高数下曲面及其方程
大学课件高等数学下学期6-6曲面及其方程
3. 双曲面
x2 a2
y2 b2
z02 c2
1
单叶双曲面
特点是: 平方项有一个取负号,另两个取正号.
z z
O
x
yx
O
y
炼油厂、炼焦厂的冷却塔就是单叶双曲面 的形状.
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x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
或
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
双叶双曲面
z
特点是:平方项有一个取 正号,另两个取负号.
由椭圆
x2 a2
z2 c2
1
绕z轴旋转而成.
方程可写为
x2 y2 a2
z2 c2
1
旋转椭球面与椭球面的区别：
与平面 z z1 ( | z1 | c) 的交线为圆.
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(2) a b c
x2 a2
y2 a2
z2 a2
1
球面
方程可写为 x2 y2 z2 a2
z
O
y
x
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那么，方程F ( x, y, z) 0就叫做曲面S 的方程，而
曲面S 就叫做方程的图形．
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以下给出几例常见的曲面.
例 1 建立球心在点M 0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R 的球面方程.
解 设M( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有 | MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
第六节 曲面及其方程
一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面 五、小结
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一、曲面方程的概念
2021研究生考试-高等数学考点解读及习题特训
） U(Pc,,8) = {<x,y)IO < �（x-x0 问y-yo )2 ＜δ
(1）内点 (2）外点 (3）边界点 开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集．
二、多元函数的概念
二元函数：设D是 R2 的一个非空子集，称映射 f:D →R为定义在D上的二元函数，通
no
＋ 飞．，， z
在 xOy 面上的投影方程．
y 求 ｛匕 的 交 线 C
案 UA抽
zx＝ ． fl4111、
y 2 － 叮／缸
nu
－y叫／－
AU
在古I) 例4设一 个立体由上半球面 z＝ 乒三亨利恍而 z＝
所围成，求它在 xOy
而上的投i；在．
答案
zx rlll〈lll
2 －
E
VJ
、，．
＝ AU
【旋转曲面方程求法】
IF(x,y)=O
( 1)坐标面上的曲线｛ I z=v
绕x轴旋转的曲面方程为 F(x，土石可？°）＝0;
绕y轴的旋转曲面方程为 F（±乒亏豆，y)=O.
I F(x,y,z) = 0,
Ix= /(z),
l lY (2）空间曲线｛ G(x,y,z) = 0, 绕z轴旋转的曲面方程，先从方程组中解出｛
xα 面上的投影．
习题10.求旋转抛物面 z=r+y(O 三z 三4）在三坐标面上的投影．
习题参考答案
习题1【答案】 x+y-3z-4=0. 习题2【答案】 9y-z-2=0. 习题3【答案】一x-一-20－＝一y一-3 2一＝一z-一1 4－．
习题4【答案】 Sx- 9y- 22z -59 = 0.
lf(x,y)-AI < e
高等数学(下)教案曲面及其方程
高等数学(下)教案曲面及其方程教学目标：1. 理解曲面的概念，掌握曲面的基本性质。
2. 学习曲面的方程表示方法，掌握常见曲面的方程。
3. 能够利用曲面方程进行曲面的绘制和分析。
