系统工程导论习题解答

习 题

1. 某油田产量为Q 吨/年，分别供应A 、B 、C 、D 四个城市，各城市每年的原油需求量分别为10、50、5、35吨。油田与各城市间有八条通路相联系（如图所示），每条通路的允许流量和费用如表所示。问如何安排运送计划最为经济？试建立此问题的数学模型。

通路 1 2 3 4 5 6 7 8 允许流量 40 10 20 40 40 70 18 40 单位运输费用

10

80

40

10

35

70

40

85

2. 某冷饮店要制定七八月份的日进货计划。该品质的冷饮进货成本为每箱30元，销售价为50元，当天销售后每箱可获利20元。如果剩一箱，由于冷藏及其它原因要亏损10元。今年的市场情况不清楚，但有前两年同期120天的日销售资料如表所示。试问今年平均每天进多少箱为好？

日销售量（箱）

完成销售的天数

100 24 110 48 120 36 130

12

3. 试将下列线性规划问题化为标准型。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≥-=-+-≥+-≤++-+-=无约束

，，3213213

2132132105232

7..32min x x x x x x x x x x x x t s x x x f

4. 试写出下列线性规划问题的对偶问题。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+≥-≤++=无约束

，21212

1

212

10510342023..54max x x x x x x x x t s x x f 4 5

6

7

3

2 8

1 油田 A C B D

5. 某工厂计划生产A 、B 两种产品，生产这两种产品需要煤、电力和劳动力三种资源。已知该厂可利用的煤有360吨，电力有200千瓦，劳动力有300个，生产每千克产品的资源消耗量和可获得的利润如表所示。问该厂应生产A 、B 两种产品各多少千克才能使总利润最大？请用单纯形法求解。

A B

资源 限制量 煤 9 4 360 电力 4 5 200 劳动力 3 10 300 利润

7

12

6. 设有如图所示的网络图，计算网络图中各节点的最早、最迟时间，并求出关键路线。

7. 从油田铺设管道，把原油运输到原油加工厂。要求管道必须沿着如图所示的给定路线进行铺设，图中顶点1为油田，顶点8为原油加工厂，弧权为相应路段的管道长度，应如何铺设管道，才能使油田到原油加工厂的管道总长最短？试用标号算法确定其最短距离及其相应的路线。

产

品

资

源

消

耗

量

/kg

资源

1 3 5 2

4

A B G F D

H E C 4

7 7 10 5 3 2

3 7 5

4 5

9 5

4 1 6 7

6 4 4

1 2 3 4 5 6

7

8

习题解答

1. 某油田产量为Q 吨/年，分别供应A 、B 、C 、D 四个城市，各城市每年的原油需求量分别为10、50、5、35吨。油田与各城市间有八条通路相联系（如图所示），每条通路的允许流量和费用如表所示。问如何安排运送计划最为经济？试建立此问题的数学模型。

通路 1 2 3 4 5 6 7 8 允许流量 40 10 20 40 40 70 18 40 单位运输费用

10

80

40

10

35

70

40

85

解：设各条通路要安排的全年运油总量分别为x j （j =1, 2, …, 8）。本问题的目标为总运输费用最小，即

876543218540703510408010min x x x x x x x x f +++++++=

首先，考虑各城市需求量约束，则有

）

（供应城市）（供应城市）

（供应城市）（供应城市D C B A 35

55010876265375481≥+++≥--≥-+≥-x x x x x x x x x x x x

其次，总供应量不能超过油田产量，即

Q x x x x ≤+++4321

再次，各条通路的运量不能超过其允许流量，则有

40

4020104054321≤≤≤≤≤x x x x x 40

1870876≤≤≤x x x 故该问题的数学模型为

4 5

6 7

3

2

8 1 油田 A C B D

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎨

⎧=≥≤≤≤≤≤≤≤≤≤+++≥+++≥--≥-+≥-+++++++=)

8,,1(0401870404020104035550

10

.

.8540703510408010min 876

543214

321

8762653754

818

7654321 j x x x x x x x x x Q

x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x x x f j

2. 某冷饮店要制定七八月份的日进货计划。该品质的冷饮进货成本为每箱30元，销售价为50元，当天销售后每箱可获利20元。如果剩一箱，由于冷藏及其它原因要亏损10元。今年的市场情况不清楚，但有前两年同期120天的日销售资料如表所示。试问今年平均每天进多少箱为好？

日销售量（箱）

完成销售的天数

概率值 100 24 24/120=0.2 110 48 48/120=0.4 120 36 36/120=0.3 130 12 12/120=0.1

合计

120

1.0

解：先根据前两年的销售数据，确定不同日销售量的出现概率值，如上表所示。 再根据每天可能的销售量，计算不同进货方案的收益值，并编成如下所示的决策表。

100箱C 1 P(C 1) = 0.2 110箱C 2 P(C 2) = 0.4 120箱C 3 P(C 3) = 0.3 130箱C 4 P(C 4) = 0.1 100箱A 1 2000 2000 2000 2000 110箱A 2 1900 2200 2200 2200 120箱A 3 1800 2100 2400 2400 130箱A 4

1700

2000

2300

2600

最后由公式

),()()(4

1

j j i j i C A U C P A U ∑==

计算各销售方案的期望利润值，则

U(A 1) = 2000×0.2+2000×0.4+2000×0.3+2000×0.1=2000 U(A 2) = 1900×0.2+2200×0.4+2200×0.3+2200×0.1=2140

销 售 结 局 利

润

（

元

）

方 案