一题多解多题一解一题多变顶角是度的等腰三角形问题原创
人教版初中数学中考 练本 中考真题中的教材变式题(一题多变)
（2）解：连接AQ，CQ.
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝BC，∠ABQ＝∠CBQ＝45°，∠ABF＝90°.
∵BQ＝BQ，∴△ABQ≌△CBQ（SAS），
∴QA＝QC，∠BAQ＝∠BCQ.
∵EQ垂直平分线段AF，∴QA＝QF，
∴QC＝QF，∴∠QFC＝∠QCF，
∴∠QFC＝∠BAQ.
∵∠QFC＋∠BFQ＝180°，
∴AB＝BC，
∠B＝∠BCD＝90°.
∵CF平分∠DCH，
∴∠ECF＝135°.
∵AG＝CE，∴BG＝BE，
∴△BGE是等腰直角三角形，
∴∠BGE＝∠BEG＝45°，∴∠AGE＝135°＝∠ECF.
∵AE⊥EF，∴∠AEB＋∠FEC＝90°.
∵∠BAE＋∠AEB＝90°，∴∠FEC＝∠BAE，
∴△GAE≌△CEF，∴AE＝EF.
的中点G，连接EG.）
变式1：（2022·泸州）如图，在边长为3的正方形ABCD中，E是边AB上的点，且
BE＝2AE，过点E作DE的垂线，交正方形外角∠CBG的平分线于点F，交边BC于
点M，连接DF，交边BC于点N，则MN的长为（
B ）
D.1
变式2：（2022·呼和浩特）下面图片是八年级教科书中的一道题.
∵CE⊥BF，∴∠BOE＝90°，
∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3.
∵∠DAB＝90°＝∠CME，
∵AB＝BC，∠ABC＝60°，
变式3：（2020·鞍山）在矩形ABCD中，E是射线BC上一动点，连接AE，过点B作
BF⊥AE于点G，交直线CD于点F.
（1）当矩形ABCD是正方形时，以点F为直角顶点在正方形ABCD的外部作等腰
变式3：（2022·兰州）综合与实践
高中数学“一题一课多解变式”教学模式的理论构建与实践探索
高中数学“一题一课多解变式”教学模式的理论构建与实践探索作者：杨孝斌吕传汉吴万辉袁景涛李时建卢焱尧来源：《中小学课堂教学研究》2021年第11期【摘要】为提高高中数学解题教学质量和高考复习的效率，文章构建融合“三教”教育理念与波利亚解题思想的高中数学“一题一课多解变式”解题教学模式。
经过六年的理论研究和实践探索，该模式为提升学生数学解题能力，落实数学核心素养有一定的帮助。
【关键词】高中数学;一题一课;多解变式;教学模式【作者简介】杨孝斌，博士，贵州师范大学数学科学学院教授，中国少数民族教育学会数学教育专业委员会常务理事，主要从事中小学数学课堂教学、民族数学文化等的研究;吕传汉，贵州师范大学原副校长，教授，主持获得2018年国家级基础教育成果一等奖;吳万辉，北京八十中教学督导室主任，罗甸一中校长，正高级教师，高考科学备考与高考命题研究专家;袁景涛，思南中学校长，正高级教师，贵州省高中数学名师工作室主持人;李时建，正高级教师，贵州省高中数学名师工作室主持人;卢焱尧，贵州省实验中学校长，正高级教师，贵州省高中数学名师工作室主持人。
【基金项目】“国培计划（2018）”——贵州省吕传汉智库专家教师专业成长引领研修工作坊项目;贵州省2020年教育改革发展重大招标课题“三教引领民族地区高中数学一题一课多解变式教学实践研究”（ZD202008）一、问题背景在长期的教学实践和课堂观察的基础上，聚焦数学核心素养培育等热点问题，结合高中数学教学，特别是解题教学、高三复习教学的实际，笔者提出两个主要问题：一是如何在高中数学教学中落实数学核心素养的培育;二是如何在高中数学解题教学中，构建兼顾数学核心素养培育与高考应试能力培养的教学模式。
