2019年广东省二模理科数学试卷参考答案
2019年广东省广州市高考数学二模(理科)试题和参考答案
侧视图正视图试卷类型：A2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）2018.4本试卷共4页，21小题， 满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式：锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为A ．2-B ．2C ．2-iD ．2i2．若函数()y f x =是函数3xy =的反函数，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为 A ．2log 3- B ．3log 2- C ．19D3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x >C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤4. 将函数()2cos2(f x x x x =+∈R )的图象向左平移6π个单位长度后得到函数 ()y g x =，则函数()y g x =A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3， 将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是A ．16 B ．13 C ．12 D ．386．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为A ．16B ．13C7．一个几何体的三视图如图1，则该几何体D CB A 的体积为A ．6π4+B ．12π4+C ．6π12+D ．12π12+ 8．将正偶数2,4,6,8,按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253表二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式2210x x --<的解集为 .10．已知312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值为 .11．已知四边形ABCD 是边长为a 的正方形，若2,2DE EC CF FB ==，则AE AF ⋅的值为 .12．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 .13．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]1.52,1.51-=-=.设函数()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦，当[)0,(x n n ∈∈N *)时，函数()f x 的值域为集合A ，则A 中的元素个数为 .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t=-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且12AE EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则△AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）如图2，在△ABC 中，D 是边AC 的中点， 且1AB AD ==，3BD =. (1) 求cos A 的值； （2）求sin C 的值.图217．（本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，FE D CBA a 图3重量/克0.0320.02452515O 由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3. （1）求a 的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,,i n =，则样本数据的平均值为112233n n X x p x p x p x p =++++. （3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在(]5,15内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.18．（本小题满分14分） 如图4，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2 1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =（1）求证：AB ⊥平面BCF ； （2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值.图4 19．（本小题满分14分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a =，对任意n ∈N *，都有()11n n na S n n +=++.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本小题满分14分）已知定点()0,1F 和直线:1l y =-，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E . (1) 求曲线E 的方程;(2) 若点A 的坐标为()2,1, 直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与曲线E 相交于,B C 两 点，直线,AB AC 分别交直线l 于点,S T . 试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点? 若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由. 21．（本小题满分14分）已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=. （1）求,a b 的值；（2）当1x >时，()0kf x x+<恒成立，求实数k 的取值范围； （3）证明：当n ∈N *，且2n ≥时，22111322ln 23ln 3ln 22n n n n n n--+++>+. 2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二） 数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭10．8 11．2a 12．4 13．222n n -+141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） （1）解：在△ABD 中，1AB AD ==，3BD =， ∴222cos 2AB AD BD A AB AD +-=⋅⋅2221112113+-⎝⎭==⨯⨯. ……………4分 （2）解：由（1）知，1cos 3A =，且0A <<π，∴sin 3A==. ……………6分∵D 是边AC 的中点，∴22AC AD ==.在△ABC 中，222222121cos 22123AB AC BC BC A AB AC +-+-===⋅⋅⨯⨯，………8分 解得3BC =. ……………10分由正弦定理得，sin sin BC ABA C=， ……………11分 ∴1sin sin AB A C BC ⨯⋅===……………12分 17．（本小题满分12分）(1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101x +++⨯=， ……………1分 解得0.03x =. ……………2分 （2）解：50个样本小球重量的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）. ……………3分 由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. ……………4分M O H F E D CB A （3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ……………5分 ξ的取值为0,1,2,3， ……………6分()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……………10分 ∴ξ的分布列为：……………11分∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分 （或者13355E ξ=⨯=）18．（本小题满分14分）（1）证明：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB ，即EF ∥MB . ……………1分 ∵EF =MB 1=∴四边形EMBF 是平行四边形. ……………2分 ∴EM ∥FB ，EM FB =.在Rt△BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB = ∴EM =……………3分在△AME 中，AE =1AM =，EM =∴2223AM EM AE +==，∴AM EM ⊥. ……………4分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………5分 ∵FB BC B =，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………6分 （2）证法1：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点， 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==. 由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，且1EO FH == .……………7分由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ，∴FH AB ⊥. ……………8分∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD . ……………9分 ∴EO ⊥平面ABCD . ∵AO ⊂平面ABCD ，∴EO ⊥AO . ……………10分 ∵AO BD ⊥，,EO BD O EO =⊂平面EBD ，BD ⊂平面EBD ，∴AO ⊥平面EBD . ……………11分 ∴AEO ∠是直线AE 与平面BDE 所成的角. ……………12分在Rt △AOE中，tan AOAEO EO∠==……………13分 ∴直线AE 与平面BDE. ……………14分 证法2：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==.由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形. ∴EO ∥FH ，且1EO FH == 由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ， ∴FH AB ⊥.∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴FH ⊥平面ABCD .∴EO ⊥平面ABCD . ……………8分 以H 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，OH 所在直线为y 轴，HF 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系H xyz -，则()1,2,0A -，()1,0,0B ，()1,2,0D --，()0,1,1E -. ∴()1,1,1AE =-，()2,2,0BD =--，()1,1,1BE =--. ……………9分 设平面BDE 的法向量为=n (),,x y z ，由n 0BD ⋅=，n 0BE ⋅=， 得220x y --=，0x y z --+=，得0,z x y ==-.令1x =，则平面BDE 的一个法向量为=n ()1,1,0-. ……………10分 设直线AE 与平面BDE 所成角为θ， 则sin θ=cos ,nAE⋅=n AE n AE=. ……………11分∴cos 3θ==，sin tan cos θθθ==……………13分 ∴直线AE 与平面BDE . ……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当2n ≥时，()11n n na S n n +=++，()()111n n n a S n n --=+-，……1分 两式相减得()()()11111n n n n na n a S S n n n n +---=-++--， ……………3分 即()112n n n na n a a n +--=+，得12n n a a +-=. ……………5分 当1n =时，21112a S ⨯=+⨯，即212a a -=. ……………6分 ∴数列{}n a 是以10a =为首项，公差为2的等差数列.∴()2122n a n n =-=-. ……………7分 解法2：由()11n n na S n n +=++，得()()11n n n n S S S n n +-=++， ……………1分 整理得，()()111n n nS n S n n +=+++， ……………2分 两边同除以()1n n +得，111n nS S n n+-=+. ……………3分 ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以101S =为首项，公差为1的等差数列.∴011nS n n n=+-=-. ∴()1n S n n =-. ……………4分当2n ≥时，()()()111222n n n a S S n n n n n -=-=----=-. ……………5分 又10a =适合上式， ……………6分 ∴数列{}n a 的通项公式为22n a n =-. ……………7分 （2）解法1：∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅，①()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅，② ……………11分①-②得0121344444n n n T n --=++++-⋅14414nnn -=-⋅-()13413n n -⋅-=.……………13分∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 解法2：∵22log log n n a n b +=，∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅.由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠-， ……………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx -++++=()()12111n n nx n x x +-++-. ………12分 令4x =，得()()0122114243414431419n n nn n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦. ……………13分 ∴ ()131419n n T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：由题意, 点M 到点F 的距离等于它到直线l 的距离,故点M 的轨迹是以点F 为焦点, l 为准线的抛物线. ……………1分 ∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分解法2：设点M 的坐标为(),x y ,依题意, 得1MF y =+,1y =+, ……………1分化简得24x y =.∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分(2) 解法1: 设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意得，2211224,4x y x y ==.由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,22x k ==±. ∴12124,4x x k x x +==-. ……………3分直线AB 的斜率2111111124224AB x y x k x x --+===--， 故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………4分令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分 同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………6分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………7分∴2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x k k k +-+-==. ……………8分设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=- ⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………9分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. ……………10分展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………11分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 解法2：由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. …………3分 由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=， 即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ……………4分∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………5分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-， 则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………6分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………7分 又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，化简得122kk k =. ……………8分 设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………9分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………10分 整理得，()224410x x y k+-++=. ……………11分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 21．（本小题满分14分）（1）解：∵()ln f x a x bx =+， ∴()af x b x'=+. ∵直线220x y --=的斜率为12，且过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ……………1分∴()()11,211,2f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩即1,21,2b a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,2a b ==-. ……………3分（2）解法1：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<，等价于2ln 2x k x x <-. ……………4分令()2ln 2x g x x x =-，则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--. ……………5分 令()1ln h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=.当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=.……………6分 从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()1,+∞上单调递增，故()()112g x g >=. ……………7分 因此，当1x >时，2ln 2x k x x <-恒成立，则12k ≤. ……………8分 ∴所求k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分解法2：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<恒成立. ……………4分令()ln 2x kg x x x=-+，则()222112222k x x k g x x x x -+'=--=-.方程2220x x k -+=（﹡）的判别式48k ∆=-.（ⅰ）当0∆<，即12k >时，则1x >时，2220x x k -+>，得()0g x '<，故函数()g x 在()1,+∞上单调递减.由于()()110,2ln 21022kg k g =-+>=-+>， 则当()1,2x ∈时，()0g x >，即ln 02x kx x-+>，与题设矛盾. …………5分（ⅱ）当0∆=，即12k =时，则1x >时，()()2222121022x x x g x x x --+'=-=-<. 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减，则()()10g x g <=，符合题意. ………6分(ⅲ) 当0∆>，即12k <时，方程（﹡）的两根为1211,11x x ==>， 则()21,x x ∈时，()0g x '>，()2,x x ∈+∞时，()0g x '<.故函数()g x 在()21,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减， 从而，函数()g x 在()1,+∞上的最大值为()2222ln 2x kg x x x =-+. ………7分 而()2222ln 2x k g x x x =-+2221ln 22x x x <-+， 由（ⅱ）知，当1x >时，1ln 022x x x-+<， 得2221ln 022x x x -+<，从而()20g x <. 故当1x >时，()()20g x g x ≤<，符合题意. ……………8分专业资料word 完美格式 综上所述，k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分 （3）证明：由（2）得，当1x >时，1ln 022x x x-+<，可化为21ln 2x x x -<， …10分 又ln 0x x >，从而，21211ln 111x x x x x >=---+. ……………11分 把2,3,4,,x n =分别代入上面不等式，并相加得，11111111111112ln 23ln 3ln 32435211n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………12分111121n n =+--+ ……………13分223222n n n n --=+. ……………14分。
