16.3.1 可化为一元一次方程的分式方程
注意：
①分母中含有未知数，但不能说成“字母”； ②分式方程不定义次数。
⑵整式方程与分式方程的区别 （分母中含有未知数） 整式方程 分式方程
（一元一次方程）
区别
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例题讲解与练习
辨析：判断下列各式哪个是分式方程． (1) (2) (3) (4)
2、概 括 上述解分式方程的过程，实质上是 将方程的两边乘以同一个整式，约去分 母，把分式方程转化为整式方程来解.所 乘的整式通常取方程中出现的各分式的 最简公分母.
请你动手做一做：
1 2 2 解方程： x 1 x 1
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例题讲解与练习
1 2 例1 解方程： 2 x 1 x 1 解 方程两边同乘以（x2-1）,约去分母，得 x+1=2. 解这个整式方程，得 x=1. 事实上，当x=1时，原分式方程左边和右边 的分母（x－1）与（x2－1）都是0，方程中出 现的两个分式都没有意义，因此，x=1不是原 分式方程的根，应当舍去. 所以原分式方程无解.
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注意： 解分 式方 程时 可能 产生 增根， 所以 分式 方程 一定 要验 根！
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归纳总结
解方式方程的一般步骤：
解分式方程的基本思路是“转化”，即将分式方程转化为 整式方程来解，其策略是去分母，具体的解题步骤如下：
(1)去分母化分式方程为整式方程(方法：方程两边都乘以
最简公分母)； (2)解这个整式方程； (3)验根(方法：代入检验法、公分母值判别法)； (4)结论．
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[解析] 先判断各式是不是方程，易知⑧不是方程，故肯 定不是分式方程；再根据分式方程的定义，只要看方程
的分母中有无未知数即可．
解：②③④⑦是关于x的分式方程．
【归纳总结】 分式方程的两个重要特征： ①是方程；②分母中含有未知数．
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探究分式方程的解法
1、思 考 ： 怎样解分式方程呢？ 请同学们先思考并回答以下问题： 1）、回顾一下一元一次方程时是怎么去分母 的，从中能否得到一点启发？ x 1 3 2）有没有办法可以去掉分式方程的分母把它 36 30 转化为整式方程呢？ (1)
(5)
分析：根据定义 可得：(1)、(2) 是整式方程，(3) 是分式，(4)(5) 是分式方程．
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练习、 下列各式中，哪些是关于 x 的分式方程？ x ① ＝4 ； 5 6 ② ＝4； x x2－9 ③ ＝1； x＋1
1 x＋1 2x ④ ＝6 ； ⑤2x－3y ＝0； ⑥ －3＝ ； x＋2 2 7 3 5 x＋1 ⑦ ＝ ； ⑧ ＋3. x－2 x x－2
80 60 x 3 x3
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分式方程的概念
80 60 方程 x 3 x 3 中含有分式，并且
分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方 程.
•分式方程的主要特征： （1）是方程 ；（2）分母中含有未知数。
你还能举出一个 分式方程的吗？
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归纳总结
x x 1 36 30 (2) x x 1
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它们有区别吗？有联系吗？
36 (1)解分式方程： 30 x x 1 36 x( x - 1) 30 x( x - 1) x 1 x 36 30 (2) 计算： x x 1
去分母： 等式基本 性质2
=
36 ( x - 1) 30 x x ( x - 1) ( x 1) x
方程两边同乘以x-3，约去分母，得 x=2(x-3)+3 解这个整式方程，得 x=3 检验: 当x=3时，x-3=3-3=0， 因此x=3是增根，舍去。 ∴原方程无解。
注意：增根虽不是原分式方程的根，但它是整式方
程的根。
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(2)
x2 16 x2 2 x2 x 4 x2
解得：x 5
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三、例题讲解与练习
x2 16 x2 (2) x 2 x 2 4 x 2
解：方程两边同乘以 ( x 2)(x 2)得,
( x 2) 16 ( x 2) ,
2 2
解得x 2.
检验：把x=2代入 x2-4，得x2-4=0 ∴x=2是增根， 所以原分式方程无解。.
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例题讲解与练习
例2
x 5 1 x 2 16 x 2 (1)1 , (2) 2 . 4 x x4 x2 x 4 x2
解方程：
检验：把x=5代入 解： x-5 ，得x-5≠0 方程两边同乘以( x 4),
得，x 4 x 5 1
∴x=5是原方程的解.