经过六年的研究和实践，笔者又把解决以上两个问题的主要过程分为聚焦问题、理论研究、模式构建、实践检验、教师培养等五个方面，并构建出高中数学“一题一课多解变式”解题教学模式。
二、“一题一课多解变式”教学模式概述经过多年的探索，在开展波利亚解题思想的研究[1-5]和发展“三教”（教思考、教体验、教表达）教育理念[6-9]的基础上，笔者将数学核心素养培育与提升高中生数学解题及应试能力结合起来，构建了如图1的高中数学“一题一课多解变式”教学模式。
“一题多变”突破解三角形的解题障碍
一题多变 突破解三角形的解题障碍陈鹏林(福建省永春第一中学ꎬ福建泉州３６２６０１)摘㊀要:文章从一道解三角形综合问题入手ꎬ通过一题多变的形式达到扩展发散思维ꎬ通过问题的辨析与探究ꎬ真正体会正弦定理㊁余弦定理在求解三角形的最值(范围)中的运用.关键词:解题研究ꎻ解三角形ꎻ一题多变中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０１－００２７－０３收稿日期:２０２３－１０－０５作者简介:陈鹏林(１９８２.９－)ꎬ男ꎬ福建省永春人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学解题研究.㊀㊀ 解三角形 是高中数学人教Ａ版(新课标)必修第二册第六章第四节的知识ꎬ具有较强的应用性ꎬ也是平面向量和三角函数在求解三角形问题中的综合应用ꎬ其本身不仅仅与日常生产生活问题有着紧密的联系ꎬ同时ꎬ也是高考一个重要且必考的考点.在近几年的高考中ꎬ经常考查到解三角形的范围问题ꎬ但难度适中ꎬ属中档题型ꎬ学生是可以在这道题上争取拿高分的.因此ꎬ在选择训练题上应注重如下这三点:第一ꎬ在基础题型上ꎬ要强化基础ꎬ抓纲务本ꎬ落实通法ꎻ第二ꎬ在难点题型上ꎬ要立足教材ꎬ突出方法ꎬ分级达标ꎻ第三ꎬ在易错题型上ꎬ要变式呈现ꎬ举一反三ꎬ强化提升.１考题再现ꎬ发现障碍考题㊀әＡＢＣ的内角ＡꎬＢꎬＣ的对边分别为ａꎬｂꎬｃꎬ已知ｓｉｎ(Ａ＋Ｃ)＝８ｓｉｎ２Ｂ２.(１)求ｃｏｓＢꎻ(２)若ａ＋ｃ＝６ꎬәＡＢＣ的面积为２ꎬ求ｂ.命题意图㊀本题考查了三角形的内角和定理㊁诱导公式㊁二倍角公式㊁同角三角函数的基本关系(平方关系)㊁余弦定理以及三角形的面积公式等基础知识ꎬ意在考查学生的运算求解能力及方程思想ꎬ属于中档题[１].分析㊀１()利用三角形的内角和定理可知Ａ＋Ｃ＝π－Ｂꎬ再利用诱导公式化简ｓｉｎ(Ａ＋Ｃ)ꎬ利用降幂(升角)公式化简８ｓｉｎ２Ｂ２ꎬ结合ｓｉｎ２Ｂ＋ｃｏｓ２Ｂ＝１ꎬ求出ｃｏｓＢꎻ(２)由(１)可知ｓｉｎＢ＝８１７ꎬ利用面积公式求出ａｃꎬ再利用余弦定理即可求出ｂ.解析㊀(１)因为ｓｉｎ(Ａ＋Ｃ)＝８ｓｉｎ２Ｂ２ꎬ且Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝πꎬｓｉｎ(π－Ｂ)＝４(１－ｃｏｓＢ).所以ｓｉｎＢ＝４(１－ｃｏｓＢ).因为ｓｉｎ２Ｂ＋ｃｏｓ２Ｂ＝１ꎬ所以１６(１－ｃｏｓＢ)２＋ｃｏｓ２Ｂ＝１.所以(１７ｃｏｓＢ－１５)(ｃｏｓＢ－１)＝０.所以ｃｏｓＢ＝１５１７或ｃｏｓＢ＝１(舍去).(２)由(１)可知ｓｉｎＢ＝１－ｃｏｓ２Ｂ＝８１７ꎬ７２因为ＳәＡＢＣ＝１２ａｃ ｓｉｎＢ＝２ꎬ所以ａｃ＝１７２.