广东省广州市2019届高三第二次模拟考试数学(理)试卷
2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）理科数学2019.4一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z=m(3+i)-(2+i)在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是A． B. C． D.2．己知集合A= ，则A.x|x<2或x≥6}B.x|x≤2或x≥6C.x|x<2或x≥10}D.x|x≤2或x≥10 3．某公司生产A，B，C三种不同型号的轿车，产量之比依次为2：3：4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A种型号的轿车比B种型号的轿车少8辆，则n=A. 96B. 72C. 48D. 364．执行如图所示的程序框图，则输出z的值是A. 21B. 22C. 23D. 245．己知点A与点B(1，2)关于直线x+y+3=0对称，则点A的坐标为A.(3,4)B. (4,5)C. (-4,-3)D. (-5,-4)6．从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动．设所选3人中女生人数为，则数学期望 =A． B.1 C. D．27．已知：,其中,则A. B. C. D.8．过双曲线的左焦点F作圆的切线，切点为E，延长FE交双曲线右交于点P，若，则双曲线的离心率为A. B. C. D．9．若曲线y= x3 -2x2 +2在点A处的切线方程为y=4x-6,且点A在直线mx+ ny -l=0(其中m>0，n>0)上，则的最小值为A.4B. 3+2C. 6+4D.810．函数的部分图像如图所示，先把函数y=f(x)图像上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的图像向右平移个单位长度，得到函数y=g(x)的图像，则函数y=g(x)的图像的一条对称轴为A.x=B. x= C． x= - D．x= -11.已知点P在直线x+2y-l=0上，点Q在直线x+2y+3=0上，PQ的中点为M(x o，y o)，且1≤y o -x o≤7，则的取值范围为A. B. C. D.12.若点A(t，0)与曲线y=e x上点P的距离的最小值为，则实数t的值为A. 4-B. 4-C. 3+D. 3+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，向量a=2e1+e2，则|a|= ．14．若(ax-l)5的展开式中x3的系数是80，则实数a的值是____．15.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有己知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积。
2019广州二模理共12页
广州二模 数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为( )A ．2-B ．2C ．2-iD ．2i 2．若函数()y f x =是函数3xy =的反函数，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为( )A ．2log 3-B ．3log 2-C ．19D 3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是( )A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x > C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤ D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤4. 将函数()2cos2(f x x x x =+∈R )的图象向左平移6π个单位长度后得到函数 ()y g x =，则函数()y g x = ( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3， 将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是( ) A ．16 B ．13 C ．12 D ．386．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为( )A ．16 B ．13C D 7．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为A ．6π4+B ．12π4+C ．6π12+D ．12π12+8．将正偶数2,4,6,8,按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253表1 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式2210x x --<的解集为 .10．已知312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值为 .11．已知四边形ABCD 是边长为a 的正方形，若2,2DE EC CF FB ==，则AE AF ⋅的值 为 .12．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 .13．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]1.52,1.51-=-=.设函数()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦， 当[)0,(x n n ∈∈N *)时，函数()f x 的值域为集合A ，则A 中的元素个数为 .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t =-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且 12A E EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则 △AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）如图2，在△ABC 中，D 是边AC 的中点， 且1AB AD ==，BD =. (1) 求cos A 的值；（2）求sin C 的值.图2 17．（本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样 本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45， 由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3. （1）求a 的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,,i n =，则样本数据的平均值为112233n n X x p x p x p x p =++++.）（3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在(]5,15内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.18．（本小题满分14分）如图4，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ，1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =（1）求证：AB ⊥平面BCF ；（2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值.图419．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a =，对任意n ∈N *，都有()11n n na S n n +=++. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本小题满分14分）已知定点()0,1F 和直线:1l y =-，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E .(1) 求曲线E 的方程;(2) 若点A 的坐标为()2,1, 直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与曲线E 相交于,B C 两 点，直线,AB AC 分别交直线l 于点,S T . 试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个 定点? 若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由.21．（本小题满分14分）已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=. （1）求,a b 的值； （2）当1x >时，()0kf x x+<恒成立，求实数k 的取值范围； （3）证明：当n ∈N *，且2n ≥时，22111322ln 23ln 3ln 22n n n n n n--+++>+.2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭10．8 11．2a 12．4 13．222n n -+ 141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分） （1）解：在△ABD 中，1AB AD ==，3BD =，∴222cos2AB AD BD A AB AD +-=⋅⋅2221112113+-⎝⎭==⨯⨯. ……………4分 （2）解：由（1）知，1cos 3A =，且0A <<π，∴sin A ==.……………6分 ∵D 是边AC 的中点，∴22AC AD ==.在△ABC 中，222222121cos 22123AB AC BC BC A AB AC +-+-===⋅⋅⨯⨯，………8分 解得3BC =.……………10分 由正弦定理得，sin sin BC ABA C=， ……………11分 ∴1sin sin AB AC BC⋅=== ……………12分17．（本小题满分12分）(1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101x +++⨯=， ……………1分 解得0.03x =. ……………2分 （2）解：50个样本小球重量的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）. ……………3分由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. ……………4分（3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭.……………5分 ξ的取值为0,1,2,3， ……………6分()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……………10分 ∴ξ的分布列为：……………11分∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分 （或者13355E ξ=⨯=）18．（本小题满分14分）（1）证明：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =，∴EF ∥AB ，即EF ∥MB . ……………1分 ∵EF =MB 1=∴四边形EMBF 是平行四边形. ……………2分 ∴EM ∥FB ，EM FB =.在Rt △BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB = ∴EM = ………3分在△AME 中，AE =1AM =，EM =∴2223AM EM AE +==，∴AM EM ⊥. ……………4分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………5分 ∵FB BC B =，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………6分 （2）证法1：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点， 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ， 则OH ∥AB ，112OH AB ==.由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，且1EO FH == .……………7分 由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ，∴FH AB ⊥. ……………8分 ∵FH BC ⊥，,ABBC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD . ……………9分 ∴EO ⊥平面ABCD . ∵AO ⊂平面ABCD ，∴EO ⊥AO . ……………10分 ∵AO BD ⊥，,EOBD O EO =⊂平面EBD ，BD ⊂平面EBD ，∴AO ⊥平面EBD . ……………11分 ∴AEO ∠是直线AE 与平面BDE 所成的角. ……………12分在Rt △AOE 中，tan AOAEO EO∠== ……………13分∴直线AE 与平面BDE . ……………14分 证法2：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点， 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==. 由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =，∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，且1EO FH ==. ……………7分 由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ， ∴FH AB ⊥.∵FH BC ⊥，,ABBC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD .∴EO ⊥平面ABCD . ……………8分 以H 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，OH 所在直线为y 轴，HF 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系H xyz -，则()1,2,0A -，()1,0,0B ，()1,2,0D --，()0,1,1E -. ∴()1,1,1AE =-，()2,2,0BD =--，()1,1,1BE =--. ……………9分 设平面BDE 的法向量为=n (),,x y z ，由n 0BD ⋅=，n 0BE ⋅=， 得220x y --=，0x y z --+=，得0,z x y ==-.令1x =，则平面BDE 的一个法向量为=n ()1,1,0-. ……………10分 设直线AE 与平面BDE 所成角为θ，则sin θ=cos ,n AE⋅=n AE n AE3=. ……………11分∴cos 3θ==，sin tan cos θθθ== ……………13分∴直线AE 与平面BDE . ……………14分 19．（本小题满分14分）（1）解法1：当2n ≥时，()11n n na S n n +=++，()()111n n n a S n n --=+-，……1分 两式相减得()()()11111n n n n na n a S S n n n n +---=-++--， ……………3分 即()112n n n na n a a n +--=+，得12n n a a +-=. ……………5分 当1n =时，21112a S ⨯=+⨯，即212a a -=. ……………6分 ∴数列{}n a 是以10a =为首项，公差为2的等差数列.∴()2122n a n n =-=-. ……………7分 解法2：由()11n n na S n n +=++，得()()11n n n n S S S n n +-=++， ……………1分 整理得，()()111n n nS n S n n +=+++， ……………2分 两边同除以()1n n +得，111n nS S n n+-=+. ……………3分 ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以101S =为首项，公差为1的等差数列.∴011nS n n n=+-=-. ∴()1n S n n =-. ……………4分 当2n ≥时，()()()111222n n n a S S n n n n n -=-=----=-. ……………5分 又10a =适合上式， ……………6分 ∴数列{}n a 的通项公式为22n a n =-. ……………7分 （2）解法1：∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅，①()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅，② ……………11分①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅14414n nn -=-⋅-()13413n n -⋅-=.……………13分∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 解法2：∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅.由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠-， ……………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx-++++=()()12111n n nx n x x +-++-. ………12分令4x =，得()()0122114243414431419n n nn n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦. ……………13分 ∴ ()131419n n T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：由题意, 点M 到点F 的距离等于它到直线l 的距离,故点M 的轨迹是以点F 为焦点, l 为准线的抛物线. ……………1分 ∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分解法2：设点M 的坐标为(),x y ,依题意,得1MF y =+,1y =+, ……………1分化简得24x y =.∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分(2) 解法1: 设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意得，2211224,4x y x y ==.由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440xkx --=，解得1,22x k ==±.