2021 年中考数学 专题训练：分式方程及其应用(含答案)
2021 中考数学 专题训练：分式方程及其应用一、选择题1. 2019·益阳解分式方程x 2x －1＋21－2x＝3时，去分母化为一元一次方程，正确的是( ) A ．x ＋2＝3B ．x －2＝3C ．x －2＝3(2x －1)D ．x ＋2＝3(2x －1)2. （2020·昆明）某校举行“停课不停学，名师陪你在家学”活动，计划投资8000元建设几间直播教室，为了保证教学质量，实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了4000元.根据题意，求出原计划每间直播教室的建设费用是（ ）A.1600元B.1800元C.2000元D.2400元 3. （2020·广西北部湾经济区）甲、乙两地相距600km ，提速前动车的速度为vkm /h ，提速后动车的速度是提速前的1.2倍，提速后行车时间比提速前减少20min ，则可列方程为（ ） A ． B ． C ．20D ．204. (2020自贡)某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%，结果提前40天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ） A ．40 B ．40 C ．40D ．405. （2020·牡丹江）若关于x 的分式方程xmx =-12有正整数解，则整数m 的值是（ ） A. 3 B. 5 C. 3或5 D. 3或46. （2020•遂宁）关于x 的分式方程﹣＝1有增根，则m 的值（ ） A ．m ＝2 B ．m ＝1C ．m ＝3D ．m ＝﹣37. （2020·黑龙江龙东）已知关于x 的分式方程4的解为非正数，则k 的取值范围是（ ） A ．k ≤﹣12 B ．k ≥﹣12 C ．k ＞﹣12D ．k ＜﹣128. （2020·重庆A 卷）若关于x 的一元一次不等式组3132x x x a-⎧≤+⎪⎨⎪≤⎩的解集为x ≤a ；且关于y 的分式方程34122y a y y y --+=--有正整数解，则所有满足条件的整数a 的值之积是( ) A ．7 B ．-14 C ．28 D ．-56二、填空题9. （2020·广州）方程3122x x x的解是 .10.（2020·淮安）方程3101x +=-的解为_______________.11. 一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h ，它以最大航速沿江顺流航行120 km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km 所用时间相同，则江水的流速为 km/h .12. (2020·绥化)某工厂计划加工一批零件240个，实际每天加工零件的个数是原计划的1.5倍，结果比原计划少用2天，设原计划每天加工零件x 个，可列方程______．13. 若关于x 的分式方程+=2m 有增根，则m 的值为 .14. （2020·江苏徐州）方程981x x =-的解为 .15. 若分式方程x －ax ＋1＝a 无解，则a 的值为________.16. 若关于x 的分式方程+=2a 无解，则a 的值为 .三、解答题 17. 解方程:1-=.18. (1)解方程:x2-2x-1=0.(2)解方程组:(3)解分式方程:-1=.(4)解不等式组:并把解集在数轴上表示出来.19. （2020·陕西）解方式方程：2312xx x--=-．20. （2020·吉林）甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．求乙每小时做零件的个数．21. （2020·襄阳）（6分）在襄阳市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式．改进后，现在每天用水量是原来每天用水量的45，这样120吨水可多用3天，求现在每天用水量是多少吨？22.某服装店用4500元购进一批衬衫，很快售完．服装店老板又用2100元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元．(1)这两次各购进这种衬衫多少件？(2)若第一批衬衫的售价是200元/件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于1950元，则第二批衬衫每件至少要售多少元？23. （12分）小刚去超市买画笔，第一次花60元买了若干支A 型画笔，第二次超市推荐了B 型画笔，但B 型画笔比A 型画笔的单价贵2元，他又花100元买了相同支数的B 型画笔.（1）超市B 型画笔单价多少元？（2）小刚使用两种画笔后，决定以后使用B 型画笔，但感觉其价格稍贵，和超市沟通后，超市给出以下优惠方案：一次性购买不超过20支，则每支B 型画笔打九折；若一次购买超过20支，则前20支打九折，超过的部分打八折，设小刚购买的B 型画笔x 支，购买费用为y 元，请写出y 关于x 的函数关系式. （3）在（2）的优惠方案下，若小刚计划用270元购买B 型画笔，则能购买多少支B 型画笔？24. （2020·广东）某社区拟建A ，B 两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A 类摊位的占地面积比每个B 类摊位的占地面积多2平方米，建A 类摊位每平方米的费用为40元，建B 类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A 类摊位的个数恰好是同样面积建B 类摊位个数的35.（1）求每个A ，B 类摊位占地面积各为多少平方米？（2）该社区拟建A ，B 两类摊位共90个，且B 类摊位的数量不少于A 类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用.2021 中考数学 专题训练：分式方程及其应用-答案一、选择题1. 【答案】C[解析] 方程两边都乘(2x －1)，得x －2＝3(2x －1)．2. 【答案】C【解析】本题考查了分式方程的实际应用.解答过程如下：设原计划每间直播教室的建设费用是x 元，则实际每间直播教室的建设费用是（1+20%）x ，由题意得xx %)201(4000800018000++=+，解得x =2000，经检验符合题意.∴原计划每间直播教室的建设费用是2000元.因此本题选C ．3. 【答案】 A【解析】因为提速前动车的速度为vkm /h ，提速后动车的速度是提速前的1.2倍，所以提速后动车的速度为1.2vkm /h ， 根据题意可得：．因此本题选A ．4. 【答案】A ．【解析】本题考查了分式方程在实际问题中的应用，本题数量关系清晰，难度不大，解：设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则原计划每天绿化的面积为万平方米，依题意，得：40，即40．因此本题选A ．5. 【答案】D 【解析】首先化分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后讨论整数解即可求解.原方程xm x =-12可化为整式方程2x ＝m (x -1)，∴x ＝2212-+=-m m m ，而分式方程有正整数解，∴m ﹣2＝1，m ﹣2＝2，∴m ＝3，m ＝4，经检验，符合题意，故选D.6. 【答案】去分母得：m +3＝x ﹣2，由分式方程有增根，得到x ﹣2＝0，即x ＝2， 把x ＝2代入整式方程得：m +3＝0， 解得：m ＝﹣3， 故选：D ．7. 【答案】A 【解析】本题考查了分式方程的解法，用含字母的式子表示方程的解，解：方程4两边同时乘以（x ﹣3）得：x ﹣4（x ﹣3）＝﹣k ，∴x ﹣4x +12＝﹣k ，∴﹣3x ＝﹣k ﹣12，∴x 4，∵解为非正数，∴4≤0，∴k ≤﹣12．故选：A ．8. 【答案】A 【解析】 对于不等式组313,2x x x a -⎧≤+⎪⎨⎪≤⎩①②，解不等式①，得x ≤7.解不等式②，得x ≤a .因为不等式组的解集为x ≤a ，∴a ≤7.对于分式方程34122y a y y y --+=--，去分母，得y -a +3y -4=y -2,解这个整式方程，得y =+23a .因为a ≤7，所以当a =1,4,7时+23a 为正整数.当a =4时， y =2是分式方程的增根，分式方程无解.综上，可得a=1或7，它们的积为1×7=7.二、填空题9. 【答案】32 x【解析】本题考查了分式方程的解法，过程如下：解：3121 xx x两边同乘21x，得23x32x检验：当32x时，21x≠0∴原分式方程的解为32x，因此本题答案是32x．10. 【答案】x＝﹣2【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．方程1＝0，去分母得：3+x﹣1＝0，解得：x＝﹣2，经检验x＝﹣2是分式方程的解．故答案为：x＝﹣2．11. 【答案】10[解析]设江水的流速为x km/h，根据题意可得:=，解得:x=10，经检验，x=10是原方程的根，且符合题意，所以江水的流速为10 km/h.12. 【答案】240x＝2401.5x＋2 【解析】实际每天加工零件1.5x个．原计划的工作时间＝240x(天)，实际的工作时间＝2401.5x(天)，根据“结果比原计划少用2天”可列方程240x＝2401.5x＋2．13. 【答案】1[解析]分式方程去分母，得:x-2m=2m·(x-2)，若原分式方程有增根，则x=2，得2-2m=2m(2-2)，解得m=1.14. 【答案】 x =9【解析】把分式方程转化为整式方程，求出整式方程的根再进行验根确定 .∵981x x =-，把两边同时乘以x (x -1)，得9x -9=8x ，∴x =9，经检验x =9是原方程的根.15. 【答案】17 [解析] 由方程x －4x ＝3得x －4＝3x.解得x ＝－2.当x ＝－2时，x≠0.所以x ＝－2是方程x －4x ＝3的解．又因为方程ax a －1－2x －1＝1的解与方程x －4x ＝3的解相同，因此x ＝－2也是方程ax a －1－2x －1＝1的解．这时－2a a －1－2－2－1＝1.解得a ＝17.当a ＝17时，a －1≠0，故a ＝17满足条件．16. 【答案】或1 [解析]去分母得:x -3a=2a (x -3)，整理得:(1-2a )x=-3a ，当1-2a=0时，方程无解，得a=; 当1-2a ≠0，x==3时，分式方程无解，得a=1，故关于x 的分式方程=2a 无解，则a 的值为:1或.三、解答题17. 【答案】解:去分母，得2x +2-(x -3)=6x ， 去括号，得2x +2-x +3=6x ， 移项，得2x -x -6x=-2-3， 合并同类项，得-5x=-5， 系数化为1，得x=1.经检验，x=1是原分式方程的解. ∴原方程的解是x=1.18. 【答案】解:(1)配方法:移项，得x 2-2x=1， 配方，得x 2-2x +1=1+1，即(x -1)2=2， 开方，得x -1=±，即x1=1+，x2=1-.公式法:a=1，b=-2，c=-1，Δ=b2-4ac=4+4=8>0，故方程有两个不相等的实数根，∴x===1±，即x1=1+，x2=1-.(2)②-①，得:3x=9，解得:x=3.把x=3代入①，得:3+y=1，解得:y=-2.∴原方程组的解为(3)方程左右两边同乘以3(x-1)，得3x-3(x-1)=2x，3x-3x+3=2x，2x=3，x=1.5.检验:当x=1.5时，3(x-1)≠0，∴原分式方程的解为x=1.5.(4)解不等式①，得:x>-4;解不等式②，得:x≤0，∴不等式组的解集为-4<x≤0.将这个不等式组的解集表示在数轴上如图:19. 【答案】解：去分母，得()()2232x x x x--=-,去括号，得224432x x x x x-+-=-移项，合并同类项，得﹣5x＝﹣4, 系数化为1，得x＝4 5,检验：当x＝45时，x(x－2)≠0，所以x＝45是原分式方程的解．20. 【答案】解：设乙每小时做x 个零件，则甲每小时做()6x +个零件，由题意得：90606x x=+，解得：12x =， 经检验：12x =是分式方程的解，且符合题意， ∴分式方程的解为：12x =， 答：乙每小时做12个零件．21. 【答案】设原来每天用水量为x 吨，则现在每天用水量是45x 吨，根据题意，得 120120345x x -=，即1501203x x -=，解得x ＝10． 经检验，x ＝10是原方程的解且符合实际，则45x ＝8．答：现在每天用水量是8吨．22. 【答案】解：(1)设第一次购进这种衬衫x 件，第二次购进这种衬衫12x 件，根据题意得：4500x ＝210012x＋10，解得x ＝30，(2分)经检验x ＝30是原方程的解，且符合题意， ∴12x ＝12×30＝15.答：第一次购进这种衬衫30件，第二次购进这种衬衫15件．(4分) (2)设第二批衬衫每件销售a 元，根据题意得：30×(200－450030)＋15×(a －210015)≥1950，(6分)解得a≥170.答：第二批衬衫每件至少要售170元. (7分)23. 【答案】解：（1）设超市B 型画笔单价a 元，则A 型画笔单价为（a -2）元， 由题意列方程，得601002a a=-， 解得，5a =.经检验5a =是原分式方程的根. 答：超市B 型画笔单价是5元. （2）由题意知，当小刚购买的B 型画笔支数x ≤20时，费用为y =0.9×5x =4.5x ；当小刚购买的B 型画笔支数x ＞20时，费用为y =20×0.9+（x -20）×0.8×5=4x +10.所以 4.5,(20)410,()x x y x x ≤⎧=⎨+⎩＞20，其中x 为正整数.（3）当4.5x =270（x ≤20）时，解得x =60，因为60＞20不符合题意，舍去. 当4x +10=270（x ＞20）时，解得x =65. 答：小刚能购买65支B 型画笔.24. 【答案】解：（1）设每个B 类摊位的占地面积为x 平方米，则每个A 类摊位的占地面积为（2x +）平方米，根据题意，得： 6036025x x =⨯+解得3x =．经检验，3x =是原分式方程的解.∴+25x = 答：每个A 类摊位占地面积为5平方米，每个B 类摊位占地面积为3平方米．（2）设拟建A 类摊位a 个，则拟建B 类摊位()90a -个，建造90个摊位的费用为w元.由题意得，903a a -≥，∴1222a ≤，()540330*********w a a a =⨯+⨯-=+ ∵1100k =>，∴w 随a 的增大而增大.当=22a 时，w 有最大值.最大费用：11022+8100=10520⨯（元）∴建造这90个摊位的最大费用是10520元．。
2021年九年级数学中考复习——方程专题：分式方程实际应用(二)
2021年九年级数学中考复习——方程专题：分式方程实际应用（二）1．在数学课上，老师出了这样一道题：甲、乙两地相距1200千米，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用8小时，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的3倍，求特快列车从甲地到乙地的时间．2．今年6月25日是我国的传统节日端午节，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A，B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．求A，B两种粽子的单价各是多少？3．某市为治理污水，需要铺设一段全长3000米的污水输送管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时每天的工作量比原计划增加25%，结果提前10天完成了任务，实际每天铺设多长管道？4．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前了30天完成了这一任务．（1）用含x的代数式填表（结果不需要化简）工作效率（万平方米/天）工作时间（天）总任务量（万平方米）原计划x60实际60（2）求（1）的表格中的x的值．5．某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．（1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？（2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？（3）在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？6．为了防控新冠病毒肺炎，某校积极进行校园环境消毒，第一次购买甲、乙两种消毒液分别用了240元和540元，每瓶乙种消毒液的价格是每瓶甲种消毒液价格的倍，购买的乙种消毒液比甲种消毒液多20瓶．（1）求甲、乙两种消毒液每瓶多少元？（2）该校准备再次购买这两种消毒液，使再次购买的乙种消毒液瓶数是甲种消毒液瓶数的一半，且再次购买的费用不多于1050元，求甲种消毒液最多能再购买多少瓶？7．甲、乙两地相距60km，A骑自行车从甲地到乙地，出发2小时40分钟后，B骑摩托车也从甲地去乙地．已知B的速度是A的速度的3倍，结果两人同时到达乙地．求A，B两人的速度．8．甲、乙两支工程队修建二级公路，已知甲队每天修路的长度是乙队的2倍，如果两队各自修建公路500m，甲队比乙队少用5天．（1）求甲，乙两支工程队每天各修路多少米？（2）我市计划修建长度为3600m的二级公路，因工程需要，须由甲、乙两支工程队来完成．若甲队每天所需费用为1.2万元，乙队每天所需费用为0.5万元，求在总费用不超过40万元的情况下，至少安排乙队施工多少天？9．大浮杨梅是我市特色水果，古称“吴越佳果”．某水果店第一次用540元购进一批大浮杨梅，由于销售状况良好，该店又用1710元购进一批大浮杨梅，所购数量是第一次购进数量的3倍，但进货价每千克多了1元．（1）第一次所购大浮杨梅的进货价是每千克多少元？（2）该店以每千克30元销售这些大浮杨梅，在销售中，第一次购进的大浮杨梅有10%的损耗，第二次购进的大浮杨梅有15%的损耗．问：该水果店售完这两批杨梅共可获利多少元？10．疫情期间，某商场购进甲，乙两种消毒液，甲种消毒液用了1000元，乙种消毒液用了1200元，已知乙种消毒液每件进价比甲种消毒液每件进价多5元，且购进的甲、乙两种消毒液件数相同．（1）求甲、乙两种消毒液每件的进价；（2）该商场将购进的甲、乙两种消毒液进行销售，甲种消毒液的销售单价为50元，乙种消毒液的销售价为60元．销售过程中发现甲种消毒液销量不好，商场决定：甲种消毒液在销售一定数量后按原销售单价的七折销售；乙种消毒液销售单价保持不变．要使两种消毒液全部售完后获利不少于1900元，问甲种消毒液按原销售单价至少销售多少件？参考答案1．解法1：解：设高铁列车从甲地到乙地的时间为yh，则特快列车从甲地到乙地的时间为（y+8）h，根据题意得，解这个方程得y＝4．经检验，y＝4是原分式方程的根，则y+8＝12．答：特快列车从甲地到乙地的时间为12h．解法2：解：设特快列车的平均速度为x km/h，则高铁列车的平均速度为3x km/h，根据题意得，解这个方程得x＝100．经检验，x＝100是原分式方程的根，则．答：特快列车从甲地到乙地的时间为12h．2．解：设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，根据题意，得：+＝1100，解得：x＝2.5，经检验，x＝2.5是原方程的解，且符合题意，∴1.2x＝3．答：A种粽子单价为3元/个，B种粽子单价为2.5元/个．3．解：设原计划每天铺设x米，依题意得：﹣＝10，解得：x＝60米，经检验x＝60是原方程式的根，实际每天铺设1.25x＝1.25×60＝75（米）．答：实际每天铺设75米长管道．4．解：（1）设原计划每天绿化x万平方米，则实际每天绿化（1+25%）x万平方米，原计划需要天完成任务，实际天完成任务．故答案为：（1+25%）x；；．（2）依题意，得：﹣＝30，解得：x＝，经检验，x＝是原方程的解，且符合题意．答：（1）的表格中的x的值为．5．解：（1）设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为（x﹣2）元，根据题意，得＝，解得：x＝10，经检验，x＝10是原方程的根，每件甲种商品的进价为：10﹣2＝8．答：每件甲种商品的进价为8元，每件乙种商品件的进价为10元．（2）设购进乙种商品y个，则购进甲种商品（3y﹣5）个．由题意得：3y﹣5+y≤95．解得y≤25．答：商场最多购进乙商品25个；（3）由（2）知，（12﹣8）（3y﹣5）+（15﹣10）y＞380，解得：y＞23．∵y为整数，y≤25，∴y＝24或25．∴共有2种方案．方案一：购进甲种商品67个，乙商品件24个；方案二：购进甲种商品70个，乙种商品25个．6．解：（1）设甲种消毒液每瓶x元，乙种消毒液每瓶x元，根据题意得，＝﹣20，解得：x＝6，经检验：x＝6是原方程的解，×6＝9，答：甲种消毒液每瓶6元，乙种消毒液每瓶9元；（2）设甲种消毒液再购买m瓶，根据题意得，6m+9×m≤1050，解答：m≤100，答：甲种消毒液最多能再购买100瓶．7．解：设A的速度为xkm/h，则B的速度为3xkm/h，依题意，得：﹣＝2，解得：x＝15，经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意，∴3x＝45．答：A的速度为15km/h，B的速度为45km/h．8．解：（1）设乙工程队每天修路x米，则甲工程队每天修路2x米，依题意，得：﹣＝5，解得：x＝50，经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，∴2x＝100．答：甲工程队每天修路100米，乙工程队每天修路50米．（2）设安排乙工程队施工m天，则安排甲工程队施工＝（36﹣0.5m）天，依题意，得：0.5m+1.2（36﹣0.5m）≤40，解得：m≥32．答：至少安排乙工程队施工32天．9．解：（1）设第一次所购大浮杨梅的进货价是每千克x元，由题意得：×3＝，解得：x＝18，经检验：x＝18是原分式方程的解，且符合题意，答：第一次所购大浮杨梅的进货价是每千克18元；（2）540÷18＝30，30×3＝90，30×（30×90%+90×85%）﹣540﹣1710＝855（元），答：该水果店售完这两批杨梅共可获利855元．10．解：（1）设甲种消毒液每件的进价为x元，则乙种消毒液每件的进价为（x+5）元，依题意，得：＝，解得：x＝25，经检验，x＝25是原方程的解，且符合题意，∴x+5＝30．答：甲种消毒液每件的进价为25元，乙种消毒液每件的进价为30元．（2）甲种消毒液购进的数量为1000÷25＝40（件），则乙种消毒液购进的数量也为40件．设甲种消毒液按原销售单价销售了m件，依题意，得：（50﹣25）m+（50×0.7﹣25）（40﹣m）+（60﹣30）×40≥1900，解得：m≥20．答：甲种消毒液按原销售单价至少销售20件．。
