×0.4+2400×0.3+2400×0.1=2160 U(A 4) = 1700×0.2+2000×0.4+2300×0.3+2600×0.1=2090 故最优方案2160}2090,2160,2140,2000max{)(max ===∈*i AA i A U A i可见，日进货120箱的计划方案A 3的期望利润值最大，应选为最优方案。
3. 试将下列线性规划问题化为标准型。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-=-+-≥+-≤++-+-=无约束，，321321321321321052327..32min x x x x x x x x x x x x t s x x x f 解：令333x x x ''-'=且3x '、03≥''x 在第一个约束条件中引入松弛变量x 4，第二个约束条件中引入剩余变量x 5，第三个约束条件两边同乘以1，同时将目标函数变为求最大值，整理可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥'''=''-'+-=-''-'+-=+''-'++''-'+-=-='0522327..332min max 543321332153321433213321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x f f ，，，，，4. 试写出下列线性规划问题的对偶问题。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+≥-≤++=无约束，21212121210510342023..54max x x x x x x x x t s x x f 解：令222x x x ''-'=且2x '、02≥''x 将第二个约束条件两边同乘以1，第三个约束条件转化为两个不等式，则原问题可改写为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥'''≤''-'+-≤''+'--⇒≥''-'+-≤''-'+-≤''-'+''-'+=05551033420223..554max 221221221221221221221x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x f ，，由原问题与对偶问题的关系，可得相应的对偶问题为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥-+--≥+-+≥+--+--=0532532443..551020min 43214321432143214321y y y y y y y y y y y y y y y y t s y y y y f ，，，5. 某工厂计划生产A 、B 两种产品，生产这两种产品需要煤、电力和劳动力三种资源。
已知该厂可利用的煤有360吨，电力有200千瓦，劳动力有300个，生产每千克产品的资源消耗量和可获得的利润如表所示。
问该厂应生产A 、B 两种产品各多少千克才能使总利润最大？请用单纯形法求解。
A B资源 限制量 煤 9 4 360 电力 4 5 200 劳动力 3 10 300 利润712解：设产品A 、B 的产量分别为x 1、x 2千克，则上述安排生产计划问题的数学模型为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤++=03001032005436049..127max 2121212121x x x x x x x x t s x x f ， 将模型标准化，可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=++=+++=5,,2,103001032005436049..127max 52142132121 j x x x x x x x x x x t s x x f j ，表1 初始单纯形表c j712 0 0 0 θiC B X B b x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 0 x 3 360 9 4 1 0 0 90 0 x 4 200 4 5 0 1 0 40 0 x 5 3003 [10] 0 0 1 30 σj712产品资源消耗量/kg资源表2 x 5替换为x 2后的单纯形表c j712 0 0 0 θiC B X B b x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 0 x 3 240 39/5 0 1 0 -2/5 400/13 0 x 4 50 [5/2] 0 0 1 -1/2 20 12 x 2 303/10 1 0 0 1/10 100 σj17/5-6/5表3 x 4替换为x 1后的单纯形表c j7 12 0 0 0 θiC B X B b x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 0 x 3 84 0 0 1 -78/25 29/25 — 7 x 1 20 1 0 0 2/5 -1/5 — 12 x 2 240 1 0 -3/25 4/25 — σj-34/25-13/25表3最后一行的所有检验数σj 都已为负或零，这表示目标函数值已不可能再增大，于是得到最优解[][]T T x x x x x X 0084242054321==*且相应的最优值（即工厂的最大总利润）f * = 428。