利用余弦定理得ｂ２＝ａ２＋ｃ２－２ˑ１７２ˑ１５１７＝(ａ＋ｃ)２－２ａｃ－１５＝４.所以ｂ＝２.解决该题时ꎬ虽然学生已经掌握了相关的一些知识ꎬ但是对于如何准确使用正㊁余弦定理来求解三角形还存在障碍ꎬ许多学生对于求解三角形中的边角关系和周长面积以及最值(范围)问题产生畏惧心理.下面ꎬ通过该题的多道变式题ꎬ可以高效地帮助学生突破这一障碍.２变式延伸ꎬ揭示规律变式１㊀әＡＢＣ的内角ＡꎬＢꎬＣ的对边分别为ａꎬｂꎬｃꎬ已知ｓｉｎ(Ａ＋Ｃ)＝８ｓｉｎ２Ｂ２.(１)求ｃｏｓＢꎻ(２)若ａ＋ｃ＝６ꎬәＡＢＣ的面积为２ꎬ求әＡＢＣ的周长.分析㊀该题是将第(２)小题改为求周长问题.本题只要在第(２)小题求出ｂ＝２后ꎬ再利用周长公式ｌ＝ａ＋ｂ＋ｃ即可求出周长为８.变式２㊀әＡＢＣ的内角ＡꎬＢꎬＣ的对边分别为ａꎬｂꎬｃꎬ已知ａｓｉｎＡ＋ｃｓｉｎＣ－ｂｓｉｎＢ＝３０１７ａｓｉｎＣ.(１)求ｃｏｓＢꎻ(２)若ａ＋ｃ＝６ꎬәＡＢＣ的面积为２ꎬ求ｂ.分析㊀该题是把已知条件 ｓｉｎ(Ａ＋Ｃ)＝８ｓｉｎ２Ｂ２ 改为 ａｓｉｎＡ＋ｃｓｉｎＣ－ｂｓｉｎＢ＝３０１７ａｓｉｎＣ .(１)提示:利用正弦定理把角化边可得:ａ２＋ｃ２－ｂ２＝３０１７ａｃꎬ再由余弦定理可得ｃｏｓＢ＝１５１７.变式３㊀әＡＢＣ的内角ＡꎬＢꎬＣ的对边分别为ａꎬｂꎬｃꎬ已知ｓｉｎ(Ａ＋Ｃ)＝８ｓｉｎ２Ｂ２.(１)求ｃｏｓＢꎻ(２)若ａ＋ｃ＝６ꎬ求әＡＢＣ的面积.分析㊀该题是把第(２)小题的条件和结论对换.(２)利用余弦定理ꎬ得ｂ２＝ａ２＋ｃ２－２ａｃｃｏｓＢ＝(ａ＋ｃ)２－６４１７ａｃ.将ａ＋ｃ＝６ꎬｂ＝２代入可求得ａｃ＝１７２.又由(１)可知ｓｉｎＢ＝８１７ꎬ所以ＳәＡＢＣ＝１２ａｃｓｉｎＢ＝１２ˑ１７２ˑ８１７＝２.变式４㊀әＡＢＣ的内角ＡꎬＢꎬＣ的对边分别为ａꎬｂꎬｃꎬ已知ｓｉｎ(Ａ＋Ｃ)＝８ｓｉｎ２Ｂ２.(１)求ｃｏｓＢꎻ(２)若ｂ＝２ꎬ求әＡＢＣ的面积的最大值.分析㊀该题是在第(２)小题中删除了一个已知条件: ａ＋ｃ＝６ ꎬ使所研究的三角形不确定ꎬ从而可求面积的最值问题.(２)因为ｂ＝２ｃｏｓＢ＝１５１７ꎬ利用余弦定理ꎬ得２２＝ａ２＋ｃ２－３０１７ａｃȡ２ａｃ－３０１７ａｃ＝４１７ａｃ.所以ａｃɤ１７(当且仅当ａ＝ｃ＝１７时等号成立).又由(１)可知ｓｉｎＢ＝８１７ꎬ所以ＳәＡＢＣ＝１２ａｃｓｉｎＢɤ１２ˑ１７ˑ８１７＝４.故әＡＢＣ的面积的最大值为４.变式５㊀әＡＢＣ的内角ＡꎬＢꎬＣ的对边分别为ａꎬｂꎬｃꎬ已知ｓｉｎ(Ａ＋Ｃ)＝８ｓｉｎ２Ｂ２.(１)求ｃｏｓＢꎻ(２)若ｂ＝２ꎬ求әＡＢＣ的周长ｌ的取值范围.分析㊀该题与变式４一样ꎬ也是在第(２)小题中删除了一个已知条件: ａ＋ｃ＝６ ꎬ使所研究的三８２角形不确定ꎬ从而可求周长的取值范围. (２)利用余弦定理ꎬ得(ａ＋ｃ)２－６４１７ａｃ＝４.所以(ａ＋ｃ)２－４＝６４１７ａｃɤ６４１７ (ａ＋ｃ２)２.所以１１７(ａ＋ｃ)２ɤ４.所以ａ＋ｃɤ２１７(当且仅当ａ＝ｃ＝１７时等号成立).所以ｌ＝ａ＋ｃ＋ｂɤ２１７＋２.又因为ａ＋ｃ>ｂ＝２ꎬ所以４<ｌɤ２１７＋２.故әＡＢＣ的周长的取值范围为(４ꎬ２１７＋２].变式６㊀锐角әＡＢＣ的内角ＡꎬＢꎬＣ的对边分别为ａꎬｂꎬｃꎬ已知ｓｉｎ(Ａ＋Ｃ)＝８ｓｉｎ２Ｂ２.(１)求ｃｏｓＢꎻ(２)若ｂ＝２ꎬ求әＡＢＣ的周长ｌ的取值范围.分析㊀该题是在变式５的基础上ꎬ增加了一个条件:锐角三角形.