第四章_图形变换的矩阵方法(已排)
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计算机图形学第4章图形变换
反射变换
总结词
反射变换是将图形关于某一平面进行镜像反射的变换。
详细描述
反射变换可以通过指定一个法向量和反射平面来实现。法向量垂直于反射平面，指向反射方向。在二 维空间中，反射变换可以将图形关于x轴或y轴进行镜像反射；在三维空间中，反射变换可以将图形关 于某一平面进行镜像反射。
03
复合图形变换
组合变换
01
02
03
04
组合变换是指将多个基本图形 变换组合在一起，形成一个复
杂的变换过程。
组合变换可以通过将多个变换 矩阵相乘来实现，最终得到一
个复合变换矩阵。
组合变换可以应用于各种图形 变换场景，如旋转、缩放、平
移、倾斜等。
组合变换需要注意变换的顺序 和矩阵的乘法顺序，不同的顺 序可能导致不同的变换结果。
矩阵变换
矩阵变换是指通过矩阵运算对图形进 行变换的方法。
常见的矩阵变换包括平移矩阵、旋转 矩阵、缩放矩阵和倾斜矩阵等。
矩阵变换可以通过将变换矩阵与图形 顶点坐标相乘来实现，得到变换后的 新坐标。
矩阵变换具有数学表达式的简洁性和 可操作性，是计算机图形学中常用的 图形变换方法之一。
仿射变换
仿射变换是指保持图形中点与 点之间的线性关系不变的变换。
05
应用实例
游戏中的图形变换
角色动画
通过图形变换技术，游戏中的角 色可以完成各种复杂的动作，如
跑、跳、攻击等。
场景变换
游戏中的场景可以通过图形变换 技术实现动态的缩放、旋转和平 移，为玩家提供更加丰富的视觉
体验。
特效制作
图形变换技术还可以用于制作游 戏中的特效，如爆炸、火焰、水
流等，提升游戏的视觉效果。
THANKS
计算机图形学 第4章 图形变换
=
s x1 s x 2 0 0
0 s y1 s y 2 0
0 0 1
(3) 复合旋转。
cos 1 sin 1 0 cos 2 sin 2 Tr Tr1 ·r 2 sin 1 cos 1 0 sin 2 cos 2 T 0 0 1 0 0 cos(1 2 ) sin(1 2 ) 0 sin(1 2 ) cos(1 2 ) 0 0 0 1
4．对称变换 设图形上的点P(x, y)在x轴和y轴方向分别作变换，结 果生成新的点坐标P‘(x’, y‘)，则
x ax by y dx ey
用齐次坐标和矩阵形式可表示为
a d 0 x y 1 x y 1 b e 0 [ax by dx ey 1] 0 0 1 a d 0
y dx y
用齐次坐标和矩阵表示为
1 d 0 [x' y' 1] = [x y 1]· =[x +by dx +y 1] b 1 0 0 0 1
错切变换矩阵为 K2 =
1 d 0 b 1 0 0 0 1
错切变换如图4-7所示。
图4-2 窗口与视图变换
4.2 图形的几何变换
图形变换一般是指对图形的几何信息经过几何变 换后产生新的图形。图形变换既可以看做是坐标系不 动而图形变动，变动后的图形在坐标系中的坐标值发 生变化；也可以看做图形不动而坐标系变动，变动后 该图形在新的坐标系下具有新的坐标值，本节所讨论 的几何变换属于前一种。 对于图形采用齐次坐标表示，可以方便地用变换 矩阵实现对图形的变换。假设二维图形变换前的一点 坐标为[x y 1]，变换后为[x' y' 1]；三维图形变换前的 一点坐标为[x y z 1]，变换后为[x' y' z' 1]。
计算机图形学第4章图形变换(2)课件
图形绕空间任意轴旋转的总变换矩阵是 H = T·Rx·Ry·Rz·Ry-1·Rx-1·T -1
4.3.5 三维对称变换
三维对称变换可以是关于给定对称轴的或者 是关于给定对称平面的变换。三维对称矩阵的建 立类似于二维的。关于给定对称轴的对称变换等 价于绕此轴旋转180°，可以直接使用已讨论过 的相对于轴线的旋转变换公式。关于给定对称平 面的对称变换其最简单的是对称于坐标平面的变 换。当对称平面是坐标平面时（x-y,或x-z,y-z）， 可以将此变换看成是左手系和右手系之间的转换。
