能被7、11整除数的特点

用“分节法”研究能被11、7整除的数的特征

教材研究新课程NEW CURRICULUM2012年秋，当我上完西师版教材五年级数学上册第七章“倍数与因数”第二节内容“2，3，5的倍数特征”后，我掩卷沉思：这一章节的内容主要是在整数中研究的，虽有许多实际的功用，但主要的目的是为今后分数方面的计算做准备。

掌握了2，3，5的倍数的特征，对于学习约分、通分、分数的四则混合运算就有了一个强有力的工具。

但通过我多年的教学经验得知，学生在进行约分时最困难的却是难以快速判断分子、分母是否含有因子7或11，甚至于是13，因此影响约分的速度和效果。

要突破这方面的难点，须得弄清7或11的倍数的特征。

7或11的倍数是否有特征呢？如有，又是怎样的特征呢？教材上没有渗透，资料上也没有提及。

但我怎能放弃呢？必须弄明白这方面的真相。

首先，我以11为突破口，于是，在我案头上出现了一大堆的数字：88，99，121，132，187，209，319，627，770，880，858，这些都是11的倍数。

看着这些数字，我内心只有一个想法：规律在哪里？它们的内在存在什么联系？……一连串的问题在我心中萦绕。

个位上的数字有奇、有偶，从个位上寻求规律行不通。

把各位上的数字相加，结果与11也毫无关系。

……看着88，99，770，880这几个比较特殊的数与121，132，187，209，319，627的结构不同，难道是两位数与三位数的特征不同？难道要进行分别研究？有了这个想法，我立马把11的倍数进行了分类整理。

11的倍数是两位数的：11，22，33，44，55，66，77，88，99很有趣：个位上的数字与十位上的数字相同。

11的倍数是三位数的：121，132，143，154，165，176，187，198，209，220，231…308，319…我依次列举了一串，通过仔细观察，这些数似乎可以划分为两种情形。

一类是：121，132，143，154，165，176，187，198，220，231，242，253…一类是：209，308，319…前一类满足一个共同的特征：百位上的数字+个位上的数字-十位上的数字=0后一类满足：百位上的数字+个位上的数字-十位上的数字=11我惊了：这0和11不就是11的倍数吗？在三位数中难道满足百位上的数字+个位上的数字-十位上的数字=0或11的数就是11的倍数吗？我急不可待地验证了许多11的倍数，结果都是这样。

能被7,11,13整除的数的特征的原理

能被7,11,13整除的数的特征的原理能被7, 11, 13整除的数的特征的原理解析引言当我们进行数学运算时，我们可能会遇到一些特殊的数，它们能够被7，11和13整除。

这些特殊的数在数论中有着重要的地位，同时也有着一些有趣的特征。

本文将深入探讨这些数的特点及其原理。

1. 数的整除性质•整除定义：当一个数除以另一个数时，如果能够得到一个整数，那么我们称这个数能够被另一个数整除。

•整除特性：如果一个数能够同时被两个或更多个数整除，那么它也能够被这些数的乘积整除。

2. 7的整除特征•规则1：能被7整除的数，其个位数的十进制表示减去2倍的十位数的十进制表示，结果能够被7整除。

–例如，35是7的倍数，35 - (2 * 3) = 29，29被7整除。

•规则2：能被7整除的数，将其个位数的数字去掉，再用去掉的数字减去2倍的余数，结果能够被7整除。

–例如，56是7的倍数，5 - (2 * 6) = -7，-7被7整除。

3. 11的整除特征•规则1：能被11整除的数，将奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和相减，结果能够被11整除。

–例如，121是11的倍数，(1+1) - 2 = 0，0被11整除。

•规则2：能被11整除的数，将数从右往左数每一位数字依次相加或减，结果能够被11整除。

–例如，363是11的倍数，3 - 6 + 3 = 0，0被11整除。

4. 13的整除特征•规则1：能被13整除的数，将个位数的数字乘以4，再将结果与剩余数字相减，结果能够被13整除。

–例如，13是13的倍数，1 * 4 - 3 = 1，1被13整除。

•规则2：能被13整除的数，将数从右往左数每一位数字依次乘以进制的幂次方，并将结果相加或相减，结果能够被13整除。

–例如，169是13的倍数，1 * 13^2 + 6 * 13^1 - 9 = 0，0被13整除。

5. 组合规则如何判断一个数能否被7、11和13整除呢？我们可以将上述规则进行组合使用。

被7、11、13、17整除数的特征

被7、11、13、17整除数的特征作者 | 刘瑞祥来源 | 说短论长（ID：ShuoDuanLunChang）我在写完“我愿意这样讲被3整除数的特征”一文并把草稿给网友看完之后，对方提议可以讲一讲被7、11等整除数的特征。

