用矩阵的初等行变换分析线性方程的解
矩阵的初等变换在线性代数中的简单应用
矩阵的初等变换在线性代数中的简单应用作者：李慧来源：《课程教育研究》2019年第09期【摘要】线性代数是高校经管类以及理工类专业学生的一门重要基础课程，其中矩阵理论为主要内容，在整个线性代数的学习过程中有着重要作用。
本文对矩阵初等变换在线性代数中的简单应用进行分析。
【关键词】线性代数矩阵初等变换应用【中图分类号】O151.2 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2019）09-0142-02在线性方程组的求解过程中，任意交换两个方程的位置，或者将某一方程乘数c（c∈F且c≠0），或者将某一方程乘数c加到另一方程上时，最终求得的解与原方程组的解相同。
矩阵的初等变换即起源于解线性方程组的三类同解变换，在处理线性代数相关问题时，具有相对独特的价值。
矩阵初等变换这一概念的提出，将线性方程组的求解过程转换为利用矩阵的初等变换化简一个增广矩阵的过程，简化了线性方程组的求解。
此外，在矩阵理论不断发展的过程中，新概念的产生以及新问题的形成，为矩阵初等变换在线性代数中的应用创造了更多的可能性，如矩阵的秩的求解、向量组的秩与极大线性无关组的求解以及化二次型为标准形等。
1.矩阵的初等变换矩阵变换是线性代数中矩阵的一种运算形式，在线性代数中，矩阵的初等变换指以下三种变换类型：（1）换位变换交换矩阵的任意两行或者两列。
（2）倍法变换以一个非零数k乘矩阵的某一行（某一列）所有元素。
（3）消法变换把矩阵的某一行（某一列）所有元素乘以一个数k后加到另一行（另一列）对应的元素。
矩阵的初等变换在求矩阵的逆等问题中有着较好的应用效果，分析原因，其理论依据如下：对矩阵Asn进行一次初等行变换，相当于在Asn左边乘上相应的s×s的初等矩阵；对矩阵Asn进行一次初等列变换，相当于在Asn右边乘上相应的n×n的初等矩阵；应用初等变换对矩阵Asn进行化简时，将可产生一个与矩阵Asn有关的等式，该等式与原矩阵的量化关系、性质有着密切关联。
矩阵的初等变换及其应用
矩阵的初等变换是指对矩阵进行一系列特定的行变换、列变换或行列变换，其目的是简化矩阵的形式或者解方程组。
常见的初等变换包括以下三种：
1.交换两行或两列：将矩阵中的两行或两列进行交换。
2.某一行或列乘以一个非零常数**：将矩阵中的某一行或某一列的所有元素乘以一个非零常数。
3.某一行或列加上另一行或列的若干倍**：将矩阵中的某一行或某一列的元素分别加上另一行或列对应位置元素的若干倍。
矩阵的初等变换可以应用于多个领域，主要包括以下几个方面的应用：
1.线性方程组的求解：通过对增广矩阵进行初等变换，将线性方程组化简为最简形式，从而求得方程组的解。
2.矩阵的求逆：通过初等变换将原矩阵化为单位矩阵或对角矩阵，从而求得原矩阵的逆矩阵。
3.矩阵的标准形式：利用初等变换将矩阵化为标准形式，如行阶梯形矩阵或最简行阶梯形矩阵，便于进一步的研究和计算。
4.特征值和特征向量的求解：通过初等变换将矩阵转化为对角矩阵，
从而求得矩阵的特征值和特征向量。
5.线性空间的基变换：在线性代数中，我们可以通过初等变换将一组向量变换为线性空间的一组基，从而简化问题的处理。
总的来说，矩阵的初等变换在线性代数、方程组求解、特征值分析等领域都具有重要的应用价值，能够简化计算、找出规律、解决实际问题。
矩阵的初等变换与线性方程组