符合下面形式：
x'=axxx+axyy+bx y'=ayxx+ayyy+by
变换的坐标x'和y'都是原始坐标x和y的线性函数。 参数aij和bk是由变换类型确定的常数。仿射变换 具有平行线转换成平行线和有限点映射到有限点 的一般特性。
平移、比例、旋转、对称和错切变换是二维仿 射变换的特例，任何常用的二维仿射变换总可表 示为这五种变换的组合。
三维变换的处理过程是什么？
（1）取景变换和规范化视见体变换； （2）三维剪取； （3）投影变换； （4）二维观察变换。
为使剪取处理简单和规范化（即单位化），需要 利用坐标变换将视见体规范化。视见体为世界空 间中将被裁剪出来并投影到视图平面的那一部分 定出边界。 二、三维剪取,其作用是仅保留在视见体内的物体 部分并对它生产图形显示。
三、投影变换将,视见体内的三维物体描述变换成 投影平面上的二维图形描述。
四、二维观察变换将投影平面上矩形窗内的图形 变换到显示器（或规范化）坐标中的视口内。
同样，在使用中用户也要求能控制显示图形 在显示屏上的位置和大小，我们把在显示器坐标 系中规定的显示图形区域称为视口。
计算机数学-图形变换的矩阵方法
其:b～错切系数。 bx～沿y方向地错切量（y坐
标沿y方向地移动量）。
bx>零,沿＋y方向错切（移动）; bx<零,沿－y方向错切（移动）; b=零即bx=零,不错切（恒等变换）。
AD′
C
A
B
C′
B′
变换特点: ①变换后点地x坐标不变,y
坐标移了bx;
②行于y轴地直线变换后仍 行于y轴;
③行于x轴地直线变换后,x= 零地点不动(不动点),x≠零地点沿 y方向移了bx,形成与x轴夹角为θ 地直线,且 tgθ＝bx / x＝b。
如,(二,三)地齐次坐标为(二,三,一),(四,六, 二),(-二,-三,-一),(一零,一五,五),…...,一个点地齐次 坐标不是唯一地.
三.五.二 普通坐标与齐次坐标互相转换
◆ 把面一点普通坐标(x,y)转换成齐次坐标: x,y乘以同一个非零数h,加上第三个分量h,即(hx,hy,h).
(x,y) 普通坐标
不同地语义,在同一环境也可以有不同地解读,最常见地包括: Ø （一）表示一个线变换; Ø （二）表示列向量或行向量地集合（多个对象）; Ø （三）表示子矩阵地集合。矩阵作为一个整体对应地是线变换语义。比
如要实现图形旋转,数学上地作法就是用旋转变换矩阵按矩阵乘法规则乘
以图形矩阵,就能实现所要图形旋转效果了。
移变换矩阵增加一行,扩充为三阶方阵,
输出点地坐标就是三维向量,这样输入坐标与输出坐 标形式相同。
采用齐次坐标描述点,就能使得移,缩放,对称,旋转与错切变换矩阵 统一成。
形如称为二D直角坐标系地齐次变换矩阵。其左上角 地二阶方阵在变换功能上对图形行放缩,旋转,对 称,错切,左下角矩阵对图形行投影,右上角矩阵对 图形行移,右下角地对图形整体行伸缩变换。
计算机数学-图形变换的矩阵方法
3.2 图形变换与矩阵乘法
变换
Ø
人是三维空间里的对象，人可以在三维空间里运动，移动位置就
是对象的运动。所以，程序员眼中的“空间”是一个容纳运动的对象 集合，即构成“空间”的要素为对象、对象的运动。空间对象的运动 称为变换，变换规定了对应空间的运动。数学上是如何表示空间对象 和空间变换呢？
Ø 在线性代数中，用向量表示一个对象，矩阵表示什么呢？矩阵在不同的 环境中有不同的语义，在同一环境中也可以有不同的解读，最常见的包 括：
若有Pa=b，我们就说P将向量a变换到向量b。从这个角 度看，“变换”和“乘法”是等价的，进行坐标变换等价于 执行相应的矩阵乘法运算，图形变换可以通过对表示图 形的坐标矩阵进行乘法运算来实现。
可见，向量和矩阵的运算是计算机图形处理技术的数学基础。
3.3图形基本变换
3.3.1 平移变换
3.3.2 以坐标原点为基准点的缩放变换
我们分析了“变换”与“乘法”是等价的。利用向量、矩阵做图形变换的 工具，通过向量乘以变换矩阵来实现坐标变换，接下来，关键问题就是构 造图形变换矩阵了。