这里我就讲一讲，但我不想就事论事地把所有细节都说到，而是根据我的理解，说说重点。

自然，我这里说的都是我个人水平之内能说明白而且认为对于这个主题来说重要的。

小学只讲怎样判断被2、3、5整除，而且好像也没有讲其中的道理。

于是很多人最终也不知道道理，特别是被3整除的问题。

关于这一问题我已经在上文讲过就不再重复，本文重点讲一下被11整除的判断方法。

判断能否整除，其实是数论里“同余”概念的应用。

这里总的思想是用一个比较好判断的数代替原来的不好判断的数，基本的理论依据是：两个数a、b都能被c整除，则a、b的和与差都能被c整除；如果a和b有且只有一个能被c整除，则其和、差都不能被c整除。

当然，如果a、b都不能被c整除，则其和、差是否能被c整除是不确定的。

在研究过程中我们可以先观察若干数据，初步归纳出“猜想”，然后进行证明。

这里提到的“归纳”，是从个别到一般的推理方法。

很多数论问题，包括很多复杂、深入的问题，都是从归纳现象开始研究的。

对推理方法感兴趣的读者可以自己找逻辑入门教材来学习“归纳法”。

这里只说一点：观察和归纳给出了研究方向，但这是不严格的，所以必须要进行证明——能够通过证明的就成为定理，被否定了的猜想无论看上去多么美丽都要放弃，暂时证明不了的就只能成为“悬案”。

下面我们给出判断能否被11整除数的方法，观察和归纳的步骤就略去了，但不代表不重要：方法一：去掉数字的最后一位，用剩下的数减去所去掉的数字，剩余部分如果能被11整除，原来的数就能被11整除，反之则不能。

例如836，用83减去6得到77，易判断77是11的倍数，所以836亦是11的倍数。

证明：以三位数为例，设原来的数为abc，即100a+10b+c，去掉最后一位并减去后得到10a+b-c。

能被7、11整除数的特点

能被11 整除的数的特征把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11 的倍数(包括0)，那么，原来这个数就一定能被11 整除。

例如：判断491678 能不能被11整除。

奇位数字的和9+6+8=23
偶位数位的和4+1+7=12
23-12=11
因此，491678 能被11 整除。

这种方法叫“奇偶位差法”。

除上述方法外，还可以用割减法进行判断。

即：从一个数里减去11的10倍、20倍、30倍……到余下一个100以内的数为止。

如果余数能被11 整除，那么，原来这个数就一定能被11 整除。

又如：判断583 能不能被11 整除。

用583减去11的50倍(583-11 >50=33)余数是33, 33能被11 整除，583 也一定能被11 整除。

能被7 整除的数的特征若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2 倍，如果差是7 的倍数，则原数能被7 整除。

如果差太大或心算不易看出是否7 的倍数，就需要继续上述截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13 - 3^2 =乙所以133是7 的倍数；又例如判断6139是否7 的倍数的过程如下：613-9^2= 595 , 59- 5^2 = 49,所以6139 是7 的倍数，余类推。

能被3、7、11、13、17、19、23整除的数的特征之欧阳学创编

能被3、7、11、13、17、19、23等整除的数的特征能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除.例如:判断491678能不能被11整除.—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11因此,491678能被11整除.这种方法叫"奇偶位差法".除上述方法外,还可以用割减法进行判断.即:从一个数里减去11的10倍,20倍,30倍……到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除,那么,原来这个数就一定能被11整除.又如:判断583能不能被11整除.用583减去11的50倍(583-11×50=33)余数是33, 33能被11整除,583也一定能被11整除.（1）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0. （2）能被2整除的数的特征若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。

（3）能被3整除的数的特征若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。

(4) 能被4整除的数的特征若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。

（5）能被5整除的数的特征若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。

（6）能被6整除的数的特征若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。

（7）能被7整除的数的特征若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

能被7和11整除数的特点

能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么，原来这个数就一定能被11整除。

例如：判断491678能不能被11整除。

—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=1223-12=11因此，491678能被11整除。

这种方法叫“奇偶位差法”。

除上述方法外，还可以用割减法进行判断。

即：从一个数里减去11的10倍、20倍、30倍……到余下一个100以内的数为止。

如果余数能被11整除，那么，原来这个数就一定能被11整除。

又如：判断583能不能被11整除。

用583减去11的50倍（583-11×50=33）余数是33，33能被11整除，583也一定能被11整除。

能被7整除的数的特征若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

数的整除（能被7、9、1、13整除的数的特征）专题训练知识梳理：1、整数a除以整数b(b≠0)，所得的商正好是整数而没有余数，我们就说a 能被b整除(也可以说b能整除a)。

