曲面积分精解

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高等数学对面积曲面积分

1 z x 2 (k ,k ) z y 2 (k ,k ) ( k ) x y
f(x,y,z)dS
f(k,k,z(k,k))
1 z x 2 (k ,k ) z y 2 (k ,k )( k ) x y
f(k,k,z(k,k))
定理设有光滑曲面
z
f (x, y, z) 在上连续, 则曲面积分
O
y
f(x,y,z)dS存在, 且有
x Dxy
(k)xy (k,k,k)
f(x,y, Dxy
证明由定义知
)
n
lim
0 k 1
而
(k)x y 1 zx 2 (x ,y ) zy2 (x ,y )d x d y
用球面坐标
zRcos
dSR2sindd
R3
2πd
π
2sincosd
0
0
R 2πd
π
2sind
0
0
思考题: 例 3 是否可用球面坐标计算 ?
例5 计算
z22(xyz).
其中是球面 x2 y2
解显然球心为 (1,1,1), 半径为 3
利用对称性可知
z
1
计算 I f(x,y,z)dS.
x Dxy y
解锥面 z x2y2与上半球面 z a2x2y2的
交线为Βιβλιοθήκη 设1为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xOy 面上的
投影域为 D x y (x ,y )x 2 y 2 1 2 a 2 ,则
I (x2y2)dS 1

O
y
其中, 表示 n 小块曲面的直径的 x
最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).

曲面积分的定义和计算方法

曲面积分的定义和计算方法曲面积分是多变量微积分中的重要概念，用于计算曲面上的物理量或表示某一场量穿过曲面的总量。

它在物理学、工程学、计算机图形学等领域具有广泛的应用。

本文将介绍曲面积分的定义和计算方法。

一、曲面积分的定义曲面积分可以理解为将一个二元函数在曲面上的各个点上的取值进行累积的过程。

设曲面S是一个光滑曲面，可以表示为z=f(x,y)，其中f(x,y)是定义在S上的连续函数。

曲面积分的定义如下：∬F·dS = ∬f(x,y)·dS其中，F=(P,Q,R)是定义在曲面S上的向量场，dS表示曲面元素的面积。

曲面积分的结果是一个标量，表示向量场F穿过曲面S的总量。

二、曲面积分的计算方法1. 参数化方法参数化方法是计算曲面积分的常用方法之一。

当曲面S可以由参数方程表示时，可以通过将参数方程代入曲面积分的定义进行计算。

设曲面S由参数方程x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)，(u,v)∈D表示，其中D为(u,v)平面上的闭区域。

曲面元素dS的面积可以表示为：dS = ∥∂r/∂u × ∂r/∂v∥ dudv其中，∂r/∂u和∂r/∂v分别为参数方程x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)对u和v的偏导数，×表示向量的叉乘，∥∥表示向量的模。

根据曲面积分的定义，曲面积分可以表示为：∬F·dS = ∬f(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) · (∥∂r/∂u × ∂r/∂v∥ dudv)2. 投影法投影法是一种简化计算的方法，适用于曲面S与坐标平面之间存在投影关系的情况。

我们可以将曲面S在某一坐标平面上投影，然后计算投影面上的曲线积分。

设曲面S的投影在xy平面上的投影为D，f(x,y,z)为定义在曲面S 上的连续函数。

曲面积分可以表示为：∬F·dS = ∬f(x,y,z) · dS= ∬f(x,y,z) ·∥∂r/∂u × ∂r/∂v∥ dudv= ∬[f(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) ·∥∂r/∂u × ∂r/∂v∥] dudv= ∫∫[f(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) · ∥∂r/∂u × ∂r/∂v∥] du dv其中，[f(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) ·∥∂r/∂u × ∂r/∂v∥]是曲线积分的被积函数。

曲面积分计算技巧(一)

曲面积分计算技巧(一)曲面积分计算技巧•曲面积分是多元函数积分的重要内容之一，它在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。