3.4.2 基本图形变换矩阵
图形变换
缩放变换 旋转变换
变换矩阵
翻 折 变 换
错 切 变 换
变换方程的矩阵形式
课堂练习 3.4 1、点的坐标为行向量和列向量不同形式时，变换矩阵相同吗？与方程 组中系数矩阵有什么关系？表一中，若点的坐标为行向量形式，写出 各种变换的矩阵方程。 2、用矩阵方法计算下列图形变换 （1）将点（2,1）的横坐标伸长到原来的3倍
标沿x方向的移动量）。
cy>0，沿＋x方向错切（移动）； cy<0，沿－x方向错切（移动）； c=0即cy=0，不错切（恒等变换）。
矩阵在图像处理中的变换
图像处理是现代生活中不可或缺的一部分，而矩阵作为数学中重要的工具之一，在图像处理中起到了关键的作用。
矩阵在图像处理中的变换涵盖了许多领域，包括图像平移、缩放、旋转等。
首先，矩阵在图像处理中的一个重要变换是图像平移。
平移是将图像沿着 x 和 y 轴方向移动一定的距离。
假设我们有一个矩阵 A 表示原始图像，我们可以通过矩阵平移变换将其平移到目标位置。
矩阵平移变换可以表示为：T = | 1 0 tx || 0 1 ty |其中，tx 和 ty 表示在 x 和 y 方向上的平移距离。
通过将矩阵 A 与矩阵 T 相乘，我们可以得到平移后的新图像。
这种平移变换对于图像处理任务中的目标定位和目标跟踪非常有用。
其次，矩阵在图像处理中的另一个重要变换是图像缩放。
缩放是改变图像大小的操作，可以使图像变得更大或更小。
缩放变换可以表示为：S = | sx 0 || 0 sy |其中，sx 和 sy 分别表示在 x 和 y 方向上的缩放因子。
通过将矩阵 A 与矩阵 S 相乘，我们可以得到缩放后的新图像。
图像缩放在图像处理中常用于放大图像以突出细节或缩小图像以满足特定需求。
此外，矩阵在图像处理中的另一个重要变换是图像旋转。
旋转是将图像按照一定的角度旋转。
旋转变换可以表示为：R = | cosθ -sinθ || sinθ cosθ |其中，θ 表示旋转角度。
通过将矩阵 A 与矩阵 R 相乘，我们可以得到旋转后的新图像。
图像旋转在图像处理中常用于纠正图像中的倾斜或改变视角。
除了上述变换，矩阵还可以用于进行更复杂的图像处理操作，如图像增强、图像滤波和图像压缩等。
图像增强通过调整图像的亮度、对比度和色彩等参数来改善图像的质量。
图像滤波是通过应用不同的滤波器来平滑图像、强调或抑制特定频率的图像内容。
图像压缩是将图像转化为更小的表示形式，以减少存储空间和传输带宽需求。
总之，矩阵在图像处理中的变换起到了至关重要的作用。
通过矩阵的平移、缩放、旋转等变换，我们可以改变图像的位置、大小和角度。
图形变换的矩阵方法
例：设矩形ABCD相应旳矩阵为
A B C
0 2 2
0
0
1.5
设θ=30°
D 0 1.5
D′ D
C′ C
B′
A′A
B
T
cos 30 sin 30
sin 30 cos 30
0.866 0.5 0.5 0.866
旋转变换后旳矩阵为
0
1.732
0.982
0 A
1
B
2.299 C
0.75 1.299 D
3
3
B
二、图形变换
3 1 C
是指对图形进行平移、旋转、缩放、投影（透视）等 变换。
图形变换旳实质是变化图形旳各个顶点旳坐标。
4
所以，图形变换能够经过对表达图形坐标旳矩阵进 行运算来实现，称为矩阵变换法。
矩阵变换法旳一般形式：
原来的
图形顶点 坐标矩阵
变换 ·矩阵
=
变换后的 图形顶点 坐标矩阵
x1 y1
x2
xn
y2
a ·c
yn
n2
b
d
=
22
x2
xn
y2
yn
n2
6
设二维平面旳一种点坐标为[x y]，对其进行矩阵变换：
x
y
a c
b
d
ax
cy
bx dy
变换后该点旳坐标为：
x y
ax bx
cy dy
经过对变换矩阵 T 中各元素旳不同取值，能够实现多 种不同旳二维基本变换。
1
xm2
xmn
该向量集合实际上就是一种矩阵。
假如这些点代表一种空间图形旳顶点，也就是说， 我们能够用矩阵来描述（表达）空间中旳图形。x1 y1 对源自二维空间，用x2y2