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组说明与要求:上一章已经介绍了求解线性方程组的克莱姆法则．虽然克莱姆法则在理论上具有重要的意义，但是利用它求解线性方程组，要受到一定的限制．首先，它要求线性方程组中方程的个数与未知量的个数相等，其次还要求方程组的系数行列式不等于零．即使方程组具备上述条件，在求解时，也需计算n +1个n 阶行列式．由此可见，应用克莱姆法则只能求解一些较为特殊的线性方程组且计算量较大．本章讨论一般的n 元线性方程组的求解问题．一般的线性方程组的形式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 (I)方程的个数m 与未知量的个数n 不一定相等，当m =n 时，系数行列式也有可能等于零．因此不能用克莱姆法则求解．对于线性方程组(I )，需要研究以下三个问题：(1)怎样判断线性方程组是否有解？即它有解的充分必要条件是什么？ (2)方程组有解时，它究竟有多少个解及如何去求解？ (3)当方程组的解不唯一时，解与解之间的关系如何？ 目的与要求：掌握矩阵的初等变换，能用初等变换化矩阵为行阶梯形、行最简形和标准型。
理解矩阵的秩概念、掌握用初等变换求矩阵的秩。
了解初等矩阵的概念，掌握用初等变换求逆矩阵的方法。
掌握用初等变换求解线性方程组。
本章重点：矩阵的初等变换；解线性方程组；秩；线性方程组解的判定. 。
本章难点：秩；线性方程组解的判定.§3.1 矩阵的初等变换在本章的§2.3节中给出了矩阵可逆的充分必要条件，并同时给出了求逆矩阵的一种方法——伴随矩阵法．但是利用伴随矩阵法求逆矩阵，当矩阵的阶数较高时计算量是很大的．这一节将介绍求逆矩阵的另一种方法——初等变换法．为此我们先介绍初等矩阵的概念，并建立矩阵的初等变换与矩阵乘法的联系．一. 初等变换定义下面三种变换称为矩阵的初等行变换：1．互换两行（记）；2．以数乘以某一行（记）；3．把某一行的倍加到另一行上（记）。
第3章 矩阵的初等变换与线性方程组的解
↔
1 0 B = 0 2 0 0
矩阵等价性具有如下性质： （1）反身性： A ↔ A （2）对称性：如果 A ↔ B ，那么 B ↔ A （3）传递性：如果 A ↔ B, B ↔ C ，那么 A ↔ C
第 i行
| E ( i , j ) |= −1,
第j行
E ( i , j ) −1 = E ( i , j )
第i列
第j列
-12-
2、倍乘初等矩阵
1 E ( i ( k )) = O 1 k 1 O
↑ 第i列
← 第 i行 1
r
Pl L P2 P1 A = E
问 A − 1 = Pl L P2 P1 作一次行变换 再作一次行变换 继续… 考虑对 ( A E ) 作行变换
P1 ( A E ) = ( P1 A P1 E )
P2 P1 ( A E ) =
( P2 P1 A
P2 P1 E )
Pl L P2 P1 ( A E ) = ( Pl L P2 P1 A Pl L P2 P1 E )
A ↔ B,
如何把它们用等号联系起来？
-11-
定义
对单位矩阵E做一次初等变换得到的矩阵称
为初等矩阵。 共有三种初等矩阵，分别为 1、交换初等矩阵
1 O 1 0 1 L ← 1 E ( i, j ) = M O M 1 1 L 0 ← 1 O 1 ↑ ↑
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组的解
§3.1 矩阵的初等变换 §3.2 初等矩阵 §3.3 矩阵的秩 §3.4 线性方程组的解
初等行变换解矩阵方程
初等行变换解矩阵方程初等行变换法：解决矩阵方程的有效方法。
初等行变换解矩阵方程是一种解决线性方程组的有效方法，它可以帮助我们更加容易地求解矩阵方程。
它可以通过将矩阵的行变换为两个待解的行矩阵，来实现简单的求解步骤，此外它还可以通过给出另一组行矩阵的解决方案，来求解原来的矩阵方程。
一、什么是初等行变换初等行变换是一种行变换技术，其目的是把矩阵变换成上三角形矩阵和下三角形矩阵。
它可以通过添加一行或减去一行来实现变换，当然它可以用于行交换和缩放。
这种变换时通过交换（包括位置，系数或部分行）、缩放或变换而进行的，用意是让目标矩阵更易以某种方式处理。
二、矩阵方程的初等变换解法矩阵方程求解一般包含以下步骤：（1）将矩阵化为上三角型。
（2）用后向代换法求解上三角方程组。
（3）将解根据原矩阵定义进行化简。
（4）检查方程组所得解是否正确。