∴12124,4x x k x x +==-. ……………3分直线AB 的斜率2111111124224ABx y x k x x --+===--， 故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………4分 令1y =-，得1822x x =-+， ∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分 同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………6分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………7分∴2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x k k k +-+-==. ……………8分设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=- ⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………9分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. ……………10分展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………11分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分 ∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 解法2：由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. …………3分由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=， 即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ……………4分 ∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………5分 同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-， 则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………6分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………7分 又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，化简得122kk k =. ……………8分 设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………9分 得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………10分 整理得，()224410x x y k+-++=. ……………11分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分 ∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 21．（本小题满分14分）（1）解：∵()ln f x a x bx =+， ∴()af x b x'=+. ∵直线220x y --=的斜率为12，且过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ……………1分∴()()11,211,2f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩即1,21,2b a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,2a b ==-. ……………3分 （2）解法1：由（1）得()ln 2x f x x =-. 当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x k x x-+<，等价于2ln 2x k x x <-. ……………4分令()2ln 2x g x x x =-，则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--. ……………5分 令()1ln h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=. 当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=. ……………6分 从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()1,+∞上单调递增，故()()112g x g >=. ……………7分 因此，当1x >时，2ln 2x k x x <-恒成立，则12k ≤. ……………8分 ∴所求k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分 解法2：由（1）得()ln 2x f x x =-. 当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x k x x-+<恒成立. ……………4分 令()ln 2x k g x x x=-+，则()222112222k x x k g x x x x -+'=--=-. 方程2220x x k -+=（﹡）的判别式48k ∆=-.（ⅰ）当0∆<，即12k >时，则1x >时，2220x x k -+>，得()0g x '<， 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减.由于()()110,2ln 21022k g k g =-+>=-+>， 则当()1,2x ∈时，()0g x >，即ln 02x k x x -+>，与题设矛盾. …………5分（ⅱ）当0∆=，即12k =时，则1x >时，()()2222121022x x x g x x x --+'=-=-<. 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减，则()()10g x g <=，符合题意. ………6分 (ⅲ) 当0∆>，即12k <时，方程（﹡）的两根为1211,11x x =<=>， 则()21,x x ∈时，()0g x '>，()2,x x ∈+∞时，()0g x '<.故函数()g x 在()21,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减， 从而，函数()g x 在()1,+∞上的最大值为()2222ln 2x k g x x x =-+. ………7分 而()2222ln 2x k g x x x =-+2221ln 22x x x <-+， 由（ⅱ）知，当1x >时，1ln 022x x x -+<， 得2221ln 022x x x -+<，从而()20g x <. 故当1x >时，()()20g x g x ≤<，符合题意. ……………8分 综上所述，k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分 （3）证明：由（2）得，当1x >时，1ln 022x x x-+<，可化为21ln 2x x x -<， …10分 又ln 0x x >，从而，21211ln 111x x x x x >=---+. ……………11分 把2,3,4,,x n =分别代入上面不等式，并相加得，11111111111112ln 23ln 3ln 32435211n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ……………12分 111121n n =+--+ ……………13分 223222n n n n--=+. ……………14分。
广东省2019年广州市普通高中毕业班综合测试(二)理科数学(解析版)
3 ⎭C ． ⎛ 2 ⎫⎝ 3 ⎭D ． -∞, ⎪ U(1,+∞),1⎪3 ⎭ ⎛x - 2 ⎭ ⎧解析：1 - 8 = = < 0 ，∴ ( x - 10)( x - 2) < 0 ，解得 2 < x < 10 ，所以 A = (2,10) ，2019 年广州市普通高中毕业班综合测试（二）理科数学一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的．1．已知复数 z = m (3 + i) - (2 + i) 在复平面内对应的点在第三象限，则实数 m 的取值范围是（ ）A ． (-∞,1)B ． -∞, ⎝ 2 ⎫ ⎛ 2 ⎫ ⎪⎝1．答案：B⎧3m - 2 < 0 2解析： z = m (3 + i) - (2 + i) = (3m - 2) + (m - 1)i 对应的点位于第三象限，所以 ⎨⇒ m < ． ⎩m -1 < 0 32．己知集合 A = ⎨ x 1 -⎩8 ⎫ < 0⎬ ，则 ð A = （ ） RA ．{x | x < 2 或 x ≥ 6}C ．{x | x < 2 或 x ≥ 10}B ．{x | x ≤ 2 或 x ≥ 6}D ．{x | x ≤ 2 或 x ≥ 10}2．答案：D( x - 2) - 8 x - 10x - 2 x - 2 x - 2ð A = {x | x ≤ 2 或 x ≥ 10}．R3．某公司生产 A, B, C 三种不同型号的轿车，产量之比依次为 2:3: 4 ，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为 n 的样本，若样本中 A 种型号的轿车比 B 种型号的轿车少 8 辆，则 n = （ ）A ．96B ．72C ．48D ．363．答案：B解析：设抽取 A, B, C 三种型号的车的数量分别为 2 x , 3x, 4 x ，则根据题意可得 3x - 2 x = 8, x = 8 ，所以 n = 2 x + 3x + 4 x = 9 x = 72 ．4．执行如图所示的程序框图，则输出 z 的值是（）A ．214．答案：AB ．22C ．23D ．24解析：设 A( x , y ) ，则 AB 中点 M ⎪ 在直线 x + y + 3 = 0 上，⎛ x + 1 y + 2 ⎫ ⎝ 2 2 ⎭ ⎪⎪ AB ⇒⎨ ⇒⎨ 0 所以 ⎨ ． 0 + 3 = 0 ⎩ 0 ⎩ 0 ⎪ 0 + 0B ．1C ． 77．已知： sin α + cos α = ，其中 α ∈ , π ⎪ ，则 tan 2α = （）3C ．724D ． 24解析：由 sin α + cos α = ，其中 α ∈ , π ⎪ ，可得 sin α = , cos α = - , ∴ tan α = 2 ⨯ - ⎪ 2 tan α= 16线右支交于点 P ，若 FP = 2FE ，则双曲线的离心率为（）uuur解析： x = 1, y = 2 → z = 3 → 是 → x = 2, y = 3 → z = 5 → 是 → x = 3, y = 5 → z = 8 → 是→ x = 5, y = 8 → z = 13 → 是 → x = 8, y = 13 → z = 21 → 是 → 输出 z = 21 ．5．己知点 A 与点 B(1,2) 关于直线 x + y + 3 = 0 对称，则点 A 的坐标为（）A ． (3,4)B ． (4,5)C ． (-4, -3)D ． (-5, -4)5．答案：D0 , 0 0 0⎧y - 2 k = 0 = 1x - 1 ⎧ x - y + 1 = 0 ⎧ x = -5 0 0 x + 1y + 2 x + y + 9 = 0 y = -4 0 ⎪⎩ 2 26．从某班 6 名学生（其中男生 4 人，女生 2 人）中任选 3 人参加学校组织的社会实践活动．设所选 3 人中女生人数为 ξ ，则数学期望 E ξ = （）A ．456．答案：B5 D ．2解析： E ξ = 2 6⨯ 3 = 11 ⎛ π⎫ 5⎝ 2⎭A ． -247B ． -477．答案：D1 ⎛ π ⎫ 4 3 sin α 4=- ，5 ⎝ 2 ⎭5 5 cos α 3⎛ 4 ⎫ tan 2α = ⎝ 3 ⎭ = 24 1 - tan 2α 7 1 -9．8．过双曲线 x 2 y 2 a 2- = 1(a > 0, b > 0) 的左焦点 F 作圆 x 2 + y 2 = 的切线，切点为 E ，延长 FE 交双曲a 2b 2 9uuur3B ．176C ．105D ． 10解析：设右焦点为 F ，连接 PF ，由 FP = 2FE ，可知 E 为 PF 的中点，则 O E 为 △FPF 的中位线，所a, ∴ PF = a + 2a = a ，在 Rt △FPF 中， PF 2 + PF 2 = F F 2 ， 3 3 3 a 2 + a 2 = 4c 2 ， a 2 = 4c 2 , e 2 = = , e = 2 解析：设 f ( x ) = x 3 - 2 x 2 + 2 ，令 f '( x ) = 3x 2 - 4 x = 4 ，得 (3x + 2)( x - 2) = 0 ，解得 x = - 或 x = 2 ．又 f - ⎪ = - ⎛ 2 ⎫ ⎛ 2 ⎫ 26 2 4 ⨯ - ⎪ - 6 = - 27 9 27 + = 2 + ⎪ (m + n ) = 2 3 + + ⎪ ≥ 2 ⨯ (3 + 2 2) = 6 + 4 2 ．倍，纵坐标不变，再把得到的图像向右平移 个单位长度，得到函数 y = g ( x ) 的图4B ． x =4D ． x = -A ．1728．答案：Auuur uuur222以 PF = 2 EO = 2 2 2 82 2 1 264 4 68 c 2 17 17 即 ．9 9 9 a 9 3PEFOF 29．若曲线 y = x 3 - 2 x 2 + 2 在点 A 处的切线方程为 y = 4 x - 6 ，且点 A 在直线 mx + ny - 1 = 0 (其中 m > 0 ，n > 0 )上，则A ． 4 2 1 2+ 的最小值为（ ） m nB ． 3 + 2 2C ． 6 + 4 2D ． 8 29．答案：C23- + 2 = ，而 ，故 x = - 不符合，舍去；⎝ 3 ⎭ ⎝ 3 ⎭ 3 3f (2) = 2 = 4 ⨯ 2 - 6 ，所以 x = 2 ，点 A 坐标为 (2, 2) ，所以 2m + 2n - 1 = 0, m + n =1 2 ⎛ 1 2 ⎫ ⎛ n 2m ⎫ 所以m n ⎝ m n ⎭ ⎝ m n ⎭1 2，10．函数 f ( x ) = 2sin(ωx + ϕ) (ω > 0, ϕ < π )的部分图像如图所示，先把函数 y = f ( x ) 图像上各点的横坐标缩短到原来的 1 π2 4像，则函数 y = g ( x ) 的图像的一条对称轴为（）A ． x = 3ππ4C ． x = -π10．答案：C3π 4⎪⎪ ⎪⎪ 解析：由图象可知 ⎨ ，所以 f ( x) = 2sin x - ⎪ ．各点的横坐标缩短到原 ⎪4πω + ϕ = 7π ⎪ϕ = - ⎩⎩⎪倍，得 y = 2sin x - ⎪ ，再把得到的图像向右平移 个单位长度，得 g ( x) = 2sin ⎢ x - ⎪ - ⎥ = 2sin x - ⎪ ，由 x - = k π + , k ∈ Z ，所以 x = 31≤ y - x ≤ 7 ，则 0 的取值范围为（）A ． ⎢2,⎡ 12 ⎤B ． ⎢- ,0 ⎥, ⎥⎦ C ．⎢D ． ⎢ -2, ⎥⎦x - ，由1≤ y - x ≤ 7 ， 2 0 2 得 1≤ - x - ≤ 7 ，解得 -5 ≤ x ≤ -1，所以 0 = - - ∈ ⎢- ,0 ⎥ ． 2C ． 3 +又因为 t = e 2 x + x ，所以 e 2 x + x = x + 3 ，所以 e 2 x= 3, 2 x = ln 3, x = ln 3 r⎧ π ⎧1 2πω + ϕ = ω =23 ⎛ 1 π ⎫ ⇒⎨ π ⎝ 3 6 ⎭ ⎪ 6 6来的1 2 ⎛ 2 π ⎫ π ⎝ 3 6 ⎭ 4⎡ 2 ⎛ π ⎫ π ⎤ ⎛ 2 π ⎫ 2 π π ⎣ 3 ⎝4 ⎭ 6 ⎦ ⎝ 3 3 ⎭ 3 3 25ππ k π + , k ∈ Z ，当 k = -1 时，得 x = - ．2 4 411．已知点 P 在直线 x + 2 y - 1 = 0 上，点 Q 在直线 x + 2 y + 3 = 0 上， PQ 的中点为 M ( x , y ) ，且y0 0 x⎣ 5 ⎥11．答案：B⎡ 2 ⎤ ⎡ 5 1 ⎤ ⎣ 5 ⎣ 16 4⎦-⎡ 2 ⎤ ⎣ 5 ⎦解析： M ( x, y) 在直线 x + 2 y + 1 = 0 上，所以 x 0 + 2 y 0 + 1 = 0 ， y 0 = - 1 10 03 1 y 1 1 ⎡ 2 ⎤ 2 0 2 0x 2 2 x ⎣ 5 ⎦ 012．若点 A(t,0) 与曲线 y = e x 上点 P 的距离的最小值为 2 3 ，则实数 t 的值为（）A ． 4 - ln 23B ． 4 - ln 2ln 3 3 D． 3 + ln 3212．答案：D解析：设 P( x , e x ) ，则 AP 2 = e 2 x + ( x - t )2 = e 2 x + x 2 - 2tx + t 2 ，设 f ( x ) = e 2 x + x 2 - 2tx + t 2 ， 则 f '( x ) = 2e 2 x + 2 x - 2t = 0 ，令 f '( x ) = 0 ，得 e 2 x = t - x ，此时 f ( x ) 取得最小值，所以f ( x ) = e 2 x + x 2 - 2tx + t 2 = t - x + (t - x)2 = 12 ，显然 t - x > 0 ，所以 t - x = 3, t = x + 3 ，ln 3，此时 t = x + 3 = 2 2二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．ur uur ur uurr 13．若 e , e 是夹角为 60︒ 的两个单位向量，向量 a = 2e + e ，则 a =．121213．答案： 7+ 3 ．r 2 r ur uur 2 ur ( )解析： a = a 2 = 2e + e= 4e + 4e ⋅ e + e ur 2ur uur uur 2 ⎝ ⎭ ⎥⎦ 4 ⎢ 2 ⎝ ⎭ ⎥⎦ 4 ⎢ 2 4 ⎣ 4 ⎦ 4 ⎝ 4 ⎭⎢⎥(2 -5 ⎭ 5 ⎥⎦ ⎣c 2 = , a 2 = b 2 = 3 R ，所以 31 2 1 1 2 2 2 2 ur uur uur = 4 e + 4 e ⋅ e cos 60︒ + e 1 1 2 2= 4 + 2 + 1 = 7 ， r所以 a = 7 ．14．若 (ax - 1)5 的展开式中 x 3 的系数是 80，则实数 a 的值是 ．14．答案：2解析： (ax - 1)5 的展开式中含 x 3 的项为 C 2 (ax)3 ⋅ (-1)2 = 10a 3 x 3 ，所以10a 3 = 80, a 3 = 8, a = 2 ．515．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有己知三边求三角形面积的方法：“以小 斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平1 ⎡ ⎛ a2 + c 2 - b 2 ⎫2 ⎤ 方得积．”如果把以上这段文字写成公式就是 S =⎢a 2c 2 - ⎪ ⎥ 其中 a, b , c 是 △ABC 的 ⎣内角 A, B, C 的对边．若 sin C = 2sin A c os B ，且 b 2 ,1, c 2 成等差数列，则 △ABC 面积 S 的最大值为．15．答案：55解析： 因为 C = π - ( A + B), ∴ s in C = sin( A + B) = sin A c os B + cos A s in B ，又因为 sin C = 2sin A c os B ，所以 sin A c os B - cos A s in B = 0 ，即 sin( A - B) = 0,∴ A = B, ∴ a = b ，因为 b 2 ,1, c 2 成等差数列，所以 b 2 + c 2 = 2 ，1 ⎡ ⎛ a2 + c 2 - b 2 ⎫2 ⎤ 1 ⎡c 4 ⎤ 1 ⎛ 5 ⎫所以 S =⎢a 2c 2 - ⎪ ⎥= - c 4 + 2c 2 ⎪ ⎣= 1 ⎡ 5 ⎛ ⎢- c 4 ⎢ 4 ⎝2 - 4 ⎫2 4 ⎤ 1 4 5⎪ + ⎥ ≤ ⨯ = 4 5 5 4 6 ，当且仅当 时等号成立．故 △ABC 面积 5 5S 的最大值为55．16．有一个底面半径为 R ，轴截面为正三角形的圆锥纸盒，在该纸盒内放一个棱长均为a 的四面体，并且四面体在纸盒内可以任意转动，则 a 的最大值为 ．16．答案： 2 2 R3解析：要使得四面体在纸盒内可以任意转动，且a 最大，则四面体的外接球就是圆锥的内切球，设该球的半径为 r ，则 r =6 6 3 2 2a ，且 r = a = R ，解得 a = R ． 4 4 3 3所以 ⎨ 1 ⎪⎩a ⋅ a q ⎪a 1 = , ⎪⎩ ⎪⎩q = 3.P SOFACOO1DT EB三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤，第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须做答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共 60 分． 17．（本小题满分 12 分）己知{a n } 是递增的等比数列， a 2 + a 3 = 4, a 1a 4 = 3 ．（1）求数列{a n } 的通项公式；（2）令 b n = na n ，求数列{b n } 的前 n 项和 S n ．17．解法 1：（1）设等比数列{a } 的公比为 q ，因为 a + a = 4 ， a a = 3 ，n231 4⎧⎪a q + a q 2 = 4,1 3 = 3. 11……………………………………………………………………………………2 分⎧a = 9, ⎧ 1 ⎪ 1解得 ⎨ 1或 ⎨ 3 ………………………………………………………………………………4 分 q = ,3因为{a } 是递增的等比数列，所以 a = 1， q = 3 ．………………………………………………5 分n 13所以数列{a } 的通项公式为 a = 3n -2 ．………………………………………………………………6 分n n解法 2：（1）设等比数列{a } 的公比为 q ，因为 a + a = 4 ， a a = a a = 3 ，n231 42 3所以 a ， a 是方程 x 2 - 4 x + 3 = 0 的两个根．…………………………………………………………2 分23解得 ⎨ 或 ⎨ 2 ⎩ 3 ⎩ 3 1 - 3 所以 S = 1( 2n - 1)⨯ 3n -1 + 4 12⎧a = 1, ⎧a = 3,2 a = 3, a = 1.…………………………………………………………………………………4 分因为{a } 是递增的等比数列，n所以 a = 1， a = 3 ，则 q = 3 ．…………………………………………………………………………5 分2 3所以数列{a } 的通项公式为 a = 3n -2 ．………………………………………………………………6 分n n（2）由（1）知 b = n ⨯ 3n -2 ．………………………………………………………………………………7 分n则 S = 1⨯ 3-1 + 2 ⨯ 30 + 3 ⨯ 31 + L + (n - 1)⨯ 3n -3 + n ⨯ 3n -2 ，①…………………………8 分n在①式两边同时乘以 3 得，3S = 1⨯ 30 + 2 ⨯ 31 + 3 ⨯ 32 + L + (n - 1)⨯ 3n -2 + n ⨯ 3n -1 ，②…………………………9 分n①-②得 -2S = 3-1 + 30 + 31 + L + 3n -2 - n ⨯ 3n -1 ，…………………………………………………10 分n1 (1 - 3n ) 即 -2S = 3 - n ⨯ 3n -1 ，…………………………………………………………………………11 分 n n1．………………………………………………………………………12 分18．（本小题满分 12 分）科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据， 如下表：x （年龄/岁） y （脂肪量/%）2614.5 2717.83921.24125.94926.35329.65631.45833.56035.26134.6根据上表的数据得到如下的散点图．（2）若 y 关于 x 的线性回归方程为 y ˆ = 1.56 + bx ，求 b ˆ 的值（精确到 0.01），并根据回归方程估计年龄参考数据： y = 27,∑ x y = 13527.8, ∑ x 2 = 23638, ∑ y 2= 7759.6,43 ≈ 6.56, 2935 ≈ 54.18∑ ( x - x )( y - y )∑ ( x - x ) ∑ ( y - y )∑ x y - nx ⋅ y∑ x∑ y- nx 2 ⋅回归方程 y ˆ = a ˆ + bx 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 y ˆ =∑ ( x - x )( y - y )∑ ( x - x ), a ˆ = y - bx∑ x∑ x y - nx y( ) ∑ y2- n x 23638 - 10 ⨯ 472 7759.6 - 10 ⨯ 272 …………3 分2y（1）根据上表中的样本数据及其散点图： （i ）求 x ；（ii ）计算样本相关系数（精确到 0. 01），并刻画它们的相关程度．ˆ为 50 岁时人体的脂肪含量。
