【期中试卷】福建省福州市八县一中2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)Word版含答案
2017-2018学年第一学期八县（市）一中期中联考高中 二 年 数学（理） 科试卷命题学校： 永泰一中 命题教师： 叶长春 审核教师： 林志成 考试时间：11月16日 完卷时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1．已知数列1,54,43,32,21+n n，则96.0是该数列的( ) A .第20项 B .第22项 C .第24项 D .第26项2．已知：10<<x ，则函数)1(x x y -=的最大值为（ ）A .21B . 41C .81D .913．若,,a b c 为实数，则下列命题正确的是（ ）A .若0a b <<，则22a ab b >>B .若0a b <<，则11a b< C .若0a b <<，则b aa b> D .若a b >，则22ac bc > 4. 已知数列{}n a 的通项公式为325n a n =-，当n S 取到最小值时，n =( )A .5B .6C .7D .85．某观察站C 与两灯塔B A ,的距离分别为km 2和km 3，测得灯塔A 在观察站C 北偏西︒30，灯塔B 在观察站C 北偏东︒30，则两灯塔B A ,间的距离为（ ）A .km 345-B .km 4C .km 7D .km 136．在等比数列{}n a 中，已知11a =，48a =，若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第2项和第6项，则数列{}n b 的前7项和为（ ）A .49B .70C .98D .1407．在ABC ∆中,,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，B a c cos 2=,则ABC ∆的形状为（ ）A . 等腰三角形B .等边三角形C .直角三角形D .等腰直角三角形8．设R x ∈，对于使22x x M -≥恒成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值1-叫做22x x -的下确界．若,a b R *∈，且1a b +=，则114a b+的下确界为（ ）A .415 B .4 C .2 D .49 9．若不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，则实数a 的取值范围 是（ ）A .)2,(-∞B .)2,2(-C .]2,2(-D .)2,(--∞10．大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理。
数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前20项依次是50,40,32,24,18,12,8,4,2,0，……则此数列的第20项为（ ）A .220B .200C .180D .16211．已知实数y x ,满足121y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，如果目标函数y x z -=的最小值为2-，则实数m 的值为( )A .0B .4C .8D .1012．在数列{}n a 中，()1n a n N n*=∈，从数列{}n a 中选出()3k k ≥项并按原顺序组成的新数列记为{}n b ，并称{}n b 为数列{}n a 的k 项子列．例如数列12、13、15、18为{}n a 的一个4 项子列．若{}n b 为数列{}n a 的一个()3k k ≥项子列，且{}n b 为等差数列，则{}n b 的公差d 的最小值为（ ）A .61-B .41-C .31- D . 21-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．已知变量y x ,满足约束条件20701x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则yx 的最大值为___________14．数列{}n a 是等差数列，n S 是它的前n 项和，已知103=S ，609=S ，则6S =_____15．已知数列{}n a 满足112a =， 111n na a +=-（*n N ∈），则数列{}n a 的前100项的和为_____________16．有一道题目由于纸张破损，有一条件看不清楚，具体如下：在ABC ∆中，已知32=b ， ，22cos =C ，求角B ．经推断，破损处的条件为三角形一边的长度，该题的答案︒=60B 是唯一确定的，试将条件补充完整． 三、解答题（本大题6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且1=a ，2=c ，43cos =c . （1）求A sin 的值； （2）求ABC ∆的面积. 18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是单调递增的等差数列，首项21=a ，且2a ，4a ，44-S 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足n an n a b )2(+=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 19．（本小题满分12分） 已知函数23)(2+-=x ax x f（1）若0)(>x f 的解集为{ 1 x x <或}x b >，求a ，b 的值； （2）当0<a 时，求不等式ax x f ->5)(的解集. 20.（本小题满分12分）选修54-：不等式选讲 设函数1)(-+-=x a x x f（1）若1a =-，解不等式4)(≥x f ；（2）如果对任意的R x ∈，3)(≥x f ，求a 的取值范围．21.（本小题满分12分）某企业为解决困难职工的住房问题，决定分批建设保障性住房供给困难职工，首批计划用100万元购买一块土地，该土地可以建造每层1000平方米的楼房一幢，每层楼房的建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼房的建筑费用提高2万元．已知第1层楼房的建筑费用为81万元，该楼房楼层为x 层．（1）求建造该幢楼房的总费用)(x f （总费用包括建筑费用和购地费用）；（2）问：要使该楼房每平方米的平均费用y 最低应把楼房建成几层？此时每平方米的平均费用为多少万元？22.（本小题满分12分）已知各项都是正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，212n n n S a a =+，n N *∈ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足：11b =,12(2)n n n b b a n --=≥，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ； （3）在（2）的条件下，若)8(21+≤-n T n λ对任意的n ),2(*N n n ∈≥恒成立，求λ的取值范围.2017-2018学年第一学期八县（市）一中期中联考高二数学(理科)参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题（每小题5分，共20分）13、6 14、30 15、50 16、26+=a三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 17、解：（1） 43cos =c ， 47sin =∴c …………………………………2分C c A a sin sin =472s in 1=∴A814sin =∴A ………………………5分（2）C ab b a c cos 2222-+= b b 23122-+=∴ 2=∴b ………………………………7分47472121sin 21=⨯⨯⨯==∴∆C ab S ABC ………………………………10分 18、解：（1）由题意，得：)4(4224-⋅=S a a ，即)46()2()32(2+⋅+=+d d d …………………………………………………2分 化简，得：04432=--d d ，解得：322-==d d 或 ………………………4分 数列{}n a 是单调递增的等差数列 0>∴d ，2=∴d ………………………5分n n a n 22)1(2=⨯-+=∴ ………………………………………………………6分（2）由（1）得，nn n b 22+= …………………………………………………7分)22()26()24()22(321n n n T ++⋅⋅⋅++++++=∴)2222()2642(321n n +⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++= ……………… ………………8分21)21(22--++=n n n ……………… …………………………10分2212-++=+n n n2212-++=∴+n n n n T ． ……………… …………………………12分19、解：（1） 023)(2>+-=x ax x f 的解集为{ 1 x x <或}x b >∴方程0232=+-x ax 的两个根为1和b …………………………………………1分由韦达定理，得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅=+a b ab 2131 ……………………………………………………2分解得：⎩⎨⎧==21b a ……………………………………………………………………4分（2）不等式2325ax x ax -+>-，可化为：03)3(2>--+x a ax即：0)1)(3(>+-x ax ， …………………………………………………………5分0<a ，得0)1)(3(>+-x a x a ， ∴0)1)(3(<+-x ax ……………………6分①当31a <-时，即30a -<<，不等式的解集为：31x x a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭ …………8分 ②当31a=-时，即3a =-，不等式的解集为：φ ………………………………9分 ③当31a >-时，即3a <-，不等式的解集为：31x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ ……………11分综上所述：当30a -<<，不等式的解集为：31x x a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭当3a =-，不等式的解集为：φ当3a <-，不等式的解集为：31x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭…………………………………12分 20、解：（1）当1a =-时，⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤--<-=-++=1,211,21,211)(x x x x x x x x f ，……………2分由4)(≥x f 得：411)(≥-++=x x x f ， ………………………………………3分不等式可化为⎩⎨⎧≥--<421x x 或⎩⎨⎧≥-≤≤-4211x 或⎩⎨⎧≥>421x x ，……………………………4分∴不等式的解集为{}22≥-≤x x x 或 ………………………………………………6分 （2）根据绝对值不等式的性质得：11)1()(1)(-=-=---≥-+-=a a x a x x a x x f ………………………8分所以对任意的R x ∈，3)(≥x f 等价于31≥-a ，………………………………10分 解得：4≥a 或2-≤a ……………………………………………………………11分 从而a 的取值范围为：),4[]2,(+∞⋃--∞ ………………………………………12分 21、解：（1）建筑x 层楼房时，建造该幢楼房的总费用为：)(,1008010022)1(81)(*2N x x x x x x x f ∈++=+⨯-+=…………………6分 （定义域没写扣1分）（2）每平方米的平均费用为：100810110001000100802++=++=x x x x x y …8分101100810110002=+⨯≥x x ……………………………………………………10分 当且仅当xx 1011000=，即10=x 时，等号成立………………………………11分 答：要使该楼房每平方米的平均费用最低应把楼房建成10层，此时每平方米的平均费用为101万元 ……………………………………………12分 22、解：（1）1=n 时，121121a a a +=，211=∴a …………………………………1分① n n n a a S 212+= ②121121---+=n n n a a S 121221212---+-=-≥n n n n n a a a a a n ②得，时，①当 ……………………………2分0)21)((11=--+∴--n n n n a a a a )221,0,011≥=-∴>+∴>--n a a a a a n n n n n （ …3分∴数列{}n a 是以21为首项，21为公差的等差数列∴n n a n 2121)1(21=⨯-+= ……………………………………………………………4分（2）n b b n n =--1231223=-=-b b b b两边累加，得：n b b n +++=- 321，解得：2)1(+=n n b n ………………5分 )111(2)1(21+-=+=∴n n n n b n ……………………………………………………6分12)111(2)1113121211(2+=+-⨯=+-++-+-⨯=∴n n n n n T n ……………8分 (3)由)8(21+≤-n T n λ，得：)8(1+≤-n n n λ，得1019)1(19)1(10)1(181)8(122+-+-=+-+--=+-=+-≥n n n n n n n n n n n λ…………9分 619)1(219)1(=-⋅-≥-+-n n n n ，当且仅当4=n 时，等号成立………10分 ∴1611019)1(1≤+-+-n n ，∴1019)1(1+-+-n n 有最大值161……………11分 ∴161≥λ……………………………………………………………………………12分。
福建省福州市八县(市)一中2017-2018学年高二下学期期中联考试题理科数学试题及参考答案评分标准
福建省福州市八县(市)一中2017-2018学年高二下学期期中联考试题(理)一、选择题(本大题12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.)1、复数2(2)1i z i+=-(i 是虚数单位)在复平面上对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.用反证法证明某命题时,对某结论:“自然数中恰有一个偶数” 正确的假设为( )A.都是奇数B.都是偶数C.中至少有两个偶数D.中至少有两个偶数或都是奇数 3.y ＝log a (2x 2－1)的导数是( )A.4x （2x 2－1）ln aB.4x 2x 2－1C.1（2x 2－1）ln a D.2x 2－1ln a4.如图,阴影部分的面积是( )A.2 3B.－2 3C.353D.3235.函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9,已知f (x )在x ＝－3处取得极值,则a 等于( ) A.2 B.3 C.4 D.56.函数f (x )的图象如图所示,下列数值的排序正确的是( )A.0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B.0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)C.0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)D.0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)7.平面内有条直线,最多可将平面分成个区域,则的表达式为( )A. B. C.D.a b c ，，a b c ，，a b c ，，a b c ，，a b c ，，n )(n f ()f n 1+n n 2222++n n 12++nn8.定义在()0,+∞上的函数()f x 的导函数()f x '满足()12x '<,则下列不等式中,一定成立的是( )A. ()()()91411f f f -<<+B. ()()()11491f f f +<<-C. ()()()52411f f f +<<-D. ()()()11452f f f -<<+9.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下,甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案,是丙偷的”： 丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”： 丁说：“乙说的是事实”.经过调查核实,四人中有两人说的是真话,另外两人说的是假话,且这四人中只有一人是罪犯,由此可判断罪犯是( )A.甲B.乙C.丙D.丁10.已知是定义在上的单调函数,且对任意的,都有,则方程的解所在的区间是( )A.(0,) B.(,1) C.(1,2) D.(2,3) 11.如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值,则( ) A.△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B.△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形C.△A 1B 1C 1是钝角三角形,△A 2B 2C 2是锐角三角形D.△A 1B 1C 1是锐角三角形,△A 2B 2C 2是钝角三角形 12.已知,a b R ∈,直线2y ax b π=++与函数()tan f x x =的图象在4x π=-处相切,设2()x g x e bx a =++,若在区间[1,2]上,不等式2()2m g x m ≤≤-恒成立,则实数m 有( )A.最大值eB.最大值1e +C.最小值e -D.最小值e二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)13、是虚数单位,若复数(3)()i m i -+ 是纯虚数,则实数m 的值为 .()f x 0+∞（，）0x ∈+∞（，）()l ]n [1f f x x e -=+()f x f x e -'=（）121214.15.若三角形内切圆的半径为,三边长为,则三角形的面积等于,根据类比推理的方法,若一个四面体的内切球的半径为,四个面的面积分别是,则四面体的体积 .16.若函数()()320h x ax bx cx d a =+++≠图象的对称中心为()()00,M x h x ,记函数()h x 的导函数为()g x ,则有()0'0g x =,设函数()3232f x x x =-+,则12403240332017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭________. 三、解答题(本大题6小题,共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知定义在上的函数,求证：存在唯一的零点,且零点属于.18. 已知函数()ln af x x x=-,其中a R ∈,且曲线()y f x =在点()1,(1)f 的切线垂直于直线y x =.(Ⅰ)求a 的值； (Ⅱ)求函数()f x 的单调区间和极值.19.已知数列{a n }的通项公式a n ＝,数列{b n }的通项满足b n ＝(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n ),试证明：b n ＝2n ＋11－2n.220(3)10,x k dx k +==⎰则r a b c ，，1()2S r a b c =++R 1234S S S S ，，，V =()1,+∞()ln 2f x x x =--()f x ()3,42)12(4-n20.设f (x )＝ln x ,g (x )＝f (x )＋f ′(x ).(1)求g (x )的单调区间和最小值.(2)求a 的取值范围,使得g (a )－g (x )<1a 对任意x >0成立.21.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式,其中3<x<6,a 为常数,已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克。
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1111 bn ，并称 bn 为数列 an 的 k 项子列 ． 例如数列 、 、 、 为 an 的
