(整理)华中科技大学电路理论-第一学期期末试题解答1.

2008―2009学年第一学期电路理论试题及其解答

一、（6分）某有向图在选定一个树后写出的基本回路矩阵为

123110010011110101101001f l l l ??

??=---??

??--??

B

（1） 画出对应的有向图； （2） 支路集{}2

356b b b b 是否构成树？

（3） 上面的基本回路矩阵f B 对应的树由哪些支路构成？ （4） 支路集{}3456b b b b 是否构成回路？

【解】（1）实线为为树支，虚线为连支，有向图如图（a ）所示。

（a ）

（2）因为支路集{}2

356b b b b 包含了有向图的全部节点，本身连通且不含回路，所以支路集

{}2

356b b b b 构成树。

（3）上面的基本回路矩阵f B 对应的树由{}1234b b b b 构成； （4）支路集{}3456b b b b 可以构成回路。 二、（12分）试求图2所示电路中节点①、②、③对地的电压1U 、2U 、3U 以及10V 、5V 电压源

的功率。

Ω①

Ω

图2 （a ）

【解】所用电量的参考方向如图（a ）所示。节点电压方程为

123212311111

110555510

111111

5

1010105U U U U U U U ???++--=- ??????

=?????--+++= ????? 整理得

12321235221010

2410

U U U U U U U --=-??

=??--+=?

解之得

15V U =，210V U =，37.5V U =

由此可求得

31157.555

0.5A 55

U U I ----=

==-

321225107.51010.25 1.25A 510510

U U U U I ----=+=+=--=-

或者 31257.5

1.25A 101010

U U I +=--=-=-

各独立电压源吸收的功率分别为

10V 21012.5W P I ==-, 5V 15 2.5W P I ==-

三、（10分）（1）求图（a ）所示电路a 、b 端口的等效电路；（2）求图（b ）所示电路a 、b 端口的等效阻抗Z 。

5V a

b

a

b

（a ） （b ）

【解】（1）5Ω电阻与5V 电压源的串联为多余元件，所以，原电路等效为

1I

?

12

3I 23Ω

13

U

a

b ?

a

〔方法1〕端口特性方程为

()111122111

1233333

U I I I U I U I U

=?-++=+=++

即

1.53U I =+

a 、

b 端口的等效电路如图所示。

〔方法2〕因为图中CCVS 可等效为2

3

-

Ω的电阻，所以，电路可进一步等效为

a

?

