稳恒磁场对外作用

a

b c

图

8-2

a

b

2

v

图8-1

一、选择题

（在下列各题中，均给出了4个~5个答案，其中有的只有1个是正确答案，有的则有几个是正确答案，请把正确答案的英文字母序号填在题后的括号内）

1．用电子枪同时将两个电子a 、b 射入图8-1所示均匀磁场B 中，已知a 电子和b 电子的初速度分别为v 和2v ，两者的方向如图所示。则先回到出发点的电子是：

A ．a 电子；

B ．b 电子；

C ．它们都不会回到出发点；

D ．它们同时回到出发点。 （D ） [知识点] 洛仑兹力，回旋周期。

[分析与解答] 由洛仑兹力B v F ?-=e L 知，两个电子受到与v 垂直的L F 的作用将作圆周运动，则经过一个周期后会回到出发点，且a 和b 电子回旋周期均为 eB

m T π=

2

2．如图8-2所示是一带电粒子在云雾室中的运动径迹图，云雾室处于图示的均匀磁场中。当粒子穿过水平放置的铝箔后，继续在磁场中运动，考虑到粒子穿过铝箔后有动能损失，则由此可判断：

A ．粒子带负电，且沿c b a →→运动；

B ．粒子带正电，且沿c b a →→运动；

C ．粒子带负电，且沿a b c →→运动；

D ．粒子带正电，且沿a b c →→运动。 （A ） [知识点] 运动电荷在磁场中的运动规律。

[分析与解答] 带电粒子在磁场中受到与速度垂直的洛仑兹力作用而作圆周运动，其回旋半径qB

mv R =

，即v R ∝。

由题意知，离子穿过铝箔后有动能损失，即v 将减少，则其回旋半径R 将减少，则可知带电粒子径迹是沿a →b →c 运动。

粒子速度v 的方向a →b ，由图知B 的方向垂直于纸面向内，而L F 指向弯曲内侧，由洛仑兹力B v F ?=q L 知带电粒子带负电。

3. 如图8-6所示，一载流细螺绕环，它由表面绝缘的导线在铁环上密绕而成，每厘米绕10匝，当导线中的电流为I = 2.0A 时，测得铁环内的磁感强度的大小为 B = 1.0T 。已知真空磁导率

A m T 10

π47

0/??=-μ，则可求得铁环的相对磁导率r μ为：

I a

图

8-4

图8-6

A. 7.96210?；

B. 3.98210?；

C. 1.99210?；

D. 6.33310?。 （ B ） [知识点] 介质中的安培环路定理应用。 [分析与解答] 由安培环路定理∑?=?i

I

l H d ，有

NI rH =π2 即 nI I r

N H =π=

2

而 nI μμH μμB r 0r 0== 则 nI

μB μr 0=

代入相关数据，铁环的相对磁导率为 2

7

109832

100010

40

1?=???π=-..r μ

4．磁介质有3种，用相对磁导率r μ表征它们各自的特性时： A ．顺磁质r μ>0， 抗磁质r μ < 0， 铁磁质r μ>>1； B ．顺磁质r μ>1， 抗磁质r μ＝１，铁磁质r μ>>1； C ．顺磁质r μ>1， 抗磁质r μ < １，铁磁质r μ>>1；

D ．顺磁质r μ>0， 抗磁质r μ < 0， 铁磁质r μ > 1 。 （ C ） [知识点] 磁介质的性质

5. 如图8-4所示，3根平行共面的无限长直导线a 、b 、c 等距离放置，各导线通过的电流值分别为A 1=a I ，A 2=b I ，A 3=c I ，且电流方向都相同。则导线a 和b 单位长度上所受安培力F a 与F b 的比值为：

A ．

167； B ．

85；

C ．8

7； D ．4

5。 （ C ）

[知识点] 安培力的计算。

[分析与解答] a 、b 导线所在处的磁场为1B 、2B 且 d

μd

I μd

I μB c b a π=?π+

π=

47222000， d

μd

I μd

I μB c a b π=

π+

π-

=00022

则单位长度导线受力为 d

μB I F a a a π=

=470， d

μB I F b b b π=

=02

图8-5

则

8

7=

b

a F F

6．如图8-5所示，在均匀磁场B 中，放置面积均为S ，通有电流均为I （方向如图）的两个单匝线圈，其中一个是正三角形，另一个为正方形。线圈平面均与磁场线平行。设m P 为线圈磁矩，M 为磁场对线圈的磁力矩，∑F 为磁场对线圈的合力。则两线圈的