本文将详细介绍曲面积分的各种计算技巧。

一、曲面积分的定义•曲面积分是对曲面上的某个量进行积分的一种数学操作。

它可以看作是对曲面上的函数在曲面上的投影进行积分的过程。

二、曲面积分的计算方法1.参数化曲面–曲面积分的第一步是将曲面参数化。

参数化是找到一个映射，将曲面上的点映射到一个参数域上。

2.计算曲面积分1.第一类曲面积分•第一类曲面积分是对曲面上的标量函数进行积分。

我们可以使用参数化曲面的方法将其转化为对参数域上的函数进行积分。

2.第二类曲面积分•第二类曲面积分是对曲面上的向量函数进行积分。

它的计算方法是将曲面分成小面元，然后求每个面元上的积分再求和。

三、曲面积分的技巧1.选择合适的参数化–在计算曲面积分时，选择合适的参数化是非常重要的。

一个好的参数化可以简化计算过程，提高计算效率。

2.利用对称性简化计算–如果曲面具有某种对称性，可以利用对称性简化曲面积分的计算过程。

3.使用曲面积分的性质–曲面积分具有一些性质，如线性性质、积分过程与参数化无关等。

我们可以灵活运用这些性质来简化计算。

4.应用变换减少计算复杂度–在某些情况下，可以通过对曲面进行变换，将复杂的曲面积分转化为更简单的形式，进而简化计算过程。

四、曲面积分的应用领域•曲面积分在物理学、工程学、计算机图形学等领域有着丰富的应用。

例如，曲面积分可用于计算物体的体积、质量、重心位置等。

五、结论•曲面积分是一种重要的数学工具，在实际应用中有着广泛的应用。

掌握曲面积分的计算技巧和应用领域，对于从事相关领域的专业人士来说是非常必要的。

希望本文能够对读者加深对曲面积分的理解和应用提供一些帮助。

六、参考文献•[1] Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals. Boston, MA: Cengage Learning.•[2] Marsden, J. E., & Tromba, A. J. (2011).Vector calculus. New York, NY: Freeman and Company.•[3] Oprea, J. (2018). Differential geometry and its applications. Providence, RI: AmericanMathematical Society.•[4] Adams, C. J., Essex, C., & Martin, C.(2015). Calculus: A Complete Course. Boston, MA: PearsonEducation.•[5] Weisstein, E. W. Surface Integral. From MathWorld–A Wolfram Web Resource.以上是一些相关的参考文献，如果你对曲面积分有更深入的兴趣，可以参考这些文献进一步学习。

对面积的曲面积分

| xyz| dS 4 xyzdS d S 1 (2 x )2 (2 y )2 d x d y
1
4 xy (x2 y2) 1(2x)2(2y)2d xd y
D x y
42d1r2co ssinr21 4 r2rd r 00
极坐标
22sin2d1r5 14r2dr
0
0
u
(3) 若曲面：xx(y,z)
则 f(x,y,z)dS f [x(y,z), y, z] 1x2 yxz2dydz D yz
对面积的曲面积分
计算面积的曲面积分的解题步骤：
1、应根据曲面Σ选好投影面. 2、确定投影域并写出曲面Σ的显函数形式,
并算出曲面面积元素dS.
3、将曲面方程代入被积函数,化为二重积分进行计算.
Dxy
对面积的曲面积分
补充
设分片光滑的曲面Σ关于yOz面对称,则
f(x, y,z)dS
0,
当f(x,y,z)为x的奇函数
2f(x,y,z)dS.
当f(x,y,z)为x的偶函数
1
其中 1 :x x (y ,z ) 0 .
对面积的曲面积分
例计算 |xy|zdS,
其为中抛 zx 2物 y2 (0 面 z 1 ).
1 5 u(u1)2du 125 51
41
4
420
对面积的曲面积分
例计算xdS, 其中是圆x2柱 y2面 1,
平 z 面 x 2 及 z 0 所围成的空间立体的表面.
z
z
z
O
x
y
O
x
y
O
x
y
对面积的曲面积分
例计算xdS, 其中是圆x2柱 y2面 1,

曲面积分总结

曲面积分总结曲面积分有第一型曲面积分和第二型曲面积分。

第一型曲面积分的实际意义是空间物质曲面的质量，第二型曲面积分的实际意义是流速场中沿某曲面某一侧的流量。

一、第一型曲面积分1、引例：设空间光滑曲面S 的方程为),(y x z z =，在xoy 平面上的投影区域为D , 物质曲面的密度函数为),,(z y x f ，则S 的质量为⎰⎰=Sds z y x f m ),,(.此种积分称为第一型曲面积分。

2计算方法定理1、设空间光滑曲面S 的方程为),(y x z z =，在x o y 平面上的投影区域为D , ),,(z y x f 在S 上连续，则⎰⎰⎰⎰++=D y x S dxdy z z y x z y x f ds z y x f 221)),(,,(),,(。

二、第二型曲面积分1、引例：设有流速场)),,(),,,(),,,((z y x R z y x Q z y x P F = ，在此场中有一双侧光滑曲面S ，指定一侧为正侧，则通过此曲面的流量为 ⎰⎰++Sdxdy z y x R dxdz z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(。