图形变换的矩阵方法
一、空间图形的矩阵表示 若用一个行向量[ x1 x2 … xn ]表示n维空间中一个点 坐标，那么n维空间中m个点坐标就可以表示为一个向量 集合：
§1 概述
1
x11 x 21 xm1
x12 x 22
xm 2
x1 n x2n x mn
该向量集合实际上就是一个矩阵。 如果这些点代表一个空间图形的顶点，也就是说， 我们可以用矩阵来描述（表示）空间中的图形。
x1 x 2 对于二维空间，用 xn
y1 y2 yn
2
B (3,3)
A (1,1)
C(3,1)
表示图形( 其中xi yi是顶点坐标）。
二、图形变换 是指对图形进行平移、旋转、缩放、投影（透视）等 变换。 图形变换的实质是改变图形的各个顶点的坐标。
1 1 A 3 3 例：如图所示的△ABC，用矩阵表示为 B 3 1 C
因此，图形变换可以通过对表示图形坐标的矩阵进 行运算来实现，称为矩阵变换法。 矩阵变换法的一般形式：
x ax a 0 y ax by 即 y dy 0 d
11 ㈡对称变换 包括三类：对坐标轴的对称变换，对直线的对称变换， 对坐标原点的对称变换。 ⒈对坐标轴的对称变换 A C ⑴对x轴的对称变换
㈠比例变换（缩放变换）
6
x
其中，a为x方向的缩放因子，d为y方向的缩放因子。 根据a、d取值的不同，分为几种情况： ⒈当a=d，图形沿x方向和y方向等比例缩放 ⑴当a=d>1，图形沿x、y方向等比例放大 例：设△ABC对应的矩阵为
A 0 0 B 1 2 C 2 1
C′
C
§1 概述
1
x11 x 21 xm1
x12 x 22
xm 2
x1 n x2n x mn
该向量集合实际上就是一个矩阵。 如果这些点代表一个空间图形的顶点，也就是说， 我们可以用矩阵来描述（表示）空间中的图形。
x1 x 2 对于二维空间，用 xn
y1 y2 yn
2
B (3,3)
A (1,1)
C(3,1)
表示图形( 其中xi yi是顶点坐标）。
二、图形变换 是指对图形进行平移、旋转、缩放、投影（透视）等 变换。 图形变换的实质是改变图形的各个顶点的坐标。
1 1 A 3 3 例：如图所示的△ABC，用矩阵表示为 B 3 1 C
因此，图形变换可以通过对表示图形坐标的矩阵进 行运算来实现，称为矩阵变换法。 矩阵变换法的一般形式：
x ax a 0 y ax by 即 y dy 0 d
11 ㈡对称变换 包括三类：对坐标轴的对称变换，对直线的对称变换， 对坐标原点的对称变换。 ⒈对坐标轴的对称变换 A C ⑴对x轴的对称变换
㈠比例变换（缩放变换）
6
x
其中，a为x方向的缩放因子，d为y方向的缩放因子。 根据a、d取值的不同，分为几种情况： ⒈当a=d，图形沿x方向和y方向等比例缩放 ⑴当a=d>1，图形沿x、y方向等比例放大 例：设△ABC对应的矩阵为
A 0 0 B 1 2 C 2 1
C′
C
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第4章 图形变换的矩阵方法
要求：
1.掌握各种图形变换的变换矩阵。 2.掌握图形变换矩阵的一般形式。 3.掌握齐次坐标表示法。
一般来说，图形从输入到输出贯串着各种变换。被描述的对象 所处的环境和显示屏幕的环境是很不同的，不仅位置不同，大多数 情况下，尺寸也很不相同。这就要求协调二者的关系。此外，三维 的图形要在二维的图纸或屏幕上表示出来要通过投影变换。为了从 不同的方向去观察对象，要求能对对象作旋转变换，放大缩小和平 移变换更是经常要用的。绘图过程中还要用窗口来规定要显示的内 容，用视区来规定在屏幕上或图纸上显示的位置。本章学习实现上 述功能的算法。 计算机产生图形的过程大致可分为三步：
x (x,-y)
(x,y) O
x
y (x,y)
(x',y')
O
x
(x',y')
y=-x
5
1.关于x轴的对称变换 x'
2.关于y轴的对称变换 x'
y' x
y10
0 1
x
y
y' x y
101
0 1