教学内容：一、曲面的概念与基本性质1. 曲面的定义2. 曲面的基本性质2.1 曲面的导数2.2 曲面的切线和法线2.3 曲面的曲率2.4 曲面的切平面和法平面二、曲面的方程表示方法1. 参数方程表示法2.1 参数方程的定义2.2 参数方程的求导和积分2. 普通方程表示法2.1 普通方程的定义2.2 普通方程的求导和积分3. 柱面和二次曲面的方程3.1 柱面的方程3.2 二次曲面的方程三、常见曲面的方程1. 圆锥面的方程2. 椭圆面的方程3. 双曲面的方程4. 抛物面的方程5. 直纹面的方程四、曲面的绘制和分析1. 利用参数方程绘制曲面2. 利用普通方程绘制曲面3. 曲面的切线和法线分析4. 曲面的曲率分析5. 曲面的切平面和法平面分析教学方法：1. 采用多媒体教学，通过图形和动画展示曲面的形状和性质。
2. 通过例题讲解和练习，使学生掌握曲面方程的求解和分析方法。
3. 引导学生运用曲面方程解决实际问题，提高学生的应用能力。
教学评价：1. 课堂讲解和练习的参与度。
2. 学生对曲面方程的掌握程度。
3. 学生能够运用曲面方程进行曲面的绘制和分析。
教学资源：1. 教学PPT和动画演示。
2. 曲面方程的相关教材和参考书。
3. 计算机软件进行曲面的绘制和分析。
六、曲面的切平面和法线1. 切平面的定义与性质6.1 切平面的定义6.2 切平面的性质2. 法线的定义与性质6.3 法线的定义6.4 法线的性质3. 切平面和法线的求法6.5 切平面和法线的求法七、曲面的曲率1. 曲率的定义与性质7.1 曲率的定义7.2 曲率的性质2. 曲率的计算7.3 曲率的计算方法3. 曲面的弯曲程度分析7.4 曲面的弯曲程度分析八、曲面的绘制与分析实例1. 实例一：圆锥面的绘制与分析8.1 圆锥面的参数方程8.2 圆锥面的普通方程8.3 圆锥面的切平面和法线分析2. 实例二：椭圆面的绘制与分析8.4 椭圆面的参数方程8.5 椭圆面的普通方程8.6 椭圆面的切平面和法线分析3. 实例三：双曲面的绘制与分析8.7 双曲面的参数方程8.8 双曲面的普通方程8.9 双曲面的切平面和法线分析九、曲面在实际问题中的应用1. 曲面在工程中的应用9.1 曲面在机械设计中的应用9.2 曲面在建筑设计中的应用2. 曲面在自然科学中的应用9.3 曲面在光学中的应用9.4 曲面在声学中的应用十、复习与练习1. 复习本章内容10.1 复习曲面的概念与基本性质10.2 复习曲面的方程表示方法10.3 复习常见曲面的方程2. 课堂练习10.4 完成课堂练习题3. 课后作业10.5 布置课后作业教学方法：1. 采用案例教学法，通过具体实例讲解曲面的绘制与分析方法。
高等数学(下)教案曲面及其方程
高等数学(下)教案曲面及其方程教案内容：一、教学目标1. 让学生理解曲面的概念，掌握曲面的表示方法。
2. 让学生了解曲面的性质，如曲率、切线和法线等。
3. 让学生学会求解曲面的方程，并能运用曲面方程解决实际问题。
二、教学内容1. 曲面的概念及其表示方法曲面的定义曲面的表示方法：参数方程、直角坐标方程、柱面方程等。
2. 曲面的性质曲率：定义、计算方法及应用切线和法线：定义、计算方法及应用曲面的形状和分类：平面、柱面、锥面、二次曲面等。
3. 曲面的方程求解曲面的参数方程求解曲面的直角坐标方程求解曲面的柱面方程求解三、教学方法1. 采用多媒体教学，通过图形、动画等方式展示曲面的形象，帮助学生直观理解曲面的概念和性质。
2. 结合实例讲解曲面的方程求解方法，引导学生通过实践掌握曲面方程的求解技巧。
3. 开展课堂讨论，鼓励学生提出问题，共同探讨曲面的性质和应用。
四、教学安排1. 课时：2学时2. 教学方式：课堂讲解、实践练习、课堂讨论3. 教学过程：曲面的概念及其表示方法（0.5学时）曲面的性质（0.5学时）曲面的方程求解（0.5学时）课堂讨论（0.5学时）五、教学评价1. 课堂练习：要求学生在课堂上完成曲面方程的求解练习，检验学生对曲面方程的掌握程度。
2. 课后作业：布置有关曲面方程求解的课后作业，巩固学生对曲面方程的知识。
3. 课程考试：设置有关曲面方程的考试题目，全面评估学生对曲面及其方程的掌握情况。
六、教学内容1. 曲面的切平面与法线切平面的概念及其求法法线的概念及其求法切平面和法线在几何图形中的应用2. 曲面的图形描绘利用参数方程描绘曲面的图形利用直角坐标方程描绘曲面的图形利用柱面方程描绘曲面的图形七、教学方法1. 采用案例分析法，通过具体实例讲解曲面的切平面和法线的求法。
2. 利用计算机软件，演示曲面的图形描绘过程，帮助学生直观理解曲面的图形。