.首页上页源自下页返回探究分式方程的增根原因
在将分式方程变形为整式方程时，方程 两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了 分母，有时可能产生不适合原分式方程的解 （或根），这种根通常称为增根. 因此，在解分式方程时必须进行检验.
那么，可能产生“增根”的原因在哪里呢？
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为什么会产生增根呢?
80(x-3)=60(x+3) (解为x=21)
由此可知，解分式方程可能产生增根。因此，解分式方程必 须检验。检验时只须把整式方程的根代入最简公分母，看其值是 否为0。 若最简公分母的值不为0，这个根就是分式方程的根，若 最简公分母为0，则是增根。
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课堂小结
验根的方法有：
代入原方程检验法和代入最简公分母检验法. (1)代入原方程检验，看方程左，右两边的值 是否相等，如果值相等，则未知数的值是原方 程的解，否则就是原方程的增根。 (2)代入最简公分母检验时，看最简公分母的 值是否为零，若值为零，则未知数的值是原方 程的增根，否则就是原方程的根。
解：方程两边同乘以 ( x 2)(x 2), 约去分母，得
注意：解 分式方程 时可能产 2 2 生增根， ( x 2) 16 ( x 2) , 所以解分 解得，x 2. 式方程一 检验：把x 2代入（x 2）（x - 2）， 定要验根！
得( x 2)(x 2) 0, x 2是原方程的增根，舍去 ， 原方程无解。
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通分： 分式基本 性质
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探究分式方程的解法
80 60 试动手解一解方程 x 3 x 3
解：方程两边同乘以（x+3）(x-3)，约
去分母，得
80（x-3）=60(x+3). 解这个整式方程，得
x=21.
所以轮船在静水中的速度为21千米/时.
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探究分式方程的解法
我们知道对解方程变形时，必须根据方程的变形原理。如 去分母时，只能在方程两边同乘以不等于零的数，所得的方程 才与原方程同解，如一元一次方程。
80 60 x 3 x 3
1 2 2 x 1 x 1
同 解
两边同乘以 (x+3)(x-3) ≠0
不 同 解 x+1=2
两边同乘以 (x+1)(x-1) =0 (解为x=1)
16.3 可化为一元一次方程的分式方程
第1课时 可化为一元一次方程的分式方程及解法
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引入问题
课前热身
轮船在顺水中航行80千米所需的时间和 逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的 速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度.
（顺流航行80千米所需的时间=逆流航行60千米所需的时间）
分析：设轮船在静水中的速度为x千米/时， 根据题意，得
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课堂小结
解分式方程的一般步骤是什么？
分式方程
去分母
整式方程
解整式方程
目标
x= a
检验
最简公分母为0
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a是分式 最简公分母不为0 方程的解
a不是分式 方程的解
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x 3 2 练习 （1） 解方程： x3 3 x
解
x 3 2 原方程就是： x3 x 3
2023年华师大版八年级数学下册第十六章《可化为一元一次方程的分式方程》学案 (2)
新华师大版八年级数学下册第十六章《可化为一元一次方程的分式方程》学案课题及总课时第8课时 16.3.2可化为一元一次方程的分式方程学习目标（1）进一步理解并记住分式方程的概念（2）通过分式方程的运用的教学，培养学生数学运用意识。
学习重点让学生学习审明题意设未知数，列分式方程。
学习难点由实际问题中抽象出分式方程模型，设元列分式方程。
学法指导探究式学习与交流互助。
预习案预习质疑复习并导入问题1、在工程问题中，主要的三个量是：工作量、工作效率、工作时间。
它们的关系是工作量=________________、工作效率=_________工作时间=_________2、在行程问题中，主要是有三个量---路程、速度、时间。
它们的关系是----路程= 、速度= 、时间= 。
3、在水流行程中:已知静水速度和水流速度顺水速度= ,逆水速度=4、复习练习：解方程：21413-++=+-xxxx（学生展示解题过程）5、列方程解应用题的一般步骤？[概括]：这些解题方法与步骤，对于学习分式方程应用题也适用。
