教育最新K122018-2019学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程作业1 北师大版选修1-1
[K12学习]2018_2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1抛物线及其标准方程综合提升案新人教A版选修1_1
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2-3-1 抛物线及其标准方程综合提升案·核心素养达成[限时40分钟；满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1．抛物线y ＝－18x 2的准线方程是 A ．x ＝132 B ．x ＝12C ．y ＝2D ．y ＝4解析 抛物线y ＝－18x 2的方程可化为x 2＝－8y ，所以其准线方程为y ＝2. 答案 C2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是A ．y 2＝－8xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝8xD ．y 2＝4x解析 由抛物线的准线方程为x ＝－2知p ＝4，且开口向右，故抛物线的方程为y 2＝8x . 答案 C3．若点P 到直线y ＝－1的距离比它到点(0，3)的距离小2，则点P 的轨迹方程为A ．x 2＝12yB ．y 2＝12xC ．x 2＝4yD ．x 2＝6y解析 由题意知点P 到直线y ＝－3的距离等于它到点(0，3)的距离，故点P 的轨迹方程为x 2＝12y .答案 A4．抛物线y 2＝ax 的焦点与双曲线x 23－y 2＝1的左焦点重合，则这条抛物线的方程是 A ．y 2＝4x B ．y 2＝－4xC ．y 2＝－42xD ．y 2＝－8x解析 ∵x 23－y 2＝1的左焦点为(－2，0)， ∴抛物线开口向左，∴a ＜0，且p ＝|a |2＝4.∴a ＝－8. ∴抛物线方程为y 2＝－8x .故选D.答案 D5．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为A.12 B ．1 C ．2 D ．4 解析 ∵抛物线y 2＝2px 的准线x ＝－p 2与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，∴－p2＝－1，即p ＝2.答案 C6．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取最小值时，点P 的坐标为 A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 C ．(1，2) D ．(1，－2)解析 点P 到抛物线焦点距离等于点P 到抛物线准线距离，如图，|PF |＋|PQ |＝|PS |＋|PQ |，故最小值在S 、P 、Q 三点共线时取得，此时P ，Q 的纵坐标都是－1，点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1. 答案 A二、填空题(每小题5分，共15分)7．若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________． 解析 抛物线的准线方程为x ＝－p 2，p >0，双曲线的焦点为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，所以－p2＝－2，p ＝2 2. 答案 2 2 8．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )到其焦点的距离为5，双曲线x 2－y 2a ＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a ＝________．解析 根据抛物线的定义得1＋p2＝5，p ＝8. 不妨取M (1，4)，则AM 的斜率为2，由已知得－a ×2＝－1，故a ＝14. 答案 149．对标准形式的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1)．其中满足抛物线方程为y 2＝10x 的是________．(要求填写适合条件的序号)．解析 抛物线y 2＝10x 的焦点在x 轴上，②满足，①不满足；设M (1，y 0)是y 2＝10x 上一点，则|MF |＝1＋p 2＝1＋52＝72≠6，所以③不满足；由于抛物线y 2＝10x 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，过该焦点的直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2，1)时，则k ＝－2，此时存在，所以④满足．答案 ②④三、解答题(共35分)10．(10分)已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M (－3，m )到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值．解析 设抛物线方程为y 2＝－2px (p ＞0)，则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0， 由题意可得⎩⎨⎧m 2＝6p ， m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－p 22＝5，解得⎩⎨⎧m ＝26p ＝4或⎩⎨⎧m ＝－26，p ＝4， 故所求的抛物线方程为y 2＝－8x .∴m 的值为±2 6. 11．(10分)设抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A ∈C ，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆交l 于B ，D 两点．若∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为42，求p 的值及圆F 的方程．解析 因为以F 为圆心，FA 为半径的圆交l 于B ，D 两点，所以△BFD 为等腰直角三角形，故斜边|BD |＝2p ，又点A 到准线l 的距离d ＝|FA |＝|FB |＝2p ，所以S △ABD ＝42＝12|BD |×d ＝12×2p ×2p ，所以p ＝2.所以圆F 的圆心为(0，1)，半径r ＝|FA |＝22，圆F 的方程为x 2＋(y －1)2＝8.12．(15分)已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴的正半轴上，设A ，B 是抛物线C 上的两个动点(AB 不垂直于x 轴)，且|AF |＋|BF |＝8，线段AB 的垂直平分线恒经过定点Q (6，0)，求抛物线的方程．解析 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则其准线为x ＝－p2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为|AF |＋|BF |＝8，所以x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝8，即 x 1＋x 2＝8－p .因为Q (6，0)在线段AB 的垂直平分线上， 所以|QA |＝|QB |， 即（6－x 1）2＋（－y 1）2＝（6－x 2）2＋（－y 2）2， 又y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以(x 1－x 2)(x 1＋x 2－12＋2p )＝0， 因为AB 与x 轴不垂直，所以x 1≠x 2. 故x 1＋x 2－12＋2p ＝8－p －12＋2p ＝0，即p ＝4. 从而抛物线的方程为y 2＝8x .。
【配套K12】[学习]2018年秋高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2 椭圆 2.2.1 椭圆及
