高中数学概率与统计的综合问题训练题

概率与统计的综合问题训练题1．(2019·太原八校联考)为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制图如下：
每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：
甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内(含35件)的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．
(1)根据图中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；
(2)为了解乙公司员工B每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X(单位：元)，求X＞182的概率；
(3)根据图中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．
解：(1)甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数为1
10
(32＋33＋33＋38＋35＋36＋39＋33＋41＋40)＝36，众数为33.
(2)设a为乙公司员工B每天的投递件数，则
当a＝35时，X＝140，
当a＞35时，X＝35×4＋(a－35)×7，
令X＝35×4＋(a－35)×7＞182，得a＞41，则a的取值为44,42，
所以X＞182的概率P＝4
10＝
2 5
.
(3)根据题图中数据，可估算甲公司的每位员工该月所得劳务费为4.5×36×30＝4 860(元)，易知乙公司员工B每天所得劳务费X的可能取值为136,147,154,189,203，
所以乙公司的每位员工该月所得劳务费约为1
10
×(136＋147×3＋154×2＋189×3＋203)×30
＝165.5×30＝4 965(元)．
2．(2018·湖北五校联考)通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下2×2列联表：
(1)能否有99%
(2)利用分层抽样的方法从以上爱好该项运动的大学生中抽取6人组建“运动达人社”，现从“运动达人社”中选派2人参加某项校际挑战赛，求选出的2人中恰有1名女大学生的概率．
附：
K 2
＝
n a ＋b
c ＋
d a ＋c
b ＋d
，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .
解：(1)∵K 2
＝
－
2
55×45×60×40
≈8.249＞6.635，
∴有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关．
(2)由题意，抽取的6人中，有男生4名，分别记为a ，b ，c ，d ；女生2名，分别记为m ，n . 则抽取的结果共有15种：(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，m )，(a ，n )，(b ，c )，(b ，d )， (b ，m )，(b ，n )，(c ，d )，(c ，m )，(c ，n )，(d ，m )，(d ，n )，(m ，n )，
设“选出的2人中恰有1名女大学生”为事件A ，事件A 所包含的基本事件有8种： (a ，m )，(a ，n )，(b ，m )，(b ，n )，(c ，m )，(c ，n )，(d ，m )，(d ，n )．
则P (A )＝8
15
.
故选出的2人中恰有1名女大学生的概率为8
15
.
3．(2019·西安八校联考)某工厂有25周岁以上(含25周岁)的工人300名，25周岁以下的工人200名．为了研究工人的日平均生产件数是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)根据“25周岁以上(含25周岁)组”的频率分布直方图，求25周岁以上(含25周岁)组工人日平均生产件数的中位数的估计值(四舍五入保留整数)；
(2)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以
下组”工人的概率；
(3)规定日平均生产件数不少于80的工人为生产能手，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？
附：K 2
＝
a ＋b
c ＋
d a ＋c b ＋d
，n ＝a ＋b ＋c ＋d .
解：采用分层抽样，“25周岁以上(含25周岁)组”应抽取工人100×300＋200＝60(名)，“25
周岁以下组”应抽取工人100×200
300＋200
＝40(名)．
(1)由“25周岁以上(含25周岁)组”的频率分布直方图可知，其中位数为70＋10×0.5－0.05－0.350.35＝70207
≈73(件)．
综上，25周岁以上(含25周岁)组工人日平均生产件数的中位数的估计值为73件． (2)由频率分布直方图可知，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上(含25周岁)的工人共有60×0.005×10＝3(名)，设其分别为m 1，m 2，m 3；25周岁以下的工人共有40×0.005×10＝2(名)，设其分别为n 1，n 2，则从中抽取2人的所有基本事件为(m 1，m 2)，(m 1，m 3)，(m 1，n 1)，(m 1，n 2)，(m 2，m 3)，(m 2，n 1)，(m 2，n 2)，(m 3，n 1)，(m 3，n 2)，(n 1，n 2)，共10个．
记“至少抽到一名‘25周岁以下组’的工人”为事件A ，事件A 包含的基本事件 共7个． 故P (A )＝710
.
(3)由频率分布直方图可知，25周岁以上(含25周岁)的生产能手共有60×[(0.02＋0.005)×10]＝15(名)，25周岁以下的生产能手共有40×[(0.032 5＋0.005)×10]＝15(名)，则2×2列联表如下：
K 2
＝
60×40×30×70
≈1.786＜2.706.
综上，没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．
4．某商店为了更好地规划某种商品进货的量，该商店从某一年的销售数据中，随机抽取了8组数据作为研究对象，如下表所示(x (吨)为该商品进货量，y (天)为销售天数)：
(1)根据上表数据在网格中绘制散点图；
(2)根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^
；
(3)在该商品进货量x (吨)不超过6吨的前提下任取2个值，求该商品进货量x (吨)恰有一个值不超过3吨的概率．
参考公式和数据：b ^＝
∑i ＝1
n
x i －x
y i －y
∑i ＝1
n
x i －x
2
，a ^＝y －b ^ x .∑i ＝18
x 2
i ＝356，∑i ＝1
8
x i y i ＝241.
解：(1)散点图如图所示：
(2)依题意，得x ＝1
8
(2＋3＋4＋5＋6＋8＋9＋11)＝6，
y ＝18
(1＋2＋3＋3＋4＋5＋6＋8)＝4，
b ^
＝
∑i =1
8
x i －x
y i －y
∑i =1
8
x i －x
2
＝
∑i =1
8
x i y i －8x y
∑i =1
8
x 2i －8x 2
＝
241－8×6×4356－8×62＝
49
68
，
∴a ^
＝4－4968×6＝－1134
，
∴y 关于x 的线性回归方程为y ^＝4968x －11
34
.
(3)由题意知，该商品进货量不超过6吨的有2,3,4,5,6共有5个，任取2个有(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共10种情况，故该商品进货量恰有一次不超过3吨的有(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，共6种情况，
故该商品进货量恰有一次不超过3吨的概率P ＝610＝3
5.。