这节课，我们将学习列分式方程解应用题探究案合作探疑例题1：某校招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩？解设乙每分钟能输入x名学生的成绩，则甲每分能输入2x名学生的成绩，根据题意得x22640＝6022640⨯-x.解得x＝11.经检验，x＝11是原方程的解.并且x＝11，2x＝2×11＝22，符合题意.答：甲每分钟能输入22名学生的成绩，乙每分钟能输入11名学生的成绩.题后小结：交流释疑例题2：两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成。
16。3分式方程(1、2)
分课时
环节
与时间
教师活动
学生活动
△设计意图
◇资源准备
□评价○反思
第二课时
复习提问
新课
分式方程？解分式方程的一般步骤？
一分式方程应用题的一般步骤
先看一个问题：
甲、乙两人做某种机器零件。已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等。求甲、乙每小时各做多少个。
解：审题后设未知数，设甲每小时做x个零件，那么乙每小时做（x-6）个，根据已知“甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等”可以列出等式：甲的时间=乙的时间
总体要求：1.“统一”设计“分段”教学；2.围绕“三维”落实“三问”；3.充实“心案”活化“形案”。
教学流程
分课时
环节
与时间
教师活动
学生活动
△设计意图
◇ห้องสมุดไป่ตู้源准备
□评价○反思
小结作业
板书
问题1：能否设乙每小时做x个零件？如果能，如何列方程？
问题2：
已知甲车行驶90千米所用的时间与乙车行驶60千米所用的时间相同，如果甲车每小时比乙车快6千米，请问甲、乙两车每小时行驶多少千米？
一、例题
例3教材29页
例4教材30页
本节课你学会了哪些知识？有何感想？
个别回答
合作完成
学生回答
◇课件
□独立完成仍有困难
总体要求：1.“统一”设计“分段”教学；2.围绕“三维”落实“三问”；3.充实“心案”活化“形案”。
2 1/ x -5=10/ x²-25
设疑：在2中当x=5时方程有意义吗？
归纳解分式方程的步骤
应用
例题1解方程2/ x -3=3/x
分式方程的解法及应用
§16.3.1分式方程的解法(一)【教学目标】知识与技能：理解分式方程的概念；过程与方法：探索并掌握分式方程的解法；情感态度与价值观：理解分式方程增根产生的原因．【教学重点】掌握分式方程的解法及理解增根产生的原因．【教学难点】理解分式方程增根产生的原因．【学习过程】一、引入：轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同．已知水流速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度．（设未知数列方程）二、新知：1．分式方程概念：方程中含有分式，并且分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．增根：在将在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为增根．因此，在解分式方程时必须进行检验．例1．解方程：806033x x=+-．例2．解方程：12112-=-xx．例3．解方程：（1）100307x x=-；（2）1122xx x-=--；（3）131x xx x+=--（4）31523162x x-=--；（5）0212322=--+x x x x ； （6）21233x x x-=---．三、课堂练习： 1．解下列方程： （1）3513x x =++； （2）263x x x x -=--；（3）2211566x x x x =+-++； （4）232703x x -=-； （5）151511.54x x -=； （6）665122+=++x xx x ．§16.3.1分式方程的解法(二)【教学目标】知识与技能：使学生理解分式方程的意义，会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程；会解含有常数项的分式方程.过程与方法：经历探究，找到化分式方程为整式方程的方法.情感态度与价值观：渗透转化思想.【教学重点】会按一般步骤解含有常数项的可化为一元一次方程的分式方程.【教学难点】含有常数项的可化为一元一次方程的分式方程.【学习过程】一、引入：解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程.转化方法：在分式方程的两边同时乘以一个整式约去分母，所乘的整式通常取方程中出现的各分母的最简公分母.解方程（1）314725x x=+-；（2）221146x x+--=.二、新知：例1：解方程：21133x xx x=+++；练习：（1）213xx x+=+；（2）31523162x x-=--；例2：13122x x x --=--.练习：（1）21142xx x-=--； （2）31122x x x -=---；（3）2512552x x x +=+-； （4）2111x x x x++=+. 例3：2431422x x x x x +-+=--+.练习：（1）21212339x x x -=+--； （2）22122563x x x x x x x --=--+-.§16.3.1分式方程的应用----行程问题【教学目标】知识与技能：能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，列出分式方程解决简单的实际问题，并能根据实际问题的意义检验所得的结果是否合理。