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2.2.1 椭圆及其标准方程学习目标：1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点)2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．椭圆的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．思考：(1)椭圆定义中将“大于|F 1F 2|”改为“等于|F 1F 2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)椭圆定义中将“大于|F 1F 2|”改为“小于|F 1F 2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？[提示] (1)点的轨迹是线段F 1F 2.(2)当距离之和小于|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在． 2．椭圆的标准方程1．思考辨析(1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．( ) (2)到两定点F 1(－2,0)和F 2(2,0)的距离之和为3的点M 的轨迹为椭圆．( ) (3)椭圆x 225＋y 249＝1的焦点在x 轴上．( )[答案] (1)× (2)× (3)×2．已知椭圆x 2m ＋y 216＝1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，到另一焦点距离为7，则m 等于( )A ．10B ．5C ．15D ．25D [由题意知2a ＝3＋7＝10，∴a ＝5，∴m ＝a 2＝25.]3．椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(0，－8)，F 2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为( )【导学号：46342060】A.x 2100＋y 236＝1B.y 2400＋x 2336＝1 C.y 2100＋x 236＝1 D.y 220＋x 212＝1 C [由题意知c ＝8,2a ＝20，∴a ＝10， ∴b 2＝a 2－c 2＝36，故椭圆的方程为y 2100＋x 236＝1.] [合 作 探 究·攻 重 难](1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (3)经过点A (3，－2)和点B (－23，1)． [解] (1)由于椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．∴a ＝5，c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9. 故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)由于椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．∴a ＝2，b ＝1.故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.(3)法一：①当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(3)2a 2＋(－2)2b 2＝1，(－23)2a 2＋1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝5.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.②当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a ＋x 2b＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2＋(3)2b 2＝1，1a 2＋(－23)2b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝15，因为a ＞b ＞0，所以无解． 所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.法二：设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋4n ＝1，12m ＋n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝115，n ＝15.所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.1．已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点A (0，2)和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，求椭圆的标准方程．[解] 设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，将A ，B 两点坐标代入方程得⎩⎪⎨⎪⎧ 4n ＝1，14m ＋3n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝14，∴所求椭圆方程为x 2＋y 24＝1.(1)椭圆9＋2＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2的大小为________．(2)已知椭圆x 24＋y 23＝1中，点P 是椭圆上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，且∠PF 1F 2＝120°，则△PF 1F 2的面积为________.【导学号：46342061】[思路探究] (1)求|PF 2|→求cos∠F 1PF 2→求∠F 1PF 2的大小 (2)椭圆定义和余弦定理→建立关于|PF 1|，|PF 2|的方程→联立求解|PF 1|→求三角形的面积[解析] (1)由x 29＋y 22＝1，知a ＝3，b ＝2，∴c ＝7.∴|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2，∴cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝－12，∴∠F 1PF 2＝120°.(2)由x 24＋y 23＝1，可知a ＝2，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝1，从而|F 1F 2|＝2c ＝2.在△PF 1F 2中，由余弦定理得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|cos∠PF 1F 2，即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1| ①.由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4 ②. 由①②联立可得|PF 1|＝65.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||F 1F 2|sin∠PF 1F 2＝12×65×2×32＝335.[答案] (1)120° (2)3352．(1)已知P 是椭圆y 25＋x 24＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，且∠F 1PF 2＝30°，则△F 1PF 2的面积是______________________________．8－4 3 [由椭圆的标准方程，知a ＝5，b ＝2， ∴c ＝a 2－b 2＝1，∴|F 1F 2|＝2. 又由椭圆的定义，知 |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2 5.在△F 1PF 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos∠F 1PF 2， 即4＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|－2|PF 1|·|PF 2|cos 30°， 即4＝20－(2＋3)|PF 1|·|PF 2|， ∴|PF 1|·|PF 2|＝16(2－3)．∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin∠F 1PF 2＝12×16(2－3)×12＝8－4 3.](2)设P 是椭圆x 24＋y 23＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，若∠PF 1F 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是________．32 [由椭圆方程x 24＋y23＝1，知a ＝2，c ＝1，由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，且|F 1F 2|＝2，在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝90°.∴|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2.从而(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4，则|PF 1|＝32，因此S △PF 1F 2＝12·|F 1F 2|·|PF 1|＝32.故所求△PF 1F 2的面积为32.][1.如图221，P 为圆B ：(x ＋2)2＋y 2＝36上一动点，点A 的坐标为(2,0)，线段AP 的垂直平分线交直线BP 于点Q ，求点Q 的轨迹方程．图221提示：用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目条件转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴，最后由定义确定椭圆的基本量a ，b ，C ．