《平面解析几何》测试卷及答案解析

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平面解析几何直线练习题含答案

直线测试题一．选择题（每小题 5 分共 40 分） 1. 下列四个命题中的真命题是（） A.经过定点 P 0（x 0. y 0）的直线都可以用方程 y －y 0=k （x －x 0）表示； B.经过任意两个不同的点 P 1（ x 1. y 1）、P 2（x 2.y 2）的直线都可以用方程（y －y 1）·（x 2－x 1）=（ x －x 1）（y 2－y 1）表示； C.不经过原点的直线都可以用方程 x y1 表示； ab D.经过定点 A （0. b ）的直线都可以用方程 y =kx +b 表示。

【答案】 B解析】 A 中过点 P 0（ x 0. y 0）与 x 轴垂直的直线 x =x 0不能用 y －y 0=k （x －x 0）表示.因为其斜率 k 不存在； C 中不过 xy原点但在 x 轴或 y 轴无截距的直线 y =b （ b ≠ 0）或 x =a （a ≠0）不能用方程 =1 表示； D 中过 A （ 0. b ）的直线 abx =0 不能用方程 y =kx +b 表示 . 评述：本题考查直线方程的知识 . 应熟练掌握直线方程的各种形式的适用范围 2. 图 1中的直线 l 1、l 2、l 3的斜率分别为 k 1、 k 2、 k 3. 则（） A.k 1<k 2<k 3 B. k 3< k 1<k 2C.k 3<k 2<k 1D.k 1< k 3<k 2【答案】 D 图1解析】直线 l 1的倾斜角 α1是钝角 .故k 1<0.直线 l 2与 l 3的倾斜角 α2、 α3 均为锐角 . 且α2>α3. 所以 k 2> k 3> 0. 因此 k 2> k 3> k 1.故应选 D. 3. 两条直线 A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0. A 2x ＋ B 2y ＋ C 2＝ 0 垂直的充要条件是（）A. A 1A 2＋ B 1B 2＝0B. A 1A 2－ B 1B 2＝ 0C. A 1A2 B 1B2 1D. B1B2 =1 A 1A2答案】A解析】法一：当两直线的斜率都存在时A 1B 1 （ A 2 ）＝－ 1. A 1A 2＋ B 1B 2＝ 0.当一直线的斜率不存在. 一直线的斜率为时. B 2 A 1 0或 A 2 0 B 2 0 B 1 0同样适合A1A2＋B1B2＝ 0. 故选 A.法二：取特例验证排除 .如直线x+y=0 与x－y=0 垂直 . A1A2＝ 1. B1B2＝－ 1. 可排除B、D. 直线x=1 与y=1 垂直 . A1A2＝ 0. B1B2＝ 0. 可排除 C.故选 A.评述：本题重点考查两直线垂直的判定、直线方程的一般式等基本知识点维能力 .4. 若直线l ：y＝kx 3 与直线 2x＋3y－6＝0 的交点位于第一象限 .则直线l 的倾斜角的取值范围是（）答案】 B解析】法 1：求出交点坐标 . 再由交点在第一象限求得倾斜角的范围：解得k∈( 3. ＋∞3∴倾斜角范围为（, ）623.0 ） . B（0.2 ）.直线l 必过点（ 0.－3 ）. 当直线过A点时 . 两直线的交点在x 轴. 当直线l 绕C 点逆时针旋转时. 交点进入第一象限 . 从而得出结果 .5. 设a、b、c 分别是△ ABC中∠ A、∠ B、∠ C所对边的边长 . 则直线 sin A·x+ay+c=0 与bx－sin B· y+sin C=0 的位置关系是（）3,2D.[6,2]. 重点考查分类讨论的思想及逻辑思y kx 32x 3y 6 03(2 3) x2 3k6k 2 3 y2 3k∵交点在第一象限x03(2 3) 02 3k y0 6k 2 32 3k法 2：如图 . 直线 2x+3y－6=0 过点A.平行B. 重合C. 垂直D.相交但不垂直答案】 CsinA b 解析】由题意知 a ≠ 0.s i n B ≠ 0. 两直线的斜率分别是 k 1=－ . k 2=asinBsinA b由正弦定理知 k 1·k 2=－·=－ 1. 故两直线垂直 .a sinB评述：本题考查两直线垂直的条件及正弦定理 .6. 已知两条直线 l 1：y =x . l 2： ax － y =0. 其中 a 为实数 . 当这两条直线的夹角在(答案】 C解析】直线 l 1的倾斜角为 . 依题意 l 2的倾斜角的取值范围为4∪( . ), 从而 l 2的斜率 k 2的取值范围为43评述：本题考查直线的斜率和倾斜角 . 两直线的夹角的概念 . 以及分析问题、解决问题的能力 7. 若直线xy1 通过点M (cos ，sin) . 则()ab22221 11 1A ． a 2b2≤1 B ． a 2b 2≥1C ． 22≤ 1 D ． 22≥1 a 2 b 2a 2b 2答案】 D 本题是训练思路的极好素材 . 看能否找到 10 种解法？8．已知点 A( 1,0),B(1,0),C(0,1), 直线 y ax b(a 0) 将△ ABC 分割为面积相等的两部分 , 则 b 的取值范围是－. ) ∪( .+ )即 : ()4 12 44 4 126 4A. (0.1 )B. 33, 3 ) C.33.1 ∪( 1. 3 ) D. (1. 3 )0. )内变动时 . a 的取值范围是3.1 3∪( 1, 3 ) ) A ． (0,21B ． (1 22 ,12)( C) 21 (1 22 ,13]答案】 B二．填空题(每小题 5分.共30分)9. 过点P(2,3).且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是解析】错解：设所求直线方程为xa y 1.过点P(2,3). 则有a231a1aa∴直线的方程为x y 1 0.错因：少了直线经过原点的情况. 故还有y 3x. 即3x 2y 0也适合题意 .210. 与直线2x 3y 5 0平行 .且距离等于13的直线方程是m5 解析】设所求直线方程为2x 3y m 0. 则1322 32 解得m 18 或m∴直线方程为2x 3y 18 0或2x 3y 8 0.11. 直线 l 经过点 P(2,3) . 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形 . 则直线l 的方程为 .【解析】依题意 . 直线 l 的斜率为± 1. ∴直线 l 的方程为 y 3 x 2 或 y 3 (x 2) . 即 x y 1 0 或 x y 5 0.12. 在△ ABC 中.BC 边上的高所在的直线的方程为 x-2y+1=0. ∠A 的平分线所在的直线方程为 y=0.若点 B 的坐标为 (1.2 ). 则点 A 和点 C 的坐标分别为。