2021中考数学复习第二章第三节《分式方程及其应用》课后检测及答案
中考数学复习第二章第三节《分式方程及其应用》课后检测及答案 第三节 分式方程及其应用 姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2019·易错题)解分式方程1x －5－2＝35－x，去分母得( ) A ．1－2(x －5)＝－3B ．1－2(x －5)＝3C ．1－2x －10＝－3D ．1－2x ＋10＝32．(成都中考)分式方程x ＋1x ＋1x －2＝1的解是( ) A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝3D ．x ＝－33．(张家界中考)若关于x 的分式方程m －3x －1＝1的解为x ＝2，则m 的值为( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．24．(衡阳中考)衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产量30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为x 万千克，根据题意，列方程为( )A.30x －361.5x ＝10 B.30x －301.5x ＝10 C.361.5x －30x ＝10 D.30x ＋361.5x＝10 5．(2019·创新题)对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号max {a ，b}表示a ，b 中的较大值，如max {2，4}＝4.按这个规定，方程max {x ，－x}＝2x ＋1x 的解为( ) A ．1－ 2B ．2－ 2C ．1＋2或1－ 2D ．1＋2或－16．(广州中考)方程1x ＝4x ＋6的解是__________． 7．(遂宁中考)A ，B 两市相距200千米，甲车从A 市到B 市，乙车从B 市到A 市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快15千米/小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地．若设乙车的速度是x 千米/小时，则根据题意，可列方程___________________________________________________．8．(连云港中考)解方程：3x －1－2x＝0.9．(2019·原创题)在“父亲节”前夕，某手表店用160 000元购进第一批精致手表，上市后很快预售一空．根据市场需求情况，该手表店又用75 000元购进第二批精致手表．已知第二批精致手表的块数是第一批手表的块数的12，且每块精致手表的进价比第一批的进价少100元．问第二批精致手表每块的进价是多少元？10．(扬州中考)京沪铁路是我国东部沿海地区纵贯南北的交通大动脉，全长1 462 km ，是我国最繁忙的铁路干线之一．如果从北京到上海的客车速度是货车速度的2倍，客车比货车少用6 h ，那么货车的速度是多少？(精确到0.1 km /h )11．(2019·改编题)若－2＜a≤2，且使关于y 的方程y ＋a y －1＋2a 1－y＝2的解为非负数，则符合条件的所有整数a 的和为( )A ．－3B ．－2C ．1D ．212．(寿光模拟)已知关于x 的分式方程m x －1＋31－x＝1的解是非负数，则m 的取值范围是( ) A ．m≥2且m≠3 B．m≥2C ．m>2D ．m>2且m≠313．(眉山中考)已知关于x 的分式方程x x －3－2＝k x －3有一个正数解，则k 的取值范围为_______________________．14．(达州中考)若关于x 的分式方程x x －3＋3a 3－x＝2a 无解，则a 的值为________． 15．(2019·创新题)对于实数a ，b ，定义一种新运算⊗为：a ⊗b ＝1a －b 2，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3＝11－32＝－18，则方程x ⊗(－2)＝2x －4－1的解是__________． 16．(深圳中考)某超市预测某饮料有发展前途，用1 600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6 000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．(1)第一批饮料进货单价为多少元？(2)若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1 200元，那么销售单价至少为多少元？17．(2019·原创题)【材料阅读】观察下列方程的特征及其解的特点；①x＋2x＝－3的解为x 1＝－1，x 2＝－2； ②x＋6x＝－5的解为x 1＝－2，x 2＝－3； ③x＋12x＝－7的解为x 1＝－3，x 2＝－4； ……【问题探究】(1)请你写出一个符合上述特征的方程为________，其解为________；【问题解决】(2)根据这类方程特征，写出第n 个方程为______________________________，其解为________；【拓展延伸】(3)请利用(2)的结论，求关于x 的方程x ＋n 2＋n x ＋3＝－2(n ＋2)(其中n 为正整数)的解．18．(2019·改编题)将四个数a ，b ，c ，d 排成两行、两列，两边各加上一条竖线段，记成⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ，定义：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，上述记号就叫做二阶行列式，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪22x 13－x1x －3＝10，则x ＝________．参考答案【基础训练】1．A 2.A 3.B 4.A 5.D6．x ＝2 7.200x －200x ＋15＝128．解：两边乘x(x －1)得3x －2(x －1)＝0，解得x ＝－2.经检验，x ＝－2是原分式方程的解．∴原分式方程的解是x ＝－2.9．解：设第二批精致手表每块的进价是x 元．依题意有75 000x ＝12·160 000x ＋100，解得x ＝1 500.经检验，x ＝1 500是原分式方程的解，且符合题意．答：第二批精致手表每块的进价是1 500元．10．解：设货车的速度为x km /h .由题意得1 462x －1 4622x ＝6，解得x≈121.8.经检验，x ＝121.8是该方程的解，且符合题意．答：货车的速度是121.8 km /h .【拔高训练】11．C 12.A13．k<6且k≠3 14.1或1215.x ＝5 16．解：(1)设第一批饮料进货单价为x 元，则第二批饮料进货单价为(x ＋2)元．根据题意得3·1 600x ＝6 000x ＋2，解得x ＝8， 经检验，x ＝8是分式方程的解，且符合题意．答：第一批饮料进货单价为8元．(2)设销售单价为m 元，根据题意得200(m －8)＋600(m －10)≥1 200，解得m≥11.答：销售单价至少为11元．17．解：(1)x ＋20x＝－9 x 1＝－4，x 2＝－5 (2)x ＋n 2＋n x＝－(2n ＋1) x 1＝－n ，x 2＝－n －1 (3)∵x＋n 2＋n x ＋3＝－2(n ＋2)， ∴x＋3＋n 2＋n x ＋3＝－2(n ＋2)＋3， ∴x＋3＋n 2＋n x ＋3＝－(2n ＋1)， ∴x＋3＝－n 或x ＋3＝－(n ＋1)，即x 1＝－n －3，x 2＝－n －4.【培优训练】18．4。
2021年中考数学专项训练--二元一次方程分式方程应用题---不等式类利润最大问题(含解析)
二元一次方程分式方程应用题---不等式类利润最大问题一、解答题（共18题；共175分）1.某文具店经销甲、乙两种不同的笔记本，已知：两种笔记本的进价之和为10元，甲种笔记本每本获利2元，乙种笔记本每本获利1元，小玲同学买4本甲种笔记本和3本乙种笔记本共用了47元.（1）甲、乙两种笔记本的进价分别是多少元？（2）该文具店购入这两种笔记本共60本，花费不超过296元，则购买甲种笔记本多少本时文具店获利最大？2.茶为国饮，茶文化是中国传统文化的重要组成部分，这也带动了茶艺、茶具、茶服等相关文化的延伸及产业的发展，在“春季茶叶节”期间，某茶具店老板购进了、两种不同的茶具.若购进种茶具1套和种茶具2套，需要250元；若购进种茶具3套和种茶具4套则需要600元.（1）、两种茶具每套进价分别为多少元？（2）由于茶具畅销，老板决定再次购进、两种茶具共80套，茶具工厂对两种类型的茶具进行了价格调整，种茶具的进价比第一次购进时提高了，种茶具的进价按第一次购进时进价的八折；如果茶具店老板此次用于购进、两种茶具的总费用不超过6240元，则最多可购进种茶具多少套？（3）若销售一套种茶具，可获利30元，销售一套种茶具可获利20元，在（2）的条件下，如何进货可使再次购进的茶具获得最大的利润？最大的利润是多少？3.郴州市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者．如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元．（1）A、B两种奖品每件各多少元？（2）现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A种奖品最多购买多少件？4.深圳某居民小区计划对小区内的绿化进行升级改造，计划种植A，B两种观赏盆栽植物700盆．其中A种盆栽每盆16元，B种盆栽每盆20元．相关资料表明：A，B两种盆栽的成活率分别为93%和98%．（1）若购买这两种盆栽共用11600元，则A，B两种盆栽各购买了多少盆？（2）要使这批盆栽的成活率不低于95%，则A种盆栽最多可购买多少盆？（3）在（2）的条件下，应如何选购A，B两种盆栽，使购买盆栽的费用最低，此时最低费用为多少？5.某职业高中机电班共有学生42人，其中男生人数比女生人数的2倍少3人．（1）该班男生和女生各有多少人？（2）某工厂决定到该班招录30名学生，经测试，该班男、女生每天能加工的零件数分别为50个和45个，为保证他们每天加工的零件总数不少于1460个，那么至少要招录多少名男学生？6.某学校计划购进A，B两种树木共100棵进行校园绿化升级，经市场调查：购买A种树木2棵，B种树木5棵，共需600元；购买A种树木3棵，B种树木1棵，共需380元．（1）求A种，B种树木每棵各多少元？（2）因布局需要，购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍．学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下（不考虑其他因素），实际付款总金额按市场价九折优惠，请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用．7.为了能以“更新、更绿、更洁、更宁”的城市形象迎接2011年大运会的召开，深圳市全面实施市容市貌环境提升行动，某工程队承担了一段长1500米的道路绿化工程，施工时有两种绿化方案：甲方案是绿化1米的道路需要A型花2枝和B型花3枝，成本是22元；乙方案是绿化1米的道路需要A型花1枝和B型花5枝，成本是25元.现要求按照乙方案绿化道路的总长度不能少于按甲方案绿化道路的总长度的2倍.（1）求A型花和B型花每枝的成本分别是多少元？（2）求当按甲方案绿化的道路总长度为多少米时，所需工程的总成本最少？总成本最少是多少元？8.深圳市某校对初三综合素质测评中的审美与艺术进行考核，规定如下：考核综合评价得分由测试成绩（满分100分）和平时成绩（满分100 分）两部分组成，其中测试成绩占80%，平时成绩占20%，并且当综合评价得分大于或等于80 分时，该生综合评价为A 等．（1）小明同学的测试成绩和平时成绩两项得分之和为185 分，而综合评价得分为91 分，则小明同学测试成绩和平时成绩各得多少分？（2）某同学测试成绩为70 分，他的综合评价得分有可能达到A 等吗？为什么？（3）如果一个同学综合评价要达到A 等，他的测试成绩至少要多少分？9.某科技有限公司准备购进A和B两种机器人来搬运化工材料，已知购进A种机器人2个和B种机器人3个共需16万元；购进A种机器人3个和B种机器人2个共需14万元.请解答下列问题：（1）求A，B两种机器人每个的进价；（2）已知该公司购买B种机器人的个数比购买A种机器人的个数的2倍多4个，如果需要购买A、B两种种机器人的总个数不少于28个，且该公司购买的A、B两种种机器人的总费用不超过106万元，那么该公司有哪几种购买方案？10.为了抓住世博会商机，某商店决定购进A、B两种世博会纪念品，若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元．（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？（2）若该商店决定拿出4000元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且不超过B钟纪念品数量的8倍，那么该商店共有几种进货方案？（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少？11.某商场销售甲，乙两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如下表所示：该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元．（毛利润=（售价进价）×销售量）（1）该商场计划购进甲，乙两种品牌的教学设备各多少套？（2）通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少甲种教学设备的购进数量，增加乙种教学设备的购进数量，已知乙种教学设备增加的数量是甲种教学设备减少数量的1.5倍．若用于购进这两种教学设备的总资金不超过69万元，问甲种教学设备购进数量至多减少多少套？12.为支援雅安灾区，某学校计划用“义捐义卖”活动中筹集的部分资金用于购买A、B两种型号的学习用品共1000件，已知A型学习用品的单价为20元，B型学习用品的单价为30元．（1）若购买这批学习用品用了26000元，则购买A、B两种学习用品各多少件？（2）若购买这批学习用品的钱不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？13.某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．①求y关于x的函数关系式；②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0＜m＜100）元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．14.植树节期间，某单位欲购进A、B两种树苗，若购进A种树苗3棵，B种树苗5颗，需2100元，若购进A种树苗4颗，B种树苗10颗，需3800元．（1）求购进A、B两种树苗的单价；（2）若该单位准备用不多于8000元的钱购进这两种树苗共30棵，求A种树苗至少需购进多少棵？15.已知购买1个足球和1个篮球共需130元，购买2个足球和1个篮球共需180元．（1）求每个足球和每个篮球的售价；（2）如果某校计划购买这两种球共54个，总费用不超过4000元，问最多可买多少个篮球？16.甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材，若甲单独整理需要40分钟完工，若甲、乙共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工.（1）问乙单独整理多少分钟完工？（2）若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？17.惠好商场用24000元购进某种玩具进行销售，由于深受顾客喜爱，很快脱销，惠好商场又用50000元购进这种玩具，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每套进价比第一次多了10元．（Ⅰ）惠好商场第一次购进这种玩具多少套？（Ⅱ）惠好商场以每套300元的价格销售这种玩具，当第二次购进的玩具售出时，出现了滞销，商场决定降价促销，若要使第二次购进的玩具销售利润率不低于12%，剩余的玩具每套售价至少要多少元？18.某修理厂需要购进甲、乙两种配件，经调查，每个甲种配件的价格比每个乙种配件的价格少0.4万元，且用16万元购买的甲种配件的数量与用24万元购买的乙种配件的数量相同.（1）求每个甲种配件、每个乙种配件的价格分别为多少万元；（2）现投入资金80万元，根据维修需要预测，甲种配件要比乙种配件至少要多22件,问乙种配件最多可购买多少件.答案解析部分一、解答题1.【答案】（1）解：设甲种笔记本的进价为m元，乙种笔记本的进价为n元..由题意得，解得，答：甲种笔记本的进价是6元/本，乙种笔记本的进价是4元/本.（2）解：设购入甲种笔记本x本，则购入乙种笔记本(60﹣x)本，根据题意得6x+4(60﹣x)≤296，解得n≤28，设利润为y元，则y＝2x+(60﹣x)，即y＝x+60，∵k＝1＞0，∴y随x的增大而增大，∴当x＝28时文具店获利最大.答：购入甲种笔记本最多28本，此时获利最大.【解析】【分析】(1)设甲种笔记本的进价为m元，乙种笔记本的进价为n元.根据王同学买4本甲种笔记本和3本乙种笔记本共用了47元，列出方程组即可解决问题；(2)设购入甲种笔记本x本，根据购入这两种笔记本共60本，花费不超过296元，列出不等式求出x的取值范围；设利润为y元，根据题意得出y与x的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可.2.【答案】（1）解：设种茶具每套进价为元，种茶具每套进价为元，解之得：.∴种茶具每套进价为100元，种茶具每套进价为75元.（2）解：设再次购进种茶具套，则购进种茶具套，，，，，∴最多可购进种茶具30套.（3）解：设总利润为元，则.∵，随的增大而增大，又∵，∴当时最大（元），∴当购进种茶具30套时，种茶具的数量：（套），∴再次购进种茶具30套，种茶具50套可使利润最大，最大利润为1900元.【解析】【分析】（1）设种茶具每套进价为元，种茶具每套进价为元，根据题目中的等量关系列出方程进而求解即可.（2）设再次购进种茶具套，则购进种茶具套，此次用于购进、两种茶具的总费用不超过6240元，列出不等式，即可求解.（3）设总利润为元，则.根据一次函数的性质即可求解.3.【答案】（1）设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，根据题意得：，解得：，答：A种奖品每件16元，B种奖品每件4元；（2）设A种奖品购买a件，则B种奖品购买（100﹣a）件，根据题意得：16a+4（100﹣a）≤900，解得：a≤ ，∵a为整数，∴a≤41，答：A种奖品最多购买41件．【解析】【分析】（1）根据两种情况下购买的总价列出二元一次方程组并求解；（2）设出A种奖品购买a件，则B种奖品购买（100﹣a）件。
2021年九年级中考数学 专题训练：分式方程及其应用(含答案)