步骤1中运用初等行变换，将矩阵化为上三角形矩阵，关键步骤包括：（1）确定基本行和列；（2）对各行进行位置交换；（3）消去当前行的其它行各项的系数；（4）除掉系数，使得主元元素为1；（5）用上一步得出的系数消去当前列的其它列元素。
步骤2是把由步骤1得出的上三角形矩阵中的方程，变换为从最后一行往前变换的方程，在最后一行，把对应的常数替换成1，然后逐行进行，利用本行各系数消去上一行的元素，最终逆叙得到解。
步骤3中，要用初等行变换将本节中取得的解恢复到原矩阵，这个过程会使用到变换（常见的为把变换矩阵乘到原矩阵得到新矩阵）：首先求出行变换矩阵，也就是把上述初等变换的变换把每一步进行的变换反过来，行变换的形式必须是从右上角交换到左下角；然后把行变换矩阵与当前解矩阵相乘，就可以得到新的解矩阵了。
步骤4是进行校核，就是检查结果是否正确，主要把矩阵和解矩阵相乘，看是否能得到原矩阵，这可以通过计算行求和或者列求和，最终的校核的结果是一致的。
三、初等行变换的优势初等行变换解矩阵方程有很多优势：（1）行变换能够将一个矩阵转换成另一个相似的矩阵，使得变换矩阵非常简单。
用初等行变换求线性矩阵方程的通解
第16卷第1期工 科 数 学V o l.16,№.12000年2月JOU RNAL O F M A TH E M A T I CS FO R T ECHNOLO GYFeb .2000用初等行变换求线性矩阵方程的通解韩维信(天津大学数学系,天津300072) [摘 要]本文通过建立通解矩阵的概念,给出了用初等行变换求线性矩阵方程A m ×n X n ×s =B m ×s 的通解的方法.[关键词]通解矩阵;基础解阵;特解矩阵;通解[中图分类号]O 15112 [文献标识码]C [文章编号]10074120(2000)010120031 定 义A 是m ×n 矩阵,B 是m ×s 矩阵,把B 按列分块,记B =(B 1,…,B s ).X 是n ×s 未知矩阵,把X 按列分块,记X =(X 1,…,X s ).线性矩阵方程为AX =B .(1)定义1 称A 是(1)的系数矩阵,A=(A ,B )是(1)的增广矩阵.AX =O 是(1)的导出矩阵方程,线性方程组AX k =B k (k =1,…,s )(2)是(1)的子方程组,称AX k =O 的基础解系是AX =O 的基础解系,由基础解系的列向量构成的n ×(n -r (A ))矩阵G 是AX =O 的基础解阵.称满足关系式AC 0=B 的n ×s 矩阵C 0是(1)的特解矩阵.由线性方程组的理论不难证明:(i )矩阵方程AX =B 有解Ζ子方程组AX k =B k (k =1,…,s )有解Ζr (A )=r ((A ,B k ))(k =1,…,s )Ζr (A )=r (A ).(ii )如果r (A )=r (A)=r ,则AX =B 的通解为C =GK +C 0.其中G 是AX =O 的基础解阵,C 0是AX =B 的特解矩阵,K 是(n -r (A ))×s 任意矩阵.定义2 设A =(a ij )是n ×(n +s )矩阵,如果A 满足下列条件,则称A 是一个通解矩阵.(i )当i >j 时,a ij =0(i =2,…,n );(ii )a ii =1或0(i =1,…,n );(iii )如果a ii =1,则a k i =0(i =2,…,n ;k =1,…,i -1);(iv )如果a ii =0,则a ij =0(i =1,…,n ;j =i +1,…,n +s ).例如矩阵1-20112300000000012-1450 [收稿日期]19981217是一个4×(4+3)的通解矩阵.2 定 理在下面的两个定理中,假设AX =B 的系数矩阵A =(a ij )是n 阶方阵.参照参考文献[1]中的定理1和定理2的证明,可证下面的两个定理.定理1 如果A=(A ,B )是通解矩阵,则(i )B 是AX =B 的特解矩阵;(ii )当a ii =0时,n 维列向量(a 1i ,…,a i -1i ,-1,0,…,0)T是子方程组的导出组AX k =O 的解.