2020年安徽省黄山市高考数学二模试卷(一)(有答案解析)
3.答案：B
解析：解：充分性：当 b＞a＞1 时，logab＞logaa=1，故充分性成立． 必要性：当 logab＞1 时，若 0＜a＜1，则 logab＞logaa，因为函数 y=logax 在（0，+∞） 上为减函数，故 b＜a，所以必要性不成立． 综上“b＞a＞1”是“logab＞1”的充分不必要条件． 故选：B． 分充分性、必要性分别讨论，根据对数函数的性质进行判断即可 本题考查了充分条件、必要条件的判断，对数函数的性质，属于基础题．
C.
D.
10. 已知数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn，且 an＞0，6Sn=an2+3an-4（n∈N*），
bn=
，若对任意的 n∈N*，k＞Tn 恒成立，则 k 的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
11. 某空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视 图均为边长为 1 的等腰直角三角形，则此空间几何体 的表面积是（ ）
A. B. C.
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D.
12. 已知函数 f（x）是定义在 R 上的可导函数，对于任意的实数 x，都有 =e2x，当 x
＜0 时 f（x）+f'（x）＞0，若 eaf（2a+1）≥f（a+1），则实数 a 的取值范围是（ ）
A. [0， ]
B. [- ]
C. [0，+∞）
D. （-∞，0]
执行循环体，S=2，a= ，i=1
满足条件 i≤2018，执行循环体，S=2 ，a=-1，i=2
满足条件 i≤2018，执行循环体，S=2 -1，a=2，i=3
满足条件 i≤2018，执行循环体，S=2 -1+2，a= ，i=4 … 由于 2018=3×672+2，观察规律可知， 满足条件 i≤2018，执行循环体，S=2 +…，a=2，i=2019
此时，不满足条件 i≤2018，退出循环，输出 S=2+ +（-1）+2+ +…+（-1）= 故选：C．
7.答案：C
解析：【分析】 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系 等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题． 以 C 为原点，CD 为 x 轴，CB 为 y 轴，过 C 作 AB 的平行线，如图所示，建立空间直角 坐标系，利用向量法能求出异面直线 BM 与 CD 夹角的余弦值． 【解答】 解：由题意可以 C 为原点，CD 为 x 轴，CB 为 y 轴，过 C 作平面 BDC 的垂线为 z 轴(与 AB 平行)，建立空间直角坐标系如图所示，
21. 已知函数 f（x）=lnx+x，直线 l：y=2kx-1． （Ⅰ）设 P（x，y）是 y=f（x）图象上一点，O 为原点，直线 OP 的斜率 k=g（x）， 若 g（x）在 x∈（m，m+1）（m＞0）上存在极值，求 m 的取值范围； （Ⅱ）是否存在实数 k，使得直线 l 是曲线 y=f（x）的切线？若存在，求出 k 的值； 若不存在，说明理由； （Ⅲ）试确定曲线 y=f（x）与直线 l 的交点个数，并说明理由．
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20. 在△ABC 中，AB=2，且 sinA（1-2cosB）+sinB（1-2cosA）=0．以 AB 所在直线为 x 轴，AB 中点为坐标原点建立平面直角坐标系． （Ⅰ）求动点 C 的轨迹 E 的方程； （Ⅱ）已知定点 P（4，0），不垂直于 AB 的动直线 l 与轨迹 E 相交于 M，N 两点， 若直线 MP、NP 关于直线 AB 对称，求△PMN 面积的取值范围．
D. （-∞，- ）∪（ ，+∞）
6. 已知向量 ， 满足
，且
，则 在 方向上的投影为（ ）
A. 1
B.
C.
D. -1
7. 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑 A－BCD
中，AB⊥平面 BCD，BC⊥CD，且 AB＝BC＝CD，M 为 AD 的中点，则异面直线 BM
与 CD 夹角的余弦值为（）
=-2，则
=______．
15. 若整数 x、y 满足不等式组
，则 的最小值为______．
16. △ABC 满足 asinA=bsinB，a2+2b2+3c2=4，则△ABC 面积的最大值为______． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）
17. 已知数列 的前 n 项和 Sn=n，n∈N*．
4.答案：C
解析：解：根据题意及条形图和折线图即可得出目前的月工资为： （7000×15%-200）÷10%=8500． 故选：C． 通过条形图可得出晓文刚参加工作时的就医费用为：7000×15%=1050，从而得出目前的 就医费用为 850，再根据折线图即可得出目前的晓文的月工资． 考查对条形图和折线图的认识和应用．
设 AB=BC=CD=1， 则 A（0，1，1），B（0，1，0），C（0，0，0），
D（1，0，0）， 设异面直线 BM 与 CD 夹角为 θ，
则 cosθ=
== ．
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∴异面直线 BM 与 CD 夹角的余弦值为 ． 故选：C．
8.答案：A
得到结果． 本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
6.答案：D
解析：解：向量 ， 满足
，且
，
可得
，
可得 =-2，
则 在 方向上的投影为： =-1． 故选：D． 利用向量的垂直关系，推出 ，然后求解 在 方向上的投影． 本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的转化，是基本知识的考查．
的值﹒
23. 已知 f（x）=|2-x|-|4-x|． （Ⅰ）关于 x 的不等式 f（x）≥a2-3a 恒成立，求实数 a 的取值范围； （Ⅱ）若 f（m）+f（n）=4，且 m＜n，求 m+n 的取值范围．
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1.答案：A
-------- 答案与解析 --------
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 已知椭圆 C：
=1，以原点 O 为圆心，椭圆 C 的短轴长为直径作圆 O；以右顶
点 A 为圆心，椭圆 C 的长轴长为直径作圆 A，则圆 O 与圆 A 的公共弦长为______． 14. 定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）+f（-x）=0，若 g（x）=f（x）cosx+1，且 g（ln2）
解析：解：根据 f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜ ）部分图象，可得 A+B=1，
-A+B=-3， 求得 A=2，B=-1．
再根据 • = - ，∴ω=2，
再根据五点法作图可得 2× +φ= ，∴φ= ，∴f（x）=2sin（2x+ ）-1．
令 2x+ =kπ，求得 x= - ，故函数的图象的对称中心为（ - ，0），k∈Z，
5.答案：B
解析：解：双曲线
的左焦点为 F1，过 F1 的直线 l 交双曲线左支于 A、B 两点，
双曲线的渐近线方程为：y= x，
所以 l 斜率满足|k|＞ ，即 k∈（-∞，- ）∪（ ，+∞）． 故选：B． 求出双曲线的渐近线方程，利用已知条件列出直线的斜率与渐近线的斜率的关系，即可
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结合所给的选项， 故选：A． 由函数的图象的顶点坐标求出 A 和 B，由周期求出 ω，由五点法作图求出 φ 的值，可得 函数的解析式，再利用正弦函数的对称性，求得 f（x）的一个对称中心． 本题主要考查由函数 y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标 求出 A 和 B，由周期求出 ω，由五点法作图求出 φ 的值．还考查了正弦函数的对称性， 属于中档题．
22. 设极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位，原点 O 为极点，x 轴正半轴为极
轴，曲线 C 的参数方程为
（α 是参数），直线 l 的极坐标方程为
sinθ-ρcosθ+1= ． （Ⅰ）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的参数方程；
（Ⅱ）设点 P（1，m），若直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，且|PA|= ，求 m
图．已知目前的月就医费比刚参加工作时少 200 元，则目前晓文同学的月工资为
（）
A. 7000
B. 7500
C. 8500
D. 9500
5. 已知双曲线
的左焦点为 F1，过 F1 的直线 l 交双曲线左支于 A、B 两点，则
l 斜率的范围为（ ）
A. （ ， ）
B. （-∞，- ）∪（ ，+∞）
C. （ ）
2020 年安徽省黄山市高考数学二模试卷（一）
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 设集合 A={x|y=2x}，B={x| ≥0}，则 =（ ）
A. （-∞，0）∪[3，+∞）
B. （-∞，0]∪[3，+∞）
C. （0，3）
D. （3，+∞）
2. 已知复数 z 满足 z（1+i）=3+4i，则复数 z 在复平面内表示的点所在的象限为（ ）
9.答案：C
解析：【分析】 本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结 构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题之列． 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟 程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】 解：模拟程序的运行，可得 a=2，S=0，i=0
2020届安徽省黄山市高三第二次质量检测数学(理)试题(解析版)