2358
一个 4 项子列 ．若 bn 为数列 an 的一个 k k 3 项子列，且 bn 为等差数列，则 bn
的公差 d 的最小值为（ 1
A. 6
）
1 B.
4
1 C.
3
1 D.
2
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. ）
）
A . 220
B . 200
C . 180
D . 162
y1
11．已知实数 x, y 满足 y 2x 1 ，如果目标函数 z x y 的最小值为 xym
2 ，则实数 m的
值为 (
)
A. 0
12．在数列
新数列记为
B. 4
C. 8
D . 10
1
an 中， an
nN n
，从数列 an 中选出 k k 3 项并按原顺序组成的
_____________ 16 ．有一道题目由于纸张破损，有一条件看不清楚，具体如下：在
ABC 中，已知
b 2 3，
， cosC
2 ，求角 B． 经推断，破损处的 2
条件为三角形一边的长度，该题的答案 B 60 是唯一确定的，试将条件补充完整 ．
三、解答题（本大题 6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . ）
）
A . 若 a b 0 ，则 a 2 ab b2 ba
C . 若 a b 0 ，则 ab
11 B . 若 a b 0 ，则
ab D . 若 a b ，则 ac2 bc2
4. 已知数列 an 的通项公式为 an 3n 25 ，当 Sn 取到最小值时， n ( )
【精品】学2020年福建省福州市八县(市)一中联考高二上学期期中数学试卷和解析(理科)
2017学年福建省福州市八县（市）一中联考高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）数列的一个通项公式可能是（）A．（﹣1）n B．（﹣1）n C．（﹣1）n﹣1D．（﹣1）n﹣12．（5分）已知△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a=，b=，B=60°，那么∠A等于（）A．135°B．45°C．135°或45°D．60°3．（5分）设a＞1＞b＞﹣1，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．a＞b2D．a2＞2b4．（5分）已知点A（2，0），B（﹣1，3）在直线l：x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．a＜﹣2，或a＞7 B．﹣2＜a＜7 C．﹣7＜a＜2 D．a=﹣2，或a=75．（5分）在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（）A．（0，]B．[，π）C．（0，]D．[，π）6．（5分）设等比数列{a n}的前n项和记为S n，若S4=2，S8=6，则S12等于（）A．8 B．10 C．12 D．147．（5分）如图，在限速为90km/h的公路AB旁有一测速站P，已知点P距测速区起点A的距离为80m，距测速区终点B的距离为50m，且∠APB=60°．现测得某辆汽车从A点行驶到B 点所用的时间为3s，则此车的速度介于（）A．16～19m/s B．19～22m/s C．22～25m/s D．25～28m/s8．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，且4sinA=3sinB则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．钝角三角形9．（5分）某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元10．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a5=5，S5=15，则数列的前2016项和为（）A．B．C．D．11．（5分）在R上定义运算⊙：x⊙y=x（1﹣y）．若不等式（x﹣a）⊙（x+a）＜1对任意实数x成立，则（）A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C．D．12．（5分）等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n、T n，且，则使得为整数的正整数的n的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）已知△ABC中，AC=，AB=2，∠B=60°，则BC=．14．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，a1=2，且a2，a4+2，a5成等差数列，记S n是数列{a n}的前n项和，则S5=．15．（5分）设实数x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则的最小值为．16．（5分）设S n为数列{a n}的前n项和，若（n∈N+）是非零常数，则称该数列为“和等比数列”，若数列{C n}是首项为2，公差为d（d≠0）的等差数列，且数列{C n}是“和等比数列”，则d=．三、解答题（本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）如图，平面四边形ABCD中，AB=，AD=2，CD=，∠CBD=30°，∠BCD=120°．（1）求BD的长；（2）求∠ADC的度数．18．（12分）连江一中第49届田径运动会提出了“我运动、我阳光、我健康、我快乐”的口号，某同学要设计一张如图所示的竖向张贴的长方形海报进行宣传，要求版心面积为162dm2（版心是指图中的长方形阴影部分，dm为长度单位分米），上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm．（1）若设版心的高为xdm，求海报四周空白面积关于x的函数S（x）的解析式；（2）要使海报四周空白面积最小，版心的高和宽该如何设计？19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosA+a=2b．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若a+b=4，当c取最小值时，求△ABC的面积．20．（12分）已知f（x）=ax2+x﹣a．a∈R（1）若不等式f（x）＜b的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），求a，b的值；（2）若a＜0，解不等式f（x）＞1．21．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列（要指出首项、公比）；（2）若c n=nb n，求数列{c n}的前n项和T n．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意的n∈N*，点（n，S n）恒在函数y=x 的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记T n=，若对于一切的正整数n，总有T n≤m成立，求实数m的取值范围；（3）设K n为数列{b n}的前n项和，其中b n=2an，问是否存在正整数n，t，使成立？若存在，求出正整数n，t；若不存在，请说明理由．2017学年福建省福州市八县（市）一中联考高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）数列的一个通项公式可能是（）A．（﹣1）n B．（﹣1）n C．（﹣1）n﹣1D．（﹣1）n﹣1【解答】解：由已知中数列，…可得数列各项的绝对值是一个以为首项，以公比的等比数列又∵数列所有的奇数项为正，偶数项为负故可用（﹣1）n﹣1来控制各项的符号，故数列，…的一个通项公式为（﹣1）n﹣1故选：C．2．（5分）已知△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a=，b=，B=60°，那么∠A等于（）A．135°B．45°C．135°或45°D．60°【解答】解：a=，b=，B=60°，由正弦定理可得，a＜b A＜B=60°A=45°故选：B．3．（5分）设a＞1＞b＞﹣1，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．a＞b2D．a2＞2b【解答】解：对于A，例如a=2，b=此时满足a＞1＞b＞﹣1但故A错对于B，例如a=2，b=此时满足a＞1＞b＞﹣1但故B错对于C，∵﹣1＜b＜1∴0≤b2＜1∵a＞1∴a＞b2故C正确对于D，例如a=此时满足a＞1＞b＞﹣1，a2＜2b故D错故选：C．4．（5分）已知点A（2，0），B（﹣1，3）在直线l：x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．a＜﹣2，或a＞7 B．﹣2＜a＜7 C．﹣7＜a＜2 D．a=﹣2，或a=7【解答】解：∵点A（2，0），B（﹣1，3）在直线l：x﹣2y+a=0的两侧，∴（2+a）（﹣1﹣6+a）＜0，即：（a+2）（a﹣7）＜0，解得﹣2＜a＜7．故选：B．5．（5分）在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（）A．（0，]B．[，π）C．（0，]D．[，π）【解答】解：由正弦定理可知a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，∵sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，∴a2≤b2+c2﹣bc，∴bc≤b2+c2﹣a2∴cosA=≥∴A≤∵A＞0∴A的取值范围是（0，]故选：C．6．（5分）设等比数列{a n}的前n项和记为S n，若S4=2，S8=6，则S12等于（）A．8 B．10 C．12 D．14【解答】解：等比数列{a n}的前n项和记为S n，若S4=2，S8=6，可得S4，S8﹣S4，S12﹣S8，也是等比数列，S12﹣S8===8．S12=14．故选：D．7．（5分）如图，在限速为90km/h的公路AB旁有一测速站P，已知点P距测速区起点A的距离为80m，距测速区终点B的距离为50m，且∠APB=60°．现测得某辆汽车从A点行驶到B 点所用的时间为3s，则此车的速度介于（）A．16～19m/s B．19～22m/s C．22～25m/s D．25～28m/s【解答】解：由题意，AB==70m，70÷3≈23.3m/s，故选：C．8．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，且4sinA=3sinB则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．钝角三角形【解答】解：∵4sinA=3sinB，∴4a=3b，∵，可得：=，整理可得：（a2+b2）（a2﹣b2）=c2（a2﹣b2），∴a2﹣b2=0，或a2+b2=c2，∴a2+b2=c2，或a=b（舍去）∴△ABC的形状是直角三角形．故选：B．9．（5分）某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元【解答】解：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，则，目标函数为z=3x+4y．作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．由z=3x+4y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+由图象可知当直线y=﹣x+经过点B时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，解方程组，解得，即B的坐标为x=2，y=3，∴z max=3x+4y=6+12=18．即每天生产甲乙两种产品分别为2，3吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元，故选：D．10．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a5=5，S5=15，则数列的前2016项和为（）A．B．C．D．【解答】解：设等差数列{a n}公差为d，∵a5=5，S5=15，由S5==15，解得：a1=1，a5=a1+4d=5，则d=1，等差数列{a n}首项为1，公差为1，a n=a1+（n﹣1）d=n，==﹣，∴数列的前2016项和S2016，S2016=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣），=1﹣，=，故选：A．11．（5分）在R上定义运算⊙：x⊙y=x（1﹣y）．若不等式（x﹣a）⊙（x+a）＜1对任意实数x成立，则（）A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C．D．【解答】解：∵（x﹣a）⊙（x+a）＜1∴（x﹣a）（1﹣x﹣a）＜1，即x2﹣x﹣a2+a+1＞0∵任意实数x成立，故△=1﹣4（﹣a2+a+1）＜0∴，故选：C．12．（5分）等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n、T n，且，则使得为整数的正整数的n的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵等差数列{a n}、{b n}，∴a n=，b n=，∴===，又=，∴==7+，经验证，当n=1，3，5，13，35时，为整数，则使得为整数的正整数的n的个数是5．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）已知△ABC中，AC=，AB=2，∠B=60°，则BC=1．【解答】解：∵AC=，AB=2，∠B=60°，∴由余弦定理AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB，可得：3=4+BC2﹣2BC，即：BC2﹣2BC+1=0，∴解得：BC=1．故答案为：1．14．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，a1=2，且a2，a4+2，a5成等差数列，记S n是数列{a n}的前n项和，则S5=62．【解答】解：设正数的等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a2，a4+2，a5成等差数列，∴a2+a5=2（a4+2），∴2q+2q4=2（2q3+2），解得q=2．∵S5==62．故答案为：62．15．（5分）设实数x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则的最小值为．【解答】解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=，作出可行域如图：∵a＞0，b＞0，∴直线y=的斜率为负，且截距最大时，z也最大．平移直线y=，由图象可知当y=经过点A时，直线的截距最大，此时z也最大．由，解得，即A（6，8）．此时z=6a+8b=12，即+=1，则=（）（+）=+++≥+2=+4=，当且仅当=时取=号，故答案为：16．（5分）设S n为数列{a n}的前n项和，若（n∈N+）是非零常数，则称该数列为“和等比数列”，若数列{C n}是首项为2，公差为d（d≠0）的等差数列，且数列{C n}是“和等比数列”，则d=4．