()11

21233

U I U I U =+?+=++

整理得

1.53U I =+

图（a ）所示电路a 、b 端口的等效电路如图所示。 （2）()()2

2

11

22

234334

M Z Z j j Z j ω=+

=++=+Ω（反映阻抗法）

四、（10分）图4所示正弦稳态电路中，已知123I I I ==，150V U =，功率表示数为1.5W k 。求电路参数R 、L X 及C X 。

1I 2

I 3

I U

R

R

1I 2

I 3

I U

R

+

-

0U

图4 （a ）【解】所用电量的参考方向如图（a ）所示。令2L Z R jX =+，3C Z R jX =-

因为两个阻抗端电压相等，且23I I =，所以

23Z Z =，

而2Z =

3Z =，所以

L C X X =

因为

22231111112p L C L L L

R Y Z Z R jX R jX R jX R jX R X =

+=+=+=+-+-+（电路发生并联谐振） 所以，电流1I 与电压0U 同相。显然，电压U 与电流1I 也同相。则电路吸收的平均功率为

()111cos u i P UI UI ??=-=

1150010150

P I A U ===

因为2

2

2

2

12313P I R I R I R I R =++=（123I I I ==），所以

2

153P

R I =

=Ω 因为U 与电流1I 与电压2U 同相，所以，12U RI U =+变为

12U RI U =+

则

21150510100V U U RI =-=-?=

因此

222100

1010

U Z I =

==Ω

L C X X ==

==

五、（12分）图5所示对称三相电路中，已知o

3800V AB U =∠，()134Z j =+Ω，()296Z j =+Ω，

()0.10.17l Z j =+Ω。求各电表的示数。

2

A

C

图5

【解】因为o 3800V AB U =∠，所以o

22030V A U =∠-；将三角形负载用其等效的星形负载代替，

A 相等值电路如图（a ）所示。

+

A

U A

I 1

A I 2

A I Z 23

Z

（a ）

（1）求电流表的示数。

o

o 1122030=4483.1A 34

A A U I Z j ∠-==∠-+

o o

o 2

22203022030=58.1465A 0.10.1732 3.1 2.17

3

A A l U I Z

j j j Z ∠-∠-===∠-+++++

o o 124483.158.1465 5.2943.6824.5752.69A

A A I I I j

j =+=∠-+∠-=-+-

o 29.8696.37100.8972.78A j =-=∠-

因为电流表A1的示数为电路中的线电流，所以电流表A1的示数为100.89A 。

因为2A I 为三角形负载的线电流，三角形负载的相电流为

33.57A P I =

== 而电流表A2的示数为三角形负载的相电流，所以电流表A2的示数为33.57A 。

（2）求电压表的示数。

因为三角形负载的线电流258.14A l A I I ==，所以阻抗l Z 两端电压的有效值为

58.1458.140.19711.45V l l U I Z =?==?=

电压表的示数为阻抗l Z 两端电压的有效值，电压表的示数为11.45V 。

（3）求功率表的示数。

因为o

3800V AB U =∠，所以

o 380120V CA U =∠，o 38060V AC CA U U =-=∠-

()()o o cos 380100.89cos 6072.7837.39kW AC A uAC iA P U I ??=-=??-+=

功率表的示数为37.39kW 。

六、（12分）图6所示稳态电路中，已知1000rad/s ω=时，20.8s U U =；若频率增加一倍时，则

2s U U =。求当(

)()

602000V s u t t t =++时，()2?u t =

()

s u t ()2u t

()s u t ()2u t

图6 （a ）

【解】所用电量的参考方向如图（a ）所示。

(

)()()012602000s s s u t t t U u t u t =++=++

（1） 直流分量060V U =单独作用。电路为直流稳态电路，电感短路，电容断路，所以

200U =

（2） 基波分量(

)1V s u t t =单独作用。由题意知，2000rad/s ω=，2s U U =，说

明L 、C 对

2000rad/s ω=发生并联谐振，即1

20002000L C

=

，则

11

100040001000L C C

=

<

，故对基波1000rad/s ω=，电路呈现感性。因为1000rad/s ω=时，2110.880V s U U ==（ 20.8s U U =），所以1s U 、1R U 和21U 构成电压三角形（如图（b ）所示）。

1

s U U U （b ）

111o

21180sin sin sin 0.853.1100s U U ?---????====

? ?????

因此o o

2110.836.9

8036.9s U U =∠=∠，则

()()o 21100036.9V u t t =+

（3） 二次谐波单独作用。由题意知，2000rad/s ω=，2s U

U =，说明L 、C 对2000rad/s

ω=发生并联谐振，相当于断路，所以

()222000V u t t =

所以

()()(

)(

)o

2202122100036.92000V u t U u t u t t t ??=++=++??

七（12分）图7所示电路开关闭合前处于稳态，已知1R =Ω，16F C =，23F C =，()1010V C u -=，()200C u -=，0t =时，开关闭合。（1）对换路后的电路建立以()2C u t 为变量的微分方程；（2）用三要素法求换路后的电压()2C u t 。

2C u C u

2C u C u

图7 （a ）

【解】换路后的电路如图（a ）所示。由KVL 得

()()210C C Ri u t u t +-=

将上式两边对t 求导得

21

d d d 0d d d C C u u i R

t t t

+-= 因为212

1d d d d C C u u

i C C t t

==-，所以 1222d d d d C C u u

C t C t

=- 因此

2222

2222d d d 0d d d C C C u u u C RC t t C t

++=

代入已知参数可得以()2C u t 为变量的微分方程为

2222d d 3 1.50d d C C u u t t

+= （2）因为

()()22000C C u u +-==，()()110010V C C u u +-== （换路定则）

t →∞时，电路电流0i =，则电阻电压为零，可短路处理，

电路等效为图示电路。

()()12112620

010V 633

C C C u u C C +∞==?=++

电路时间常数为 ()12//122s eq RC R C C τ===?= 所以

()()()()()2

222220200V 033t

t C C C C u t u u u e e t τ--+=∞+-∞=->????

八、（8分）已知图8所示电路中的0N 为线性时不变松弛网络。当()()2V s u t t ε=时，电路的零状

态响应为()(

)()2010.50.5V t

t

u t e e

t ε-=--。（1）求网络函数()()

()

0s U s H s U s =

；（2）若

()()()12V s u t t t εδ=-+????，求零状态响应()0u t 。其中()t ε为单位阶跃函数，()t δ为单位冲激函数。

s u

图8

【解】（1）求网络函数()H s 。因为

()()2

s s U s L u t s

==

???? ()()()()

0010.50.5 1.52

1212s U s L u t s s s s s s +==--=????++++

所以，网络函数为

()()()()()()()

0 1.520.751

12212s U s s s s H s U s s s s s s ++=

=?=

++++ （2）求()0u t 。因为

()()12s

s s U s L u t e s -==+????

则

()()()()()()()

0 1.520.751

1212s s s s U s H s U s e s s s s s -++==

+?++++

0.50.50.50.250.251212s

e s s s s s -??=

++--? ?++++??