2021中考数学 专题训练：分式方程及其应用一、选择题1. 甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作．从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是( )A. 8B. 7C. 6D. 52. 分式方程1x+2=1的解是 ( )A .x=1B .x=-1C .x=2D .x=-23. （2020·抚顺本溪辽阳）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x 件，根据题意可列方程为（ ） A ．3000x ＝420080x - B ．3000x ＋80＝4200x C ．4200x ＝3000x －80 D ．3000x ＝420080x +4. (2020·成都)已知x ＝2是分式方程1的解，那么实数k 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65. (2020自贡)某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%，结果提前40天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ） A ．40 B ．40 C ．40D ．406. （2020·重庆A 卷）若关于x 的一元一次不等式组3132x x x a-⎧≤+⎪⎨⎪≤⎩的解集为x ≤a ；且关于y 的分式方程34122y a y y y --+=--有正整数解，则所有满足条件的整数a 的值之积是( ) A ．7 B ．-14C ．28D ．-567. （2020·齐齐哈尔）若关于x 的分式方程3x x －2＝m2－x+5的解为正数，则m 的取值范围为（ ）A ．m ＜﹣10B ．m ≤﹣10C ．m ≥﹣10且m ≠﹣6D ．m ＞﹣10且m ≠﹣68. (2020·荆门)已知关于的分式方程232x x +-＝(2)(3)k x x -+＋2的解满足－4＜x ＜－1，且k 为整数，则符合条件的所有k 值的乘积为( )A ．正数B ．负数C ．零D ．无法确定二、填空题9. 方程+=1的解是 .10. 方程12x ＝2x －3的解是________．11. 一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h ，它以最大航速沿江顺流航行120 km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km 所用时间相同，则江水的流速为 km/h .12. （2020·南京）方程1x x -＝12x x -+的解是______.13. (2020·绥化)某工厂计划加工一批零件240个，实际每天加工零件的个数是原计划的1.5倍，结果比原计划少用2天，设原计划每天加工零件x 个，可列方程______．14. (2020·湘潭)若37y x =，则x yx -=________．15. 若分式方程x －ax ＋1＝a 无解，则a 的值为________.16. （2020·内江）若数a使关于x 的分式方程2311x ax x++=--的解为非负数，且使关于y 的不等式组()3113431220y y y a -+⎧-≥-⎪⎨⎪-<⎩的解集为0y ≤，则符合条件的所有整数a 的积为_____________三、解答题17. （2020·遵义）解方程x -12＝x -32318. A、B两种型号的机器加工同一种零件，已知A型机器比B型机器每小时多加工20个零件，A型机器加工400个零件所用时间与B型机器加工300个零件所用时间相同，求A型机器每小时加工零件的个数．19. （2020·泰安）中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4 000元购进了A种茶叶若干盒，用8 400元购进了B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍．（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？（2）第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5 800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？20. （12分）小刚去超市买画笔，第一次花60元买了若干支A型画笔，第二次超市推荐了B型画笔，但B型画笔比A型画笔的单价贵2元，他又花100元买了相同支数的B型画笔.（1）超市B型画笔单价多少元？（2）小刚使用两种画笔后，决定以后使用B型画笔，但感觉其价格稍贵，和超市沟通后，超市给出以下优惠方案：一次性购买不超过20支，则每支B型画笔打九折；若一次购买超过20支，则前20支打九折，超过的部分打八折，设小刚购买的B型画笔x支，购买费用为y元，请写出y关于x的函数关系式.（3）在（2）的优惠方案下，若小刚计划用270元购买B型画笔，则能购买多少支B型画笔？2021中考数学 专题训练：分式方程及其应用-答案一、选择题1. 【答案】A【解析】设甲志愿者计划完成此项工作的天数为x 天，依题意得1x ×2＋(1x ＋1x )(x －2－3)＝1, 解得x ＝8.2. 【答案】B[解析]去分母得，1=x +2，移项，合并同类项，得:x=-1，经检验，x=-1是原分式方程的解，∴x=-1，故选B .3. 【答案】D 【解析】由“原来公司投递快件的能力每周3000件，”可知快递公司人数可表示为3000x 人，由“快递公司为快递员更换了快捷的交通工具后投递快件的能力由每周3000件提高到4200件”，可知快递公司人数可表示为420080x +人，再结合快递公司人数不变可列方程：3000x ＝420080x +．故选项D 正确．4. 【答案】B 【解析】把x ＝2代入分式方程计算即可求出k 的值．解：把x ＝2代入分式方程得：1＝1，解得：k ＝4．故选：B ．5. 【答案】 A ．【解析】本题考查了分式方程在实际问题中的应用，本题数量关系清晰，难度不大，解：设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则原计划每天绿化的面积为万平方米， 依题意，得：40，即40．因此本题选A ．6. 【答案】A 【解析】 对于不等式组313,2x x x a -⎧≤+⎪⎨⎪≤⎩①②，解不等式①，得x ≤7.解不等式②，得x ≤a .因为不等式组的解集为x ≤a ，∴a ≤7.对于分式方程34122y a y y y --+=--，去分母，得y -a +3y -4=y -2,解这个整式方程，得y =+23a .因为a ≤7，所以当a =1,4,7时+23a 为正整数.当a =4时， y =2是分式方程的增根，分式方程无解.综上，可得a =1或7，它们的积为1×7=7.7. 【答案】 D【解析】分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出m 的范围即可．去分母得：3x ＝﹣m +5（x ﹣2），解得：x ＝m ＋102，由方程的解为正数，得到m +10＞0，且m +10≠4，则m 的范围为m ＞﹣10且m ≠﹣6，故选：D ．8. 【答案】A【解析】解原分式方程得x ＝217k -，且x ≠2，－3．∵分式方程的解满足－4＜x＜－1，∴－4＜217k -＜－1且217k -≠－3．解得－7＜k ＜14且k ≠0．∴整数k ＝－6，－5，－4，－3，－2，－1，1，…，13．其中有6个负数，13个正数，因此它们的积是正数．故选A ．二、填空题9. 【答案】x=-2[解析]原方程可化为=1，去分母，得(2x -1)(x +1)-2=(x +1)(x -1)，解得x 1=1，x 2=-2， 经检验x 1=1是增根，x 2=-2是原方程的解， ∴原方程的解为x=-2.故答案为x=-2.10. 【答案】x ＝－1 【解析】化简12x ＝2x －3得x －3＝4x ，则－3x ＝3，所以x ＝－1，经检验x ＝－1是原方程的根．11. 【答案】10[解析]设江水的流速为x km/h ，根据题意可得:=，解得:x=10，经检验，x=10是原方程的根，且符合题意，所以江水的流速为10 km/h .12. 【答案】 x ＝14【解析】去分母，得：x(x ＋2)＝(x －1)2，去括号，得：x 2＋2x ＝x 2－2x ＋1，移项、合并同类项，得：4x ＝1，系数化为1，得：x ＝14.检验：当x ＝14时，(x －1)(x ＋2)≠0，故x ＝14是原分式方程的根.13. 【答案】240x ＝2401.5x ＋2 【解析】实际每天加工零件1.5x 个．原计划的工作时间＝240x (天)，实际的工作时间＝2401.5x (天)，根据“结果比原计划少用2天”可列方程240x ＝2401.5x ＋2．14. 【答案】47【解析】本题主要考查了比的基本性质，准确利用性质变形是解题的关键． 根据比例的基本性质变形，代入求职即可； 由37y x =可设3y k =，7x k =，k 是非零整数， 则7344777--===x y k k k x k k ． 故答案为：47．15. 【答案】17[解析] 由方程x －4x＝3得x －4＝3x.解得x ＝－2.当x ＝－2时，x≠0.所以x ＝－2是方程x －4x ＝3的解．又因为方程ax a －1－2x －1＝1的解与方程x －4x ＝3的解相同，因此x ＝－2也是方程ax a －1－2x －1＝1的解．这时－2a a －1－2－2－1＝1.解得a ＝17.当a ＝17时，a －1≠0，故a ＝17满足条件．16. 【答案】40【解析】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合不等式组的解集为0y ≤，找出a 的取值范围是解题的关键．根据分式方程的解为正数即可得出a ≤5且a ≠3，根据不等式组的解集为0y ≤，即可得出a >0，找出0<a ≤5且a ≠3中所有的整数，将其相乘即可得出结论．分式方程2311x a x x ++=--的解为x =52a -且x ≠1，∵分式方程2311x ax x++=--的解为非负数，∴502a -≥且52a -≠1.∴a ≤5且a ≠3.()3113431220y y y a -+⎧-≥-⎪⎨⎪-<⎩①②解不等式①，得0y ≤.解不等式②，得y <a .∵关于y 的不等式组()3113431220y y y a -+⎧-≥-⎪⎨⎪-<⎩的解集为0y ≤，∴a >0. ∴0<a ≤5且a ≠3.又a 为整数，则a 的值为1，2，4，5.符合条件的所有整数a 的积为124540⨯⨯⨯=．因此本题答案为：40．三、解答题17. 【答案】解: 去分母，得2x －3＝3x －6解得x ＝3;检验:把x ＝3带入(x －2) (2x －3) ≠0所以x ＝3是原分式方程的解．18. 【答案】解：设A 型机器每小时加工x 个零件，则B 型机器每小时加工(x －20)个零件．依题意得：400x ＝300x －20，(2分)∴400x －8000＝300x ，(4分) ∴100x ＝8000， 解得x ＝80.(6分)经检验：x ＝80是原方程的解，且符合题意．(7分) 答：A 型机器每小时加工80个零件．(8分)19. 【答案】（1）设A 种茶叶每盒进价为x 元，则B 种茶叶每盒进价为1.4x 元． 根据题意，得：4000x ＋10﹦84001.4x ． 解得x ﹦200．经检验：x ﹦200是原方程的根． ∴1.4x ﹦1.4×200﹦280（元）．∴A ，B 两种茶叶每盒进价分别为200元，280元．（2）设第二次A 种茶叶购进m 盒，则B 种茶叶购进（100—m ）盒．打折前A 种茶叶的利润为m2 ×100﹦50m ．B 种茶叶的利润为100—m2 ×120﹦6 000—60m ．打折后A 种茶叶的利润为m2 ×10﹦5m ． B 种茶叶的利润为0．由题意得：50m ＋6 000—60m ＋5m ﹦5800． 解方程，得：m ﹦40．∴100—m ﹦100—40﹦60（盒）．∴第二次购进A 种茶叶40盒，B 种茶叶60盒．20. 【答案】解：（1）设超市B 型画笔单价a 元，则A 型画笔单价为（a -2）元， 由题意列方程，得601002a a=-， 解得，5a =.经检验5a =是原分式方程的根. 答：超市B 型画笔单价是5元. （2）由题意知，当小刚购买的B型画笔支数x≤20时，费用为y=0.9×5x=4.5x；当小刚购买的B型画笔支数x＞20时，费用为y=20×0.9+（x-20）×0.8×5=4x+10.所以4.5,(20)410,()x xyx x≤⎧=⎨+⎩＞20，其中x为正整数.（3）当4.5x=270（x≤20）时，解得x=60，因为60＞20不符合题意，舍去. 当4x+10=270（x＞20）时，解得x=65.答：小刚能购买65支B型画笔.。
2021中考专题—分式方程【试卷+答案】
2021中考专题—分式方程【试卷+答案】七．分式方程的解（共12小题）39．（2020•云南）若整数a 使关于x 的不等式组{x−12≤11+x34x −a ＞x +1，有且只有45个整数解，且使关于y 的方程2y+a+2y+1+601+y=1的解为非正数，则a 的值为（ ）A ．﹣61或﹣58B ．﹣61或﹣59C ．﹣60或﹣59D ．﹣61或﹣60或﹣5940．（2020•鸡西）若关于x 的分式方程2x−1=m x有正整数解，则整数m 的值是（ ）A ．3B ．5C ．3或5D ．3或441．已知关于x 的分式方程2x+3x−2=k (x−2)(x+3)+2的解满足﹣4＜x ＜﹣1，且k 为整数，则符合条件的所有k 值的乘积为（ ） A ．正数B ．负数C ．零D ．无法确定42．（2020•牡丹江）若关于x 的方程m x+1−2x=0的解为正数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜2B ．m ＜2且m ≠0C ．m ＞2D ．m ＞2且m ≠443．（2020•黑龙江）已知关于x 的分式方程xx−2−4=k2−x的解为正数，则k 的取值范围是（ ） A ．﹣8＜k ＜0B ．k ＞﹣8且k ≠﹣2C ．k ＞﹣8 且k ≠2D ．k ＜4且k ≠﹣244．（2020•泸州）已知关于x 的分式方程m x−1+2=−31−x的解为非负数，则正整数m 的所有个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．645．（2020•齐齐哈尔）若关于x 的分式方程3x x−2=m 2−x+5的解为正数，则m 的取值范围为（ ） A ．m ＜﹣10B ．m ≤﹣10C ．m ≥﹣10且m ≠﹣6D ．m ＞﹣10且m ≠﹣646．（2020•黑龙江）已知关于x 的分式方程x x−3−4=k3−x 的解为非正数，则k 的取值范围是（ ） A ．k ≤﹣12B ．k ≥﹣12C ．k ＞﹣12D ．k ＜﹣1247．（2020•成都）已知x ＝2是分式方程k x+x−3x−1=1的解，那么实数k 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．648．（2020•重庆）若关于x 的一元一次不等式组{3x−12≤x +3，x ≤a的解集为x ≤a ；且关于y的分式方程y−a y−2+3y−4y−2=1有正整数解，则所有满足条件的整数a 的值之积是（ ）A ．7B ．﹣14C ．28D ．﹣5649．（2020•重庆）若关于x 的一元一次不等式组{2x −1≤3(x −2)，x−a 2＞1的解集为x ≥5，且关于y 的分式方程y y−2+a 2−y=−1有非负整数解，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）A ．﹣1B ．﹣2C ．﹣3D ．050．（2020•枣庄）对于实数a 、b ，定义一种新运算“⊗”为：a ⊗b =1a−b2，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3=11−32=−18．则方程x ⊗（﹣2）=2x−4−1的解是（ ） A ．x ＝4B ．x ＝5C ．x ＝6D ．x ＝7一．分式方程的解（共3小题） 1．（2020•眉山）关于x 的分式方程1x−2+2=1−k2−x的解为正实数，则k 的取值范围是 ． 2．（2020•广元）关于x 的分式方程m2x−1+2＝0的解为正数，则m 的取值范围是 ．3．（2020•内江）若数a 使关于x 的分式方程x+2x−1+a 1−x=3的解为非负数，且使关于y 的不等式组{y−34−y+13≥−13122(y −a)＜0的解集为y ≤0，则符合条件的所有整数a 的积为 ． 二．解分式方程（共25小题） 4．（2020•海南）分式方程3x−2=1的解是（ ）A ．x ＝﹣1B ．x ＝1C ．x ＝5D ．x ＝25．（2020•广元）按照如图所示的流程，若输出的M ＝﹣6，则输入的m 为（ ）A ．3B ．1C ．0D ．﹣16．（2020•哈尔滨）方程2x+5=1x−2的解为（ ）A ．x ＝﹣1B ．x ＝5C ．x ＝7D ．x ＝97．（2020•甘孜州）分式方程3x−1−1＝0的解为（ ）A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x ＝3D ．x ＝48．（2020•济南）代数式3x−1与代数式2x−3的值相等，则x ＝ ．9．（2020•河池）方程12x+1=1x−2的解是x ＝ ．10．（2020•包头）分式方程3−x x−2+x2−x=1的解是 ．11．（2020•广州）方程x x+1=32x+2的解是 ．12．（2020•徐州）方程9x=8x−1的解为 ． 13．（2020•盐城）分式方程x−1x=0的解为x ＝ ．14．（2020•淮安）方程3x−1+1＝0的解为 ． 15．（2020•菏泽）方程x−1x =x+1x−1的解是 ． 16．（2020•南京）方程xx−1=x−1x+2的解是 ．17．（2020•杭州）若分式1x+1的值等于1，则x ＝ ． 18．（2020•西藏）分式方程2x−1=3x+1的解为 ．19．（2020•日照）（1）计算：√−83+（23）﹣1−√3×cos30°；（2）解方程：x−3x−2+1=32−x ．20．（2020•大庆）解方程：2x x−1−1=4x−1．21．（2020•镇江）（1）解方程：2x x+3=1x+3+1；（2）解不等式组：{4x +2＞x −7，3(x −2)＜4+x ．22．（2020•通辽）解方程：2x−2=3x．23．（2020•郴州）解方程：x x−1=4x 2−1+1．24．（2020•常州）解方程和不等式组： （1）x x−1+21−x=2；（2）{2x −6＜0−3x ≤6．25．（2020•湘潭）解分式方程：3x−1+2=xx−1． 26．（2020•陕西）解分式方程：x−2x−3x−2=1．27．（2020•苏州）解方程：x x−1+1=2x−1． 28．（2020•遵义）计算：（1）sin30°﹣（π﹣3.14）0+（−12）﹣2；（2）解方程；1x−2=32x−3．三．换元法解分式方程（共1小题） 29．（2020•上海）用换元法解方程x+1x +x 2x+1=2时，若设x+1x =y ，则原方程可化为关于y的方程是（ ） A ．y 2﹣2y +1＝0B ．y 2+2y +1＝0C ．y 2+y +2＝0D ．y 2+y ﹣2＝0四．分式方程的增根（共3小题） 30．（2020•遂宁）关于x 的分式方程m x−2−32−x=1有增根，则m 的值为（ ） A ．m ＝2B ．m ＝1C ．m ＝3D ．m ＝﹣331．（2020•巴中）若关于x 的分式方程x+3x−1=m x(1−x)有增根，则m ＝ ．32．（2020•潍坊）若关于x 的分式方程3x x−2=m+3x−2+1有增根，则m ＝ ．五．由实际问题抽象出分式方程（共15小题）33．（2020•柳州）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等，设乙每小时做x 个零件，以下所列方程正确的是（ ） A ．90x−6=60xB ．90x=60x+6C ．90x+6=60xD ．90x=60x−634．（2020•阜新）在“建设美丽阜新”的行动中，需要铺设一段全长为3000m 的污水排放管道．为了尽量减少施工时对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成这一任务．设实际每天铺xm 管道，根据题意，所列方程正确的是（ ） A ．3000x−3000(1+25%)x=30B ．3000(1+25%)x −3000x=30C ．3000(1−25%)x−3000x =30D ．3000x−3000(1+25%)x=3035．（2020•朝阳）某体育用品商店出售毽球，有批发和零售两种售卖方式，小明打算为班级购买毽球，如果给每个人买一个毽球，就只能按零售价付款，共需80元；如果小明多购买5个毽球，就可以享受批发价，总价是72元．已知按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同，则小明班级共有多少名学生？设班级共有x 名学生，依据题意列方程得（ ） A ．50×80x =72x+5×40 B ．40×80x =72x+5×50 C ．40×72x−5=80x ×50 D ．50×72x−5=80x×40 36．（2020•鞍山）甲、乙两人加工某种机器零件，已知每小时甲比乙少加工6个这种零件，甲加工240个这种零件所用的时间与乙加工300个这种零件所用的时间相等，设甲每小时加工x 个零件，所列方程正确的是（ ） A ．240x =300x−6B ．240x =300x+6 C ．240x−6=300xD ．240x+6=300x37．（2020•呼伦贝尔）甲、乙两人做某种机械零件，已知甲做240个零件与乙做280个零件所用的时间相等，两人每天共做130个零件．设甲每天做x 个零件，下列方程正确的是（ ） A ．240x =280130−x B ．240130−x=280xC ．