【解答】解：由题意设数列{C n}的前n项和为T n，则T n=2n+，T2n=4n+，因为数列{C n}是“和等比数列”，所以===k，对于n∈N*都成立，化简得，（k﹣4）dn+（k﹣2）（4﹣d）=0，因为d≠0，故只需4﹣d=0，解得d=4故答案为：4三、解答题（本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）如图，平面四边形ABCD中，AB=，AD=2，CD=，∠CBD=30°，∠BCD=120°．（1）求BD的长；（2）求∠ADC的度数．【解答】解：（1）方法一：在△BCD中，由正弦定理得：，即…（3分）解得BD=3…（4分）方法二：由已知得∠BDC=30°，故…（1分）由余弦定理得：BD2=CD2+BC2﹣2CD•BC•cos∠BCD=…（4分）∴BD=3…（5分）（2）在△ABD中，由余弦定理得：…（7分）∴∠ADB=45° …（8分）由已知∠BDC=30°…（9分）∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=45°+30°=75°…（10分）18．（12分）连江一中第49届田径运动会提出了“我运动、我阳光、我健康、我快乐”的口号，某同学要设计一张如图所示的竖向张贴的长方形海报进行宣传，要求版心面积为162dm2（版心是指图中的长方形阴影部分，dm为长度单位分米），上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm．（1）若设版心的高为xdm，求海报四周空白面积关于x的函数S（x）的解析式；（2）要使海报四周空白面积最小，版心的高和宽该如何设计？【解答】（本小题满分12分）解：（1）由已知版心的高为xdm，则版心的宽为dm…（1分）故海报四周空白面积为，…（4分）即S（x）=2x++8，x＞0…（6分）（2）由基本不等式得：…（9分）当且仅当时取等号…（11分）∴要使海报四周空白面积最小，版心的高应该为18 dm、宽为9 dm…（12分）19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosA+a=2b．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若a+b=4，当c取最小值时，求△ABC的面积．【解答】解：方法一：（Ⅰ）∵2ccosA+a=2b，∴2sinCcosA+sinA=2sinB，…（1分）∵A+B+C=π，∴2sinCcosA+sinA=2sin（A+C），…（2分）即2sinCcosA+sinA=2sinAcosC+2cosAsinC，…（3分）∴sinA=2sinAcosC，…（4分）∵sinA≠0，∴cosC=，…（5分）又∵C是三角形的内角，∴C=．…（6分）（Ⅱ）由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，…（7分）∵a+b=4，故c2=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=16﹣3ab，…（8分）∴（当且仅当a=b=2时等号成立），…（10分）∴c的最小值为2，故．…（12分）方法二：（Ⅰ）∵2ccosA+a=2b，∴，…（1分）∴b2+c2﹣a2+ab=2b2，即c2=a2+b2﹣ab，…（3分）∴，…（5分）又∵C是三角形的内角，∴c=．…（6分）（Ⅱ）由已知，a+b=4，即b=4﹣a，由余弦定理得，c2=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，…（8分）∴c2=16﹣3a（4﹣a）=3（a﹣2）2+4，…（10分）∴当a=2时，c的最小值为2，故．…（12分）20．（12分）已知f（x）=ax2+x﹣a．a∈R（1）若不等式f（x）＜b的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），求a，b的值；（2）若a＜0，解不等式f（x）＞1．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由题意可得方程ax2+x﹣a﹣b=0的两根分别为﹣1、3，且a＜0 …（1分）∴解得…（4分）（2）若a＜0，不等式为ax2+x﹣（a+1）＞0，即…（6分）∵．∴当时，，不等式的解集为；…（8分）当时，，不等式的解集为∅；…（10分）当时，，不等式的解集为…（12分）（如上，没有“综上所述…”，不扣分，但解集表达不规范每处扣（1分），最多累计扣2分）21．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列（要指出首项、公比）；（2）若c n=nb n，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】（1）证明：∵S n+1=4a n+2，∴当n≥2时，S n=4a n﹣1+2，两式相减得：a n+1=4a n﹣4a n﹣1，∴，∵当n=1时，S2=4a1+2，a1=1，∴a2=5，从而b1=3，∴数列{b n}是以b1=3为首项，2为公比的等比数列；（2）解：由（1）知，从而，∴T n=c1+c2+c3+…+c n﹣1+c n=3×20+6×21+9×22+…+3（n﹣1）×2n﹣2+3n×2n﹣1，2T n=3×21+6×22+9×23+…+3（n﹣1）×2n﹣1+3n×2n，两式相减得：=，∴．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意的n∈N*，点（n，S n）恒在函数y=x 的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记T n=，若对于一切的正整数n，总有T n≤m成立，求实数m的取值范围；（3）设K n为数列{b n}的前n项和，其中b n=2an，问是否存在正整数n，t，使成立？若存在，求出正整数n，t；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由已知，得…（1分）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1==3n…（2分）当n=1时，a1=S1=3．∴a n=3n…（3分）（2）解法一：．（4分）当n=1时，T n+1＞T n，即T2＞T1；当n=2时，T n+1=T n，即T3=T2；当n≥3时，T n+1＜T n，即T n＜T n﹣1＜…＜T4＜T3…（6分）∴{T n}中的最大值为，要使T n≤m对于一切的正整数n恒成立，只需∴…（7分）解法二：…（4分）当n=1，2时，T n+1≥T n；当n≥3时，n+2＜2n⇒T n+1＜T n∴n=1时，T1=9；n=2，3时，n≥4时，T n＜T3…（6分）∴{T n}中的最大值为，要使T n≤m对于一切的正整数n恒成立，只需∴…（7分）（3）…（8分）将K n代入，化简得，（﹡）…（9分）若t=1时，，显然n=1时成立；…（10分）若t＞1时，（﹡）式化简为不可能成立…（11分）综上，存在正整数n=1，t=1使成立…（12分）赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
福建省福州八县一中2018-2019学年高二上学期期中考试数学(文)试题
∴ sin C
1 cos2 C
36
． --------------------------------------------------------------- 10
分
8
方法 2：∵ cos B 1 ，且 B 是 ABC 的内角， -------------------------------------------- 6 分 4
分
所以 { an} 是以首项为 2 ，公比为
等比数列，所以 an
n
2 . ---------------------------- 6 分
B. ( , 2) U (1, )
C. ( 1,2)
D. ( 2,1)
2 6. 设首项为 1，公比为 的等比数列 { an} 的前 n 项和为 Sn ，则 (
3
A. Sn 3 2an
B. Sn 3an 2
C. Sn 2an 1
)．
D. Sn 4 3an
7. 某同学要用三条长度分别为 3,5,7 的线段画出一个三角形，则他将 ( )．
2018-2019 学年度第一学期八县（市）一中期中联考 高中二年数学 ( 文) 科试卷
考试日期： 11 月 16 日 完卷时间： 120 分钟 满分： 150 分
第一部分 选择 题
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1. 数列 1， 3 ， 5 ， 7 ， 9 ， L 的一个通项公式为 ( ) ．
分
两式相减，得 an 2an 2 an 1,------------------------------------------------------------------- 4 分
福建省福州八县一中2018_2019学年高二数学上学期期中试题理
2018---2019学年度第一学期八县（市）一中期中联考高中二年数学科试卷（理科）考试日期：11月16 日 完卷时间：120分钟 满分：150分选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.）2. 在 L ABC 中，若 sin 2 A • sin 2 B ::: sin 2 C ，则角 A 是（ ）A .钝角B .直角 C.锐角 D .不能确定3.对于任意实数x ，不等式kx 2 2x k :: 0恒成立，则实数k 取值范围（） A . （-1,0） B .-1,0 1 C .：』二,-1〕 D .：一二,-14. 设 0 ::: b ::: a ::: 1, c ::: 0，给出下列三个结论：①--:② a c ：：： b c ；a b③log a （a-c ） . Iog a （b-c ）.其中所有的正确结论的序号是 （）A .①③B .①②C.②③D.①②③<2x5.若变量x , y 满足约束条件*x + 2y 兰1则z = 2x + y 的最大值为（）八TA . 0B. 5 C . -3D. -26. 已知等比数列｛a n ｝的前n 项和S n =2n +4r ，则r=（）7.已知满足条件a =4、3 , b = x , A = 60°的 ABC 的个数有两个，则x 的取值范围是（）A . 4 . 2 :： x :： 4'3 B. 4 】3 ：： x ：： 8 C. 4 3 :: x :: 9 D. 4^3 ：： x ：： 71.不等式（x ・1）（x 一2） ::： 0的解集为A . （-：：, -1） （2,（ ） B .（-二，-2）（1, ：：） C . （-1,2）B . -1C.D.&设'a n匚是等差数列，下列结论中一定成立的是（）A .若 a 1 .~a 2 ^0，贝U a ? ：「a 3 ^0 B.若 a.,a 3 ：：： 0，则 a 1a^：： 0C .若 a 1 ：：：0，贝U a ^^a 1a 2—a 3j > 013 .公差为2的等差数列｛a n ｝中，a n a 3,a 6成等比数列，则14 . ?ABC 的内角A , B , C 的对边分别为 a , B= _______ , _______ a15 .设a 0，若关于x 的不等式x9在（3, •:：）恒成立， 则a 的取值范围x —3为 _____________ . __________D.若 0 ：：：印：：：a 2，则 a ? . aa9.等比数列｛a n ｝的各项均为正数，且a 10an-a $a i3 = 64，则log 2 a 1 Iog 2 a 2 log z a ?。
福建省福州市八县(市)一中高二上学期期中考试数学理试卷
2016-2017学年福建省福州市八县（市）一中联考高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．数列的一个通项公式可能是（）A．（﹣1）n B．（﹣1）n C．（﹣1）n﹣1D．（﹣1）2．已知△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a=，b=，B=60°，那么∠A等于（）A．135°B．45°C．135°或45°D．60°3．设a＞1＞b＞﹣1，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．a＞b2D．a2＞2b4．已知点A（2，0），B（﹣1，3）在直线l：x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．a＜﹣2，或a＞7 B．﹣2＜a＜7 C．﹣7＜a＜2 D．a=﹣2，或a=75．在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（）A．（0，，π）C．（0，，π）6．设等比数列{a n}的前n项和记为S n，若S4=2，S8=6，则S12等于（）A．8 B．10 C．12 D．147．如图，在限速为90km/h的公路AB旁有一测速站P，已知点P距测速区起点A的距离为80m，距测速区终点B的距离为50m，且∠APB=60°．现测得某辆汽车从A点行驶到B点所用的时间为3s，则此车的速度介于（）A．16～19m/s B．19～22m/s C．22～25m/s D．25～28m/s8．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，且4sinA=3sinB则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．钝角三角形9．某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额A（吨） 3 2 12B（吨） 1 2 8A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元10．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a5=5，S5=15，则数列的前2016项和为（）A．B．C．D．11．定义算式⊗：x⊗y=x（1﹣y），若不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意x都成立，则实数a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C．D．12．等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n、T n，且，则使得为整数的正整数的n的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．已知△ABC中，AC=，AB=2，∠B=60°，则BC=．14．在各项均为正数的等比数列{a n}中，a1=2，且a2，a4+2，a5成等差数列，记S n是数列{a n}的前n 项和，则S5=．15．设实数x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则的最小值为．16．设S n为数列{a n}的前n项和，若（n∈N+）是非零常数，则称该数列为“和等比数列”，若数列{C n}是首项为2，公差为d（d≠0）的等差数列，且数列{C n}是“和等比数列”，则d=．三、解答题（本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）如图，平面四边形ABCD中，AB=，AD=2，CD=，∠CBD=30°，∠BCD=120°．（1）求BD的长；（2）求∠ADC的度数．18．