2020届安徽省黄山市高三第二次质量检测数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2650A x x x =-+≤，{B x y ==，A B =I （ ）A ．[)1,+∞B ．[]1,3C ．(]3,5D ．[]3,5【答案】D【解析】分别求出集合A 、B ，从而求出A B I 即可. 【详解】由已知可得{}{}265015A x x x x x =-+≤=≤≤，{{}{}303B x y x x x x ===-≥=≥，则[]3,5A B =I . 故选：D. 【点睛】本题考查了集合的运算，考查二次不等式的求解以及二次根式的性质，是一道基础题. 2．若复数z 满足（z ﹣1）（i ﹣1）＝i ，则z 对应的点在第（ ）象限. A ．一 B ．二C ．三D ．四【答案】A【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z ，进一步求出z 的坐标得答案. 【详解】由（z ﹣1）（i ﹣1）＝i ，得z ﹣1()()()11111122i i i i i i i --===---+--， ∴z 3122i =-，则3122z i =+.∴z 对应的点的坐标为（32，12），在第一象限.故选：A. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.3．已知155222log 5555ca b ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，，，则（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．a c b <<【答案】C【解析】化对数式为指数式判断1a >，判断(01)b ∈，，化指数式为对数式判断0c <，则答案可求. 【详解】 由52log 5a =，得205551a =>=； 由1525b =，得50125()b ⎛⎫= ⎪⎝⎭∈，； 由255c⎛⎫= ⎪⎝⎭，得25log 50c =<.∴c b a <<. 故选：C . 【点睛】本题考查指数式、对数式中的大小比较，一般可利用中介值01，和函数单调性进行大小比较，是基础题.4．已知变量,x y 满足约束条件2240240x y x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若222x y x k ++≥恒成立，则实数k 的最大值为（ ） A ．40 B ．9 C ．8 D ．72【答案】D【解析】222x y x k ++≥恒成立，只需22min (2)x y x k ++≥，根据222x y x ++几何意义，结合可行域图形，求出其最小值，即为k 的最大值. 【详解】作出可行域如图中阴影部分所示， 设()2222211z x y x x y =++=++-,表示可行域内点(),P x y 与点()1,0A -距离的平方减去1， 由题知min k z ≤，过A 作直线20x y +-=的垂线， 由图可知，垂足在线段BC 上，因为点A 到直线的20x y +-=的距离2232211=+， 所以2min 327122z ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选:D .【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，考查用数形结合方法求非线性目标函数的最值，解题关键要能判断出目标函数的几何意义，属于中档题.5．已知函数()f x 的定义域为D ，满足：①对任意x D ∈，都有()()0f x f x +-=，②对任意12,x x D ∈且12x x ≠，都有1212()[()()]0x x f x f x -->，则函数()f x 叫“成功函数”，下列函数是“成功函数”的是（ ） A ．()tan f x x = B ．()sin f x x x =+ C ．2()ln 2xf x x-=+ D ．()x x f x e e -=-【答案】B【解析】根据已知可得判断“成功函数”为定义域上单调递增的奇函数，逐项判断，即可得出结论. 【详解】由任意x D ∈，都有()()0f x f x +-=知()f x 是奇函数， 由任意12,x x D ∈且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x ⎡⎤-->⎣⎦，知()f x 是增函数， 因为()tan f x x =在定义域上是奇函数， 但在定义域上不是单增函数，故A 错；因为()sin f x x x =+是奇函数，()1cos 0f x x ='+≥， 所以在定义域上是增函数，故B 正确；因为24()ln ln(1)22xf xx x-==-+++在定义域(2,2)-是减函数，故C错；因为1()()x x x xf x e e ee-=-=-在R上单调递减，故D错.故选:B.【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，熟练掌握初等函数单调性，以及应用导数法判断函数的单调性，属于中档题.6．任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘3再加上1，在这样的变换下，我们就得到一个新的自然数.如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，最终我们都会陷在4→2→1这个循环中，这就是世界数学名题“3x+1问题”.如图所示的程序框图的算法思路源于此，执行该程序框图，若N＝6，则输出的i＝（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【解析】根据该程序的功能是利用循环结构计算n的值并输出相应的i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【详解】由题意，模拟程序的运行，可得n＝6，i＝1n不是奇数，n＝3，i＝2，不满足条件n＝1；n是奇数，n＝10，i＝3，不满足条件n＝1，执行循环体，n不是奇数，n＝5，i＝4；不满足条件n＝1，执行循环体，n是奇数，n＝16，i＝5；不满足条件n＝1，执行循环体，n不是奇数，n＝8，i＝6；不满足条件n＝1，执行循环体，n不是奇数，n＝4，i＝7；不满足条件n＝1，执行循环体，n不是奇数，n＝2，i＝8；不满足条件n＝1，执行循环体，n不是奇数，n＝1，i＝9；满足条件n＝1，退出循环，输出i的值为9.故选：D【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.7．{a n}为等差数列，若201920201a a <-，且它的前n项和Sn有最小值，那么当S n取得最小正值时，n＝（）A．2019 B．2020 C．4039 D．4040【答案】C【解析】根据201920201a a <-以及nS有最小值，判断出20192020201920200,0,0a a a a<>+<，结合等差数列的性质以及等差数列前n项和公式，判断出n S取得最小值正值时，对应n 的值.【详解】若201920201a a-＜，且它的前n项和Sn有最小值，∴a2019＜0，a2020＞0.∴a2019+a2020＜0.S4038＝2019（a1+a4038）＝2019（a2019+a2020）＜0.S4039()1403940392a a+==4039a2020＞0.那么当S n取得最小正值时，n＝4039.故选：C.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.8．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是A．甲地：总体均值为3，中位数为4 B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C．丙地：中位数为2，众数为3 D．丁地：总体均值为2，总体方差为3【答案】D【解析】试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第天）人数的平均数为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感染人数总数为，又由于方差大于，故这天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合.【考点】众数、中位数、平均数、方差9．如图，角α的顶点在坐标原点O，始边在x轴的非负半轴，终边经过点(3,4)P--，角β的顶点在原点O，始边在x轴的非负半轴，终边OQ落在第二象限，且tan2β=-，则tan∠QOP的值为（）A．2-B．211-C．112-D．12-【答案】A【解析】由已知可得：4tan3α=.可得tan tantan tan()1tantanQOPαβαβαβ-∠=-=+⋅，代入即可得出.【详解】由已知可得：44tan33α-==-.4(2)tan tan3tan tan()241tan tan1(2)3QOPαβαβαβ---∴∠=-===-+⋅+⨯-故选：A【点睛】本题考查了三角函数的定义、两角差的正切公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.10．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB121BC CC===，，平面α过长方体顶点D，且平面α∥平面AB1C，平面α∩平面ABB1A1＝l，则直线l与BC1所成角的余弦值为（）A．33B．32C．3D．6【答案】D【解析】由题意画出图形，得到平面α与平面ABB1A1的交线l，找出异面直线所成角，由已知结合余弦定理求解.【详解】解：如图∵平面α过长方体顶点D，且平面α∥平面AB1C∴平面α与平面A1DC1重合在平面ABB1A1中，过A1作A1E∥AB1，则A1E∥DC1，即A1E为平面α与平面ABB1A1的交线l连接AD1，可得AD1∥BC1，又l∥AB1，则∠D1AB1即为直线l与BC1所成角.连接D1B1，由AB11BC CC===，得111AB B D==1AD=由余弦定理可得：cos∠D1AB12226 ==.即直线l与BC1故选：D【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题.11．点F2是双曲线22193x yC-=：的右焦点，动点A在双曲线左支上，直线l1：tx﹣y+t﹣2＝0与直线l2：x+ty+2t﹣1＝0的交点为B，则|AB|+|AF2|的最小值为（）A．8 B．C．9 D．【答案】C【解析】由题意求出直线l1，l2的交点B为圆心在（0，﹣2），半径为1的圆，由双曲线的定义可得|AF2|＝|AF1|+2a，所以|AB|+|AF2|＝|AB|+|AF1|+6，当A，F1，B三点共线时，|AB|+|AF2|最小，过F1与圆心的直线与圆的交点B且在F1和圆心之间时最小.【详解】由双曲线的方程可得a＝3，b=F（﹣0），可得|AF2|＝|AF1|+2a＝|AF1|+6，所以|AB|+|AF2|＝|AB|+|AF1|+6，当A，F1，B三点共线时，|AB|+|AF2|最小，联立直线l1，l2的方程20210tx y tx ty t-+-=⎧⎨++-=⎩，可得22211221txttyt⎧-=-⎪⎪+⎨⎪+=⎪+⎩，消参数t可得x2+（y+2）2＝1，所以可得交点B的轨迹为圆心在(0,2)M-，半径为1的圆，所以|AB|+|AF2|＝|AB|+|AF1|+6≥|BF1|+6≥|MF1|-1+6=5＝9，当过F1与圆心的直线与圆的交点B且在F1和圆心之间时最小.所以|AB |+|AF 2|的最小值为9， 故选：C【点睛】本题考查求轨迹方程及双曲线的性质，三点共线时线段之和最小，属于中档题. 12．设函数f （x ）在定义域（0，+∞）上是单调函数，且∀x ∈（0，+∞），f （f （x ）﹣e x +x ）＝e .