HS华师版 八级数学 下册第二学期 同步课堂补习辅导练习题作业 第十六章 分式 (第16单元全章 电子作业)
第16章 分 式16.1 分式及其基本性质1. 分式课中合作练题型1：分式、有理式概念的理解应用1．（辨析题）下列各式aπ，11x +，15x+y ，22a b a b --，-3x 2，0•中，是分式的有___________；是整式的有___________；是有理式的有_________．题型2：分式有无意义的条件的应用2．（探究题）下列分式，当x 取何值时有意义．（1）2132x x ++； （2）2323x x +-．3．（辨析题）下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ）A ．121x +B ．21x x +C ．231x x +D ．2221x x + 4．（探究题）当x______时，分式2134x x +-无意义． 题型3：分式值为零的条件的应用5．（探究题）当x_______时，分式2212x x x -+-的值为零． 题型4：分式值为±1的条件的应用6．（探究题）当x______时，分式435x x +-的值为1； 当x_______时，分式435x x +-的值为-1． 课后系统练 基础能力题7．分式24x x -，当x_______时，分式有意义；当x_______时，分式的值为零． 8．有理式①2x ，②5x y +，③12a -，④1x π-中，是分式的有（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．①②③④9．分式31x a x +-中，当x=-a 时，下列结论正确的是（ ） A ．分式的值为零； B ．分式无意义C ．若a ≠-13时，分式的值为零； D ．若a ≠13时，分式的值为零 10．当x_______时，分式15x -+的值为正；当x______时，分式241x -+的值为负． 11．下列各式中，可能取值为零的是（ ）A ．2211m m +-B ．211m m -+C ．211m m +-D ．211m m ++ 12．使分式||1x x -无意义，x 的取值是（ ） A ．0 B ．1 C ．-1 D ．±1拓展创新题13．（学科综合题）已知y=123x x--，x 取哪些值时：（1）y 的值是正数；（2）y 的值是负数；（•3）y 的值是零；（4）分式无意义．14．（跨学科综合题）若把x 克食盐溶入b 克水中，从其中取出m 克食盐溶液，其中含纯盐________．15．（数学与生活）李丽从家到学校的路程为s ，无风时她以平均a 米/•秒的速度骑车，便能按时到达，当风速为b 米/秒时，她若顶风按时到校，请用代数式表示她必须提前_______出发．16．（数学与生产）永信瓶盖厂加工一批瓶盖，甲组与乙组合作需要a 天完成，若甲组单独完成需要b 天，乙组单独完成需_______天．17．（探究题）若分式22x x +-1的值是正数、负数、0时，求x 的取值范围．18．（妙法巧解题）已知1x -1y =3，求5352x xy y x xy y +---的值．19．当m=________时，分式2(1)(3)32m m m m ---+的值为零．2. 分式的基本性质一、填空题：1. 写出等式中未知的分子或分母：①x y 3= ()23x y ②)()).(().(2x xy y x x y x x +=+=+ ③y x xy 257=()7 ④ )()).(()(1b a b a b a +=-=- 2. 不改变分式的值，使分式的分子与分母都不含负号： ①=--yx 25 ； ②=---b a 3 .3. 等式1)1(12--=+a a a a a 成立的条件是________. 4. 将分式b a b a -+2.05.03.0的分子、分母中各项系数都化为整数，且分式的值不变，那么变形后的分式为________________.5. 若2x=－y ，则分式22y x xy -的值为________. 三、认真选一选1. 把分式yx x 322-中的x 和y 都扩大为原来的5倍，那么这个分式的值 （ ） A ．扩大为原来的5倍 B ．不变 C ．缩小到原来的51 D ．扩大为原来的25倍 2. 使等式27+x =xx x 272+自左到右变形成立的条件是 （ ） A ．x <0 B.x >0 C.x ≠0 D.x ≠0且x ≠－23. 