所以

()()()()()()121200.50.50.250.251V t t t t u t e e t e e t εε------??=++--??

注：线性时不变松弛网络为线性时不变零状态网络。

九、（8分）正弦稳态双口网络N 如图9所示。已知1N 的传输参数矩阵为

1A B C D ??

=??

??

T 求双口网络N 的传输参数矩阵。

b

图9

【解】将双口网络N 看成如图（a ）所示三个网络的级联。

1

N

**

1:n

2

N

（a ）

双口网络1N 传输参数矩阵（已知）为

1A B C D ??

=??

??

T 由理想变压器方程可得双口网络2N 传输参数矩阵为

2100

n

n ????=????

T 双口网络3N 的端口方程为

12

122

1

U U I U I R

==- 故其传输参数矩阵为

3101

1R

????=????

T 双口网络N 传输参数矩阵为

1231

100110

A Bn Bn A

B n R n

C

D C Dn n Dn R

n R ??+?????????

???=??=??=????

????????+????????

T T T T 十、（10分）在图10（a ）所示电路中，R N 为线性无源电阻性网络。若在11'-端口加电压源s U ，11'-端口电流为1I 。如果22'-端口开路，如图10（b ）所示，其开路电压为20U ，22'-看入的戴维南等效电阻为R 。在22'-端口开路时如果要保持电压源s U 中电流仍为1I ，如图10（c ），则与s U 并联的电阻为多少？

s

U 2

R

s

U

s

U

（a ） （b ） （c ）

【解】〖方法1：特勒根定理〗将图（a ）22'-端口的左侧用其戴维宁等效电路代替，电路如图（d ）

所示。由图（

b ）可知20o

c U U =，eq R R =

oc

U eq

R 2

R

（d ）

由图（b ）得

202oc eq eq U U I R R R R =

=++，220eq R

U U R R

=

+

对图（a ）和图（b ），利用特勒根定理得

102203

?0b s k k k U I U I U I =-++=∑，12203

?0b

s k k

k I U I U U I =-++=∑ 因为

????k k k k k k k k k k U I R I I R I I U I ===

所以

102201220s s U I U I I U I U -+=-+

将20

0I =，220eq R

U U R R =+，202eq U I R R

=+代入上式解之得

()2

20

101eq s

U I I R R U =-

+ 因为

()220

110x eq s

U I I I R R U =-=+

所以

()2

20s s x eq x U U R R R I U ??

==+ ???

〖方法2：定理综合应用〗将2R 用电压为2u 的电压源替代，则根据叠加定理和齐性定理有

102i I u β=+

（注：0I 为电压源s U 单独作用产生的电流，本题不需要确定其数值）

由图（d ）可得20R =（即20u =）时，220/sc I U R =。根据互易定理，电压源2u 单独作用时，网络R N 的输入口电流为

202

122sc s s

U u i I u U RU '=-

=-（负号来自端口1和端口2电压、电流的方向不一致） 所以

20

s

U RU β=-

则

20

102s

U i I u RU =-

（1） 由图（d ）可得图（a ）电路中2R 的端电压为

2

2202

R u U R R =

+

则

()

2202

102s U R I I RU R R =-

+ （2） 对于图（c ）电路，11x

s

U i I R =-，220u U =（x R 只影响流过电压源s U 的电流，对20U 及R 无影响）， 代入式（1）得

2

20

10x s s

U U I I R RU -=-

（3） 式（2）减去式（3）得

220x 2

1

s s U U R U R R =?

+ 所以 ()2

x 220s U R R R U ??

=+ ???

〖方法2：定理综合应用〗将2R 用电流为2i 的电流源替代，则根据叠加定理和齐性定理有

102i I i β=+

（注：0I 为电压源s U 单独作用产生的电流，本题不需要确定其数值）

由题意知，电压源s U 单独作用时，输出口的开路电压为20U 。根据互易定理（第三种形式），电流源2i 单独作用时，网络R N 的输入口电流为

202

1202s s U i i U i U U '=

=

所以

20

s

U U β=

则

20

102s

U i I i U =+

（1）

由图（d ）可得图（a ）电路中2R 的端电压为

20

22

U i R R =

+

则

()

2

202020

10022s s U U U I I I U R R U R R =+?=+

++ （2）

对于图（c ）电路，11x

s

U i I R =-，20i =（x R 只影响流过电压源s U 的电流，对20U 及R 无影响）， 代入式（1）得

10x

s

U I I R -

= （3）

式（2）减去式（3）得

()

2

20

x 2s s U U R U R R =

+ 所以 ()2

x 220s U R R R U ??

=+ ???

【注】（1）无源线性电阻网络是指仅由线性电阻组成的网络，故其为互易网络。

（2）方法2和方法3的差别在于用电压源替代还是电流源替代，以及所用互易定理的形式不同。