求数列的通项公式的十种方法

求数列通项公式的十种方法
一．SA 法
⎩⎨⎧≥-==-)2(1)(n
11n S S S S n n
n 注意具体可分为两种方法 1.改写相减，消去S n
2.S n -S n-1直接替换掉a n ,求出S n ,再求出a n
例 1. 已知各项均为正数的数列{n a }的前n 项和为n S 满足1S ＞1且6n S =(1)(2)n n a a ++ n ∈N * 求{n a }的通项公式。

的通项公式
和，求数列项和为的前，数列项和为的前：已知数列例}{}{2}{22}{12n n n n n n n b a b T n b n n S n a -=+=
的通项公式
求各项均为正数，满足：已知数列例}{,21}{2n n n
n n a S a a a =+
的通项公式
并求数列试确定常数最大值为的
且项和的前：已知数列练习}{,.8),(2
1}{12
n n n n a k S N k kn n S n a *∈+-=
n
n n n n a S a n n S 求）已知（求）已知（：
练习,2232,732122-⋅=-+-=
二．累加累乘法（也可用迭代法求解）
用“累加”
形如二用“累乘”形如一)()(),()(11n f a a n f a a n n n n +==++
的通项公式
求满足：已知数列例}{,1,21}{1211n n n n a n
n a a a a ++==+
的通项公式
求项和前中，：已知数列例}{,3
2
,1}{21n n n a a n S n a a +==
的通项公式求，满足：已知数列练习n n n n a n a n n a a a ),1(2
31
33}{111≥+-=
=+
的通项公式
求数列满足：已知数列练习}{a ,a a ,5a }{a 2n 2)1(311n
n n
n n ++==
三．差商法
实质是已知数列的前n 项和或前n 项积，求数列的通项公式
的通项公式
求数列满足：已知数列例}{),(4
4
44}{11
32
21n n n n a N n n
a a a a a *-∈=+++
}{,2,1}{223211n n n a n a a a a n N n a a 求时都有且对所有中，：已知数列例=⋅⋅≥∈=*
四．构造法”“)(1n f pa a n n +=+ ，只能用此法。

若构造等比数列再累加求通项
两边同除）和三，构造二，构造一q p xq a q p q pa a y xn a q kn pa a p q
a q pa a n n n n n n n n n n n =+≠+=++++=-++=++++++},{2. ,p
1. 10,()(}{)(}
1{)(1
n 11111
的通项公式
求中，：已知数列例}{),(32,1}{111n n n n a N n a a a a *+∈+==
的通项公式
求满足：已知数列例}{),2(123,4}{211n n n n a n n a a a a ≥-+==-
的通项公式
求数列中，：已知数列例}{,)2
1(31,65}{31
11n n n n n a a a a a +++==
的通项公式
求中，：在数列练习}{,1232}{111n n n n n a n a a a +++=++
五．构造法之“取倒”
}
a 1{}1
{,1111,0,n 111a
b c
b a a a
c a a b a a c
a a
b a ab
c b ca aa a n n n n n n n n -+≠+==+
⋅=≠+=+++时，构造等比数列当成等差数列
则时，当去倒数得对于
的通项公式
求数列满足：已知数列例}{,1,1
3}{1111
n n n n n a a a a a a =+=--
通项公式
求数列且满足：已知数列例}{),2(1
23,23
}{2111n n n n n a n n a na a a a ≥-+==--
六．构造法之特征根法
为等差数列
，则根若特征方程只有一个实都为等比数列与，则，个相异实根若有对应的特征方程为}{
.2}{}{2.1)0,(1212212n
n
n n n n n n n a a a a a q
px x q p qa pa a α
αβαβα++++++--+=≠+=
的通项公式求中，：已知数列例}{,3
1
32,2,1}{11221n n n n n a a a a a a a +=
==++
的通项公式
求数列满足的两个实根，数列是方程：已知例}{,,,}{0,2212212n n n n n x qx px x q p x p x x q px x ---=-===+-βα
七．构造法之不动点法
为周期数列
没有不动点，则）若（为等差数列；
则只有唯一不动点）若（为等比数列；则有两个相异的不动点）若（的不动点
的解成为该方程
对应的特征方程为递推数列}{)(3}1
{,)(2}{
,,)(1)(,)0(1n n n n n n n a x f p a p x f q
a p
a q p x f d cx b
ax x f d
cx b
ax x bc d ca b aa a ---++=++=≠++=
+的通项公式
求且（：已知例}{,3),3
24111n n n n a a N n a a a =∈++=*+
八．构造法之取对法（少见）
1
1
}log {,1log log ),0,1,1,0(11-=
++=∈>≠≠>=+*+r x x a a r a p N n a r p p pa a n p n p n p n r
n n 是等比数列，其中则的对数，可得为底型，两边同时取以对于的通项公式
求数列中，已知数列例}{,2,1}{:12
11n n n n a a a a a ==+
九．构造法之换元法（不要求）
的通项公式
求数列满足已知数列}{a ,1a )
a 241a 41(161
a }{a 11n n n n n =+++=+
十．数学归纳法
的通项公式。

求数列满足已知数列}{a ,9
8
a ,)
32()12()
1(8a a }{a 12
21n n n n n n n =++++=+。