不改变分式27132-+-+-x x x 的值，使分式的分子、分母中x 的最高次数式的系数都是正数，应该是（ ） A.27132+-+x x x B.27132+++x x x C.27132---x x x D.27132+--x x x四、解答题:1. (3×4=12)不改变分式的值,使分式的分子、分母中的首项的系数都不含 “－” 号: ①yx 32-- ②112+--x x ③ 2122--+-x x x ④1312+----x x x2. (6分)化简求值：222222484y x y xy x -+-,其中x=2，y=3.3.已知当x=3时，分式x+a/3x-b 的值为0，当x=1时，分式无意义，试求a,b 的值.4. (6分)已知x 2＋3x －1=0,求x －x1的值.16.2 分式的运算1.分式的乘除一. 填空题1. 计算：=-⋅224)2()2(c ab c ；=⋅-⋅-4222)1()()(ab a b b a ； =-÷-⋅-)()()(2222xy x y y x ；=⋅-112112)2()2(yx x y ； =÷62332)2()43(a bc ab c ；=-⋅+-÷-222222)(xy x xy y xy x x xy 。
华师大版八下数学16.3可化为一元一次方程的分式方程教学设计
华师大版八下数学16.3可化为一元一次方程的分式方程教学设计一. 教材分析本节课的内容是华师大版八下数学16.3可化为一元一次方程的分式方程教学。
分式方程是初高中数学的重要内容，是学生进一步学习高等数学的基础。
通过本节课的学习，让学生掌握分式方程的解法，培养学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了分式的基本知识，对分式的加减乘除有了初步的了解。
但学生对于分式方程的解法还比较陌生，需要通过本节课的学习，让学生熟练掌握分式方程的解法。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握分式方程的解法，并能运用所学知识解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论交流的方式，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心。
四. 教学重难点1.重点：分式方程的解法。
2.难点：如何将实际问题转化为分式方程，并运用解法求解。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等，引导学生主动探究，积极参与课堂活动。
六. 教学准备1.教材、教案、课件等教学资料。
2.相关例题和练习题。
3.投影仪、黑板等教学设备。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个实际问题引入本节课的内容，如“小明买了苹果和香蕉两种水果，共花费30元。
苹果每千克5元，香蕉每千克3元。
问小明买了苹果和香蕉各多少千克？”引导学生思考如何解决这个问题。
2.呈现（10分钟）呈现分式方程的定义和解法，让学生初步了解分式方程的概念。
通过讲解和示例，让学生掌握分式方程的解法。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试将实际问题转化为分式方程，并运用解法求解。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）针对学生解答过程中出现的问题，进行讲解和分析，让学生加深对分式方程解法的理解。
出示一些相关的练习题，让学生进行巩固练习。
5.拓展（10分钟）出示一些有关分式方程的综合题，让学生进行小组讨论，尝试解决。
16.3.1可化为一元一次方程的分式方程1
分式方程的解法： 解下列分式方程 = 4 . x - 2 x2 - 4
分式没有意义. ∴ x=2不是原分式方程的根，应当舍去，原分式方程无解.
强调：因为解分式方程时可能会产生增根，所以解分式方程必须检验。
可化为一元一次方程的分式方程
方程两边同乘各个分式的最简公分母
一元一次方程
求解
一元一次方程的解
检验
把求得的未知数的值代入最简公分母中，若它的值不等于0，则这 个解是原分式方程的根；若它的值等于0，则是增根，应舍去，原分式 方程无解.
第16章
16.3.1
分式
可化为一元一次方程的分式方程
将下列分式通分： 注意：通分的关键是
确定几个分式的最简
公分母。
各分母系数的最小公倍数，含 有的所有因式的最高次幂。所得的 系数与各字母（或因式）的最高次 幂的积即为最简公分母。
甲乙两人制做某种零件，已知甲每小时比乙可多做2个，甲做40个所 用时间与乙做30个所用时间相等，求甲、乙每小时各做多少个？
思考探究：如设甲每小时做x个零件，那么乙每小时做(x-2)个。
甲做40个所用的时间为： 乙做30个所用的时间为：
根据题意,本题出现了关于分式的计算， 你认为该怎样来进行解答呢？
分式方程：
甲乙两人制做某种零件，已知甲每小时比乙可多做2个，甲做40个所 用时间与乙做30个所用时间相等，求甲、乙每小时各做多少个？
思考探究：如设甲每小时做x个零件，那么乙每小时做(x-2)个。
根据题意，可列出方程：
分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
以前学过的分母不含有未知数的方程叫做整式方程.