240x+280x=130 D ．240x−130=280x 38．（2020•广西）甲、乙两地相距600km ，提速前动车的速度为vkm /h ，提速后动车的速度是提速前的1.2倍，提速后行车时间比提速前减少20min ，则可列方程为（ ）A ．600v −13=6001.2v B ．600v =6001.2v −13C ．600v−20=6001.2vD ．600v=6001.2v−2039．（2020•十堰）某厂计划加工180万个医用口罩，第一周按原计划的速度生产，一周后以原来速度的1.5倍生产，结果比原计划提前一周完成任务．若设原计划每周生产x 万个口罩，则可列方程为（ ） A ．180−x x =180−x 1.5x+1 B ．180−x x =180−x 1.5x−1C ．180x=1801.5x+2 D ．180x=1801.5x−240．（2020•宜宾）学校为了丰富学生知识，需要购买一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多8元，已知学校用15000元购买科普类图书的本数与用12000元购买文学类图书的本数相等．设文学类图书平均每本x 元，则列方程正确的是（ ） A ．15000x−8=12000x B ．15000x+8=12000x C ．15000x=12000x−8D ．15000x=12000x+841．八年级学生去距学校10km 的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为xkm /h ，则可列方程为（ ） A ．102x −10x =20 B ．10x −102x =20C ．10x−102x=13D ．102x−10x=1342．（2020•辽阳）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x 件，根据题意可列方程为（ ） A ．3000x =4200x−80B ．3000x +80=4200xC ．4200x=3000x−80D ．3000x=4200x+8043．（2020•福建）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x 株，则符合题意的方程是（ ） A ．3（x ﹣1）=6210xB ．6210x−1=3C ．3x ﹣1=6210xD ．6210x=344．（2020•长沙）随着5G 网络技术的发展，市场对5G 产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G 产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产x 万件产品，依题意得（ ） A ．400x−30=500xB ．400x=500x+30C ．400x=500x−30D ．400x+30=500x45．（2020•自贡）某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%，结果提前40天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ） A ．80(1+35%)x −80x=40 B ．80(1+35%)x−80x=40 C ．80x−80(1+35%)x=40 D ．80x−80(1+35%)x=4046．（2020•绥化）某工厂计划加工一批零件240个，实际每天加工零件的个数是原计划的1.5倍，结果比原计划少用2天．设原计划每天加工零件x 个，可列方程 ． 47．（2020•嘉兴）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x 人，则可列方程 ． 六．分式方程的应用（共3小题）48．（2020•绵阳）甲、乙二人同驾一辆车出游，各匀速行驶一半路程，共用3小时，到达目的地后，甲对乙说：“我用你所花的时间，可以行驶180km ”，乙对甲说：“我用你所花的时间，只能行驶80km ”．从他们的交谈中可以判断，乙驾车的时长为（ ） A ．1.2小时B ．1.6小时C ．1.8小时D ．2小时49．（2020•昆明）某校举行“停课不停学，名师陪你在家学”活动，计划投资8000元建设几间直播教室，为了保证教学质量，实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了4000元．根据题意，求出原计划每间直播教室的建设费用是（）A．1600元B．1800元C．2000元D．2400元50．（2020•贵港）在今年新冠肺炎防疫工作中，某公司购买了A、B两种不同型号的口罩，已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多1.5元，且用8000元购买A型口罩的数量与用5000元购买B型口罩的数量相同．（1）A、B两种型号口罩的单价各是多少元？（2）根据疫情发展情况，该公司还需要增加购买一些口罩，增加购买B型口罩数量是A 型口罩数量的2倍，若总费用不超过3800元，则增加购买A型口罩的数量最多是多少个？一．分式方程的应用（共26小题）1．（2020•黔南州）某单位计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，乙种品牌消毒剂每瓶的价格比甲种品牌消毒剂每瓶价格的3倍少50元，已知用300元购买甲种品牌消毒剂的数量与用400元购买乙种品牌消毒剂的数量相同．（1）求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元？（2）若该单位从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共40瓶，且总费用为1400元，求购买了多少瓶乙种品牌消毒剂？2．（2020•锦州）某帐篷厂计划生产10000顶帐篷，由于接到新的生产订单，需提前10天完成这批任务，结果实际每天生产帐篷的数量比计划每天生产帐篷的数量增加了25%，那么计划每天生产多少顶帐篷？3．（2020•葫芦岛）某中学为了创设“书香校园”，准备购买A，B两种书架，用于放置图书．在购买时发现，A种书架的单价比B种书架的单价多20元，用600元购买A种书架的个数与用480元购买B种书架的个数相同．（1）求A，B两种书架的单价各是多少元？（2）学校准备购买A，B两种书架共15个，且购买的总费用不超过1400元，求最多可以购买多少个A种书架？4．（2020•桂林）某学校为丰富同学们的课余生活，购买了一批数量相等的象棋和围棋供兴趣小组使用，其中购买象棋用了420元，购买围棋用了756元，已知每副围棋比每副象棋贵8元．（1）求每副围棋和象棋各是多少元？（2）若该校决定再次购买同种围棋和象棋共40副，且再次购买的费用不超过600元，则该校最多可再购买多少副围棋？5．（2020•赤峰）甲、乙两支工程队修建二级公路，已知甲队每天修路的长度是乙队的2倍，如果两队各自修建公路500m，甲队比乙队少用5天．（1）求甲，乙两支工程队每天各修路多少米？（2）我市计划修建长度为3600m的二级公路，因工程需要，须由甲、乙两支工程队来完成．若甲队每天所需费用为1.2万元，乙队每天所需费用为0.5万元，求在总费用不超过40万元的情况下，至少安排乙队施工多少天？6．（2020•沈阳）某工程队准备修建一条长3000m的盲道，由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加25%，结果提前2天完成这一任务，原计划每天修建盲道多少米？7．（2020•益阳）“你怎么样，中国便是怎么样；你若光明，中国便不黑暗”．2019年，一场新冠肺炎疫情牵扯着人们的心灵，各界人士齐心协力，众志成城．针对资源急需问题，某医疗设备公司紧急复工，但受疫情影响，医用防护服生产车间仍有7人不能到厂生产．为了应对疫情，已复产的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每小时完成的工作量不变．原来每天能生产防护服800套，现在每天能生产防护服650套．（1）求原来生产防护服的工人有多少人？（2）复工10天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍然为10小时．公司决定将复工后生产的防护服14500套捐献给某地，则至少还需要生产多少天才能完成任务？8．（2020•丹东）为帮助贫困山区孩子学习，某学校号召学生自愿捐书，已知七、八年级同学捐书总数都是1800本，八年级捐书人数比七年级多150人，七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的1.5倍．求八年级捐书人数是多少？9．（2020•永州）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？10．（2020•长春）在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？11．（2020•吉林）甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．求乙每小时做零件的个数．12．（2020•云南）某地响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展“美化绿色城市”活动，绿化升级改造了总面积为360万平方米的区域．实际施工中，由于采用了新技术，实际平均每年绿化升级改造的面积是原计划平均每年绿化升级改造的面积的2倍，所以比原计划提前4年完成了上述绿化升级改造任务．实际平均每年绿化升级改造的面积是多少万平方米？13．（2020•威海）在“旅游示范公路”建设的过程中，工程队计划在海边某路段修建一条长1200m的步行道．由于采用新的施工方式，平均每天修建步行道的长度是计划的1.5倍，结果提前5天完成任务．求计划平均每天修建步行道的长度．14．（2020•张家界）今年疫情防控期间，某学校花2000元购买了一批消毒液以满足全体师生的需要．随着疫情的缓解以及各种抗疫物资供应更充足，消毒液每瓶下降了2元，学校又购买了一批消毒液，花1600元购买到的数量与第一次购买到的数量相等，求第一批购进的消毒液的单价．15．（2020•岳阳）为做好复工复产，某工厂用A、B两种型号机器人搬运原料，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20kg，且A型机器人搬运1200kg所用时间与B型机器人搬运1000kg所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料．16．（2020•牡丹江）某商场准备购进A，B两种书包，每个A种书包比B种书包的进价少20元，用700元购进A种书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍，A种书包每个标价是90元，B种书包每个标价是130元．请解答下列问题：（1）A，B两种书包每个进价各是多少元？（2）若该商场购进B种书包的个数比A种书包的2倍还多5个，且A种书包不少于18个，购进A ，B 两种书包的总费用不超过5450元，则该商场有哪几种进货方案？ （3）该商场按（2）中获利最大的方案购进书包，在销售前，拿出5个书包赠送给某希望小学，剩余的书包全部售出，其中两种书包共有4个样品，每种样品都打五折，商场仍获利1370元．请直接写出赠送的书包和样品中，B 种书包各有几个？17．（2020•广东）某社区拟建A ，B 两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A 类摊位的占地面积比每个B 类摊位的占地面积多2平方米．建A 类摊位每平方米的费用为40元，建B 类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A 类摊位的个数恰好是用同样面积建B 类摊位个数的35．（1）求每个A ，B 类摊位占地面积各为多少平方米？（2）该社区拟建A ，B 两类摊位共90个，且B 类摊位的数量不少于A 类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．18．（2020•扬州）如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染． 进货单 商品 进价（元/件）数量（件）总金额（元）甲7200 乙3200商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下： 李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%． 王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件． 请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．19．（2020•襄阳）在襄阳市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式．改进后，现在每天用水量是原来每天用水量的45，这样120吨水可多用3天，求现在每天用水量是多少吨？20．（2020•连云港）甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：（1）甲、乙两公司各有多少人？（2）现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A、B两种防疫物资，A种防疫物资每箱15000元，B种防疫物资每箱12000元．若购买B种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来（注：A、B两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）．21．中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍．（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？（2）第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A 种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？22．（2020•泰州）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A为全程25km的普通道路，路线B包含快速通道，全程30km，走路线B比走路线A平均速度提高50%，时间节省6min，求走路线B的平均速度．23．（2020•常德）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？24．（2020•湖州）某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成．已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件．（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产？（2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：方案一甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变．方案二乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变．设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同．①求乙车间需临时招聘的工人数；②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由．25．（2020•黔西南州）随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A 型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求： （1）A 型自行车去年每辆售价多少元？（2）该车行今年计划新进一批A 型车和新款B 型车共60辆，且B 型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍．已知A 型车和B 型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B 型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？ 26．（2020春•辉县市期末）2015年5月，某县突降暴雨，造成山体滑坡，挢梁垮塌，房屋大面积受损，该省民政厅急需将一批帐篷送往灾区．现有甲、乙两种货车，已知甲种货车比乙种货车每辆车多装20件帐篷，且甲种货车装运1000件帐篷所用车辆与乙种货车装运800件帐蓬所用车辆相等．（1）求甲、乙两种货车每辆车可装多少件帐蓬？（2）如果这批帐篷有1490件，用甲、乙两种汽车共16辆来装运，甲种车辆刚好装满，乙种车辆最后一辆只装了50件，其它装满，求甲、乙两种汽车各有多少辆？分式方程七．分式方程的解（共12小题）39．（2020•云南）若整数a 使关于x 的不等式组{x−12≤11+x34x −a ＞x +1，有且只有45个整数解，且使关于y 的方程2y+a+2y+1+601+y=1的解为非正数，则a 的值为（ ）A ．﹣61或﹣58B ．﹣61或﹣59C ．﹣60或﹣59D ．﹣61或﹣60或﹣59【分析】解不等式组，得a+13＜x ≤25，根据不等式组有且只有45个整数解，可得﹣61≤a ＜﹣58，根据关于y 的方程2y+a+2y+1+601+y=1的解为非正数：解得a ≥﹣61，又y +1不等于0，进而可得a 的值． 【解答】解：解不等式组，得a+13＜x ≤25，∵不等式组有且只有45个整数解， ∴﹣20≤a+13＜−19， 解得﹣61≤a ＜﹣58， 因为关于y 的方程2y+a+2y+1+601+y=1的解为：y ＝﹣a ﹣61，y ≤0， ∴﹣a ﹣61≤0， 解得a ≥﹣61， ∵y +1≠0，∴y ≠﹣1， ∴a ≠﹣60则a 的值为：﹣61或﹣59． 故选：B ．【点评】本题考查了分式方程的解、解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解决本题的关键是确定一元一次不等式组的整数解． 40．（2020•鸡西）若关于x 的分式方程2x−1=m x有正整数解，则整数m 的值是（ ）A ．3B ．5C ．3或5D ．3或4【分析】解分式方程，得x =mm−2，因为分式方程有正整数解，进而可得整数m 的值． 【解答】解：解分式方程，得x =m m−2， 经检验，x =mm−2是分式方程的解， 因为分式方程有正整数解， 则整数m 的值是3或4． 故选：D ．【点评】本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是准确求出分式方程的整数解． 41．已知关于x 的分式方程2x+3x−2=k (x−2)(x+3)+2的解满足﹣4＜x ＜﹣1，且k 为整数，则符合条件的所有k 值的乘积为（ ） A ．正数B ．负数C ．零D ．无法确定【分析】先求出分式方程的解，再根据分式方程的解满足﹣4＜x ＜﹣1，可得k 的取值范围，再根据k 为整数，求出k 的值，进而得结论． 【解答】解：2x+3x−2=k (x−2)(x+3)+2，（2x +3）（x +3）＝k +2（x ﹣2）（x +3）， 解得x =k7−3， ∵﹣4＜x ＜﹣1且（x ﹣2）（x +3）≠0且k 为整数， ∴﹣4＜k7−3＜﹣1， 解得﹣7＜k ＜14且k ≠0，∴解k ＝﹣6、﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13，∴符合条件的所有k 值的乘积为正数． 故选：A ．【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，分式方程的解，解决本题的关键是根据不等式的解集确定k 的值． 42．（2020•牡丹江）若关于x 的方程m x+1−2x=0的解为正数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜2B ．m ＜2且m ≠0C ．m ＞2D ．m ＞2且m ≠4【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据方程的解为正数得出不等式，且不等于增根，再求解． 【解答】解：∵解方程m x+1−2x=0，去分母得：mx ﹣2（x +1）＝0， 整理得：（m ﹣2）x ＝2， ∵方程有解， ∴x =2m−2， ∵分式方程的解为正数， ∴2m−2＞0，解得：m ＞2，∴m 的取值范围是：m ＞2． 故选：C ．【点评】本题主要考查分式方程的解，解题的关键是掌握分式方程的解的概念． 43．（2020•黑龙江）已知关于x 的分式方程x x−2−4=k2−x的解为正数，则k 的取值范围是（ ） A ．﹣8＜k ＜0B ．k ＞﹣8且k ≠﹣2C ．k ＞﹣8 且k ≠2D ．k ＜4且k ≠﹣2【分析】表示出分式方程的解，根据解为正数确定出k 的范围即可． 【解答】解：分式方程x x−2−4=k2−x ，去分母得：x ﹣4（x ﹣2）＝﹣k ， 去括号得：x ﹣4x +8＝﹣k ， 解得：x =k+83， 由分式方程的解为正数，得到k+83＞0，且k+83≠2，解得：k ＞﹣8且k ≠﹣2． 故选：B ．【点评】此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件． 44．（2020•泸州）已知关于x 的分式方程m x−1+2=−31−x 的解为非负数，则正整数m 的所有个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【分析】根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为非负数，可得不等式，解不等式，可得答案．【解答】解：去分母，得：m +2（x ﹣1）＝3， 移项、合并，得：x =5−m2， ∵分式方程的解为非负数， ∴5﹣m ≥0且5−m 2≠1，解得：m ≤5且m ≠3，∴正整数解有1，2，4，5共4个， 故选：B ．【点评】本题考查了分式方程的解，先求出分式方程的解，再求出不等式的解． 45．（2020•齐齐哈尔）若关于x 的分式方程3x x−2=m 2−x+5的解为正数，则m 的取值范围为（ ） A ．m ＜﹣10B ．m ≤﹣10C ．m ≥﹣10且m ≠﹣6D ．m ＞﹣10且m ≠﹣6【分析】分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出m 的范围即可．【解答】解：去分母得：3x ＝﹣m +5（x ﹣2）， 解得：x =m+102， 由方程的解为正数，得到m +10＞0，且m +10≠4， 则m 的范围为m ＞﹣10且m ≠﹣6， 故选：D ．【点评】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．46．（2020•黑龙江）已知关于x 的分式方程x x−3−4=k3−x 的解为非正数，则k 的取值范围是（ ） A ．k ≤﹣12B ．k ≥﹣12C ．k ＞﹣12D ．k ＜﹣12【分析】表示出分式方程的解，由解为非正数得出关于k 的不等式，解出k 的范围即可． 【解答】解：方程x x−3−4=k3−x 两边同时乘以（x ﹣3）得：x ﹣4（x ﹣3）＝﹣k ， ∴x ﹣4x +12＝﹣k ， ∴﹣3x ＝﹣k ﹣12， ∴x =k3+4， ∵解为非正数， ∴k3+4≤0，∴k ≤﹣12． 故选：A ．【点评】本题考查了分式方程的解及解一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法和一元一次不等式的解法是解题的关键．。