（12分）连江一中第49届田径运动会提出了“我运动、我阳光、我健康、我快乐”的口号，某同学要设计一张如图所示的竖向张贴的长方形海报进行宣传，要求版心面积为162dm2（版心是指图中的长方形阴影部分，dm为长度单位分米），上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm．（1）若设版心的高为xdm，求海报四周空白面积关于x的函数S（x）的解析式；（2）要使海报四周空白面积最小，版心的高和宽该如何设计？19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosA+a=2b．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若a+b=4，当c取最小值时，求△ABC的面积．20．（12分）已知f（x）=ax2+x﹣a．a∈R（1）若不等式f（x）＜b的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），求a，b的值；（2）若a＜0，解不等式f（x）＞1．21．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列（要指出首项、公比）；（2）若c n=nb n，求数列{c n}的前n项和T n．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意的n∈N*，点（n，S n）恒在函数y=x 的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记T n=，若对于一切的正整数n，总有T n≤m成立，求实数m的取值范围；（3）设K n为数列{b n}的前n项和，其中b n=2an，问是否存在正整数n，t，使成立？若存在，求出正整数n，t；若不存在，请说明理由．2016-2017学年福建省福州市八县（市）一中联考高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（2013春•越秀区期末）数列的一个通项公式可能是（）A．（﹣1）n B．（﹣1）n C．（﹣1）n﹣1D．（﹣1）【考点】数列的概念及简单表示法．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据已知中数列各项的符号是一个摆动数列，我们可以用（﹣1）n﹣1来控制各项的符号，再由各项绝对值为一等比数列，由此可得数列的通项公式．【解答】解：由已知中数列，…可得数列各项的绝对值是一个以为首项，以公比的等比数列又∵数列所有的奇数项为正，偶数项为负故可用（﹣1）n﹣1来控制各项的符号，故数列，…的一个通项公式为（﹣1）n﹣1故选D【点评】本题考查的知识点是等比数列的通项公式，其中根据已知数列的前几项分析各项的共同特点是解答本题的关键．2．（2011•韶关一模）已知△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a=，b=，B=60°，那么∠A等于（）A．135°B．45°C．135°或45°D．60°【考点】正弦定理．【专题】计算题．【分析】结合已知条件a=，b=，B=60°，由正弦定理可得，可求出sinA，结合大边对大角可求得A【解答】解：a=，b=，B=60°，由正弦定理可得，a＜b A＜B=60°A=45°故选B【点评】本题考查正弦定理和大边对大角定理解三角形，属于容易题3．（2012•乌兰察布学业考试）设a＞1＞b＞﹣1，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．a＞b2D．a2＞2b【考点】不等关系与不等式．【专题】计算题．【分析】通过举反例说明选项A，B，D错误，通过不等式的性质判断出C正确．【解答】解：对于A，例如a=2，b=此时满足a＞1＞b＞﹣1但故A错对于B，例如a=2，b=此时满足a＞1＞b＞﹣1但故B错对于C，∵﹣1＜b＜1∴0≤b2＜1∵a＞1∴a＞b2故C正确对于D，例如a=此时满足a＞1＞b＞﹣1，a2＜2b故D错故选C【点评】想说明一个命题是假命题，常用举反例的方法加以论证．4．（2016秋•福州期中）已知点A（2，0），B（﹣1，3）在直线l：x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．a＜﹣2，或a＞7 B．﹣2＜a＜7 C．﹣7＜a＜2 D．a=﹣2，或a=7【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】计算题；函数思想；转化思想；不等式的解法及应用．【分析】点A（2，0），B（﹣1，3）在直线l：x﹣2y+a=0的两侧，那么把这两个点代入x﹣2y+a，它们的符号相反，乘积小于0，即可求出a的取值范围．【解答】解：∵点A（2，0），B（﹣1，3）在直线l：x﹣2y+a=0的两侧，∴（2+a）（﹣1﹣6+a）＜0，即：（a+2）（a﹣7）＜0，解得﹣2＜a＜7．故选：B．【点评】本题考查二元一次不等式组与平面区域问题，是基础题．准确把握点与直线的位置关系，找到图中的“界”，是解决此类问题的关键．5．（2011•四川）在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（）A．（0，，π）C．（0，，π）【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】三角函数的求值．【分析】先利用正弦定理把不等式中正弦的值转化成边，进而代入到余弦定理公式中求得cosA的范围，进而求得A的范围．【解答】解：由正弦定理可知a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，∵sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，∴a2≤b2+c2﹣bc，∴bc≤b2+c2﹣a2∴cosA=≥∴A≤∵A＞0∴A的取值范围是（0，hslx3y3h故选C【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．作为解三角形中常用的两个定理，考生应能熟练记忆．6．（2016秋•福州期中）设等比数列{a n}的前n项和记为S n，若S4=2，S8=6，则S12等于（）A．8 B．10 C．12 D．14【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】直接利用等比数列的性质，化简求解即可．【解答】解：等比数列{a n}的前n项和记为S n，若S4=2，S8=6，可得S4，S8﹣S4，S12﹣S8，也是等比数列，S12﹣S8===8．S12=14．故选：D．【点评】本题考查等比数列的简单性质的应用，考查计算能力．7．（2016秋•福州期中）如图，在限速为90km/h的公路AB旁有一测速站P，已知点P距测速区起点A的距离为80m，距测速区终点B的距离为50m，且∠APB=60°．现测得某辆汽车从A点行驶到B点所用的时间为3s，则此车的速度介于（）A．16～19m/s B．19～22m/s C．22～25m/s D．25～28m/s【考点】函数模型的选择与应用．【专题】计算题；方程思想；演绎法；函数的性质及应用．【分析】求出AB，可得车的速度，即可得出结论．【解答】解：由题意，AB==70m，70÷3≈23.3m/s，故选C．【点评】此题考查了解三角形的应用，考查余弦定理，比较基础．8．（2016秋•福州期中）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，且4sinA=3sinB 则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．钝角三角形【考点】三角形的形状判断．【专题】计算题；分类讨论；转化思想；综合法；解三角形．【分析】由已知利用正弦定理可得4a=3b，由，利用余弦定理整理可得（a2+b2）（a2﹣b2）=c2（a2﹣b2），从而可求a2+b2=c2，利用勾股定理即可得解．【解答】解：∵4sinA=3sinB，∴4a=3b，∵，可得：=，整理可得：（a2+b2）（a2﹣b2）=c2（a2﹣b2），∴a2﹣b2=0，或a2+b2=c2，∴a2+b2=c2，或a=b（舍去）∴△ABC的形状是直角三角形．故选：B．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了分类讨论思想和转化思想的应用，属于中档题．9．（2015•陕西）某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额A（吨） 3 2 12B（吨） 1 2 8A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元【考点】简单线性规划的应用．【专题】不等式的解法及应用．【分析】设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值．【解答】解：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，则，目标函数为z=3x+4y．作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．由z=3x+4y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+由图象可知当直线y=﹣x+经过点B时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，解方程组，解得，即B的坐标为x=2，y=3，∴z max=3x+4y=6+12=18．即每天生产甲乙两种产品分别为2，3吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元，故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解决本题的关键．10．（2016秋•福州期中）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a5=5，S5=15，则数列的前2016项和为（）A．B．C．D．【考点】数列的求和．【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列．【分析】由题意可知：S5==15，求得a1=1，则a5=a1+4d=5，即可求得d=1，根据等差数列前n项和公式即可求得a n=n，则==﹣，采用“裂项法”即可求得数列的前2016项和．【解答】解：设等差数列{a n}公差为d，∵a5=5，S5=15，由S5==15，解得：a1=1，a5=a1+4d=5，则d=1，等差数列{a n}首项为1，公差为1，a n=a1+（n﹣1）d=n，==﹣，∴数列的前2016项和S2016，S2016=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣），=1﹣，=，故选A．【点评】本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式，“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．11．（2013秋•深圳期末）定义算式⊗：x⊗y=x（1﹣y），若不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意x都成立，则实数a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C．D．【考点】二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】由已知中算式⊗：x⊗y=x（1﹣y），我们可得不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意x都成立，转化为一个关于x的二次不等式恒成立，进而根据二次不等式恒成立的充要条件，构造一个关于a 的不等式，解不等式求出实数a的取值范围．【解答】解：∵x⊗y=x（1﹣y），∴若不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意x都成立，则（x﹣a）•（1﹣x﹣a）﹣1＜0恒成立即﹣x2+x+a2﹣a﹣1＜0恒成立则△=1+4（a2﹣a﹣1）=4a2﹣4a﹣3＜0恒成立解得故选D【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质，其中根据二次不等式ax2+bx+c＜0恒成立充要条件是a＜0，△＜0构造一个关于a的不等式，是解答本题的关键．12．（2016•桂林模拟）等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n、T n，且，则使得为整数的正整数的n的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】由等差数列{a n}、{b n}，利用等差数列的性质表示出a n和b n，将分子分母同时乘以n，将表示出的a n与b n代入，再利用等差数列的前n项和公式变形，根据已知的等式化简，整理后将正整数n代入进行检验，即可得到为整数的正整数的n的个数．【解答】解：∵等差数列{a n}、{b n}，∴a n=，b n=，∴===，又=，∴==7+，经验证，当n=1，3，5，13，35时，为整数，则使得为整数的正整数的n的个数是5．故选C．【点评】此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（2016秋•福州期中）已知△ABC中，AC=，AB=2，∠B=60°，则BC=1．【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形．【分析】由已知利用余弦定理可得BC2﹣2BC+1=0，进而即可解得BC的值．【解答】解：∵AC=，AB=2，∠B=60°，∴由余弦定理AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB，可得：3=4+BC2﹣2BC，即：BC2﹣2BC+1=0，∴解得：BC=1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，熟练掌握余弦定理是解题的关键，属于基础题．14．（2016秋•福州期中）在各项均为正数的等比数列{a n}中，a1=2，且a2，a4+2，a5成等差数列，记S n是数列{a n}的前n项和，则S5=62．【考点】数列的求和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】a2，a4+2，a5成等差数列，可得a2+a5=2（a4+2），把已知代入解得q．再利用求和公式即可得出．【解答】解：设正数的等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a2，a4+2，a5成等差数列，∴a2+a5=2（a4+2），∴2q+2q4=2（2q3+2），解得q=2．∵S5==62．故答案为：62．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（2016秋•福州期中）设实数x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则的最小值为．【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；转化法；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出a，b的关系，然后利用基本不等式求的最小值．