圆的培优讲义

一、 圆的定义

1、动态定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆

①圆心:确定圆的位置——圆心相同的圆叫做同心圆 确定圆需要两个条件

②半径：确定圆的大小——半径相等的圆叫做等圆 2、静态定义圆心为O ，半径为r 的圆是所有到定点O 的距离等于定长 r 的点的集合．

（1）图上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长（半径 r ）．

圆的特点

（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．

考点1:证明一些点共圆

题型1：直角三角形

例1、如图，在中BD ⊥AC,CE ⊥AB,证明BCDE 在同一个圆上

题型2：矩形、正方形

例2证明对角线互相垂直的四边形的各边的中点在同一个圆上.

考点2：利用半径相等构造等腰三角形求角度

例3：如图，CE 是⊙O 的直径，AD 的延长线与CE 的延长线交于点B ，若BD=OD ，∠AOC=114º，求∠AOD 的度数。

2． 圆心、半径

固定的端点O 叫做圆心．

线段OA 叫做半径，一般用r 表示．

以点O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ” 3． 弦、直径

连接圆上任意两点的线段叫做弦；经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦． 考点3：求弦的最值

例4、P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为________；•最长弦长为_______．

例5、⊙O 所在平面上的一点P 到⊙O 上的点的最大距离是10，最小距离是2，求此圆的半

径是多少？

4． 圆弧（弧） 1、优弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧的分类 2

、半圆 3、劣弧 等弧：能够重合的弧叫做等弧，不是长度相等的弧

例6、 判断下列说法的正误 (1)弦是直径 (2)半圆是弧；

(3)过圆心的线段是直径； (4)过圆心的直线是直径 (5)半圆是最长的弧 (6)直径是最长的弦；

(7)圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆; (8)半径相等的两个圆是等圆

变式训练：

1.如图,⊙O 的直径为10cm,弦AB 为8cm,P 是弦AB 上一点,若OP 的长为整数, 则满足条件的点P 有( )

A.2个

B.3个

C.4个

D.5个

2．已知，如图，CD 是直径，︒=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。

3、⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。

例4 在半径为5cm 的圆中，弦AB ∥CD ，AB=6cm ，CD=8cm ，则AB 和CD 的距离是多少？

A

1、思维导图：

2、内容提要：

圆的轴对称性：过圆心的任一条直线（直径所在的直线）都是它的对称轴。

垂径定理⎩⎨⎧平分弦所对的两条弧。）的直径垂直于弦，且推论：平分弦（非直径

对的两条弧；平分弦，并且平分弦所定理：垂直于弦的直径

推论：平行的两弦之间所夹的两弧相等。

相关概念：弦心距：圆心到弦的距离（垂线段OE ）。

应用链接：垂径定理常和勾股定理联系在一起综合应用解题

（利用弦心距、半径、半弦构造Rt △OAE ）。

3、 垂径定理常见的五种基本图形

4、垂径定理的两种变形图

基本题型 一、求半径

例1.高速公路的隧道和桥梁最多．图1是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的

圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA =（ ）

（A ）5 （B ）7 （C ）

375 （D ）377

练习1、已知：在⊙O 中，弦cm 12=AB ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求圆的半径.

三个元素： 弧、弦和直径 两种关系：垂直 平分

两类应用： 计算 证明

C

D

A B

O E D

O

B

A

C O

B

C

A D D O

B C A E

D C O A B O B

A

C

图1

O

C

练习2、如图，在⊙O 中，AB 是弦，C 为的中点，若32=BC ，O 到AB 的距离为 1.

求⊙O 的半径.

练习3、如图，一个圆弧形桥拱，其跨度AB 为10米，拱高CD 为1米.求桥拱的半径.

二、求弦长

例2.工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，如图2所示，则这个小孔的直径AB mm ．

练习2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm ，那么油面宽度AB 是 cm.

三、求弦心距

例 3.如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F .

（1）求证：四边形OEHF 是正方形.

（2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.

练习3.如图4，O 的半径为5，弦8AB =，OC AB ⊥于C ，则OC 的长等于 ．

B

A

8mm

图2

D

C

O A

B

图3

C

O

A

B