2019年广东省深圳高考数学二模试卷答案解析
2019年广东省深圳市高考数学二模试卷（理科）答案解析一．选择题（共12小题）1．已知集合M＝{x|x＞0}，N＝{x|x2﹣4≥0}，则M∪N＝（）A．（﹣∞，﹣2]∪（0，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C．[3，+∞）D．（0，+∞）【解答】解：∵集合M＝{x|x＞0}，N＝{x|x2﹣4≥0}＝{x|x≥2或x≤﹣2}，∴M∪N＝{x|x≤﹣2或x＞0}＝（﹣∞，﹣2]∪（0，+∞）．故选：A．2．在复平面内，复数所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：在复平面内，复数＝＝﹣﹣i所对应的点（﹣，﹣）位于第三象限．故选：C．3．2019年是中国成立70周年，也是全面建成小康社会的关键之年．为了迎祖国70周年生日，全民齐心奋力建设小康社会，某校特举办“喜迎国庆，共建小康”知识竞赛活动．如图的茎叶图是参赛两组选手答题得分情况，则下列说法正确的是（）A．甲组选手得分的平均数小于乙组选手的平均数B．甲组选手得分的中位数大于乙组选手的中位数C．甲组选手得分的中位数等于乙组选手的中位数D．甲组选手得分的方差大于乙组选手的方差【解答】解：由茎叶图可知：①＝＝84，＝＝84，即＝，故选项A错误，②甲组选手得分的中位数为83，乙组选手得分的中位数为84，即甲组选手得分的中位数小于乙组选手的中位数，即选项B错误，③由选项B可知，选项C错误，④因为S甲2＝[（75﹣84）2+（82﹣84）2+（83﹣84）2+（87﹣84）2+（93﹣84）2]＝，S乙2＝[（77﹣84）2+（83﹣84）2+（84﹣84）2+（85﹣84）2+（91﹣84）2]＝，即S甲2＞S乙2，即选项D正确，故选：D．4．已知等比数列{a n}满足，且a2a4＝4（a3﹣1），则a5＝（）A．8B．16C．32D．64【解答】解：等比数列{a n}满足，且a2a4＝4（a3﹣1），则×q××q3＝4（×q2﹣1），解得q2＝4，∴a5＝a1q4＝×42＝8，故选：A．5．已知函数是奇函数，则曲线y＝f（x）在x＝1处的切线得倾斜角为（）A．B．C．D．【解答】解：函数是奇函数，可得f（﹣x）＝﹣f（x），可得a＝0，f（x）＝x+，f′（x）＝1﹣，即有曲线y＝f（x）在x＝1处的切线斜率为k＝1﹣2＝﹣1，可得切线的倾斜角为，故选：B．6．在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，F为AE的中点，设，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：由题可知，═＝．故选：D．7．如图所示，网格上小正方形的边长为1，粗实线和粗虚线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．【解答】解：根据三视图，该几何体是由一个圆锥和一个圆柱构成，圆锥的求半径为2，高为2，圆柱的底面半径为1，高为2．所以：S＝＝．故选：A．8．十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少？”贝特朗用“随机半径”、“随机端点”、“随机中点”三个合理的求解方法，但结果都不相同．该悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严格化．已知“随机端点”的方法如下：设A为圆O上一个定点，在圆周上随机取一点B，连接AB，所得弦长AB 大于圆O的内接等边三角形边长的概率．则由“随机端点”求法所求得的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：设“弦AB的长超过圆内接正三角形边长”为事件M，以点A为一顶点，在圆中作一圆内接正三角形ACD，如所示，则要满足题意点B只能落在劣弧CD上，又圆内接正三角形ACD恰好将圆周3等分，故P（M）＝，故选：C．9．已知函数有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，0]∪{1}B．[0，1]C．（﹣∞，0]∪{2}D．[0，2]【解答】解：∵函数，∴f′（x）＝+＝，x＞0，当a≤0时，f′（x）＝＞0恒成立，f（x）是增函数，x→+∞时，f（x）→+∞，f（1）＝a﹣1＜0，函数有且仅有一个零点；当a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞a，令f′（x）＜0，解得：x＜a，故f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，故只需f（x）min＝f（a）＝lna＝0，解得：a＝1，综上：实数a的取值范围为（﹣∞，0]∪{1}．故选：A．10．设F1，F2分别为椭圆的左右焦点，点A，B分别为椭圆C的右顶点和下顶点，且点F1关于直线AB的对称点为M．若MF2⊥F1F2，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：F1、F2分别是椭圆C：的左、右焦点，点A，B分别为椭圆C的右顶点和下顶点，点F1关于直线AB：bx﹣ay＝ab的对称点M，且MF2⊥F1F2，可得MF2的方程为x＝c，MF1的方程y＝﹣，可得M（c，﹣），MF1的中点为（0，﹣），代入直线bx+ay＝ab，可得：ac＝b2＝a2﹣c2，e＝＞1，可得e2+e﹣1＝0，解得e＝．故选：C．11．已知函数在区间上恰有一个最大值点和最小值点，则实数ω的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：函数，＝2sin（ωx+）．令：，所以：f（x）＝2sin t，在区间上恰有一个最大值点和最小值点，则：函数y＝2sin t恰有一个最大值点和一个最小值点在区间[]，则：，解得：，即：．故选：B．12．如图，在四面体ABCD中，AB＝CD＝2，AC＝BD＝，E，F分别是AD，BC中点．若用一个与直线EF垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：补成长，寛，高分别为，，1的长方体（如下图）由于EF⊥α，故截面为平行四边形MNKL，可得KL+KN＝，设异面直线BC与AD所成的角为θ，则sinθ＝sin∠HFB＝sin∠LKN，算得sinθ＝，∴S四边形MNKL＝NK•KL•sin∠NKL≤（）2＝，当且仅当NK＝KL时取等号．故选：B．二．填空题（共4小题）13．设实数x，y满足则的最大值为2．【解答】解：由实数x，y满足作出可行域如图，联立，得A（2，2），由z＝，而k DA＝＝2．∴目标函数的最大值为2．故答案为：2．14．已知双曲线，且圆E：（x﹣2）2+y2＝1的圆心是双曲线C的右焦点．若圆E与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为＝1．【解答】解：根据题意得：圆E：（x﹣2）2+y2＝1的圆心F（2，0），半径为1，双曲线渐近线方程为y＝±x，即±bx﹣ay＝0，∵以点F为圆心，半径为1的圆与双曲线C的渐近线相切，且4＝a2+b2，∴圆心F到渐近线的距离d＝＝b＝1，可得a＝，所以双曲线方程为：＝1．故答案为：＝1．15．精准扶贫是全国建成小康社会、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障．某单位拟组成4男3女共7人的扶贫工作队，派驻到3个扶贫地区A、B、C进行精准扶贫工作．若每一个地区至少派驻1男1女两位工作人员，且男性甲必须派驻到A地区，则不同的派驻方式有72种．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①，只有甲一名男性工作人员派到A地区：需要在3名女性工作人员中任选1人，与甲一起派到A地区，将剩下的3名男性工作人员分成2组，与剩下的2名女性工作人员一起全排列，对应B、C两个地区，此时有C31×C32×A22×A22＝36种派驻方法；②，甲与另外一名男性工作人员一起派到A地：需要在3名男性工作人员中任选1人，在3名女性工作人员中任选1人，与甲一起派到A 地区，将剩下的2名男性工作人员与剩下的2名女性工作人员一起全排列，对应B、C 两个地区，此时有C31×C31×A22×A22＝36种派驻方法；则一共有36+36＝72种派驻方法；故答案为：72．16．设S n是数列{a n}的前n项和，且a1＝3，当n≥2时，有S n+S n﹣1﹣2S n S n﹣1＝2na n，则使得S1S2…S m≥2019成立的正整数m的最小值为1009．【解答】解：∵S n+S n﹣1﹣2S n S n﹣1＝2na n，∴S n+S n﹣1﹣2S n S n﹣1＝2n（S n﹣S n﹣1），∴2S n S n﹣1＝（2n+1）S n﹣1﹣（2n﹣1）S n，∴．令，则b n﹣b n﹣1＝2（n≥2）．∴数列{b n}是以为首项，以2为公差的等差数列．∴b n＝2n﹣1．即，得．∴S1S2…S m＝．由2m+1≥2019，解得m≥1009．即正整数m的最小值为1009．故答案为：1009．三．解答题（共7小题）17．已知△ABC中，AB＝BC，AC＝2，点D在边AC上，且AD＝2CD，∠ABD＝2∠CBD．（1）求∠ABC的大小；（2）求△ABC的面积．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵AD＝2CD，设∠ABD＝2∠CBD＝2θ．∴＝＝，∵S△BDC＝，，AB＝BC，∴解得：cosθ＝，可得：，∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝3θ＝…8分（2）在△ABC中，由余弦定理，可得：AC2＝AB2+AC2﹣2AB•BC•cos3θ，因为AC＝2，AB＝BC，可得（2）2＝（BC）2+BC2﹣2BC•BC•cos，解得BC＝2，…10分可得S△ABC＝AB•BC•sin3θ＝＝2…12分18．在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别为边AB、AD的中点，以CE，CF为折痕将△DFC和△BCE折起，使点B、D重合于点P，连结P A，得到如图所示的四棱锥P﹣AEF．（1）求证：EF⊥PC；（2）求直线P A与平面PEC所成角的正弦值．【解答】解：（1）连接AC，BD，EF，设EF∩AC＝O，连接OP．∵PC⊥PE，PC⊥PF，PE∩PF＝P，∴PC⊥平面PEF，∴PC⊥EF．∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵E，F分别是AB，AD的中点，∴EF∥BD，∴EF⊥AC，又PC∩AC＝C，∴EF⊥平面P AC，又PC⊂平面P AC，∴EF⊥PC．（2）由（1）可知EF⊥平面P AC，PC⊥平面PEF．∵OC＝AC＝3，PC＝4，∴PO＝＝，∴sin∠PCA＝＝，cos∠PCA＝，∴S△P AC＝×＝．P A＝＝，又OE＝EF＝，∴V E﹣P AC＝×＝，又S△PCE＝×2×4＝4，设A到平面PCE的距离为h，则V A﹣PCE＝×4×h＝，解得h＝．∴直线P A与平面PEC所成角的正弦值为＝．19．某网店销售某种商品，为了解该商品的月销量y（单位：千件）与月售价x（单位：元/件）之间的关系，对近几年的月销售量y i和月销售价x i（i＝1，2，3，﹣..10）数据进行了统计分析，得到了下面的散点图（1）根据散点图判断，y＝c+dlnx与y＝bx+a哪一个更适宜作为月销量y关于月销售价x 的回归方程类型？（给出判断即可，不需说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（2）利用（1）中的结果回答问题：已知该商品的月销售额为Z （单位：千元），当月销售量为何值时，商品的月销售额预报值最大？（月销售额＝月销售量x 当月售价） 参考公式、参考数据及说明：①对一组数据（v 1，w 1），（v 2，w 2），…（v n ，w n ），其回归直线w ＝α+βv 的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝．②参考数据：（x i）2（u i）2（x i ）（y i）（u i ）（y i）6.50 6.60 1.75 82.50 2.70 ﹣143.25 ﹣27.54表中u i ＝lnx i ，＝u i ．③计算时，所有的小数都精确到0.01，如ln 4.06≈1.40．【解答】解：（1）y ＝c +dlnx 更适合销量y 关于月销售价格x 的回归方程类型， 令u ＝lnx ，先建立y 关于u 的线性回归方程，＝＝﹣10.20，＝6.6+10.20×1.75＝24.45，∴y关于u的线性回归方程为，因此y关于x的回归方程为．（2）由题意得z＝xy＝x（24.45﹣10.20lnx），则z′＝[x（24.45﹣10.20lnx）]′＝14.25﹣10.20lnx，令z′＝0得14.25﹣10.20lnx＝0，得lnx≈1.40，得x≈4.06，当x∈（0，4.06）时，z′＞0，此时z单调递增，当x∈（4.06，+∞）时，z单调递减，故当x＝4.06时，z取得最大值，即月销售量y＝10.17（千件）时，月销售额预报值最大．20．已知抛物线C：x2＝4y，过点（2，3）的直线l交C于A、B两点，抛物线C在点A、B 处的切线交于点P．（l）当点A的横坐标为4时，求点P的坐标；（2）若Q是抛物线C上的动点，当|PQ|取最小值时，求点Q的坐标及直线l的方程．【解答】解：（1）∵点A的横坐标为4，∴A（4，4），易知此时直线l的方程为y＝x+2，联立，解得，或，∴B（﹣2，1）．由y＝得y′＝，所以k P A＝2，直线P A的方程为y＝2x﹣4，同理可得直线PB的方程为y＝﹣x﹣1，联立；，可得，故点P的坐标为（1，﹣2）．（2）设A（x1，），B（x2，），由y＝得y′＝，所以k P A＝，所以直线P A的方程为y﹣＝（x﹣x1），即y＝x﹣，同理PB的方程为y＝x﹣，联立解得P（，），依题意直线l的斜率存在，不妨设直线l的方程为y﹣3＝k（x﹣2），由得x2﹣4kx+8k﹣12＝0，易知△＞0，因此x1+x2＝4k，x1x2＝8k﹣12，∴P（2k，2k﹣3），∴点P在直线x﹣y﹣3＝0上，当|PQ|取得最小值时，即抛物线C：x2＝4y上的点Q到直线x﹣y﹣3＝0的距离最小．设Q（x0，），Q到直线x﹣y﹣3＝0的距离d＝＝＝+，所以当x0＝2时，d取最小值，此时Q（2，1），易知过点Q且垂直于x﹣y﹣3＝0的直线方程为y＝﹣x+3，由解得P（3，0），k＝，所以直线l的方程为y＝x，综上，点Q的坐标为（2，1），直线l的方程为y＝x．21．已知函数f（x）＝e x﹣ae﹣x﹣（a+1）x（a∈R）．（其中常数e＝2.71828…，是自然对数的底数）．（1）求函数f（x）极值点；（2）若对于任意0＜a＜1，关于x的不等式[f（x）]2＜λ（e a﹣1﹣a）在区间（a﹣1，+∞）上存在实数解，求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝e x﹣ae﹣x﹣（a+1）x（a∈R）．∴f′（x）＝e x+ae﹣x﹣（a+1）＝，①当a≤0时，x（﹣∞，0）0（0，+∞）f′（x）﹣0+f（x）↓极小值↑∴函数f（x）的极小值点为x＝0，无极大值点．②当0＜a＜1时，x（﹣∞，lna）lna（lna，0）0（0，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）↑极大值↓极小值↑∴函数f（x）的极大值点为x＝lna，极小值点为x＝0．③当a＝1时，≥0，∴函数f（x）单调递增，即f（x）无极值点．④当a＞1时，x（﹣∞，0）0（0，lna）lna（lna，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）↑极大值↓极小值↑∴函数f（x）的极大值点为x＝0，极小值点为x＝lna．综上：当a≤0时，函数f（x）的极小值点为x＝0，无极大值点．当0＜a＜1时，函数f（x）的极大值点为x＝lna，极小值点为x＝0．当a＝1时，函数f（x）无极值点．当a＞1时，函数f（x）的极大值点为x＝0，极小值点为x＝lna．（2）e x≥1+x，当且仅当x＝0时取等号，∵当0＜a＜1时，lna＜a﹣1＜0，∴当0＜a＜1时，e a﹣1＞1+a﹣1＝a，∴lna＜a﹣1＜0，令g（a）＝lna﹣a+1，则，当0＜a＜1时，g′（a）＞0，∴g（a）＜g（1）＝0，即a﹣1＞lna，∵a﹣1＜0，∴lna＜a﹣1＜0，∴由（1）知0＜a＜1时，f（x）在区间（a﹣1，0）上递减，在（0，+∞）上递增，∴f（x）在区间（a﹣1，+∞）上的最小值为f（0）＝1﹣a，∵关于x的不等式[f（x）]2＜λ（e a﹣1﹣a）在区间（a﹣1，+∞）上存在实数解，∴只需当0＜a＜1时，关于a的不等式（1﹣a）2＜λ（e a﹣1﹣a）恒成立，∴当0＜a＜1时，e a﹣1﹣a＞0，∴只需当0＜a＜1时，不等式恒成立即可，令函数F（x）＝，0≤x＜1，则F′（x）＝，∵0≤x＜1，∴F′（x）＝，令函数μ（x）＝（3﹣x）e x﹣1在点T（1，2）处的切线方程为y﹣2＝x﹣1，即y＝x+1，如图所示，由题意得（3﹣x）e x﹣1≥x+1，当且仅当x＝1时，取等号，∴当0＜x＜1时，G（x）＞0，∴当0＜x＜1时，F′（x）＜0，∴F（x）＜F（0）＝e，即F（x）＜e，∴当0＜a＜1时，不等式恒成立，只需λ≥e．综上，实数λ的取值范围是[e，+∞）．22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为为参数）．圆C2的方程为（x﹣2）2+y2＝4，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ＝θ0（ρ≥0）．（l）求曲线C1和圆C2的极坐标方程：（2）当时，射线l与曲线C1和圆C2分别交于异于点O的M、N两点，若|ON|＝2|OM|，求△MC2N的面积．【解答】解：（1）由，得C1的普通方程为+y2＝1，把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，得+（ρsinθ）2＝1，即ρ2＝＝，所以C1的极坐标方程为ρ2＝，由（x﹣2）2+y2＝4，把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，得ρ＝4cosθ，所以C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（2）把θ＝θ0代入ρ2＝，得ρM2＝，把θ＝θ0代入ρ＝4cosθ，得ρN＝4cosθ0，则|ON|＝2|OM|，得ρN＝2ρM，则＝4，即（4cosθ0）2＝，解得sin2θ0＝，cos2θ0＝，又0＜θ0＜，所以ρM＝＝，ρN＝4cosθ0＝，所以△MC2N的面积S＝S﹣S＝|OC2|（ρN﹣ρM）sinθ0＝××＝．23．已知函数．（Ⅰ）当m＝2时，求不等式f（x）＞3的解集；（Ⅱ）证明：．【解答】解：（Ⅰ）当m＝2时，f（x）＝|x﹣2|+|x+|；①当x≤﹣时，原不等式等价于（2﹣x）﹣（x+）＞3，解得x；②当﹣时，原不等式等价于＞3，不等式无解；③当x≥2时，原不等式等价于（x﹣2）+（x+）＞3，解得x＞，综上，不等式f（x）＞3的解集为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．（Ⅱ）证明：由题f（x）＝|x﹣m|+|x+|，∵m＞0，∴|m+|＝m+，所以f（x）≥m+，当且仅当x∈[﹣，m]时等号成立，∴f（x）+≥m++＝m+＝（m﹣1）++1，∵m＞1，m﹣1＞0，∴（m﹣1）++1≥2+1＝3，∴f（x）+≥3．当m＝2，且x∈[﹣，2]时等号成立．。