分式方程： A
分式方程的解法：
分式方程
解：两边都乘以最简公分母 x(x-2)，约去分母， 得
华师大版数学八年级下册16.3《可化为一元一次方程的分式方程》(第3课时)教学设计
华师大版数学八年级下册16.3《可化为一元一次方程的分式方程》（第3课时）教学设计一. 教材分析《可化为一元一次方程的分式方程》是华师大版数学八年级下册第16.3节的内容。
本节课的主要内容是让学生掌握分式方程的解法，通过将分式方程转化为整式方程，让学生理解分式方程的解法实质，提高学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在八年级上册已经学习了分式的概念、性质和运算，对分式有了一定的认识。
但是，对于分式方程的解法，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将分式方程转化为整式方程，让学生通过已有的知识解决新的问题。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握分式方程的解法，并能运用到实际问题中。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，提高学生学习数学的积极性。
四. 教学重难点1.重点：分式方程的解法。
2.难点：如何将分式方程转化为整式方程，以及如何运用分式方程解决实际问题。
五. 教学方法1.自主学习：让学生在课堂上自主探究分式方程的解法。
2.合作交流：引导学生分组讨论，分享解题心得。
3.实例讲解：通过具体例子，让学生理解分式方程的解法在实际问题中的应用。
六. 教学准备1.课件：制作课件，展示分式方程的解法。
2.练习题：准备一些分式方程的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实例引入分式方程的概念，让学生回顾分式的性质和运算。
2.呈现（10分钟）展示分式方程的解法，引导学生将分式方程转化为整式方程。
3.操练（10分钟）让学生独立解决一些简单的分式方程，巩固所学知识。
4.巩固（10分钟）讲解一些典型的分式方程案例，让学生进一步理解分式方程的解法。
5.拓展（10分钟）引导学生运用分式方程解决实际问题，提高学生的应用能力。
6.小结（5分钟）总结本节课所学内容，让学生明确分式方程的解法及其在实际问题中的应用。
华师版八年级数学下册课件 第16章 分式 可化为一元一次方程的分式方程 第2课时 列分式方程解应用题
11．(12 分)某自动化车间计划生产 480 个零件，当生产任务完成一半时， 停止生产并进行自动化程序软件升级，用时 20 分钟，
7．(10分)(威海中考)小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球． 他们两家到体育公园的距离分别是1 200米，3 000米， 小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若两人同时到达， 则小明需提前4分钟出发，求小明和小刚两人的速度．
解：设小明的速度是 x 米/分钟，则小刚骑自行车的速度是 3x 米/分钟， 根据题意，得
恢复生产后工作效率比原来提高了13 ， 结果完成任务时比原计划提前了 40 分钟， 求软件升级后每小时生产多少个零件？
解：设软件升级前每小时生产 x 个零件，
则软件升级后每小时生产(1＋13 )x 个零件，根据题意，得
480 x
－[24x 0
＋（12＋4013）x
＋2600
]＝4600
，解得 x＝60，
1 200 x
－4＝3
000 3x
，解得 x＝50，经检验得
x＝50 是原方程的解，
且符合题意，故 3x＝150， 答：小明的速度是 50 米/分钟，小刚骑自行车的速度是 150 米/分钟
8．(易错题)市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书， 工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，共有三种施工方案： ①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工； ②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用 5 天； ③ ，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．
2023学年华东师大版八年级数学下册《16-3可化为一元一次方程的分式方程》同步练习题(附答案)