【解答】解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=，作出可行域如图：∵a＞0，b＞0，∴直线y=的斜率为负，且截距最大时，z也最大．平移直线y=，由图象可知当y=经过点A时，直线的截距最大，此时z也最大．由，解得，即A（6，8）．此时z=6a+8b=12，即+=1，则=（）（+）=+++≥+2=+4=，当且仅当=时取=号，故答案为：【点评】本题主要考查线性规划的应用以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．16．（2014•烟台模拟）设S n为数列{a n}的前n项和，若（n∈N+）是非零常数，则称该数列为“和等比数列”，若数列{C n}是首项为2，公差为d（d≠0）的等差数列，且数列{C n}是“和等比数列”，则d=4．【考点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．【专题】新定义；等差数列与等比数列．【分析】由题意设数列{C n}的前n项和为T n，可得==k，对于n∈N*都成立，化简得，（k﹣4）dn+（k﹣2）（4﹣d）=0，由题意可得4﹣d=0，解之即可．【解答】解：由题意设数列{C n}的前n项和为T n，则T n=2n+，T2n=4n+，因为数列{C n}是“和等比数列”，所以===k，对于n∈N*都成立，化简得，（k﹣4）dn+（k﹣2）（4﹣d）=0，因为d≠0，故只需4﹣d=0，解得d=4故答案为：4【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合应用，涉及新定义，属基础题．三、解答题（本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）（2016秋•福州期中）如图，平面四边形ABCD中，AB=，AD=2，CD=，∠CBD=30°，∠BCD=120°．（1）求BD的长；（2）求∠ADC的度数．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】综合题；综合法；解三角形．【分析】（1）方法一：在△BCD中，由题意和正弦定理求出BD；方法二：由∠BDC=30°求出BC，利用条件和余弦定理列出方程，求出BD；（2）在△ABD中，利用条件和余弦定理求出cos∠ADB的值，结合图象求出∠ADC的度数．【解答】解：（1）方法一：在△BCD中，由正弦定理得：，即…（3分）解得BD=3…（4分）方法二：由已知得∠BDC=30°，故…（1分）由余弦定理得：BD2=CD2+BC2﹣2CD•BC•cos∠BCD=…（4分）∴BD=3…（2）在△ABD中，由余弦定理得：…（7分）∴∠ADB=45°…（8分）由已知∠BDC=30°…（9分）∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=45°+30°=75°…（10分）【点评】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查一题多解，化简、计算能力．18．（12分）（2016秋•福州期中）连江一中第49届田径运动会提出了“我运动、我阳光、我健康、我快乐”的口号，某同学要设计一张如图所示的竖向张贴的长方形海报进行宣传，要求版心面积为162dm2（版心是指图中的长方形阴影部分，dm为长度单位分米），上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm．（1）若设版心的高为xdm，求海报四周空白面积关于x的函数S（x）的解析式；（2）要使海报四周空白面积最小，版心的高和宽该如何设计？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】计算题；函数思想；解题方法；函数的性质及应用．【分析】（1）由已知版心的高为xdm，则版心的宽为dm，求出海报四周空白面积．（2）利用基本不等式求解即可．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由已知版心的高为xdm，则版心的宽为dm…（1分）故海报四周空白面积为，…（4分）即S（x）=2x++8，x＞0…（6分）（2）由基本不等式得：…（9分）当且仅当时取等号…（11分）∴要使海报四周空白面积最小，版心的高应该为18 dm、宽为9 dm…（12分）【点评】本题考查实际问题选择函数的模型，基本不等式的应用，考查计算能力．19．（12分）（2016秋•福州期中）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosA+a=2b．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若a+b=4，当c取最小值时，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】函数思想；综合法；解三角形．【分析】方法一：（Ⅰ）利用正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式化简已知的式子，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角C；（Ⅱ）利用余弦定理列出方程，由条件和完全平方公式化简后，利用基本不等式求出c的最小值，由面积公式求出△ABC的面积；方法二：（Ⅰ）利用余弦定理化简已知的式子得到边的关系，由余弦定理求出cosC的值，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角C；（Ⅱ）利用余弦定理列出方程，结合条件消元后，利用一元二次函数的性质求出c的最小值，由面积公式求出△ABC的面积．【解答】解：方法一：（Ⅰ）∵2ccosA+a=2b，∴2sinCcosA+sinA=2sinB，…（1分）∵A+B+C=π，∴2sinCcosA+sinA=2sin（A+C），…（2分）即2sinCcosA+sinA=2sinAcosC+2cosAsinC，…（3分）∴sinA=2sinAcosC，…（4分）∵sinA≠0，∴cosC=，…又∵C是三角形的内角，∴C=．…（6分）（Ⅱ）由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，…（7分）∵a+b=4，故c2=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=16﹣3ab，…（8分）∴（当且仅当a=b=2时等号成立），…（10分）∴c的最小值为2，故．…（12分）方法二：（Ⅰ）∵2ccosA+a=2b，∴，…（1分）∴b2+c2﹣a2+ab=2b2，即c2=a2+b2﹣ab，…（3分）∴，…又∵C是三角形的内角，∴c=．…（6分）（Ⅱ）由已知，a+b=4，即b=4﹣a，由余弦定理得，c2=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，…（8分）∴c2=16﹣3a（4﹣a）=3（a﹣2）2+4，…（10分）∴当a=2时，c的最小值为2，故．…（12分）【点评】本题考查正弦、余弦定理，三角恒等变换中的公式，以及求最值的方法：基本不等式、一元二次函数的性质，考查一题多解，化简、变形能力．20．（12分）（2016秋•福州期中）已知f（x）=ax2+x﹣a．a∈R（1）若不等式f（x）＜b的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），求a，b的值；（2）若a＜0，解不等式f（x）＞1．【考点】二次函数的性质．【专题】分类讨论；方程思想；分类法；函数的性质及应用．【分析】（1）由题意可得方程ax2+x﹣a﹣b=0的两根分别为﹣1、3，且a＜0，利用韦达定理，可得a，b的值；（2）若a＜0，等式为ax2+x﹣（a+1）＞0，即，分类讨论，可得不同情况下不等式的解集．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由题意可得方程ax2+x﹣a﹣b=0的两根分别为﹣1、3，且a＜0 …（1分）∴解得…（4分）（2）若a＜0，不等式为ax2+x﹣（a+1）＞0，即…（6分）∵．∴当时，，不等式的解集为；…（8分）当时，，不等式的解集为∅；…（10分）当时，，不等式的解集为…（12分）（如上，没有“综上所述…”，不扣分，但解集表达不规范每处扣（1分），最多累计扣2分）【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．21．（12分）（2016秋•福州期中）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列（要指出首项、公比）；（2）若c n=nb n，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】综合题；函数思想；定义法；等差数列与等比数列．【分析】（1）由已知数列递推式可得当n≥2时，S n=4a n﹣1+2，与原递推式联立可得a n+1=4a n﹣4a n﹣1，然后利用定义证明数列{b n}是等比数列；（2）由数列{b n}的通项公式求出数列{c n}的通项公式，再由错位相减法求数列{c n}的前n项和T n．【解答】（1）证明：∵S n+1=4a n+2，∴当n≥2时，S n=4a n﹣1+2，两式相减得：a n+1=4a n﹣4a n﹣1，∴，∵当n=1时，S2=4a1+2，a1=1，∴a2=5，从而b1=3，∴数列{b n}是以b1=3为首项，2为公比的等比数列；（2）解：由（1）知，从而，∴T n=c1+c2+c3+…+c n﹣1+c n=3×20+6×21+9×22+…+3（n﹣1）×2n﹣2+3n×2n﹣1，2T n=3×21+6×22+9×23+…+3（n﹣1）×2n﹣1+3n×2n，两式相减得：=，∴．【点评】本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．22．（12分）（2016秋•福州期中）已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意的n∈N*，点（n，S n）恒在函数y=x的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记T n=，若对于一切的正整数n，总有T n≤m成立，求实数m的取值范围；（3）设K n为数列{b n}的前n项和，其中b n=2an，问是否存在正整数n，t，使成立？若存在，求出正整数n，t；若不存在，请说明理由．【考点】数列与函数的综合；数列的应用．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用a n=S n﹣S n﹣1求解；（2）要使T n≤m对于一切的正整数n恒成立，只需m≥{T n}中的最大值即可；（3）求解有关正整数n的不等式．【解答】解：（1）由已知，得…（1分）==3n…（2分）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1当n=1时，a1=S1=3．∴a n=3n…（3分）（2）解法一：．（4分）当n=1时，T n+1＞T n，即T2＞T1；当n=2时，T n+1=T n，即T3=T2；当n≥3时，T n+1＜T n，即T n＜T n﹣1＜…＜T4＜T3…（6分）∴{T n}中的最大值为，要使T n≤m对于一切的正整数n恒成立，只需∴…（7分）解法二：…（4分）当n=1，2时，T n+1≥T n；当n≥3时，n+2＜2n⇒T n+1＜T n∴n=1时，T1=9；n=2，3时，n≥4时，T n＜T3…（6分）∴{T n}中的最大值为，要使T n≤m对于一切的正整数n恒成立，只需∴…（7分）（3）…（8分）将K n代入，化简得，（﹡）…（9分）若t=1时，，显然n=1时成立；…（10分）若t＞1时，（﹡）式化简为不可能成立…（11分）综上，存在正整数n=1，t=1使成立…（12分）【点评】本题考察了数列中a n和s n的转换关系式，数列中恒成立问题的处理方法，属于难题．。
福建省福州市八县市2017_2018学年高二数学上学期期中联考试题201712230116
福建省福州市八县（市）2017-2018学年高二数学上学期期中联考试题一、选择题(本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．已知角 的终 边上一点 P(-4,3)，则 cos =（ ） 3 3 4 4 A.B.C. -D.55 55b3,6a b2.已知向量 ax ,1，，且，则实数 的值为()1 A.B. C.D.23．在中，，，，则（ ） A. 或 B. C. D. 以上答案都不对4．函数 ysin(2x ) cos(2x ) 的最小正周期是( )6 6A ．B ．C ．D ．2245．不等式 (a 24)x 2(a 2)x 1 0 的解集是空集，则实数 a 的范围为（ ）[2, 6)[2, 6][ 2, 6) {2} 6A.B.C.D.( 2, )55 556．我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设 ABC 三 个 内 角 A 、B 、C 所 对 的 边 分 别 为 a 、b 、c ， 面 积 为 S ， 则 “三 斜 求 积 ”公 式 为21 ac b222S a c2 2422.若则用“三斜求积”公 a 2sin C 4sin A ，a c12 b 2式求得 ABC 的面积为（） A. 3B. 2C. 3D. 67在各项均为正数的等比数列中，，则 a 3 2a a a a（ ）22 63 7A. 8B. 6C. 4D.8．函数ysin x cos x3 cos 2 x3的图象的一个对称中心是（ ）2 3 ( , ) 32 A.5 3( , ) 62B.23 ( , )3 2C.( , 3)3D.39.设 f(x)是定义域 R ，最小正周期为的函数，若，则 cos x (x 0) f (x )22sin x (0 x)15 f() 4的值等于（）122A.1B.C.0D.2210．已知等差数列中，是它的前项和，若，且，则当取最大值a S160S n Sn n n170S 时的n值为（）A. 7B. 8C. 9D. 1611．设实数x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+ 的最小值为（）49 25 8A. B. C. D. 46 6 312.（文)记集合，，，…，其中A a A a a A a a a A a a a a1122,334,5,647,8,9,10a A23,5为公差大于0的等差数列，若，则2017属于（）nA. AB.AC.D. AA63 64 65 66a-a12.（理)在数列{a n}中，对任意n∈N*，都有21k（k为常数），则称{a n}为“等差比n na-an1n数列”．下面对“等差比数列”的判断：①k不可能为0；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；④通项公式为a n＝a·b n＋c（a≠0，b≠0,1）的数列一定是等差比数列．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）1113．的值________．sin314.设三角形的三边长分别为15,19,23，现将三边长各缩短x后，围成了一个钝角三角形，则x的取值范围为_____________．15.设A为关于x的不等式ax(x1)1的解集.若2A,3A，则实数a的取值范围为1 a16. （文)数列{a n}满足a1＝3，a( ),其前n项和为S n,则n nN n 11anS2017___________16. （理) 某校召开趣味运动会，其中一个项目如下：七位同学围成一圈依次循环报数，规定①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学报出的数之和，②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手1次．已知甲同学第一个报数．当七位同学依次循环报到第80个数时，甲同学拍手的总次数为．三、解答题：本题共6大题，共70分。