【市级联考】广东省广州市2019届高三第二次模拟考试数学(理)试题(解析版)
2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）理科数学一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.）A. B. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的几何意义建立不等式关系即可.若复数在复平面内对应的点在第三象限，所以的取值范围是故选B.【点睛】该题考查的是有关复数在复平面内对应的点的问题，属于简单题目.2.）A. 或【答案】D【解析】【分析】先解分式不等式求集合A，再由补集的定义直接求解即可．【详解】解：由，则R故选：D．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．3.的样本，若样本中8辆，则 ）A. 96B. 72C. 48D. 36【答案】B 【解析】 【分析】根据分层比例列式求解.B.【点睛】本题考查分层抽样，考查基本分析求解能力，属基础题.4.）A. 21B. 22C. 23D. 24【答案】B 【解析】试题分析：运行第一次，，，；运行第二次，，，，，停止运行，所以输出的B ．考点：程序框图．5. ）A.B.D.【答案】D 【解析】 【分析】根据对称列式求解.D.【点睛】本题考查关于直线对称点问题，考查基本分析求解能力，属基础题.6.从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动.设所选3人中女）A. B. 1 D. 2【答案】B【解析】【分析】先列随机变量，再分别求解对应概率，最后根据数学期望公式求结果.，所以,选B.【点睛】本题考查数学期望，考查基本分析求解能力，属基础题.7.）A. B. D.【答案】D【解析】【分析】再根据二倍角正切公式得结果.【详解】因，且，因为，从而 D.【点睛】本题考查同角三角函数关系以及二倍角正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.8.的左焦点，则双曲线的离心率为（）A. B. D.【答案】A【解析】【分析】再根据切线得OE.，所以PF,PF,A.【点睛】本题考查双曲线定义以及离心率，考查基本分析求解能力，属中档题.9.，且点）A. B. D.【答案】C【解析】【分析】设A（s，t），求得函数y的导数可得切线的斜率，解方程可得切点A，代入直线方程，再由基本不等式可得所求最小值．【详解】解：设A（s，t），y＝x3﹣2x2+2的导数为y′＝3x2﹣4x，可得切线的斜率为3s2﹣4s，切线方程为y＝4x﹣6，可得3s2﹣4s＝4，t＝4s﹣6，解得s＝2，t＝2或由点A在直线mx+ny﹣l＝0（其中m＞0，n＞0），可得2m+2n＝1成立，（s，2m+2n））＝2（32（当且仅当n时，取得最小值6+4，故选：C．【点睛】本题考查导数的运用：求切线斜率，以及基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．10.的图像的一条对称轴为（）A. B. D.【答案】C【解析】【分析】.,选C.【点睛】本题考查由图象求函数解析式、三角函数图象变换以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.11.已知点在直线上，的中点为）A.B.D.【答案】B 【解析】【分析】.M 在直线AB,,因此的取值范围为选B.【点睛】本题考查线性规划求范围，考查基本分析求解能力，属中档题.12.的）A. B. D.【答案】D【解析】【分析】先设切点B.【详解】A为圆心，B,则在B点处切线的斜率为，选D.【点睛】本题考查利用导数求函数最值，考查综合分析求解能力，属难题.二、填空题.13.是夹角为.【答案】【解析】【分析】，；．故答案为：【点睛】考查单位向量的概念，向量的数量积运算及计算公式，向量长度的求法．14.80________.【答案】2【解析】解：（ax-1）5的展开式中x3的系数C53（ax）3•（-1）2=10a3x3=80x3，则实数a的值是2，15.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有己知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得，，，的对边为.1，成等差数列，则________.【解析】【分析】再根据余弦定理化简得1成等差数列，所以的最大值为.【点睛】本题考查正余弦定理以及二次函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.16.________.【解析】【分析】.正四面体外接球恰为圆锥内切球，所以【点睛】本题考查圆锥内切球以及正四面体外接球，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.17.，（1）求数列（2，求数列【答案】 (2)【解析】【分析】（1）解法1：运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，即可得到所求通项公式；解法2：运用等比数列的性质建立方程.（2,利用错位相减求和.【详解】解法1：（1的公比为，是递增的等比数列，所以数列解法2：（1，是递增的等比数列，（2）由（1①-所以【点睛】本题考查等比数列的通项公式的运用，考查数列的错位相减求和，以及化简整理的运算能力，属于基础题．18.科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表： （年龄（脂肪根据上表的数据得到如下的散点图.（1）根据上表中的样本数据及其散点图： （i（i ）计算样本相关系数（精确到0.01），并刻画它们的相关程度. （20.01），并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量.【答案】(1) （ⅰ）47 （ⅱ）见解析；%．【解析】【分析】（1）（i）根据上表中的样本数据，利用平均数的公式求得结果；（ii 以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强．（2结果.【详解】（1）根据上表中的样本数据及其散点图：．因为，（2．的线性回归方程为．【点睛】该题考查的是有关回归分析的问题，涉及到的知识点有平均值的计算，根据相关系数r的大小判断相关性，回归直线的性质，属于简单题目.19.（1（2.【答案】（1）见解析；（2【解析】【分析】（1）先根据计算得线线线线垂直，再根据线面垂直判定定理以及面面垂直判定定理得结论，（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角.【详解】（1为中，中，，，，所以平面（2由（1设平面的法向量为设二面角为，由于的余弦值为．【点睛】本题考查线面垂直判定定理、面面垂直判定定理以及利用空间向量求二面角，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.20.（1（2并说明理由.【答案】（1；（2）相离.【解析】【分析】（1）根据直接法求轨迹方程，（2离与半径大小进行判断.【详解】（1，整理得所以动点的轨迹的方程（2的直线为轴时，显然不合题意．因为，．的中点坐标为．到直线的距离为．与以线段为直径的圆相离．【点睛】本题考查直接法求轨迹方程以及直线与圆位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题.21.（1）讨论函数的单调性；（2【答案】(1)见解析；(2)见证明【解析】【分析】（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x x＞0，利用分类讨论思想，结合导数性质能讨论函数f（x）的单调性．（2）先求k f（﹣2k）＝ln（﹣2k．然后证明x1+x2≥）（1+t）2＜﹣8lnt，即证8lnt+（1+t）2＜0，（t＞0）．设h（t）＝8lnt+（1+t）2，t＞1．则h（t）＝8t＞1．由此能证明x1+x2＞【详解】（1，函数．时，，，时，函数时，函数（2方法1:由（1要使函数有两个零点，首先，，则因为，所以在上单调递增，的取值范围是．方法2:，则，且：方法1:，即，即证．，所以即证，．所以．在上单调递减，．方法2:，即，需证．，所以即证所以在上单调递减，．方法3:因为，是函数，需证．只需证．，所以，所以．方法4:因为，是函数，即证明，则．所以在上单调递增，所以．，．方法5:，所以在上单调递减．在上恒成立．【点睛】本题考查函数单调性的讨论，考查不等式的性质，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题．22.（.在以坐标原点为极点，.（1（2.【答案】（1；（2【解析】【分析】（1的普通方程，根据2）利用直线参数方程几何意义求解.【详解】（1，．因为（2）解法1的直角坐标方程为，可设该方程的两个根为整理得，因为，所以综上所述，直线的倾斜角为解法2，两点，且的，整理得．综上所述，直线【点睛】本题考查参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程以及直线参数方程应用，考查综合分析求解能力，属中档题.23.[选修4-5：不等式选讲](1)时，解不等式(2)若存在实数x a的取值范围.【答案】（1；（2【解析】【分析】（1）根据绝对值定义转化为两个不等式组，解可得，（2）根据绝对值定义转化为分段函数，根据函数最值可得结果.【详解】（1综上可知，不等式的解集为（2．．所以实数的取值范围为．【点睛】本题考查含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基本题.。
2019年广东省广州市高考数学二模试卷及参考答案(理科)
形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减
上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式就是 S＝
பைடு நூலகம்
，其中 a，b，c 是△ABC 的内角 A，B，C 的对边．若 sinC
＝2sinAcosB，且 b2，1，c2 成等差数列，则△ABC 面积 S 的最大值为
x（年龄 26 27 39 41 49 53 56 58 60 61 /岁）
y（脂肪 14.5 17.8 21.2 25.9 26.3 29.6 31.4 33.5 35.2 34.6 含量
/%）
根据上表的数据得到如下的散点图．
第 3 页（共 28 页）
（1）根据上表中的样本数据及其散点图： （i）求 ； （ii）计算样本相关系数（精确到 0.01），并刻画它们的相关程度．
C．（
）
D．（﹣∞， ）∪（1，+∞）
2．（5 分）己知集合 A＝{x|1﹣ ＜0}，则∁RA＝（ ）
A．{x|x＜2 或 x≥6} B．{x|x≤2 或 x≥6} C．{x|x＜2 或 x≥10} D．{x|x≤2 或 x≥10}
3．（5 分）某公司生产 A，B，C 三种不同型号的轿车，产量之比依次为 2：3：4，为检验该
（2）若 y 关于 x 的线性回归方程为 方程估计年龄为 50 岁时人体的脂肪含量． 附：
，求 的值（精确到 0.01），并根据回归
参考数据： ＝27，
，
，
＝7759.6，
，
参考公式：相关系数 r＝
＝
回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ＝
，
19．（12 分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，∠BAD＝60°，∠APD＝
2019年广东省广州市高考数学二模(理科)试题及参考答案
侧视图正视图试卷类型：A2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）2018.4本试卷共4页，21小题， 满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式：锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为A ．2-B ．2C ．2-iD ．2i 2．若函数()y f x =是函数3x y =的反函数，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为 A ．2log 3- B ．3log 2- C ．19D3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x > C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤ D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤ 4. 将函数()2cos 2(f x x x x =+∈R )的图象向左平移6π个单位长度后得到函数 ()y g x =，则函数()y g x =A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3， 将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是A ．16B ．13C ．12D ．386．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为 A ．16 B ．13C．6 D．37．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为D CB AA ．6π4+B ．12π4+C ．6π12+D ．12π12+ 8．将正偶数2,4,6,8,按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253表二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式2210x x --<的解集为 .10．已知312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值为 .11．已知四边形ABCD 是边长为a 的正方形，若2,2DE EC CF FB ==，则AE AF ⋅的值为 .12．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 .13．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]1.52,1.51-=-=.设函数()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦， 当[)0,(x n n ∈∈N *)时，函数()f x 的值域为集合A ，则A 中的元素个数为 . （二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t=-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且12AE EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则△AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）如图2，在△ABC 中，D 是边AC 的中点， 且1AB AD ==，3BD =. (1) 求cos A 的值； （2）求sin C 的值.图217．（本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样 本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3. （1）求a 的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；FE D CBA a 图3重量/克0.0320.02452515O （注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,,i n =，则样本数据的平均值为112233n n X x p x p x p x p =++++. （3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在(]5,15内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.18．（本小题满分14分） 如图4，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2 1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =（1）求证：AB ⊥平面BCF ； （2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值.图4 19．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a =，对任意n ∈N *，都有()11n n na S n n +=++. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本小题满分14分）已知定点()0,1F 和直线:1l y =-，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E . (1) 求曲线E 的方程;(2) 若点A 的坐标为()2,1, 直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与曲线E 相交于,B C 两 点，直线,AB AC 分别交直线l 于点,S T . 试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点? 若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由. 21．（本小题满分14分）已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=. （1）求,a b 的值；（2）当1x >时，()0kf x x+<恒成立，求实数k 的取值范围； （3）证明：当n ∈N *，且2n ≥时，22111322ln 23ln 3ln 22n n n n n n--+++>+. 2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二） 数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭10．8 11．2a 12．4 13．222n n -+141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） （1）解：在△ABD 中，1AB AD ==，BD =∴222cos 2AB AD BD A AB AD+-=⋅⋅2221112113+-⎝⎭==⨯⨯. ……………4分 （2）解：由（1）知，1cos 3A =，且0A <<π，∴sin 3A==. ……………6分∵D 是边AC的中点，∴22AC AD ==.在△ABC 中，222222121cos 22123AB AC BC BC A AB AC +-+-===⋅⋅⨯⨯，………8分 解得BC =……………10分由正弦定理得，sin sin BC ABA C=， ……………11分 ∴1sin sin 33AB A C BC ⋅===……………12分 17．（本小题满分12分）(1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101x +++⨯=， ……………1分 解得0.03x =. ……………2分 （2）解：50个样本小球重量的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）. ……………3分 由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. ……………4分（3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭.……………5分 ξ的取值为0,1,2,3， ……………6分()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，M O H F E D C B A ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……………10分 ∴ξ的分布列为：……………11分∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分 （或者13355E ξ=⨯=）18．（本小题满分14分）（1）证明：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB ，即EF ∥MB . ……………1分 ∵EF =MB 1=∴四边形EMBF 是平行四边形. ……………2分 ∴EM ∥FB ，EM FB =.在Rt△BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB = ∴EM =……………3分在△AME 中，AE =1AM =，EM =∴2223AM EM AE +==，∴AM EM ⊥. ……………4分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………5分 ∵FB BC B =，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………6分 （2）证法1：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点， 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==. 