这样ꎬ角Ａ的范围发生了改变ꎬ从而三角形的周长范围也跟着改变了. (２)与变式５相同求得ａ＋ｃ＝２１７ｓｉｎ(Ａ＋φ)ꎬ０<Ｂ<π６ꎬ又因为әＡＢＣ为锐角三角形ꎬ所以π３<Ａ<π２.又因为ｔａｎ１４<３３ꎬ所以０<φ<π６.所以π３<Ａ＋φ<２π３.所以３３<ｓｉｎ(Ａ＋φ)ɤ１.即５１<ａ＋ｃɤ２１７.所以５１＋２<ｌ＝ａ＋ｃ＋ｂɤ２１７＋２.故әＡＢＣ的周长的取值范围为(５１＋２ꎬ２１７＋２].几个变式题的设计都是稍微改变了条件ꎬ并难度逐步递进ꎬ激发了对知识的渴望ꎬ因此我们可以更好地总结解决此类问题的方法ꎬ并了解如何正确选择正弦和余弦定理来解决三角形中的周长㊁面积和最大值问题.达到突出重点和解决难点的目的.对于变式４和变式５ꎬ可以采用均值不等式ꎬ但变式５只能够确定 ａ＋ｃ 右侧的范围ꎬ对于另外一侧的范围ꎬ多数学生忽略了 两边之和大于第三边 这一隐藏条件ꎬ从而漏解.通过变式６进一步深入探讨和研究ꎬ发现用正弦定理就可以解决这一问题.我们还可创设一个新的问题: 求 ａ－ｃ 的范围 让学生思考.由此可见ꎬ解决三角形中的(范围)问题的通法是正弦定理.当然ꎬ应该还会有一些学生由于没有观察到角的范围ꎬ导致解错.３结束语解三角形是高中数学中一个非常重要的知识点和考点ꎬ需要在掌握基础题型的前提下ꎬ逐步拓展到难点题型和易错题型.通过针对性的训练和提升自己的解题能力ꎬ就可以在高考中取得优异的成绩.因此ꎬ在总复习中ꎬ建议学生应该对解三角形问题进行题型选择并总结归纳ꎬ具体解题过程中需要根据题目类型和已知条件灵活应用和调整解题步骤与方法ꎬ同时也可以参考高考数学热门考点清单等资料ꎬ来更好地掌握相关题型的学习方法和解题技巧.总之ꎬ要在高考总复习中提高解决问题的能力ꎬ需要注重解题思路的分析和解题技巧的掌握.本文从一道解三角形综合问题入手ꎬ通过一题多变的形式ꎬ达到扩展发散思维ꎬ通过问题的辨析与探究ꎬ真正体会选择正弦定理㊁余弦定理在求解三角形的最值(范围)中的运用.同时ꎬ避免深陷 会而不对㊁对而不全以及全而不准 的尴尬境地ꎬ真正实现由一题多变突破解三角形的解题障碍的最终目标.参考文献:[１]袁海军.２０１９年高考三角函数考点预测[Ｊ].广东教育ꎬ２０１９(０２):３４－３７.[责任编辑:李㊀璟]９２。
利用一题多解、一题多变来提高初中学生的数学解题能力
利用一题多解、一题多变来提高初中学生的数学解题能力作者：苏淑妮来源：《中学课程辅导·教师教育（中）》2017年第04期（广东省惠州市惠阳区崇雅中学广东惠州 516000）【摘要】数学课程标准中，要求使学生站在不同角度，探索分析和解决问题的方法，此外，教育心理学也指出：问题解决有两种类型：一是常规性问题解决；二是创造性问题解决。
通过一题多解、一题多变训练，使学生能够体验到解决问题的多样性方式，能够掌握分析及解决问题的基本技巧和方法，使所学的知识得到活化，融会贯通，开阔思路，培养学生的发散、创新思维能力。
【关键词】一题多解一题多变初中数学发散思维【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2017）04-173-01先观察以下4个例题，是初中数学练习过程经常碰到的，具体的解答过程后文有详细的描述，以此四个例题用以论述本文的观点。
例1：相切两圆半径分别是4和6，求圆心距。
例2：在几何题型中：直角三角形两边长3和4，求第三边。