专题二平面解析几何 A卷必备知识全优+答案解析(附后)

专题二平面解析几何A卷必备知识全优一、单选题（本大题共8小题，共40分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知过点，的直线的斜率为，则( )A. B. C. 1 D. 22.若直线平分圆的周长，则b的值为( )A. 2B.C.D. 33.椭圆的离心率为( )A. B. C. D.4.已知双曲线C：的一个焦点和抛物线的焦点相同，则双曲线C的渐近线方程为( )A. B. C. D.5.已知椭圆C：的左、右顶点分别为A、B，P为椭圆上异于A，B两点的动点，则( )A. B. C. D.6.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，焦距为2c，直线与椭圆C的一个交点为在第一象限满足，则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.7.抛物线上到直线的距离最短的点的坐标是( )A. B. C. D.8.我们把离心率等于黄金比的椭圆称为“优美椭圆”．设为优美椭圆，F、A 分别为它的左焦点和右顶点，B是短轴的一个端点，则等于( )A. B. C. D.二、多选题（本大题共4小题，共20分。

在每小题有多项符合题目要求）9.设直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为( )A. B. C. D.10.下列说法正确的是( )A. 过，两点的直线方程为B. 点关于直线的对称点为C. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2D. 经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为11.2020年11月28日，“嫦娥五号”顺利进入环月轨道，其轨道是以月球的球心F为一个焦点的椭圆如图所示已知它的近月点离月球表面最近的点距离月球表面m千米，远月点离月球表面最远的点距离月球表面n千米，AB为椭圆的长轴，月球的半径为R千米．设该椭圆的长轴长，焦距分别为2a，2c，则下列结论正确的有( )A. B. C. D.12.在平面直角坐标系xOy中，动点P与两个定点和连线的斜率之积等于，记点P的轨迹为曲线E，直线l：与E交于A，B两点，则( )A. E的方程为B. E的离心率为C. E的渐近线与圆相切D. 满足的直线l有2条三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.设双曲线的渐近线方程为，则a的值为__________.14.已知圆C：及直线l：，当直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为__________.15.若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为__________.16.已知抛物线E：的焦点F到准线的距离为4，则__________；过点F作斜率为k的直线l交抛物线E于两个不同点A、B，若，则实数k的值为__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。

第08练-平面解析几何(解析版)

