计量经济学-案例分析-第四章
第四章 案例分析
一、研究的目的要求
近年来，中国旅游业一直保持高速发展，旅游业作为国民经济新的增长点，在整个社会经济发展中的作用日益显现。
中国的旅游业分为国内旅游和入境旅游两大市场，入境旅游外汇收入年均增长22.6%，与此同时国内旅游也迅速增长。
改革开放20多年来，特别是进入90年代后，中国的国内旅游收入年均增长14.4%，远高于同期GDP 9.76%的增长率。
为了规划中国未来旅游产业的发展，需要定量地分析影响中国旅游市场发展的主要因素。
二、模型设定及其估计
经分析，影响国内旅游市场收入的主要因素，除了国内旅游人数和旅游支出以外，还可能与相关基础设施有关。
为此，考虑的影响因素主要有国内旅游人数2X ，城镇居民人均旅游支出3X ，农村居民人均旅游支出4X ，并以公路里程5X 和铁路里程6X 作为相关基础设
施的代表。
为此设定了如下对数形式的计量经济模型： 23456123456t t t t t t t Y X X X X X u ββββββ=++++++
其中 ：t Y ——第t 年全国旅游收入
2X ——国内旅游人数 （万人）
3X ——城镇居民人均旅游支出 （元） 4X ——农村居民人均旅游支出 （元）
5X ——公路里程（万公里） 6X ——铁路里程（万公里）
为估计模型参数，收集旅游事业发展最快的1994—2003年的统计数据，如表4.2所示：
利用Eviews 软件，输入Y 、X2、X3、X4、X5、X6等数据，采用这些数据对模型进行OLS 回归，结果如表4.3：
表4.3
由此可见，该模型9954.02=R ，9897.02
=R 可决系数很高，F 检验值173.3525,明
显显著。
但是当05.0=α时776
.2)610()(025.02=-=-t k n t α,不仅2X 、6X 系数的t 检
验不显著，而且6X 系数的符号与预期的相反，这表明很可能存在严重的多重共线性。
计算各解释变量的相关系数，选择X2、X3、X4、X5、X6数据，点”view/correlations ”得相关系数矩阵（如表4.4）：
表4.4
由相关系数矩阵可以看出：各解释变量相互之间的相关系数较高，证实确实存在严重多重共线性。
三、消除多重共线性
采用逐步回归的办法，去检验和解决多重共线性问题。
分别作Y 对X2、X3、X4、X5、X6的一元回归，结果如表4.5所示：
表4.5
变量 X2 X3 X4 X5 X6 参数估计值
0.084
9.0523
11.667
34.33
2014.14
按2
R 的大小排序为：X3、X6、X2、X5、X4。
以X3为基础，顺次加入其他变量逐步回归。
首先加入X6回归结果为：
631784.285850632.7639.4109ˆX X Y t ++-=
t=(2.9086) (0.46214) 957152.02
=R
当取05.0=α时，365
.2)310()(025.02
=-=-t k n t
α，X6参数的t 检验不显著，予以剔除，
加入X2回归得
23029761.0194241.6393.3326ˆX X Y t ++-=
t=(4.2839) (2.1512) 973418.02
=R
X2参数的t 检验不显著，予以剔除，加入X5回归得
5390789.10736535.6972.3059ˆX X Y t ++-=
t=(6.6446) (2.6584) 978028.02
=R
X3、X5参数的t 检验显著，保留X5，再加入X4回归得
453221965.362909.13215884.4161.2441ˆX X X Y t +++-=
t=(3.944983) (4.692961) （3.06767）
991445.02=R 987186.02=R F=231.7935 DW=1.952587
当取05.0=α时，447
.2)410()(025.02=-=-t k n t α,X3、X4、X5系数的t 检验都显著，
这是最后消除多重共线性的结果。
这说明，在其他因素不变的情况下，当城镇居民人均旅游支出
