用初等变换求逆矩阵
初等行变换求逆矩阵的方法
初等行变换求逆矩阵的方法
初等行变换是用于求解逆矩阵的一种方法。
以下是具体步骤：
1. 将待求逆矩阵和单位矩阵按行组合，形成一个2n阶的矩阵[ A I ]。
2. 对矩阵[ A I ] 进行初等行变换，使其左半部分变为单位矩阵，这样右半部分就是所求的逆矩阵。
3. 变换矩阵法：将单位矩阵作为初状态，通过一系列的初等行变换，得到一个变换矩阵B，使得B与单位矩阵相乘得到A的逆矩阵。
这种方法可以避免中途的矩阵组合，从而更加简单明了。
对于初等行变换，有三种基本操作：交换两行、将某一行的所有元素乘以一个非零实数、将某一行加上某一行乘以一个非零实数。
这些操作可以等价于乘以某个矩阵，被称为初等矩阵。
通过上述步骤，可以得到逆矩阵。
希望以上信息对您有帮助。
线性代数课件2-6利用初等变换求逆矩阵
kA j Aj A m m 1 A1
定理3
任一 m n 矩阵 A ，一定存在有限
个 m 阶初等阵 P1 , P2 , , Ps 和 n 阶初等阵 Q 1 , Q 2 , , Qt , 使
Er Ps P1 AQ 1 Q t 0
E ( i k ( j ))
( i 列） ( j 列 )
初等矩阵具有下列性质 （1）初等矩阵都是可逆阵，且它们的逆阵
仍为同类初等阵，即
E (i, j ) E (i, j )
1
E ( i ( kLeabharlann )) E1(i(
1 k
))
E ( i k ( j )) E ( i ( k )(
1
j ))
（2）对m×n矩阵A作一次初等行变换，相 当于在A的左边乘上一个m阶相应的初等阵； 对m×n矩阵A作一次初等列变换，相当于在 A的右边乘上一个n阶相应的初等阵。
证明：
仅证行变换的情况。
将 m n 阵 A ( a ij ) 按行分成
a 11 a 21 A a m1
E ( i ( k ))
（ i列 ）
(3)消法初等阵 将E的第j行的k倍加到第i行
（或第i列的k倍加到第j列）得到的方阵，
记为E(i+k(j)),即
1 1 k 1 (i行 ) ( j行 ) 1
1 0 1 1 1 0 1 1
( i 行） （ j 行） 1
(2)倍法初等阵 用非零常数k乘E的第i行
（列）得到的方阵，记为E(i(k)),即
矩阵求逆初等变换法
矩阵求逆初等变换法矩阵求逆是在线性代数中一个非常重要的概念，它可以用于解决大量的问题。
在实际的应用中，我们通常采用初等变换法来求逆矩阵，这样可以极大地简化计算并且提高效率。
本文主要介绍矩阵求逆初等变换法的基本概念和具体实现方法。
一、矩阵求逆的定义和概念矩阵求逆的本质是寻找一个矩阵A的逆矩阵B，使得A 与B的乘积等于单位矩阵I，即AB=BA=I，其中I为n阶单位矩阵。
矩阵A的逆矩阵可以表示为A^-1。
对于方阵，如果其行列式不为0，则可以求出其逆矩阵。
而对于非方阵，则不能直接求逆矩阵，需要通过一些方法先将其转化为方阵，再进行求逆操作。
二、矩阵求逆初等变换法初等变换是线性代数中的一种操作，它可以用来变换矩阵的形式，进而使得矩阵的某些性质更加明显。
初等变换包括以下三种：（1）交换矩阵的两行或两列（2）将矩阵的一行或一列乘以非零常数（3）将矩阵的一行或一列乘以非零常数加到另一行或另一列上去根据初等变换的性质，我们可以使用一组初等变换将任何一个方阵化为一个单位矩阵，进而得到其逆矩阵。
具体实现方法如下：（1）首先，将矩阵A增广为一个n*2n的矩阵（即在A的右边增加一个n* n的单位矩阵I）；（2）通过一系列初等变换将矩阵A化为一个上三角矩阵U；（3）继续通过一系列初等变换将U化为单位矩阵I；（4）此时矩阵A的右半部分就是其逆矩阵B。