2022-2023学年华东师大版八年级数学下册《16.3可化为一元一次方程的分式方程》同步练习题（附答案）一．填空题1．下列方程：①＝2；②；③；④．其中分式方程是（填序号）．2．有下列方程：①x2＝1；②﹣x2＝1；③＝x；④；⑤＝2；⑥2x ﹣3y＝0；⑦﹣3＝；⑧+3；⑨＝，其中是分式方程的是．（填序号）3．当a＝时，方程无解．4．已知分式方程的解为负数，则k的取值范围是．5．分式方程的根为．6．分式方程的解为．7．若关于x的方程有增根，实数m的值为．8．如果分式的值为0，那么x的值为；若关于x的分式方程有增根，则m的值为．二．解答题9．若关于x的不等式组有解，且使得关于y的分式方程有非负整数解，求所有的整数m的和．10．若关于x的方程无解，求m的值．11．解分式方程：．12．解方程：；．13．解方程：．14．已知关于x的方程有增根，则k为多少？15．若关于方程有增根，求m的值．16．2010年五月，某厂职工到距15千米的世博园参观，一部分人骑自行车先走40分钟后，其余人乘汽车出发，结果他们同刚到达，已知汽车速度为自行车速度的3倍，若设自行车的速度为x千米/时，则所列方程为．17．一船在河流上游A港顺流而下直达B港，用一个小时将货物装船后返航，已知船在静水中的速度是50千米/时，A、B两地距离为150千米，则该船从A港出发到返回A港共用了7.25小时，如果设水流速度是x千米/时，那么x应满足怎样的方程？18．一项工作由甲单独做需a天完成；如果甲、乙合做，则可提前b天完成．问乙每天可完成这项工作的几分之几？19．周末，两骑行爱好者甲和乙刚相约从A地沿着相同路线骑行到距离A地20千米的B地，已知甲的速度是乙的速度的1.5倍．（1）若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出发，则甲出发24分钟后追上乙，求甲每小时骑行多少千米？（2）若乙先骑行50分钟，甲才开始从A地出发，则甲乙同时到达B地，求甲每小时骑行多少千米？20．为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产480万剂疫苗所用的时间比原来生产440万剂疫苗所用的时间少1天．问原来每天生产多少万剂疫苗？参考答案一．填空题1．解：下列方程：①＝2；②；③；④．其中分式方程是①④，整式方程为②③．故答案为：①④．2．解：①x2＝1不是分式方程；②﹣x2＝1不是分式方程；③＝x是分式方程；④是分式方程；⑤＝2是分式方程；⑥2x﹣3y＝0不是分式方程；⑦﹣3＝不是分式方程；⑧+3不是方程；⑨＝是分式方程．故答案为：③④⑤⑨．3．解：方程两边同时乘以（x﹣2）（x﹣3），得：ax+（a﹣1）（x﹣3）＝（x﹣2）（x﹣3）﹣x（x﹣2），ax+ax﹣3a﹣x+3＝x2﹣5x+6﹣x2+2x，（2a+2）x＝3+3a，即，当a＝﹣1时，原方程无解，当a≠﹣1时，解得，故答案为：﹣1．4．解：解分式方程得x＝k﹣1，由分式方程的解是负数，得k﹣1＜0，且k﹣1≠﹣1，解得k＜1且k≠0．故答案为：k＜1且k≠0．5．解：去分母，得3＝x+1﹣3，解得x＝5，经检验，x＝5是原方程的根，故答案为：x＝5．6．解：去分母得：3x﹣（x+2）＝4，去括号得：3x﹣x﹣2＝4，移项，合并同类项得：2x＝6，∴x＝3．经检验：x＝3是原方程的根，故答案为：x＝3．7．解：去分母，得2mx﹣（m+1）＝x+1，∵关于x的方程有增根，将增根为x＝﹣1代入2mx﹣（m+1）＝x+1，得﹣2m﹣（m+1）＝0，解得m＝﹣，将增根为x＝0代入2mx﹣（m+1）＝x+1，得﹣（m+1）＝1，解得m＝﹣2，∴m的值为﹣或﹣2，故答案为：﹣或﹣2．8．解：∵分式的值为0，∴，解得：x＝1；去分母，可得：2x﹣（x﹣3）＝﹣m，由分式方程有增根，得到x﹣3＝0，即x＝3，把x＝3代入整式方程得：2×3﹣（3﹣3）＝﹣m，解得：m＝﹣6．故答案为：1；﹣6．二．解答题9．解：整理不等式组，得，∵不等式组有解，∴不等式组的解集为m﹣2≤x≤﹣2m+1，即m﹣2≤﹣2m+1，解得m≤1．化简分式方程，得1+m﹣y＝2（y﹣2），解得y＝，∵由题意知，分式方程有意义，∴m≠1，∴m＜1，即5+m＜6，∵分式方程有非负整数解，∴5+m是3的非负整数倍，∴5+m＝0或3∴m＝﹣5或﹣2，∴所有的整数m的和为（﹣5）+（﹣2）＝﹣7．10．解：方程两边都乘以（x﹣2）得：4x﹣5（（x﹣2）＝﹣mx，整理得：（1﹣m）x＝10，∴当x＝2时，分母为0，方程无解，即2（1﹣m）＝10，∴m＝﹣4时方程无解；当1﹣m＝0时，方程无解，此时m＝1．综上所述，当m＝﹣4或1时方程无解．11．解：，﹣＝﹣，方程两边都乘x（x+1）（x﹣1），得7（x﹣1）﹣6x＝﹣3（x+1），解得：x＝1，检验：当x＝1时，x（x+1）（x﹣1）＝0，所以x＝1是增根，即分式方程无解．12．解：（1）﹣8＝，方程两边都乘x﹣7，得x﹣8﹣8（x﹣7）＝﹣1，解得：x＝7，检验：当x＝7时，x﹣7＝0，所以x＝7是增根，即分式方程无解；（2）＝，＝，方程两边都乘x（x+1），得5x+2＝3x，解得：x＝﹣1，检验：当x＝﹣1时，x（x+1）＝0，所以x＝﹣1是增根，即分式方程无解．13．解：设3x﹣1＝y则原方程可化为：3y﹣2＝5，解得y＝，∴有3x﹣1＝，解得x＝，将x＝代入最简公分母进行检验，6x﹣2≠0，∴x＝是原分式的解．14．