所求点Q 的轨迹方程为x 29＋y 25＝1.2.如图222，在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹方程是什么？为什么？图222提示：当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般利用代入法(相关点法)求解．用代入法(相关点法)求轨迹方程的基本步骤为：(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为M (x ，y )，已知曲线上动点坐标为P (x 1，y 1)． (2)求关系式：用点M 的坐标表示出点P 的坐标，即得关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝g (x ，y )，y 1＝h (x ，y ).(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可．所求点M 的轨迹方程为x 24＋y 2＝1.(1)已知P 是椭圆x 24＋y 28＝1上一动点；O 为坐标原点，则线段OP 中点Q 的轨迹方程为______________．(2)一个动圆与圆Q 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆Q 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程.【导学号：46342062】[思路探究] (1)点Q 为OP 的中点⇒点Q 与点P 的坐标关系⇒代入法求解． (2)由圆的相切，及动圆圆心与两个定圆圆心、半径的关系得轨迹．[解析] (1)设Q (x ，y )，P (x 0，y 0)，由点Q 是线段OP 的中点知x 0＝2x ，y 0＝2y ，又x 204＋y 208＝1.所以(2x )24＋(2y )28＝1，即x 2＋y 22＝1.[答案] x 2＋y 22＝1.(2)由已知，得两定圆的圆心和半径分别为Q 1(－3,0)，R 1＝1；Q 2(3,0)，R 2＝9. 设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，如图．由题设有 |MQ 1|＝1＋R ， |MQ 2|＝9－R ，所以|MQ 1|＋|MQ 2|＝10>|Q 1Q 2|＝6.由椭圆的定义，知点M 在以Q 1，Q 2为焦点的椭圆上， 且a ＝5，c ＝3.所以b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16， 故动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.3．(1)已知x 轴上一定点A (1,0)，Q 为椭圆x 24＋y 2＝1上任一点，求线段AQ 中点M 的轨迹方程．[解] 设中点M 的坐标为(x ，y )，点Q 的坐标为(x 0，y 0)． 利用中点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋12，y ＝y2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y .∵Q (x 0，y 0)在椭圆x 24＋y 2＝1上， ∴x 204＋y 20＝1. 将x 0＝2x －1，y 0＝2y 代入上式，得(2x －1)24＋(2y )2＝1.故所求AQ 的中点M 的轨迹方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋4y 2＝1.(2)在Rt△ABC 中，∠CAB ＝90°，|AB |＝2，|AC |＝32，曲线E 过C 点，动点P 在曲线E上运动，且|PA |＋|PB |是定值．建立适当的平面直角坐标系，求曲线E 的方程．[解] 以AB 的中点O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．由题意可知，曲线E 是以A ，B 为焦点，且过点C 的椭圆，设其方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．则2a ＝|AC |＋|BC |＝32＋52＝4,2c ＝|AB |＝2，所以a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3.所以曲线E 的方程为x 24＋y 23＝1.[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知A (－5,0)，B (5,0)．动点C 满足|AC |＋|BC |＝10，则点C 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．直线 C ．线段 D ．点 C [由|AC |＋|BC |＝10＝|AB |知点C 的轨迹是线段AB .]2．已知椭圆4x 2＋ky 2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k 的值是( )【导学号：46342063】A ．1B ．2C ．3D ．4B [椭圆方程可化为x 2＋y24k ＝1，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧4k >14k －1＝1，解得k ＝2.]3．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P (2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( ) A.x 24＋y 23＝1B.x 24＋y 2＝1 C.y 24＋x 23＝1 D.y 24＋x 2＝1 A [由题意知c ＝1，a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.]4．已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1，F 2的连线夹角为直角，则|PF 1|·|PF 2|＝________.48 [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝14 ①|PF 1|2＋|PF 2|2＝100 ②①2－②得2|PF 1||PF 2|＝96. 所以|PF 1||PF 2|＝48.]5．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4,3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程.【导学号：46342064】[解] 设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0)．∵F 1A ⊥F 2A ， ∴F 1A →·F 2A →＝0， 而F 1A →＝(－4＋c,3)，F 2A →＝(－4－c,3)，∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0， ∴c 2＝25，即c ＝5. ∴F 1(－5,0)，F 2(5,0)． ∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝(－4＋5)2＋32＋(－4－5)2＋32＝10＋90＝410.∴a＝210，∴b2＝a2－c2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为x240＋y215＝1.。
2018年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2 椭圆的几何性质课件6 新人教B版选修1-1
讲授新课
利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质 以焦点在x轴上的椭圆为例
x2 a2
y2 b2
1
(a＞b＞0)．
讲授新课
1．范围
x2 a2
y2 b2
1
(a＞b＞0)．
椭圆上点的坐标(x, y)都适合不等式
x2
y2
y
a 2 1, b2 1,
b B2
A1 -a F1 O
(1)当e越接近1时，c越接近a，从而b a2 c2
越小，因此椭圆越扁；
y
O
x
讲授新课
4．离心率 椭圆的焦距与长轴长的比
e
c ，叫做
椭圆的离心率．∵a＞c＞0，∴0＜ea＜1．
(1)当e越接近1时，c越接近a，从而b a2 c2 越小，因此椭圆越扁；
(2)当e越接近0时，c越接近0，从而b越接近a， 因此椭圆越接近于圆；
讲授新课
4．离心率 椭圆的焦距与长轴长的比
e
c ，叫做
椭圆的离心率．∵a＞c＞0，∴0＜ea＜1．
(1)当e越接近1时，c越接近a，从而b a2 c2 越小，因此椭圆越扁；
(2)当e越接近0时，c越接近0，从而b越接近a， 因此椭圆越接近于圆；
(3)当且仅当a b时，c 0，两焦点重合， 图形变为圆，方程成为x 2 y2 a 2 .
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)，
依题意有：a 2b
16 a2
1 b2
1
得：a 2 5 b 5
故椭圆方程为: x2 y2 1. 20 5
讲授新课
练习 求经过点P (4, 1)，且长轴长是短轴 长的2倍的椭圆的标准方程.
