地图投影的实质
02第03章 地图投影的基本原理
第三章地图投影的基本原理§1 1 地图投影基本概念地图投影基本概念地图投影基本概念§2 2 地图投影基本理论地图投影基本理论地图投影基本理论§1 地图投影基本概念一、地图投影的概念和实质二、地图投影的研究对象及任务地图投影——在球面与平面之间建立点与点之间对应函数关系的数学方法。
研究地图投影的理论、方法、应用和变换等学问的科学，称地图投影学或数学制图学。
{),(),(21λϕλϕf y f x ==一、地图投影基本方法1．几何透视法——利用透视线的关系，将地球体面上的点投影到投影面上的一种投影方法。
2．数学分析法——在球面与投影面之间建立点与点的函数关系，在平面上确定坐标网的一种投影方法。
实施投影时，①球面上一些经纬线的交点展绘在平面上；②对应连接经线和纬线，构成经纬网，球面上的点，按其经纬度转绘在平面上。
二、地图投影的基本概念地图投影原理证明，在一般情况下，椭球表面上无限小的圆圈投影到平面上为一椭圆，称之为变形椭圆（变形椭圆（ellipse of distortion ellipse of distortion ellipse of distortion））。
即，图形的比例尺不仅取决于点位，而且可能随着该点上方向的不同而变化。
因此，可分为主比例尺和局部比例尺。
主比例尺---等于地球椭球模型的比例尺。
局部比例尺---是作为地图上无限短的线段与椭球面上相应线段之比值。
取地面上一个微分圆，将它投影后变为椭圆（除个别为正圆外，一般皆为椭圆），通过研究其在投影平面上的变化，作为地图投影变形的几何解释，这样的椭圆称为变形椭圆（TissotTissot’’s indicatrix 蒂索指线）。
只要有投影就会产生变形；对某一地图投影来讲，不存在这种变形，就一定存在另一种或两种变形。
人们只有掌握地图投影变形性质和规律，才能有目的地支配和控制地图投影的变形。
§2 地图投影的变形Tissot’’s TheoremTissot一、长度变形二、角度变形三、面积变形四、等变形线M.A. Tissot’s Theorem定律底索法国数学家无论采用何种转换方法，球面上每一点至少有一对正交方向线，在投影平面上仍能保持其正交关系。
专题地图制作一
纬距
常见方位投影的特征
01
02
03
04
心射：急剧扩大
正射：急剧缩小
平射：逐渐扩大
变形规律
01
切点或割点无变形
02
等变形线以投影中心为圆心呈同心圆分布。
03
常见投影的用途
04
正轴等积方位投影——南北两极图
05
横轴等积方位投影——东西半球图
06
斜轴等积方位投影——水陆半球图
07
斜轴等距方位投影——航空图
UTM投影
中国的行政区，横跨东经73度－135度广阔的范围 采用高斯－克吕格投影 6度带：投影带从13带（新疆）-23带（黑龙江）； 3度带：投影带从25带（新疆）-45带（黑龙江）； 采用UTM投影 从北43带（新疆）-北53带（黑龙江）；
PART TWO
地图比例尺
01
02
地图比例尺
数字比例尺
02
4.其他
复式比例尺（投影比例尺）
01
02
特殊比例尺： 变比例尺
变比例尺：当制图的主区分散且间隔的距离比较远时，为了突出主区和节省图面（也可能是为了保密），可将主区以外部分的距离按适当比例相应压缩，而主区仍按原规定的比例表示，如：飞地的城市交通图。
a图按比例表示全图
b图东西两侧有压缩
PART THREE
为了减少远离中央经线部分的变形，美国地理学家古德提出：在整个制图区域几个主要部分中央都设置一条中央经线，分别进行投影，则全图就分成几瓣，每个瓣沿赤道连接起来。故又称分瓣投影。
做法：桑逊投影+摩尔威特投影
05
用途：世界地图
伪圆柱投影之三
伪圆锥投影
在圆锥投影基础上，规定纬线仍为同心圆弧，除中央经线仍为直线外，其余经线则投影成对称于中央经线的曲线。
地图的投影及其变形
地图的投影及其变形
地图表面是个不可展面，当它展开为平面时必然产生破裂或褶皱。
“地图投影”就是要解决球面与平面不可展的矛盾。
地图投影是按照一定的数学法则，将地球椭球面（或球面）上的经纬线转绘到平面上的方法。
它的实质是将地球表面的地理坐标变换为平面坐标，建立两者的函数关系。
然后，根据函数关系式计算的数据，在平面上展绘经纬线网。
在依据经纬线网所提供的地理坐标将地面上的点一一转绘到平面上去，进而画出由点、线、面符号表示的各种地形地物，从而完成地图的编绘。
地图投影是保证地图精确度的重要的数学基础之一。
地图投影的变形可分为长度变形、面积变形、角度变形和形状变形。
没一幅地图都有不同程度的变形。
在同一幅地图上，不同地区的变形情况也不相同。
地图表示的范围越大，变形越大。
因此，大范围的小比例尺地图只能供了解地表现象的分布概况使用，而不能用于精确的量测和计算。