解：∵关于x的方程有增根，∴x﹣3＝0，则x＝3，∵原方程可化为4x＝13﹣k，将增根x＝3代入得k＝1．15．解：去分母得：3（x+3）+m＝2（x﹣3），∵分式方程有增根，∴（x+3）（x﹣3）＝0，即x＝3或x＝﹣3，把x＝3代入整式方程得：18+m＝0，即m＝﹣18；把x＝﹣3代入整式方程得：m＝﹣12．16．解：若设自行车的速度为x千米/时，那么骑自行车用的时间为：，而坐汽车用的时间为：；根据骑自行车多用了40分钟即小时，那么方程可表示为：．故答案为：．17．解：设水流速度是x千米/时，由题意，得+1+＝7.25．18．解：根据分析可以得到：﹣＝．故答案为．19．解：（1）设乙每小时骑行x千米，则甲每小时骑行1.5x千米，依题意得：×1.5x＝2+x，解得：x＝10，∴1.5x＝1.5×10＝15，答：甲每小时骑行15千米；（2）设乙每小时骑行y千米，则甲每小时骑行1.5y千米，依题意得：﹣＝，解得：y＝8，经检验，y＝8是原方程的解，且符合题意，∴1.5y＝1.5×8＝12，答：甲每小时骑行12千米．20．解：设原来每天生产x万剂疫苗，则实际每天生产（1+20%）x＝1.2x万剂疫苗，由题意得：，解得x＝40，经检验，x＝40是原方程的解，∴原来每天生产45万剂疫苗，答：原来每天生产45万剂疫苗．。
分式整章学案
第16章 分式16.1.1分式教师寄语：类比方法，探索运用 学习目标：1、了解分式的概念，明确分式与整式的区别，会判断一个代数式是不是分式.2、掌握分式有意义和分式值为零的条件.一、自主学习、合作探究认真阅读课本P2-3“分式”一节，并完成下列内容： 1、课本“做一做” 2、形如BA(A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做________ .其中 A 叫做分式的_______,B 叫做分式的_______. 3、整式和分式统称________.例1．下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？32a ，y x 1-，n m --2，243x .4、分式有意义的条件：分母___________零，即B______0⇔ 分式BA有意义. 例2．x 取什么值时，下列分式有意义？ （1）11-+x x ； （2）6312--x x ； （3）122-x .5、分式的值等于零的条件：分子的值_________，分母的值____________，即A____，B______⇔ 分式BA=0. 例3．x 取什么值时，下列分式的值为零？（1）2463-+-x x ； （2）242--x x ； （3）33+-x x .二、课堂检测1.下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1）5b a +； （2）2x； （3）y x xy +2； （4）112-x .2.当x 取什么值时，下列分式有意义？ （1）1-x x ； （2）22-+x x ； （3）532-x x ； （4）21--x x.3.当x ________时，分式322+-x x 的值为零.4.当x =_______时，5252--x x 的值为0.三、拓展提升1．同时使分式2568x x x -++有意义，又使分式223(1)9x x x ++-无意义的x 的取值范围是（ ）A .42x x ≠-≠-且B .42x x =-=或C .4x =- D.2x =2．当x =_______时，分式222x x x ---的值为零． 四、小结反思自我评价及反思：_____________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________．学科组长寄语：_______________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________________________________________．16.1.2分式的基本性质教师寄语：类比方法，探索运用 学习目标：1、掌握分式的基本性质，并能运用它进行约分、通分2、了解最简分式的意义3、通过分式基本性质的学习，感悟类比的数学思想一、预备知识观察并分析，下列分数的值是否相等？32, 64, 128, 2416, 4832二、自主学习、合作探究请认真阅读课本P3-4的内容，并完成下列内容：1、分式的基本性质：______________________________________________________2、约分：______________________________________________________________ 例1、约分：（1） 63296xyy x - （2）44422++-x x x （3）32)()(x a a x --归纳与总结：分式约分的方法和步骤： ①分子，分母都是单项式的约分方法：取分子和分母的公因式（数字因数的_______，相同字母的________），然后直接将其约去。