2021年江苏各市(苏州扬州泰州盐城无锡等)中考数学真题分项汇编09 分式方程及应用含详解
1．（2021·江苏南通市）解方程2303x x-=-． 2．（2021·江苏泰州市）解方程：22x x -+1＝52x -． 3．（2021·江苏南京市）解方程2111x x x +=+-． 4．（2021·江苏宿迁市）方程22142x x x -=--的解是_____________． 5．（2021·江苏连云港市）解方程：214111x x x +-=--．二、分式方程的应用6．（2021·江苏徐州市）某网店开展促销活动，其商品一律按8折销售，促销期间用400元在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件．问：该商品打折前每件多少元？7．（2021·江苏常州市）为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头．已知该景点在设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20吨水可以比原来多用5天，该景点在设施改造后平均每天用水多少吨？8．（2021·江苏扬州市）为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天，问原先每天生产多少万剂疫苗？9．（2021·江苏无锡市）为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工会决定组织消防知识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品．现有经费1275元用于购买奖品，且经费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为4∶3．当用600元购买一等奖奖品时，共可购买一、二等奖奖品25件．（1）求一、二等奖奖品的单价；（2）若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件，则共有哪几种购买方式？1．（2021·江苏南通市）解方程2303x x -=-． 【答案】9x =．【分析】根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验依次进行求解即可．【详解】解： 2303x x-=-， 去分母得：23(3)0x x --=，解得：9x =，经检验，9x =是原方程的解．则原方程的解为：9x =．【点睛】本题主要考查了代数式的化简求值与解分式方程，关键在于熟练的掌握解题的方法与技巧，注意分式方程要检验．2．（2021·江苏泰州市）解方程：22x x -+1＝52x -． 【答案】x =-1【分析】先将分式方程化简为整式方程，再求解检验即可．【详解】解：等式两边同时乘以（x -2）得2x +x -2=-5，移项合并同类项得3x =-3，系数化为1得x =-1检验：当x =-1时，x -20≠，∶x =-1是原分式方程的解．【点睛】本题考查了因式分解和解分式方程，解题关键是熟练掌握因式分解的方法及注意解分式方程要检验．3．（2021·江苏南京市）解方程2111x x x +=+-． 【答案】3x =先将方程两边同时乘以()()11x x +-，化为整式方程后解整式方程再检验即可．【详解】 解：2111x x x +=+-， ()()()()21111x x x x x -++-=+，22221x x x x -+-=+，3x =，检验：将3x =代入()()11x x +-中得，()()110x x +-≠，∶3x =是该分式方程的解．【点睛】本题考查了分式方程的解法，解决本题的关键是牢记解分式方程的基本步骤，即要先将分式方程化为整式方程，再利用“去括号、移项、合并同类项、系数化为1”等方式解整式方程，最后不能忘记检验等．4．（2021·江苏宿迁市）方程22142x x x -=--的解是_____________．【答案】112x -+=，212x -= 【分析】 先把两边同时乘以24x -，去分母后整理为230x x +-=，进而即可求得方程的解．【详解】 解：22142x x x -=--， 两边同时乘以24x -，得22(2)4x x x -+=-，整理得：230x x +-=解得：1x =，2x =，经检验，1x =，2x =是原方程的解，故答案为：112x -=，212x -=．本题考查了分式方程和一元二次方程的解法，熟练掌握分式方程和一元二次方程的解法是解决本题的关键． 5．（2021·江苏连云港市）解方程：214111x x x +-=--． 【答案】无解【分析】将分式去分母，然后再解方程即可．【详解】解：去分母得：22141x x整理得22x =，解得1x =，经检验，1x =是分式方程的增根，故此方程无解．【点睛】本题考查的是解分式方程，要注意验根，熟悉相关运算法则是解题的关键．二、分式方程的应用6．（2021·江苏徐州市）某网店开展促销活动，其商品一律按8折销售，促销期间用400元在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件．问：该商品打折前每件多少元？【答案】50【分析】该商品打折卖出x 件，找到等量关系即可．【详解】解：该商品打折卖出x 件4008400102x x ⋅=+ 解得x =8经检验：8x =是原方程的解，且符合题意∶商品打折前每件400=508元 答：该商品打折前每件50元．【点睛】此题考查分式方程实际问题中的销售问题，找到等量关系是解题的关键．7．（2021·江苏常州市）为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头．已知该景点在设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20吨水可以比原来多用5天，该景点在设施改造后平均每天用水多少吨？【答案】该景点在设施改造后平均每天用水2吨．设该景点在设施改造后平均每天用水x 吨，则原来平均每天用水2x 吨，列出分式方程，即可求解．【详解】解：设该景点在设施改造后平均每天用水x 吨，则原来平均每天用水2x 吨， 由题意得：202052x x-=，解得：x =2， 经检验：x =2是方程的解，且符合题意，答：该景点在设施改造后平均每天用水2吨．【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系，列出方程，是解题的关键．8．（2021·江苏扬州市）为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天，问原先每天生产多少万剂疫苗？【答案】40万【分析】设原先每天生产x 万剂疫苗，根据现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天可得方程，解之即可．【详解】解：设原先每天生产x 万剂疫苗，由题意可得：()2402200.5120%xx +=+， 解得：x =40，经检验：x =40是原方程的解，∶原先每天生产40万剂疫苗．【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性．9．（2021·江苏无锡市）为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工会决定组织消防知识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品．现有经费1275元用于购买奖品，且经费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为4∶3．当用600元购买一等奖奖品时，共可购买一、二等奖奖品25件．（1）求一、二等奖奖品的单价；（2）若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件，则共有哪几种购买方式？【答案】（1）一、二等奖奖品的单价分别是60元，45元；（2）共有3种购买方案，分别是：一等奖品数4件，二等奖品数23件；一等奖品数7件，二等奖品数19件；一等奖品数10件，二等奖品数15件．【分析】（1）设一、二等奖奖品的单价分别是4x，3x，根据等量关系，列出分式方程，即可求解；（2）设购买一等奖品的数量为m件，则购买二等奖品的数量为8543m-件，根据4≤m≤10，且8543m-为整数，m为整数，即可得到答案．【详解】解：（1）设一、二等奖奖品的单价分别是4x，3x，由题意得：60012756002543x x-+=，解得：x=15，经检验：x=15是方程的解，且符合题意，∶15×4=60（元），15×3=45（元），答：一、二等奖奖品的单价分别是60元，45元；（2）设购买一等奖品的数量为m件，则购买二等奖品的数量为127560854453m m--=件，∶4≤m≤10，且8543m-为整数，m为整数，∶m=4，7，10，答：共有3种购买方案，分别是：一等奖品数4件，二等奖品数23件；一等奖品数7件，二等奖品数19件；一等奖品数10件，二等奖品数15件．【点睛】本题主要考查分式方程和不等式组的实际应用，准确找出数量关系，列出分式方程或不等式，是解题的关键．。
2021全国各地中考数学真题专项汇编： 分式与分式方程 (含答案解析)
专题04 分式与分式方程一、单选题 1．（2021·河北）由1122c c +⎛⎫-⎪+⎝⎭值的正负可以比较12c A c +=+与12的大小，下列正确的是（ ）A ．当2c =-时，12A =B ．当0c 时，12A ≠C ．当2c <-时，12A > D ．当0c <时，12A <【答案】C 【分析】先计算1122c c +⎛⎫- ⎪+⎝⎭的值，再根c 的正负判断1122c c +⎛⎫- ⎪+⎝⎭的正负，再判断A 与12的大小即可．【详解】解：11=224+2c cc c +-+，当2c =-时，20c +=，A 无意义，故A 选项错误，不符合题意； 当0c 时，04+2c c=，12A =，故B 选项错误，不符合题意； 当2c <-时，04+2c c>，12A >，故C 选项正确，符合题意； 当20c -<<时，04+2c c <，12A <；当2c <-时，04+2c c>，12A >，故D 选项错误，不符合题意； 故选：C ．【点睛】本题考查了分式的运算和比较大小，解题关键是熟练运用分式运算法则进行计算，根据结果进行准确判断．2．（2021贺州）若关于x 的分式方程43233m xx x +=+--有增根，则m 的值为（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】D【分析】根据分式方程有增根可求出3x =，方程去分母后将3x =代入求解即可. 【详解】解：∵分式方程43233m xx x +=+--有增根， ∴3x =，去分母，得()4323m x x +=+-， 将3x =代入，得49m +=， 解得5m =． 故选：D ．【点睛】本题考查了分式方程的无解问题，掌握分式方程中增根的定义及增根产生的原因是解题的关键．3．（2021·四川眉山）化简221111a a a ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭的结果是（ ） A ．1a + B ．1a a+ C ．1a a- D ．21a a+ 【答案】B【分析】小括号先通分合并，再将除法变乘法并因式分解即可约分化简． 【详解】解：原式()()()()221111111=11a a a a a aa a a a a a+-+--++⨯=⨯=--故答案是：B ． 【点睛】本题考察分式的运算和化简、因式分解，属于基础题，难度不大．解题关键是掌握分式的运算法则．4．（2021·天津）计算33a ba b a b---的结果是（ ） A ．3 B ．33a b +C ．1D ．6aa b- 【答案】A【分析】先根据分式的减法运算法则计算，再提取公因式3，最后约分化简即可． 【详解】原式33a b a b -=-，3()a b a b-=-3=．故选A ． 【点睛】本题考查分式的减法．掌握分式的减法运算法则是解答本题你的关键．5．（2021·山东临沂）计算11()()a b b a -÷-的结果是（ ）A ．ab-B ．a bC ．b a-D ．b a【答案】A【分析】根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．【详解】解：11a b b a ⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=11ab ab b b a a ⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=11ab a b ab -⨯-=a b-故选A ． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 6．（2021·江西）计算11a a a+-的结果为（ ） A ．1 B ．1- C ．2a a+D ．2a a- 【答案】A【分析】直接利用同分母分式的减法法则计算即可． 【详解】解：11111a a aa a a a++--===．故选：A ．【点睛】本题考查了同分母分式的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 7．（2021·江苏扬州）不论x 取何值，下列代数式的值不可能为0的是（ ） A ．1x + B ．21x -C ．11x + D ．()21x +【答案】C【分析】分别找到各式为0时的x 值，即可判断．【详解】解：A 、当x =-1时，x +1=0，故不合题意；B 、当x =±1时，x 2-1=0，故不合题意； C 、分子是1，而1≠0，则11x +≠0，故符合题意；D 、当x =-1时，()210x +=，故不合题意；故选C ． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，代数式的值．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 8．（2021·湖北州）分式方程3111x x x +=--的解是（ ） A ．1x = B ．2x =- C ．34x =D ．2x =【答案】D【分析】先去分母，然后再进行求解方程即可． 【详解】解：3111x x x +=-- 去分母:13x x +-=，∴2x =， 经检验：2x =是原方程的解；故选D ．【点睛】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 9．（2021·湖南怀化）定义12a b a b⊗=+，则方程342x ⊗=⊗的解为（ ） A ．15x =B ．25x =C ．35x =D ．45x =【答案】B【分析】根据新定义,变形方程求解即可 【详解】∵12a b a b ⊗=+,∴342x ⊗=⊗变形为1123242x ⨯+=⨯+,解得25x = ，经检验25x =是原方程的根，故选B 【点睛】本题考查了新定义问题，根据新定义把方程转化一般的分式方程，并求解是解题的关键10．（2021·山东临沂）某工厂生产A 、B 两种型号的扫地机器人．B 型机器人比A 型机器人每小时的清扫面积多50%；清扫2100m 所用的时间A 型机器人比B 型机器人多用40分钟． 两种型号扫地机器人每小时分别清扫多少面积？若设A 型扫地机器人每小时清扫2m x ，根据题意可列方程为（ ）A ．10010020.53x x =+ B ．10021000.53x x += C ．10021003 1.5x x += D ．10010021.53x x =+ 【答案】D【分析】根据清扫100m 2所用的时间A 型机器人比B 型机器人多用40分钟列出方程即可． 【详解】解：设A 型扫地机器人每小时清扫x m 2，由题意可得：10010021.53x x =+，故选D ． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系． 11．（2021·四川成都）分式方程21133x x x-+=--的解为（ ） A ．2x = B ．2x =-C ．1x =D ．1x =-【答案】A【分析】直接通分运算后，再去分母，将分式方程化为整式方程求解． 【详解】解：21133x x x -+=--，21133x x x --=--，2113x x --=-，213x x --=-，解得：2x =， 检验：当2x =时，32310x -=-=-≠，2x ∴=是分式方程的解，故选：A ．【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是：去分母化为整式方程求解，最后需要对解进行检验．12．（2021·重庆）若关于x 的一元一次不等式组()322225x x a x ⎧-≥+⎨-<-⎩的解集为6x ≥，且关于y 的分式方程238211y a y y y+-+=--的解是正整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．5 B ．8C ．12D ．15【答案】B【分析】先计算不等式组的解集，根据“同大取大”原则，得到562a+<解得7a <，再解分式方程得到5=2a y +，根据分式方程的解是正整数，得到5a >-，且5a +是2的倍数，据此解得所有符合条件的整数a 的值，最后求和． 【详解】解：()322225x x a x ⎧-≥+⎨-<-⎩①②解不等式①得，6x ≥，解不等式②得，5+2ax >不等式组的解集为：6x ≥562a+∴<7a ∴< 解分式方程238211y a y y y +-+=--得238211y a y y y +--=--2(38)2(1)y a y y ∴+--=-整理得5=2a y +，10,y -≠ 则51,2a +≠ 3,a ∴≠- 分式方程的解是正整数，502a +∴>5a ∴>-，且5a +是2的倍数，57a ∴-<<，且5a +是2的倍数， ∴整数a 的值为-1, 1, 3, 5, 11358∴-+++=故选：B ．【点睛】本题考查解含参数的一元一次不等式、解分式方程等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．13．（2021·重庆）关于x 的分式方程331122ax x x x--+=--的解为正数，且使关于y 的一元一次不等式组32122y y y a-⎧≤-⎪⎨⎪+>⎩有解，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．5- B ．4-C ．3-D ．