福建省福州八县一中2018-2019学年高二数学上学期期中试题 文
2018-2019学年度第一学期八县（市）一中期中联考高中二年数学(文)科试卷考试日期：11月16日 完卷时间：120分钟 满分：150分第一部分 选择题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 数列1-，3，5-，7，9-，的一个通项公式为( )．A.21n a n =-B.(1)(12)n n a n =--C.(1)(21)n n a n =--D.(1)(21)nn a n =-+2. 已知0a b >>，则下列不等式成立的是( )．A.22a b >B.11a b > C.||||a b < D.22a b <3. 在ABC ∆中，a =b =45B ∠=︒，则A ∠为( )．A.30︒或150︒B.60︒或120︒C.60︒D.30︒4. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，15n a =，则n 的值 为( )．A.5B.6C.7D.85. 不等式(1)(2)0x x +->的解集为( )．A.(,1)(2,)-∞-+∞B.(,2)(1,)-∞-+∞C.(1,2)-D.(2,1)-6. 设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为n S ，则( )．A.32n n S a =-B.32n n S a =-C.21n n S a =-D.43n nS a =-7. 某同学要用三条长度分别为3,5,7的线段画出一个三角形，则他将( )．A.画不出任何满足要求的三角形B.画出一个锐角三角形C.画出一个直角三角形D.画出一个钝角三角形8. 若不等式220mx x +-<解集为R ，则实数m 的取值范围为( )．A.108m -<≤B.18m <-C.18m >-D.18m <-或0m = 9. 如右图，一艘船上午10：30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30︒处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午11：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75︒处，且与它相距.此船的航速是( )．A.16海里/时B.18海里/时C.36海里/时D.32海里/时 10. 等比数列{}n a 的各项均为正数，且101181364a a a a +=，则2122220log log log a a a +++=( )． A.60 B.50C.40D.220log 5+ 11. 已知,x y 满足约束条件5020x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩，则2z x y =+的最大值为( )． A.52- B.2- C.16 D.5212. 在∆ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若 ()cos23cos 20+++=B A C 且,,a b c 成等比数列，则cos cos A B ⋅=( ) A. 14B. C. 12 D. 23第二部分 非选择题二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 在∆ABC 中，2=ab，tan C =ABC ∆的面积为______________．14. 等差数列{}n a 中，10a >，35S S =，则当n S 取最大值时，n 的值为__________．15. 已知0x >,0y >，且211-=x y ，则2x y +的最小值为______________． 16. 已知(1)2n n n a +=，删除数列{}n a 中所有能被2整除的项，剩下的项从小到大构成数列{}n b ，则55b =______________．三、解答题:(本大题共6小题，共70分)17. (本小题满分10分)在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，3c =，1cos 4B =．(1)求b 的值；(2)求sin C 的值．18. (本小题满分12分) 若不等式20++≤ax bx c 的解集为{|13}x x -≤≤，(1)若2=a ，求b c +的值．(2)求关于x 的不等式20cx bx a -+<的解集．19. (本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n n a S 在直线22y x =-上，*n ∈N(1)求{}n a 的通项公式；(2)若2(1)log n n n b n a a =+-，求数列{}n b 的前n 项和n T 。
福建省福州市八县一中2016-2017学年高中二年级上学期期中考试数学理试卷
2016-2017学年省市八县（市）一中联考高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（2013春•越秀区期末）数列的一个通项公式可能是（）A．（﹣1）n B．（﹣1）n C．（﹣1）n﹣1D．（﹣1）【考点】数列的概念及简单表示法．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据已知中数列各项的符号是一个摆动数列，我们可以用（﹣1）n﹣1来控制各项的符号，再由各项绝对值为一等比数列，由此可得数列的通项公式．【解答】解：由已知中数列，…可得数列各项的绝对值是一个以为首项，以公比的等比数列又∵数列所有的奇数项为正，偶数项为负故可用（﹣1）n﹣1来控制各项的符号，故数列，…的一个通项公式为（﹣1）n﹣1故选D【点评】本题考查的知识点是等比数列的通项公式，其中根据已知数列的前几项分析各项的共同特点是解答本题的关键．2．（2011•一模）已知△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a=，b=，B=60°，那么∠A等于（）A．135°B．45°C．135°或45°D．60°【考点】正弦定理．【专题】计算题．【分析】结合已知条件a=，b=，B=60°，由正弦定理可得，可求出sinA，结合大边对大角可求得A【解答】解：a=，b=，B=60°，由正弦定理可得，a＜b A＜B=60°A=45°故选B【点评】本题考查正弦定理和大边对大角定理解三角形，属于容易题3．（2012•乌兰察布学业考试）设a＞1＞b＞﹣1，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．a＞b2D．a2＞2b【考点】不等关系与不等式．【专题】计算题．【分析】通过举反例说明选项A，B，D错误，通过不等式的性质判断出C正确．【解答】解：对于A，例如a=2，b=此时满足a＞1＞b＞﹣1但故A错对于B，例如a=2，b=此时满足a＞1＞b＞﹣1但故B错对于C，∵﹣1＜b＜1∴0≤b2＜1∵a＞1∴a＞b2故C正确对于D，例如a=此时满足a＞1＞b＞﹣1，a2＜2b故D错故选C【点评】想说明一个命题是假命题，常用举反例的方法加以论证．4．（2016秋•期中）已知点A（2，0），B（﹣1，3）在直线l：x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值围是（）A．a＜﹣2，或a＞7 B．﹣2＜a＜7 C．﹣7＜a＜2 D．a=﹣2，或a=7 【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】计算题；函数思想；转化思想；不等式的解法及应用．【分析】点A（2，0），B（﹣1，3）在直线l：x﹣2y+a=0的两侧，那么把这两个点代入x ﹣2y+a，它们的符号相反，乘积小于0，即可求出a的取值围．【解答】解：∵点A（2，0），B（﹣1，3）在直线l：x﹣2y+a=0的两侧，∴（2+a）（﹣1﹣6+a）＜0，即：（a+2）（a﹣7）＜0，解得﹣2＜a＜7．故选：B．【点评】本题考查二元一次不等式组与平面区域问题，是基础题．准确把握点与直线的位置关系，找到图中的“界”，是解决此类问题的关键．5．（2011•）在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值围是（）A．（0，] B．[，π）C．（0，] D．[，π）【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】三角函数的求值．【分析】先利用正弦定理把不等式中正弦的值转化成边，进而代入到余弦定理公式中求得cosA的围，进而求得A的围．【解答】解：由正弦定理可知a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，∵sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，∴a2≤b2+c2﹣bc，∴bc≤b2+c2﹣a2∴cosA=≥∴A≤∵A＞0∴A的取值围是（0，]故选C【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．作为解三角形中常用的两个定理，考生应能熟练记忆．6．（2016秋•期中）设等比数列{a n}的前n项和记为S n，若S4=2，S8=6，则S12等于（）A．8 B．10 C．12 D．14【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】直接利用等比数列的性质，化简求解即可．【解答】解：等比数列{a n}的前n项和记为S n，若S4=2，S8=6，可得S4，S8﹣S4，S12﹣S8，也是等比数列，S12﹣S8===8．S12=14．故选：D．【点评】本题考查等比数列的简单性质的应用，考查计算能力．7．（2016秋•期中）如图，在限速为90km/h的公路AB旁有一测速站P，已知点P距测速区起点A的距离为80m，距测速区终点B的距离为50m，且∠APB=60°．现测得某辆汽车从A 点行驶到B点所用的时间为3s，则此车的速度介于（）A．16～19m/s B．19～22m/s C．22～25m/s D．25～28m/s【考点】函数模型的选择与应用．【专题】计算题；方程思想；演绎法；函数的性质及应用．【分析】求出AB，可得车的速度，即可得出结论．【解答】解：由题意，AB==70m，70÷3≈23.3m/s，故选C．【点评】此题考查了解三角形的应用，考查余弦定理，比较基础．8．（2016秋•期中）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，且4sinA=3sinB 则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．钝角三角形【考点】三角形的形状判断．【专题】计算题；分类讨论；转化思想；综合法；解三角形．【分析】由已知利用正弦定理可得4a=3b，由，利用余弦定理整理可得（a2+b2）（a2﹣b2）=c2（a2﹣b2），从而可求a2+b2=c2，利用勾股定理即可得解．【解答】解：∵4sinA=3sinB，∴4a=3b，∵，可得：=，整理可得：（a2+b2）（a2﹣b2）=c2（a2﹣b2），∴a2﹣b2=0，或a2+b2=c2，∴a2+b2=c2，或a=b（舍去）∴△ABC的形状是直角三角形．故选：B．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了分类讨论思想和转化思想的应用，属于中档题．9．（2015•）某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额A（吨） 3 2 12B（吨） 1 2 8A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元【考点】简单线性规划的应用．【专题】不等式的解法及应用．【分析】设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值．【解答】解：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，则，目标函数为 z=3x+4y．作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．由z=3x+4y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+由图象可知当直线y=﹣x+经过点B时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，解方程组，解得，即B的坐标为x=2，y=3，∴z max=3x+4y=6+12=18．即每天生产甲乙两种产品分别为2，3吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元，故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解决本题的关键．10．（2016秋•期中）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a5=5，S5=15，则数列的前2016项和为（）A．B．C．D．【考点】数列的求和．【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列．【分析】由题意可知：S5==15，求得a1=1，则a5=a1+4d=5，即可求得d=1，根据等差数列前n项和公式即可求得a n=n，则==﹣，采用“裂项法”即可求得数列的前2016项和．【解答】解：设等差数列{a n}公差为d，∵a5=5，S5=15，由S5==15，解得：a1=1，a5=a1+4d=5，则d=1，等差数列{a n}首项为1，公差为1，a n=a1+（n﹣1）d=n，==﹣，∴数列的前2016项和S2016，S2016=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣），=1﹣，=，故选A．【点评】本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式，“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．11．（2013秋•期末）定义算式⊗：x⊗y=x（1﹣y），若不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意x都成立，则实数a的取值围是（）A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C．D．【考点】二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】由已知中算式⊗：x⊗y=x（1﹣y），我们可得不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意x都成立，转化为一个关于x的二次不等式恒成立，进而根据二次不等式恒成立的充要条件，构造一个关于a的不等式，解不等式求出实数a的取值围．