第08练-平面解析几何一、单选题1．已知点F 为椭圆2221(1)x y a a+=>的一个焦点，过点F 作圆221x y +=的两条切线，若这两条切线互相垂直，则a =（）A ．2B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】【分析】根据切线垂直，推导出F 点至坐标原点的距离，即可求得交点坐标和a .【详解】由题可设(),0F c ，根据题意，作图如下：因为过F 点的两条切线垂直，故可得45OFH ∠=︒，则1OH HF ==，故可得2OF =，即点F 坐标为)2,0. 则2,1c b ==，故2223a b c =+=，解得3a =故选：D.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，涉及直线与圆相切时的几何性质，属基础题.2．已知圆C ：（x ﹣a ）2+（y ﹣2）2＝4（a ＞0）及直线l ：x ﹣y+3＝0，当直线l 被圆C 截得的弦长为23时，a 的值等于（）A B ．2-C 1 D 1【答案】C【解析】【分析】由题意，结合垂径定理算出圆心到直线l ：x ﹣y+3＝0的距离d ＝1，利用点到直线的距离公式建立关于a 的方程，求解即可．【详解】∵圆C ：（x ﹣a ）2+（y ﹣2）2＝4的圆心为C （a ，2），半径r ＝2∴圆心到直线l ：x ﹣y+3＝0的距离d=∵l 被圆C 截得的弦长为∴2d +2＝22，解得d ＝1，因此，d=1，得1a =或1a =（舍）故选C ．【点睛】本题考查了圆的方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置等知识，属于基础题．3．已知两点()1,0A -，()10B ,以及圆C ：222(3)(4)(0)x y r r -+-=>，若圆C 上存在点P ，满足0AP PB ⋅=u u u v u u u v ，则r 的取值范围是（）A ．[]3,6B ．[]3,5C ．[]4,5D ．[]4,6【答案】D【解析】【分析】由题意可知：以AB 为直径的圆与圆()()22234(0)x y r r -+-=>有公共点，从而得出两圆圆心距与半径的关系，列出不等式得出r 的范围．【详解】 Q 0AP PB ⋅=u u u v u u u v，∴点P 在以()1,0A -，()1,0B 两点为直径的圆上，该圆方程为：221x y +=，又点P 在圆C 上，∴两圆有公共点．两圆的圆心距5d ==∴151r r -≤≤+解得：46r ≤≤故选D【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，还考查了向量垂直的数量积表示，属于中档题．4．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为35，直线2100x y ++=过椭圆的左顶点，则椭圆方程为（）A ．22154x y += B ．221259x y += C ．221169x y += D ．2212516x y += 【答案】D【解析】【分析】直线2100x y ++=过椭圆的左顶点,则椭圆的左顶点为(5,0)-,所以椭圆中5a =，由离心率为35，则3c =，可求出椭圆的b ，从而可得椭圆的方程.【详解】直线2100x y ++=与x 轴的交点为(5,0)-,直线2100x y ++=过椭圆的左顶点，即椭圆的左顶点为(5,0)-.所以椭圆中5a =，由椭圆的离心率为35，则3c =. 则4b =，所以椭圆的方程为：2212516x y +=. 故答案为：D【点睛】本题考椭圆的简单几何性质，根据离心率求,,a b c ，属于基础题.5．已知双曲线的标准方程为2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0），若渐近线方程为y ＝，则双曲线的离心率为（）A ．3B ．2CD ．4【答案】B【解析】【分析】由双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程是y =，可得b a=c e a == 【详解】Q 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程是y =，∴b a=∴双曲线的离心率2c e a ===．故选：B ．【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，确定b a= 6．已知点F 是抛物线24x y =的焦点，点P 为抛物线上的任意一点，(1,2)M 为平面上点，则PM PF +的最小值为（）A ．3B ．2C ．4D ．【答案】A【解析】【分析】作PN 垂直准线于点N ，根据抛物线的定义，得到+=+PM PF PM PN ，当,,P M N 三点共线时，PM PF +的值最小，进而可得出结果.【详解】如图，作PN 垂直准线于点N ，由题意可得+=+≥PM PF PM PN MN ，显然，当,,P M N 三点共线时，PM PF +的值最小；因为(1,2)M ，(0,1)F ，准线1y =-，所以当,,P M N 三点共线时，(1,1)-N ，所以3MN =.故选A【点睛】本题主要考查抛物线上任一点到两定点距离的和的最值问题，熟记抛物线的定义与性质即可，属于常考题型.7．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222212x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（）A ．3y x =±B ．3y x =C ．2y x =D ．2y x = 【答案】A【解析】【分析】由题意可得222222a b a b -=+，即223a b =，代入双曲线的渐近线方程可得答案.【详解】依题意椭圆22221(a b 0)x y a b +=>>与双曲线22221(a 0,b 0)2x y a b -=>>即22221(a 0,b 022)x y a b -=>>的焦点相同，可得：22221122a b a b -=+，即223a b =，∴3b a =3=双曲线的渐近线方程为：3x y x =±=, 故选：A ．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．8．已知双曲线221169x y C -=：的右焦点为F ，过原点O 的直线与双曲线C 交于,A B 两点，且60AFB ∠=︒，则BOF V 的面积为( )A．2 B．2 C ．32 D ．92【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图像，设双曲线的左焦点为1F ，连接11,AF BF ，即可得四边形1AFBF 为平行四边形，从而求出1F BF ∠，利用余弦定理和双曲线的定义联立方程可求出1|BF ||BF|的值，利用面积公式可求出1F BF V 的面积，根据1F BF V 和BOF V 的关系即可得到答案.【详解】如图，设双曲线的左焦点为1F ，连接11,AF BF ，依题可知四边形1AFBF 的对角线互相平分，则四边形1AFBF 为平行四边形，由60AFB ∠=︒可得1120F BF ∠=︒，依题可知12||2216910F F c ==+=，由余弦定理可得：2221111|BF |+|BF|-2|BF ||BF|cos |||F BF F F ∠=即2211|BF |+|BF|+|BF ||BF|100=；又因为点B 在椭圆上，则1||BF |-|BF||28a ==，所以2211|BF |+|BF|-2|BF ||BF|64=.