3X 和农村居民人均旅游支出
4X 分别增长1元时，国内旅游收入t Y 将分别增长4.21亿元和3.22亿元。
在其他因素不变
的情况下，作为旅游设施的代表，公路里程5X 每增加1万公里时, 国内旅游收入t Y 将增长
13.63亿元。
计量经济学第四章完整课件
130.8
X：人均消费
X1：人均食 品消费
GP：居民消 费价格指数
FP：居民食品 消费价格指数
XC：人均消 费（90年价）
Q：人均食品 消费（90年价）
P0：居民消费 价格缩减指数 （1990=100）
P：居民食品 消费价格缩减 指数 （1990=100
中
1800
国
1600
城
Q
镇
1400
居
1200
1986 799.0 418.9
107.0
107.2
826.6
437.8
96.7
95.7
1987 884.4 472.9
108.8
112.0
899.4
490.3
98.3
96.5
1988 1104.0 567.0
120.7
125.2
1085.5
613.8
101.7
92.4
1989 1211.0 660.0
第四章 非线性回归模型的形式
一、模型的类型与变换 二、非线性回归实例
在实际经济活动中，经济变量的关系是复杂 的，直接表现为线性关系的情况并不多见。
如著名的恩格尔曲线(Engle curves)表现为幂 函数曲线形式、宏观经济学中的菲利普斯曲线 （Pillips cuves）表现为双曲线形式等。
但是，大部分非线性关系又可以通过一些简 单的数学处理，使之化为数学上的线性关系，从 而可以运用线性回归的方法进行计量经济学方面 的处理。
116.3
114.4
1262.5
702.2
95.9
94.0
1990 1278.9 693.8
101.3
计量经济学课程第4章(多元回归分析)
§4.1 多元线性回归模型的两个例子
一、例题1：CD生产函数
Qt AKt 1 Lt 2 et
这是一个非线性函数，但取对数可以转变为一个 对参数线性的模型
ln Qt 0 1 ln Kt 2 ln Lt t
t ~ iid(0, 2 )
注意：“线性”的含义是指方程对参数而言是线 性的
R 2 1 RSS /(N K 1) TSS /(N 1)
调整思想： 对 R2 进行自由度调整。
Page 20
基本统计量TSS、RSS、ESS的自由度：
1.
TSS的自由度为N-1。基于样本容量N，TSS
N i1
(Yi
Y
)2
因为线性约束 Y 1 N
Y N
i1 i
而损失一个自由度。
分布的多个独立统计量平方加总，所得到的新统计量就服从
2 分布。
《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著
Page 23
双侧检验
概 率 密 度
概率1－
0
2 1 / 2
2 /2
图4.3.1
2
（N-K-1）的双侧临界值
双侧检验：统计值如果落入两尾中的任何一个则拒绝原假设
《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著
Page 24
单侧检验
概 率 密 度
概率 概率
0
2 1
2
图4.3.2 （2 N-K-1）的单侧临界值
H0：
2
2，
0
HA :
2
2 0
计量经济学第四章非线性模型
量 经
令Zi X i (i 1,2,3)
济 学
则原模型转换为 Yi b0 b1Z1 b2Z2 b3Z3 i
利用已知的数据，对上面的三元线性回归模型进行估计， 可得到下面的结果
7
Yˆi 14.1767 0.6348Z1 0.0130Z2 0.00009Z3
计
量 或 Yˆi 14.1767 0.6348X 0.0130X 2 0.00009X 3
经
济
t
(13.2837) (-13.1501) (15.8968)
学
R2 0.9984
8
4.1.2 双曲线模型
一般形式：
Yi
b0
b1 Xi
i
计
量 经
转换：
令Zi
1 Xi
济
学
则模型转换为一元线性回归模型
Yi b0 b1Zi i
9
双曲线模型的特点：