下面，我们通过一个例子来具体说明这个过程：设矩阵为A=[1, 2, 3; 0, 1, 4; 5, 6, 0]（1）将A增广为一个2n* n的矩阵[A，I]=[1, 2, 3, 1, 0, 0; 0, 1, 4, 0, 1, 0; 5, 6, 0, 0, 0, 1]（2）通过一系列初等变换将矩阵A化为一个上三角矩阵U[1, 2, 3, 1, 0, 0; 0, 1, 4, 0, 1, 0; 5, 6, 0, 0, 0, 1]→R2-R1→[1, 2, 3, 1, 0, 0; 0, -1, 1, -1, 1, 0; 5, 6, 0, 0, 0, 1]→R3-5R1→[1, 2, 3, 1, 0, 0; 0, -1, 1, -1, 1, 0; 0, -4, -15, -5, 0, 1]→-R2→[1, 2, 3, 1, 0, 0; 0, 1, -1, 1, -1, 0; 0, -4, -15, -5, 0, 1]→R3+4R2→[1, 2, 3, 1, 0, 0; 0, 1, -1, 1, -1, 0; 0, 0, -11, 1, -4, 1]→-R3/11→[1, 2, 3, 1, 0, 0; 0, 1, -1, 1, -1, 0; 0, 0, 1, -1/11, 4/11, -1/11]→R2+R3→[1, 2, 3, 1, 0, 0; 0, 1, 0, 0, 3/11, -1/11; 0, 0, 1, -1/11, 4/11, -1/11]→-R1-2R2+3R3→[1, 0, 0, 1/11, 2/11, -1/11; 0, 1, 0, 0, 3/11, -1/11; 0, 0, 1, -1/11, 4/11, -1/11]得到上三角矩阵U为U=[1, 2, 3, 1/11, 2/11, -1/11; 0, 1, 0, 0,3/11, -1/11; 0, 0, 1, -1/11, 4/11, -1/11]（3）通过一系列初等变换将U化为单位矩阵I[1, 2, 3, 1/11, 2/11, -1/11; 0, 1, 0, 0, 3/11, -1/11; 0, 0, 1, -1/11, 4/11, -1/11]→R2-3R3→[1, 2, 3, 1/11, 2/11, -1/11; 0, 1, 0, 3/11, -1/11, 2/11; 0, 0, 1, -1/11, 4/11, -1/11]→R1-2R2-3R3→[1, 0, 0, 7/11, -2/11, -1/11; 0, 1, 0, 3/11, -1/11, 2/11; 0, 0, 1, -1/11, 4/11, -1/11]此时得到的右半部分就是矩阵A的逆矩阵B，即B=[7/11, -2/11, -1/11; 3/11, -1/11, 2/11; -1/11, 4/11, -1/11]三、总结矩阵求逆是线性代数中一个基本的操作，而初等变换法则可以很有效地简化求解的过程。
线性代数：初等变换法求逆矩阵(finalff3)
初等变换法求逆矩阵及 解矩阵方程
初等变换法求逆矩阵
线性代数
两个已知结论 1、n阶矩阵A可逆当且仅当A能够表示成若干初等 矩阵的乘积，即存在初等矩阵P1, P2, … , Pm使得
A= P1P2…Pm .
2、在矩阵A的左边乘以一个初等矩阵相当于对A进 行一次相应的初等行变换;
在A的右边乘以一个初等矩阵相当于对A进行一 次相应的初等列变换.
例 求矩阵X，使AX=B，其中
1 2 3
2 5
A
2
2
1
,
B
3
1
.
3 4 3
4 3
解 若A可逆，则X= A−1B.
1 2 3 2 5
(A
B)
2
2
1
3
1
3 4 3 4 3
3 2
X
2
3
.
1 3
1 0 0 3 2
0 0
1 0
0 1
2 1
3 3
小结
线性代数
1、初等变换求逆矩阵
(A E) 初等行变换 (E A−1 )
或
A
E
初等列变换
E
A1
2、初等变换求解矩阵方程
(1) A可逆，AX=B
X= A−1B
(A B) 初等行变换 (E A−1 B )
(2) A可逆， XA=C
X= CA−1
A 初等列变换 E
C
CA1
初等行变换法求逆矩阵
线性代数
若A可逆，则A−1可逆，因而A−1可以表示成若干初 等矩阵Q1, Q2, … , Qm 的乘积，即A−1= Q1Q2…Qm .