两式相减得13|BF ||BF|36=，即1|BF ||BF|12=，所以1F BF V 的面积为：111113||||sin 123322F BF S BF BF F BF =∠=⨯=V 因为O 为1F F 的中点，所以11332OBF F BF S S ==V V 故选：A【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，涉及到了双曲线的定义，余弦定理和面积公式，考查学生转化和化归的能力，属中档题.9．已知椭圆2221(02)4x y b b+=<<的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若22BF AF +的最大值为5，则b 的值为（）A ．1BCD ．3【答案】C【解析】【分析】由题意可知椭圆是焦点在x 轴上的椭圆，利用椭圆定义得到228||BF AF AB +=-，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB 垂直于x 轴时||AB 最小，把||AB 的最小值2b 代入228||BF AF AB +=-，由22BF AF +的最大值等于5可求b 的值．【详解】由02b <<可知，焦点在x 轴上，∴2a =，∵过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，∴22112248BF AF BF AF a a a +++=+== ∴228||BF AF AB +=-．当AB 垂直x 轴时||AB 最小，22BF AF +值最大，此时222||b AB b a==，∴258b =-，解得b =C ．【点睛】本题主要考查椭圆的定义，解题的关键是得出22114BF AF BF AF a +++=，属于一般题．10．过双曲线2213y x -=的右支上一点P 分别向圆1C ：22(2)4x y ++=和圆2C ：22(2)1x y -+=作切线，切点分别为,M N ，则22||||PM PN -的最小值为（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】A【解析】【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线2213y x -=的左右焦点为1(2,0)F -，2(2,0)F ，连接1PF ， 2PF ，1F M ，2F N ，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．【详解】圆221:(2)4C x y ++=的圆心为(2,0)-，半径为12r =；圆222:(2)1C x y -+=的圆心为(2,0)，半径为21r =，设双曲线2213y x -=的左右焦点为1(2,0)F -，2(2,0)F ，连接1PF ，2PF ，1F M ，2F N ，可得2222221122||||(||)(||)PM PN PF r PF r -=---2212(||4)(||1)PF PF =---22121212||||3(||||)(||||)3PF PF PF PF PF PF =--=-+-12122(||||32(||||)32232435a PF PF PF PF c =+-=+--=-=g g ）…．当且仅当P 为右顶点时，取得等号，即最小值5．故选A ．【点睛】本题考查最值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的方程，考查三点共线的性质，以及运算能力，属于中档题．二、多选题11．已知点A 是直线:20l x y +=上一定点，点P 、Q 是圆221x y +=上的动点，若PAQ ∠的最大值为90o ，则点A 的坐标可以是（）A ．()0,2B ．()1,21-C ．()2,0D ．()21,1- 【答案】AC【解析】【分析】设点A 的坐标为(),2t t -，可得知当AP 、AQ 均为圆221x y +=的切线时，PAQ ∠取得最大值90o ，可得出四边形APOQ 为正方形，可得出2OA =，进而可求出点A 的坐标.【详解】如下图所示：原点到直线l 的距离为222111d ==+，则直线l 与圆221x y +=相切，由图可知，当AP 、AQ 均为圆221x y +=的切线时，PAQ ∠取得最大值，连接OP 、OQ ，由于PAQ ∠的最大值为90o ，且90APO AQO ∠=∠=o ，1OP OQ ==，则四边形APOQ 为正方形，所以22OA == 由两点间的距离公式得()2222OA t t =+-=整理得22220t t -=，解得0t =2，因此，点A 的坐标为(2或)2,0. 故选：AC.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合问题，考查利用角的最值来求点的坐标，解题时要找出直线与圆相切这一临界位置来进行分析，考查数形结合思想的应用，属于中等题.12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点,A B 的距离之比为定值()1λλ≠的点的轨迹是圆”.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆在平面直角坐标系xOy 中,()()2,0,4,0,A B -点12PA P PB=满足.设点P 的轨迹为C ,下列结论正确的是（） A ．C 的方程为()2249x y ++=B ．在x 轴上存在异于,A B 的两定点,D E ,使得12PD PE=C ．当,,A B P 三点不共线时,射线PO 是APB ∠的平分线D ．在C 上存在点M ,使得2||MO MA = 【答案】BC 【解析】【分析】通过设出点P 坐标，利用12PA PB=即可得到轨迹方程，找出两点,D E 即可判断B 的正误，设出M 点坐标，利用2||MO MA =与圆的方程表达式解出就存在，解不出就不存在. 【详解】设点(),P x y ，则12PA PB=，化简整理得2280x y x ++=，即()22416x y ++=，故A错误；当()()1,0,2,0,D B -时，12PDPE =，故B 正确；对于C 选项，222cos =2AP PO AO APO AP PO+-∠⋅，222cos =2BP PO BO BPO BP PO+-∠⋅,要证PO 为角平分线，只需证明cos =cos APO BPO ∠∠，即证22222222AP PO AO BP PO BO AP PO BP PO+-+-=⋅⋅，化简整理即证2228PO AP =-，设(),P x y ，则222PO x y =+， ()()222222222282828AP x x y x x y x y x y -=++=++++=+，则证cos =cos APO BPO ∠∠，故C 正确；对于D 选项，设()00,M x y ,由2||MO MA =可得()22220000=2x y x y +++，整理得220003316+160x y x ++=，而点M 在圆上，故满足2280x y x ++=，联立解得0=2x ，0y 无实数解，于是D 错误.故答案为BC. 【点睛】本题主要考查阿氏圆的相关应用，轨迹方程的求解，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度较大.三、填空题 13．直线与圆交于两点，则________．