由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，且1EO FH == .……………7分由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ，∴FH AB ⊥. ……………8分 ∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD . ……………9分 ∴EO ⊥平面ABCD . ∵AO ⊂平面ABCD ，∴EO ⊥AO . ……………10分 ∵AO BD ⊥，,EO BD O EO =⊂平面EBD ，BD ⊂平面EBD ，∴AO ⊥平面EBD . ……………11分 ∴AEO ∠是直线AE 与平面BDE 所成的角. ……………12分在Rt △AOE中，tan AOAEO EO∠==……………13分 ∴直线AE 与平面BDE……………14分 证法2：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==.由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形. ∴EO ∥FH ，且1EO FH == 由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ， ∴FH AB ⊥.∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴FH ⊥平面ABCD .∴EO ⊥平面ABCD . ……………8分 以H 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，OH 所在直线为y 轴，HF 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系H xyz -，则()1,2,0A -，()1,0,0B ，()1,2,0D --，()0,1,1E -.∴()1,1,1AE =-，()2,2,0BD =--，()1,1,1BE =--. ……………9分 设平面BDE 的法向量为=n (),,x y z ，由n 0BD ⋅=，n 0BE ⋅=， 得220x y --=，0x y z --+=，得0,z x y ==-.令1x =，则平面BDE 的一个法向量为=n ()1,1,0-. ……………10分 设直线AE 与平面BDE 所成角为θ， 则sin θ=cos ,n AE⋅=n AE n AE3=. ……………11分∴cos θ==，sin tan cos θθθ==……………13分 ∴直线AE 与平面BDE ……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当2n ≥时，()11n n na S n n +=++，()()111n n n a S n n --=+-，……1分 两式相减得()()()11111n n n n na n a S S n n n n +---=-++--， ……………3分 即()112n n n na n a a n +--=+，得12n n a a +-=. ……………5分 当1n =时，21112a S ⨯=+⨯，即212a a -=. ……………6分 ∴数列{}n a 是以10a =为首项，公差为2的等差数列.∴()2122n a n n =-=-. ……………7分 解法2：由()11n n na S n n +=++，得()()11n n n n S S S n n +-=++， ……………1分 整理得，()()111n n nS n S n n +=+++， ……………2分 两边同除以()1n n +得，111n nS S n n+-=+. ……………3分 ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以101S =为首项，公差为1的等差数列.∴011nS n n n=+-=-. ∴()1n S n n =-. ……………4分当2n ≥时，()()()111222n n n a S S n n n n n -=-=----=-. ……………5分 又10a =适合上式， ……………6分 ∴数列{}n a 的通项公式为22n a n =-. ……………7分 （2）解法1：∵22log log n n a n b +=，∴221224n an n n b n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅，①()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅，② ……………11分 ①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅14414n nn -=-⋅-()13413n n -⋅-=. ……………13分∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 解法2：∵22log log n n a n b +=，∴221224n an n n b n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅.由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠-， ……………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx -++++=()()12111n n nx n x x +-++-. ………12分 令4x =，得()()0122114243414431419n n n n n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦. ……………13分 ∴ ()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：由题意, 点M 到点F 的距离等于它到直线l 的距离,故点M 的轨迹是以点F 为焦点, l 为准线的抛物线. ……………1分 ∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分解法2：设点M 的坐标为(),x y ,依题意, 得1MF y =+,1y =+, ……………1分化简得24x y =.∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分 (2) 解法1: 设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意得，2211224,4x y x y ==.由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=， 解得1,22x k ==±.∴12124,4x x k x x +==-. ……………3分直线AB 的斜率2111111124224AB x y x k x x --+===--， 故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………4分令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分 同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………6分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………7分∴2ST =()()()2221212122221614k x x x x x x k k k +-+-==. ……………8分 设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=- ⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………9分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. ……………10分展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………11分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 解法2：由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. …………3分 由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=，即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ……………4分∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+.∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………5分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-，则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………6分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………7分 又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，化简得122kk k =. ……………8分 设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………9分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………10分 整理得，()224410x x y k+-++=. ……………11分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 21．（本小题满分14分）（1）解：∵()ln f x a x bx =+， ∴()af x b x'=+. ∵直线220x y --=的斜率为12，且过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ……………1分∴()()11,211,2f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩即1,21,2b a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,2a b ==-. ……………3分（2）解法1：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x k x x -+<，等价于2ln 2x k x x <-. ……………4分令()2ln 2x g x x x =-，则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--. ……………5分 令()1ln h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=.当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=.……………6分 从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()1,+∞上单调递增，故()()112g x g >=. ……………7分 因此，当1x >时，2ln 2x k x x <-恒成立，则12k ≤. ……………8分∴所求k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分解法2：由（1）得()ln 2x f x x =-. 当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x -+<恒成立. ……………4分 令()ln 2x k g x x x =-+，则()222112222k x x kg x x x x -+'=--=-.方程2220x x k -+=（﹡）的判别式48k ∆=-.（ⅰ）当0∆<，即12k >时，则1x >时，2220x x k -+>，得()0g x '<，故函数()g x 在()1,+∞上单调递减.由于()()110,2ln 21022kg k g =-+>=-+>， 则当()1,2x ∈时，()0g x >，即ln 02x kx x-+>，与题设矛盾. …………5分（ⅱ）当0∆=，即12k =时，则1x >时，()()2222121022x x x g x x x --+'=-=-<. 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减，则()()10g x g <=，符合题意. ………6分 (ⅲ) 当0∆>，即12k <时，方程（﹡）的两根为1211,11x x =<=>， 则()21,x x ∈时，()0g x '>，()2,x x ∈+∞时，()0g x '<.故函数()g x 在()21,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减， 从而，函数()g x 在()1,+∞上的最大值为()2222ln 2x kg x x x =-+. ………7分 而()2222ln 2x k g x x x =-+2221ln 22x x x <-+， 由（ⅱ）知，当1x >时，1ln 022x x x-+<， 得2221ln 022x x x -+<，从而()20g x <.故当1x >时，()()20g x g x ≤<，符合题意. ……………8分 综上所述，k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分（3）证明：由（2）得，当1x >时，1ln 022x x x -+<，可化为21ln 2x x x -<， …10分又ln 0x x >，从而，21211ln 111x x x x x >=---+. ……………11分 把2,3,4,,x n =分别代入上面不等式，并相加得， 11111111111112ln 23ln 3ln 32435211n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………12分 111121n n =+--+ ……………13分11 / 11 223222n n n n--=+. ……………14分。
2019年广东省广州市天河区高考数学二模试卷(理科)含答案
2019年广东省广州市天河区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．（5分）已知全集U ＝R ，M ＝{x|x ＜﹣1}，N ＝{x|x （x+2）＜0}，则图中阴影部分表示的集合是（）A ．{x|﹣1≤x ＜0}B ．{x|﹣1＜x ＜0}C ．{x|﹣2＜x ＜﹣1}D ．{x|x ＜﹣1}2．（5分）若复数z ＝m （m ﹣1）+（m ﹣1）i 是纯虚数，其中m 是实数，则（）A ．iB ．﹣iC ．2iD ．﹣2i3．（5分）设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S3＝9，S 6＝36，则a 7+a 8+a 9＝（）A ．144B ．81C ．45D ．634．（5分）设函数f （x ）＝cos （x ），则下列结论错误的是（）A ．f （x ）的一个周期为2πB ．y ＝f （x ）的图象关于直线x 对称C ．f （x）的一个零点为πD ．f （x ）在（，π）上单调递减5．（5分）下列说法中，正确的是（）A ．命题“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题是真命题B ．命题“?x 0＞0，x 02﹣x 0＞0”的否定是：“?x ＞0，x 2﹣x ≤0”C ．命题p ∨q 为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题D ．已知x ∈R ，则“x ＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件6．（5分）若函数f （x ）、g （x ）分别是定义在R 上的偶函数、奇函数，且满足2f （x ）﹣g （x ）＝e x，则（）A ．f （﹣2）＜f （﹣3）＜g （﹣1）B ．g （﹣1）＜f （﹣3）＜f （﹣2）C ．f （﹣2）＜g （﹣1）＜f （﹣3）D ．g （﹣1）＜f （﹣2）＜f （﹣3）7．（5分）在△ABC 中，||||，||＝||＝3，则（）A ．3B ．﹣3C ．D ．8．（5分）安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有（）A ．360种B ．300种C ．150种D ．125种9．（5分）如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD 为矩形，E ，F 分别为P A ，PD 的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：①直线BE 与直线CF 异面；②直线BE 与直线AF 异面；③直线EF ∥平面PBC ；④平面BCE ⊥平面PAD ．其中正确的结论个数为（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个10．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A ＝3B ，则的取值范围是（）A ．（0，3）B ．（1，3）C ．（0，1]D ．（1，2]11．（5分）已知双曲线C ：（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，过点F 1的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若0，且∠F 1AF 2＝150°，则e 2＝（）A ．7﹣2B ．7C ．7D ．712．（5分）已知函数f （x ）满足f （x ）＝f ′（1）ex ﹣1﹣f （0）xx 2，则f （x ）的单调递增区间为（）A ．（﹣∞，0）B ．（﹣∞，1）C ．（1，+∞）D ．（0，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）13．（5分）某城市为了了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论正确是（填序号）．①月接待游客量逐月增加；②年接待游客量逐年增加；③各年的月接待游客量髙峰期大致在7，8月份；④各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳．14．（5分）已知抛物线C：y 2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，M是抛物线C上的点，且MF⊥x轴．若以AF为直径的圆截直线AM所得的弦长为2，则p＝．15．（5分）已知三棱锥D﹣ABC的体积为2，△ABC是等腰直角三角形，其斜边AC＝2，且三棱锥D﹣ABC的外接球的球心O恰好是AD的中点，则球O的体积为．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为△ABC外接圆的圆心，若a，且c+2cosC＝2b，m n，则m+n的最大值为．三、解答题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题，共60分．17．（12分）已知S n为数列{a n}的前n项和，且a1＜2，a n＞0，6S n＝a n2+3a n+2，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若对?n∈N*，b n＝（﹣1）n a n2，求数列{b n}的前2n项的和T2n．18．（12分）如图，已知等边△ABC中，E，F分别为AB，AC边的中点，M为EF的中点，N为BC边上一点，且CN BC，将△AEF沿EF折到△A′EF的位置，使平面A′EF⊥平面EFCB．（1）求证：平面A′MN⊥平面A′BF；（2）求二面角E﹣A′F﹣B的余弦值．19．（12分）已知抛物线y 2＝4x的焦点F与椭圆C：1（a＞b＞0）的一个焦点重合，且点F关于直线y＝x的对称点在椭圆上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点Q（0，）且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M点的坐标，若不存在，说明理由．20．（12分）随着网络信息化的高速发展，越来越多的大中小企业选择做网络推广，为了适应时代的发展，某企业引进一种通讯系统，该系统根据部件组成不同，分为系统A和系统B，其中系统A由5个部件组成，系统B由3个部件组成，每个部件独立工作且能正常运行的概率均为p （0＜p＜1），如果构成系统的部件中至少有一半以上能正常运行，则称系统是“有效”的．（1）若系统A与系统B一样有效（总体有效概率相等），试求p的值；（2）若p对于不能正常运行的部件，称为坏部件，在某一次检测中，企业对所有坏部件都要进行维修，系统A中每个坏部件的维修费用均为100元，系统B中第n个坏部件的维修费用y （单位：元）满足关系y＝50n+150（n＝1，2，3），记企业支付该通讯系统维修费用为X，求EX．21．（12分）已知函数f（x）＝axlnx﹣bx（a，b∈R）在点（e，f（e））处的切线方程为y＝3x﹣e．（1）求a，b的值及函数f（x）的极值；（2）若m∈Z．且f（x）﹣m（x﹣1）＞0对任意的x＞1恒成立，求m的最大值．