A ．m P 相同，M 相同，0=∑F ；

B ．m P 相同，M 相同，0≠∑F ；

C ．m P 相同，M 不同，0≠∑F ；

D ．m P 不同，M 不同，0=∑F 。 （A ） [知识点] 磁矩、磁力矩与安培力的概念及判断。

[分析与解答] 对正三角形，IS P m =，方向为⊙；ISB B P M m =?=90sin ，方向向上。

()()030sin 30cos 30sin 30cos =+?-?-+?-?=∑j j i j i F IBa IBa IBa IBa IBa

对正方形，IS P m =，方向为⊙；ISB B P M m =?=90sin ，方向向上。 0=+-=∑k k F

I B b I B b

7. 在下列关于恒定磁场中磁场强度H 的表述中，正确的是： A ．H 仅与传导电流有关；

B ．若闭合回路L 内没有包围传导电流，则回路L 上各点的H 必为零；

C ．若闭合回路L 上各点H 均为零，则回路L 所包围传导电流的代数和为零；

D ．以闭合回路L 为边缘的任意曲面的H 通量均相等。 （C ） [知识点] 有介质时磁场的性质。

[分析与解答] H 不仅与传导电流有关，还与磁化电流有关；由安培环路定理知，若闭合回路没有包围传导电流，则0d =??l H ，但不能说回路L 上各点H = 0；若回路L 上各点H = 0，则

0d ==

?∑?i

I

l

H ，即回路L 内所包围传导电流的代数和为零。

由磁场性质，以闭合回路L 为边沿的任意曲面B 通量相等，H 通量不一定相等。

二、填空题

1. 一个电子以速度v 进入均匀磁场B 中，其所受洛伦兹力的矢量表达式为=L F B ?-v e ；

图8-7

图8-8

此后，该电子在此力的作用下作半径为R 的圆周运动，则其磁矩的大小为=m P B

m m

R Be 222

2

2v =

。

[知识点] 洛仑兹力的方向，磁矩的计算。

[分析与解答] 由洛仑兹力B v F ?-=e L 可知，L F 的方向还与电荷的电性有关，此题中L F 方向与

B v ?相反。

在洛仑兹力作用下，电子作圆周运动，回旋半径eB

mv R =

，回旋周期eB

m T π=

2。

其等效圆电流为 m

Be

T

e I π=

=22

则磁矩为 B

mv eB mv m Be

R

m

Be

IS P m 2222

2

2

2

2

=

??

?

??=ππ==

2．质量为m 的带正电油滴，以速度v 水平射入相互垂直的均匀电场E 和均匀磁场B 中，如图8-7所示。则当油滴能沿直线穿过电、磁场区域时，油滴所带的电荷=q E

B mg -v 。

[知识点] 洛仑兹力。

[分析与解答] 油滴穿过如图所示电、磁场时，受到三个力的作用，即

电场力 qE F e =，其方向向下； 磁场力 q v B F L =，其方向向上； 重力 g g m F =，其方向向下。

欲使油滴能沿直线运动，则需满足 L e F m F =+g 即 L q v B F m qE =+g 则 E

vB m q -=

g

3．杂质半导体可分为N 型（载流子为电子）和P 型（载流子为带正电的空穴），如图8-8所示，将一块带有电流I 的某型半导体薄片置于垂直于薄片平面的均匀磁场B 中，实验测得a 、b 两侧的电势为a b U U >，则可知该半导体是 N 型半导体 。 [知识点] 霍耳效应判定半导体类型。