2-【答案】B【分析】先将分式方程化为整式方程，得到它的解为64x a =+,由它的解为正数，同时结合该分式方程有解即分母不为0，得到40a +>且43a +≠，再由该一元一次不等式组有解，又可以得到20a -<，综合以上结论即可求出a 的取值范围，即可得到其整数解，从而解决问题．【详解】解：331122ax x x x--+=--,两边同时乘以（2x -)，3213ax x x -+-=-,()46a x +=, 由于该分式方程的解为正数，∴64x a =+，其中4043a a +>+≠，;∴4a >-，且1a ≠-；∵关于y 的元一次不等式组32122y y y a -⎧≤-⎪⎨⎪+>⎩①②有解，由①得：0y ≤;由②得：2y a >-;∴20a -<，∴2a <综上可得：42a -<<,且1a ≠-;∴满足条件的所有整数a 为：32,0,1--，；∴它们的和为4-；故选B ． 【点睛】本题涉及到含字母参数的分式方程和含字母参数的一元一次不等式组等内容，考查了解分式方程和解一元一次不等式组等相关知识，要求学生能根据题干中的条件得到字母参数a 的限制不等式，求出a 的取值范围进而求解，本题对学生的分析能力有一定要求，属于较难的计算问题． 二、填空题1．（2021·四川资阳）若210x x +-=，则33x x-=_________．【答案】3【分析】先由210x x +-=可得21x x -=，再运用分式的减法计算33x x-，然后变形将21x x -=代入即可解答．【详解】解：∵210x x +-=∴21x x -=∴()2231333333x x x x x x x x---====．故填：3． 【点睛】本题主要考查了代数式的求值、分式的减法等知识点，灵活对等式进行变形成为解答本题的关键．2．（2021·四川南充）若3n m n m +=-，则2222m n n m+=_________ 【答案】174【分析】先根据3n m n m +=-得出m 与n 的关系式，代入2222m n n m+化简即可； 【详解】解：∵3n mn m+=-，∴()3n m n m +=-，∴2n m =， ∴22222222417+=44m n m m n m m m +=故答案为：174 【点睛】本题考查了分式的混合运算，得出2n m =是解决本题的关键． 3．（2021·四川达州）若分式方程22411x a x a x x --+-=-+的解为整数，则整数a =___________． 【答案】±1【分析】直接移项后通分合并同类项，化简、用a 来表示x ，再根据解为整数来确定a 的值． 【详解】解：22411x a x a x x --+-=-+，22411x a x ax x --+-=-+ (2)(1)(2)(1)4(1)(1)x a x a x x x x -+---=-+整理得：2x a=若分式方程22411x a x ax x --+-=-+的解为整数， a 为整数，当1a =±时，解得：2x =±，经检验：10,10x x -≠+≠成立；当2a =±时，解得：1x =±，经检验：分母为0没有意义，故舍去； 综上:1a =±，故答案是：±1．【点睛】本题考查了分式方程，解题的关键是：化简分式方程，最终用a 来表示x ，再根据解为整数来确定a 的值，易错点，容易忽略对根的检验．4．（2021·湖南常德）分式方程1121(1)x x x x x ++=--的解为__________． 【答案】3x =【分析】直接利用通分，移项、去分母、求出x 后，再检验即可．【详解】解：1121(1)x x x x x ++=--通分得：212(1)(1)x x x x x x -+=--，移项得：()301x x x -=-， 30x ∴-=，解得：3x =，经检验，3x =时，(1)60x x -=≠，∴3x =是分式方程的解，故答案是：3x =． 【点睛】本题考查了对分式分式方程的求解，解题的关键是：熟悉通分，移项、去分母等运算步骤，易错点，容易忽略对根进行检验．5．（2021·湖南衡阳）“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木6000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务．则实际每天植树__________棵． 【答案】500【分析】设原计划每天植树x 棵，则实际每天植树()125%x +，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前3天完成，准确列出关于x 的分式方程进行求解即可． 【详解】解：设原计划每天植树x 棵，则实际每天植树()125%x +，6000600031.25x x-=，400x =，经检验，400x =是原方程的解， ∴实际每天植树400 1.25500⨯=棵，故答案是：500．【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，准确列出分式方程． 6．（2021·四川凉山州）若关于x 的分式方程2311x mx x-=--的解为正数，则m 的取值范围是_________． 【答案】m ＞-3且m ≠-2【分析】先利用m 表示出x 的值，再由x 为正数求出m 的取值范围即可． 【详解】解：方程两边同时乘以x -1得，()231x x m --=-，解得3x m =+， ∵x 为正数，∴m +3＞0，解得m ＞-3．∵x ≠1，∴m +3≠1，即m ≠-2． ∴m 的取值范围是m ＞-3且m ≠-2．故答案为：m ＞-3且m ≠-2．【点睛】本题考查的是分式方程的解，熟知求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解答此题的关键．三、解答题1．（2021·湖北随州市）先化简，再求值：2141122x x x -⎛⎫+÷⎪++⎝⎭，其中1x =． 【答案】22x -，-2 【分析】（1）先把括号里通分合并，括号外的式子进行因式分解，再约分，将x=1代入计算即可．【详解】解：原式()()()21221222x x x x x x ++=⋅=++-- 当1x =时，原式2212==-- 【点睛】本题考查了分式的化简求值，用到的知识是约分、分式的加减，熟练掌握法则是解题的关键．2．（2021·山东菏泽市）先化简，再求值：22221244m n n m m n m mn n --+÷--+，其中m ，n 满足32m n =-． 【答案】3nm n+;-6. 【分析】先变除法为乘法,后因式分解,化简计算,后变形32nm =-代入求值即可 【详解】∵22221244m n n m m n m mn n--+÷--+=2(2)12()()m n m n m n n m n m --+⨯--+=21m n n m --+=3n m n +, ∵32m n =-,∴32nm =-,∴原式=332nn n -+= -6． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的基本顺序，基本计算方法是解题的关键． 3．（2021·湖北宜昌市）先化简，再求值：2211111x x x ÷--+-，从1，2，3这三个数中选择一个你认为适合的x 代入求值． 【答案】11x -，1或12【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x 的值代入计算即可． 【详解】解：原式21(1)(1)(1)1x x x x =⋅+--+-11x =-．∵x 2﹣1≠0，∴当2x =时，原式1=．或当3x =时，原式12=．（选择一种情况即可） 【点睛】本题考查了分式的化简求值，要了解使分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．4．（2021·四川达州市）化简求值：231041244a a a a a --⎛⎫⎛⎫-÷ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭，其中a 与2，3构成三角形的三边，且a 为整数．【答案】24a -+，-2【分析】先根据分式的混合运算法则进行化简，再根据三角形三边关系确定a 的取值范围，把不合题意的a 的值舍去，最后代入求值即可求解．【详解】解：原式()22231024a a a a a ---+=⋅--()()224224a a a a ---=⋅--24a =-+； ∵2，3，a 为三角形的三边，∴3232a -<<+，∴15a <<，∵a 为整数，∴2a =，3或4，由原分式得20a -≠，40a -≠，∴2a ≠且4a ≠，∴3a =， ∴原式=242342a -+=-⨯+=-．【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确进行分式的化简是解题关键，在把a 的值代入求值是要注意所求的a 的值保证原分式有意义．5．（2021·湖南株洲市）先化简，再求值：2223142x x x x ⎛⎫⋅-- ⎪-+⎝⎭，其中2x =． 【答案】12x -+，2-【分析】先对分式进行化简，然后根据二次根式的运算进行求值即可． 【详解】解：原式=()()223231222222x x x x x x x x x -⋅-=-=-+++-++，把2x =代入得：原式=2=-． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值及二次根式的运算，熟练掌握分式的化简求值及二次根式的运算是解题的关键．6．（2021·四川成都市）先化简，再求值：2269111a a a a ++⎛⎫+÷⎪++⎝⎭，其中3=a ． 【答案】13a +，3【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值．【详解】解：2269111a a a a ++⎛⎫+÷ ⎪++⎝⎭212(3)111a a a a a ++⎛⎫=+÷ ⎪+++⎝⎭2311(3)a a a a ++=⋅++13a =+，当3=a时，原式3===． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．7．（2021·四川资阳市）先化简，再求值：222211111x x x x x x ⎛⎫++-÷ ⎪---⎝⎭，其中30x -=． 【答案】原式=13． 【分析】利用分式的混合运算法则进行化简，再将3x =代入原式，即可求解．【详解】解：原式=()()()22111111x x x x x x ⎡⎤+--⋅⎢⎥+--⎢⎥⎣⎦=211111x x x x x +-⎛⎫-⋅ ⎪--⎝⎭=211x x x x -⋅-=1x 303x x -=∴= 将3x =代入原式，原式=13．【点睛】本题主要考查分式的混合运算．需要掌握分式的混合运算法则、完全平方公式、平方差公式、同分母分式相加减等相关知识．进行分式的混合运算时，要细心． 8．（2021·四川凉山州）已知112,1x y x y-=-=，求22x y xy -的值． 【答案】-4【分析】根据已知求出xy =-2，再将所求式子变形为()xyx y -，代入计算即可．【详解】解：∵2x y -=，∴1121y x x y xy xy---===，∴2xy =-， ∴()()22224xy x x y xy y ==---⨯=-．【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是掌握分式的运算法则和因式分解的应用．9．（2021·四川遂宁市）先化简，再求值：322293443m m m m m m -⎛⎫÷++ ⎪-+-⎝⎭，其中m 是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，且m 是整数．【答案】32m m --；12【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用三角形三边的关系，求得m 的值，代入计算即可求出值． 【详解】解：322293443m m m m m m -⎛⎫÷++ ⎪-+-⎝⎭222(2)99(2)33m m m m m m ⎛⎫--÷+ ⎪---⎝⎭= 2223m m m m ÷--=2232m m m m-⋅-=32m m --=， ∵m 是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，∴3-2＜m ＜3+2，即1＜m ＜5，∵m 为整数，∴m =2、3、4，又∵m ≠0、2、3∴m =4，∴原式=431422-=-． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值以及三角形三边的关系，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．10．（2021·江苏连云港市）解方程：214111x x x +-=--． 【答案】无解【分析】将分式去分母，然后再解方程即可．【详解】解：去分母得：22141x x 整理得22x =，解得1x =，经检验，1x =是分式方程的增根，故此方程无解．【点睛】本题考查的是解分式方程，要注意验根，熟悉相关运算法则是解题的关键．11．（2021·陕西）解方程：213111x x x --=+-． 【答案】12x =- 【分析】按照解分式方程的方法和步骤求解即可．【详解】解：去分母（两边都乘以()()11x x +-），得，22(1)31x x --=-． 去括号，得，222131x x x -+-=-，移项，得，222113x x x --=--+．合并同类项，得，21x -=．系数化为1，得，12x =-．检验：把12x=-代入()()110x x+-≠．∴12x=-是原方程的根．【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟知分式方程的解法步骤是解题的关键，尤其注意解分式方程必须检验．12．（2021·山西）太原武宿国际机场简称“太原机场”，是山西省开通的首条定期国际客运航线．游客从太原某景区乘车到太原机场，有两条路线可供选择，路线一：走迎宾路经太输路全程是25千米，但交通比较拥堵；路线二：走太原环城高速全程是30千米，平均速度是路线一的53倍，因此到达太原机场的时间比走路线一少用7分钟，求走路线一到达太原机场需要多长时间．【答案】25分钟【分析】设走路线一到达太原机场需要x分钟，用含x的式子表示路线一、二的速度，再根据路线二平均速度是路线一的53倍列等式计算即可．【详解】解：设走路线一到达太原机场需要x分钟．根据题意，得5253037x x⨯=-．解得：25x=．经检验，25x=是原方程的解．答：走路线一到达太原机场需要25分钟．【点睛】本题主要考查分式方程的应用，根据题意找出等量关系是解决本题的关键，注意分式方程需要验根．13．（2021·四川自贡市）随着我国科技事业的不断发展，国产无人机大量进入快递行业．现有A，B两种型号的无人机都被用来运送快件，A型机比B型机平均每小时多运送20件，A型机运送700件所用时间与B 型机运送500件所用时间相等，两种无人机平均每小时分别运送多少快件？【答案】A型机平均每小时运送70件，B型机平均每小时运送50件【分析】设A型机平均每小时运送x件，根据A型机比B型机平均每小时多运送20件，得出B型机平均每小时运送（x-20）件，再根据A型机运送700件所用时间与B型机运送500件所用时间相等，列出方程解之即可．【详解】解：设A型机平均每小时运送x件，则B型机平均每小时运送（x-20）件，根据题意得：70050020x x=-解这个方程得：x=70．经检验x=70是方程的解，∴x-20=50．∴A型机平均每小时运送70件，B型机平均每小时运送50件．【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．。
2021年九年级数学中考复习——方程专题：分式方程实际应用(二)
2021年九年级数学中考复习——方程专题：分式方程实际应用（二）1．两个小组同时开始登一座450m高的山，第一组的速度是第二组的1.2倍，他们比第二组早15min到达顶峰．两个小组的速度各是多少？如果山高为hm，第一组的攀登速度是第二组的a倍，并比第二组早tmin达到顶峰，则两组的攀登速度各是多少？2．一台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的150倍，用这台机器收割10公顷小麦比100个农民人工收割这些小麦要少用1小时．这台收割机每小时收割多少公顷小麦？3．某服装店用960元购进一批服装，并以每件46元的价格全部售完，由于服装畅销，服装店又用2220元，再次以比第一次进价多5元的价格购进服装，数量是第一次购进服装的2倍，仍以每件46元的价格出售，卖了部分后，为了加快资金周转，服装店将剩余的20件以售价的九折全部出售．问：（1）该服装店第一次购买了此种服装多少件？（2）两次出售服装共盈利多少元？4．宜鲜水果店某种纽荷尔1月份的销售总额为600元，2月份与1月份相比，销量不变，但每斤的售价比1月份减少4元，因此销售总额比1月份减少了40%．（1）求2月份这种纽荷尔每斤的售价；（2）2月价该店计划新进一批这种纽荷尔和沃柑共45斤，已知纽荷尔进货价格是每斤3元；沃柑进货价格是每斤7元，销售价格是每斤20元．要求沃柑进货数量不超过纽荷尔数量的两倍，应如何进货才能使这批水果获得最大利润，并求出最大利润．5．越野自行车是中学生喜爱的交通工具，市场巨大，竞争也激烈．某品牌经销商经营的A 型车去年销售总额为5万元，今年每辆售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．（1）设今年A型车每辆销售价为x元，求x的值．（2）该品牌经销商计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，请问应如何安排两种型号车的进货数量，才能使这批售出后获利最多？A、B两种型号车今年的进货和销售价格表A型车B型车进货价1100元/辆1400元/辆销售价x元/辆2000元/辆6．某汽车销售公司销售某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也不断下降，今年12月份比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．（1）今年12月份A款汽车每辆售价多少万元？（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万且不少于100万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？哪种方案更省钱？7．“一带一路”的战略构想为国内许多企业的发展带来了新的机遇，其中华为企业凭信自身实力在国际上得到快速发展，华为手机也越来越受到国际消费者的喜爱：重庆某手机专卖店经销华为P10和Mate30两款手机，两款手机售价如表：售价型号去年国庆假期售价（元/部）今年元旦假期售价（元/部）华为P3043003800华为Mate3050004500假设两款手机的进价始终保持不变．若今年元旦假期和去年国庆假期卖出的华为P30手机数量相同，且去年国庆假期利润为4.5万元，今年元旦假期利润为2.25万元．（1）求每部华为P30手机进价为多少元？（2）若每台Mate30的进价比P30的进价多400元，专卖店考虑到即将到来的今年1月24号大年初一“春节假期活动”，预计用不少于32万元且不多于32.1万元的资金购进这两款手机共90部，请问有哪几种进货方案？（3）“重外少年，爱心少年”．重外学生积极为偏远地区的孩子募集资金购买保暖冬装，得到该手机专卖店的大力支持，他们决定，每卖出一部P30捐出50元，每卖出一部Mate30捐出80元，在（2）向的前提下，当专卖店销售完这90部手机后，他们最多能为孩子们捐出多少资金？8．A、B两种新型智能仓储机器人都被用来搬运货箱，A型机器人比B型机器人每次多搬运3箱，A型机器人搬运300箱所用次数与B型机器人搬运240箱所用次数相同，两种机器人每次分别搬运多少货箱？9．随着《广州市深化生活垃圾分类处理三年行动计划（2019﹣2021）》的正式印发，广州市全面开启城乡生活垃圾分类全覆盖．为推进垃圾分类行动，某工厂购进甲、乙两种型号智能机器人用来进行垃圾分类，用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为140万元，求甲、乙两种型号机器人每台各多少万元？10．斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度，如图，某路口的斑马线路段A﹣B﹣C横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝15米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过AC．其中通过BC段的速度是通过AB段速度的1.2倍，求小明通过AB段时的速度．参考答案1．解：设第二组的速度为xm/min，则第一组的速度是1.2xm/min，由题意得﹣＝15，解得：x＝5，经检验：x＝5是原分式方程的解，且符合题意，则1.2x＝6．答：第一组的攀登速度6m/min，第二组的攀登速度5m/min．设第二组的速度为ym/min，则第一组的速度是aym/min，由题意得﹣＝t，解得：y＝，经检验：y＝是原分式方程的解，且符合题意，则ay＝．答：第一组的攀登速度是m/min，第二组的攀登速度m/min．2．解：设一个农民每小时收割小麦x公顷，则一台收割机每小时收割150x公顷，由题意，得+1，解得：x＝，经检验，x＝是原方程的根．∴收割机每小时收割小麦：＝5公顷，答：这台收割机每小时收割5公顷小麦．3．