例3：一道求证题：顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形变式1：顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形变式2：顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形变式3：顺次连接正方形各边中点所得的四边形变式4：顺次连接什么四边形各边中点可以得到平行四边变式5：顺次连接什么四边形各边中点可以得到矩形变式6：顺次连接什么四边形各边中点可以得到菱形例4：在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点.求证：CE⊥BE.一、一题多解、一题多变帮助学生循坏往复调动所学知识，强化记忆在学习生涯中，知识点是解题的基础和灵魂，千千万万的题目是从知识点出发延伸设计出来问题考察学生的。
由于时间和空间有限，学生不可能做完所有的题目，对于教师也不可能讲解完所有的题目。
而对于数学，单是一道题目中也不可能只有一个知识点的考察，例题1这道题中涉及的知识点有：相切圆、半径、圆心距，最终的问题虽然是求圆心距，但是如果没有正确的对于圆、半径以及相切的概念，那么也就无从下手。
初中几何的习题一题多解与一题多变-最新文档(可编辑修改word版)
初中几何的习题一题多解与一题多变数学课程标准中，要求使学生经历站在不同角度，探索分析和解决问题的方法这一重要过程。
使学生能够体验到解决问题的多样性方式，能够掌握分析及解决问题的基本技巧和方法。
数学中“一题多解”和“一题多变”，被普遍看作是培养学生能力，以及开发学生智力，最佳途径之一，能够培养出学生的发散性思维，以及创造性思维，提高学生对几何的学习兴趣。
一、初中几何“一题多解”和“一题多变”的相关问题初中生在学习几何的过程中，鉴于其概念和定理繁多，又要求学生需要具有较强的综合性能力，且巧妙多变的解题方法，导致学生学习的时候，有一种困难的感觉，提高了教师实施教学的难度。
在教学过程中，不仅要帮助学生理清概念和定理的条件、结论，而且有效将其系统化、条理化，进而建立较为完整的、独立的知识结构体系。
其中，为之重要的是要牢固掌握课本习题灵活多变的解题方法，比较各种方法，更深刻的领悟相关的概念与定理，归纳各种习题的解决方法，灵动的掌握各种题型，以至于可以轻巧熟练地运用相关的概念和定理来推理论证，提升学生的解题能力。
通过课本习题，多角度思考问题，寻求解题的一般规律，从而引领学生入门。
二、“一题多解”和“一题多变”需注重学生“猜测”能力“一题多解”和“一题多变”在教学之中，往往能起到一座桥的作用，在最近发展区之中，将学生从已知的彼岸，渡到未知的彼岸。
教师在教学生平面几何的过程中，不仅要教会学生怎么证明，而且重点是教会学生猜测和思考。
因为猜测可以导致发现，所有证题者在解决数学问题时，都要猜测，都是先猜测后证明的。
这就要求教师教学时要创立一个激发学生积极性思维、主动猜测的意境，提高学生自主探索的能力。
为了调动学生思维的主动性，形成有益的思维方式，教师要鼓励和引导学生去猜，千万不要制止，哪怕是不合理的猜测，更不要把全部的秘密立即说出来，由学生自己猜测出来不仅可以开阔他们的证题的思路，而且对培养学生探究以及深究问题能力有很大的帮助。
《一题多解与一题多变在中学数学中的应用开题报告2000字》
[4] 黄跃惠. 一题多解与一题多变在初中数学教学中的运用[J]. 试题与研究：高考版, 2019(28):1.