2018-2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程课件新人教A版选修2
B．在圆C上，但不在直线l上
C．既在圆C上，也在直线l上
D．既不在圆C上，也不在直线l上
C
2．方程(x－2)2＋(y＋2)2＝0表示的图形是
()
3．已知直线：y＝kx－k＋1与曲线C：x2＋2y2＝m有公共
点，则m的取值范围是
A
()
A．m≥3
B．m≤3
C．m>3
D．m<3
4．8x已2＋知2x＋点8Oy2－(04,y0－)，5＝A0(1，－2)，动点P满足|PA|＝3|PO|，则
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解． 曲线(2的)以方程这个方程的解为坐方标程的的曲点线都是曲线上的点，那么， 这个方程叫做______________，这条曲线叫做 ______________．
1．已知圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝4及直线l：x＋2y－2＝0，
C上，但在直线l上
(5)通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想．
本章重点
曲线与方程的概念；椭圆的定义、标准方程、几何性质； 双曲线的定义、标准方程、几何性质；抛物线的定义、标准 方程、几何性质；直线与圆锥曲线的位置关系．
本章难点
曲线方程的求法；三种曲线的定义、标准方程、几何性质 的综合应用；直线与圆锥曲线的位置关系．
〔跟踪练习 2〕 已知方程 x2＋(y－1)2＝10． (1)判断点 P(1，－2)、Q( 2，3)是否在此方程表示的曲线上； (2)若点 M(m2 ，－m)在此方程表示的曲线上，求 m 的值．
[思路分析] (1)只需判断点 P，Q 的坐标是否满足方程即可；(2)M 在曲线 C 上，则 M 点的坐标满足 C 的方程，代入建立 m 的方程解之即可．
[解析] (1)∵12＋(－2－1)2＝10，( 2)2＋(3－1)2＝6≠10， ∴点 P(1，－2)在方程 x2＋(y－1)2＝10 表示的曲线上， 点 Q( 2，3)不在方程 x2＋(y－1)2＝10 表示的曲线上． (2)∵点 M(m2 ，－m)在方程 x2＋(y－1)2＝10 表示的曲线上，∴x＝m2 ，y＝－m 适合上述方程， 即(m2 )2＋(－m－1)2＝10． 解之得 m＝2 或 m＝－158， ∴m 的值为 2 或－158．
2018年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1圆锥曲线课件3苏教版
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可以用数学表达式来体现：
设平面内的动点为M ,有MF＝d（d为动点M到直
线l的距离）．
说明：
1．椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线. 2．我们可利用上面的三条关系式来判断动 点M的轨迹是什么．
(点上面“几何画板演示”打开几何画板文件）
•互动与建构 •问题与探究 •反馈与小结
1、字体安装与设置
如果您对PPT模板中的字体风格不满意，可进行批量替换，一次性更改各页面字体。 1. 在“开始”选项卡中，点击“替换”按钮右侧箭头，选择“替换字体”。（如下图
可以用数学表达式来体现： 设平面内的动点为M,有 MF1 MF2 2a （0<2a< F1F2 的常数） 思考：
在双曲线的定义中，如果这个常数大于或 等于F1 F2 ，动点M的轨迹又如何呢？
抛物线的定义 :
平面内到一个定点F和一条定直线l（F不在l 上） 的距离相等的点轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物 线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.
可以用数学表达式来体现:
设平面内的动点为M,有 MF1 MF2 2a
（2a>F1F2 的常数） 思考：
在椭圆的定义中，如果这个常数小于或等于 F1F2， 动点M的轨迹又如何呢？
双曲线的定义:
平面内到两定点 F1，F2的距离的差的绝对值等 于常数（小于F1F2 ）的点的轨迹叫做双曲线，两 个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离 叫做双曲线的焦距．
【配套K12】[学习]2018-2019学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 椭圆 2.1.
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第一课时椭圆的简单几何性质【基础巩固】1.椭圆6x2+y2=6的长轴的端点坐标是( D )(A)(-1,0),(1,0) (B)(-6,0),(6,0)(C)(-,0),(,0) (D)(0,-),(0,)解析:因为椭圆的焦点在y轴上,且a2=6,所以长轴的两个端点坐标为(0,-),(0,).故选D.2.椭圆+=1和+=k(k>0)具有( D )(A)相同的长轴(B)相同的焦点(C)相同的顶点(D)相同的离心率解析:椭圆+=1和+=k(k>0)中,不妨设a>b,椭圆+=1的离心率e1=,椭圆+=1(k>0)的离心率e2==.故选D.3.已知椭圆的长轴长是8,离心率是,则此椭圆的标准方程是( B )(A)+=1(B)+=1或+=1(C)+=1(D)+=1或+=1解析:因为a=4,e=,所以c=3.所以b2=a2-c2=16-9=7.所以椭圆的标准方程是+=1或+=1.故选B.4.已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m>0),则此椭圆的离心率为( B )(A)(B)(C)(D)解析:因为2x2+3y2=m(m>0)⇒+=1,所以c2=-=.所以e2=.故选B.5.(2018·衡水周测)若AB为过椭圆+=1中心的线段,F1为椭圆的焦点,则△F1AB面积的最大值为( B )(A)6 (B)12 (C)24 (D)48解析:如图,=+=2.又因为OF1=c=3为定值,所以点A与(0,4)重合时,OF1边上的高最大,此时△AOF1的面积最大为×4×3=6.所以的最大值为12.故选B.6.(2018·昆明质检)椭圆+=1上的点到直线x+2y-=0的最大距离是( D )(A)3 (B)(C)2(D)解析:设与直线x+2y-=0平行的直线为x+2y+m=0与椭圆联立得,(-2y-m)2+4y2-16=0,即4y2+4my+4y2-16+m2=0得2y2+my-4+=0.Δ=m2-8（-4）=0,即-m2+32=0,所以m=±4.所以两直线间距离最大是当m=4时,d max==.故选D.7.(2016·上饶高二期中)已知椭圆C:+=1(a>b>0),直线l为圆O:x2+y2=b2的一条切线,若直线l的倾斜角为,且恰好经过椭圆的右顶点,则椭圆离心率为.