【解答】解：∵x⊗y=x（1﹣y），∴若不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意x都成立，则（x﹣a）•（1﹣x﹣a）﹣1＜0恒成立即﹣x2+x+a2﹣a﹣1＜0恒成立则△=1+4（a2﹣a﹣1）=4a2﹣4a﹣3＜0恒成立解得故选D【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质，其中根据二次不等式ax2+bx+c＜0恒成立充要条件是a＜0，△＜0构造一个关于a的不等式，是解答本题的关键．12．（2016•模拟）等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n、T n，且，则使得为整数的正整数的n的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】由等差数列{a n}、{b n}，利用等差数列的性质表示出a n和b n，将分子分母同时乘以n，将表示出的a n与b n代入，再利用等差数列的前n项和公式变形，根据已知的等式化简，整理后将正整数n代入进行检验，即可得到为整数的正整数的n的个数．【解答】解：∵等差数列{a n}、{b n}，∴a n=，b n=，∴===，又=，∴==7+，经验证，当n=1，3，5，13，35时，为整数，则使得为整数的正整数的n的个数是5．故选C．【点评】此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（2016秋•期中）已知△ABC中，AC=，AB=2，∠B=60°，则BC= 1 ．【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形．【分析】由已知利用余弦定理可得BC2﹣2BC+1=0，进而即可解得BC的值．【解答】解：∵AC=，AB=2，∠B=60°，∴由余弦定理AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB，可得：3=4+BC2﹣2BC，即：BC2﹣2BC+1=0，∴解得：BC=1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，熟练掌握余弦定理是解题的关键，属于基础题．14．（2016秋•期中）在各项均为正数的等比数列{a n}中，a1=2，且a2，a4+2，a5成等差数列，记S n是数列{a n}的前n项和，则S5= 62 ．【考点】数列的求和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】a2，a4+2，a5成等差数列，可得a2+a5=2（a4+2），把已知代入解得q．再利用求和公式即可得出．【解答】解：设正数的等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a2，a4+2，a5成等差数列，∴a2+a5=2（a4+2），∴2q+2q4=2（2q3+2），解得q=2．∵S5==62．故答案为：62．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（2016秋•期中）设实数x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则的最小值为．【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；转化法；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出a，b的关系，然后利用基本不等式求的最小值．【解答】解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=，作出可行域如图：∵a＞0，b＞0，∴直线y=的斜率为负，且截距最大时，z也最大．平移直线y=，由图象可知当y=经过点A时，直线的截距最大，此时z也最大．由，解得，即A（6，8）．此时z=6a+8b=12，即+=1，则=（）（+）=+++≥+2=+4=，当且仅当=时取=号，故答案为：【点评】本题主要考查线性规划的应用以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．16．（2014•模拟）设S n为数列{a n}的前n项和，若（n∈N+）是非零常数，则称该数列为“和等比数列”，若数列{C n}是首项为2，公差为d（d≠0）的等差数列，且数列{C n}是“和等比数列”，则d= 4 ．【考点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．【专题】新定义；等差数列与等比数列．【分析】由题意设数列{C n}的前n项和为T n，可得==k，对于n∈N*都成立，化简得，（k﹣4）dn+（k﹣2）（4﹣d）=0，由题意可得4﹣d=0，解之即可．【解答】解：由题意设数列{C n}的前n项和为T n，则T n=2n+，T2n=4n+，因为数列{C n}是“和等比数列”，所以===k，对于n∈N*都成立，化简得，（k﹣4）dn+（k﹣2）（4﹣d）=0，因为d≠0，故只需4﹣d=0，解得d=4故答案为：4【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合应用，涉及新定义，属基础题．三、解答题（本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）（2016秋•期中）如图，平面四边形ABCD中，AB=，AD=2，CD=，∠CBD=30°，∠BCD=120°．（1）求BD的长；（2）求∠ADC的度数．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】综合题；综合法；解三角形．【分析】（1）方法一：在△BCD中，由题意和正弦定理求出BD；方法二：由∠BDC=30°求出BC，利用条件和余弦定理列出方程，求出BD；（2）在△ABD中，利用条件和余弦定理求出cos∠ADB的值，结合图象求出∠ADC的度数．【解答】解：（1）方法一：在△BCD中，由正弦定理得：，即…（3分）解得BD=3…（4分）方法二：由已知得∠BDC=30°，故…（1分）由余弦定理得：BD2=CD2+BC2﹣2CD•BC•cos∠BCD=…（4分）∴BD=3…（2）在△ABD中，由余弦定理得：…（7分）∴∠ADB=45° …（8分）由已知∠BDC=30°…（9分）∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=45°+30°=75°…（10分）【点评】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查一题多解，化简、计算能力．18．（12分）（2016秋•期中）连江一中第49届田径运动会提出了“我运动、我、我健康、我快乐”的口号，某同学要设计一如图所示的竖向贴的长方形海报进行宣传，要求版心面积为162dm2（版心是指图中的长方形阴影部分，dm为长度单位分米），上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm．（1）若设版心的高为xdm，求海报四周空白面积关于x的函数S（x）的解析式；（2）要使海报四周空白面积最小，版心的高和宽该如何设计？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】计算题；函数思想；解题方法；函数的性质及应用．【分析】（1）由已知版心的高为xdm，则版心的宽为dm，求出海报四周空白面积．（2）利用基本不等式求解即可．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由已知版心的高为xdm，则版心的宽为dm…（1分）故海报四周空白面积为，…（4分）即S（x）=2x++8，x＞0…（6分）（2）由基本不等式得：…（9分）当且仅当时取等号…（11分）∴要使海报四周空白面积最小，版心的高应该为18 dm、宽为9 dm…（12分）【点评】本题考查实际问题选择函数的模型，基本不等式的应用，考查计算能力．19．（12分）（2016秋•期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosA+a=2b．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若a+b=4，当c取最小值时，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】函数思想；综合法；解三角形．【分析】方法一：（Ⅰ）利用正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式化简已知的式子，由角的围和特殊角的三角函数值求出角C；（Ⅱ）利用余弦定理列出方程，由条件和完全平方公式化简后，利用基本不等式求出c的最小值，由面积公式求出△ABC的面积；方法二：（Ⅰ）利用余弦定理化简已知的式子得到边的关系，由余弦定理求出cosC的值，由角的围和特殊角的三角函数值求出角C；（Ⅱ）利用余弦定理列出方程，结合条件消元后，利用一元二次函数的性质求出c的最小值，由面积公式求出△ABC的面积．【解答】解：方法一：（Ⅰ）∵2ccosA+a=2b，∴2sinCcosA+sinA=2sinB，…（1分）∵A+B+C=π，∴2sinCcosA+sinA=2sin（A+C），…（2分）即 2sinCcosA+sinA=2sinAcosC+2cosAsinC，…（3分）∴sinA=2sinAcosC，…（4分）∵sinA≠0，∴cosC=，…又∵C是三角形的角，∴C=．…（6分）（Ⅱ）由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，…（7分）∵a+b=4，故c2=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=16﹣3ab，…（8分）∴（当且仅当a=b=2时等号成立），…（10分）∴c的最小值为2，故．…（12分）方法二：（Ⅰ）∵2ccosA+a=2b，∴，…（1分）∴b2+c2﹣a2+ab=2b2，即 c2=a2+b2﹣ab，…（3分）∴，…又∵C是三角形的角，∴c=．…（6分）（Ⅱ）由已知，a+b=4，即b=4﹣a，由余弦定理得，c2=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，…（8分）∴c2=16﹣3a（4﹣a）=3（a﹣2）2+4，…（10分）∴当a=2时，c的最小值为2，故．…（12分）【点评】本题考查正弦、余弦定理，三角恒等变换中的公式，以及求最值的方法：基本不等式、一元二次函数的性质，考查一题多解，化简、变形能力．20．（12分）（2016秋•期中）已知f（x）=ax2+x﹣a．a∈R（1）若不等式f（x）＜b的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），求a，b的值；（2）若a＜0，解不等式f（x）＞1．【考点】二次函数的性质．【专题】分类讨论；方程思想；分类法；函数的性质及应用．【分析】（1）由题意可得方程ax2+x﹣a﹣b=0的两根分别为﹣1、3，且a＜0，利用韦达定理，可得a，b的值；（2）若a＜0，等式为ax2+x﹣（a+1）＞0，即，分类讨论，可得不同情况下不等式的解集．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由题意可得方程ax2+x﹣a﹣b=0的两根分别为﹣1、3，且a＜0 …（1分）∴解得…（4分）（2）若a＜0，不等式为ax2+x﹣（a+1）＞0，即…（6分）∵．∴当时，，不等式的解集为；…（8分）当时，，不等式的解集为∅；…（10分）当时，，不等式的解集为…（12分）（如上，没有“综上所述…”，不扣分，但解集表达不规每处扣（1分），最多累计扣2分）【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．21．（12分）（2016秋•期中）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列（要指出首项、公比）；（2）若c n=nb n，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】综合题；函数思想；定义法；等差数列与等比数列．【分析】（1）由已知数列递推式可得当n≥2时，S n=4a n﹣1+2，与原递推式联立可得a n+1=4a n ﹣4a n﹣1，然后利用定义证明数列{b n}是等比数列；（2）由数列{b n}的通项公式求出数列{c n}的通项公式，再由错位相减法求数列{c n}的前n项和T n．【解答】（1）证明：∵S n+1=4a n+2，∴当n≥2时，S n=4a n﹣1+2，两式相减得：a n+1=4a n﹣4a n﹣1，∴，∵当n=1时，S2=4a1+2，a1=1，∴a2=5，从而b1=3，∴数列{b n}是以b1=3为首项，2为公比的等比数列；（2）解：由（1）知，从而，∴T n=c1+c2+c3+…+c n﹣1+c n=3×20+6×21+9×22+…+3（n﹣1）×2n﹣2+3n×2n﹣1，2T n=3×21+6×22+9×23+…+3（n﹣1）×2n﹣1+3n×2n，两式相减得：=，∴．【点评】本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．22．（12分）（2016秋•期中）已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意的n∈N*，点（n，S n）恒在函数y=x的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记T n=，若对于一切的正整数n，总有T n≤m成立，数m的取值围；（3）设K n为数列{b n}的前n项和，其中b n=2an，问是否存在正整数n，t，使成立？若存在，求出正整数n，t；若不存在，请说明理由．【考点】数列与函数的综合；数列的应用．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用a n=S n﹣S n﹣1求解；（2）要使T n≤m对于一切的正整数n恒成立，只需m≥{T n}中的最大值即可；（3）求解有关正整数n的不等式．【解答】解：（1）由已知，得…（1分）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1==3n…（2分）当n=1时，a1=S1=3．∴a n=3n…（3分）（2）解法一：．（4分）当n=1时，T n+1＞T n，即T2＞T1；当n=2时，T n+1=T n，即T3=T2；当n≥3时，T n+1＜T n，即T n＜T n﹣1＜…＜T4＜T3…（6分）∴{T n}中的最大值为，要使T n≤m对于一切的正整数n恒成立，只需∴…（7分）解法二：…（4分）当n=1，2时，T n+1≥T n；当n≥3时，n+2＜2n⇒T n+1＜T n∴n=1时，T1=9；n=2，3时，n≥4时，T n＜T3…（6分）∴{T n}中的最大值为，要使T n≤m对于一切的正整数n恒成立，只需∴…（7分）（3）…（8分）将K n代入，化简得，（﹡）…（9分）若t=1时，，显然n=1时成立；…（10分）若t＞1时，（﹡）式化简为不可能成立…（11分）综上，存在正整数n=1，t=1使成立…（12分）【点评】本题考察了数列中a n和s n的转换关系式，数列中恒成立问题的处理方法，属于难题．。
【数学】福建省福州市八县(市)一中2017-2018学年高二上学期期末联考试题(理)(word版附答案)
