二次函数中的面积最值问题最佳处理方法

因材教育二次函数中的面积最值问题
从近几年的各地中考试卷来看，求面积的最值问题在压轴题中比较常见，而且通常与二次函数相结合．使解题具有一定难度，本文以一道中考题为例，介绍几种不同的解题方法，供同学们在解决这类问题时参考．
如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．
解答(1)抛物线解析式为
y＝－x2－2x＋3；
(2)Q(－1，2)；
下面着重探讨求第(3)小题中面积最大值的几种方法．
一、补形、割形法
几何图形中常见的处理方式有分割、补形等，通过对图形的这些直观处理，一般能辅助解题，使解题过程简捷、明快．此类方法的要点在于把所求图形的面积进行适当的补或割，变成有利于表示面积的图形．
方法一
如图3，设P点（x，－x2－2x＋3）(－3<x<0)．
方法二如图4，设P 点(x ，－x 2－2x ＋3)(－3<x<0)．
（下略．）
二、“铅垂高，水平宽”面积法
如图5，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h)”，我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法：S △ABC ＝
12
ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．
根据上述方法，本题解答如下：
解如图6，作PE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点F ．
设P 点（x ，－x 2－2x ＋3）（－3<x<0）．
∴点P 坐标为（－32，154
）三、切线法
若要使△PBC 的面积最大，只需使BC 上的高最大．过点P 作BC 的平行线l ，当直线l 与抛物线有唯一交点(即点P)时，BC 上的高最大，此时△PBC 的面积最大，于是，得到下面的切线法．
解如图7，直线BC 的解析式是y ＝x ＋3，过点P 作BC 的平行线l ，从而可设直线l 的解析式为：y ＝x ＋b ．
＝
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．四、三角函数法
本题也可直接利用三角函数法求得．
解如图8，作PE ⊥x 轴交于点E ，交BC 于点F ，怍PM ⊥BC 于点M ．
设P 点（x ，－x 2－2x ＋3）（－3<x<0），
则F(x ，x ＋3)．
从以上四种解法可以看到，本题解题思路都是过点P 作辅助线，然后利用相关性质找出各元素之间的关系进行求解．如此深入挖掘一道题的多种解法，可使我们摆脱题海战术，提高解题能力．同时，善于总结一道题的多种解法能加快解题速度，提高解题效率，也有利于培养我们的钻研能力和创新精神．
二次函数之面积问题（讲义）
一、知识点睛
1.二次函数之面积问题的处理思路
①分析目标图形的点、线、图形特征；
②依据特征、原则对图形进行割补、转化；
③设计方案，求解、验证．
面积问题的处理思路：公式、割补、转化．
坐标系背景下问题处理原则：________________________，__________________________．
2.二次函数之面积问题的常见模型①割补求面积——铅垂法：
1()2APB B A S PM x x =⋅⋅-△1()2
APB B A S PM x x =⋅⋅-△②转化法——借助平行线转化：
若S △ABP =S △ABQ ，
若S △ABP =S △ABQ ，
当P ，Q 在AB 同侧时，当P ，Q 在AB 异侧时，
PQ ∥AB ．
AB 平分PQ ．
二、精讲精练
1.如图，抛物线经过A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点M是直线BC上方抛物线上的点（不与B，C重合），过点M作MN∥y轴交线段BC于点N，若点M的横坐标为m，请用含m 的代数式表示MN的长．
（3）在（2）的条件下，连接MB，MC，是否存在点M，使四边形OBMC的面积最大？若存在，求出点M的坐标及四边形OBMC的最大面积；若不存在，请说明理由．
2.如图，抛物线322++-=x x y 与直线1+=x y 交于A ，C 两点，其中C
点坐标为(2，t )．
（1）若P 是直线AC 上方抛物线上的一个动点，求△APC 面积的最大值．
（2）在直线AC 下方的抛物线上，是否存在点G ，使得6AGC S =△？如果存在，求出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．
3.如图，抛物线223y x x =--与x 轴交于A ，B 两点，与直线
y x p =-+交于点A 和点C (2，-3).
（1）若点M 在抛物线上，且以点M ，A ，C 以及另一点N 为顶点的平行四边形ACNM 的面积为12，求M ，N 两点的
坐标．
（2）在（1）的条件下，若点Q 是x 轴下方抛物线上的一动点，当△QMN 的面积最大时，请求出△
QMN 的最大面积及此时点Q 的坐标．
4.如图，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于
点C ，对称轴与抛物线交于点P ，与直线BC 交于点M ，连接PB ．
（1）抛物线上是否存在异于点P 的一点Q ，使△QMB 与△PMB 的面积相等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）在第一象限对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R ，使△RMP 与△RMB 的面积相等？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由．
5.如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A (1，0)和点B ，与
y 轴交于点C (0，-3)．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图，已知点H (0，-1)．
①在x 轴下方的抛物线上是否存在点D ，使得S △ABH =S △ABD ？若存
在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
②在抛物线上是否存在点G （点G 在y 轴的左侧），使得S △GHC =S △GHA ？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．
【参考答案】
一、知识点睛
充分利用横平竖直的线段长函数特征几何特征互转二、精讲精练
12。