若不等式2f （x ）﹣f ′（x ）﹣3≥ax 对x ∈（0，+∞）恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，e ﹣2] B ．（﹣∞，e ﹣1]C ．（﹣∞，2e ﹣3]D ．（﹣∞，2e ﹣1]【答案】A【解析】先利用换元法求出f （x ）的解析式，然后再用分离变量法，借助导数研究函数的单调性来解决问题. 【详解】设f （x ）﹣e x +x ＝t ，则f （t ）＝e ，∴f （x ）＝e x ﹣x +t ，令x ＝t 得f （t ）＝e t ﹣t +t ＝e ，解得t ＝1， ∴f （x ）＝e x ﹣x +1， f ′（x ）＝e x ﹣1，不等式2f （x ）﹣f ′（x ）﹣3≥ax ，x ∈（0，+∞）.即：a x e x ≤-2.令g （x ）xe x=-2，x ∈（0，+∞）.g ′（x ）()21x e x x-=，所以()g x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，所以x ＝1时，函数g （x ）取得极小值即最小值()12g e =-.. ∵不等式2f （x ）﹣f ′（x ）﹣3≥ax 对x ∈（0，+∞）恒成立， ∴a ≤e ﹣2.∴a 的取值范围是（﹣∞，e ﹣2]. 故选：A . 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式解法、换元法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.二、填空题13．（x +2）9＝a 0+a 1（x +1）+a 2（x +1）2+…+a 9（x +1）9，则a 1+a 2+…+a 9＝_____（用数字作答）. 【答案】511【解析】利用赋值法，求得所求表达式的值. 【详解】∵（x +2）9＝a 0+a 1（x +1）+a 2（x +1）2+…+a 9（x +1）9， ∴令x ＝﹣1，可得a 0＝1.再令x ＝0，可得1+a 1+a 2+…+a 9＝29，∴a 1+a 2+…+a 9＝511， 故答案为：511. 【点睛】本题主要考查二项式展开式的有关知识，属于基础题.14．已知函数f （x ）()2111x x log x x ≤⎧=⎨-⎩，，＞，则函数y ＝f （f （x ））﹣1的所有零点构成的集合为_____. 【答案】{1，3，9}【解析】根据零点定义解方程(())10f f x -=，求出零点． 【详解】函数y ＝f [f （x ）]﹣1的零点，即求方程f [f （x ）]﹣1＝0的解，利用换元法进行求解即可. 解：由y ＝f （f （x ））﹣1＝0得f （f （x ））＝1， 设t ＝f （x ），则等价为f （t ）＝1， 当x ≤1时，由f （x ）＝x ＝1得x ＝1，当x ＞1时，由f （x ）＝log 2（x ﹣1）＝1得x ＝3， 即t ＝1或t ＝3，当x ≤1时，由f （x ）＝x ＝1，得x ＝1；由f （x ）＝x ＝3，得x ＝3（舍），故此时x ＝1； 当x ＞1时，由f （x ）＝log 2（x ﹣1）＝1得x ＝3；由f （x ）＝log 2（x ﹣1）＝3，得x ＝9， 综上x ＝1，或x ＝3或x ＝9．所以函数y ＝f [f （x ）]﹣1的所有零点所构成的集合为：{1，3，9} 故答案为：{1，3，9}. 【点睛】本小题主要考查函数的零点、方程的解法等基础知识，利用换元法结合数形结合是解决本题的关键.15．在△ABC 中，D 为AB 边的中点，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，E ，F 分别为边BC ，AC 上的动点，且EF ＝1，则DE DF ⋅u u u r u u u r最小值为_____. 【答案】154【解析】建立平面直角坐标系，设E （x ，0），求出DE DF ⋅u u u r u u u r的坐标，则DE DF ⋅u u u r u u u r可表示为x 的函数，利用函数的性质得出最小值. 【详解】以三角形的直角边为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：则A （0，4），B （3，0），C （0，0），D （32，2）.设E （x ，0），则F （0.0≤x ≤1.∴DE =uuu r （x 32-，﹣2），DF =u u u r （32-2）.∴9342DE DF ⋅=-u u u r u u u r x +4﹣25342=-x ﹣令f （x ）25342=-x ﹣()f x '32=-+. 令()f x '＝0得x 35=(35x =-舍去). 当0≤x 35＜时，()f x '＜0，()f x 递减，当35＜x ＜1时，()f x '＞0，()f x 递增，∴当x 35=时，f （x ）取得最小值f （35）154=. 故答案为：154.【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系是解题关键，考查了函数与方程思想，属于中档题.16．已知点A （0，4），抛物线C ：x 2＝2py （0＜p ＜4）的准线为1，点P 在C 上，作PH ⊥l 于H ，且|PH |＝|PA |，∠APH ＝120°，则抛物线方程为_____. 【答案】2165x y =【解析】设抛物线的焦点为F （02p ，），则|AF |＝42p-，由抛物线的定义可知，|PH |＝|PF |＝|P A |，不妨设点P 在第一象限，过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q ，则Q 为AF 的中点，结合∠APH ＝120°，可以用p 表示出点P 的坐标，然后将其代入抛物线方程，列出关于p 的方程，解之可得p 的值，从而求得抛物线的方程. 【详解】解：设抛物线的焦点为F （02p，），|AF |＝42p-，由抛物线的定义可知，|PH |＝|PF |，∵|PH |＝|P A |，∴|P A |＝|PF |，不妨设点P 在第一象限，过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q ，则Q 为AF 的中点，|AQ |＝|FQ |12=|AF |1422p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∵∠APH ＝120°，∴∠APQ ＝120°﹣90°＝30°，∴|PQ |33422p AQ ⎫==-⎪⎝⎭，|OQ |＝|FQ |+|OF |14222p p ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭24p+，∴点P 的坐标为4224p p ⎫⎫-+⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，，∵点P 在抛物线C 上，∴24]2224p p p ⎫⎛⎫-=⨯+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得5p 2+112p ﹣192＝0，解之得8245p =-或（舍负）， ∴抛物线方程为2165x y =. 故答案为：2165x y =. 【点睛】本题考查抛物线的定义，求抛物线的标准方程，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题.三、解答题17．已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，且0bcosC a c --=.（1）求B ；（2）若b ＝2，且sinA ，sinB ，sinC 成等差数列，求△ABC 的面积.【答案】（1）3B π=（2【解析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合sinC ＞0，可得162sin B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又根据范围5666B πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，，可求B 的值. （2）由等差数列的性质，正弦定理可得a +c ＝2b ＝4，又根据余弦定理可求ac 的值，进而根据三角形的面积公式即可计算求解. 【详解】解：（1）由0bcosC a c +--=，则sinBcosC sinA sinC +=+，()sinBcosC sin B C sinC =++，sin cos sin sin cos cos sin sin B C B C B C B C C =++,sinCcosB sinC =+，而sinC ＞0，31sinB cosB -=，所以216sin B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可得162sin B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 而B ∈（0，π）， 又5666B πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，， 所以66B ππ-=， 故3B π=.（2）由sinA ，sinB ，sinC 成等差数列，且b ＝2， 所以2sinB ＝sinA +sinC ，可得a +c ＝2b ＝4， 又a 2+c 2﹣2accosB ＝b 2， 则2()2243a c ac accos π+--=，可得：16﹣3ac ＝4，所以ac ＝4， 则1134322S acsinB ==⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，等差数列的性质，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题.18．如图，已知边长为2的菱形ABCD ，其中∠BAD ＝120°，AE ∥CF ，CF ⊥平面ABCD ，33AE =，3CF =.（1）求证：平面BDE ⊥平面BDF ； （2）求二面角D ﹣EF ﹣B 的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）23π 【解析】（1）证明BD ⊥CF ，BD ⊥AC ，推出BD ⊥平面ACFE ，得到OF ⊥BD ，由已知推出AE ⊥平面ABCD ，得AE ⊥AO 且FC ⊥CO ，在直角梯形EACF 中可证明OF ⊥OE ，从而得OF ⊥平面BDE ，然后证得结论面面垂直.（2）以OA ，OB 所在的直线分别为x 轴，y 轴，过O 做垂直于平面ABCD 的为z 轴建立空间直角坐标系.求出平面DEF 的一个法向量，平面BEF 的一个法向量，通过空间向量的数量积求解二面角D ﹣EF ﹣B 的大小. 【详解】（1）证明：因为AE ∥CF ，所以A 、C 、F 、E 四点共面. 