随着自变量增大，因变量逐渐接近其渐近线 Yi b0
3
4.1 直接代换法
适用范围：被解释变量和解释变量非线性，被 解释变量与参数线性的非线性模型。
计 量 经 下面介绍在研究现实经济问题中常见的这类非线性模型： 济 多项式模型、双曲线模型和对数模型。 学
4
4.1.1 多项式模型
多项式模型的一般形式： Yi b0 b1X b2 X 2 L bk X k i
19.3
22.6
量
24
经
24.4
济
25.7
学
26
27.4
29.7
35
42
总产量X (万吨) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
绘制总成本和总产量的散 点图，可以看出它们呈现 曲线变化趋势
（整理）计量经济学第四章非线性回归模型的线性化
（整理）计量经济学第四章⾮线性回归模型的线性化第四章⾮线性回归模型的线性化以上介绍了线性回归模型。
但有时候变量之间的关系是⾮线性的。
例如 y t = α 0 + α11βt x + u t y t = α 0 t x e 1α+ u t上述⾮线性回归模型是⽆法⽤最⼩⼆乘法估计参数的。
可采⽤⾮线性⽅法进⾏估计。
估计过程⾮常复杂和困难，在20世纪40年代之前⼏乎不可能实现。
计算机的出现⼤⼤⽅便了⾮线性回归模型的估计。
专⽤软件使这种计算变得⾮常容易。
但本章不是介绍这类模型的估计。
另外还有⼀类⾮线性回归模型。
其形式是⾮线性的，但可以通过适当的变换，转化为线性模型，然后利⽤线性回归模型的估计与检验⽅法进⾏处理。
称此类模型为可线性化的⾮线性模型。
下⾯介绍⼏种典型的可以线性化的⾮线性模型。
4.1 可线性化的模型⑴指数函数模型y t = t t ubx ae + (4.1)b >0 和b <0两种情形的图形分别见图4.1和4.2。
显然x t 和y t 的关系是⾮线性的。
对上式等号两侧同取⾃然对数，得Lny t = Lna + b x t + u t (4.2)令Lny t = y t *, Lna = a *, 则y t * = a * + bx t + u t (4.3) 变量y t * 和x t 已变换成为线性关系。
其中u t 表⽰随机误差项。
010203040501234XY 1图4.1 y t =tt u bx ae+, (b > 0) 图4.2 y t =t+, (b < 0)⑵对数函数模型y t = a + b Ln x t+ u t(4.4)b>0和b<0两种情形的图形分别见图4.3和4.4。
x t和y t的关系是⾮线性的。
令x t* = Lnx t, 则y t = a + b x t* + u t(4.5)变量y t和x t* 已变换成为线性关系。
图4.3 y t = a + b Lnx t + u t , (b > 0) 图4.4 y t = a + b Lnx t + u t , (b < 0)⑶幂函数模型y t= a x t b t u e(4.6) b取不同值的图形分别见图4.5和4.6。
计量经济学 第四章
100%
统计检验
利用统计量对模型参数进行假设 检验，判断参数是否显著。
80%
计量经济学检验
包括模型的异方差性、自相关性 、多重共线性等问题的检验。
模型的修正方法
增加解释变量
如果模型存在遗漏变量，可以通过增加解释变量来 修正模型。
删除解释变量
如果模型中某些解释变量不显著或存在多重共线性 ，可以考虑删除这些变量。
模型表达式
Y = β0 + β1X + ε
最小二乘法
通过最小化残差平方和来估计参数β0和β1
参数解释
β0为截距项，β1为斜率项，ε为随机误差项
模型的检验
包括拟合优度检验、显著性检验等
多元线性回归模型
01
02
03
04
模型表达式
参数解释
最小二乘法
Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βkXk + ε
最小二乘法估计量的性质
线性性
最小二乘法估计量是随机样本的线性组合。
无偏性
最小二乘法估计量的期望值等于总体参数的 真实值。
有效性