x
y
3.关于45度平分线的对称变换
x'
y' x
y10
1 0
y
x
4.关于-45度平分线的对称变换 x'
y' x
y01
1
0
y
x
5.关于坐标原点的对称变换 x'
y' x
y01
0 1
x
y
6
4.1.3 错切变换
（1）沿X轴方向错切 （2）沿Y轴方向错切
(x,y) (x',y')
(x,y) (x',y')
1.沿X轴方向的错切变换
x' y' x
沿x轴方向的错切变换 沿y轴方向的错切变换
y 1c
cy
y
(1)变换过程中,点的x坐标保持不变,而y坐标值发生线性变化;
(2)平行于Y轴的线段变换后仍平行于Y轴;
(3)平行于X轴的线段变换后错切成与X轴成角的直线段
(4)Y轴上的点在变换过程中保持不变,其余点在变换后都平 移了一段距离。
8
4.1.4 绕坐标原点的旋转变换
x' OP cos( )
OP(cos cos sin sin )
2
4.1 二维图形变换
1.二维平面上点的表示法 2. 图形变换的矩阵表示
一对坐标(x,y) 一个向量[x y]
改变顶点坐标, 也就是对向量的变换,向量运算必须用矩阵运算来实现。
设: 点P(x,y)
x ' ax cy
点P ’(x’, y’) 其数学表达方法
y' bx dy;
矩阵表达方法
变换矩阵
x=X/H y=Y/H z=Z/H
能将上述的所有变换统一用一个矩阵描述
11
4.1.7 二维图形变换矩阵的一般形式
比例、反射、旋转、错切 投影变换
二维图形变换矩阵的通式T:
a b p
T
c
d
q
m n s
平移
a b p
x'
y'
H ] [x
y
1] c
d
q
m n s
H px qy s y' bx dy n
图形输入
图形处理
图形输出
计算机对图形数据进行处理，就是图形处理。
图形变换 --- 就是要变换图形的几何关系(即改变顶点坐标),
同时保持图形的原拓扑关系不变.
1
线框图的变换——通常以点变换为基础，把图形的顶点作一系列 的几何变换后，连接新的顶点系列即可产生新的图形。
用参数方程描述的图形的变换——通过参数方程作几何变换实现。 我们在这只讨论图形拓扑关系不变的几何变换。重点讨论线框图
如：空间点[x y z] 用 [X Y Z H]表示
H可以任意选取, 齐次坐标与普通坐标之间是一一对应关系。
如二维平面上的一点[3,4],
用齐次坐标表示为[3,4,1]
[6,8,2]
[1.5,2,0.5]
通常将H=1的齐次坐标称为 正常化齐次坐标
怎样由齐次坐标求正常化齐次坐标? 齐次坐标表示点，可以防止溢出
的变换。
几何变换 又称坐标变换:它是将点集的坐标变换达到改变位
图形变换
置、形状
投影变换
几何变换 投影变换
基本变换 变位变换 ：旋转、 镜像、 周分布、 阵列、 变形变换 ：比例、 错切
组合变换 ：上述变换的连续实施
正投影变换 中心变换 斜投影变换
：三面正投影图、轴测图 ：透视图 ：斜轴测图
由于显示器和绘 图机只能用二维空间 来表示图形，要显示 三维图形就要用投影 方式来降低其维数。
总体比例变换
齐次化坐标
x' ax cy m px qy s
y' bx dy n
px qy s
12
4.1.8 二维组合变换
x cos y sin
y' OP sin( )
OP(sin cos cos sin )
x sin y cos
其矩阵表示法：
x' y' [x
y]
cos sin
sin
cos
x cos y sin xsin y cos
9
4.1.5 平移变换
变换过程为：
x’=x＋l y’=y+m
变换矩阵为
1
l
m
x
1
y
1 0
如变换矩阵改为： 0
1
则点的坐标（x,y)
l m
y (x',y')
(x,y)
O
x
（x,y,1)
P’=P*T= x y
1 0
1 0
1
=
x l
l m
ym
1
10
4.1.6 齐次坐标与变换通式
它是用一个n+1维向量表示一个n维向量的方法 如：二维点[x y] 用 [X Y H]表示
0 1
x
cy
y