A可逆， A1 A E
初等变换法求逆矩阵
1 0 0 1 3 2 r2 （ 2）
0 0
2 0
0 1
3 1
6 1
5 1
r3
（ 1）
r2
（
2） 1 A01
0 1
10 03
r3
（
1）
0
0
2 11
13
3 3
2
1
3532 .
2 11
52
说明：（1）将(A E)化为行最简形矩阵； （2）此方法中只能作初等行变换.
一、初等变换法求逆矩阵
例1
设
1 A 2
2 2
13,求 A1.
3 4 3
解
A
E
1 2
2 2
3 1
1 0
0 1
0 0
3 4 3 0 0 1
r2 2r1 1 2 3 1 0 0 r1 r2 0 2 5 2 1 0
r3
（
1）
0 0
0 1 0
0 0 1
3 2 1
23 ， 3
3 2 X 2 矩阵[重点 掌握]
初等行变换
(A E)
( E A1).
2.初等变换法的解矩阵方程
初等行变换
(A B)
(E
A 1 B )
初等变换法求逆矩阵
引入：公式法求逆矩阵的缺点 一、初等变换法求逆矩 二、方法推广
引入：公式法求逆矩阵的缺点
逆矩阵的计算公式 A1 1 A A
适用范围：二阶、三阶的方阵.
缺点：当矩阵的阶数比较高时，求伴随矩阵 计算量太大,不易实施.
求矩阵逆的方法
求矩阵逆的方法
矩阵逆是矩阵理论中的一个重要概念，它可以帮助我们解决许多实际问题。
矩阵逆的求解方法有很多，这里简单介绍几种常用的方法： 1. 初等变换法：通过初等变换将原矩阵化为单位矩阵，然后将单位矩阵的变换过程反过来，即可得到矩阵的逆矩阵。
2. 行列式法：根据矩阵的行列式与伴随矩阵的关系，可以用伴随矩阵来求解矩阵的逆。
3. 克拉默法则：适用于$n$阶方阵，通过求解线性方程组的行列式来求解矩阵的逆。
以上是一些比较基础的求解矩阵逆的方法，实际运用中还有其他更加高效的方法。
在使用矩阵逆的过程中，需要注意的是，矩阵逆不是所有矩阵都有，只有非奇异矩阵（行列式不为0的矩阵）才有逆矩阵。
此外，求解矩阵逆的过程中需要注意精度问题。
- 1 -。
1.6 用初等变换求逆矩阵(崔丽鸿)
1 9
1 9
0
Linear Algebra
BUCT
注：
Chapter 1 Matrix
1. 求逆时,若用初等行变换必须坚持始终,不能夹 杂任何列变换.
2. 若作初等行变换时,出现全行为0，则矩阵的 行列式等于0. 结论：矩阵不可逆!
例如对矩阵
1 A 2
0
由于 A E
1 1 0 1 0 0
解：
A
E
1 1
1 2
9 0
0 0
1 0
0 1
r2 (1)r1 1 1 0 1 0 0
r3 (1)r1
0 0
0 1
9 0
1 1
1 0
10
Linear Algebra
BUCT
Chapter 1 Matrix
§ ������. ������
Linear Algebra
Chapter 1 Matrix BUCT
Chapter 1 Matrix
首先给出下面的定理2
定理2：设A为n阶方阵，则以下命题是等价的． （1）A是可逆矩阵； （2）A与单位矩阵等价； （3）A可以表示成有限个初等矩阵的乘积； （4）A可经过有限次初等行（或列）变换化为单位 矩阵．
r1 (1)r3
1
0 0
1 0 1
0 9 0
1 1 1
0 1 0
0
0 1
1 9 r2
r2 r3
1 0
0
0 1
0
0 0
1
2 1 1
用初等变换求逆矩阵
所以
例2. 设
问B是否可逆？
解法1.