这种形式的积分称为第二型曲面积分。

上述积分上是三个积分的和⎰⎰++Sdxdy z y x R dxdz z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(⎰⎰=S dydz z y x P ),,(⎰⎰+S dxdz z y x Q ),,(⎰⎰+Sdxdy z y x R ),,(2、计算方法设函数),,(z y x R 在光滑曲面S ：),(y x z z =，D y x ∈),(, 上连续，则 ⎰⎰⎰⎰±=DS dxdy y x z y x R dxdy z y x R )),(,,(),,(。

当曲面S 的正侧法线方向与z 轴成锐角时取正号，成钝角时取负号。

也就是说，曲面上侧为正侧时取正号，曲面下侧为正侧时取负号。

曲面积分的计算方法

曲面积分的计算方法曲面积分是向量场在曲面上的积分，它在物理、工程、数学等领域有着广泛的应用。

在实际问题中，我们常常需要计算曲面上某个物理量的总量，而曲面积分就是用来描述这种总量的。

本文将介绍曲面积分的计算方法，包括参数化曲面、曲面积分的定义和计算公式等内容。

首先，我们来介绍曲面的参数化。

对于一个曲面S，我们可以用参数方程来描述它。

通常情况下，我们可以用两个参数u和v来表示曲面上的任意一点，即P(u, v)。

通过参数方程，我们可以将曲面S上的点表示为P(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))，其中x(u, v)、y(u, v)、z(u, v)分别是u和v的函数。

这样，曲面S就被参数化了。

接下来，我们来介绍曲面积分的定义。

设F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))是定义在曲面S上的向量场，曲面积分的定义如下：∬S F·dS = ∬S (P·n)dS + ∬S (Q·n)dS + ∬S (R·n)dS。

其中n是曲面S在点P(u, v)处的单位法向量，dS表示曲面S上的面积元素。

上式右边的三个积分分别表示F在曲面S上的法向分量P、Q、R与dS的点积之和。

这就是曲面积分的定义。

然后，我们来介绍曲面积分的计算公式。

对于参数化曲面S，曲面积分可以表示为：∬S F·dS = ∬D F(x(u, v), y(u, v), z(u, v))·|ru ×rv|dudv。

其中D是参数空间的投影区域，ru和rv分别是曲面S对参数u和v的偏导数，|ru × rv|表示它们的叉乘的模长。

上式右边的积分表示在参数空间D上对F(x(u, v), y(u, v), z(u, v))·|ru × rv|进行积分。

这就是曲面积分的计算公式。

最后，我们来举一个例子来说明曲面积分的计算方法。

第四节第一类曲面积分

)
（1）确定的方程: z z(x, y);
（2）确定在xoy 面上的投影区域 Dx y
（3）将曲面方程 z z(x, y) 及
dS
1
zx2
(
x,
y)
z
2 y
(
x,
y)
d
xd
y
代入 f (x, y, z) d S中即可。一投、二代、三换
说明: 1) 如果曲面方程为 x x( y, z), ( y, z) Dyz
1
z
2 x
z
2 y
d
xd
y
2d xd y,
Dx2y {( x, y) | x2 y2 1}, xdS x 2d xd y 0,
2
Dx2 y
例5. 计算 xdS , 其中是圆柱面 x2 y2 1,
平面 z x 2 及 z 0 所围成的空间立体的表面.
解: xdS xdS xdS
f (x, y, z) d S f [x( y, z), y, z] 1 xy2 xz2 d y d z
或
Dyz
y y(x, z), (x, z) Dxz
f (x, y, z) d S f [x, y(x, z), z] 1 yx2 yz2 d x d z
Dxz
2）若是 xoy 面上的一个闭区域 D 时，则
: x2 y2 z2 a2
2
d
1 2
2a
0
0
a r 2 r dr a2 r2
1 a4 (8 5
6
2)
思考: 若例3 中被积函数改为
计算结果如何 ?
例4. 计算| xyz | d S 为抛物面 z x2 y2（ 0 z 1）.

对坐标的曲面积分的计算方法(一)