又CF ⊥平面ABCD ，而BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥CF ， 由菱形ABCD ，所以，BD ⊥AC ，令BD ∩AC ＝O ， 且CF ∩AC ＝C ，所以，BD ⊥平面ACFE ， 而OF ⊂平面ACFE ，所以，OF ⊥BD ，因为AE ∥CF 且CF ⊥平面ABCD ，所以AE ⊥平面ABCD ， 则AE ⊥AO 且FC ⊥CO 33AE =，3CF =，由菱形ABCD 且∠BAD ＝120，所以AO ＝OC ＝1， 故3tan EOA ∠=，3tan FOC ∠=，则6EOA π∠=，3FOC π∠=，所以2EOF π∠=，即OF ⊥OE ，又OE ∩BD ＝O ，所以OF ⊥平面BDE ，OF ⊂平面BDF ，平面BDE ⊥平面BDF .（2）由菱形ABCD ，所以BD ⊥AC ，以OA ，OB 所在的直线分别为x 轴，y 轴，过O 作垂直于平面ABCD 的直线为z 轴建立空间直角坐标系.则//AE z 轴，//CF z 轴， 则23πBAD ∠=，所以A （1，0，0），()03B ，，，()03D ，，(103F -，，10E ⎛ ⎝⎭，，所以20EF ⎛=- ⎝⎭u u u r ，，(DF =-u u ur，(1BF =-u u u r ， 令平面DEF 的一个法向量为()111n y z =r，，，且20EF ⎛=- ⎝⎭u u u r，(DF =-u u u r，由0n EF ⋅=u u ur r，120z -+=，所以1z = 由0n DF ⋅=u u u r r，1110-=，所以1y =，即13n ⎛=- ⎝r ，， 令平面BEF 的一个法向量为：()221m y z =r，，，且203EF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，，，(1BF =-u u u r，由0m EF ⋅=u u ur r，2203z -+=，所以2z = 由0n BF ⋅=u u u r r，2210-=，所以2y =，即1m ⎛= ⎝r ， 所以4131342133n m cos cos n m n m θ-+⋅=-=-=-=-⋅++r r r r r r ＜，＞，则23θπ=， 即二面角D ﹣EF ﹣B 的大小为23π. 【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及平面与平面垂直的判定定理得到应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，逻辑推理能力，以及计算能力，是中档题.19．已知椭圆Γ：()222210x y a b a b +=＞＞的离心率为2，左右焦点分别为F 1，F 2，且A 、B 分别是其左右顶点，P 是椭圆上任意一点，△PF 1F 2面积的最大值为4.（1）求椭圆Γ的方程.（2）如图，四边形ABCD 为矩形，设M 为椭圆Γ上任意一点，直线MC 、MD 分别交x 轴于E 、F ，且满足222AE BF AB +=，求证：AB ＝2AD ．【答案】（1）2284x y +=1（2）证明见解析；【解析】（1）由椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，结合,,a b c 的关系，解方程可得所求椭圆方程；（2）设(22,)C t -，(22,)D t --，0t >，令00(,)M x y ，运用直线方程和两直线的交点，化简整理，即可得证. 【详解】（1）由题意可得max 222221242c e a S c b a b c⎧==⎪⎪⎪=⨯⨯=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2222a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩. 所以椭圆的方程为2284x y +=1.（2）设(22,)C t -，(22,)D t --，0t >，令00(,)M x y ， 由0022MC k x =-，故MC 的方程为0000)22y y x x x -=--， 直线MC 交x 轴于E ， 令0y =，则()00000002222y x y tx x xy ty t+=+=++，即：00022(,0)tx E y t++.由0022MD k x =+MD 的方程为0000)22y y x x x -=-+，直线MD 交x 轴于F ， 令0y =，则()00000002222y x y tx x xy t+-+=-+=+，即：00022(,0)y tx F -+.因为222AE BF AB +=， 所以2220000002222(22)(22)(42)y tx y tx y t y t+-+++-=++.可得2220002001623216()y t x y y t y t++=++， 即2222200000816168()y t x y y t y t +++=+，得222200168t x y t +=.又因为2200184x y +=，所以220082x y =-，可得222200(82)168t y y t -+=，即220(162)0t y -=，因为M 为椭圆上一点，所以21620t -=，解得22t =， 所以42222AB AD ==，即证：2AB AD =. 【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程的求法和应用，以及两点的距离公式，考查方程思想和化简运算能力，属于难题.20．在党中央的英明领导下，在全国人民的坚定支持下，中国的抗击“新型冠状肺炎”战役取得了阶段性胜利，现在摆在我们大家面前的是有序且安全的复工复产.某商场为了提振顾客的消费信心，对某中型商品实行分期付款方式销售，根据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期付款的期数ξ的分布列为其中0＜a ＜1，0＜b ＜1.（1）求购买该商品的3位顾客中，恰有1位选择分4期付款的概率；（2）商场销售一件该商品，若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为2000元；若顾客选择分5期付款，则商场获得的利润为2500元；若顾客选择分6期付款，则商场获得的利润为3000元，假设该商场销售两件该商品所获得的利润为X （单位：元）， （i ）设X ＝5500时的概率为m ，求当m 取最大值时，利润X 的分布列和数学期望； （ii ）设某数列{x n }满足x 1＝0.4，x n ＝a ，2x n +1＝b ，若a ＜0.25，求n 的最小值. 【答案】（1）0.432（2）（i ）详见解析（ii ）2【解析】（1）方法1：设恰有一位顾客选择分4期付款的概率为P .由题可知：a +b ＝0.6，然后求解即可.方法2：由于3位顾客中恰有1位选择“分4期付款”，则另外两位均不选“分4期付款”，利用相互独立事件乘法乘积求解概率即可.（2）（ⅰ）由题可得X 的值分别为4000，4500，5000，5500，6000.求出概率，得到分布列，然后求解期望即可.（ⅱ）由题可得x n +2x n +1＝a +b ＝0.6，得到110.32n n x x +=-+，判断数列{x n ﹣0.2}是等比数列，然后分类求解n 的最小值. 【详解】（1）方法1：设恰有一位顾客选择分4期付款的概率为P . 由题可知：a +b ＝0.6，则P ＝3×0.4×（a 2+2ab +b 2）＝0.4×（a +b ）2＝0.4×0.62＝0.432.方法2：由于3位顾客中恰有1位选择“分4期付款”，则另外两位均不选“分4期付款”，所以P ＝3×0.4×（1﹣0.4）×（1﹣0.4）＝0.432.（2）（ⅰ）由题可得X 的值分别为4000，4500，5000，5500，6000. P （X ＝4000）＝0.4×0.4＝0.16，P （X ＝4500）＝2×0.4×a ＝0.8a ， P （X ＝5000）＝a 2+2×0.4×b ＝a 2+0.8b ， P （X ＝5500）＝2ab ，P （X ＝6000）＝b 2， 所以()20.36550022()0.1822a b P X ab +==≤⨯==， 取最大值的条件为a ＝b ＝0.3 所以分布列为：∴E （X ）＝4000×0.16+4500×0.24+5000×0.33+5500×0.18+6000×0.09＝4900. （ⅱ）解：由题可得x n +2x n +1＝a +b ＝0.6，所以110.32n n x x +=-+，化简得()110.20.22n n x x +-=--，即{x n ﹣0.2}是等比数列，首项为x 1﹣0.2＝0.2，公比为12-， 所以()110.20.40.2()2n n x --=-⨯-，化简得110.2[1)2n n x -⎛⎤=⋅+- ⎥⎝⎦由题可知：①由题可知：11110.2[1)0.6()222n n n a x --⎛⎤==⋅+-⇒- ⎥⎝⎦＜＜，显然对所有n ∈N 都成立；②111120.4[1)0.6()222n n n b x +⎛⎤==⋅+-⇒- ⎥⎝⎦＜＜，也是对所有n ∈N 都成立； ③111110.2[1)0.25()224n n n a x --⎛⎤==⋅+-⇒- ⎥⎝⎦＜＜. 当n 为偶数时，上述不等式恒成立； 当n 为奇数时，111()24n -＜，解得n ＞3.即n ≥5 综上所述，n 的最小值为2. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，数列与函数的应用，考查转化思想以及计算能力，题目比较新颖，是难题. 21．已知函数()()()1xf x e a x a R =-+∈.（1）讨论函数()f x 极值点的个数；（2）当1a =时，不等式()()ln 1f x kx x ≥+在[)0,+∞上恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，.【解析】（1）求出导函数()x f x e a '=-，分0a ≤和0a >两种情况讨论，判断导函数的符号，判断函数的单调性，求解函数的极值即可；（2）当1a =时，由题即()1ln 1xe x kx x --≥+在[)0,+∞上恒成立，令()()1ln 1x h x e x kx x =---+且()00h =，对k 分120k -≥和120k -<两种情况讨论，判断函数的单调性求解函数的最值，推出结果.求解k 的取值范围.【详解】（1）()()1x f x e a x =-+Q ，()xf x e a '∴=-. ①当0a ≤时，()0xf x e a '=->，所以()y f x =在R 上单调递增，无极值； ②当0a >时，令()0x f x e a '=-=，得ln x a =.当ln x a <时，()0f x '<；当ln x a >时，()0f x '>.所以，函数()y f x =在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增， 此时，函数()y f x =只有一个极值点.