Adams柔体建模基本理论(flexible theory about adams )

图 1.1 复杂的变形的模态表示
1.2
子结构模态矩阵的构建
模态表示方法在 Adams 软件中得到了应用，然而对于具有界面约束的子结构，仅仅采用自 由子结构的模态集是不够的。 如对于解除界面约束的子结构 (3) Mu Ku F 若采用(3)的齐次式得到的模态集来表示变形，而忽略边界条件及力 F 的影响，在某些情况 下将大大降低分析精度。 为此，ADAMS 中采用了更为合适的具有高精度的固定界面模态综合法-Craig-Bampton 方法 来构建子结构的模态矩阵。 该方法是把一个系统分为一系列子结构， 将子结构的自由度分成 内部自由度和界面自由度两个集合。 每个子结构先将界面全部固定去求解低阶模态， 而后释 放界面自由度获得约束模态。
得到刚度矩阵
(17)
1 1 0 K k 1 2 1 0 1 1
设 u2 , u3 为界面坐标，将上述刚度矩阵 K 分割为如下形式：
故 kii k , kij k ji k 1 0 , k jj k
T
2 1 1 1

mii m ji
mij ui kii m jj u j k ji
kij ui 0 u f k jj j j
(5)
式中， f j 为界面力，对于非界面坐标上的作用力为 0 。 界面全部固定时，界面位移为 0，即 u j 0 ，由(5)式可得到子结构的自由振动方程为：
(9)
其中 ii 对应于子结构在界面坐标固定时求得的分块主模态矩阵； 0 ji 对应于界面坐标固定 时界面坐标的模态分量， 即零位移。 为 N I 阶，N I J 。 N 则为子结构的主模态集， 在忽略惯性力的作用下，得到静力平衡方程：
kii k ji
kij ui 0 u f k jj j j
A
B
图 1.3 子结构固定界面 1 阶主模态
A
子结构约束模态图
B
图 1.4 子结构固定界面 1 阶主模态
A
B
图 1.5 分别解除一个位移约束后的约束模态
A
B
图 1.6 分别解除一个转角约束后的约束模态
例 2 有一弹簧质量系统，设 u2 , u3 为界面坐标（即 m2 , m3 被固定在地面上不可动） ，弹簧劲 度系数为 k1 k2 k ，滑块质量为 m1 m2 m3 m ，试求出约束模态。