对坐标的曲面积分的计算方法(一)对坐标的曲面积分的计算方法1. 引言曲面积分是微积分中的一种重要计算方法，用来求解三维空间中曲面上的某种量的总量。

其中，对坐标的曲面积分是其中一种常见的计算方法。

本文将详细介绍对坐标的曲面积分的计算方法。

2. 曲面积分的定义对坐标的曲面积分是指将一个函数在曲面上的每一点上的值乘以一个微小面积后进行累加得到的总量。

数学上，对坐标的曲面积分的公式如下：[曲面积分公式](其中，[f(x, y, z)]( 是定义在曲面上的函数，[dS]( 表示微小面积。

3. 计算方法对坐标的曲面积分的计算方法可以分为以下几种：3.1 参数化曲面法参数化曲面法是最常用的计算方法之一。

它将曲面上的点表示为二维参数域上的点，然后通过将参数域上的点映射到三维空间，从而得到曲面上的点坐标。

根据参数化曲面的定义，可以将对坐标的曲面积分转化为对参数域上的曲面积分的计算。

3.2 曲面积分的直接计算法对于某些特定的曲面，可以直接计算对坐标的曲面积分。

例如，球面、平面等特殊曲面具有简单的几何形状，可以直接进行计算。

3.3 曲面积分的换元计算法曲面积分的换元计算法是通过选择适当的变量替换来简化计算。

例如，对于某些问题，可以通过使用球坐标、柱坐标或其他坐标系来简化计算。

3.4 曲面积分的参数消去法对于某些特殊的曲面，可以通过参数消去法来简化计算。

参数消去法通过选择适当的参数变换，将曲面的方程转化为简化形式，从而简化对坐标的曲面积分的计算。

4. 结论对坐标的曲面积分的计算方法有很多种，可以根据具体的曲面和问题选择合适的方法。

参数化曲面法、直接计算法、换元计算法和参数消去法都是常用的计算方法。

在实际应用中，需要根据具体情况灵活选择合适的方法来求解对坐标的曲面积分。

以上是对坐标的曲面积分的计算方法的一些简要介绍，希望对读者有所帮助。

（以上内容仅供参考，具体计算方法以教材和相关资料为准。

）5. 参数化曲面法详解参数化曲面法是计算对坐标的曲面积分最常用的方法之一，下面将详细介绍该方法的步骤：5.1 确定参数域首先，需要确定参数域，即一个二维参数空间。

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第一节第一类曲面积分内容要点一、第一类曲面积分的概念与性质

定义1 设曲面是光滑的, 函数),,(zyxf在上有界, 把任意分成n小块iS(iS同时也表示第i小块曲面的面积),

在iS上任取一点),,,(iii作乘积 ),,2,1(),,(niSfiiii

并作和,),,(1niiiiiSf 如果当各小块曲面的直径的最大值0时, 这和式的极限存在, 则称此极限值为),,(zyxf在上第一类曲面积分或对面积的曲面积分，记为 

niiiiiSfdSzyxf10),,(lim),,(



 (4.2)

其中),,(zyxf称为被积函数，称为积分曲面. 二、对面积的曲面积分的计算法

.),(),(1)],(,,[),,(22xyDyxdxdyyxzyxzyxzyxfdSzyxf (4.3)

例题选讲例1 计算曲面积分,zdS 其中是球面2222azyx被平面)0(ahhz截出的顶部.

解 的方程为.222yxaz 在xOy面上的投影区域:xyD.),(2222hayxyx 又,122222yxaazzyx利用极坐标

故有xyDraadxdyzdS22 220202222rardrdaraardrdhaDxy22022)(212haraIna .2haaIn 例2（E01）计算,)(dSzyx 其中为平面5zy被柱面2522yx所截得的部分.

解积分曲面,5:yz其投影域},25),({22yxyxDxy ,2)1(011222dxdydxdydxdyzzdSyx 故 xyxyDDdxdyxdxdyyyxdSzyx)5(2)5(2)(

.2125)cos5(25020rdrrd 例3（E02）计算,xyzdS其中是由平面0,0,0zyx及1zyx所围四面体的整个边界曲面. 解如图(见系统演示)， .2341xyzdSxyzdS

注意到在321,,上，被积函数,0),,(xyzzyxf故上式右端前三项积分等于零.

在4上，,1yxz所以 ,3)1()1(112222yxzz 从而4xyzdSxyzdSxyDdxdyyxxy,)1(3其中xyD是4在xOy面上的投影区域.

xyzdSxdyyxyxdx1010)1(3

dxyyxxx10103232)1(3 dxxx1036)1(3 .1203)33(6343102dxxxxx 例4计算,dSxyz 其中为抛物面).10(22zyxz

解根据抛物面22yxz对称性,及函数||xyz关于yOzxOz、坐标面对称,有 dxdyyxyxxyxyzdSdSxyzxyD2222)2()2(1)(441 2010251022220412sin241sincos4drrrtdtrdrrrttrdt

.420151254141512duuu 例5 计算,xdS 其中是圆柱面,122yx平面2xz及0z所围成的空间立体的表面. 解，＝321 12，在xOy面上得投影域.1:22yxDxy