综上所述，当0a ≤时，函数()y f x =在R 上无极值点；当0a >时，函数()y f x =在R 上只有一个极值点；（2）当1a =时，由题即()1ln 1xe x kx x --≥+在[)0,+∞上恒成立， 令()()1ln 1xh x e x kx x =---+且()00h =， 则()()()1ln 101x x h x e k x x x ⎡⎤'=--++≥⎢⎥+⎣⎦， 令()()()()1ln 101x x g x h x e k x x x ⎡⎤'==--++≥⎢⎥+⎣⎦， 则()()()211011xg x e k x x x ⎡⎤'=-+≥⎢⎥++⎢⎥⎣⎦且()012g k '=-. （ⅰ）当120k -≥时，即12k ≤时， 由于0x ≥，1x e ≥，而()()2211111112111k x x x x ⎡⎤⎤⎡+≤+≤⎢⎥⎥⎢++⎦⎣++⎢⎥⎣⎦， 所以()0g x '≥，故函数()y g x =在[)0,+∞上单调递增，所以()()00g x g ≥=， 即()0h x '≥，故函数()y h x =在[)0,+∞上单调递增，所以()()00h x h ≥=， 即()1ln 1x e x kx x --≥+在[)0,+∞上恒成立，故12k ≤符合题意； （ⅱ）当120k -<时，即12k ＞时()00g '<， 由于()()21111xg x e k x x ⎡⎤'=-+⎢⎥++⎢⎥⎣⎦在[)0,+∞上单调递增，令()ln 20x k =>，因为()()ln 2211ln 2220ln 21ln 21k g k e k k k k k ⎡⎤'=-+-=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦＞， 故在()()0,ln 2k 上存在唯一的0x ，使()00g x '=，因此，当()00,x x ∈时，()0g x '<，此时函数()y g x =单调递减，所以()()00g x g <=，即()0h x '<，函数()y h x =在()00,x 上单调递减，故()()00h x h <=，与题意不符. 综上所述，k 的取值范围是12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，.【点睛】本题考查函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力，分类讨论思想的应用，是难题. 22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2x cos y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为42sin πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且在极坐标下点P 12π⎛⎫ ⎪⎝⎭，. （1）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；（2）若曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，求11PA PB+的值. 【答案】（1）22143x y +=；x +y ﹣1＝0（2）32 【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.（2）利用直线和曲线的位置关系式的应用和一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果.【详解】（1）C 1的参数方程：2x cos y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）得22()12x+=，曲线C 1的直角坐标方程：22143x y +=.由42sin πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，sin cos θρθ+=， 所以曲线C 2的直角坐标方程为x +y ﹣1＝0.（2）点P 的极坐标为12π⎛⎫⎪⎝⎭，，故其直角坐标为（0，1）， 由C 2：x +y ﹣1＝0，则其参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，将C 2的参数方程代入曲线C 1的方程22143x y +=，得27160t +-=①由于△＞0恒成立，不妨令方程①有两个不等实根t 1、t 2， 由于121607t t =-＜， 所以t 1、t 2异号，且167PA PB ⋅=， 则1212247PA PB t t t t +=+=-===，2411371627PA PB PA PB PA PB++===⋅. 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程的根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.23．已知实数x ，y 满足x +4y ＝2.（1）若|1+y |＜|x |﹣2，求x 的取值范围；（2）若x ＞0，y ＞0，求41x y+的最小值.【答案】（1）{x |x 143-＜或x 145＞}（2）最小值为8 【解析】（1）由x +4y ＝2，得124x y =-，代入|1+y |＜|x |﹣2，可得3224x x --＜，即|6﹣x |＜4|x |﹣8，然后对x 分类求解，取并集得答案；（2）由x ＞0，y ＞0，且x +4y ＝2，得()4114142x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后利用基本不等式求最值.【详解】（1）由x +4y ＝2，得124x y =- 由|1+y |＜|x |﹣2⇒3224x x --＜，即|6﹣x |＜4|x |﹣8， 当x ＜0，则6﹣x ＜﹣4x ﹣8⇒143x -＜，∴143x -＜； 当0≤x ≤6时，则6﹣x ＜4x ﹣8⇒145x ＞，∴1465x ≤＜； 当x ＞6时，则x ﹣6＜4x ﹣8⇒23x ＞，∴x ＞6.故x 的取值范围为{x |x 143-＜或x 145＞}； （2）∵x ＞0，y ＞0，且x +4y ＝2∴()(411411161444448222y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当且仅当16y x x y =，即x ＝1，14y =时，41x y +的最小值为8. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查了利用基本不等式求最值，是中档题.。
2023年安徽省高考数学二模试卷+答案解析(附后)
2023年安徽省高考数学二模试卷1. 若集合，，则的元素个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 52. 的虚部为( )A. B. C. D.3. 设，则“”是“为奇函数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 积极参加公益活动是践行社会主义核心价值观的具体行动.现将包含甲、乙两人的5位同学分成2个小组分别去敬老院和老年活动中心参加公益活动，每个小组至少一人，则甲、乙两名同学不分在同一小组的安排方法的总数为( )A. 12B. 14C. 15D. 165. 如图，在中，点D为线段BC的中点，点E，F分别是线段AD上靠近D，A的三等分点，则( )A. B. C. D.6. 在平面直角坐标系xOy中，定义，两点间的折线距离，该距离也称曼哈顿距离.已知点，，若，则的最小值与最大值之和为( )A. 0B.C.D.7. 已知函数在上恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.8. 设，则( )A. B. C. D.9. 大年除夕吃年夜饭是中国古老的民俗传统，唐朝诗人孟浩然曾写下“续明催画烛，守岁接长筵”这样的诗句.为了解某地区居民的年夜饭消费金额，研究人员随机调查了该地区100个家庭，所得金额统计如图所示，则下列说法正确的是( )A. 可以估计，该地区年夜饭消费金额在家庭数量超过总数的三分之一B. 若该地区有2000个家庭，可以估计年夜饭消费金额超过2400元的有940个C. 可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的平均数不足2100元D. 可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的中位数超过2200元10.若圆：与圆：的公共弦AB 的长为，则下列结论正确的有( )A.B.直线AB 的方程为C. AB 中点的轨迹方程为D. 四边形的面积为11. 已知圆锥的顶点为S ，高为1，底面圆的直径，B 为圆周上不与A 重合的动点，F 为线段AB 上的动点，则( )A. 圆锥的侧面积为B.面积的最大值为C. 直线SB 与平面SAC 所成角的最大值为D. 若B 是的中点，则的最小值为12. 已知抛物线C ：的焦点F 到准线的距离为4，直线l 与C 交于P ，Q两点，且，，若过点P ，Q 分别作C 的两条切线交于点A ，则( )A. B.C. D.以PQ 为直径的圆过点A13.已知展开式中所有项的系数之和为128，则展开式中的系数为______ .14. 中国古代经典数学著作《孙子算经》记录了这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二除以3余，五五数之剩三除以5余，问物几何？”现将1到200共200个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列最大项和最小项之和为______ .15. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点A在C的左支上，交C的右支于点B，，，则C的焦距为______ ，的面积为______ .16. 若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为______ .17.已知首项为3的数列的前n项和为，且求证：数列为等比数列；求数列的前n项和18.在中，若，判断的形状；求的最大值.19. 近年来，一种全新的营销模式开始兴起——短视频营销.短视频营销以短视频平台为载体，通过有限时长，构建一个相对完整的场景感染用户，与用户产生吸引、了解、共鸣、互动、需求的心理旅程.企业通过短视频作为营销渠道，打通新的流量入口，挖掘受众群体，获得新的营销空间.某企业准备在三八妇女节当天通过“抖音”和“快手”两个短视频平台进行直播带货.已知小李3月7日选择平台“抖音”、“快手”购物的概率分别为，，且小李如果第一天选“抖音”平台，那么第二天选择“抖音”平台的概率为；如果第一天选择“快手”平台，那么第二天选择“抖音”平台的概率为求3月8日小李选择“抖音”平台购物的概率；三八妇女节这天，“抖音”平台直播间进行秒杀抢购活动，小李一家三人能下单成功的概率分别为p，2p，，三人是否抢购成功互不影响.若X为三人下单成功的总人数，且，求p的值及X的分布列.20. 如图，在四棱锥中，点E，F分别在棱QA，QC上，且三棱锥和均是棱长为2的正四面体，AC交BD于点求证：平面ABCD；求平面ADQ与平面BCF所成角的余弦值.21.已知椭圆C：的左、右顶点分别为，，短轴长为，点C上的点P满足直线，的斜率之积为求C的方程；若过点且不与y轴垂直的直线l与C交于A，B两点，记直线，交于点探究：点Q是否在定直线上，若是，求出该定直线的方程；若不是，请说明理由.22. 已知函数讨论在上的单调性；若，且，，求证：答案和解析1.【答案】C【解析】解：集合，集合，则，即元素个数为故选：分别化简两个集合，可得的元素个数．本题考查集合的交集运算，考查集合的表示方法，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：，则虚部为故选：化简复数，可得其虚部．