解：（1）设第一次购买了此种服装x件，那么第二次购进2x件，依题意得，解之得x＝30，经检验x＝30是方程的解，答：第一次购买了此种服装30件；（2）∵第一次购买了此种服装30件，盈利46×30﹣960＝420元；∴第二次购买了此种服装60件，46×（60﹣20）+46×0.9×20﹣2220＝448元；∴两次出售服装共盈利420+448＝868元．4．解：（1）设2月份这种纽荷尔每斤的售价为x元，则1月份这种纽荷尔每斤的售价为（x+4）元，由题意得：＝，解得：x＝6，答：2月份这种纽荷尔每斤的售价为6元；（2）设纽荷尔进货数量为a斤，总利润为w元，则w＝（6﹣3）a+（20﹣7）（45﹣a）＝﹣10a+585，由题意得：45﹣a≤2a，解得：a≥15，∵w＝﹣10a+585，﹣10＜0，∴w随a的增大而减小，∴a＝15时，w＝﹣10×15+585＝435（元），最大则45﹣a＝30，即纽荷尔进货15斤，沃柑进货30斤，才能使这批水果获得最大利润，最大利润为435元．5．解：（1）由题意得：＝，解得：x＝1600，经检验，x＝1600是方程的解，∴x＝1600；（2）设经销商新进A型车a辆，则B型车为（60﹣a）辆，获利y元．由题意得：y＝（1600﹣1100）a+（2000﹣1400）（60﹣a），即y＝﹣100a+36000，∵B型车的进货数量不超过A型车数量的2倍，∴60﹣a≤2a，∴a≥20，由y与a的关系式可知，﹣100＜0，y的值随a的值增大而减小．∴a＝20时，y的值最大，∴60﹣a＝60﹣20＝40（辆），∴当经销商新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最多．6．解：（1）设今年12月份A款汽车每辆售价m万元，则去年同期A款汽车每辆售价（m+1）万元，由题意得：＝，解得：m＝9，答：今年12月份A款汽车每辆售价9万元；（2）设购进A款汽车x辆，则购进B款汽车（15﹣x）辆，由题意得：100≤7.5x+6（15﹣x）≤105，解得：≤x≤10，∵x的正整数解为：7，8，9，10，∴共有4种进货方案：方案一，购进A款汽车7辆、B款汽车8辆，资金为：7.5×7+6×8＝100.5（万元）；方案二，购进A款汽车8辆、B款汽车7辆，资金为：7.5×8+6×7＝102（万元）；方案三，购进A款汽车9辆、B款汽车6辆，资金为：7.5×9+6×6＝103.5（万元）；方案四，购进A款汽车10辆、B款汽车5辆，资金为：7.5×10+6×5＝105（万元）；∴购进A款汽车7辆、B款汽车8辆的方案更省钱．7．解：（1）设每部华为P30手机进价为x元，依题意得：＝，解得：x＝3300，经检验，x＝3300是原方程的解，且符合题意．答：每部华为P30手机进价为3300元．（2）每台Mate30手机的进价为3300+400＝3700（元）．设购进华为P30手机m部，则购进Mate30手机（90﹣m）部，依题意得：，解得：30≤m≤32，又∵m为正整数，∴m可以为30，31，32，∴共有3种进货方案，方案1：购进30部华为P30手机，60部Mate30手机；方案2：购进31部华为P30手机，59部Mate30手机；方案3：购进32部华为P30手机，58部Mate30手机．（3）设捐出的资金为w元，则w＝50m+80（90﹣m）＝﹣30m+7200，∵﹣30＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m＝30时，w取得最大值，最大值＝﹣30×30+7200＝6300（元）．答：当专卖店销售完这90部手机后，他们最多能为孩子们捐出6300元资金．8．解：设B型机器人每小时搬运x货箱，则A型机器人每小时搬运（x+3）货箱，根据题意得：＝，解得：x＝12，经检验，x＝12是分式方程的解，∴x+3＝15．答：B型机器人每小时搬运12货箱，A型机器人每小时搬运15货箱．9．解：设甲型机器人每台x万元，则乙型机器人每台（140﹣x）万元，根据题意得：＝，解得：x＝60，经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，则140﹣x＝80，答：甲型机器人每台60万元，乙型机器人每台80万元．10．解：设通过AB段的速度是xm/s，则通过BC段的速度是1.2xm/s，由题意得：，解得：x＝2.5，经检验：x＝2.5是原方程的解，且符合题意，答：通过AB时的速度是2.5m/s．。
九年级中考数学专题复习分式方程及应用含答案
2021中考数学专题复习分式方程及其应用〔含答案〕一、选择题〔本大题共5道小题〕小明用15元买售价同样的软面笔录本，小丽用24元买售价同样的硬面笔录本(两人的钱恰巧用完)，每本硬面笔录本比软面笔录本贵3元，且小明和小丽买到同样数目的笔录本.设软面笔录本每本售价为x元，依据题意可列出的方程为( )A. =B. =C. =D. =2.分式方程=1的解是( )A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-23.解分式方程+ =3时，去分母化为一元一次方程，正确的选项是( )A.x+2=3B.x-2=3C.x-2=3(2x-1)D.x+2=3(2x-1)甲、乙二人做某种机械部件，每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个部件，以下方程正确的选项是()A. =B. =C. =D. =5.对于x的分式方程=1的解是负数，那么m的取值范围是( )≤3≤3且m≠2 C.m<3 D.m<3且m≠2二、填空题〔本大题共5道小题〕方程1＝2的解是________．2xx－37.方程+ =1的解是.8.一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺水航行120km所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间同样，那么江水的流速为km/h.9.假定对于x的分式方程+ =2m有增根，那么m的值为.10.假定对于x的分式方程+ =2a无解，那么a的值为.三、解答题〔本大题共5道小题〕解方程:=1.解分式方程:(1)=;(2)-1=.(1)解方程:x2-2x-1=0.(2)解方程组:(3)解分式方程:-1=.(4)解不等式组:并把解集在数轴上表示出来.14.如图是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程.依据以上信息，解答以下问题.(1)冰冰同学所列方程中的x表示，庆庆同学所列方程中的y表示;(2)两个方程中任选一个，并写出它的等量关系;(3)解(2)中你所选择的方程，并回复老师提出的问题.为了对学生进行革命传统教育，红旗中学展开了“清明节祭扫〞活动.全校学生从学校同时出发，步行4000米抵达烈士纪念馆.学校要求九(1)班提早抵达目的地，做好活动的准备工作.行走过程中，九(1)班步行的均匀速度是其余班的倍，结果比其余班提早10分钟抵达.分别求九(1)班、其余班步行的均匀速度.2021中考数学专题复习分式方程及其应用-答案一、选择题〔本大题共5道小题〕【答案】A[分析]本题考察了由实质问题抽象出分式方程，正确找出等量关系是解题重点.直接利用“小明和小丽买到同样数目的笔录本〞，得=，应选A.【答案】B[分析]去分母得，1=x+2，移项，归并同类项，得:x=-1，经查验，x=-1是原分式方程的解，∴x=-1，应选B.2.【答案】C[分析]两边同时乘以(2x-1)，得x-2=3(2x-1).应选C.【答案】D5.【答案】D[分析]解分式方程得x=m-3，1∵方程的解是负数，m-3<0，m<3，∵当x+1=0，即x=-1时方程有增根，m-3≠-1，即m≠2.m<3且m≠2.应选D.二、填空题〔本大题共5道小题〕2【答案】x＝－1【分析】化简2x＝x－3得x－3＝4x，那么－3x＝3，因此x＝－1，经查验x＝－1是原方程的根．7.【答案】x=-2[分析]原方程可化为=1，去分母，得(2x-1)(x+1)-2=(x+1)(x-1)，解得x1=1，x2=-2，经查验x1=1是增根，x2=-2是原方程的解，∴原方程的解为x=-2.故答案为x=-2.[分析]设江水的流速为xkm/h，依据题意可得:=，解得:x=10，8.【答案】10经查验，10km/h.x=10是原方程的根，且切合题意，因此江水的流速为【答案】1[分析]分式方程去分母，得:x-2m=2m·(x-2)，假定原分式方程有增根，那么x=2，得2-2m=2m(2-2)，解得m=1.10.【答案】或1[分析]去分母得:x-3a=2a(x-3)，整理得:(1-2a)x=-3a，当1-2a=0时，方程无解，得a=;当1-2a≠0，x==3时，分式方程无解，得a=1，故对于x的分式方程=2a无解，那a的值为:1或.么三、解答题〔本大题共 5道小题〕 【答案】 解:方程两边同时乘x(x-1)得， x 2-2(x-1)=x(x-1)，解得x=2. 查验:当x=2时，x(x-1)≠0， x=2是原分式方程的解. 原分式方程的解为x=2.【答案】 解:(1)去分母，得x+1=4(x-2)，解得x=3，经查验x=3是原分式方程的解.因此方程的解为x=3. (2)方程两边同时乘(x-2)2得:x(x-2)-(x-2)2=4，解得x=4，查验:当x=4时，(x-2)2≠0. 因此原方程的解为 x=4. 【答案】 解:(1)配方法:移项，得x 2-2x=1， 配方，得x 2-2x+1=1+1，即(x-1)2=2， 开方，得x-1=±，即x 1 ，2=1+ x=1-.公式法:a=1，b=-2，c=-1， 2， =b-4ac=4+4=8>0 故方程有两个不相等的实数根，∴x= ==1±，即x 1=1+ ，x 2=1-.(2)-①，得:3x=9， 解得:x=3.把x=3代入①，得:3+y=1，解得:y=-2.∴原方程组的解为(3)方程左右两边同乘以3(x-1)，得3x-3(x-1)=2x，3x-3x+3=2x，2x=3，x=1.5.查验:当时，3(x-1)≠0，∴原分式方程的解为x=1.5.(4)解不等式①，得:x>-4;解不等式②，得:x≤0，∴不等式组的解集为-4<x≤0.将这个不等式组的解集表示在数轴上如图:【答案】解:(1)∵冰冰是依据时间相等列出的分式方程，∴x表示甲队每日修路的长度;∵庆庆是依据乙队每日比甲队多修20米列出的分式方程，∴y表示甲队修路400米(乙队修路600米)所需的时间.故答案为:甲队每日修路的长度甲队修路400米(乙队修路600米)所需的时间(2)冰冰用的等量关系是:甲队修路400米所用时间=乙队修路600米所用时间;庆庆用的等量关系是:乙队每日修路的长度-甲队每日修路的长度=20米.(选择一个即可)(3)选冰冰所列的方程: =，去分母，得:400x+8000=600x，移项，x的系数化为1，得:x=40，查验:当x=40时，x，x+20均不为零，∴x=40是分式方程的根.答:甲队每日修路的长度为40米.选庆庆所列的方程:=20，去分母，得:600-400=20y，将y的系数化为1，得:y=10，查验:当y=10时，分母y不为0，∴y=10是分式方程的根，∴=40.答:甲队每日修路的长度为40米.【答案】解:设其余班的均匀速度为x米/分，那么九(1)班的均匀速度为米/分，依题意得:10，解得:x=80.经查验:x=80是所列方程的解.此时，×80=100.答:九(1)班的均匀速度为100米/分，其余班的均匀速度为80米/分.。
专题12：分式方程及实际应用-2021年广东地区中考数学真题与模拟试题精选汇编(解析版)
专题12：分式方程及实际应用-2021年广东地区中考数学真题与模拟试题精选汇编一、单选题1．（2021·广东中考真题）方程123x x=-的解为（ ） A ．6x =- B ．2x =-C ．2x =D ．6x =【答案】D【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解即得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：123x x=- 去分母得：26x x =-， 移项合并得：6x -=-， 化系数为“1”得：6x =，检验，当6x =时，()3180x x -=≠， ∴6x =是原分式方程的解． 故选：D ．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根．2．（2021·广东广州市·九年级一模）为了能让更多人接种，某药厂的新冠疫苗生产线开足马力，24小时运转，该条生产线计划加工320万支疫苗，前5天按原计划的速度生产，5天后以原来速度的1.25倍生产，结果比原计划提前3天完成任务．设原计划每天生产x 万支疫苗，则可列方程为（ ） A ．32032031.25x x =- B ．3205320531.25x xx x --=- C ．32032031.25x x=+ D ．3205320531.25x xx x--=+ 【答案】D【解析】根据“结果比原计划提前3天完成任务”建立方程即可得． 【解答】由题意，可列方程为 3205320531.25x xx x--=+， 故选：D ．【点评】本题考查了列分式方程，正确找出等量关系是解题关键．3．（2021·广东揭阳市·九年级一模）解分式方程22111xx x+=--，可知方程的解为（ ） A ．1x = B ．3x =C ．12x =D ．无解【答案】D【解析】直接利用分式方程的解法，首先去分母，进而解方程得出答案． 【解答】解：去分母得： 2−2x ＝x −1， 解得：x ＝1，检验：当x ＝1时，x −1＝0，故此方程无解． 故选：D ．【点评】此题主要考查了解分式方程，正确掌握解题步骤是解题关键． 4．（2021·广东深圳市·九年级其他模拟）下列命题中，是真命题的个数有( ) ①平分弦的直径垂直于弦；9；③方程2123111x x x -=-+-的解为x=0；④一组数据6，7，8，9，10的众数和中位数都是8． A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】根据垂径定理的推论、算术平方根的定义、分式方程的解法和众数、中位数的定义逐一判断即可． 【解答】①平分弦（不是直径．．．．）的直径垂直于弦，缺少条件，故错误；的算术平方根是3，故错误； ③2123111x x x -=-+- 解得：x=0经检验：x=0是原方程的解，故正确；④一组数据6，7，8，9，10的众数不是8，故错误． 综上：正确的有1个 故选A ．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解垂径定理的推论、算术平方根的定义、分式方程的解法和众数、中位数的定义等知识，难度不大． 5．（2021·广东广州市·九年级二模）小明把分式方程24xx x =-去分母后得到整式方程2280x x --=，由此他判断该分式方程只有一个解．对于他的判断，你认为下列看法正确的是（ ） A ．小明的说法完全正确B ．整式方程正确，但分式方程有2个解C ．整式方程不正确，分式方程无解D ．整式方程不正确，分式方程只有1个解【答案】C【解析】解分式方程24x x x =-去分母后得到整式方程2280x x -+=，由于432280=-=-<，得到方程2280x x -+=无实数根，于是得到结论． 【解答】解：∵分式方程24x x x =-去分母后得到整式方程2280x x -+=， 432280=-=-<，∴方程2280x x -+=无实数根， ∴方程24x x x =-无解， 故整式方程不正确，分式方程无解， 故选：C ．【点评】本题考查了分式方程的解法,一元二次方程根的判别式,熟练将分式方程转化为一元二次方程是解题的关键．6．（2021·广东深圳市·九年级一模）对于实数a ，b ，定义一种新运算“⊗”为：22a b a b =-⊗，这里等式右边是通常的实数运算．例如：22113134==--⊗，则方程()6111x x ⊗-=--的解是（ ） A ．4x = B ．5x =C ．6x =D ．7x =【答案】B【解析】已知方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解． 【解答】根据题中的新定义化简得：26111x x =---， 去分母得：261x =-+，解得：5x =， 经检验5x =是分式方程的解． 故选：B ．【点评】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．7．（2021·广东佛山市·九年级月考）若关于x 的不等式组112341x xx a x -+⎧⎪⎨⎪->+⎩有且只有8个整数解，关于y 的方程219199y a y y+++=++的解为非负数，则满足条件的整数a 的值为（ ）A ．8-B ．10-C ．8-或10-D ．8-或9-或10-【答案】D【解析】解不等式组，得到不等式组的解集，根据整数解的个数判断a 的取值范围，解分式方程，用含有a的式子表示y ，根据解的非负性求出a 的取值范围，确定符合条件的整数a ，相加即可．【解答】解：不等式组11(1)2341(2)x xx a x -+⎧⎪⎨⎪->+⎩， 解(1)得5x ≤， 解(2)得a 1x 3+>， ∴不等式组的解集为153a x +<； ∵不等式组有且只有8个整数解， ∴1323a +-<-， 解得107a -≤<-；解分式方程219199y a y y+++=++得1(8)y a a =--≠； ∵方程的解为非负数， ∴10a --≥即1a ≤-； 综上可知：107a -≤<-； ∵a 是整数，∴8a =-或9-或10-． 故选：D ．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，分式方程，本题易错，易忽视分式方程有意义的条件． 8．（2021·广东佛山市·九年级月考）为了估计某地区梅花鹿的数量，先捕捉20只梅花鹿做上标记，然后放走，待有标记的梅花鹿完全混合于鹿群后，第二次捕捉100只梅花鹿，发现其中5只有标记．估计这个地区的梅花鹿的数量约有（ ）只． A ．200 B ．300C ．400D ．500【答案】C【解析】设这个地区的梅花鹿的数量约有x 只，根据做标记的梅花鹿熟练所占比例等于捕捉100只梅花鹿中有标记的只数所占比例列出方程，解之即可． 【解答】解：设这个地区的梅花鹿的数量约有x 只， 根据题意，得：205100x =， 解得400x =，经检验：400x =是分式方程的解， 所以这个地区的梅花鹿的数量约400只．【解答】本题考查了用样本去估计总体，分式方程等知识，理解用样本估计总体，并据此列出方程是解题关键． 9．（2021·广东九年级专题练习）若关于x 的分式方程32x x -＝2mx-+5的解为正数，则m 的取值范围为（ ）A ．m ＜﹣10B ．m ≤﹣10C ．m ≥﹣10且m ≠﹣6D ．m ＞﹣10且m ≠﹣6【答案】D【解析】分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出m 的范围即可． 【解答】解：去分母得35(2)x m x =-+-， 解得102m x +=， 由方程的解为正数，得到100m +>，且2x ≠，104m +≠， 则m 的范围为10m >-且6≠-m ， 故选：D ．【点评】本题主要考查了分式方程的计算，去分母化为整式方程，根据方程的解求出m 的范围，其中考虑到分式方程的分母不可为零是做对题目的关键．10．（2021·广东九年级专题练习）对于实数a 、b ，定义一种新运算“⊗”为：21a b a b⊗=-，这里等式右边是实数运算．例如：21113138⊗==--．则方程()2214⊗-=--x x 的解是（ ） A ．4x = B ．5x =C ．6x =D ．7x =【答案】B【解析】根据题中的新运算法则表达出方程，再根据分式方程的解法解答即可． 【解答】解：211(2)(2)4x x x ⊗-==---∴方程表达为：12144x x =--- 解得：5x =，经检验，5x =是原方程的解， 故选：B ．【点评】本题考查了新定义的运算法则的计算、分式方程的解法，解题的关键是理解题中给出的新运算法则及分式方程的解法．11．（2021·广东佛山市·九年级一模）端午节当天，“味美早餐店”的粽子打九折出售，小红的妈妈去该店买粽子花了54元，比平时多买了3个.求平时每个棕子卖多少元？设平时每个棕子卖x元，列方程为____.【答案】54543 0.9x x=+【解答】平时每个棕子卖x元，那么平时卖的粽子个数为54x个，打九折售出的粽子单价为0.9x元/个，所以端午节当天的买的粽子个数为540.9x个，又题意可列方程：545430.9x x=+.故答案为54543 0.9x x=+.12．（2021·广东东莞市·九年级一模）分式方程13x＝22x-的解为_____．【答案】x＝﹣2 5【解析】去分母，求解整式方程并验根即可．【解答】解：去分母，得x﹣2＝6x，移项合并，得5x＝﹣2，∴x＝﹣25．经检验，x＝﹣25是原方程的解．故答案为：x＝﹣25．【点评】本题考查了分式方程的解法，掌握解分式方程的一般步骤是解决本题的关键，并注意得出解后，要注意检验．13．（2021·广东深圳市·九年级一模）在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是黄球的概率为34，则n=____．【答案】6．【解析】根据黄球的概率公式列出关于n的方程，求出n的值即可．【解答】根据题意得：324nn=+，解得：6n=，经检验6n=是原分式方程的解故答案为：6．【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．