几种常用地图投影。
03第三章地图投影
③其高程值：是埋设于青岛观象山密封井下的永久性的 标志点与验潮站平均海平面之间的高差。
1956年国务院批准建立的黄海高程系的 水准原点距平均海平面的高差为： 72.289m(利用50—56年观测记录)。
四等三角网的边长约4公里，可以保证在1：1万比例尺测图 时，每幅图内有1—2个控制点，每点大约控制20平方公里的 范围。
测量平面控制点的位置，通常采用三角测量的方法。这 种方法的实质是在地面上建立一系列相连接的三角形（ 组成三角锁和三角网，），量取一段精确的距离作为起 算边，在这个边的两端点，采用天文观测方法确定其点 位（经度、纬度和方位角），用精密测角仪器测定各三 角形的角值，根据起算边的边长和点位，就可推算出其 他各点的坐标。这样推算的坐标，称为大地坐标。
此外，在一些局部地区也可以用精密导线测量方法，测 量导线边的边长和夹角，推算各点的大地坐标。
（2）高程控制网：
测量高程控制点的主要方法是水准测量，有时也 用三角高程测量。
水准测量是借助水平视线来测定两点间的高差。 连续的水准测量即可组成作为全国高程控制的水 准网。
根据测量精度的不同，水准测量分为四等，作为 全国测图及工程建设的基本高程控制。
精度要求不高时，可将椭球体处理为正球体，地理坐标 均采用地球表面的球面坐标，经纬度均用地心坐标。
天文经纬度只能在天球上定义，天文经（纬）度与大地 经（纬）度相同时，其轨迹在大地经（纬）线附近呈非 平面曲线摆动。但由于θ角（铅垂线与法线的夹角）很 小，这种摆动的幅度也很小。
地心 地心纬度
大地纬度 天文纬度
2.地球体的物理表面（准规则曲面-假想面）
地图投影基础知识知识讲解
一、地图投影的基本问题 二、常见地图投影 三、地图投影的选择与辨认
一、地图投影的基本问题
1 地图投影的概念
地图投影就是在球面与平面之间建立其 经纬度与直角坐标函数关系的数学方法
2 地图投影的变形 3 地图投影的分类 4 地图投影的命名 5 GIS中地图投影的选择与判别
1 地图投影的概念
• 数学上的投影 面1
高斯—克吕格投影 （Gauss-Kruger Projection）
横轴圆柱投影
x y
高斯-克吕格投影原理图
高斯—克吕格投影 （Gauss-Kruger Projection）
高斯投影特征： 中央经线和赤道投影为互相垂直的直线，且为投影 的对称轴 投影后无角度变形，即保角投影 中央经线无长度变形 同一条经线上，纬度越低，变形越大，赤道处最大 同一条纬线上，离中央经线越远，变形越大； 为了保证地图的精度，采用分带投影方法，即将投 影范围的东西界加以限制，使其变形不超过一定的限 度，这样把许多带结合起来，可成为整个区域的投影 在6°带范围内，长度变形线最大不超过0.14%
长度变形、面积变形、角度变形
地图投影变形的图解示例 （摩尔维特投影－等积伪圆柱投影）
长度变形
角度变形
地图投影变形的图解示例
（UTM－横轴等角割圆柱投影）
面积变形和长度变形
投影变形示意图
地图投影——地图投影的变形
地图投影的变形示意
3 地图投影的分类
按承影面的形状分为：方位投影（平面 投影）、圆锥投影Байду номын сангаас园柱投影
空间斜轴墨卡托(SOM)投影
• 该投影是美国针对陆地卫星对地面扫描 图像的需要设计的一种近似等角性质的 投影。
地图投影的基本原理(1)
地图投影的实质： 建立地球面上点的坐标与地图平面上点的坐标之
间一一对应的函数关系。
地图投影基本概念
2、地图投影基本方法
1）几何透视法 将测图地区按一定比例缩小成一个地形模型，然后将其上的一些特
征点用垂直投影的方法投影到图纸上。 小区域范围可视地表为平面，采用垂直投影方式，可认为投影没有
sin( ') a b sin( ')
ab
显然当（a +a ′）= 90°时，右端取最大值，则最大方向变形：
sin( ') a b
ab
以ω表示角度最大变形： 令
2( ')
sin a b
2 ab
地图投影基本理论
五、地图投影条件
地图投影一般存在长度变形、面积变形和角度变形，一种投影可以同时 存在以上三种变形，但在某种条件下，可以使某一种变形不发生，如投影后 角度不变形，或投影后面积不变形，或使某一特定方向投影后不产生长度变 形。
E、F、G、H称为一阶基本量， 或称高斯系数。
地图投影基本理论
对角线A′C′与x轴之夹角Ψ的 表达式：
sin dy ds
cos dx
tg
dsddmαyxds dsdxysndd
y x
d dLeabharlann x D'x'
dy
C'
（x+dx,y+dy）
dx
ds'
dsm'
Ψ
B'
dsn'
A' （x,y）
O
y
地图投影基本理论
tan tan ' tan b tan (1 b) tan