本题考查复数的运算，考查复数的虚部，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：①若时，，函数的定义域为R，关于原点对称，，即，函数是奇函数，即充分性成立，②若为奇函数，则，，，此式对于定义域内的任意x皆成立，必有，即必要性不成立，则是为奇函数的充分不必要条件．故选：根据函数奇偶性的定义和性质，以及充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数奇偶性的定义和性质结合对数的运算是解决本题的关键．4.【答案】D【解析】解：若按1：4分组，甲、乙两名同学不分在同一小组的安排方法有种；若按2：3分组，甲、乙两名同学不分在同一小组的安排方法有种，故甲、乙两名同学不分在同一小组的安排方法有种．故选：将5位同学分成1：4，2：3两种情况，结合排列与组合求得结果．本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：根据题意知：故选：根据条件可知，，，，然后进行向量的数乘运算即可得出正确的选项．本题考查了向量加法和数乘的几何意义，相反向量的定义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：点，，若，可得，，，当且仅当时，取等号．所以，的最小值为0，最大值为1，的最小值为，最大值为0，的最小值与最大值之和为故选：利用新定义，求解a，b的关系，然后转化求解不等式的最大值即可．本题考查新定义的应用，基本不等式求解表达式的最值的方法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．7.【答案】D【解析】解：，函数在上恰有4个不同的零点，则，即在上恰有4个不同的解，，，由正弦函数图象可知，，解得，故实数的取值范围是故选：根据已知条件，先对进行恒等变换，再结合正弦函数的图象，即可求解．本题主要考查三角函数的恒等变换，考查转化能力，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：设，，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，，，当且仅当当，等号成立，，，，设，，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，，，当且仅当当，等号成立，，，，又，故选：构造函数，利用导数证明，从而可得，可得，再构造，，利用导数可证明，从而可得，从而得，从而得解．本题考查构造函数证明不等式，利用不等式比较大小，利用导数研究函数的单调性，化归转化思想，属中档题．9.【答案】ABD【解析】解：对于A，由题意得该地区年夜饭消费金额在的频率为，可以估计，该地区年夜饭消费金额在家庭数量超过总数的三分之一，故A正确；对于B，若该地区有2000个家族，可以估计年夜饭超过2400元的家庭个数为，故B正确；平均数为元，故C错误；中位数为元，故D正确．故选：利用频率、频数、平均数、中位数的定义直接求解．本题考查频率、频数、平均数、中位数的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】AB【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，圆：与圆：，两圆的方程相减可得：，即两圆公共弦的方程为，圆：的圆心为，半径，圆心到直线的距离，而两个圆的公共弦AB的长为，则有，变形可得，A正确，对于B，由于两圆公共弦的方程为，且，故两圆公共弦的方程为，变形可得；B正确；对于C，设AB的中点坐标为，由于垂直平分AB，则到AB中点的距离就是到直线AB的距离，则有，即AB中点的轨迹方程为，C错误；对于D，两圆的半径相等，则四边形为菱形，其面积，D 正确．故选：根据题意，结合直线与圆的位置关系，依次分析选项是否正确，综合可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及轨迹方程的求法，属于中档题．11.【答案】AC【解析】解：圆锥的底面圆的半径，圆锥的母线长为，则圆锥的侧面积为，故A正确；如图，平面SAC为圆锥的轴截面，O为底面圆心，则，，，，，，设，则，故B不正确；根据圆锥的结构特征可知，点B在平面SAC上的投影在AC上，又SB为定值，则当点B到直线AC的距离最大时，直线SB与平面SAC所成角最大，所以当B是弧AC的中点时，直线SB与平面SAC所成角最大，由知，此时B到平面SAC距离为，又因为高为1，所以直线SB与平面SAC所成角的最大值为，故C正确；当B是弧AC的中点时，，此时为等腰三角形，为等腰直角三角形，将、沿AB展开至同一个平面，得到如图所示的平面图形，取AB的中点D，连接SC，SD，则，，，，，当且仅当S，F，C三点共线时等号成立，故D错误．故选：根据圆锥的侧面积公式即可判断A；先求出的范围，再根据三角形的面积公式即可判断B；易得当B是弧AC的中点时，直线SB与平面SAC所成角最大，由此即可判断C；将、沿AB展开至同一个平面，结合图形即可判断本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．12.【答案】ACD【解析】解：因为抛物线C的焦点F到准线得距离为4，所以，所以抛物线的方程为，设，，由可知R为PQ的中点，所以且，，由，可得，所以直线l的斜率为，所以直线l的方程为，即，联立，可得，所以，对函数求导可得，所以切线AP的方程为，即，①同理可知，切线BP的方程为，②联立①②，解得，，所以，抛物线C的焦点，对于A：，故A正确；对于B：直线PQ的方程为过点F，所以，故B错误；对于C：，，所以，所以，故C正确；对于D：因为，且R为PQ的中点，所以，所以以PQ为直径的圆过点A，故D正确，故选：由抛物线的几何性质求出p的值，可得出抛物线C的方程，设，，分析可知R 为PQ的中点，利用点差法可求出直线PQ的方程，将直线PQ的方程与抛物线的方程联立，写出两切线的方程，求出点A的坐标，逐项判定可得答案．本题考查直线与抛物线的相交，解题中需要理清思路，属于中档题．13.【答案】945【解析】解：已知展开式中所有项的系数之和为128，则，即，则二项式的展开式的通项公式为，令，则，即展开式中的系数为故答案为：由二项式定理，结合二项式展开式的通项公式求解即可．本题考查了二项式定理，重点考查了二项式展开式的通项公式，属基础题．14.【答案】196【解析】解：三三数之剩二的数为：2，5，8，11，，188，191，194，197，200；五五数之剩三的数为：3，8，13，，188，193，198，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数最小是8，最大为188，数列最大项和最小项之和为故答案为：可分别列出“三三数之剩二”和“五五数之剩三”的前几项和后几项，从而可找出同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的最小和最大值．本题考查了等差数量的通项公式，考查了计算能力，属于基础题．15.【答案】【解析】解：取AB的中点M，则，因为，所以，所以，所以，设，由双曲线的定义得，，所以，在中，，，，所以，，所以，在中，，解得，则双曲线C的焦距为，因为，所以的面积为故答案为：；通过向量的数量积推出，利用双曲线的定义，结合余弦定理，即可求解c的值，从而可得焦距，再由三角形面积公式求解即可．本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：设，，则，，若时，，在上单调递增，且时，，不恒成立，，令，得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，，又恒成立，，，，，设，，，在单调递增，又，时，可得，实数a的取值范围为故答案为：设，，利用导数研究函数的单调性，从而求出的最大值，从而建立a的不等式，再构造函数，解不等式，即可得解．本题考查恒成立问题，构造函数并利用导数研究函数的最值，构造函数解不等式，化归转化思想，属中档题．17.【答案】解：证明：由首项为3的数列的前n 项和为，且，可得，即有，则数列是首项为，公比为的等比数列；由可得，即为，则【解析】由数列的递推式和等比数列的定义，可得证明；由等比数列的通项公式求得，再由等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式和求和公式，以及数列的分组求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，故，，所以为直角三角形；由知，所以，所以，当且仅当，即时取等号，故的最大值为【解析】由已知结合正弦定理及余弦定理进行化简可求及，进而可求，即可判断；结合及两角差的正切公式可求，然后结合基本不等式即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，还考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．19.【答案】解：设“第一天选择'抖音'平台”，“第一天选择‘快手'平台”，“第二天选择‘抖音'平台”，则，，，，则由题意得，X的取值为0，1，2，3，且，，，，所以，解得故X的分布列为：X0123P【解析】利用全概率公式即可求解；先求出X的可能取值，然后求出每一值对应的概率，根据均值求出概率p，再列出分布列即可求解．本题主要考查全概率公式，离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．20.【答案】证明：如图，连接OE，OF，三棱锥和均是棱长为2的正四面体，故，且ABCD为菱形，O为AC、BD中点，所以≌，所以，所以因为，故≌，所以，所以，又，AC，平面ABCD，所以平面解：四边形ABCD是菱形，则，所以OQ，AC，BD两两垂直，以O为原点，OB，OC，OQ为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图：中，，，故，故，故，则，故设平面AQD的法向量为，则，即，令，则面AQD的法向量设平面BCF的法向量为，则，即，令，则平面BCF的法向量，所以，所以平面ADQ与平面BCF所成角的余弦值为【解析】根据三角形全等得到，，得到平面ABCD；建立空间直角坐标系，计算，得到各点坐标，计算平面AQD的法向量为，平面BCF的法向量为，再根据向量的夹角公式计算得到答案．本题主要考查直线与平面垂直的证明，平面与平面所成角的求法，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．21.【答案】解：由短轴长，可知，即，设，由题意可知，，因为P在椭圆上，所以，即，因为，由题意可得，即，，可得，即椭圆的方程为：；由可知，，右焦点，当直线l的斜率不存在时，则直线l的方程为，与椭圆的方程联立，可得，即，设，，可得直线的方程为，直线的方程为，联立，解得，，即两条直线的交点；当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为，设，，联立，整理可得，显然，，，直线的方程为，直线的方程为：，联立，解得，而，，因为，所以，整理可得，所以，显然点也在直线上，所以可得Q点在直线上．【解析】由短轴长可知b的值，再由两条直线的斜率之积可得a，b的关系，进而求出a的值，可得椭圆的方程；分直线l的斜率存在且不为0和不存在两种情况讨论，设直线l的方程与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，求出直线，的方程，两条直线联立，可得Q的横坐标为定值4，即求出Q在定直线上．本题考查椭圆方程的求法及直线与椭圆的综合应用，点在定直线的求法，属于中档题．22.【答案】解：，则，若，则，函数在上单调递增，若，则当时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，若，则，函数在上单调递减，综上，若，则函数在上单调递增，若，则函数在上单调递减，在上单调递增，若，则函数在上单调递减．证明：令，则，即，令，则，在上单调递减，上单调递增，又，则，要证明，只要证明，又，即证明，，即证，令，，则，在上单调递减，，，则，，，，，，，令，，，在上单调递增，在上单调递减，，综上，【解析】求出，利用导数性质结合分类讨论思想，能求出结果；令，则，即，令，则，由，得，要证明，只要证明，又，即证明，令，，则，由导数性质得，，，令，，，利用导数性质能证明本题考查函数的单调性、构造法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。