于是 1,0xyDxdxdyxdS 2,011xyDdxdyxxdS

将)1:,(313223xy投影到zOx面上，得投影域 .10,11:xyxDxy dxdzyyxxdSxdSxdSzxDzx221232313

,121122011222xDdzxxdxdzxxxxz 所以 .00xdS

例6（E03）计算 ,)(222dSzyx为内接于球面2222azyx的八面体azyx||||||表面. 解被积函数222),,(zyxzyxf关于三个坐标面和原点均对称.积分曲面也具有对称性,故原积分1,8 其中),0,,(:1zyxazyx1在xOy面上的投影为,0:axDxy,0xay而,yxaz所以 .3122dxdydxdyzzdSyx dSzyxdSzyx1)(8)(222222

dxdyyxayxxyD3])([8222 dyyxayxdxxaa022203])([8.324a 例7（E04）求球面2222azyx含在圆柱体axyx22内部的那部分面积. 解由对称性知，所求曲面面积A是第一卦限上面积1A的4倍.

1A的投影区域),0,(:22yxaxyxDxy 曲面方程,222yxaz故 ,122222yxaazzyx

所以 20cos022222224414aDDyxrardrdayxaadxdydxdyzzAxyxy .42)1(sin422202aada





例8 设有一颗地球同步轨道卫星, 距地面的高度为36000hkm，运行的角速度与地球自转的角速度相同. 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径6400Rkm).

解取地心为坐标原点，地心到通讯卫星重心的连线为z轴，建立如图坐标系.卫星覆盖的曲面是上半球面倍半

顶角为的圆锥面所截得的部分. 的方程为 ,222yxRz 它在xOy面上的投影区域 .sin:2222RyxDxy 于是通讯卫星的覆盖面积为 ).cos1(22RA

将hRRcos代入上式得 .21222hRhRhRRRA 由此得这颗通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为 %.5.4242RA 由以上结果可知，卫星覆盖了全球三分之一以上的面积，故使用三颗相隔32角度的通讯卫星就可以覆盖几乎地球全部表面. 课堂练习

1.当是xOy面内的一个闭区域时, 曲面积分dSzyxf),,(与二重积分有什么关系?

2.计算dSyx)(22, 其中为锥面)(3222yxz被平面0z和3z所截得的部分.. 3. 求半径为a的球的表面积. 第二节第二类曲面积分

二、第二类曲面积分的概念与性质定义1 设为光滑的有向曲面, 其上任一点),,(zyx处的单位法向量,coscoscoskjin 又设

kzyxRjzyxQizyxPzyxA),,(),,(),,(),,( 其中函数RQP,,在上有界, 则函数 coscoscosRQPnv



则上的第一类曲面积分 dSnv.)coscoscos(dSRQP



(5.5)

称为函数),,(zyxA在有向曲面上的第二类曲面积分. 三、第二类曲面积分的计算法设光滑曲面：),(yxzz，与平行于z轴的直线至多交于一点，它在xOy面上的投影区域为xyD, 则.

yzDdxdyyxzyxRdxdyzyxR)],(,,[),,(

. (5.9)

上式右端取“+”号或“-”号要根据是锐角还是钝角而定. 例题选讲第二类曲面积分的计算法例1 (E01) 计算曲面积分,222dxdyzdzdxydydzx 其中是长方体 }0,0,0|),,{(czbyaxzyx的整个表面的外侧. 解如图(见系统演示), 把有向曲面分成六部分.除43,外，其余四片曲面在yOz面上的投影值为零,因此 34222dydzxdydzxdydzx.0222bcadydzdydzayzyzDD

类似地可得,22acbdzdxy.22abcdxdyz 于是所求曲面积分为.)(abccba 例2 (E02) 计算,xyzdxdy其中是球面1222zyx外侧在0,0yx的部分.

解把分成1和2两部分,1:2211yxz,1:2222yxz 12xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdy

dxdyyxxydxdyyxxyxyxyDD)1(12222 dxdyyxxyxyD2212利用极坐标 .1521sin222rdrdrrxyD

例3 (E03) 计算,)(2zdxdydydzxz其中是旋转抛物面2/)(22yxz介于平面0z及2z之间的部分

的下侧. 解 .coscos)(dScos)()(222dxdyxzxzdydzxz

在曲面上，有 .11coscosxxzx





dxdyzxxzzdxdydydzxz]))([()(

dxdyyxxxyxxyD)(21)()(4

12222

.821cos)(212020222222rdrrrddxdyyxxxyD 课堂练习 1.当是xOy面内的一个闭区域时, 曲面积分dxdyzyxf),,(与二重积分有什么关系?

2.计算曲面积分,zdxdyydzdxxdydz其中为平面,0x,0y1zyx所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧. 第三节高斯公式通量与散度