塑性力学例题
塑性力学复习试题
塑性力学复习试题一、填空题1．塑性变形不仅与当前的应力状态有关，还和（）有关。
2．对一般金属，体积应变完全是（）的，静水压力不产生（）。
它对屈服极限的影响（）。
3．下图是低碳钢作简单拉伸试验得到的应力—应变曲线。
（1）图中P点的纵坐标称为（），记作（）。
Q点的纵坐标称为（），记作（）。
对应于R点的应力称为（），对应于SA的应力称为（）。
一般把（）称为屈服极限，以（）表示。
σ阶段，服从（）。
（2）在σ≤s（3）σ—ε曲线的ABF段称为（）。
（4）卸载时卸掉的应力σ'与恢复的应变ε'之间也应当服从（）。
（5）经过一次塑性变形以后再重新加载的试件，其弹性段增大了，屈服极限提高了。
这种现象称为（）。
（6）σ—ε曲线至F点后开始下降，这是由于在F点处试件已开始出现（）现象。
ε=（），4．八面体面上的正应变为8γ（）。
剪应变为=8σ=（）。
5．用主应力表示的等效应力（或应力强度）为：i用六个应力分量表示的等效应力（或应力强度）为：σ=（）。
i6．用主应力表示的等效剪应力（或剪应力强度）为：T = （）。
用六个应力分量表示的等效剪应力（或剪应力强度）为：T = （）。
μ=（）。
7．应力状态的Lode参数为：σε=（）。
8．用主应变表示的等效应变（或应变强度）为：i用六个应变分量表示的等效应变（或应变强度）为：ε= （）。
i9．用主应变表示的等效剪应变（或剪应变强度）为：Γ=（）。
用六个应变分量表示的等效剪应变（或剪应变强度）为：Γ=（ ）。
10．表示应变状态特征的Lode 参数为：εμ=（ ）。
11．第一应力不变量为：1I =（ ）=（ ）。
第二应力不变量为：2I =（ ）=（ ）。
第三应力不变量为：3I =（ ）=（ ）。
12．第一应变不变量为：1I '=（ ）=（ ）。
第二应变不变量为：2I '=（ ）=（ ）。
第三应变不变量为：='3I （ ）=（ ）。
13．应力偏张量的第一不变量为：=1J （ ）。
《工程弹塑性力学》习题
《工程弹塑性力学》习题1、（1）试分析下列应力函数可解什么样的平面应力问题：2232343y q c xy xy c F +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ϕ （2）为使函数φ(r ，z)＝C(r 2十z 2)n 能够作为轴对称情况下的应力函数，式中n 应为何值?2、已知下列应力状态：Pa ij 5101138303835⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=σ 试求八面体正应力与剪应力。
3、已知材料的真实应力应变曲线为：B T =σє n 或 m T c εσ=，试证：n e m --=14、试证： ()dV u dS u n dV u u i Vj ij i j s ij i j j i ij V ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=+,,,21σσσ 5、试证图示悬臂梁的应变能公式及泛函ΠP 为：()dx w EJ U l 20''21⎰= 及 ()()()l Fw l Mw Pw dx w EJ l l P +--=∏⎰⎰0'20''21 并说明其附加条件6、试求图示斜坡的最大承载能力。
7、对Mises 屈服条件，证明8、已知理想弹塑性材料的悬臂梁，一端受集中力P 作用，如此杆的截面ij ij ij s J f =σ∂∂=σ∂∂2为矩形，其尺寸为h b 2⨯，弹性模量E ，屈服极限为s σ，试求作用点的挠度值。
9、试证明虚位移与虚应力原理是下列高斯散度定理的特殊情况： dS u T dS u T dV u F dV i S i i S i i V i ij V ij uT ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++=εσ10、名词解释1、主平面、主应力、应力主方向2、李兹法3、工程应变4、滑移线5、Drucker 公设6、伽辽金法7、壳体、壳体的厚度、中曲面8、屈服面、屈服函数9、增量理论10、完全解11、简答题1、什么是八面体及其特点？2、阐述弹性力学的平面问题的基本假设？3、矩形、圆形薄板弯曲的三类边界条件的区别？4、在大应变问题中，为什么只有用自由应变才能得出合理的结果？5、Tresca 和Mises 的屈服条件的比较？6、论述薄板小挠度弯曲理论的基本假定？7、各向均匀受压对金属材料体积的影响及写出Bridgman 提出p 与单位体积的关系式。