【答案】【解析】【分析】首先将圆的一般方程转化为标准方程，得到圆心坐标和圆的半径的大小，之后应用点到直线的距离求得弦心距，借助于圆中特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理求得弦长. 【详解】根据题意，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，且半径是，根据点到直线的距离公式可以求得，结合圆中的特殊三角形，可知，故答案为.【点睛】该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果.14．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F(4，0)，过F 作直线l 交抛物线于M ，N 两点，则p=_______，49NF MF-的最小值为______．【答案】8p =13【解析】【分析】利用抛物线的定义可得8p =，设直线l 的方程为4x my =+，联立直线与抛物线方程消元，根据韦达定理和抛物线的的定义可得1114MF NF +=，代入到49NF MF-，再根据基本不等式求最值．【详解】解：∵ 抛物线()220y px p =>的焦点为F(4，0)，∴ 8p =，∴ 抛物线的方程为216y x =，设直线l 的方程为4x my =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，由2164y x x my ⎧=⎨=+⎩得216640y my --=， ∴1216y y m +=，1264y y =-，由抛物线的定义得11MF NF +121144x x =+++()()21124444x x x x +++=++()()211244888my my my my ++++=++()()122121216864m y y m y y m y y ++=+++22216166412864m m m +=-++()()22161641m m +=+14=， ∴49NF MF -11494NF NF ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭419NF NF =+-4?19NF NF ≥13=，当且仅当49NF NF=即6NF =时，等号成立，故答案为：13．【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线定义的应用，属于中档题．四、解答题15．已知抛物线21:2(0)C y px p =>与椭圆222:143x y C +=有一个相同的焦点，过点(2,0)A 且与x 轴不垂直的直线l 与抛物线1C 交于P ，Q 两点，P 关于x 轴的对称点为M . （1）求抛物线1C 的方程；（2）试问直线MQ 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】（1）24y x =；（2）(2,0)-【解析】【分析】（1）求出椭圆的焦点，容易求得抛物线的方程.（2）解法一：设直线PQ 的方程为()2y k x =-与抛物线联立，得到,P Q 横坐标关系，设直线MQ 的方程为y mx n =+与抛物线联立，得到,M Q 横坐标关系,从而得到,m n 的关系，找出定点.解法二：直线PQ 的方程为2x ty =+，与抛物线联立，得到,P Q 纵坐标关系，设直线MQ 的方程为x my n =+，与抛物线联立，得到,M Q 纵坐标关系，从而可以解出n ，得到定点.【详解】（1）由题意可知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，坐标为()1,0，所以2p =，所以抛物线的方程为24y x =；（2）【解法一】因为点P 与点M 关于x 轴对称所以设()11,P x y ，()22,Q x y ，()11,M x y -，设直线PQ 的方程为()2y k x =-，代入24y x =得：()22224140k x k x k -++=，所以124x x =，设直线MQ 的方程为y mx n =+，代入24y x =得：()222240m x mn x n +-+=，所以21224n x x m==，因为10x >，20x >，所以2nm=，即2n m =，所以直线MQ 的方程为()2y m x =+，必过定点()2,0-. 【解法二】设()11,P x y ，()22,Q x y ，()33,M x y ，因为点P 与点M 关于x 轴对称，所以31y y =-，设直线PQ 的方程为2x ty =+，代入24y x =得：2480y ty --=，所以128y y =-，设直线MQ 的方程为x my n =+，代入24y x =得：2440y my n --=，所以234y y n =-，因为31y y =-，所以()211248y y y y n -=-=-=，即2n =-，所以直线MQ 的方程为2x my =-，必过定点()2,0-. 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的关系，直线过定点问题，比较综合，对计算能力要求较高，属于难题.16．如图，已知椭圆Γ：()222210x y a b a b +=>>经过点()2,0A ，离心率3e =.（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）设点B 为椭圆与y 轴正半轴的交点，点C 为线段AB 的中点，点P 是椭圆Γ上的动点（异于椭圆顶点）且直线PA ，PB 分别交直线OC 于M ，N 两点，问OM ON ⋅是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）是定值，52【解析】【分析】（Ⅰ）根据已知条件列方程组2222a ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，求解椭圆方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）求得点C 的坐标，并求直线OC 的方程20x y -=，设()00,P x y ，()112,M y y ，()222,N y y ，根据三点共线求1y 和2y，并表示2125OM ON y y y y ==.【详解】（Ⅰ）由题意可知：22222a ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，所以椭圆Γ的方程：2214x y +=；（Ⅱ）由已知，点C 的坐标为11,2⎛⎫⎪⎝⎭，得直线OC 的方程为20x y -=，设()00,P x y ，()112,M y y ，()222,N y y ，因P ，A ，M 三点共线，故0110222y y y x =--，整理得0100222y y x y -=--，因P ，B ，N 三点共线，故0220112y y y x --=，整理得020022x y x y =-+，因点P 在椭圆Γ上，故220044x y +=，从而()000012200000022222224y x x y y y x y x y x y --=⋅=---+--00220000214442x y x y x y -==+--，所以1212552OM ON y y ===为定值.【点睛】本题考查椭圆方程以及椭圆直线与椭圆位置关系的综合问题，本题所涉及直线比较多，分析问题时抓住关键求点,M N 的纵坐标并用点P 的纵坐标表示，并将OM ON 2125y y y ，这样问题迎刃而解.。