3. 鼓励学生参与讨论，分享曲面图形的描绘技巧，提高学生的动手能力和解决问题的能力。
高数曲面总结
高数曲面总结
高数曲面是高等数学中的一个重要知识点，在多元微积分中有广
泛应用。
曲面的概念涵盖了三维空间中的各种几何形体，包括球面、
圆柱面、圆锥面、双曲面等等。
以下是对于常见的曲面进行的总结：
1. 球面：球面是由一个半径为r的球体上所有与球心距离相等
的点构成的曲面。
它的方程是：(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2。
2. 圆柱面：圆柱面是由平面上一条曲线绕某条直线旋转一周形
成的曲面。
它的方程是：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。
3. 圆锥面：圆锥面是由平面上一条曲线绕某条直线在一个点处
旋转形成的曲面。
它的方程是：(x-a)^2+(y-b)^2=(z-c)^2tan^2α，
其中α是锥面的半锥角。
4. 双曲面：双曲面是由平面上一对相交曲线绕某条轴对称而成
的曲面。
它的方程是：(x-a)^2/a^2+(y-b)^2/b^2-(z-c)^2/c^2=1。
以上只是几个常见的曲面，实际上曲面的类型非常多，每一种曲
面都有其独特的性质和方程。
在实际应用中，我们可以通过计算曲面
的相关参数来求解相关问题。
需要提醒的是，在进行曲面相关计算时，需要注意计算精度和符号问题，尤其是在涉及到曲面的求导和积分时，应谨慎处理。
高等数学第七章：曲面及其方程
4/21
旋转过程中的特征：
如图 设 M (x, y, z),
(1) z z1
（2）点M 到z 轴的距离
z
d M1(0, y1, z1)
M f ( y,z) 0
o
y
d x2 y2 | y1 | x
将 z z1 6; 7 ;
（1）双曲线
x2 a2
z2 c2
1分别绕 x轴和z轴；
绕x 轴旋转
x2 a2
y2 c2
z2
1
旋 转
双
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
曲 面
x
y z
y2
（2）椭圆
a
2
z2 c2
1绕 y 轴和z轴；
x 0
绕 y 轴旋转
y2 a2
x2 c2
z2
1
0
2
叫圆锥面的
半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，
半顶角为 的圆锥面方程． z
解 yoz面上直线方程为 z y cot
圆锥面方程
z x2 y2 cot x
M1(0, y1, z1 )
o
y
M( x, y, z)
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周， 求生成的旋转曲面的方程．
4/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
4/21
高等数学 第八章 第五节 曲面及其方程
(2) 用坐标面 xoz ( y = 0) 与曲面相截
截得中心在原点的双曲线。
x2 a2
−
z2 c2
=1
y = 0
实轴与 x 轴相合， 虚轴与 y 轴相合。
第八章 第五节
33
与平面 y = y1 ( y1 b) 的交线为双曲线。
x2
a
2
−
z2 c2
= 1−
y12 b2
双曲线的中心都在 y 轴上。
第八章 第五节
26
与平面 z = z1 (z1 0) 的交线为椭圆。
x2
2
pz1
+
y2 2qz1
=
1
z = z1
当 z1变动时，这种椭
圆的中心都在 z 轴上。
与平面 z = z1 (z1 0) 不相交。
② 用坐标面 xoz ( y = 0) 与曲面相截
截得抛物线
x2 = 2 pz
y = 0
f ( x2 + y2 , z) = 0
同理：绕 y 轴旋转的旋转曲面方程
f (y , x2 + z2 ) = 0
问：曲线 C: f ( x , y) = 0 xoy 绕 x 轴旋转生成 的旋转曲面为？绕 y 轴旋转生成的旋转曲面为一条与 L 相交的直线旋转所得旋转
x
H(z , x) = 0 表示母线平行于 y 轴;
z
准线为 xoz 面上的曲线 l3的柱面。 l3
x
y
第八章 第五节
18
例
y2 b2
+
z2 c2
=
1
椭圆柱面 // 轴
x
x2 a2
−
y2 b2
=
大学高数空间解析几何2.