塑性力学考试题及答案
塑性力学考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 塑性变形与弹性变形的主要区别是（）。
A. 塑性变形是可逆的B. 弹性变形是可逆的C. 塑性变形是不可逆的D. 弹性变形是不可逆的2. 材料在塑性变形过程中，其应力-应变曲线上的哪一点标志着材料的屈服点？A. 最大应力点B. 最大应变点C. 应力-应变曲线上的转折点D. 应力-应变曲线的起始点3. 下列哪项不是塑性变形的特征？A. 材料形状的改变B. 材料体积的不变C. 材料内部结构的不可逆变化D. 材料的弹性恢复4. 塑性变形的三个基本假设中，不包括以下哪一项？A. 材料是连续的B. 材料是各向同性的C. 材料是不可压缩的D. 材料是完全弹性的5. 塑性变形的流动法则通常采用哪种形式来描述？A. 线性形式B. 非线性形式C. 指数形式D. 对数形式二、简答题（每题10分，共30分）6. 简述塑性变形的三个基本假设及其物理意义。
7. 解释什么是塑性屈服准则，并举例说明常用的屈服准则。
8. 描述塑性变形过程中的加载和卸载路径，并解释它们的区别。
三、计算题（每题25分，共50分）9. 给定一个材料的应力-应变曲线，如果材料在达到屈服点后继续加载，求出在某一特定应变下的材料应力。
10. 假设一个材料在单轴拉伸条件下发生塑性变形，已知材料的屈服应力和弹性模量，求出在塑性变形阶段的应变率。
答案一、选择题1. 答案：C2. 答案：C3. 答案：D4. 答案：D5. 答案：B二、简答题6. 塑性变形的三个基本假设包括：- 材料是连续的：假设材料没有空隙和裂缝，是连续的均匀介质。
- 材料是各向同性的：假设材料在所有方向上具有相同的物理性质。
- 材料是不可压缩的：假设在塑性变形过程中材料的体积保持不变。
7. 塑性屈服准则是判断材料是否开始发生塑性变形的条件。
常用的屈服准则包括：- Von Mises准则：适用于各向同性材料，当材料的等效应力达到某一临界值时，材料开始发生塑性变形。
弹塑性力学最后例题
u y
2
]dxdy
经推导得：
U = E 4 1 - n2
(
)
p2 b
å
n
k= 1
k 2B k2
3
(3)由 =0 变分方程确定系数 Bk ：
Bk 0 k 1 Bk
n
即 或：
U =
0 Bk
k 1,2 n
E 4 1 - n2
(
)
p2 b
å
n
k= 1
k 2B k2
抖 U = 抖 Bk = -
V = Bk
ò f v dA
y k
ò
b
0
b = rg cos k p - 1) ( kp
k py r g sin dy b
(k = 1, 2 L n )
4
得：
E 2 1- n
(
2
)
p 2k 2 ? Bk b
2b rg pk
(k = 1, 3, 5 L )
这是k个独立方程，可求出k个待定系数 Bk。 解得：
Bk = 4 1 - n 2 b2 k pE
3 3
(
)
rg
(k = 1, 3, 5 L )
(4) 位移解答
u 0
b 处的竖向位移为： 令： y 2
b
4 (1 2 )b2 y 1 3 y 1 5 y v( y ) g (sin 3 sin 3 sin ) 3 E b 3 b 5 b
6
题3 张量证明
求证 证明
J 2 Sij ij
J 2 J 2 Skl ij Skl ij S kl 1 S S mn mn 2 ij 1 pp kl kl 3
第六章：塑性力学解题方法
然后由此可解得
x k sin 2 y k sin 2
xy k cos 2
以上的解满足屈服方程、平衡方程。在满足边界条件的情况下，以上解就 是问题的解。如果已知整个场的滑移线分布和每条滑移线的参数，就可得整 个场的解。
4、滑移线的性质
1）当一条滑移线沿另一族滑移线的任一条过渡到同族的另一条滑移线时，角 度和平均应力的变化相同。
第六章：塑性力学解题方法及应用
6.2 理想刚塑性材料的平面应力问题——滑移线理论
证明：各作α和β线两条，它们的参数分别是：ξ1 、 ξ2 、 η1 、 η2 ， 四线的交点分别是A11、A12、A21、A22,见图。 2 2 ( )1 12 11 1 A
第六章：塑性力学解题方法 及应用
前面讲了增量理论和全量理论，但是塑性问题因为是 非线性问题，只有极端少量问题可解析解，主要通过数值 解，在此讲主应力法、滑移线理论和上限法。 1、举一些主应力法实例。 2、讲滑移线理论和应用实例。 3、上限法。
