常用的几种地图投影

在这些公式中略去六次以上各项的 原因，是因为这些值不超过0.005m，这 样在制图上是能满足精度要求的。实用 上将化为弧度，并以秒为单位，得：
xs y
"
N
"2
2
"2
sin cos
"3
N
"4
24
"4
sin cos3 (5 tan 2 9 2 4 4 )
2
1 n ,m r n P 1, tan(45 ) a 4

四、等距离圆锥投影 正轴等距离圆锥投影沿经线保持等 距离，即 m 1 ，根据此条件可推导出 正轴等距离投影的公式。
, c s x s cos , y sin (c s) a b m 1, P n , sin r r 2 ab
式中： 为纬线投影半径，函数 f 取决
于投影的性质(等角、等积或等距离投
影)，它仅随纬度的变化而变化； 是地
球椭球面上两条经线的夹角； 是两条 常数。
经线夹角在平面上的投影； 是小于1的
在正轴圆锥投影中，经纬线投影后正
交，故经纬线方向就是主方向。因此经
纬线长度比(
m, n )也就是极值长度比
二、圆柱投影的分类 圆柱投影可以按变形性质而分为等 角、等面积和任意投影(其中主要是等距 离投影)见图。此外尚有所谓透视圆柱投 影，其特点是建立x坐标的方法不同，从 变形性质上看，也是属于任意投影。见
图5－10
按“圆柱面”与地球不同的相对位臵 可分为正轴、斜轴和横轴投影。又因 “圆柱面”与地球球体相切(于一个大圆) 或相割(于两个小圆)而分为切圆柱或割 圆柱投影。见图5－11，5－12。
三、高斯投影分带 因高斯投影的最大变形在赤道上，并 随经差的增大而增大，故限制了投影的精
度范围就能将变形大小控制在所需要的范
围内，以满足地图所需精度的要求，因此
确定对该投影采取分带单独进行投影。
根据0.138％的长度变形所产生的误 差小于1:2.5万比例尺地形图的绘图误差， 决定我国1:2.5万至1:50万地形图采用6 度分带投影，考虑到1:1万和更大比例尺 地形图对制图精度有更高的要求，需要 进一步限制投影带的精度范围，故采用3 度分带投影。分带后，各带分别投影， 各自建立坐标网。
在切圆柱投影中，赤道上没有变形，自
赤道向两侧随着纬度的增加而增大。
在割圆柱投影中，在两条标准纬线 (±)上没有变形，自标准纬线向内(向赤 道)及向外(向两极)增大。
圆柱投影中经线表象为平行直线，
这种情况与低纬度处经线的近似平行相
一致。因此，圆柱投影一般较适宜于低
纬度沿纬线伸展的地区。
第三节
高斯-克吕格投影
在割圆锥投影上，两条纬线投影后 没有变形，是双标准纬线，两条割线符 合主比例尺，离开这两条标准纬线向外 投影变形逐渐增大，离开这两条标准纬 线向里投影变形逐渐减小，凡是距标准
纬线相等距离的地方，变形数量相等，
因此圆锥投影上等变形线与纬线平行。
③圆锥投影按变形性质分为等角、等积和
等距圆锥投影三种。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
由于1:100万地图采用的等角圆锥投 影是对每幅图单独进行投影，因此同纬 度的相邻图幅在同一个投影带内，所以， 东西相邻图幅拼接无裂隙。但上下相邻 图幅拼接时会有裂隙，裂隙大小随纬度 的增加而减小。见图5－5。相邻带两幅 图以中央经线为准拼接时，裂隙在赤道 附近约为0.6mm，在中纬度地区约为 0.3～0.4mm。
五、圆锥投影变形分析及其应用
从圆锥投影长度比一般公式（5－1） 可以看出，正轴圆锥投影的变形只与纬 度发生关系，而与经差无关，因此同一 条纬线上的变形是相等的，也就是说， 圆锥投影的等变形线与纬线一致。
根据圆锥投影的变形特征可以得出结
论：圆锥投影最适宜于作为中纬度处沿纬 线伸展的制图区域之投影。 圆锥投影在编制各种比例尺地图中均 得到了广泛应用，这是有一系列原因的。
"5
N N N cos "3 cos3 (1 tan 2 2 ) cos5 (5 18 tan 2 tan 4 ) 5 " 6 120 "
高斯－克吕格投影长度比公式为：
1
1 2
"2
cos (1 )
3．基本公式
在制图实践中，广泛采用正轴圆锥投影。
对于斜轴、横轴圆锥投影，由于计算时需经 过坐标换算，且投影后的经纬形状均为复杂 曲线，所以较少应用。因此本文只研究正轴 圆锥投影。
下面研究正轴圆锥投影的一般公式。 圆锥投影中纬线投影后为同心圆圆弧， 经线投影后相交于一点的直线束，且夹 角与经差成正比见图5-3。
对正轴圆锥投影而言，设区域中央 经线投影作为X轴，区域最低纬线与中央 经线交点为原点，则根据定义，正轴圆 锥投影的坐标及变形计算一般公式为：
f ( )； x s cos；y sin d m ；n Md r mn a sin 或 tan(45 ) 2 mn 4 b
这个投影可由下述三个条件确定：
1．中央经线和赤道投影后为互相垂直
的直线，且为投影的对称轴； 2．投影具有等角性质； 3．中央经线投影后保持长度不变。
根据以上三个投影条件可得高斯－
克吕格投影的直角坐标公式：
2 N 4 N xs sin cos sin cos3 (5 tan 2 9 2 4 4 ) 2 24 3 N 3 5 N 5 y N cos cos (1 tan 2 2 ) cos (5 18 tan 2 tan 4 ) 6 120
投影。
K ， U K K x s cos a ，y sin a U U K m n ； 0 rU
根据等角条件代入 m n(a b)，或＝0 （5－1），可得到等角圆锥投影的一般 公式：
1．单标准纬线等角圆锥投影
这种情况下通常制定制图区域内中间 的一条纬线上无长度变形。这条无变形 的纬线称为标准纬线，用 0 表示标准纬 线的纬度，则可确定
sin 0，K N 0 cot 0U 0