解析:直线l的倾斜角为,且过椭圆的右顶点(a,0),则直线l:y=tan(x-a),即y=(x-a),直线l为圆O:x2+y2=b2的一条切线,则=b,即b=a,c===a,则e==.答案:8.(2018·许昌高二月考)若F1,F2是椭圆C:+=1的焦点,则在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为.解析:因为椭圆C:+=1,所以c=2.所以F1(-2,0),F2(2,0),其短轴的端点为B(0,2),A(0,-2),所以∠F1BF2=∠F1AF2=90°.又短轴端点与F1,F2连线所成的角是椭圆上动点P与F1,F2连线所成角中的最大角,所以在C上满足PF1⊥PF2的点有2个.答案:2【能力提升】9.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为,过F2的直线l交C于A,B 两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为( A )(A)+=1 (B)+y2=1(C)+=1 (D)+=1解析:e==,又△AF1B的周长为4,所以4a=4,所以a=,所以c=1.所以b2=a2-c2=2.故C的方程为+=1.故选A.10.(2018·上饶质检)已知圆C1:x2+2cx+y2=0,圆C2:x2-2cx+y2=0,椭圆C:+=1(a>b>0),半焦距为c,若圆C1,C2都在椭圆内,则椭圆离心率的取值范围是( B )(A)[,1) (B)(0,)(C)[,1) (D)(0,]解析:圆C1,C2都在椭圆内等价于(2c,0),(c,c)在椭圆内部,所以只需2c<a,所以0<<.即椭圆离心率的取值范围是(0,).故选B.11.(2017·全国Ⅰ卷)设A,B是椭圆C:+=1长轴的两个端点,若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是( A )(A)(0,1]∪[9,+∞) (B)(0,]∪[9,+∞)(C)(0,1]∪[4,+∞) (D)(0,]∪[4,+∞)解析:当点M为短轴的端点时,∠AMB最大;0<m<3时,A(-,0),B(,0),M(0,).由题意可知∠AMO≥60°,所以|OM|≤1.≤1,所以0<m≤1.m>3时,A(0,-),B(0,),M(-,0).由题意可知∠AMO≥60°,所以|OA|≥3,|-|≥3,≥3,m≥9.故选A.12.设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e;(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,证明:MN⊥AB.(1)解:由题设条件知,点M的坐标为(a,b),又k OM=,从而=.进而得a=b,c==2b,故e==.(2)证明:由N是线段AC的中点知,点N的坐标为(,-),可得=(,).又=(-a,b),从而有·=-a2+b2=(5b2-a2).由(1)可知a2=5b2,所以·=0,故MN⊥AB.【探究创新】13.在直线l:x-y+9=0上任取一点P,过点P以椭圆+=1的焦点为焦点作椭圆.(1)P点在何处时,所求椭圆的长轴最短?(2)求长轴最短时的椭圆方程.解:|PF1|+|PF2|=2a.要使椭圆长轴最短,就是P到F1,F2两点的距离之和最小,因而问题转化为在直线l上求一点P,使|PF1|+|PF2|为最小.(1)如图,连接PF1,PF2,F1(-3,0),F2(3,0),作点F2关于直线l:y=x+9的对称点F2′,则F2′(-9,12),那么F1F2′与直线l的交点即为所求的点P. 易知F1F′2的方程为2x+y+6=0.与直线y=x+9联立,得P(-5,4).(2)由(1)知2a=6,a=3,所以b2=a2-c2=36,此时,椭圆的方程为+=1.。
2018_2019学年高中数学二圆锥曲线与方程课件新人教A版
椭圆 x2 y2 y2 2＋ 2 ＝ 1 或 2 a b a
双曲线 x2 y2 y2 － ＝1 或 2 a2 b2 a
抛物线 y2＝2px 或 y2＝ －2px 或 x2＝2py 或 x2＝－ 2py(p>0)
标准 方程
2 x － 2＝1(a>0， x2 b ＋ 2＝1(a>b>0) b b>0)
法二：设点 M 的坐标为(x，y)，点 P 的坐标是(x0，y0)， → → 由PD＝2MD，得 x0＝x，y0＝2y，
2 因为点 P(x0，y0)在圆 x2＋y2＝4 上，所以 x2 ＋ y 0 0＝4，(*)
把 x0＝x，y0＝2y 代入(*)式，得 x2＋4y2＝4， x2 2 所以曲线 C 的方程为 ＋y ＝1. 4
答案：x2＝4y
2．在圆 x2＋y2＝4 上任取一点 P，设点 P 在 x 轴上的正投影 → → 为点 D.当点 P 在圆上运动时，动点 M 满足PD＝2MD，动点 M 形成的轨迹为曲线 C.求曲线 C 的方程．
→ → 解：法一：由PD＝2MD，知点 M 为线段 PD 的中点，设点 M 的坐标为(x，y)，则点 P 的坐标为(x，2y)． 因为点 P 在圆 x2＋y2＝4 上， 所以 x2＋(2y)2＝4， x2 2 所以曲线 C 的方程为 ＋y ＝1. 4
2 c 则 a2＝b2＝ ＝8.选项 B 符合． 2 【答案】 (1)C (2)B
求解离心率的方法 (1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲 线)的焦点在 x 轴上还是 y 轴上都有关系式 a2－b2＝c2(a2＋b2 c ＝c )以及 e＝ ，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参 a
α (1)焦点三角形的面积 S＝b tan . 2
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程课件
方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线
正确理解曲线与方程的概念 (1)定义中的条件(1)阐明了曲线具有纯粹性(或方程具有完 备性)，即曲线上的所有点的坐标都适合这个方程而毫无例 外；条件(2)阐明了曲线具有完备性(或方程具有纯粹性)，即适 合条件的点都在曲线上而毫无遗漏．
x－1≥0， x＋y－1＝0
或x－1≥0， x－1＝0，
即 x＋y－1＝0(x≥1)或 x＝1，
故方程表示直线 x＝1 或射线 x＋y－1＝0(x≥1)．
(2)由(x－2)2＋ y2－4＝0 可得
x－2＝0， y2－4＝0，
即yx＝＝22，
或xy＝ ＝－2，2，
答案： (x－1)2＋y2＝1
4．到两坐标轴距离相等的点满足的方程是x－y＝0吗？为 什么？
解析： 显然不对(只具备条件(2)，而不具备条件(1))．这 是因为，到两坐标轴距离相等的点的轨迹是两条直线：l1：x－ y＝0和l2：x＋y＝0，直线l1上的点的坐标都是方程x－y＝0的 解，但直线l2上的点(除原点外)的坐标不是方程x－y＝0的解， 方程x－y＝0只是直线l1的方程，它不是所求轨迹的方程.