[5] 宫代印. 浅谈"一题多解"和"一题多变"在高中数学教学中的应用[J]. 试题与研究：教学论坛, 2019(2):1.
[6] 王菊香. 一题多变和多解成就智慧课堂[J]. 考试周刊, 2019(87):2.
[13] 江猷敏. "一题多解和一题多变"在培养学生数学思维能力的应用策略探析[J]. 考试周刊, 2020(66).
[14] 章勇. "一题多解"与"一题多变"在培养学生思维能力中的应用[J]. 新教育时代电子杂志（学生版）, 2020(24):2.
八．指导教师意见
指导教师签字：
年 月 日
九．系意见
系主任签字：
年 月 日
十．学院毕业论文（设计）工作领导小组意见
负责人签字：
年 月 日
[7] 颜天伦. 初中数学教学中"一题多变","一题多解"渗透[J]. 中学课程辅导:教学研究, 2019.
[8] 张海玲. 谈利用"一题多解与一题多变"培养学生的思维能力[J]. 新智慧, 2021(6):2.
一道数学题的解决策略------通过一题多解，一题多变培养学生思维
一道数学题的解决策略------通过一题多解，一题多变培养学生思维发布时间：2021-09-28T05:30:57.540Z 来源：《中小学教育》2021年15期作者：薛发楷[导读] 九年级的数学复习每年都面临时间紧，任务重的状况，几乎所有的数学老师都在寻求一种复习的最佳方法和途径，以便在中考中能取得满意的成绩。
尤其是现在国家又颁布了双减政策之后，提高老师在课堂教学的高效性尤为重要，不能在就题论题，追求做题的数量而陷入题海战术。
薛发楷四川省成都市双流区胜利初级中学 610200九年级的数学复习每年都面临时间紧，任务重的状况，几乎所有的数学老师都在寻求一种复习的最佳方法和途径，以便在中考中能取得满意的成绩。
尤其是现在国家又颁布了双减政策之后，提高老师在课堂教学的高效性尤为重要，不能在就题论题，追求做题的数量而陷入题海战术。
不管哪一年级的数学复习，每次考试下来之后常常听到老师在抱怨，这些题都做了千遍万遍了，学生还是做不起，没有达到老师预设的效果，尤其是几何题的复习，收效更是甚微，只要遇到辅助线的添法，无论上课怎么讲，课下刷了多少题，一到考试学生拿到这样的题还是束手无策，于是我就在反思，导致这样的结果到底是什么，我想无非就是老师为了赶进度，在讲解几何题的辅助线的添法时，往往是按照老师预设的方法去引导学生，学生说出了辅助线的添法，但不能举一反三。
我们不得不承认理科学习一定要刷一定数量的题，但知识没有理性化，没有悟出其中的数学方法，学生永远是门外汉，并没有真正掌握理解，如果每做一道题都让学生探索其解题的思想方法，拓展其外延，总结其规律，这样学生的复习就会融会贯通，达到事半功倍的效果。
在现代数学教学中，教师应按照数学思维的规律和方式方法，去启发引导学生思考，让学生的一些重要想法、符合情理的思维过程都展现出来，还学生一个真实而科学的思维过程并究其原因。
注重学生一题多解，一题多变，培养学生思维的深刻性，拓展学生的思路，发展学生的思维，有利于学生创造性的发挥。
一题多问、一题多变、一题多解的运用与思考
一题多问、一题多变、一题多解的运用与思考
一题多问、一题多变、一题多解的运用与思考是在我们解决问题的过程中，充分探索问题本质的方法。