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（）t（t∈R）．（1）求曲线C1的普通方程及曲线C2的直角坐标方程；（2）若π≤α≤2π，当曲线C1与曲线C2有两个公共点时，求t的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x|+|2x+3|+m（m∈R）．（1）当m＝﹣2时，求不等式f（x）≤3的解集；（2）若?x∈（﹣∞，0），都有f（x）≥x恒成立，求m的取值范围．2019年广东省广州市天河区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．（5分）已知全集U＝R，M＝{x|x＜﹣1}，N＝{x|x（x+2）＜0}，则图中阴影部分表示的集合是（）A．{x|﹣1≤x＜0}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|﹣2＜x＜﹣1}D．{x|x＜﹣1}【解答】解：图中阴影部分为N∩（?U M），∵M＝{x|x＜﹣1}，∴?U M＝{x|x≥﹣1}，又N＝{x|x（x+2）＜0}＝{x|﹣2＜x＜0}，∴N∩（?U M）＝{x|﹣1≤x＜0}，故选：A．2．（5分）若复数z＝m（m﹣1）+（m﹣1）i是纯虚数，其中m是实数，则（）A．i B．﹣i C．2i D．﹣2i【解答】解：复数z＝m（m﹣1）+（m﹣1）i是纯虚数，故m（m﹣1）＝0且（m﹣1）≠0，解得m＝0，故z＝﹣i，故i．故选：A．3．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S6＝36，则a7+a8+a9＝（）A．144B．81C．45D．63【解答】解：由等比数列的性质可得S3，S6﹣S3，S9﹣S6，…成等比数列，并设其公比为q，又由题意可得S3＝9，S6﹣S3＝36﹣9＝27，∴q3，∴a7+a8+a9＝S9﹣S6＝27×3＝81．故选：B．4．（5分）设函数f（x）＝cos（x），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为2πB ．y ＝f （x ）的图象关于直线x对称C ．f （x）的一个零点为πD ．f （x ）在（，π）上单调递减【解答】解：由函数f （x ）＝cos （x ），知：在A 中，由余弦函数的周期性得f （x ）的一个周期为2π，故A 正确；在B 中，函数f （x ）＝cos （x ）的对称轴满足条件xk π，即x ＝k，k ∈Z ，∴y ＝f （x ）的图象关于直线x对称，故B 正确；在C 中，f （x ）＝cos （x）＝﹣sinx ，﹣sin π＝0，∴f （x）的一个零点为π，故C 正确；在D 中，函数f （x ）＝cos （x ）在（，π）上单调先减后增，故D 错误．故选：D ．5．（5分）下列说法中，正确的是（）A ．命题“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题是真命题B ．命题“?x 0＞0，x 02﹣x 0＞0”的否定是：“?x ＞0，x 2﹣x ≤0”C ．命题p ∨q 为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题D ．已知x ∈R ，则“x ＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件【解答】A “若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题是“若a ＜b ，则am 2＜bm 2”，m ＝0时不正确；B 中“?x ∈R ，x 2﹣x ＞0”为特称命题，否定时为全称命题，结论正确；C 命题“p ∨q ”为真命题指命题“p ”或命题“q ”为真命题，只要有一个为真即可，错误；D 应为必要不充分条件．故选：B ．6．（5分）若函数f （x ）、g （x ）分别是定义在R 上的偶函数、奇函数，且满足2f （x ）﹣g （x ）＝e x，则（）A ．f （﹣2）＜f （﹣3）＜g （﹣1）B ．g （﹣1）＜f （﹣3）＜f （﹣2）C ．f （﹣2）＜g （﹣1）＜f （﹣3）D ．g （﹣1）＜f （﹣2）＜f （﹣3）【解答】解：函数f （x ）、g （x ）分别是定义在R 上的偶函数、奇函数，且满足2f （x ）﹣g （x ）＝e x，则2f（﹣x）﹣g（﹣x）＝e﹣x，即2f（x）+g（x）＝e﹣x，与2f（x）﹣g（x）＝e x，联立解得：f（x），g（x）．则函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递减．函数g（x）在R上单调递减．∴g（﹣1）＜g（0）＝0＜f（0）＜f（﹣2）＜f（﹣3），即g（﹣1）＜f（﹣2）＜f（﹣3），故选：D．7．（5分）在△ABC中，||||，||＝||＝3，则（）A．3B．﹣3C．D．【解答】解：由平面向量的平行四边形法则得到，在△ABC中，||||，||＝||＝3，如图，设|OC|＝x，则|OA|x，所以|AO|2+|OC|2＝|AC|2即3x2+x2＝9，解得x，所以|BC|＝3，所以△ABC为等边三角形，所以3×3；故选：C．8．（5分）安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有（）A．360种B．300种C．150种D．125种【解答】解：分2步分析：先将5名学生分成3组，由两种分组方法，若分成3、1、1的三组，有C53＝10种分组方法，若分成1、2、2的三组，有15种分组方法，则一共有10+15＝25种分组方法；再将分好的三组全排列，对应三个社区，有A33＝6种情况，则有25×6＝150种不同的安排方式；故选：C．9．（5分）如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为矩形，E，F分别为P A，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD．其中正确的结论个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：画出几何体的图形，如图，由题意可知，①直线BE与直线CF异面，不正确，因为E，F是P A与PD的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，直线BE与直线CF是共面直线；②直线BE与直线AF异面；满足异面直线的定义，正确．③直线EF∥平面PBC；由E，F是PA与PD的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，∵EF?平面PBC，BC?平面PBC，所以判断是正确的．④因为△P AB与底面ABCD的关系不是垂直关系，BC与平面PAB的关系不能确定，所以平面BCE⊥平面P AD，不正确．故选：C．10．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A ＝3B ，则的取值范围是（）A ．（0，3）B ．（1，3）C ．（0，1]D ．（1，2]【解答】解：∵A ＝3B ，∴由正弦定理得：cos2B+2cos 2B ＝2cos2B+1，∵B+A ＜180°，即4B ＜180°，∴0＜B ＜45°，即0＜2B ＜90°，∴0＜cos2B ＜1，即1＜2cos2B+1＜3，则的取值范围为（1，3）．故选：B ．11．（5分）已知双曲线C ：（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，过点F 1的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若0，且∠F 1AF 2＝150°，则e 2＝（）A ．7﹣2B ．7C ．7D ．7【解答】解：∵0，∴AB ⊥BF 2，∵∠F 1AF 2＝150°，∴∠BAF 2＝30°，设|BF 2|＝x ，则|BF 1|＝x+2a ，|AF 2|＝2x ，|AB|x ，∴|AF 1|＝|BF 1|﹣|AB|＝x+2a x ，又|AF 2|﹣|AF 1|＝2a ，∴2x ﹣（x+2a x ）＝2a ，解得x ＝2（1）a ．∴|BF 1|＝2a ，|BF 2|＝2（1）a ，在Rt △BF 1F 2中，由勾股定理可得：12a 2+[（22）a]2＝4c 2，即（7﹣2）a2＝c2，∴e27﹣2．故选：A．x﹣1﹣f（0）x x2，则f（x）的单调递增区间12．（5分）已知函数f（x）满足f（x）＝f′（1）e为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，1）C．（1，+∞）D．（0，+∞）【解答】解：f（x）＝f′（1）e x﹣1﹣f（0）x x2，两边求导得，f′（x）＝f′（1）e x﹣1﹣f（0）+x，令x＝1，得f′（1）＝f′（1）e0﹣f（0）+1，解得f（0）＝1，所以f（0）＝f′（1）e0﹣1﹣f（0）?0+0＝1，得f′（1）＝e．所以f′（x）＝e x﹣1+x，因为y＝e x递增，y＝x﹣1递增，所以f′（x））＝e x﹣1+x递增，又f′（0）＝0，所以由f′（x）＞0，解得x＞0，即f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）13．（5分）某城市为了了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论正确是②③④（填序号）．①月接待游客量逐月增加；②年接待游客量逐年增加；③各年的月接待游客量髙峰期大致在7，8月份；④各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳．【解答】解：由折线图得：在①中，月接待游客量逐月波动，故①错误；在②中，年接待游客量逐年增加，故②正确；在③中，各年的月接待游客量髙峰期大致在7，8月份，故③正确；在④中，各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故④正确．故答案为：②③④．14．（5分）已知抛物线C：y 2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，M是抛物线C上的点，且MF⊥x轴．若以AF为直径的圆截直线AM所得的弦长为2，则p＝2．【解答】解：把x代入y2＝2px可得y＝±p，不妨设M在第一象限，则M（，p），又A（，0），∴直线AM的方程为y＝x，即x﹣y0，∴原点O到直线AM的距离d，∵以AF为直径的圆截直线AM所得的弦长为2，∴1，解得p＝2．故答案为：．15．（5分）已知三棱锥D﹣ABC的体积为2，△ABC是等腰直角三角形，其斜边AC＝2，且三棱锥D﹣ABC的外接球的球心O恰好是AD的中点，则球O的体积为．【解答】解：如下图所示，取AC的中点E，连接OE，由于O为AD的中点，E为AC的中点，则OE∥CD，∵AC为等腰直角三角形ABC的斜边，所以，点E为△ABC外接圆圆心，且O为三棱锥D﹣ABC外接球的球心，所以OE⊥平面ABC，所以，CD⊥平面ABC，∵△ABC是等腰直角三角形，且斜边AC＝2，所以，AB＝BC，则△ABC的面积为，由锥体体积公式可得，∴CD＝6，所以，，则球O的半径为，因此，球O的体积为．故答案为：．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为△ABC外接圆的圆心，若a，且c+2cosC＝2b，m n，则m+n的最大值为．【解答】解：△ABC中，a，且c+2cosC＝2b，∴c+2acosC＝2b，∴sin C+2sinAcosC＝2sinB，∴sin C+2sinAcosC＝2（sinAcosC+cosAsinC），∴sin C＝2cosAsinC，C∈（0，π），∴sin C≠0，∴cosA，A∈（0，π），∴A，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA，即为3＝b2+c2﹣bc，由2R2，即R＝1，可得外接圆的半径为1，m n，可得?m2+n?，化为c2＝mc2nbc，同理可得为b2mbc+nb2，解得m，n，即有m+n（）?2，当且仅当b＝c时，取得最大值，故答案为：．三、解答题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题，共60分．17．（12分）已知S n为数列{a n}的前n项和，且a1＜2，a n＞0，6S n＝a n2+3a n+2，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若对?n∈N*，b n＝（﹣1）n a n2，求数列{b n}的前2n项的和T2n．【解答】解：（1）6S n3a n+2，n∈N*．n≥2时，6a n＝6S n﹣6S n﹣13a n+2﹣（2），化为：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣3）＝0，∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1＝3，n＝1时，6a13a1+2，且a1＜2，解得a1＝1．∴数列{a n}是等差数列，首项为1，公差为3．∴a n＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2．（2）b n＝（﹣1）n（﹣1）n（3n﹣2）2．∴b2n﹣1+b2n＝﹣（6n﹣5）2+（6n﹣2）2＝3（12n﹣7）＝36n﹣21．∴数列{b n}的前2n项的和T2n＝36（1+2+……+n）﹣21n21n＝18n2﹣3n．18．（12分）如图，已知等边△ABC中，E，F分别为AB，AC边的中点，M为EF的中点，N为BC边上一点，且CN BC，将△AEF沿EF折到△A′EF的位置，使平面A′EF⊥平面EFCB．（1）求证：平面A′MN⊥平面A′BF；（2）求二面角E﹣A′F﹣B的余弦值．【解答】（1）证明：如图所示，取BC的中点G，连接MG，则MG⊥EF，∵平面A′EF⊥平面EFCB，平面A′EF∩平面EFCB＝EF，∴MG⊥平面A′EF，∴MG⊥A′M，又A′M⊥EF，因此可以建立空间直角坐标系．不妨设BC＝4．M（0，0，0），A′（0，0，），N（﹣1，，0），B（2，，0），F（﹣1，0，0）．′，，，′，，，，，，，，．设平面A′MN的法向量为（x，y，z），由，可取（，1，0）．同理可得平面A′BF的法向量（，﹣3，﹣1）．∴3﹣3+0＝0，∴，∴平面A′MN⊥平面A′BF；（2）解：由（Ⅰ）可得平面A′BF的法向量（，﹣3，﹣1）．取平面EA′F的法向量?（0，1，0）．cos＜，＞由图可知：二面角E﹣A′F﹣B的平面角为锐角，∴二面角E﹣A′F﹣B的平面角的余弦值为19．（12分）已知抛物线y 2＝4x的焦点F与椭圆C：1（a＞b＞0）的一个焦点重合，且点F关于直线y＝x的对称点在椭圆上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点Q（0，）且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M点的坐标，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由抛物线的焦点可得：抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），点F关于直线y＝x的对称点为（0，1），故b＝1，c＝1，因此，∴椭圆方程为：．（2）假设存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点．当AB⊥x轴时，以AB为直径的圆的方程为：x2+y2＝1 ①当AB⊥y轴时，以AB为直径的圆的方程为：②联立①②得，，∴定点M（0，1）．证明：设直线l：，代入，有．设A（x1，y1），B（x2，y2），，．则，（x2，y2﹣1）；，（1+k2）x1x2k0，在y轴上存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个定点．20．（12分）随着网络信息化的高速发展，越来越多的大中小企业选择做网络推广，为了适应时代的发展，某企业引进一种通讯系统，该系统根据部件组成不同，分为系统A和系统B，其中系统A由5个部件组成，系统B由3个部件组成，每个部件独立工作且能正常运行的概率均为p （0＜p＜1），如果构成系统的部件中至少有一半以上能正常运行，则称系统是“有效”的．（1）若系统A与系统B一样有效（总体有效概率相等），试求p的值；（2）若p对于不能正常运行的部件，称为坏部件，在某一次检测中，企业对所有坏部件都要进行维修，系统A中每个坏部件的维修费用均为100元，系统B中第n个坏部件的维修费用y （单位：元）满足关系y＝50n+150（n＝1，2，3），记企业支付该通讯系统维修费用为X，求EX．【解答】解：（1）∵系统A与系统B一样有效（总体有效概率相等），∴，整理得：2p3﹣5p2+4p﹣1＝p（p2﹣5p+4）+p3﹣1＝（p﹣1）2（2p﹣1）＝0，解得p＝1（舍）或p，故p的值为．（2）系统A中每个坏部件的维修费用均为100元，系统B中第n个坏部件的维修费用y（单位：元）满足关系y＝50n+150（n＝1，2，3），记企业支付该通讯系统维修费用为X，考虑系统A的维修费用可能为0，100、200、300、400、500元；系统B的维修费用可能为0；200，250，300；450，500，550；750元；可得EX?（）8（0+200+250+300+450+500+550+750）?（100+300+350+400+550+600+650+850）?（200+400+450+500+650+700+750+950）?（300+500+550+600+750+800+850+1050）?（400+600+650+700+850+900+950+1150）?（500+700+750+800+950+1000+1050+1250）625（元）21．（12分）已知函数f（x）＝axlnx﹣bx（a，b∈R）在点（e，f（e））处的切线方程为y＝3x﹣e．（1）求a，b的值及函数f（x）的极值；（2）若m∈Z．且f（x）﹣m（x﹣1）＞0对任意的x＞1恒成立，求m的最大值．【解答】解：（1）f（x）＝axlnx﹣bx，f′（x）＝alnx+a﹣b，∵函数f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y＝3x﹣e，∴，解得a＝1，b＝﹣1．∴f（x）＝xlnx+x，则f′（x）＝lnx+2，由f′（x）＝lnx+2＝0，得．∴当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0．∴f（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数，则当x时，函数f（x）取得极小值为f（）；（2）当x＞1时，由f（x）﹣m（x﹣1）＞0，得m＜．令g（x），则g′（x），设h（x）＝x﹣2﹣lnx，则h′（x）＝1＞0，h（x）在（1，+∞）上为增函数，∵h（3）＝1﹣ln3＜0，h（4）＝2﹣ln4＞0，∴?x0∈（3，4），且h（x0）＝0，当x∈（1，x0）时，h（x）＜0，g′（x）＜0，g（x）在（1，x0）上单调递减；当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）在（x0，+∞）上单调递增．∴g（x）min＝g（x0），∵h（x0）＝x0﹣2﹣lnx0＝0，∴x0﹣1＝1+lnx0，g（x0）＝x0，∴m＜x0∈（3，4），∴m的最大值为3．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（）t（t∈R）．（1）求曲线C1的普通方程及曲线C2的直角坐标方程；（2）若π≤α≤2π，当曲线C1与曲线C2有两个公共点时，求t的取值范围．【解答】解：（1）由，得，两式平方相加得：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1；由ρcos（）t，得，∴，即x+y＝t；（2）由π≤α≤2π，得曲线C1：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1（y≤0）．作出曲线C1与曲线C2的图象如图：由图可知，当曲线C1与曲线C2有两个公共点时，实数t的取值范围为（，﹣1]．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x|+|2x+3|+m（m∈R）．（1）当m＝﹣2时，求不等式f（x）≤3的解集；（2）若?x∈（﹣∞，0），都有f（x）≥x恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（1）当m＝﹣2时，f（x）＝|2x|+|2x+3|+m，，＜＜，（2分）当，解得；当＜＜，恒成立当解得﹣2此不等式的解集为，（5分）（2）当x∈（﹣∞，0）时f（x）＝|2x|+|2x+3|+m，＜＜，．当＜＜时，不等式化为由当且仅当即时等号成立．∴，∴（7分）当时，不等式化为．∴令，∈∞，∵′＞，∈，，∴在∞，上是增函数．∴当时，取到最大值为∴（9分）综上（10分）。
2019广东二模理数答案