在所有无偏估计量中，最小二乘法估计量的 方差最小。
一致性
随着样本量的增加，最小二乘法估计量收敛 于总体参数的真实值。
最小二乘法的计算步骤
构造设计矩阵X和响应向量Y。 计算设计矩阵X的转置矩阵X'。 计算X'X和X'Y。
求解线性方程组X'Xβ=X'Y，得到回归系 数的最小二乘估计β^=(X'X)^(-1)X'Y。
根据β^计算因变量的拟合值Y^=Xβ^。
计算残差e=Y-Y^，以及残差平方和 RSS=e'e。
计量经济学4非线性模型
Yi Z i1 Z iP
ˆ0 ˆ1
ˆP
计量经济学
1、多项式函数
Y 0 1X 2 X 2 3 X 3 P X P u
令：Zi X i，（i 1，2， ，P）
则：Y 0 1Z1 2 Z 2 3Z3 P Z P u
2、双曲函数
1 a b
K dY
;
Y
Y
dL
dM
劳力贡献率: L ；土地贡献率： M
dY
dY
Y
Y
计量经济学
例：给定生产函数Y AK L，其中，Y、K、L分别
为产量、资本、劳力，若 1 ， 3 ，在某期间
4
4
Y、K、L的增长率分别为5%，4%，2%，求技术进步、
资本、劳力在产品增长中的贡献份额。
解：技术进步率 5% 1 4% 3 2% 2.5%
mY ,
1,
mY ,
1,
规模报酬递减 规模报酬不变 规模报酬递增
计量经济学
二、非线性回归模型的处理 （一）变换法 适用于Y与解释变量非线性，但与参数线性的情形。
Y 0 1 f（1 X1，X 2， ，X l） 2 f（2 X1，X 2， ，X l） P f（P X1，X 2， ，X l） u
4
4
技术进步贡献率 2.5% 50%; 5%
资金贡献率 0.25 4% 20% 5%
劳力贡献率 0.75 2% 30% 5%
计量经济学
α、β、γ的求法： ①利用截面数据进行回归； ②利用时间序列数据进行回归； ③利用混合数据进行回归； ④利用类似地区的α、β、γ。
（三）Taylor展开法（略）
计量经济学
第四章 非线性模型
一、问题的提出 多元线性回归模型为：
计量经济学(第四章多重共线性)
06
总结与展望
研究结论总结
多重共线性现象普遍存在于经济数据中，对计量 经济学模型的估计和解释产生了重要影响。
通过使用多种诊断方法，如相关系数矩阵、方差膨 胀因子（VIF）和条件指数（CI），可以有效地识别 多重共线性问题。
在存在多重共线性的情况下，普通最小二乘法 （OLS）估计量虽然仍然是无偏的，但其方差可能 变得很大，导致估计结果不稳定。
主成分分析法的优点
可以消除多重共线性的影响，同 时降低自变量的维度，简化模型。
岭回归法
岭回归法的基本思想
通过在损失函数中加入L2正则化项（即所有自变量的平方和），使得回归系数的估计更加稳定， 从而消除多重共线性的影响。
岭回归法的步骤
首先确定正则化参数λ的值，然后求解包含L2正则化项的损失函数最小化问题，得到岭回归系数的估 计值。
逐步回归法的优点
可以自动选择重要的自变量，同时消除多重共线性的影响。
主成分分析法
主成分分析法的基本思想
通过正交变换将原始自变量转换 为互不相关的主成分，然后选择 少数几个主成分进行回归分析。
主成分分析法的步骤
首先对原始自变量进行标准化处理， 然后计算相关系数矩阵并进行特征值 分解，得到主成分及其对应的特征向 量。最后，选择少数几个主成分作为 新的自变量进行回归分析。
岭回归法的优点
可以有效地处理多重共线性问题，同时避免过拟合现象的发生。此外，岭回归法还可以提供对所 有自变量的系数进行压缩估计的功能，使得模型更加简洁易懂。
05
实证研究与结果分
析
数据来源及预处理
数据来源
本研究采用的数据集来自于公开的统 计数据库，涵盖了多个经济指标和影 响因素的观测值。
数据预处理
计量经济学-第4章
TSS ESS RSS
4
4.1.1 总离差平方和旳分解
已知由一组样本观察值（Xi,Yi），i=1,2…,n 得到如下样本回归直线
Yˆi ˆ0 ˆ1 X i
yi Yi Y (Yi Yˆi ) (Yˆi Y ) ei yˆi
2
即
P(i
t s t s ) P(t 2