若可逆，求其逆阵 B –1。
可见B不可逆
不可能化为 单位阵
解法2. 利用 “A可逆 A ”
二两行相同 ！
B不可逆
01
例3. 求解
02
解: 原方程变形为
可见 A – E 可逆, 且
注: 若要求
思考: 设 A, B 可逆, 如何解矩阵方程 AXB=C ?
用初等变换法求 AX = B 的解 X =A–1B : 作业 P64. 25(1), （2）
内容小结
§2.6 用初等变换求逆矩阵
一. 用初等变换法求逆矩阵 及解矩阵方程
定理1：设A是n阶方阵，则如下的命题等价：
A是可逆的 ；
A~E，E是n阶单位矩阵；
存在n阶初等矩阵
A可经过有限次初等变换化为E.
证明1 （1）→（2）易证明(见书上证明)
→（3）
因为A ~ E，
再由矩阵
那么，把E变为A的初等变换
上式表明: 若
, 则 A 可逆, 且 X 即为
AX = B 的解 X = A–1B.
特别, 若
即如何求 X = A–1B ?
给定n 阶可逆方阵 A 及 n×s 阶矩阵 B, 如何解 AX = B ?
左侧的意义： 对A、B 作相 同的行变换
即有
2
1
，试用初等变换法求
解：
例1：设
,即有：
等价的对称性，
有 E ~ A 。
所对应的初等矩阵为
，所以
一、等价定理
，由
有
由于
仍是初等矩阵，上式说明对A
实施有限次初等行变换可化为E， 列的情形类似可得。
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一. 用初等变换法求逆矩阵 及解矩阵方程
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一、等价定理
定理1：设A是n阶方阵，则如下的命题等价： （1）A是可逆的 ； （2）A~E，E是n阶单位矩阵； （3）存在n阶初等矩阵 （4）A可经过有限次初等变换化为E. 证明1 （1）→（2）易证明(见书上证明) （2）→（3） 因为A ~ E，再由矩阵 等价的对称性，
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0 1 0 2 0 3 可见 A – E 可逆, 且
注意：这个 r2 是新的结果
注: 若要求 方法一： 方法二：
思考: 设 A, B 可逆, 如何解矩阵方程 AXB=C ?
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内容小结
1. 矩阵的初等变换与初等矩阵 注意: 初等矩阵可逆, 其逆矩阵为同类型初等矩阵 用初等矩阵左乘 A ↔ 对A 作行变换 用初等矩阵右乘 A ↔ 对A 作列变换
有 E ~ A 。那么，把E变为A的初等变换所对应的初等矩阵为 P1P2 Pl ,即有：P1P2 Pr E Pr1 Pl A，所以 A P1P2 Pl
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（3）→（4） ，由 A P1P2 Pl
有 Pl1 P21P11A E 由于 Pl1 , , P21, P11 仍是初等矩阵，上式说明对A
即如何求 X = A–1B ? 分析: A 可逆
左侧的意义：
对A、B 作相
同的行变换
即有
上式表明: 若 (A B) r (E X ) , 则 A 可逆, 且 X 即为
AX = B 的解 X = A–1B.
特别, 若 ( A E) r (E A1)
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例1：设
解：
，试用初等变换法求
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所以
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例2. 设
问B是否可逆？
若可逆，求其逆阵 B –1。 解法1.
不可能化为 单位阵 可见B不可逆
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解法2. 利用 “A可逆 A ”
B不可逆
一、二两行相同 ！
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例3. 求解 解: 原方程变形为
r2 2r1 r2 r3 r3 4r2 r3 (1)
实施有限次初等行变换可化为E， 列的情形类似可得。 （4）→（1） 设A可经有限次初等行变换可化为E，
则存在初等矩阵 Q1,Q2 , ,Ql ，使
Q1Q2 Ql A E
由于 初等矩阵 Q1,Q2 , ,Ql 可逆， 所以A可逆。证毕。
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给定n 阶可逆方阵 A 及 n×s 阶矩阵 B, 如何解 AX = B ?
2. 用初等变换法求矩阵的逆 : ( A E) r (E A1)
3. 用初等变换法求 AX = B 的解 X =A–1B :
( A B) r (E A1B)
解 YA = C 转化为解 AY C 4. 与任意矩阵A 等价的三种简单矩阵
作业 P64. 25(1), （2）
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