(iii )AX =O 的基础解系可由A 中a ii =0的n -r (A )个列向量用(ii )中的方法构造而成.证明(略).定理2 矩阵方程A X =B 有解ΖA =(A ,B )可经一系列初等行变换变成通解矩阵.证明(略).3 例初等行变换不改变线性矩阵方程AX =B 的解.下面通过例子说明,怎样根据定理1、定理2用初等行变换求AX =B 的通解.(i )当m =n 时解线性矩阵方程AX =B ,其中A =1-2012-4141-2133-615, B =123181106821014.解 m =n =4,s =3.对增广矩阵A =(A ,B )作初等行变换.A=1-2011232-41418111-2130683-61521014r 2-2r 1r 3-r 1r4-3r 11-2011230012-1450012-1450012-145r 2-r 3r 4-r 31-20112300000000012-145000000=(Aδ,B δ),其中 A δ=1-20100000120000, Bδ=123000-145000.因为矩阵(A δ,B δ)是一个通解矩阵,所以,根据定理2,AX =B 有解且与AδX =B δ同解.根据定理1的(i ),Bδ是A δX =B δ的特解矩阵.根据定理1的(ii ),(iii ),由A δ的第2列和第4列(-2,0,0,0)T , (1,0,2,0)T121第1期 韩维信:用初等行变换求线性矩阵方程的通解构造AδX =O 的基础解系,得(-2,-1,0,0)T , (1,0,2,-1)T .于是AδX =O 的基础解阵为G =-21-10020-1.对任意2×3矩阵K ,C =GK +Bδ是A δX =B δ的通解,也是AX =B 的通解.(ii )当m <n 时,先在A的下方增加n -m 个零行,A =(A ,B)A B OOn ×(n +s )=(Aδ,B δ),则矩阵方程AX =B 与矩阵方程A δX =B δ同解,解A δX =B δ,则情况与(i )同.(iii )当m >n 时,如果r (A )=r (A),则A 可经初等行变换使其后m -n 行变成零.去掉这m -n 个零行,得一个n ×(n +s )矩阵(Aδ,B δ),则矩阵方程AX =B 与矩阵方程A δX =B δ同解.解A δX =B δ,则情况与(i )同.最后指出:(i )对线性矩阵方程XA =B ,可先用上述方法解A T X T =B T ,再求X .(ii )对线性矩阵方程AXB =D ,可令Y =XB ,先解A Y =D ,再解B T X T =Y T ,最后求出X .[参 考 文 献][1] 韩维信.General So lu ti on M atrices [J ].工科数学,1998,14(4):133-136.[2] 刘国琪.利用初等变换求解线性矩阵方程[J ].工科数学,1998,14(4):169-172.[3] 刘敬.用矩阵的初等变换解矩阵方程A m ×n X n ×s =B m ×s [J ].工科数学,1998,14(4):176-178.F i nd i ng A ll Solution s of a L i near M a tr ix Equa tionby Elem en tary Row Opera tion sH A N W eix in(D epartm en t of M ath .T ian jin U n iversity ,T ian jin 300072)Abstract :In th is paper ,first a new concep t on a general so lu ti on m atrix is in troduced ,then the m ethod of finding all so lu ti on s of the linear m atrix equati on A m ×n X n ×s =B m ×s by elem en tary row operati on s is given .Key words :general so lu ti on m atrix ;basic so lu ti on m atrix ;particu lar so lu ti on m atrix ;general so lu ti on221工 科 数 学 第16卷。