（2021·广东广州市·西关外国语学校九年级一模）若关于x 的分式方程32x x -＝2mx-+5的解为正数，则m 的取值范围为__． 【答案】m ＞-10且m ≠-6【解析】先解出这个分式方程的解，然后去掉增根以及解为正数列出不等式，从而得到m 的取值范围． 【解答】解：32x x -＝2mx-+5， 3x ＝-m +5（x -2）， 3x ＝-m +5x -10， 3x -5x ＝-m -10， -2x ＝-m -10， x ＝102m +， ∵x -2≠0， ∴x ≠2， ∴102m +≠2， ∴m ≠-6．∵方程的解为正数， ∴102m +＞0， ∴m ＞-10．∴m 的取值范围为：m ＞-10且m ≠-6． 故答案为：m ＞-10且m ≠-6．【点评】本题考查了分式方程的解法，一元一次不等式的解法，考核学生的计算能力，解题时注意解分式方程必须检验．15．（2021·广东阳江市·）若分式方程23-2x a x x -＋12x -＝2x有增根，则实数a 的取值是__________．【答案】4或8【解析】化为整式方程2x ＝a ﹣4，当x ＝0或x ＝2时，分式方程有增根，分别求出a 的值即可． 【解答】解：∵231222x a x x x x-+=-- ， 去分母得，3x ﹣a +x ＝2x ﹣4， 整理得，2x ＝a ﹣4， ∵分式方程有增根， ∴x ＝0或x ＝2，当x ＝0时，a ＝4； 当x ＝2时，a ＝8． 故答案是4或8．【点评】本题主要考查分式方程的增根，掌握分式方程的增根使其分母为0是解题的关键． 16．（2021·广东九年级其他模拟）分式方程10x =62x -的解是______________ 【答案】5x =【解析】先去分母，再解整式方程，然后检验即可． 【解答】解：10x =62x -， 两边同乘(2)x x -得，10(2)6x x -=， 解整式方程得，5x =，检验：当5x =时，(2)0x x -≠，所以5x =是原方程的解．【点评】本题考查了分式方程的解法，解题关键是熟练运用解分式方程的方法进行计算，注意：分式方程要检验．三、解答题17．（2021·广东中考真题）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒． （1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；（2）设猪肉粽每盒售价x 元()0,565x y ≤≤表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y 关于x 的函数解析式并求最大利润．【答案】（1）猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元；（2）222808000(5065)y x x x =-+-≤≤，最大利润为1750元【解析】（1）设猪肉粽每盒进价a 元，则豆沙粽每盒进价()10a -元，根据某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同列方程计算即可；（2）根据题意当50x =时，每天可售100盒，猪肉粽每盒售x 元时，每天可售[1002(50)]x --盒，列出二次函数关系式，根据二次函数的性质计算最大值即可．【解答】解：（1）设猪肉粽每盒进价a 元，则豆沙粽每盒进价()10a -元． 则8000600010a a =-解得：40a =，经检验40a =是方程的解． ∴猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元． 答：猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元． （2）由题意得，当50x =时，每天可售100盒．当猪肉粽每盒售x 元时，每天可售[1002(50)]x --盒．每盒的利润为(40x -) ∴(40)[1002(50)]y x x =---，222808000x x =-+-配方得：22(70)1800y x =--+ 当65x =时，y 取最大值为1750元．∴222808000(5065)y x x x =-+-≤≤，最大利润为1750元．答：y 关于x 的函数解析式为222808000(5065)y x x x =-+-≤≤，且最大利润为1750元．【点评】本题主要考查分式方程的实际应用以及二次函数的实际应用，根据题意列出相应的函数解析式是解决本题的关键．18．（2021·广东汕头市·九年级一模）某中学为了创设“体育校园”，准备购买A ，B 两种足球，在购买时发现，A 种足球的单价比B 种足球的单价多30元，用600元购买A 种足球的个数与用480元购买B 种足球的个数相同．（1）求A ，B 两种足球的单价各是多少元？（2）学校准备购买A ，B 两种足球共20个，且购买的总费用不超过2500元，求最多可以购买多少个A 种足球？【答案】（1）购买A 种足球单价需要150元，B 种足球单价需要120元；（2）3个 【解析】（1）设B 种足球的单价为x 元，根据数量相等列分式方程计算即可； （2）设准备购买m 个A 种足球，根据题意列不等式求解即可 【解答】解：（1）设B 种足球的单价为x 元，根据题意， 得60048030=+x x解得120x =．经检验：120x =是原分式方程的解．30150∴+=x ．答：购买A 种足球单价需要150元，B 种足球单价需要120元． （2）设准备购买m 个A 种足球，根据题意， 得()150120202500+-≤m m ． 解得103m ≤．m 为整数3m ∴=答：最多可购买3个A 种足球．【点评】本题考查了分式方程的应用，不等式解集的特解问题，准确列出分式方程，不等式是解题的关键． 19．（2021·广东深圳市·九年级二模）为响应对口扶贫，深圳某单位和西部某乡结对帮扶，采购该乡农副产品助力乡村振兴．已知1件A 产品价格比1件B 产品价格少20元，300元购买A 产品件数与400元购买B 产品件数相同．（1）A 产品和B 产品每件分别是多少元？（2）深圳该对口单位动员职工采购该乡A 、B 两种农副产品，根据统计：职工响应积极，两种预计共购买150件，A 的数量不少于B 的2倍，求购买总费用的最大值． 【答案】（1）A ：60元每件，B ：80元每件；（2）最大值为10000．【解析】（1）设A 产品每件x 元，则B 产品()20x +元，根据题意列分式方程求解即可；（2）设购买A 产品m 件，则购买B 产品()150m -件，所需费用w 元，根据题意得到费用与购买A 、B 产品之间的关系，继而解题．【解答】解：（1）设A 产品每件x 元，则B 产品()20x +元，30040020x x =+， 解得60x =，经检验，60x =是原分式方程的解，602080x ∴=+=，答：A 产品60元每件，B 产品80元每件．（2）设购买A 产品 m 件，则购买B 产品()150m -件，所需费用w 元， ∴()2150m m ≥-， ∴100m ≥∵()60801502012000w m m m =+-=-+，200-<∴w 随m 增大而减小，当100m =时，w 最大，10000w =元．【点评】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．20．（2021·广东雷州市教育局九年级一模）为了做好学校疫情防控工作．某校从药店购进一批甲、乙两种型号的口罩，已知乙种型号的口罩每袋单价比甲种型号的口罩每袋单价少5元，购买2500元的甲种口罩的数量和购买2000元的乙种口罩的数量相同．（1）求甲、乙两种口罩每袋的售价；（2）该药店决定用不超过15200元购进甲、乙两种型号口罩共800袋，已知甲种型号口罩每袋的进价为21元，乙种型号口罩每袋的进价为17元，求药店售出该批口罩的最大利润．【答案】（1）该药店甲、乙两种口罩每袋的售价分别为25元，20元；（2）购进甲、乙两种口罩各400袋时，药店获利最大，最大利润为2800元．【解析】（1）设甲种口罩每袋的售价为x 元，则乙种口罩每袋的售价为(5)x -元，根据等量关系“购买2500元的甲种口罩的数量和购买2000元的乙种口罩的数量相同”列出方程，解方程即可求解；（2）设购进甲种口罩a 袋，则购进乙种口罩800-a 袋，根据题意得出S 与a 的函数关系式及a 的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．【解答】（1）设甲种口罩每袋的售价为x 元，则乙种口罩每袋的售价为(5)x -元， 根据题意，得250020005=-x x ， 解得：25x =，经检验，25x =是分式方程的解，25520-=，即：该药店甲、乙两种口罩每袋的售价分别为25元，20元；（2）设购进甲种口罩a 袋，则购进乙种口罩800-a 袋；有：2117(800)152000800a a a +-≤⎧⎨≤≤⎩， 即：0400a ≤≤；药店获利：()(2521800201724)0)(0=⋅-+--=+S a a a ，∴S 随a 的增大而增大，∴当400a =时，S 最大，最大利润为：40024002800+=（元）．答：购进甲、乙两种口罩各400袋时，药店获利最大，最大利润为2800元．【点评】本题考查了分式方程及一次函数的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是解决问题的关键．21．（2021·广东珠海市·九年级二模）为巩固某市援藏米林县2019年脱贫攻坚成果，该市决定对米林县内一段公路进行改造．现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程比甲工程队单独完成此项工程多5天，若甲工程队先施工5天后，甲、乙两工程队再合作只需3天完成． （1）甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？（2）市政府决定由甲、乙共同完成此项工程，若甲工程队每天的工程费用是3．5万元，乙工程队每天的工程费用是2万元，在总预算不超过32万元的前提下，请问甲工程队至多工作多少天？【答案】（1）甲工程队单独完成此项工程10天，乙工程队单独完成此项工程15天；（2）至多工作4天【解析】（1）设甲工程队单独完成此项工程x 天，乙工程队单独完成此项工程（x +5）天，再根据“甲工作5天完成的工作量+甲乙合作3天完成的工作量=1”列出方程求解即可；（2）设甲工程队至多工作y 天，然后根据总费用小于或等于32万元列出不等式求解．【解答】（1）解：设甲工程队单独完成此项工程x 天，乙工程队单独完成此项工程（x +5）天； 依题意列方程：1115315x x x ⎛⎫⨯++⨯= ⎪+⎝⎭， 110x =，24x =-（舍去），经检验10x =是原方程的解．答：甲工程队单独完成此项工程10天，乙工程队单独完成此项工程15天；（2）解：设甲工程队至多工作y 天，依题意得：1103.5232115yy -+⨯≤，解得：4y ≤， 答：甲工程队至多工作4天．【点评】本题考查了分式方程的应用，审清题意找出等量关系是解题的关键．22．（2021·广东深圳市·九年级三模）某学校为丰富同学们的课余生活，购买了一批数量相等的象棋和围棋供兴趣小组使用，其中购买象棋用了210元，购买围棋用了378元，已知每副围棋比每副象棋贵8元． （1）求每副围棋和象棋各是多少元？（2）若该校决定再次购买同种围棋和象棋共50副，且再次购买的费用不超过600元，则该校最多可再购买多少副围棋？【答案】（1）每副围棋18元，每副象棋10元；（2）该校最多可再购买12副围棋．【解析】（1）设每副围棋x 元，则每副象棋（x-8）元，根据210元购买象棋数量=378元购买围棋数量列出方程并解答；（2）设再次购买围棋m 副，则购买象棋（50-m ）副，根据题意列出不等式并解答．【解答】解：（1）设每副围棋x 元，则每副象棋（x-8）元，根据题意，得：2103788x x=-． 解得x=18．经检验x=18是所列方程的根．所以x-8=10．答：每副围棋18元，每副象棋10元；（2）设再次购买围棋m 副，则购买象棋（50-m ）副，根据题意，得：18m+10（50-m ）≤600．解得m≤12.5．故m 最大值是12．答：该校最多可再购买12副围棋．【点评】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的数量关系是解决问题的关键．23．（2021·广东深圳市·九年级一模）某超市用4000元购进某种牛奶，面市后供不应求，超市又用1万元购进第二批这种牛奶，所购数量是第一批的2倍，但单价贵了2元．（1）第一批牛奶进货单价为多少元？（2）超市销售两批牛奶售价相同，两批全部售完后要求获利不少于4000元，则售价至少为多少元？【答案】（1）8元；（2）12元【解析】（1）设第一批牛奶进货单价为x元，根据题意列出分式方程，解方程即可得到解答；（2）由（1）可以得到两批牛奶的数量，然后设售价为a元，根据题意可以得到关于a的不等式，解不等式可以得到解答．【解答】（1）设第一批牛奶进货单价为x元，则第二批牛奶进货单价为（x＋2）元，由等量关系式“第二批数量＝第一批数量×2”，可列方程为：10000400022x x=⨯+，解得x＝8，经检验x＝8是原方程的解，∴第一批牛奶进货单价为8元．（2）由（1）可得第一批牛奶的数量为4000÷8＝500瓶，第二批牛奶的数量为500×2＝1000瓶．设售价为a元，依不等关系式“第一批利润＋第二批利润≥4000”可列不等式式为：500（a－8）＋1000（a－10）≥4000，解得a≥12，∴售价至少为12元．【点评】本题考查分式方程与不等式的综合运用，熟练掌握分式方程的列法及求解、一元一次不等式的列法及求解是解题关键．24．（2021·广东广州市·九年级一模）某学校计划购买甲、乙两种品牌的洗手液，乙品牌洗手液每瓶的价格比甲品牌洗手液每瓶价格的2倍少12元，已知用320元购买甲品牌洗手液的数量与用400元购买乙品牌洗手液的数量相同．（1）求甲、乙两种品牌洗手液每瓶的价格各是多少元？（2）若该学校从超市一次性购买甲、乙两种品牌的洗手液共100瓶，且总费用不超过1645元，则最多可以购买多少瓶乙品牌洗手液？【答案】（1）甲的价格为16元，乙的价格为20元；（2）最多可以购买11瓶；【解析】（1）设甲品牌冼手液每瓶的价格是x元，则乙品牌洗手液每瓶的价格是(2x-12)元，根据数量=总价÷单价，结合用320元购买甲品牌洗手液的数量与用400元购买乙品牌洗手液的数量相同，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设可以购买m瓶乙品牌洗手液，则可以购买(100-m)瓶甲品牌洗手液，根据总价=单价×数量，结合总费用不超过1645元，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论；【解答】（1）设甲品牌洗手液每瓶的价格是x 元，则乙品牌洗手液每瓶的价格是(2x -12)元， 依题意得：320400=212x x - ， 解得：x =16，经检验，x =16是原方程的解，且符合题意，∴2x -12=20(元)，答：甲品牌洗手液每瓶的价格是16元，乙品牌洗手液每瓶的价格是20元；（2）设可以购买m 瓶乙品牌洗手液，则可以购买(100-m )瓶甲品牌洗手液，依题意得：20m +16(100-m )≤1645，解得：m ≤454， 又∵m 为正整数，∴m 的最大值为11，答：最多可以购买11瓶乙品牌洗手液；【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；25．（2021·广东广州市·九年级一模）创建文明城市，携手共建幸福美好．某地为美化环境，计划种植树木4800棵，由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划多20%，结果提前4天完成任务．求原计划每天植树的棵数．【答案】200【解析】设原计划每天植树x 棵，则实际每天植树()120x +%棵，根据工作时间＝工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前4天完成任务列出方程即可求解．【解答】解：设原计划每天植树x 棵，则实际每天植树()120x +%棵， 根据题意可得：()480048004120x x -=+%，解得200x =，经检验得200x =是分式方程的解，答：原计划每天植树200棵．【点评】本题考查分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．26．（2021·广东广州市·九年级一模）随着5G 网络技术的发展，市场对5G 产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G 商品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在每天比更新技术前多生产30万件产品，在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，求更新技术前每天生产多少件产品？【答案】更新技术前每天生产120万件产品【解析】设更新技术前每月生产x 万件产品，则更新技术后每月生产（x +30）万件产品，由“在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同”列出分式方程，解方程即可．【解答】解：设更新技术前每天生产x 万件产品，则更新技术后每天生产()30x +万件产品， 依题意，得：40050030x x =+． 解得：120x =．经检验，120x =是原方程的解．答：更新技术前每天生产120万件产品．【点评】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找出正确的等量关系列出方程是解题的关键． 27．（2021·广东广州市·九年级一模）广州某公交线路日均运送乘客总量为15600人次，实施5G 快速公交智能调度后，每趟车平均运送乘客量比智能调度前增加了20%．若日均运送乘客总量保持不变，则每日发车数量比智能调度前减少26趟．求实施智能调度前每趟车平均运送乘客量为多少人次．【答案】实施智能调度前每趟车平均运送乘客量为100人次【解析】设实施智能调度前每趟车平均运送乘客量为x 人次，根据“每日发车数量比智能调度前减少26趟”列方程求解可得.【解答】解：设限行期间这路公交车每天运行x 车次，156001560026(120%)x x+=+， 解得：100x =，经检验100x =是原分式方程的根，答：实施智能调度前每趟车平均运送乘客量为100人次.【点评】本题考查了分式方程的应用，根据题意正确列分式方程是解题的关键．28．（2021·广东九年级一模）某中学为了创设“书香校园”，准备购买,A B 两种书架，用于放置图书．在购买时发现，A 种书架的单价比B 种书架的单价多20元，用600元购买A 种书架的个数与用480元购买B 种书架的个数相同．（1）求,A B 两种书架的单价各是多少元？（2）学校准备购买,A B 两种书架共15个，且购买的总费用不超过1400元，求最多可以购买多少个A 种书架？【答案】（1）购买A 种书架需要100元，B 种书架需要80元；（2）最多可购买10个A 种书架．【解析】（1）根据题意以书架个数为等量关系列出分式方程求解即可；（2）根据题意用代数式表示总费用，小于等于1400，列出不等式求解即可．【解答】解：（1）设B 种书架的单价为x 元，根据题意，得60048020=+x x解得80x =经检验：80x =是原分式方程的解 20100∴+=x答：购买A 种书架需要100元，B 种书架需要80元．（2）设准备购买m 个A 种书架，根据题意，得10080(15)1400+-m m解得 10m答：最多可购买10个A 种书架．【点评】本题主要考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题关键在于根据题意列出方程和不等式．29．（2021·广东汕头市·九年级一模）某公司购买了A 、B 两种不同型号的口罩，已知A 型口罩的单价比B 型口罩的单价多4.5元，且用12000元购买A 型口罩的数量与用3000元购买B 型口罩的数量相同． （1）A 、B 两种型号口罩的单价各是多少元？（2）该公司还需要增加购买一些口罩，增加购买B 型口罩数量是A 型口罩数量的4倍，若总费用不超过6000元，则增加购买A 型口罩的数量最多是多少个？【答案】（1）A 型口罩的单价为6元，则B 型口罩的单价为1.5元；（2）增加购买A 型口罩的数量最多是500个【解析】（1）设A 型口罩的单价为x 元，则B 型口罩的单价为（x ﹣4.5）元，根据数量=总价÷单价，结合用12000元购买A 型口罩的数量与用3000元购买B 型口罩的数量相同，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设增加购买A 型口罩的数量是m 个，则增加购买B 型口罩数量是4m 个，根据总价=单价×数量，结合总价不超过6000元，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【解答】（1）设A 型口罩的单价为x 元，则B 型口罩的单价为（x ﹣4.5）元， 根据题意，得：1200030004.5x x =-． 解方程，得：x ＝6．经检验：x ＝6是原方程的根，且符合题意．所以x ﹣4.5＝1.5．答：A 型口罩的单价为6元，则B 型口罩的单价为1.5元；（2）设增加购买A 型口罩的数量是m 个，根据题意，得：1.5×4m +6m ≤6000． 解不等式，得：m ≤500．正整数m 的最大值为500．。