安徽省黄山市高三第二次模拟考试数学(理)试题-Word版含答案
安徽省黄山市高三第二次模拟考试数学（理）试题参考公式：如果事件A 、B 互斥, 那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 、B 互斥独立, 那么()()().P AB P A P B = 如果随机变量(),B n p ξ，则()()(),1E np D np p ξξ==-第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}R 12,1,0,1,2,|02x A B x x -⎧⎫=--=≥⎨⎬+⎩⎭ð，则A B =（ ） A ．{}1,0,1- B ．{}1,0- C ．{}2,1,0-- D ．{}0,1,2 2. 复数()()()i 3i R z a a a =+-+∈，若0z <，则a 的值是（ ） A ．3a =B ．3a =-C ．1a =-D ．1a =3. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()112,1Nn n a a S n *+==+∈，则5S= （ ）A ． 31B ．42C ．37D ．47 4. 在ABC ∆中，()()()2,0,2,0,,B C A x y -,给出ABC ∆满足的条件，就能得到动点A 的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：条件① ABC ∆周长为10 ②ABC ∆面积为10 ③ABC ∆中，90A ∠=方程21:25C y =()222:40C x y y +=≠()223:1095x y C y +=≠则满足条件①，②，③的轨迹方程依次为（ ）A ．123,,C C CB ．312,,C C C C.321,,C C CD ．132,,C C C 5. 在区间[]0,8上随机取一个x 的值，执行下面的程序框图，则输出的3y ≥的概率为（ ）A ．13 B ．12 C. 23 D ．346. 过圆锥顶点的平面截去圆锥一部分，所得几何体的三视图如图所示，则原圆推的体积为（ ）A ．1B ．23π C. 43π D ．83π 7. 已知()122051,1log 3,cos 6a x dxbc π=-=-=⎰，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b << C.a c b << D ．b c a <<8. 已知1,,m x y >满足约束条件405001x y mx y m x -+≥⎧⎪-+-≤⎨⎪≤≤⎩,若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为3，则12a b+（ ）A ．有最小值112103+ B ．有最大值112103+ C. 有最小值112103- D ．有最大值112103- 9. 《中国诗词大会》（第二季)亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（ ） A ．144种 B ．288种 C. 360种 D ．720种 10.已知圆22:1C x y +=，点P 为直线142x y+=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,,,PA PB A B 为切点，则直线AB 经过定点.（ ）A ．11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭ C.3,04⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ D ．30,4⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 11. 函数()()()ln 00x x f x x x ⎧>⎪=⎨--≤⎪⎩与()()112g x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],32ln 2-∞-B ．[)32ln 2,-+∞ C.),e ⎡+∞⎣D ．(,e ⎤-∞-⎦12. 将函数3sin 4y x π⎛⎫=⎪⎝⎭的图象向左平移3个单位，得函数()3sin 4y x πϕϕπ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象(如图) ，点,M N 分别是函数()f x 图象上y 轴两侧相邻的最高点和最低点，设MON θ∠=，则()tan ϕθ-的值为（ ）A ．23-+B ．23- C.13+ D ．13-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知13,,1,2222a b a b ⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭，则b 在a 方向上的投影为 ． 14. 若随机变量()22,3XN ，且()()1P X P X a≤=≥，则()521x a a x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数是 ．15. 祖暅（公元前5-6世纪)，祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家. 他提出了一条原理：“幂势既同，則积不容异. ”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等. 该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年. 椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体. 如图将底面直径皆为2b ，高皆为a 的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上. 以平行于平面β的平面于距平面β任意高d 处可横截得到S 圆及S 环两截面，可以证明S S =环圆知总成立. 据此，短轴长为4cm ，长轴为6cm 的椭球体的体积是3cm ．16. 设()A n 表示正整数n 的个位数，()()2,n a A nA n A =-为数列{}na 的前202项和，函数()1x f x e e =-+，若函数()g x 满足()11x Ax f g x A -⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦，且()()N n b g n n *=∈，则数列{}n b 的前n 项和为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.ABC ∆ 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()()3,1,cos 1,sin m n A A ==+，且m n 的值为23+.（1）求A ∠的大小； （2）若33,cos 3a B ==，求ABC ∆的面积. 18. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，面PAD ⊥底面ABCD ，且PAD ∆是边长为2的等边三角形，13,PC M =在PC 上，且PA 面MBD .（1）求证:M 是PC 的中点；（2）在PA 上是否存在点F ，使二面角F BD M --为直角？若存在，求出AFAP的值；若不存在，说明理由.19. 2016世界特色魅力城市200强新鲜出炉，包括黄山市在内的28个中国城市入选. 美丽的黄山风景和人文景观迎来众多宾客. 现在很多人喜欢自助游，某调查机构为了了解“自助游”是否与性别有关，在黄山旅游节期间，随机抽取了100人，得如下所示的列联表：赞成“自助游” 不赞成“自助游”合计 男性30女性 10合计100（1）若在100这人中，按性别分层抽取一个容量为20的样本，女性应抽11人，请将上面的列联表补充完整（在答题卡上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料能否在犯错误的概率不超过0.05前提下，认为赞成“自助游”是与性别有关系？（2）若以抽取样本的频率为概率，从旅游节游客中随机抽取3人赠送精美纪念品，记这3人中赞成“自助游”人数为X ，求X 的分布列和数学期望.附: ()()()()()22n ad bc K a b a d a c b d -=++++ ()2P K k ≥0.100 0.050 0.010 0.001 k2.7063.8416.63510.82820. 已知椭圆()222:122x y E a a +=>的离心率63e =，右焦点(),0F c ，过点2,0a A c ⎛⎫⎪⎝⎭的直线交椭圆E 于,P Q 两点. （1）求椭圆E 的方程；（2）若点P 关于x 轴的对称点为M ，求证:,,M F Q 三点共线； (3) 当FPQ ∆面积最大时，求直线PQ 的方程. 21. 已知函数()()()21'0x f x ax x e f =+-+. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若()()()l n ,xx g x ef x x h x e -=+=，过()0,0O 分别作曲线()yg x =与()yh x =的切线12,l l ，且1l 与2l 关于x 轴对称，求证:()321222e e a e ++-<<-. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C 的极坐标方程为221sin ρθ=+，过点()1,0P 的直线l 交曲线C 于,A B 两点.（1）将曲线C 的极坐标方程的化为普通方程； （2）求PA PB 的取值范围. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()()2,1f x x g x x x =-=+-. （1）解不等式()()f x g x >；（2）若存在实数x ，使不等式()()()R m g x f x x m -≥+∈能成立，求实数m 的最小值.