曲西方程；F （xj,z ）=O空同解祈/L 何一・曲面方程的概念定义：如果曲面s 与三元方程F (x,j,z) = O 满足:(1)曲面s 上任一点的坐标都满足方程F (xj^z) =O(2)不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程.二、平面及其方程例1设有点A (1,2,3)与B (2,-1,4),求与线段AB垂直平分的平面方程・所求平面就是与A和B等距离的动点的轨迹设平面上任一点为A/(x,j,z)AM\ = \MnI (X・ 1)2 + (y ・ 2)2 + (z - 3)2 = V(x-2y+6 + iy +(z-4)2化简得2x-6j + 2z-7 = 0 —所求平面方程Ax + By+ Cz + D = O平面的一般方程■特殊半廁XOYlfri z = 0YOZ 而x =()zox 而y=o适合下列条件的平面方程Ax + B\+Cz^D = 0仃什么特征？I.过原点0 = 02•平行于他标轴 3 •包含坐标轴平行于X4 = 0包含X4 = 0Q = 0v/? = o>^B = 0 D = 02C = 0zC = 0Q = ()4•平行于坐标平面平行于XOY面4=0 B=Q zox®4=0C=0YOZifii B = 0 C = 04例2作Z-2的图形.三、球面及其方程例3建立球心在点Mo (myo, z…)半径为R的球而的方程.设是球面上的任一点\M A M = RJ (X-Xo) 2 + Cv-几)'+ (z・zj 承(尤-X J+ (y - y 0 y+ (z - z J=j 11+ZH OXZ ——HA THP GWOZZ XHXZ(o n )吕舍sHJ+X•I \7 卜 乙——K \—/ 丟逗迂膜低丫OHd +Xz IJ+ wZ = JQ■宀b上半部例5求与原点O及M❶（2,3,4）的距离之比为1:2 点的全体所组成的曲面方程•解设M （兀jsz）是曲面上任一点根据题意有-=1恨俯惣恵月IMMJ 2J(X・2), + (y - 3)2 +(Z - 4), 2所求方程为卜+I卜0+1）并+寻」四•旋转曲面定义以一条平曲线纟翹平面上的一条直线旋黔一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴.旋转面的方程曲线C卩（”Z）=0lx = 0曲线C〔八”乙）二。
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思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
z
C : f ( y, z ) 0
o x
y
f ( y, x z ) 0
2 2
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例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
一个球面 , 或点 , 或虚轨迹.
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二、旋转曲面
定义2. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转
一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转
轴 . 例如 :
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建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程: 给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z ) 0 若点 M1 (0, y1 , z1 ) C , 则有
x y z 2 1 2 a c 这两种曲面都叫做旋转双曲面.
2 2 2
x
y
z
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三、二次曲面
三元二次方程
Ax 2 By 2 Cz 2 Dxy Eyx Fzx Gx Hy Iz J 0 (二次项系数不全为 0 )
的图形通常为二次曲面. 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的一种基本方法: 截痕法
利用圆锥面（旋转曲面）的伸缩变形来得到椭圆锥 面的形状，这种方法是研究曲面形状的一种较简便的方 法。
2. 椭球面
x2 y2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c
球面是旋转椭球面的特殊情形， 旋转椭球面是椭球面的特殊情形。 把xoz面上的椭圆
x2 z 2 2 1 绕z轴旋转，得到的 2 a c
x
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y
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内容小结
1. 空间曲面 • 旋转曲面 三元方程 F ( x , y , z ) 0
2 2 2 2 • 球面 ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 ) R
f ( y, z ) 0 绕 z 轴的旋转曲面: 如, 曲线 x0
o x
y
P18
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4. 抛物面
(1) 椭圆抛物面
z
x2 y2 z ( p , q 同号) 2 p 2q
特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面. x (2) 双曲抛物面（鞍形曲面） z
y
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q 用截痕法讨论它的形状。
母线平行于 z 轴;
z
C
准线为xoy 面上的抛物线. x 2 2 x y 2 2 1表示母线平行于 a b z z 轴的椭圆柱面. x y 0 表示母线平行于 z 轴的平面. (且 z 轴在平面上)
o
y
z
o
y
o
y
x
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x
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一般地,在三维空间
z
y
l1
z
x z 2 1 把xoz面上的双曲线 2 a c
x
y
绕z轴旋转，得到旋转单叶双曲面
x2 y2 z 2 2 2 1 2 a a c
把此旋转曲面沿着y轴方向伸缩b/a倍，即得到 单叶双曲面。
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(2) 双叶双曲面
z
x2 y2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c
z
L
M (0, y, z )
y
两边平方
x
2
z a (x y )
2 2 2
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例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转 所成曲面方程为
分别绕 x
x2 y2 z 2 1 2 2 a c
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
f ( x y , z ) 0
2 2
• 柱面 如,曲面F ( x , y ) 0 表示母线平行 z 轴的柱面. 又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .
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2. 二次曲面
• 椭球面 • 抛物面:
三元二次方程
椭圆抛物面
双曲抛物面
x2 y2 z 2 p 2q • 双曲面: 单叶双曲面 双叶双曲面 2 2 x2 y2 x y 2 2 1 1 2 2 a b a b x2 y2 • 椭圆锥面: 2 z2 a2 b
y
l
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆
柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间
x 2 y 2 R 2 表示圆柱面
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定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成
的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
表示抛物柱面,
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1. 椭圆锥面 x2 y2 2 2 z 2 a b
z
z
( a, b 为正数 )
o
在平面 z t 上的截痕为 椭圆 x2 y2 1, z t ① 2 2 (at ) (bt )
xx
y y
在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 .
可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上.
2 2
2 2 2 2
( x 2) ( y 1) ( z 4) 化简得 2 x 6 y 2 z 7 0 说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,
不在此平面上的点的坐标不满足此方程.
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定义1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:
第三节 曲面及其方程
一、曲面方程的概念
二、旋转曲面
三、柱面 四、二次曲面
第七章
机动目录上页ຫໍສະໝຸດ 下页返回结束
一、曲面方程的概念
引例: 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 轨迹方程. 解:设轨迹上的动点为 M ( x, y, z ) , 则 AM BM , 即
( x 1) ( y 2) ( z 3)
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x
y
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例1. 求动点到定点
方程.
距离为 R 的轨迹
依题意
解: 设轨迹上动点为
即
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 R
故所求方程为
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 R 2 z 特别,当M0在原点时,球面方程为
y x 1
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2. P318 题3 , 10
题10 答案: 在 xoy 面上
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x2 y2 z2 2 2 1. 2 a a c
曲面称为旋转椭球面，其方程为
再把旋转椭球面沿着y轴方向伸缩b/a倍，便得到椭球面。
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3. 双曲面 (1)单叶双曲面 x2 y2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c 2 2
方程 F ( x, y ) 0 表示 柱面, 母线 平行于 z 轴;
准线 xoy 面上的曲线 l1.
x
zl 2
y
方程 G ( y, z ) 0 表示柱面,
母线 平行于 x 轴; 准线 yoz 面上的曲线 l2.
x
z
l3
方程 H ( z, x) 0 表示柱面,
母线 平行于 y 轴;
准线 xoz 面上的曲线 l3.
z
C
M ( x, y, z )
M 1 (0, y1 , z1 )
f ( y1 , z1 ) 0
当绕 z 轴旋转时, 该点转到 M ( x, y, z ) , 则有
z z1 ,
x y y1
2 2
o
y
故旋转曲面方程为
x
f ( x 2 y 2 , z) 0
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( p, q 同号)
思考与练习
1. 指出下列方程的图形:
方 程
x5
x y 9
2 2
平面解析几何中
空间解析几何中
平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆 斜率为1的直线 以 z 轴为中心轴的 圆柱面 平行于 z 轴的平面
(我们还可以用伸缩变形的方法来得到椭圆锥面 的形状。)
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例如，把圆 就变为椭圆
沿着y轴方向伸缩b/a倍，
x2 y2 2 1 . 2 a b
x2 y2 2 2 z 就变为椭圆锥面 2 a a
类似的，把空间图形 沿着y轴方向伸缩b/a倍， 那么，圆锥面
x2 y2 2 z 2. a2 b