第六章：塑性力学解题方法及应用 6.1 平衡方程+屈服准则联立求解
4 2 ( r ) s 3 2 r s 3
2
第六章：塑性力学解题方法及应用
6.1 平衡方程+屈服准则联立求解
代入平衡方程：
解得:
d r 2 s dr 3
2 r s ln Cr 3
r b :r 0
利用边界条件:
得: 得:
C 1/ b
2、滑移线
引入滑移线概念，xy平面上，每点与最大剪应力相切的线称为滑移线， 每点作两条线，相互垂直。由此组成的曲线集合分别称α族和β族。规 定αβ正方向组成右手坐标系，σ1在第一第三象限。α正方向与x轴的 夹角记为θ。见下图。
塑性力学练习
"塑性力学引论"练习←→第二章 笛卡尔坐标*量简介1. 化简2. 将下式写成工程常用形式第三章 应力分析1. 如321,,J J J 为应力*量的第一、二、三不变量，32','J J 为应力偏量的第二、三不变量，试证明： 2．证明3． 证明 )(21233222211113333222211s s s s s s s s s ++-=++ 第四章 应变分析1. 试确定以下各应变状态能否存在？ (1),0 ,20 , ,)(222=====+=zx yz xy z y x kxyz z ky z y x k γγγεεε式中k 为常数。
(2)0 ,0 ,20 , ,)(222=====+=zx yz xy z y x kxy ky z y x k γγγεεε(3)byax by az axyy ax axy zx yz xy z y x +=+=====2222 , ,0 , ,γγγεεε式中a,b 为常数。
第五章 本构关系1． 巳知简单拉伸时的应力应变曲线如图1所示，其数学形式)(1εσf =为： 图 习题1问当采用刚塑性模型时，即略去e ε，取pεε=，应力应变曲线变成)()(22εεσf f p==形式，试确定)(2εσf =的表达式。
2． 为了使幂次强化应力应变曲线在s εε≤时能满足虎克定律，采用了以下应力应变曲线： 1） 为保证σ及εσd /d 在s εε=处连续，试确定0,εB 值。
2） 如将该曲线表示成)](1[εωεσ-=E 形式，试给出)(εω的表达式。
3． 设材料是不可压缩的，证明单轴拉压情况下，轴向真应力σ~、名义应力σ(名义应力为未考虑横截面积变化时的应力)、工程应交ε和对数应变ε~之间存在关系： 第六章 屈服条件等1．薄壁圆筒内的单元体承受拉应力z σ和剪应力z θσ的作用，试写出在此情况下的Tresca 、Mises 屈服条件。
塑性力学习题
习题及思考题 7-1． 接触摩擦对塑性变形过程有哪些影响？压力加工中摩擦可分为哪几种类型？各类型有什么特点？ ７-２．简述轧制过程的基本滑动摩擦机理。 ７-３．试分析热轧时和冷轧时各种因素对摩擦系数的影响？ ７-４．确定摩擦系数的方法有哪几种？
习题
500
1-1Leabharlann 已知一点的应力状态为
300
800
300 0
300
800 300 105 Pa 1100
力 Pn 和正应力 n 。
500
1-2
已知一点的应力张量为
300
800
300 1000 3
300
800 300 105 Pa 1100
求方向余弦为 l1 l2 l3 的斜面的全应 求方向余弦为 l1 l2 l3 平面上的总
应力和正应力。
3 1 1 1-5 已知一点的应力张量 ij 1 0 2 ，试求主应力。
1 2 0
1-6 已知某点的应力分量： x a, y a, z a, yz a, xy zx 0 试求主应力及最大剪应力值。
力状态系数 ）
3-22 证明当1 2 3 时八面体平面上的剪应力 8 max
2(3 2 ) 。 3
习 题（复习提纲） 4-1 分别简述平面镦粗和轧制时单位摩擦力沿接表面的分布规律。 4-2 全滑动摩擦平面镦粗的近似平衡微分方程式和卡尔曼近似平衡微分方程式分别采用了哪些假设条件？并尝试推
1 0 0
５．已知一点的应变张量为 ij
(完整版)弹塑性力学习题题库加答案
第二章 应力理论和应变理论2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。
己求得应力解为：σx =ax+by ，σy =cx+dy-γy ， τxy =-dx-ay ；试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a 、b 、c 、d 。