平面解析几何试题解析

平面解析几何1．（2020届安徽省“江南十校”高三综合素质检测）已知点P是双曲线2222:1(0,0,x y C a b c a b-=>>=上一点，若点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为214c ，则双曲线C 的离心率为（）ABCD ．2【答案】A【解析】设点P 的坐标为(,)m n ，有22221m n a b-=，得222222b m a n a b -=.双曲线的两条渐近线方程为0bx ay -=和0bx ay +=，则点P 到双曲线C的两条渐近线的距离之积为222222222b m a n a b a b c-==+，所以222214a b c c =，则22244()a c a c -=，即()22220c a -=，故2220c a -=，即2222c e a ==，所以e =.故选A 。

2．（2020届河南省濮阳市高三模拟）已知F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，则||FA|﹣|FB||的值等于（）A．B ．8C．D ．4【答案】C【解析】F （1，0），故直线AB 的方程为y ＝x ﹣1，联立方程组241y xy x ⎧=⎨=-⎩，可得x 2﹣6x+1＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由根与系数的关系可知x 1+x 2＝6，x 1x 2＝1．由抛物线的定义可知：|FA|＝x 1+1，|FB|＝x 2+1，∴||FA|﹣|FB||＝|x 1﹣x 2|==，故选C 。

3．（2020届陕西省西安中学高三第一次模拟）已知椭圆C 的中心为原点O ，(F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的方程为（）A ．221255x y +=B ．2213616x y +=C ．2213010x y +=D ．2214525x y +=【答案】B【解析】由题意可得c=F′，由|OP|=|OF|=|OF′|知，∠PFF′=∠FPO ，∠OF′P=∠OPF′，所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′，由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知，∠FPO+∠OPF′=90°，即PF ⊥PF′．在Rt △PFF′中，由勾股定理，得|PF′|=8=，由椭圆定义，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，从而a=6，得a 2=36，于是b 2=a 2﹣c 2=36﹣=16，所以椭圆的方程为2213616x y +=，故选B 。

高一数学平面解析几何初步试题答案及解析

高一数学平面解析几何初步试题答案及解析1.设A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），AB的中点M，则A．B．C．D．【答案】C【解析】先求得M（2,，3）点坐标，利用两点间距离公式计算得，故选C。

【考点】本题主要考查空间直角坐标系的概念及空间两点间距离公式的应用。

点评：简单题，应用公式计算。

2.已知ABCD为平行四边形，且A（4，1，3），B（2，－5，1），C（3，7，－5），则点D 的坐标为A．（，4，－1）B．（2，3，1）C．（－3，1，5）D．（5，13，－3）【答案】D【解析】设D的坐标为(x,y,z)。

AC的中点和BD的中点重合，所以有x+2=4+3，y-5=1+7，z+1=3-5所以，x="5," y="13," z=-3，D的坐标为(5,13,-3)，故选D。

【考点】本题主要考查空间直角坐标系的概念及两点间距离公式的应用。

点评：本题解法利用了平行四边形的性质，也可利用向量知识。

3.点到坐标平面的距离是A．B．C．D．【答案】C【解析】点在坐标平面的正投影为，所以点到坐标平面的距离是，故选C。

【考点】本题主要考查空间直角坐标系的概念及两点间距离公式的应用。

点评：认识到点在坐标平面的正投影为，结合图形分析。

4.已知点，，三点共线，那么的值分别是A．，4B．1，8C．，－4D．－1，－8【答案】C【解析】因为点，，三点共线，=（3，4，－8），=（x－1，y+2，4)，所以，，故选C。

【考点】本题主要考查空间直角坐标系的概念及其应用。

点评：利用空间向量知识，简化解题过程。

5.在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是A．B．C．D．【答案】A【解析】依题意，构建正方体。

即求棱长为的正方体对角线长，计算得，故选A。

【考点】本题主要考查空间直角坐标系的概念及其应用。

点评：根据几何体的特征，认识点的坐标。

6.（12分）如图，长方体中，，，，设E为的中点，F为的中点，在给定的空间直角坐标系D－xyz下，试写出A，B，C，D，，，，，E，F各点的坐标．【答案】A（3，0，0），B（3，5，0），C（0，5，0），D（0，0，0）；（3，0，3），（3，5，3），（0，5，3），（0，0，3）； E（）；F（，5，）。

平面解析几何题含答案

平面解析几何题含答案 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】平面解析几何一、直线的倾斜角与斜率1、直线的倾斜角与斜率（1）倾斜角α的范围000180α≤<（2）经过两点的直线的斜率公式是（3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率2.两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行对于两条不重合的直线12,l l，其斜率分别为12,k k，则有1212//l l k k⇔=。