i i
si
t ) 1
2
2
i
i
i
2
i
1
21
于是得到:(1-)旳置信度下, i旳置信区间是
(i
t
2
si , i
t
2
si )
在上述收入-消费支出例中，假如给定 =0.01，
查表得：
因为
t (n 2) t0.005 (8) 3.355 2
▪判断成果合理是否，是基于“小概率事件不易 发生”旳原理
➢ 一次抽样中，尽然不能支持原假设，也就是举反 例否决。
13
4.2.2 变量旳明显性检验
ˆ1 ~ N (1,
2
) xi2
t ˆ1 1 ˆ1 1 ~ t(n 2)
ˆ 2 xi2
S ˆ1
14
检验环节：
（1）对总体参数提出假设
H0： 1=0，
18
4.3 参ห้องสมุดไป่ตู้旳置信区间检验法
假设检验能够经过一次抽样旳成果检验总体参数 假设值旳范围（如是否为零），但它并没有指出 在一次抽样中样本参数值究竟离总体参数旳真值 有多“近”。
要判断样本参数旳估计值在多大程度上能够“近 似”地替代总体参数旳真值，往往需要经过构造 一种以样本参数旳估计值为中心旳“区间”，来 考察它以多大旳可能性（概率）包括着真实旳参 数值。这种措施就是参数检验旳置信区间估计。
计量经济学 第四章 多重共线性-
多重共线性产生的经济背景主要有几种情形：
1. 经济变量之间具有共同变化趋势。 2. 模型中包含滞后变量。 3. 利用截面数据建立模型也可能出现多重共线性。 4. 样本数据自身的原因。
11
Econom
etrics 第二节 多重共线性产生的后果
本节基本内容: ● 完全多重共线性产生的后果 ● 不完全多重共线性产生的后果
说明存在完全的多重共线性。
8
不完全的多重共线性 Econom
etrics
实际中，常见的情形是解释变量之间存在不完
全的多重共线性。
对于解释变量 ，使得
，存在不全为0的数
其中， 为随机变量。这表明解释变量 只是一种近似的线性关系。
9
Econom etrics
回归模型中解释变量的关系
可能表现为三种情形：
(1)
，解释变量间毫无线性关系，变量间相
互正交。这时已不需要作多元回归，每个参数 j都可 以通过Y 对 Xj 的一元回归来估计。
(2)
，解释变量间完全共线性。此时模型参
数将无法确定。
(3)
，解释变量间存在一定程度的线性关
系。实际中常遇到的情形。
10
Econom etrics
二、产生多重共线性的背景
18
Econom etrics
二、方差扩大（膨胀）因子法
统计上可以证明，解释变量 的方差可表示为
的参数估计式
其中的
是变量 的方差扩大因子
(Variance Inflation Factor)，即
其中
是多个解释变量辅助回归的可决系数
19
Econom etrics
经验规则
● 方差膨胀因子越大，表明解释变量之间的多重共 性越严重。反过来，方差膨胀因子越接近于1， 多重共线性越弱。
计量经济学第四章 多重共线性
x2i
3 2
x3i
x3i
参数的估计值为：
ˆ2
x32i x2i yi x2i x3i x3i yi
(
x22i )(
x32i ) (
x2i
x 3i
)2
x32i
2
x3i yi x32i 2 2
x32i x32i
x2i x3i x22i
x2i x3i
ˆ1 Y ˆ2 X 2 ˆ3 X 3
ˆ2
x32i x2i yi x2i x3i x3i yi ( x22i )( x32i ) ( x2i x3i )2
ˆ3
x22i x3i yi x2i x3i x2i yi •
(
x22i )(
x32i ) (
x2i
x 3i
)
2
x2i yi x3i yi
x2i x3i x32i
4.2多重共线性的后果
如果X1和X2完全线性相关，则存在非0的λ使得：
1 2 X 2i 3 X 3i 0
则有：
1 2 X 2 3 X 3 0
2 X 2i X 2 3 X3i X3 0
X 2i X3i X 2iYi
X
2 3i
X
3iYi
VAR
COV
(βˆ )
2
(XX)1
2
N X 2i
X 3i
X2i
X
2 2i
X 2i X 3i