式中： 0 为标准纬线的卯酉圈曲率半径。 N
2．双标准纬线等角圆锥投影
这种情况下通常制定制图区域内某两
条纬线 1 , 2 ，要求在这两条纬线上没 有长度变形，即长度比为1，1 , 2 为标 准纬线。由条件n1 可确定投影 常数： lg lg r1 lg r2 lg U 2 lg U 1
三、圆柱投影变形分析及其应用 由研究圆柱投影长度比的公式(指正 轴投影)可知，圆柱投影的变形，象圆锥 投影一样，也是仅随纬度而变化的。在 同纬线上各点的变形相同而与经度无关。 因此，在圆柱投影中，等变形线与纬线
相合，成为平行直线(图5－13)。
圆柱投影中变形变化的特征是以赤道 为对称轴，南北同名纬线上的变形大小相 同。 因标准纬线不同可分成切(切于赤道)圆 柱及割(割于南北同名纬线)圆柱投影。
般都是正轴圆锥投影。
②按标准纬线分为切圆锥投影和割圆锥投影
切圆锥投影，视点在球心，纬线投影
到圆锥面上仍是圆，不同的纬线投影为不同
的圆，这些圆是互相平行的，经线投影为相
交于圆锥顶点的一束直线，如果将圆锥沿一
条母线剪开展为平面，则呈扇形，其顶角小
于360度。
在平面上纬线不再是圆，而是以圆锥 顶点为圆心的同心圆弧，经线成为由圆 锥顶点向外放射的直线束，经线间的夹 角与相应的经差成正比，但比经差小。
构成圆锥投影需确定纬线的半径ρ和经线
间的夹角δ，ρ是纬度的函数用公式表
示为
公式表示为
f ( )
。δ是经差λ的函数。用

，对于不同的圆锥
投影它是不同的。
但对于某一具体的圆锥投影（0 1 ）， 它的值是相同的。当

=1时（圆锥顶
角为180 度），为方位投影； =0 时 （圆锥体的顶角小到0度），为圆柱投影。 方位投影和圆柱投影都可看成是圆锥投 影的特例。
n2 1

K
r1U 1


r2U 2


2．正轴等角圆锥投影的应用 现行百万分一地图投影采用双标准 纬线等角圆锥投影。百万分一地图具有 一定的国际性，在同一时期内各国编制 出版的百万分一地图，采用相同的规格， 即地图投影、分幅编号、图式规范等基 本上一致，可促使该比例尺地图得到较 广泛的国际应用和交往。
2.λ均以偶次方出现，且各项均为正号， 所以在本投影中，除中央经线上长度比为1以 外，其它任何点上长度比均大于1。
3.在同一条纬线上，离中央经线愈远，则 变形愈大，最大值位于投影带的边缘。
4.在同一条经线上，纬度愈低，变形愈大， 最大值位于赤道上。 5.本投影属于等角性质，故没有角度变形， 面积比为长度比的平方。 6.长度比的等变形线平行于中央轴子午线。
(
数值小的为 b 。考虑到 的数值由圆心
a, b
)，
m, n
中数值大的为 a ，
起算，而地球椭球纬度由赤道起算，两
者方向相反，故在m式子前面加上负号。
二、等角圆锥投影
1．基本概念和公式 在等角圆锥投影中，微分圆的表象保 持为圆形，也就是同一点上各方向的长 度比均相等，或者说保持角度没有变形。
本投影亦称为兰勃脱(Lambert)正形圆锥
显然在圆柱面展开成平面以后，纬圈
成了平行直线，经线交角等于0，经线也 是平行直线并且与纬线正交。图5－8为 正轴圆柱投影的经纬线形状图，图5－9 为正轴圆柱投影示意图。
x f ( ), y dx m ,n Md r