解：首先列出OA 、OB 两边的应力边界条件：OA 边：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x = γ1y ； T y =0 则σx =-γ1y ； τxy =0代入：σx =ax+by ；τxy =-dx-ay 并注意此时：x =0 得：b=-γ1；a =0；OB 边：l 1=cos β；l 2=-sin β，T x =T y =0则：cos sin 0cos sin 0x xy yxy σβτβτβσβ+=⎧⎨+=⎩………………………………（a ）将己知条件：σx= -γ1y ；τxy =-dx ； σy =cx+dy-γy 代入（a ）式得：()()()1cos sin 0cos sin 0y dx b dx cx dy y c γβββγβ-+=⎧⎪⎨--+-=⎪⎩化简（b ）式得：d =γ1ctg 2β；化简（c ）式得：c =γctg β-2γ1 ctg 3β2—17.己知一点处的应力张量为31260610010000Pa ⎡⎤⎢⎥⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦试求该点的最大主应力及其主方向。
解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx =12×103 σy =10×103 τxy =6×103，且该点的主应力可由下式求得：(()()31.233331210102217.0831******* 6.082810 4.9172410x yPa σσσ⎡++⎢=±=⨯⎢⎣⨯=⨯=±⨯=⨯则显然：3312317.08310 4.917100Pa Pa σσσ=⨯=⨯=σ1 与x 轴正向的夹角为：（按材力公式计算）()22612sin 22612102cos 2xyx ytg τθθσσθ--⨯-++====+=--+显然2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg （+6）=+80.5376°题图1-3则：θ=+40.268840°16＇ 或（-139°44＇）2—19.己知应力分量为：σx =σy =σz =τxy =0，τzy =a ，τzx =b ，试计算出主应力σ1、σ2、σ3并求出σ2的主方向。
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A h 3 2 q , B l 3 qe 1
2
qe
2q
其中qe 是梁的弹性极限荷载, 令 x 0 和 ys h / 2得到
qe
bh2 s
3l 2
• 梁的塑性极限荷载 qp 可令 x 0 和 ys 0 得到
qp
bh2 s
2l 2
这样 qp / qe 1.5
此时, 梁中截面全部进入塑性状态, 上图的深黄色线表示.相 当于在中截面安置一只铰, 称为塑性铰.塑性铰的出现, 梁变 为几何可动的, 使梁丧失了继续承载的能力.
2b 3
ys3 ,
Sp
b
h2 4
ys2
,
Ip
2b
3
h3 8
ys3
将这些代入弯矩表达式得到
M
sb 1
g E
h2 4
1 3
ys2
g 12E
h3 ys
二、梁的横向弯曲
• 注意两点: 第一,忽略挤压应力和剪应力, 纯弯曲的结果基本
上可以用;第二, M , , ys 在纯弯曲时有些梁只与y轴有关, 而横
三、 压杆的塑性失稳
• 塑性失稳问题的提出. 从压杆弹性失稳的Euler临界荷载公式 可以看出,有效长度越短, 压杆随压曲应力就会增加. 因此, 在短 柱情况下有可能压缩应力超过屈服应力以后才会失稳. 这就是 压杆塑性失稳. 这时的临界荷载要低于按弹性计算的临界荷载.
• 根据弹性力学的分析, 压杆弹性失稳的Euler临界荷载为
P
2
l2
EI
(杆两端铰支);
P
4
l2
2
EI
(杆两端固定)
• 对压杆塑性失稳的计算要点. 当压杆进入塑性用塑性模量代 替Euler临界荷载公式中的弹性模量来计算临界荷载固然可以, 但这是临界荷载的下限. 从失稳过程看, 截面的凸侧部分( A2 ) 压缩应力减少而引起卸载, 要服从弹性规率; 而截面的凹侧部 分( A1 )应力增加是加载过程, 要服从塑性规律, 所以失稳过程 截面即不能用塑性模量, 更不能用弹性模量. 我们需要计算折 减模量.
静矩为
式中
Ek
Et I1
EI2 I
称为折减模量, (b) 或称Engesser-Karman模量
• 我们用这个折减模量来代替Euler临界荷载中的弹性模量就
可以得到压杆塑性失稳的临界荷载.
例题4-4 计算矩形截面 b h 的折减模量.