它可以帮助我们从多个角度理解问题，找到更好的解决方案。
一题多问可以帮助我们深入挖掘问题，了解各种因素和影响，从而更全面地理解问题和寻找解决方案。
例如，在解决一个企业的销售问题时，我们可以提出以下问题：销售情况如何？客户需要什么？竞争对手的情况如何？市场变化的影响是什么？等等。
一题多变可以帮助我们在不同情况下灵活应对问题，并根据不同情况调整解决方案。
例如，在解决一个销售问题时，如果是年底大促销，我们需要不同的解决方案，而如果是平时销售问题，则需要不同的解决方案。
一题多解可以帮助我们拓展思路，从不同方向考虑问题，找到更多的解决方案。
例如，在解决一个企业的成本问题时，我们可以提出以下解决方案：降低原材料成本、改变生产流程、优化运营成本等等。
总之，一题多问、一题多变、一题多解的运用与思考可以帮助我们更全面地理解问题、更多角度考虑解决方案，从而找到更好的解决方案。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
∴△ＢMN为等边三角形,
∵∠CBＭ=2０°
∴∠BMC=∠ＢＣM=80°
∴BC=BM=ＢN=MN＝ＰM
∴∠BNM=６0°,∠NMP=180°-∠BMN－∠BＭC=40°
∠MＮP=∠MＰN＝70°
∴∠ＡNP=180°－∠MNＰ-∠ＢNＭ=5０°
连接CN，
在△BＭN中，∵BC=ＢN，∠NBC=８0°
一题多解－－多题一解--一题多变(顶角是度的等腰三角形问题）原创
———————————————————————————————— 作者：
———————————————————————————————— 日期：
顶角是20度的等腰三角形有关问题的解法比较
在解顶角是20度的等腰三角形有关问题时不难发现,它们有共同之处,就是构造适当的等边三角形进行转化。举例如下：
如图1，在△ＡBC中,AＢ＝ＡC，∠A=20゜,在AB、AC上分别取点E、D,使∠CBD＝６０゜,∠ＢCＥ=５0゜.求∠AEＤ的度数
解法(一）
解:如图２，作∠CＢM=20°,点M在AＣ上，在ＡB上取点N,使BN=BM,在AM上取点P,使PM=MN,
∵∠A=２0゜，ＡB=ＡＣ,
∴∠ABＣ=∠AＣB＝８0° ，
∴∠ＢCN=50°,∴点N就是图１中的点E,连接PB，
在△ＰBM中,∵ＢＭ=PＭ，∠PＭB=1０0°
∴∠PBＭ=40°，
∵∠CBM=２０°
∴∠ＣBP=60°，
∴点P就是图1中的点Ｄ，
∴∠AED=5０°
解法二
解:如图3，作∠CBM=20°,交ＡC于点Ｍ,连接EM，
∵∠A=2０°，AＢ=ＡC，
∴∠ＡBＣ=∠AＣB＝80° ，ＢC=BM,∠NBＥ=6０°
∵∠ＢCE=50°
∴∠ＢEC=１80°–80°–50°=５0°
∴BE=ＢC=BM
∴△BMＮ为等边三角形,
∴∠ＢEM=60°
∵∠BMＣ=8０°
∴∠BMD=10０°
∵∠DBC=６0°，∠CBM=２０°
∴∠ＤBM=４0°
在等腰△ＭDB中
∴∠ＢDM＝180°–100°–40°=4０°
∴DM=BM=ＥM
在等腰△MDБайду номын сангаас中
∵∠BMＤ=100°
∴∠MED=∠ＭDE=70°
∴∠AED=18０°-７０°-6０°=５０°