[分析与解答] 由题意知a b U U >，即半导体薄片中a 端积累负电荷，b 端积累正电荷。

若为空穴导电，空穴的运动方向与电流方向一致，由洛仑兹力公式知，正电荷受到指向a 端的洛仑兹力作用，将出现a 端正电荷积累，这

I 2

图8-13

图8-14

与题意相反。

若为电子导电，电子的运动方向与电流相反，则电子受到指向a 端的洛仑兹力作用，将出现a 端负电荷积累，与题意一致。

三、计算与证明题

1．如图8-13所示，磁导率为μ1的无限长磁介质圆柱体A ，半径为R 1，其中均匀通有电流I 1，其外有半径为R 2的无限长同轴圆柱面C ，AC 之间充满着磁导率为μ2的无限大均匀磁介质，在圆柱面C 上通有相反方向的电流I 2。试求该系统磁感强度B 的分布。

[分析与解答] 按介质中的安培环路定理，取以O 为圆心，r 为半径的安培环路L ，有

∑?=

?=?I r H d L π2l

H

则 r

I

H π2∑=

， r I

B πμ2∑=

所以，当1R r <时，2

2

1

1

r R I I ππ?=

∑，21

1112R

r

I B πμ=

当21R r R <<时，1I I =∑ ，r

I B πμ21

22=

当2R r >时，21I I I -=∑， r

I I B π2213-=

2．如图8-14所示，通有电流I 、半径为R 的半圆形闭合曲线，共有N 匝，放在均匀外磁场B 中，B 的方向与线圈正法线方向成

60=α。试求：

（1）线圈的磁矩P m ；

（2）此时线圈所受的磁力矩M ； [分析与解答] （1） 2

π2

1R NI NIS P m ==

方向：与n 一致。

（2）由于 B P M ?=m

2

2

4

32

32

160

sin R NIB B

R NI B P M m ππ=

=

=

I 0

图8-15（a ）

F

A

图8-15 (b)

方向：竖直向上。

3. 在电流强度为I 0的长直导线产生的磁场中，有一等腰直角三角形线圈，线圈平面与长直导线共面，线圈通过的电流强度为I ，如图8-15(a)所示，试求：

（1）通过等腰直角三角形线圈的磁通量； （2）各边受到的磁场力及整个线圈受到的合力。 [分析与解答]

（1）建立如图所示的坐标系，长直导线电流I 0产生的磁场为

x

I B π20

0μ=

，方向垂直纸面向里

距轴线x 处取宽为d x 、高为h 的面积元d S （绕行方向为顺时针），其面积为 hdx dS =dx b x 045)tan (-=

面积元d S 的磁通量为 x b x x

I d d m )d (20

0-=

?=ΦπμS B

三角形线圈的磁通量为 ??+-=

Φ=

Φb

a b

m m x b x x

I d )d (20

0πμ

)ln

(20

0b

b a b a I +-=

π

μ

（2）等腰直角三角形线圈上任意电流元l d I 的方向都与长直导线电流I 0在该处产生的磁场B 垂直。

对于CD 边，将其分割为无限个电流元l d I ，由于每个电流元所在处磁感强度大小相等，方向一致。由安培力公式可知F CD 的大小为

)

(π2)

(π2000

0b a Ia

I Ia b a I BIa F CD +=

+=

=μμ，方向沿x 轴负方向

对于AC 边，每个电流元受到的安培力方向相同，但每个电流元所在处的磁感强度大小不同，所以

?

?

++=

=

b

a b

b

a b

AC x

x I

I x I x

I F d π

2d π2000

0μμb

b a I

I +=

ln

π

200μ，方向沿y 轴正向

对于DA 边，每个电流元受安培力方向相同，如图8-15 (b )所示，因而 lB I F d d =

?

=

l I x

I F DA d π20

0μ

统一积分变量，由几何关系可知

4

πcos

d d l x =-

代入F DA 公式可得

?

+-=

b

b

a DA x x I I F 4

πcos

π2)

d (00μ?

+=

b

a b

x

x I I d 2

2π

200μ

b

b a I I +=

ln

π

2200μ

把F DA 投影到坐标轴上，则

b b a I

I F F DA DAx +=

=ln

π

24πcos

00μ，方向沿x 轴正向

b

b a I

I F F DA DAy +=

=ln π

24πsin

00μ，方向沿y 轴负向

线圈受到的合力为

j i F ∑

∑

+

=

y x F F i )(ln

π

200b

a a b

b a I

I +-

+=

μ