福建省福州市八县（市）一中2017-2018学年高二上学期期末联考试题（理）考试时间：1月31日 完卷时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．抛物线22x y =的准线方程为（ ）A.81-=yB.81=yC.21-=x D.21=x 2．已知向量(1,3,2)a =- ，)1,1,2(+-=n m b ，且a //b，则实数=+n m （ ）A.2-B.2C.4D.103．下列命题错误．．的是（ ） A.“若12=x ，则1=x ”的否命题为“若12≠x ，则1≠x ”B.若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题；C.命题“，”的否定为“，”D.命题“若0>m ，则方程02=-+m x x 有实数根”的逆否命题为：“若方程02=-+m x x 无实数根，则0≤m ”；4. 设x ，y 满足约束条件3310x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A.2B.72 C.92D.65．“4=m ”是“椭圆1522=+my x 焦距为2”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6．在空间四边形OABC 中，点M 在线段OA 上，且12OM MA =，点N 为BC 的中点．若a OA =，b OB =，c OC =，则MN 等于（ ）x R ∀∈20x ≥x R ∃∈20x <A.c b a 212131--B.c b a 212121-- C.c b a 212131++- D.c b a 212121++-7．已知数列为等比数列，n S 是它的前n 项和，若，且与2的等差中项为，则公比q 的值为 ( ) A.21-B.2-C.21D.2 8．如图所示，在正方体D C B A ABCD ''''-中，点E 是棱BC 的中点，点G 是棱D D '的中点，则异面直线GB 与E B '所成的角为（ ）A.120°B.90°C.60°D.30°9．已知过双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 焦点的直线l 与双曲线C 交于B A ，两点，且使a AB 3=的直线l 恰好有3条，则双曲线C 的离心率为（ ）A.3B.2C.26 D.21010．数列{}n a 满足11a =，对任意的*n N ∈都有11n n a a n +=++，则=+++10021111a a a ( )A.101200 B.101100 C.100198 D.1009911．已知椭圆22142x y +=，直线x y =与椭圆交于B A 、两点，P 是椭圆上异于B A 、的点，且直线PA 、PB 的斜率存在，则PA PB k k ⋅=（ ）A.2B.12 C.12- D.2- 12．设双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的左、右焦点分别为21,F F ，若在双曲线C 的右支上存在点P ，使得21F PF ∆的内切圆半径为a ，记圆心为M ，21F PF ∆的重心为G ，且满足21//F F MG ，则双曲线C 的渐近线方程为( ){}n a 2312a a a ⋅=4a 7a 54A.x y ±=B.x y 2±=C.x y 2±=D.x y 3±= 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．命题“02,2≤-+∈∃a ax x R x ”是假命题，则实数a 的取值范围为_________14．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 的一条渐近线方程是x y 3=，它的一个焦点与抛物线y x 82=的焦点重合，则双曲线的方程为_________________15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且c b a ,2,成等比数列，则B cos 的最小值为______________16．在正方体中，若棱长为1，点E 、F 分别为线段、1BC 上的动点，则下列结论中正确结论的序号是__________ ①面； ②面//11B C A 面； ③点F 到面的距离为定值33； ④线与面D D BB 11所成角的正弦值为定值. 三、解答题（本大题6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分10分）已知命题09:2=+-mx x p 无实数解，命题q ：方程11422=-+-my m x 表示焦点在x 轴上的双曲线.（Ⅰ）若命题q ⌝为假命题，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若命题“p 或q ”为真，命题“p 且q ”为假，求实数m 的取值范围. 18．(本小题满分12分)已知c b a ,,分别是ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边.（Ⅰ）若ABC ∆的面积为233，3=c ，且C B A ,,成等差数列，求b a ,的值； （Ⅱ）若B c a cos =，且A c b sin =，试判断ABC ∆的形状.1111ABCD A BC D -11B D 1DB ⊥1ACD 1ACD 1ACD AE 13FDE A BCB 1C 1A 119．（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱111ABC A BC -中,ABC ∆为等腰直角三角形, ︒=∠90BAC ,且AB AA =1,F E 、、D 分别为1B A 、1C C 、BC 的中点． （Ⅰ）求证：DE ∥平面ABC ；（Ⅱ）求锐二面角1B AE F --的余弦值．20．（本小题满分12分）已知抛物线()2:20C y px p =>上一点()2,P m 到焦点F 的距离为4． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设直线l 经过点()1,1-，求直线l 与抛物线C 有两个公共点时k 的取值范围．21．（本小题满分12分）如图所示，在长方形ABCD 中，AB ＝22，AD ＝2，M 为DC 的中点．将△ADM 沿AM 折起，使得二面角B AM D --为直二面角. （Ⅰ）求证：AD ⊥BM ；（Ⅱ）问：在线段DB 上是否存在一点E ，使得直线BD 与平面AME 所成角的正弦值为15302，若存在确定点E 的位置，若不存在，说明理由.22.（本小题满分12分）已知椭圆C ：)012222>>=+b a by a x （的左、右焦点分别为21,F F ，点），（213P 在椭圆C 上，满足4121=⋅PF PF . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知两点1122(,),(,)A x y B x y 12()x x ≠在曲线C 上，记),(11y a x m =，),(22y axn =，若m n ⊥，O 为坐标原点，试探求OAB ∆的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.参考答案一、选择题（每小题5分，共60分） 二、填空题（每小题5分，共20分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ABBDACCBDACD13、)0,1(- 14、1322=-x y 15、8716、①②③ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 17、解： （Ⅰ）命题q ：⎩⎨⎧<->-0104m m ，得41<<m ……………………………2分依题意得q 为真命题……………………………………………………………………3分 所以，m 的取值范围为)4,1( …………………………………………………………4分 （Ⅱ）命题p ：0362<-=∆m ，得66<<-m ………………………………6分 依题意得p 与q 必然一真一假…………………………………………………………7分 若p 真q 假，则⎩⎨⎧≤≥<<-1466m m m 或，得16≤<-m 或64<≤m …………………8分若p 假q 真，则⎩⎨⎧<<-≤≥4166m m m 或，此时无解 ……………………………………9分所以，实数m 的取值范围为)6,4[]1,6(⋃- …………………………………………10分 18、解：（Ⅰ）C B A ,,成等差数列，，…………………………1分 又 ………………………………………………………2分233433sin 21===∆a B ac S ABC ，解得2=a ………………………………4分 由余弦定理得，=7 …………………………………6分（Ⅱ）根据余弦定理，由，得acb c a c a 2222-+⋅=， ，∴是以的直角三角形， ………………………………………………10分 ，=， 故是等腰直角三角形…………12分 19、解: （Ⅰ）方法一：设AB 的中点为G ，连接CG DG ,，则EC BB DG //21//1, ∴2B A C =+A B C π++=∴3B π=222cos b a c ac B =+-cos a c B =∴222a b c +=ABC ∆2C π=∴sin a A c =∴sin b c A =ac a c⋅=ABC ∆∴四边形DGCE 为平行四边形…………………………………………………………2分 ∴GC DE //………………………………………………………………………………4分 又ABC DE 面⊄,ABC GC 面⊂ ∴DE //面ABC ． ……………………………6分 法二：如图，以A 点为原点，分别以1AA AC AB 、、为z y x 、、轴建立空间直角坐标系令21==AB AA ，则)0,0,0(A ,)1,0,1(),2,0,2(),0,0,2(),0,1,1(),1,2,0(1D B B F E …2分 )0,2,1(-=DE ，面ABC 的一个法向量为)2,0,0(1=AA ……………………………3分∵01=⋅AA DE ，∴1DE AA ⊥………………………………………………5分又∵ABC DE 面⊄，∴DE ∥平面ABC ．……………………6分 （Ⅱ）)2,1,1(1--=F B ,)1,1,1(--=EF ,)0,1,1(=AF ∴0,011=⋅=⋅AF F B EF F B∴1B F EF ⊥ ,1B F AF ⊥∵AF EF F ⋂= ∴⊥F B 1面AEF∴平面AEF 的一个法向量为)2,1,1(1--=F B …………………………………………8分设平面AE B 1的法向量为(,,)n x y z = ，则由0,01=⋅=⋅AB n AE n ，即20y z x z +=⎧⎨+=⎩.令2=x ，则1,2=-=y z (2,1,2)n ∴=-…………………………………………9分20、解：（1）抛物线()2:20C y px p => ∴抛物线焦点为⎪⎭⎫⎝⎛0,2p F ，准线方程为2p x -=， …………………………………1分∵点()2,P m 到焦点F 距离为4，∴422=+p，解得4=p ， ……………………3分 ∴抛物线C 的方程为x y 82= …………………………………………………………4分 （2）设直线l 方程为： ()11y k x =++ ……………………………………………5分由2(1)18y k x y x=++⎧⎨=⎩得：2108k y y k -++= …………………………………………7分当08k≠，即0k ≠时，由0∆>，即21114(1)10822k k k k ∆=-⨯⨯+=-->21k ⇒-<<时，直线与抛物线相交，有两个公共点； ……………………………………………11分 所以，当21k -<<，且0k ≠时，直线与抛物线有两个公共点. ……………………12分 21、（I ）【证明】在图1的长方形ABCD 中，AB ＝22，AD ＝2，M 为DC 的中点， ∴AM ＝BM ＝2，所以AM 2＋BM 2＝AB 2∴BM ⊥AM …………………………………1分 在图2中，∵平面ADM ⊥平面ABCM ，平面ADM ∩平面ABCM ＝AM ，BM ⊂平面ABCM ∴BM ⊥平面ADM …………………………………………………………………………3分 ∵AD ⊂平面ADM ∴AD ⊥BM ……………………………………4分（II ）【解】取AM 中点O ，连接DO 则AM DO ⊥取AB 的中点F ，连接OF ，则BM OF //，由（I ）得OF ⊥平面ADM如图，建立空间直角坐标系O －xyz ………………………………………………………6分则A (1，0，0)，B (－1，2，0)，D (0，0，1)，M (－1，0，0) 则)0,0,2(),1,2,1(-=-=AM BD ，设BD BE λ=则),22,2(λλλλ--=+=BD AB AE …………………………………………………7分设平面AME 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AE n AM n ，即⎩⎨⎧=+-+-=-0)22()2(02z y x x λλλ …………………………………8分 取y ＝1，得x ＝0，λλ22-=z ，所以n ＝(0，1，λλ22-) ………………………9分设直线BD 与平面AME 所成角为θ则15302,cos sin =⋅=><=nBD n BD n BD θ，即15302)22(1622=-+λλλ化简得：01132202=+-λλ，解得21=λ或1011=λ（舍） ……………………11分 ∴存在点E 为BD 的中点时，使直线BD 与平面AME 所成角的正弦值为15302…12分 22、解：（Ⅰ）设0),0,(),0,-21>c c F c F （，则21PF PF ⋅41413)21,3)21,32=+-=--⋅---=c c c （（，所以3=c …… 1分 因为212PF PF a +==4，所以2=a …………………………………………………2分12=∴b ……………………………………………………………………………………3分∴椭圆C 的标准方程为1422=+y x ……………………………………………………4分（Ⅱ）21x x ≠ ，∴直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为：m kx y +=与椭圆14:22=+y x C 联立，得：0448)14(222=-+++m kmx x k 直线AB 与椭圆C 有两个交点，∴0)44)(14(4642222>-+-=∆m k m k解得：2214m k >+ ……………………………………………………………………5分由韦达定理得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+14441482221221k m x x k km x x …………………………………………………6分由（Ⅰ）得2=a ，则),2(11y xm =，),2(22y x n =由m n ⊥，得0=⋅n m ，得042121=+y y x x ，得：04)(4)14(221212=++++m x x km x x k ，把韦达定理代入得：14222+=k m …8分 又原点O 到直线AB 的距离21km d +=……………………………………………9分所以2122121224)(21112121x x x x m x x k k m AB d S OAB -+⋅=-+⋅+⋅=⋅⋅=∆ 14444)148(212222+-⋅-+-⋅=k m k km m 11421414222222=+=++-⋅+=k m k m k m 为定值…11分 所以OAB ∆的面积为定值1 ………………………12分。