(1)变换过程中,点的y坐标保持不变,而x坐标值发生线性变化;
(2)平行于X轴的线段变换后仍平行于X轴;
(3)平行于Y轴的线段变换后错切成与Y轴成角的直线段
(4)X轴上的点在变换过程中保持不变,其余点在变换后都平移了一段距离。
7
2. 沿Y轴方向的错切变换
x'
y' xSx Sy，图形产生了畸形图形沿两个坐标轴方向作非均匀 比例变换。
Sx 0
x ' y '
x y
0
Sy
图形变化：原有图形放大或缩小的变换
Sx ＝1, Sy>1
参数值：主对角线上元素至少有一个不为1，次对角线上元素全为0。 4
4.1.2 对称变换
y
y
y=x
(-x,y)
(x,y)
O (-x,-y)
变换后的位置矢量矩阵
x'
y' x
y
a c
b
d
ax
cy
bx dy
位置矢量矩阵
3
4.1.1 比例变换
y
就是将图形放大或缩小的变换方法。
变换式为：
x’=Sx* x y’=Sy* y
(x',y')
(x,y)
O
x
讨论：1. Sx ＝Sy＝1，点的位置、图形形状不变，又称恒等变换 2. Sx ＝Sy>1，点的位置变了、图形放大了Sy倍。 3. Sx ＝Sy<1，点的位置变了、图形缩小了Sy倍。
要求：
1.掌握各种图形变换的变换矩阵。 2.掌握图形变换矩阵的一般形式。 3.掌握齐次坐标表示法。
一般来说，图形从输入到输出贯串着各种变换。被描述的对象 所处的环境和显示屏幕的环境是很不同的，不仅位置不同，大多数 情况下，尺寸也很不相同。这就要求协调二者的关系。此外，三维 的图形要在二维的图纸或屏幕上表示出来要通过投影变换。为了从 不同的方向去观察对象，要求能对对象作旋转变换，放大缩小和平 移变换更是经常要用的。绘图过程中还要用窗口来规定要显示的内 容，用视区来规定在屏幕上或图纸上显示的位置。本章学习实现上 述功能的算法。 计算机产生图形的过程大致可分为三步：
x (x,-y)
(x,y) O
x
y (x,y)
(x',y')
O
x
(x',y')
y=-x
5
1.关于x轴的对称变换 x'
2.关于y轴的对称变换 x'
y' x
y10
0 1
x
y
y' x y
101
0 1
x
y
3.关于45度平分线的对称变换
x'
y' x
y10
1 0
y
x
4.关于-45度平分线的对称变换 x'
y' x
y01
1
0
y
x
5.关于坐标原点的对称变换 x'
y' x
y01
0 1
x
y
6
4.1.3 错切变换
（1）沿X轴方向错切 （2）沿Y轴方向错切
(x,y) (x',y')
(x,y) (x',y')
1.沿X轴方向的错切变换
x' y' x
沿x轴方向的错切变换 沿y轴方向的错切变换
y 1c
cy
y
(1)变换过程中,点的x坐标保持不变,而y坐标值发生线性变化;
(2)平行于Y轴的线段变换后仍平行于Y轴;
(3)平行于X轴的线段变换后错切成与X轴成角的直线段
(4)Y轴上的点在变换过程中保持不变,其余点在变换后都平 移了一段距离。
8
4.1.4 绕坐标原点的旋转变换
x' OP cos( )
OP(cos cos sin sin )
2
4.1 二维图形变换
1.二维平面上点的表示法 2. 图形变换的矩阵表示
一对坐标(x,y) 一个向量[x y]
改变顶点坐标, 也就是对向量的变换,向量运算必须用矩阵运算来实现。
设: 点P(x,y)
x ' ax cy
点P ’(x’, y’) 其数学表达方法
y' bx dy;
矩阵表达方法
变换矩阵
x=X/H y=Y/H z=Z/H
能将上述的所有变换统一用一个矩阵描述
11
4.1.7 二维图形变换矩阵的一般形式
比例、反射、旋转、错切 投影变换
二维图形变换矩阵的通式T:
a b p
T
c
d
q
m n s
平移
a b p
x'
y'
H ] [x
y
1] c
d
q
m n s
H px qy s y' bx dy n
图形输入
图形处理
图形输出
计算机对图形数据进行处理，就是图形处理。
图形变换 --- 就是要变换图形的几何关系(即改变顶点坐标),
同时保持图形的原拓扑关系不变.