2、如果整数a能被整数b(b≠0)整除，则称a是的倍数，b是a的约数。

3、能被9整除的数，其数字和一定是9的倍数．4、能被11整除的数的特征是这个数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除。

5、一个三位以上的整数能否被7（11或13）整除，只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位以前的数字组成的数的差（以大减小）能否被7（11或13）整除。

能被3、7、11、13、17、19、23整除的数的特征之欧阳主创编

能被3、7、11、13、17、19、23等整除的数的特征能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除.例如:判断491678能不能被11整除.—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11因此,491678能被11整除.这种方法叫"奇偶位差法".除上述方法外,还可以用割减法进行判断.即:从一个数里减去11的10倍,20倍,30倍……到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除,那么,原来这个数就一定能被11整除.又如:判断583能不能被11整除.用583减去11的50倍(583-11×50=33)余数是33, 33能被11整除,583也一定能被11整除.（1）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0. （2）能被2整除的数的特征若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。

（3）能被3整除的数的特征若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。

(4) 能被4整除的数的特征若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。

（5）能被5整除的数的特征若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。

（6）能被6整除的数的特征若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。

（7）能被7整除的数的特征若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

能被3、7、11、13、17、19、23整除的数的特征之欧阳美创编

能被3、7、11、13、17、19、23等整除的数的特征能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除.例如:判断491678能不能被11整除.—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11因此,491678能被11整除.这种方法叫"奇偶位差法".除上述方法外,还可以用割减法进行判断.即:从一个数里减去11的10倍,20倍,30倍……到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除,那么,原来这个数就一定能被11整除.又如:判断583能不能被11整除.用583减去11的50倍(583-11×50=33)余数是33, 33能被11整除,583也一定能被11整除.（1）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）能被2整除的数的特征若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。

（3）能被3整除的数的特征若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。

(4) 能被4整除的数的特征若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。

（5）能被5整除的数的特征若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。

（6）能被6整除的数的特征若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。

（7）能被7整除的数的特征若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

能被3、7、11、13、17、19、23整除的数的特征

能被3、7、11、13、17、19、23等整除的数的特征
能被11整除的数的特征
把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除.
例如:判断491678能不能被11整除.
—→奇位数字的和9+6+8=23
—→偶位数位的和4+1+7=1223-12=11
用.
（7）能被7整除的数的特征
若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相
减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

（8）能被8整除的数的特征
若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。

（9）能被9整除的数的特征
若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。

（10）能被10整除的数的特征
若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。

（11）能被11整除的数的特征
若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。

11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！
1
2
1
2。

能被7 11 13整除的数规律

能被七整除得数规律若一个整数得个位数字截去，再从余下得数中，减去个位数得2倍,如果差就是7得倍数，则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易瞧出就是否7得倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」得过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断13３就是否7得倍数得过程如下:13－3×2＝7，所以1３3就是7得倍数;又例如判断6139就是否7得倍数得过程如下:613—9×2＝5９5 ，59－5×2＝49，所以6139就是７得倍数,余类推。

能被９整除得数得规律规律：能被9整除得数，这个数得所有位上得数字得与一定能被9整除。

能被11整除得数得规律若一个整数得奇位数字之与与偶位数字之与得差能被11整除，则这个数能被11整除.11得倍数检验法：去掉个位数，再从余下得数中，减去个位数,如果差就是１1得倍数，则原数能被１1整除。

如果差太大或心算不易瞧出就是否1１得倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」得过程，直到能清楚判断为止.例如,判断1３２就是否11得倍数得过程如下：13－2=１1，所以1３２就是1１得倍数；又例如判断10901就是否11得倍数得过程如下:１090—1＝1089，108－9＝９9，所以1０90１就是1１得倍数,余类推.被1３整除得数规律相当于1００0除以13余-1,那么1000^２除以13余1（即-１得平方），1０00^3除以13余-1,……所以对一个位数很多得数（比如：51５78 95３270)，从右向左每３位隔开从右向左依次加、减，270—9５3+5７8—５1=—156能被１3整除,则原数能被13整除什么样得数能被7与11与13整除?？？有什么规律就是分开来得三个问题还就是同时被这三个整除？若一个整数得个位数字截去，再从余下得数中,减去个位数得2倍，如果差就是7得倍数，则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易瞧出就是否７得倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」得过程,直到能清楚判断为止。