mii ui kii ui 0
(6)
由方程(6)可得系统正则化模态 r ，即有：
r mii r 1
T
(7) (8)
r kii r r2
T
令 ii 1 , 2 ,... ，则有：
ii N ...... 0 ji
(13)
其中 ij 为界面坐标依次产生单位位移引起的内部坐标的静位移，即静模态； c 为
N J 阶， N I J 。
令 来自百度文库N
C ，得到子结构的固定界面模态矩阵。
ij pi p I jj j
且子结构的物理坐标可以用模态坐标表示：
A
B
A
B
图 1.2 不等截面悬臂梁在界面处分成两个子结构
对于图 1.2 所示的不等截面悬臂梁，将其分为 A, B 两个子结构。在不考虑结构阻尼的情况 下，子结构的振动方程为：
mu k u f
(4)
将矢量坐标 u 分为两部分， 界面坐标 u j 和非界面坐标-内部节点坐标 ui ， 下标 i 表示内 部节点坐标编号，下标 j 表示界面坐标编号，方程(4)可写成分块形式：
且
m mkk
I
T mkj mT jk ik mii ij mij
jk kkk k 0 jk
mkj m jj 0kj k jj
m jj m jj T ij mii ij mij m ji ij 12 0 kkk ... 2 0 K k jj k jj k ji ij
从图 7 可看出，一共有两个界面坐标，所以有两种情况。 情况 1，u2 1 ， 另一个界面坐标 u3 0 ，u1 为非界面坐标， 不受约束限制， 由于 u2 1 ， 弹簧 k1 无变形，致使 u1 1 ；而 u3 0 ，所以约束模态
1 1 0
F1 m1 U1 k1
F2
m2 U2 k2
F3 m3 U3
x
图 1.7 弹簧质量系统
解：先求刚度矩阵 可由达朗贝尔原理建立微分方程
m1u1 k1u1 k1u2 F1
m2u2 k1u1 k1 k2 u2 k2u3 F2 m3u3 k2u2 k2u3 F3
2 ( kkk 为 12 到 K 的对角矩阵， K 为保留的子结构主模态个数)
原系统被缩减成(18)式后， m ， k 的自由度远小于 m ， k 。固定界面子结构法的物理意 义可以看成子结构中的任意一点的运动是由主模态决定的相对运动、 刚体位移及界面运动引 起的牵连运动叠加而成。 然而， 不加处理直接在 ADAMS 中应用 Craig-Bampton 方法是有缺陷 的，需要说明以下几点： 1.在 Craig-Bampton 法中， 刚体模态已经包含在约束模态 c 中， 事实上 c 中包含了子结 构的刚体位移， 在小范围刚体运动的结构动力学中可以直接使用， 一般不必特意分离出刚体 模态；然而在多体系统动力学中，结构具有大范围刚体运动，必须分离出 c 中不适应的刚 体模态； 2.1 2.约束模态的动力学意义是体现了高阶主模态的拟静力影响， 是静力缩聚的结果， 虽然 可以对模态截断产生的误差起到一定的补偿作用， 加快收敛， 但没有很好地体现大范围 运动柔性体的动力学特性； 3.在界面自由度较多时， 需要进一步缩减模态集， 但 Craig-Bampton 约束模态不能被舍弃， 因为若舍弃了该约束模态就相当于对系统加上了相应的约束； 鉴于 Craig-Bampton 在多体系统动力学应用中的不足，修正的 Craig-Bampton 方法得以采 用。 考虑无阻尼的自由振动，令式(18)右端为零，得到
1 c
情况 2， u3 1 ，另一界面坐标 u2 0 ，由于 u2 0 ，所以 u1 0 ，这样约束模态
0 0 1
2 c
可以看出，这样求得的 c 和前面利用公式求得的一样。
1.3
修正的 Craig-Bampton 方法
m p k p 0
*
2 * k m p 0
(20)
设其解为 p p sin t ，求解广义特征值问题 (21)
第一章
1.1
变形的模态坐标描述-固定界面模态综合
柔体变形的模态表示
根据模态展开原理，柔性体正交的主振型 1 , 2 , 3 ,..., n 构成了 n 维空间的一组向量基， 对于具有 n 个自由度系统的任何振动形式，都可以表示成这 n 个主振型的线性组合。然而对 于实际结构，自由度数目无限，由于高阶振型对响应的贡献小，故取有限个低阶振型代替， 而将其余的高阶振型舍去，得到：
根据式(13)，得
1 1 ij kii kij k k 1 0 1 0 1 0
且I
1 0 0 1
根据式(13)得
1 0 1 kij ij kii 1 0 c I I jj jj 0 1
ADAMS 多柔体系统动力学基本理论
柔性多体动力学研究物体变形运动和整体刚性运动的耦合，在不考虑变形运动对整体 刚性运动的影响时，有运动弹性动力分析方法-KED 方法；然而对于高速，大变形的机构 来说 KED 方法并不适用。对于运用广泛的 ADAMS 软件来说，它采用的是浮动坐标方 法，即一组坐标描述变形体大范围刚性运动，另一组坐标描述相对于浮动坐标系的变形。 对于物体变形的描述，又采用了固定界面模态综合方法。很多科学工作者用 ADAMS 的柔 体建模功能进行柔体动力学以及刚柔耦合的分析，那么认识 ADAMS 柔体建模的基本理论 就显得很重要。
利用(15)式，将子结构运动方程式(4)变换到模态坐标 p 上，得到
m p k p g
式中
(18)
m m T k k T g f
T
(19)
ui ik u j 0 jk
则
ij pk p I jj j
(16) 阶矩阵；
(15)
u p
为 I J K J
于是， pk 的分量数远远小于 ui 的分量数。 此外，Craig-Bampton 固定界面子结构法在结构动力学分析中精度很高，得到了广泛应用。 以下是两个为加深印象的例子。 例 1：对于图 1.2 所示的不等截面悬臂梁的子结构主模态和约束模态，见下图： 子结构主模态图
(10)
设 c 为约束模态，约束模态同样满足上述静力平衡方程，所以
kii k ji
kij 0 c k jj fj
1
(11)
由(10)式的第一式可以得到：
ui kii
kij u j
(12)
当取 u j I jj 时（即约束模态，数目等于子结构界面自由度的数目，物理意义是在其余约 束固定时，界面坐标依次产生单位位移） ，则
u i qi
i 1
M
(1)
其中 M 是保留的振型个数，即模态数； i 是第 i 个模态， qi 是模态坐标； 用矩阵表示为： (2) u q 其中 是模态矩阵， q 是模态坐标； 对于一般的分析，根据共振原理，需要先估计瞬态载荷的频率大小 f lod ，然后保留频率小 于或等于 f lod 的相应模态。 但不仅要使用频率判断准则， 还要考虑外力对子结构变形的影响。 例：变形的模态表示

ui kii
1
kij I jj kii kij ；
1 1
若令 ij kii kij ，则得到子结构的约束模态集：
1 ij kii kij ...... c ...... I jj I jj
ui ii u j 0 ji
(14)
式 中 pi 对 应 于 主 模 态 的 模 态 坐 标 ， p j 对 应 于 约 束 模 态 的 模 态 坐 标 ， 显 然 有

p u
j j
，即约束模态坐标就是界面的物理坐标。
实际问题中， 为了减少系统自由度，常常对其进行截断近似处理。将(9)式得到的子结构的主 模态集取 K 阶，即去掉高阶主模态，保留前 K 阶低阶主模态。得到与式(14)类似的变换关 系。