解: 设加载区和卸载区的高度分别为 h1 和 h2 , 即有 h1 h2 h
• 通过上面分析, 我们应该注意 A1 加载区和 A2 卸载区引起的 附加应力和附加应变的情况. 由于平截面假定,压曲时附加应变
为(注意坐标轴的选取): z x /
这样引起的附加应力为
z
y y
A1 : z xEt /
P
A2 : z xE /
• 根据Engesser和Karman的意见,
截面上的应力分布情况( 是梁的中性面到弹塑性分界面的 距离):
梁截面上要 满足的条件
1. 对于理想弹塑性材料 • 截面上的弯矩是
是弹性区对中性轴的惯性矩, 塑性区对中性轴的静矩.
• 弹性区的高度 , 梁的挠度 和梁的曲率半径 . 可以通过梁的弯矩公式来确定.
可以由梁轴的挠度方程来定,即在
处有
可以由挠度和曲率半径的关系得到,即
向弯曲它们还与x轴有关. 截面应力为
x,
y
s
y
ys x
在 y ys x时 在 y ys x时
另外截面应力还要满足下面条件:
h/2 x, yb ydy 0, h/2 x, yyb ydy M
h/2
h/2
例3 分析均布荷载作用下的矩形截面简支梁, 材料为理想弹塑性.
q
• 应力分布与纯弯曲情况
梁屈服前的曲率半径和弯矩的关系
e M Me
• 残余应力
梁在塑性极限以后全部卸载, 则在梁截面内要发生残
余应力.利用卸载定理, 即卸载时的弯矩改变量按弹性
计算应力的改变量 , 然后卸载时的应力
减去这个改变量得到残余应力 *.即 *
%
%
s
由材料力学公式得到
My Ie
h2b 4
s
y
/
例1 如果梁截面是矩形, 高为 ,宽为 , 弯矩和曲率 半径.
• 根据上面的公式求出截面惯性矩,静矩和弯矩.
• 弹性极限弯矩, 将 ys h / 2 代入上式得到 • 塑性极限弯矩,将 ys 0 代入前式得到
Me
bh2 6
s
Mp
bh2 4
s
所以 M p / M e 1.5 • 曲率半径和弯矩的关系. 弹性极限时的曲率半径令其为
A1 A2 x
压杆在压曲时轴力不变, 所以
l
P zdxdy 0
因此得 S1Et S2E 0 (a)
式分中界线S1(和yS)2的是静面矩积.由A此1 和可以A2确对
uz
P
x0
z
定分界线的位置(即确定 x0 ).
凹侧 凸侧
• 另外, 压曲是杆的弯矩为 M z xdxdy Ek I /
第九章 塑性力学简单实例
§9-1 弹塑性弯曲和扭转问题
一、梁的纯弯曲
• 如图所示等截面梁, 横截面y和z两个对称轴, x是梁 的纵轴, 纯弯曲发生在xoy平面内.
b y
M
h/2
M
x
o
z
h/2
y
y
• 基本关系式 按照梁的初等弯曲理论: 平截面和小变形, 并且材料不 可压缩,即 1/ 2 ,它们的应力和应变表示为
相同,只是ys 随x 变化.
• 截面弯矩为
ys 0
x
ys x
M
bh2 s
4
1
4
3
ys
h
x
2
• 它还要等于外荷载引起的弯矩
• 整理得到 ys 与 x 的变化规律
l/ 3 x
l
yl
M x q l2 x2 2
ys2 A2
x2 B2
1
表明弹塑性区的交界线时双曲线. 如图红线所示. A和B为:
1 12
bh3
3y h
s
则残余应力为 * % s 3 s y / h
s
s
1.5 s
1.5 s
0.5 s
s s
0.5 s
2.线性硬化弹塑性材料
s
tg 1g
o tg 1E
s
ys ys
弹性区
s
塑性区
h/2
o
z
h/2
y 塑性区
梁的线性硬化材料的弹塑性性质和梁截面的应力分布如上 图.那么截面弯矩的表达式为
M
s
1 ys
Ie
1
g E
S
p
g Eys
Ip
其中 Ie
2
ys 0
y2b ydy, S p
2
h/ 2
ys yb y dy, I p
2
h/2 y2b y dy
ys
弹性区对中性 轴的惯性矩.
塑性区对中 性轴下静矩.
塑性区对中性 轴的惯性矩.
例2 如果截面为 b h 的矩形, 则
Ie