2019年普通高等学校招生全国统一考试广东省理科数学模拟试卷(二)参考答案及评分标准评分标准:1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数,选择题不给中间分.1.C2.D3.D4.B5.A6.A7.B8.D9.B10.C11.A12.A13.14.-15.216.17.解:(1)因为n+2,,(a1-2)n依次成等比数列,所以S=(a1-2)n(n+2)...................................................................................................................................................... 1分n当n=1时,S=a1=3(a1-2),解得a1=3,从而S n=n(n+2); ................................................................................................... 2分1当n≥2时,a=S n-S n-1=n(n+2)-(n-1)(n+1)=2n+1;............................................................................................................ 4分n当n=1时,也满足a=2n+1,故a n=2n+1........................................................................................................................ 6分n(2)因为=-, .................................................................................................................................. 8分所以T=---n=-=................................................................................................................................................ 12分评分细则:第(1)问中,没有写到当n=1时,也满足a=2n+1,而直接得出数列的通项公式为a n=2n+1,要扣1分;n第(2)问中,得出T=-,而没有得到,不扣分.n18.(1)证明:连接DE,BD.因为四边形ABCD是菱形且∠DAB=60°,E为AB的中点,所以DE⊥AB. .................................................................. 1分因为PD⊥平面ABCD,所以PD⊥AB, ........................................................................................................................... 2分又DE∩PD=D,所以AB⊥平面PDE, ............................................................................................................................. 3分则AB⊥PE....................................................................................................................................................................... 4分因为AB∥CD,所以PE⊥CD.......................................................................................................................................... 5分(2)解:以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz(其中O为AC与BD的交点),如图所示,则P(-1,0,2),A(0,-,0),E-,C(0,,0). ...................................................................................................................................... 6分设平面APE的法向量为n=(x1,y1,z1),则·n=0,·n=0,即-................................................................................................................................... 7分令x1=,得n=(,-1,1)............................................................................................................................................... 8分设平面PCE的法向量为m=(x2,y2,z2),则·m=0,·m=0,即--........................................................................................................................................ 9分令x2=3,得m=(3,1,2). ........................................................................................................................................ 10分所以cos<n,m>===, ......................................................................................................................... 11分由图可知二面角A-PE-C为钝角,故二面角A-PE-C的余弦值为-.............................................................................................................................. 12分评分细则:第(1)问中,连接BD,证得△PDA与△PDB全等,从而PA=PB,PE⊥AB,此法也可证明PE⊥CD,另外,用空间向量证明PE⊥CD,同样得分;第(2)问中,两个平面的法向量不唯一,只要与所给法向量共线即可得分.19.(1)证明:将y=kx+3代入x2=6y,得x2-6kx-18=0. ....................................................................................................... 2分设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x2=-18, ..................................................................................................................................... 3分从而d1d2=|x1|·|x2|=|x1x2|=18为定值............................................................................................................................. 5分(2)解:存在符合题意的点,证明如下:设P(0,b)为符合题意的点,直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.由(1)知x1+x2=6k, .......................................................... 6分从而k1+k2=-+-.................................................................................................................................................... 7分=-.................................................................................................................................................... 8分=--................................................................................................................................................................. 9分当b=-3时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补, ................................................................... 11分故∠OPM=∠OPN,所以点P(0,-3)符合题意. .............................................................................................................. 12分评分细则:第(1)问中,直线方程与抛物线方程联立正确得2分,两根之和对(1)问无贡献,若第(2)问未写,而第(1)问写了,应给1分.20.解:(1)这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为(30×0.005+50×0.015+70×0.020+90×0.010)×20=64,即10点04分........................................................................... 2分(2)结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知:抽取的10辆车中,在10:00前通过的车辆数就是位于时间分组中在[20,60)这一区间内的车辆数,即(0.005+0.015)×20×10=4,所以X的可能取值为0,1,2,3,4......................................... 3分所以P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,P(X=4)==, ............................................................................................................................ 6分所以X的分布列为所以E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=. ........................................................................................................... 8分(3)由(1)可得μ=64,σ2=(30-64)2×0.1+(50-64)2×0.3+(70-64)2×0.4+(90-64)2×0.2=324,所以σ=18........................................................................................................................................................................ 9分估计在9:46~10:40这一时间段内通过的车辆数,也就是46<T≤100通过的车辆数,由T~N(μ,σ2),得P(64-18<T≤64+2×18)=-+-=0.8186, ................................................ 11分所以,估计在9:46~10:40这一时间段内通过的车辆数为1000×0.8186≈819辆........................................................ 12分评分细则:第(2)问中,若没有逐个计算每个X的概率,直接得出X的分布列,扣2分.21.(1)解:g(x)的定义域为(0,+∞), .................................................................................................................................... 1分g'=-, ............................................................................................................................................................ 2分若a≤-,因为x>1,所以ln x>0,所以g'(x)<0,所以g(x)在(1,+∞)上单调递减. .............................................................. 3分若a>-,令g'=0,得x=,当1<x<时,g'(x)>0;当x>时,g'(x)<0.所以g(x)的单调递减区间为(,+∞),单调递增区间为(1,).............................................................................. 5分(2)x2f(x)+a≥2-e,即x ln x-ax+a+e-2≥0对x∈(0,+∞)恒成立,令h(x)=x ln x-ax+a+e-2,则h'(x)=ln x+1-a,令h'(x)=0,得x=e a-1. .................................................................................. 6分当x∈(0,e a-1)时,h'(x)<0;当x∈(e a-1 ,+∞)时,h'(x)>0, ...................................................................................................... 7分所以h(x)的最小值为h(e a-1)=(a-1)e a-1+a+e-2-a e a-1=a+e-2-e a-1, ................................................................................... 8分令t(a)=a+e-2-e a-1,则t'(a)=1-e a-1,令t'(a)=0,得a=1.当a∈[0,1)时,t'(a)>0,t(a)在[0,1)上单调递增;当a∈(1,+∞)时,t'(a)<0,t(a)在(1,+∞)上单调递减........................................................................................................ 10分所以当a∈[0,1)时,h(x)的最小值为t(a)≥t(0)=e-2->0;当a∈[1,+∞)时,h(x)的最小值为t(a)=a+e-2-e a-1≥0=t(2)............................................................................................ 11分故a的取值范围是[0,2]. ............................................................................................................................................... 12分评分细则:第(1)问中,g(x)的定义域与g(x)的导数正确各得1分.22.解:(1)由ρ2-4ρcos θ-6ρsin θ+12=0,得x2+y2-4x-6y+12=0, ........................................................................................ 2分即(x-2)2+(y-3)2=1,此即为曲线C的直角坐标方程. ...................................................................................................... 3分(2)由(1)可设P的坐标为(2+cos α,3+sin α),0≤α<2π, .................................................................................................... 6分则|PM|=3+sin α, ............................................................................................................................................................. 7分又直线ρcos θ=-1的直角坐标方程为x=-1,所以|PN|=2+cos α+1=3+cos α. ..................................................................................................................................... 8分所以|PM|+|PN|=6+sin, .............................................................................................................................. 9分故当α=时,|PM|+|PN|取得最大值,且最大值为6+............................................................................................. 10分评分细则:第(2)问中,亦可设P的坐标为(2+sin α,3+cos α),|PM|=3+cos α,|PN|=3+sin α,各给1分.23.解:(1)由f(x)<0,得+-<4. ....................................................................................................................... 1分当x<-1时,-x-1+2-x<4,解得-<x<-1; ............................................................................................................................ 2分当-1≤x≤2时,x+1+2-x=3<4恒成立,则-1≤x≤2; ............................................................................................................... 3分当x>2时,x+1+x-2<4,解得2<x<. ............................................................................................................................... 4分故f(x)<0的解集为-. ........................................................................................................................................... 5分(2)因为f(x)=+--k≥|x+1+2-x|-k=3-k, ........................................................................................................ 6分所以f(x)的最小值为3-k................................................................................................................................................. 7分因为不等式f(x)≥对x∈R恒成立,所以3-k≥,k+3≥0,所以--................................................................................................................................................. 9分解得-3≤k≤1,则k的取值范围为[-3,1]........................................................................................................................... 10分评分细则:第(1)问中,先将f(x)化为三段的分段函数,得3分,再得出不等式的解集,得2分; 第(2)问中,未写3-k≥0,扣1分.。