矩阵的初等变换在线性代数中的应用探索
Science &Technology Vision 矩阵的初等变换是线性代数中一个非常重要的内容，绝大多数的的教材在讲解矩阵的初等变换时，都会分别介绍矩阵的初等行变换和初等列变换。
然而，现有文献在探索矩阵的初等变换应用时却多数只运用了初等行变换[1-3]。
那么，可以运用初等列变换来解决问题吗？本文就此问题通过几个题型来举例说明初等行变换和初等列变换在解决相关问题中的应用及区别，以解决学生心中的疑惑。
1矩阵的初等变换由文献[4]和[5]，给出矩阵初等变换、行阶梯形矩阵、行最简形矩阵、列阶梯形矩阵、列最简形矩阵的定义。
定义1[4]：下面3种对矩阵所作的变换称为矩阵的初等行（列）变换：（1）对调两行（列）。
（2）以一个非零数乘某一行（列）的所有元素。
（3）某一行（列）所有元素的k 倍加到另一行（列）对应的元素上去。
矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换。
定义2[5]：设A 是m ×n 矩阵，A 中的任一非零行中的第一个非零元素称为首非零元，若矩阵A 满足：（1）每个零行（如果存在的话）位于任一非零行的下方。
（2）若A 的非零行的首非零元分别为a 1t ，a 2t ，…，a rt （设A 有r 个非零行），则首非零元所在的列满足t 1<t 2<…<t r 。
则称为行阶梯形矩阵。
定义3：设A 是m ×n 矩阵，若矩阵A 满足：（1）每个零行（如果存在的话）位于任一非零列的右方。
（2）若A 的非零列的首非零元分别为a s 1，a s 2，…，a s r （设A 有r 个非零列），则首非零元所在的行满足s 1<s 2<…<s r 。
摘要矩阵的初等变换在线性代数中起着举足轻重的作用，本文基于行、列阶梯形矩阵研究矩阵的初等行、列变换，并多角度、多解法举例探索初等变换在求矩阵的秩、求逆矩阵、解矩阵方程及求解线性方程组等中的应用。
关键词初等变换；线性代数；矩阵中图分类号:O151.2文献标识码:ADOI ：10.19694/ki.issn2095-2457.2020.18.23矩阵的初等变换在线性代数中的应用探索李燕娟基金项目:兰州交通大学博文学院教育教学改革课题(2019BWJX007)。
矩阵的初等变换
矩阵的初等变换
为了简化方程组的表达， 为了简化方程组的表达，可以省掉各个未知 只考虑系数和常数项，把它们排成一个表， 数，只考虑系数和常数项，把它们排成一个表， 用这个表代替线性方程组， 用这个表代替线性方程组，直接对这个表进行与 求解线性方程组相应的初等变换， 求解线性方程组相应的初等变换，这样在表达上 可以更加简洁和直观。 可以更加简洁和直观。下面介绍用矩阵的初等行 变换将线性方程组化为阶梯型方程组后求解。 变换将线性方程组化为阶梯型方程组后求解。
解
A = 3 3 0 6 2 1 1 4 3 0 3 6 4 2 2 8 5 1 6 12 9 5 10 24
r 4 − 2 r1 r 2 − r1
→
3 0 0 0
2 − 1 1 0
3 − 3 3 0
4 − 2 2 0
(2)
c . 其中 为任意常数
1．上述解方程组的方法称为消元法． ．上述解方程组的方法称为消元法． 消元法 2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如 ．始终把方程组看作一个整体变形， 下三种变换 （1）交换方程次序； ）交换方程次序； 相互替换） （ i 与 j 相互替换） （2）以不等于０的数乘某个方程； ）以不等于０的数乘某个方程； （以 i × k 替换 i ） （3）一个方程加上另一个方程的 倍． ）一个方程加上另一个方程的k倍 （以 i + k j 替换 i ） 上述三种变换均称为线性方程组的初等变换 上述三种变换均称为线性方程组的初等变换 ．