第 二 章 圆锥曲线与方程
2.1 曲线与方程
自主学习 新知突破
1．结合实例，了解曲线与方程的对应关系． 2．了解求曲线方程的步骤． 3．会求简单曲线的方程．
在平面直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点的轨迹方 程中．
[问题1] 直线y＝－x上任一点M到两坐标轴的距离相等 吗？
[提示1] 相等．
[问题2] [提示2] [问题3] [提示3]
【配套K12】[学习]2018-2019学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 抛物线 2.3
2.3.2 抛物线的简单几何性质1.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则( C )(A)直线与抛物线有一个公共点(B)直线与抛物线有两个公共点(C)直线与抛物线有一个或两个公共点(D)直线与抛物线可能没有公共点解析:因为直线y=kx-k=k(x-1),所以直线过点(1,0),又点(1,0)在抛物线y2=2px的内部,所以当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;当k≠0时,直线与抛物线有两个公共点.故选C.2.过抛物线y2=8x的焦点作倾斜角为45°的直线,则被抛物线截得的弦长为( B )(A)8 (B)16 (C)32 (D)64解析:由题可知抛物线y2=8x的焦点为(2,0),直线的方程为y=x-2,代入y2=8x,得(x-2)2=8x,即x2-12x+4=0,所以x1+x2=12,弦长=x1+x2+p=12+4=16.故选B.3.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)在抛物线上,且2x2=x1+x3,则有( C )(A)|FP1|+|FP2|=|FP3|(B)|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2(C)|FP1|+|FP3|=2|FP2|(D)|FP1|·|FP3|=|FP2|2解析:由焦半径公式,知|FP1|=x1+,|FP2|=x2+,|FP3|=x3+.因为2x2=x1+x3,所以2(x2+)=(x1+)+(x3+),即2|FP2|=|FP1|+|FP3|.故选C.4.(2018·临川高二月考)抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是( A )(A)(B)(C)(D)3解析:设抛物线y=-x2上一点为(m,-m2),该点到直线4x+3y-8=0的距离为,当m=时,取得最小值为.故选A.5.(2016·全国Ⅱ卷)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k等于( D )(A)(B)1 (C)(D)2解析:由题知P(1,2),2=k.故选D.6.(2018·郑州高二检测)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,若A,B在准线上的射影为A1,B1,则∠A1FB1等于( A )(A)90° (B)45° (C)60° (D)120°解析: 如图,由抛物线定义知|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,所以∠AA1F=∠AFA1,又∠AA1F=∠A1FO,所以∠AFA1=∠A1FO,同理∠BFB1=∠B1FO,于是∠AFA1+∠BFB1=∠A1FO+∠B1FO=∠A1FB1.故∠A1FB1=90°.故选A.7.(2018·兰州高二检测)在抛物线y2=16x内,过点(2,1)且被此点平分的弦AB所在直线的方程是.解析:显然斜率不存在时的直线不符合题意.设直线斜率为k,则直线方程为y-1=k(x-2),①由消去x得ky2-16y+16(1-2k)=0,所以y1+y2==2(y1,y2分别是A,B的纵坐标),所以k=8.代入①得y=8x-15.答案:y=8x-158.抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线的标准方程.解: 如图,依题意可设抛物线标准方程为y2=2px(p>0),则直线方程为y=-x+p.设直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),过A,B分别作准线的垂线,垂足为C,D,则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1++x2+,即x1+x2+p=8.①又A(x1,y1),B(x2,y2)是直线和抛物线的交点,由消去y得x2-3px+=0.所以x1+x2=3p,②将②代入①,得p=2.所以所求的抛物线标准方程为y2=4x.当抛物线方程设为y2=-2px(p>0)时,同理可求得抛物线标准方程为y2=-4x.【能力提升】9.(2017·高安市校级高二月考)已知直线y=2(x-1)与抛物线C:y2=4x交于A,B两点,点M(-1,m),若·=0,则m等于( B )(A)(B)(C)(D)0解析:由可得8x2-20x+8=0,解得x=2或x=,则A(2,2),B(,-),点M(-1,m),由·=0,可得(3,2-m)·(,--m)=0.化简得2m2-2m+1=0,解得m=.故选B.10.(2018·宜春高二月考)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( B )(A)2 (B)3 (C)(D)解析:设点A的坐标为(a2,a),点B的坐标为(b2,b),直线AB的方程为x=ty+m,与抛物线y2=x联立得y2-ty-m=0,故ab=-m,由·=2得a2b2+ab=2,故ab=-2或ab=1(舍去),所以m=2,所以△ABO的面积等于m|a-b|=|a-b|=|a+|,△AFO的面积等于×|a|=,所以△ABO与△AFO的面积之和为|a+|+=|a|+||≥2=3.当且仅当|a|=时,等号成立.故选B.11.(2018·云南质检)对于抛物线y2=4x上任意一点Q,点P(a,0)满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是.解析:设点Q的坐标为(,y0),由|PQ|≥|a|,得+(-a)2≥a2,整理得(+16-8a)≥0,因为≥0,所以+16-8a≥0,即a≤2+恒成立.而2+的最小值为2,所以a≤2.答案:(-∞,2]12. (2018·湖南六校联考)如图所示,已知点M(a,3)是抛物线y2=4x上一定点,直线AM,BM 的斜率互为相反数,且与抛物线另交于A,B两个不同的点.(1)求点M到其准线的距离;(2)求证:直线AB的斜率为定值.(1)解:因为M(a,3)是抛物线y2=4x上一定点,所以32=4a,a=,所以M(,3).因为抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,所以点M到其准线的距离为-(-1)=.(2)证明:由题知直线MA,MB的斜率存在且不为0,设直线MA的方程为y-3=k(x-),由得y2-y+-9=0.所以y A+3=,所以y A=-3.因为直线AM,BM的斜率互为相反数,所以直线BM的方程为y-3=-k(x-).同理可得y B=-3.(只需将y A=-3中的k换为-k)所以k AB=====-.所以直线AB的斜率为定值-.【探究创新】13.(2018·枣庄高二月考)设点P在圆C:x2+(y-6)2=5上,点Q在抛物线x2=4y上,则|PQ|的最小值为.解析:设Q(x,y),其中x2=4y.又圆心C(0,6),则|QC|===(y≥0).当y=4时,|QC|min=2,所以|PQ|min=|QC|min-r=2-=.答案:。