特别地，当直线12,l l的斜率都不存在时，12l l与的关系为平行。

（2）两条直线垂直如果两条直线12,l l斜率存在，设为12,k k，则12121l l k k⊥⇔=-注：两条直线12,l l垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。

如果12,l l中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l与互相垂直。

二、直线的方程1、直线方程的几种形式名称方程的形式已知条件局限性点斜式为直线上一定点，k为斜率不包括垂直于x轴的直线斜截式k为斜率，b是直线在y轴上的截距不包括垂直于x轴的直线两点式是直线上两定点不包括垂直于x轴和y轴的直线截距式a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距不包括垂直于x轴和y轴或过原点的直线一般式A，B，C为系数无限制，可表示任何位置的直线三、直线的交点坐标与距离公式三、直线的交点坐标与距离公式1.两条直线的交点设两条直线的方程是，两条直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。

2.几种距离（1）两点间的距离平面上的两点间的距离公式（2）点到直线的距离点到直线的距离；（3）两条平行线间的距离两条平行线间的距离注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；（2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算（二）直线的斜率及应用利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。

平面解析几何测试题及答案

平面解析几何测试题一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分） 1.直线3x+4y-24=0在x 轴，y 轴上的截距为（） A.6,8 B.-6,8 C.8,6 D.-8,6 2.x=29y -表示的曲线是（）A.一条直线B.两条直线C.半个圆D.一个圆3.已知直线x-ay+8=0与直线2x-y-2=0垂直，则a 的值是（）A.-1B.2C.1D.-24.已知圆x 2+y 2+ax+by=0的圆心为（-4，3），则a,b 的值分别是（）A.8,6B.8,-6C.-8,-6D.-8,6 5.已知A （3，-6），B （-5，2），C （6，y ）三点共线，则点C 的纵坐标是（）A.-13B.9C.-9D.136.已知过点P （2，2）的直线与圆（x-1）2+y 2 =5相切，且与直线ax-y+1=0垂直，则a 的值为（）A.2B.1C.-21D.21 7. 直线2x-y=0与圆x 2+y 2-2x-4y-1=0的位置关系为（） A. 相交但不过圆心 B.相离 C.相切 D.相交过圆心8.已知双曲线22a x -22b y =1的渐近线的斜率k=±34，则离心率等于（）A.53B.45C.34D.359.若椭圆22a x +22by =1（a>b>0）的左右焦点分别为F 1，F 2，点A 是椭圆上一点，若▲AF 1F 2为正三角形，则椭圆的离心率为） A.22 B.21 C.41D.3-1 10.已知双曲线22x -22by =1（b>0）的左右焦点分别为F 1，F 2，其中一条渐近线方程为y=x ，点P （3，y 0）在双曲线上，则1PF •2PF 等于（） A.-12 B.-2 C.0 D.4 11.已知椭圆焦点在x 轴上，长轴长为18，且焦点将长轴三等分，则椭圆的方程为（）A.812x +722y =1B.812x +92y =1 C.812x +452y =1 D.812x +162y12.设点F 为抛物线y 2=3x 的焦点，过点F 且倾斜角为30°的直线交抛物线于A ，B 两点，则|AB|等于（） A.330B.6C.12D.37 13.已知圆x 2+y 2-4x-4y=0与x 轴相交于A ，B 两点，则弦AB 所对的圆心角的大小为（）A.6π B.3π C.2π D.3π2 14.已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴是短轴的3倍，且过点（-3，1），则椭圆的方程为（）A.92x +y 2=1 B.121822=+x y .121822=+y x D.92y +x 2=1 15.关于x ，y 的方程x 2+my 2=1，给出下列命题： ①当m<0时，方程表示双曲线； ②当m=0时，方程表示抛物线； ③当0<m<1时，方程表示椭圆； ④当m=1时，方程表示等轴双曲线； ⑤当m>1时，方程表示椭圆. 其中真命题的个数是（）A.2个B.3个C.4个D.5个x-y-1≦016.已知变量x ，y 满足的约束条件是 x+y ≦1，目标函数z=10x+y 的最优解是（） x ≧0 A. （0，1），（1，0） B.（0，1），（0，-1） C.（0，-1），（1，0） D.（0，-1），（0，0） 17.已知双曲线17922=-y x ，直线AB 过焦点F 1，且|AB|=4，则▲ABF 2的周长是（）A.12B.20C.24D.48 18.已知椭圆的焦点F 1（0，-1），F 2（0，1），P 是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|，构成等差数列，则椭圆的方程为（）A.191622=+y x B.1121622=+y x C.13422=+x y D.13422=+y x 19. 已知点P 是等轴双曲线上除顶点外的任一点，A 1，A 2是双曲线的顶点，则直线PA 1与PA 2的斜率之积是（）A.1B.-1C.2D.-2 20.圆（x+1）2+（y+2）2=8上到直线x+y+1=0的距离等于2的点共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分） 21.圆x 2+y 2=1上的点到直线3x+4y-25=0的最大距离为 . 22.已知点(2，-1)与点(a ，-2)在直线3x+y-4=0的两侧，则a 的取值范围是 .23.物线的顶点在原点，焦点是双曲线3x 2-y 2=12的左顶点，则其标准方程为 .24.若方程142222=-+-m y m x 表示椭圆，则m 的取值范围是 . 25.设点F 1，F 2为双曲线1422=-y x 的两焦点，点P 在双曲线上，且∠F 1PF 2=90°，则▲F 1F 2P 的面积等于 . 三、解答题（本大题5个小题，共40分）26.（本小题6分）已知抛物线y=241x ，点P （0，2）作直线l 交抛物线A ，B 两点，O 为坐标原点.（1）求证：OA •OB 为定值；（2）直线l 与向量n=（1，2）平行，求▲AOB 的面积.27.（本小题8分）已知点P 是椭圆16410022=+y x 上一点，点F 1，F 2是左、右焦点，若∠F 1PF 2=60°，求▲PF 1F 2的面积.28.（本小题8分）在抛物线y=2x 2上求一点P ，使P 到直线l ：y=2x-3的距离最短，求P 点的坐标.29.（本小题8分）已知椭圆22a x +22by =1（a>b>0）经过点（0，3），离心率为21.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线l ：y=2x+m 与椭圆相交于A ，B 两点，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆上，O 为坐标原点，求直线l 的方程.30.（本小题10分）已知双曲线22a x -22by =1（a>0，b>0）的离心率为2，两顶点的距离为4.（1）求双曲线的标准方程；（2）已知直线l 过圆x 2+y 2-6x+2y+6=0的圆心并与双曲线交于A ，B 两点，且点A ，B 关于点M 对称，求直线l 的方程.第八章平面解析几何测试题答案一、选择题1.C2.C3.D4.B5.C6.A7.D8.D9.B 10.C 11.A 12.C 13.C 14.C 15.B 16.C 17.B 18.C 19.A 20.C 二、填空题 21. 6 22. （2,∞-） 23. y 2=-8x24. （2,3）U （3,4） 25. 1三、解答题 26.（1）-4 （2）4627.3364 28.（21，21） 29.（1）13422=+y x （2）y=2x+219或y=2x -21930.（1）112422=-y x （2）0269=-+y x。