矩阵的初等变换
例1
求解线性方程组
2x1 − x2 − x3 + x4 = 2, x + x − 2x + x = 4, 1 2 3 4 4x1 − 6x2 + 2x3 − 2x4 = 4, 3x1 + 6x2 − 9x3 + 7x4 = 9,
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用矩阵的初等行变换分析线性方程的解
摘要在生产经营管理的活动中,以及科学技术当中,需要解决许多实际的问题,而这些许多实际的问题往往可以归结为解一个线性方程组,所以,从数学的角度,我们有必要去寻求解线性方程组的方法。
关键字增广矩阵;矩阵的初等行变换;标准型的阶梯型矩阵;矩阵的秩
在生产经营管理的活动中,以及科学技术当中往往需要解决许多实际的问题,而这些实际的问题在多数情况下往往可以归结为解一个线性方程组,解线性方程序的过程就是解决实际问题的过程,所以,从数学的角度,我们有必要去寻求解线性方程组的方法。
1 n元m个方程的线性方程的一般结构形式
a11,x1+a12,x2+…a1n,xn=b1
a21,x1+a22,x2+…a2n,xn=b2
………………………(*)
am+1,x1+am+2,x2+…amn,xn=bm
说明:(1)a11,a12……amn为为未知量的系数;
(2)b1,b2……bm称为常数项,均在等式的右端。
2 线性方程组所对应的增广矩阵
将线性方程组(*)未知量的系数积常数项相对位置保持不变而构成的矩阵称为该线性方程组所对应的增广矩阵。
即:线性方程组与增广矩阵之间具有一一对应关系。
3 矩阵的初等行变换
将矩阵的行与行互换位置,或将矩阵的某一行同乘以一个不等于零的数;或将矩阵的某一行同乘一个不等于零的数加到另一行的对应元素上。
当矩阵发生了这三种方式的任意一种,任意两种或三种,无论发生了多少次,但至少要有一次,我们就说该矩阵发生了初等行变换,任意一个非零矩阵经若干次的初等行变换一定能化为阶梯形矩阵。
阶梯形矩阵再经若干次的初等行变换一定能化为标准型的阶梯形矩阵,一个非零矩阵,它的阶梯形矩阵有无数个,但它的标准型的阶梯型矩阵有且只有一个。
4 解线性方程组的方法及步骤
同时满足每一个方程的解称之为方程组的解。
把方程组当中的某两个方程互换一下位置或将某一个方程的两端同乘以一个不等于零的数或某一个方程的两端同乘以一个不等于零的数,然后加到另一个方程上,左端加到左端,右端加到右端,而构成新的线性方程组。
虽然从表面上看方程组不一样,但线性方程组的解没变,称之为线性方程组的同解变形过程。
该线性方程组的同解变形过程就是其增广矩阵的初等行变换过程。
反过来,增广矩阵的初等行变换过程就是其线性方程组的同解变形过程,所以,我们可以用增广矩阵的初等行变换来解线性方程组,方程的步骤如下:1)正确写出该线性方程组所对应的增广矩阵;2)将增广矩阵经若干次的初等行变换化为阶梯形矩阵,然后判定解的情况;3)若有解,进一步将阶梯形矩阵经若干次的初等行变换化为标准型的阶梯形矩阵。
5 线性方程组解的判定
我们利用系数矩阵的秩与增广矩阵的秩以及未知量的个数三者之间的关系来判定解的情况,用R(A)表示系数矩阵的秩,用R(A–)表示增广矩阵的秩,用n表示未知量的个数,因为R(A)≤R(A–)而R(A)≤n所以,可以分三种情况讨论:1)若R(A)<R(A–),则方程组无解;2)R(A)=R(A–)=n,则方程组有唯一一组解;3)R(A)=R(A–)<n,则方程组有无穷多解。
对于齐次线性方程组,因为总有R(A)=R(A–)成立,所以齐次线性方程组一定有解,唯一的一组解是零解,无穷多组解即非零解。
参考文献
[1]顾静相.经济数学基础(下).高等教育出版社,2004.
[2]和慧民.高等数学(下).华东师范大学出版社,2007..
[3]闫杰生.经济数学(下).河南大学出版社,2008.
[4]张正修.线性代数.高教出版社,2003.。