2018-2019学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程章末整合提升优质课件 新人教A版选修2-1
典例 3 (1)若椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为 23，则双曲
渐近线方程为
A．y＝±12x
B．y＝±2x
C．y＝±4x
D．y＝±14x
(2)(2017·天津理，5)已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的左焦点为 若经过 F 和 P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲
则x1＋x2＝－1＋4km2k2， x1x2＝21m＋2－2k22 ， m2<2k2＋1，
即x1＋x2＝－1＋4km2k2， x1·x2＝21m＋2－2k22 ，
所以 kMA·kNA＝x1－y1 2·x2－y2 2＝kx1x－1＋m2·xk2x－2＋m2＝－12． 所以(2k2＋1)x1x2＋(2km－ 2)(x1＋x2)＋2m2＋2＝0， 即 m2＋ 2km＝0⇒m＝0 或 m＝－ 2k(舍去)． 所以 MN：y＝kx 过定点(0,0)． 当 MN 斜率不存在时 M，N 为短轴两端点，显然也符合题意 恒过定点(0,0)．
∴|OQ|＝12|AF1|＝a． ∴Q 点的轨迹是以原点 O 为圆心，半径为 a 的圆．
(2)设 F1、F2 分别为双曲线ax22－by22＝1 的左、右焦点，A1、A 线的左、右顶点，P 为双曲线右支上的任一点，求证：以 A1A2 为 PF2 为直径的圆外切，又与以 PF1 为直径的圆内切.
[思路分析] 设 N、M 分别是 PF1、PF2 的中点，只要证明|O 并且|ON|＝12|PF1|－a.因为点 P 在双曲线的右支上，F1、F2 是双曲 具备了运用定义解题的条件，故应从双曲线的定义入手去探索证
(1)求椭圆的方程； (2)过椭圆右顶点 A 的两条斜率乘积为－12的直线分别交椭圆于 问：直线 MN 是否过定点？若过定点，请求出此定点，若不过，
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2.1.1 椭圆及其标准方程[基础达标]1.椭圆2x 2＋y 2＝8的焦点坐标是( ) A ．(±2，0) B ．(0，±2) C ．(±23，0) D ．(0，±23)解析：选B.椭圆标准方程为x 24＋y 28＝1，∴椭圆焦点在y 轴上，且c 2＝8－4＝4， ∴焦点坐标为(0，±2)．2.椭圆x 225＋y 2m＝1的一个焦点坐标为(3，0)，那么m 的值为( )A ．－16B ．－4C ．16D ．4解析：选C.焦点在x 轴且c ＝3，由25＝m ＋9，∴m ＝16.3.已知方程x 2k ＋1＋y23－k＝1(k∈R )表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是( )A ．k <1或k >3B ．1<k <3C ．k >1D ．k <3 解析：选B.由题意知k ＋1>3－k >0，∴1<k <3.4.过点(－3，2)且与x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程是( )A.x 215＋y 210＝1B.x 2225＋y 2100＝1C.x 210＋y 215＝1 D.x 2100＋y 2225＝1 解析：选A.c 2＝9－4＝5，由题意可设所求椭圆方程为x 2b 2＋5＋y 2b 2＝1，代入(－3，2)得9b 2＋5＋4b 2＝1，∴b 2＝10，椭圆方程为x 215＋y 210＝1. 5.如图，椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到焦点F 1的距离为2，N 为MF 1的中点，则|ON |(O 为坐标原点)的值为( )A ．8B ．2C ．4 D.32解析：选C.由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10，又|MF 1|＝2，∴|MF 2|＝8，由于N 为MF 1的中点，ON 为中位线，∴|ON |＝12|MF 2|＝4.6.已知两定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则动点P 的轨迹方程是________．解析：由题意得：|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝4>|F 1F 2|＝2， ∴动点P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆，且a ＝2，c ＝1， ∴b 2＝a 2－c 2＝3，轨迹方程为x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝17.已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________．解析：由于|AB |＋|F 2A |＋|F 2B |＝4a ＝20，∴|AB |＝20－(|F 2A |＋|F 2B |)＝20－12＝8. 答案：88.若方程x 2k －2＋y 25－k＝1表示椭圆，则实数k 的取值范围是________．解析：由方程x 2k －2＋y 25－k＝1表示椭圆，可得⎩⎪⎨⎪⎧k －2>0，5－k >0，k －2≠5－k ，解得2<k <5且k ≠72.即当2<k <72或72<k <5时，方程x 2k －2＋y 25－k＝1表示椭圆．答案：(2，72)∪(72，5)9.设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上的一点，(1)PF 1⊥PF 2，且|PF 1|>|PF 2|，求|PF 1||PF 2|的值． (2)当∠F 1PF 2为钝角时，|PF 2|的取值范围．解：(1)∵PF 1⊥PF 2，∴∠F 1PF 2为直角，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2.∴⎩⎪⎨⎪⎧20＝|PF 1|2＋|PF 2|2，|PF 1|＋|PF 2|＝6， 解得|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，∴|PF 1||PF 2|＝2.(2)设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则r 1＋r 2＝6. ∵∠F 1PF 2为钝角，∴cos ∠F 1PF 2<0.又∵cos ∠F 1PF 2＝r 21＋r 22－202r 1r 2<0，∴r 21＋r 22<20，∴r 1r 2>8，∴(6－r 2)r 2>8，∴2<r 2<4.即|PF 2|的取值范围是(2，4)．10.