1
线框图的变换——通常以点变换为基础，把图形的顶点作一系列 的几何变换后，连接新的顶点系列即可产生新的图形。
用参数方程描述的图形的变换——通过参数方程作几何变换实现。 我们在这只讨论图形拓扑关系不变的几何变换。重点讨论线框图
如：空间点[x y z] 用 [X Y Z H]表示
H可以任意选取, 齐次坐标与普通坐标之间是一一对应关系。
如二维平面上的一点[3,4],
用齐次坐标表示为[3,4,1]
[6,8,2]
[1.5,2,0.5]
通常将H=1的齐次坐标称为 正常化齐次坐标
怎样由齐次坐标求正常化齐次坐标? 齐次坐标表示点，可以防止溢出
的变换。
几何变换 又称坐标变换:它是将点集的坐标变换达到改变位
图形变换
置、形状
投影变换
几何变换 投影变换
基本变换 变位变换 ：旋转、 镜像、 周分布、 阵列、 变形变换 ：比例、 错切
组合变换 ：上述变换的连续实施
正投影变换 中心变换 斜投影变换
：三面正投影图、轴测图 ：透视图 ：斜轴测图
由于显示器和绘 图机只能用二维空间 来表示图形，要显示 三维图形就要用投影 方式来降低其维数。
总体比例变换
齐次化坐标
x' ax cy m px qy s
y' bx dy n
px qy s
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4.1.8 二维组合变换
x cos y sin
y' OP sin( )
OP(sin cos cos sin )
x sin y cos
其矩阵表示法：
x' y' [x
y]
cos sin
sin
cos
x cos y sin xsin y cos
9
4.1.5 平移变换
变换过程为：
x’=x＋l y’=y+m
变换矩阵为
1
l
m
x
1
y
1 0
如变换矩阵改为： 0
1
则点的坐标（x,y)
l m
y (x',y')
(x,y)
O
x
（x,y,1)
P’=P*T= x y
1 0
1 0
1
=
x l
l m
ym
1
10
4.1.6 齐次坐标与变换通式
它是用一个n+1维向量表示一个n维向量的方法 如：二维点[x y] 用 [X Y H]表示
0 1
x
cy
y
(1)变换过程中,点的y坐标保持不变,而x坐标值发生线性变化;
(2)平行于X轴的线段变换后仍平行于X轴;
(3)平行于Y轴的线段变换后错切成与Y轴成角的直线段
(4)X轴上的点在变换过程中保持不变,其余点在变换后都平移了一段距离。
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2. 沿Y轴方向的错切变换
x'
y' xSx Sy，图形产生了畸形图形沿两个坐标轴方向作非均匀 比例变换。
Sx 0
x ' y '
x y
0
Sy
图形变化：原有图形放大或缩小的变换
Sx ＝1, Sy>1
参数值：主对角线上元素至少有一个不为1，次对角线上元素全为0。 4
4.1.2 对称变换
y
y
y=x
(-x,y)
(x,y)
O (-x,-y)
变换后的位置矢量矩阵
x'
y' x
y
a c
b
d
ax
cy
bx dy
位置矢量矩阵
3
4.1.1 比例变换
y
就是将图形放大或缩小的变换方法。
变换式为：
x’=Sx* x y’=Sy* y
(x',y')
(x,y)
O
x
讨论：1. Sx ＝Sy＝1，点的位置、图形形状不变，又称恒等变换 2. Sx ＝Sy>1，点的位置变了、图形放大了Sy倍。 3. Sx ＝Sy<1，点的位置变了、图形缩小了Sy倍。