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2021年新高考数学总复习第九章《平面解析几何》
测试卷及答案解析
(时间：120分钟满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是( )
A.⎝⎛⎭⎫0，116 B ．(0,1)
C ．(1,0) D.⎝⎛⎭⎫116，0
答案 C
解析抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，
由抛物线y 2＝4x 得2p ＝4，解得 p ＝2，
则焦点坐标为(1,0)，故选C.
2．过点(2,1)且与直线3x －2y ＝0垂直的直线方程为( )
A ．2x －3y －1＝0
B ．2x ＋3y －7＝0
C ．3x －2y －4＝0
D ．3x ＋2y －8＝0
答案 B
解析设要求的直线方程为2x ＋3y ＋m ＝0，
把点(2,1)代入可得4＋3＋m ＝0，解得m ＝－7.
可得要求的直线方程为2x ＋3y －7＝0，故选B.
3．直线ax －by ＝0与圆x 2＋y 2－ax ＋by ＝0的位置关系是(
) A ．相交 B ．相切
C ．相离
D ．不能确定
答案 B
解析将圆的方程化为标准方程得
⎝⎛⎭⎫x －a 22＋⎝⎛⎭⎫y ＋b 22＝a 2＋b
24，
∴圆心坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，－b 2，半径r ＝a 2＋b 2
2，
∵圆心到直线ax －by ＝0的距离
d ＝a 2＋b 2
2a 2＋b 2＝a 2＋b 2
2＝r ，
∴圆与直线的位置关系是相切．故选B.
4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)，右焦点F 到渐近线的距离为2，点F 到原点的距离为3，则双曲线C 的离心率e 为( ) A.
53 B.355 C.63 D.62
答案 B
解析 ∵右焦点F 到渐近线的距离为2，∴F (c ,0)到y ＝b a x 的距离为2，即|bc |a 2＋b 2
＝2，又b >0，c >0，a 2＋b 2＝c 2，∴bc c
＝b ＝2.∵点F 到原点的距离为3，∴c ＝3， ∴a ＝c 2－b 2＝5，∴离心率e ＝c a ＝35
＝355. 5．已知双曲线E 的渐近线方程是y ＝±2x ，则E 的离心率为( )
A.2或2
B. 5
C.52
D.5或52 答案 D
解析当双曲线焦点在x 轴上时，依题意得b a
＝2，故双曲线的离心率为e ＝c a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝ 5. 当双曲线焦点在y 轴上时，依题意得a b ＝2，即b a ＝12
，故双曲线的离心率为e ＝c a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝52.故选D.
6．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12
，且椭圆C 的长轴长与焦距之和为6，则椭圆C 的标准方程为( )
A.4x 225＋y 2
6
＝1 B.x 24＋y 22＝1 C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 23＝1 答案 D
解析由椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，得c a ＝12
，椭圆C 的长轴长与焦距之和为6，即2a ＋2c ＝6，
解得a ＝2，c ＝1，则b ＝3，。