(1)等腰直角三角形ABC 中，斜边BC 长为42，一个椭圆以C 为其中一个焦点，另一个焦点在线段AB 上，且椭圆经过A ，B 两点，求该椭圆的标准方程．(2)在△ABC 中， ∠A ，∠B ，∠C 所对的三边分别是a ，b ，c ，且|BC |＝2，求满足b ，a ，c 成等差数列且c >a >b 的顶点A 的轨迹．解：(1)如图，设椭圆的方程为x 2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)，有|AM |＋|AC |＝2a ，|BM |＋|BC |＝2a ， 两式相加，得8＋42＝4a ，∴a ＝2＋2，|AM |＝2a －|AC |＝4＋22－4＝2 2.在直角三角形AMC 中，∵|MC |2＝|AM |2＋|AC |2＝8＋16＝24， ∴c 2＝6，b 2＝4 2. 故所求椭圆的标准方程为x 26＋42＋y 242＝1.(2)由已知条件可得b ＋c ＝2a ，则|AC |＋|AB |＝2|BC |＝4>|BC |，结合椭圆的定义知点A 在以B ，C 为焦点的一个椭圆上，且椭圆的焦距为2.以BC 所在的直线为x 轴，BC 的中点为原点O ，建立平面直角坐标系，如图所示．设顶点A 所在的椭圆方程为x 2m 2＋y 2n2＝1(m >n >0)，则m ＝2，n 2＝22－12＝3，从而椭圆方程为x 24＋y23＝1.又c >a >b 且A 是△ABC 的顶点，结合图形，易知x >0，y ≠0.故顶点A 的轨迹是椭圆x 24＋y 23＝1的右半部分(x >0，y ≠0)．[能力提升]1.设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP →＝2PA →，且OQ →·AB →＝1，则P 点的轨迹方程是( )A.32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0) B.32x 2－3y 2＝1(x >0，y >0) C ．3x 2－32y 2＝1(x >0，y >0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x >0，y >0)解析：选A.由题意Q 坐标为(－x ，y )(x >0，y >0)，设A (x 0，0)，B (0，y 0)， 由BP →＝2PA →得(x ，y －y 0)＝2(x 0－x ，－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 0－2xy －y 0＝－2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝3y x 0＝32x . 由OQ →·AB →＝1得(－x ，y )·(－x 0，y 0)＝1，∴x 0x ＋y 0y ＝1，把⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝3y x 0＝32x 代入上述得32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)．2.设α∈(0，π2)，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是________．解析：方程x 2sin α＋y 2cos α＝1可化为x 21sin α＋y 21cos α＝1.∵椭圆的焦点在y 轴上，∴1cos α>1sin α>0.又∵α∈(0，π2)，∴sin α>cos α>0， ∴π4<α<π2. 答案：(π4，π2)3.已知F 1，F 2是椭圆x 2100＋y 264＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点．(1)若∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积；(2)求|PF 1|·|PF 2|的最大值．解：(1)设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n (m >0，n >0)． 根据椭圆的定义，得m ＋n ＝20. 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos∠F 1PF 2＝|F 1F 2|2，即m 2＋n 2－2mn ·cos π3＝122，∴m 2＋n 2－mn ＝144，即(m ＋n )2－3mn ＝144.∴202－3mn ＝144，即mn ＝2563.又∵S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin∠F 1PF 2＝12mn ·sin π3，∴S △F 1PF 2＝12×2563×32＝6433.(2)∵a ＝10，∴根据椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝20.∵|PF 1|＋|PF 2|≥2|PF 1|·|PF 2|，∴|PF 1|·|PF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2022＝100，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时，等号成立， ∴|PF 1|·|PF 2|的最大值是100.4．(2014·玉溪一中高二期末)已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点，过F 2作垂直于x 轴的直线MF 2交椭圆于M ，设|MF 2|＝d .(1)证明：d ，b ，a 成等比数列；(2)若M 的坐标为()2，1，求椭圆C 的方程；(3)在(2)的椭圆中，过F 1的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，若OA →·OB →＝0，求直线l 的方程．解：(1)证明：由条件知M 点的坐标为()c ，y 0，其中|y 0|＝d ，∴c 2a 2＋d 2b2＝1，d ＝b ·1－c 2a 2＝b 2a ，∴d b ＝ba，即d ，b ，a 成等比数列． (2)由条件知c ＝2，d ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝a ·1a 2＝b 2＋2，∴⎩⎨⎧a ＝2b ＝2，∴椭圆方程为x 24＋y 22＝1.(3)设点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，当l ⊥x 轴时，A (－2，－1)、B (－2，1)，所以OA →·OB →≠0. 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入椭圆方程得(1＋2k 2)x 2＋42k 2x ＋4k 2－4＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－42k21＋2k 2，x 1·x 2＝4k 2－41＋2k2，由OA →·OB →＝0得x 1·x 2＋y 1·y 2＝0， x 1·x 2＋k 2(x 1＋2)(x 2＋2)＝(1＋k 2)x 1·x 2＋2k 2(x 1＋x 2)＋2k 2＝0，代入得（1＋k 2）（4k 2－4）1＋2k 2－42k 2·2k 21＋2k＋2k 2＝0，解得k ＝± 2. 所以直线l 的方程为y ＝±2(x ＋2)．。