地图投影的基本理论
第一节 地图投影的基本概念
1 地图投影的概念
在地球椭球面和平面之间建立点与点之间函数关系 的数学方法，称为地图投影
x = f1(j , l )
y = f2(j , l )
地图投影的实质： 是将地球椭球面上的经纬线网按照一定的数学法则 转移到平面上。
第一节 地图投影的基本概念
1 地图投影的概念
第一节 地图投影的基本概念
三、地图比例尺 地图比例尺：图上距离与相应实地距离之比。
第一节 地图投影的基本概念
三、地图比例尺 地图比例尺：图上距离与相应实地距离之比。
第一节 地图投影的基本概念
三、地图比例尺
第一节 地图投影的基本概念
三、地图比例尺
主比例尺 ： 在投影面上没有变形的点或线上的比例尺。 局部比例尺： 在投影面上有变形处的比例尺。
x
y
代入： x2 + y2 = r2，得
x2 y2 r 2 m2 n2
微小圆→变形椭圆
该方程证明: 地球面上的微小 圆，投影后通常会变为椭圆，即变 形椭圆。
第二节 变形椭圆
主方向（底索定律）：无论采用何种转换方法，球
面上每一点至少有一对正交方向线，在投影平面上 仍然保持其正交关系”。在投影后仍保持正交的一 对线的方向称为主方向。取主方向作为微分椭圆的 坐标轴。
面积比和面积变形： 投影平面上微小面积（变形椭圆面积）
dF′与球面上相应的微小面积（微小圆面积）dF 之比。
P 表示面积比 Vp 表示面积变形
P dF dF
= 0 不变
VP
P 1
> <
0 0
变大 变小
第一节 地图投影的基本概念
2.1地图投影的基本概念
事实是：
地球不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤道半 径略长，北极略突出、南极略扁平，近于梨形的椭球体。
（二）地球的物理表面
当海洋静止时，自由水面与该面上各点的重力方向 （铅垂线）成正交，这个面叫水准面。 在众多的水准面中，有一个与静止的平均海水面相重 合，并假想其穿过大陆、岛屿形成一个闭合曲面，这就 是大地水准面。它实际是一个起伏不平的重力等位面— —地球物理表面。它所包围的形体称为大地体。
大地水准面的意义：
1. 地球形体的一级逼近：
对地球形状的很好近似，其面上高出与面下缺少的相当。
2. 起伏波动在制图学中可忽略：
对大地测量和地球物理学有研究价值，但在制图中，均 把地球当作正球体。
3. 重力等位面：
可使用仪器测得海拔高程（某点到大地水准面的高度）
（三）地球的数学表面
在测量和制图中就用旋转椭球体来代替大地球体，这个旋 转椭球体通常称为 地球椭球体，简称 椭球体。
地图投影的基本概念
地图投影的基本概念
本讲主要内容：
一、地球体的基本特征
二、地理坐标
三、问题的提出
四、地图投影的实质
五、地图投影的方法
一、地球体的基本特征
（一）地球的自然表面
浩瀚宇宙之中: 地球是一个表面光滑、蓝色美丽的正球体
机舱窗口俯视大地: 地表是一个有些微起伏、极其复杂的表面
—— 珠穆朗玛峰与太平洋的马里亚纳海沟之间高差近20km
它是一个规则的 数学表面，所以人 们视其为 地球体 的数学表面，也是 对地球形体的二级 逼近，用于测量计 算的基准面。
椭球体 三要素: 长轴 a（赤道半径）、短轴 b（极半径）和椭球的扁率 f a-b 6378137 - 6356752.3 f = —— = ———————— a 6378137
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§3.2 空间数据的地理参照系和控制基础
1、地图投影的实质
不规则的地球表面可以用地球椭球面来替代，地球椭球面是不可展曲面，而地图是一个平面，将地球椭球面上的点映射到平面上来的方法，称为地图投影。
对于较小区域范围，可以视地表为平面，这样就可以认为投影没有变形。
但对于大区域范围，甚至是半球、全球，这种投影方法就不太适合了。
这时，可以考虑另外的投影方法，例如，可以假设地球按比例尺缩小成一个透明的地球仪那样的球体，在其球心、球面或球外安放一个发光点，将地球仪上经纬线(连同控制点及地形、地物图形)投影到球外的一个平面上，即成为地图。
图3-2-3是将地球表面投影在平面上的透视投影示意图。
实际上这种直观的透视投影方法亦有很大的局限性，例如，只能对一局部地区进行投影，且变形有时较大，同时往往不能将全球投影下来，多数情况下不可能用这种几何作图的方法来实现。
科学的投影方法是建立地球椭球面上的经纬
线网与平面上相应的经纬线网相对应的基础上的，其实质就是建立地球椭球面上点的坐标(λ，φ)与平面上对应的坐标(x,y)之间的函数关系，用数学表达式表示为：
这是地图投影的一般方程式。
当给定不同的具体条件时，就可得到不同种类的投影公式。
完。