安徽省黄山市高三第二次模拟考试数学（理）试题参考答案一、选择题1-5: CADBB 6-10: DBAAB 11-12：BA二、填空题13.14-14.1620 15.16π 16.2332n n n +-+ 三、解答题17. 解：(1)3cos 3sin 2sin 33m n A A A π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭,sin 136A A ππ⎛⎫∴+=⇒= ⎪⎝⎭.(2)36cos ,sin 33B B =∴=,由sin sin b a B A=得6332212b ==，()()112sin 322sin 6sin cos cos sin 3222ABC S ab C A B A B A B ∆∴==+=+=+.18. 解：(1)证明：连AC 交BD 于E ，连.M E A BC D 是矩形，E ∴是AC 中点.又PA 面MBD ，且ME 是面PAC 与面MDB 的交线，,PA ME M ∴∴是PC 的中点.(2)取AD 中点O ，由（1）知,,OA OE OP 两两垂直. 以O 为原点，,,OA OE OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图），则各点坐标为()()()()()1331,0,0,1,3,0,1,0,0,1,3,0,0,0,3,,,222A B D C P M ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭.设存在F 满足要求，且AFAPλ=，则由AF AP λ=得：()1,0,3F λλ-，面M B D 的一个法向量为231,,33n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，面FBD 的一个法向量为221,,33m λλ-⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由0n m =，得421093λλ-++=，解得38λ=，故存在F ，使二面角F BD M --为直角，此时38AF AP =. 19. 解：(1)赞成“自助游” 不赞成“自助游”合计男性 30 15 45 女性 45 10 55 合计7525100将22⨯列联表中的数据代入计算，得2K 的观测值：()2100301045151003.030, 3.030 3.8414555752533K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，∴在犯错误的概率不超过0.05前提下，不能认为赞成“自助游”与性别有关系. (2)X 的所有可能取值为：0,1,2,3,依题意()()i 3ii 33313,,i ,i 0,1,2,3444XB P XC -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，X 的分布列为：X 0 123()P X164 96427642764()94E X np ==.20. 解：(1) 由22663a a a -=⇒=，∴椭圆E 的方程是22162x y +=.(2)由（1）可得()3,0A ，设直线PQ 的方程为()3y k x =-. 由方程组()221623x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()222231182760kx k x k +-+-=，依题意()212230k ∆=->，得6633k -<<.设()()1122,,,P x y Q x y ，则()()()()2212121111222218276,,2,0,,,2,,2,3131k k x x x x F M x y MF x y FQ x y k k -+==-=-=-++，由()()()()()()12211221222323x y x y x k x x k x ---=-----()22121222182765212521203131k k k x x x x k k k ⎛⎫-=+--=--=⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭，得,,,MF FQ M F Q ∴三点共线.(3)设直线PQ 的方程为3x my =+. 由方程组221623x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()223630m y my +++=，依题意()22361230m m ∆=-+>，得232m >.设()()1122,,,P x y Q x y ，则12121233631,.332FPQm y y y y S AF y y m m ∆+=-=∴=-++ ()()()()222212121222221223111612142223323m m y y y y y y m m m -⎛⎫=-=--=--= ⎪++⎝⎭+，令23t m =+，则()221221229111111139,,3922999FPQt S y y t m t t t ∆⎡⎤-⎛⎫=-==--+∴==+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，即 26,6m m ==±时，FPQ S ∆最大，FPQ S ∆∴最大时直线PQ 的方程为630x y ±-=.21. 解：由已知得()()()2'21,'00xf x ax a x e f ⎡⎤=++=⎣⎦，所以()()21xf x ax x e =+-.(1)()()()2'2121xxf x ax a x e x ax a e ⎡⎤=++=++⎡⎤⎣⎦⎣⎦. ① 若0a >，当12x a <--或0x >时，()'0f x >；当120x a--<<时，()'0f x <，所以()f x 的单调递增区间为()1,2,0,a ⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭； 单调递减区间为12,0a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ②若()()()0,1,'x x a f x x e f x xe ==-=，当0x >时，()'0f x >；当0x <时，()'0f x <，所以()f x 的单调递增区间为()0,+∞；单调递减区间为(),0-∞. ③ 若102a -<<，当12x a >--或0x <时，()'0f x <；当102x a<<--时，()'0f x >，所以()f x 的单调递增区间为10,2a ⎛⎫--⎪⎝⎭；单调递减区间为()1,0,2,a ⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭.④若()211,'022x a f x x e =-=-≤，故()f x 的单调递减区间为(),-∞+∞.⑤若12a <-，当12x a <--或0x >时，()'0f x <；当120x a--<<时，()'0f x >，所以()f x 的单调递增区间为12,0a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；单调递减区间为()1,2,0,a ⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭. 当0a >时，()f x 的单调递增区间为()1,2,0,a ⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭；单调递减区间为12,0a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 当0a =时，()f x 的单调递增区间为()0,+∞；单调递减区间为(),0-∞.当102a -<<时，()f x 的单调递增区间为10,2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；单调递减区间为()1,0,2,a ⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭. 当12a =-时，()f x 的单调递减区间为(),-∞+∞；当12a <-时，()f x 单调递增区间为12,0a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； 单调递减区间为1,2a ⎛⎫-∞--⎪⎝⎭,()0,+∞； (2)()()()22ln 1ln 1ln x x x g x e f x x e ax x e x ax x x --=+=-+-+=+-+,设2l 的方程为2y k x =，切点为()22,x y ，则222222,x x y y e k e x ===，所以2221,,x y e k e ===.由题意知12k k e =-=-，所以1l 的方程为y ex =-，设1l 与()y g x =的切点为()11,x y ，则()111121111111'21,22y e k g x ax e a x x x x +==++==-=--. 又2111111ln y ax x x ex =++-+=-,即1113ln 022e x x ++-=，令()()1311ln ,'222e e u x x x u x x++=+-=+，在定义域上，()'0u x >，所以()0,+∞上，()u x 是单调递增函数，又()2310,ln 021212e e e e u u e e -⎛⎫=>=+-< ⎪++⎝⎭，所以()101e u u e ⎛⎫< ⎪+⎝⎭，即111e x e <<+，令11t x =，则()()2111,12e t a t t e t e +⎡⎤<<=-++⎣⎦，所以()()32112,122e e e a a a a e e +++⎛⎫>=-<=- ⎪⎝⎭，故 ()321222e e a e ++-<<-. 22. 解：(1)由221sin ρθ=+得()221sin 2ρθ+=，得曲线C 的普通方程为2212x y +=. (2)由题意知，直线l 的参数方程为1cos (sin x t t y t αα=+⎧⎨=⎩为参数），将1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入2212x y +=得()222cos 2sin 2cos 10t t ααα++-=，设,A B 对应的参数分别为12,t t ，则12222111,1cos 2sin 1sin 2PA PB t t ααα⎡⎤===∈⎢⎥++⎣⎦，PA PB ∴的取值范围为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 23. 解：（1）由题意不等式()()f x g x >可化为21x x x -+>+，当1x <-时，()()21x x x --+>-+，解得3x >-，即31x -<<-；当12x -≤≤时，()21x x x --+>+，解得1x <，即11x -≤<；当2x >时，21x x x -+>+，解得3x >，即3x >，综上所述，不等式()()f x g x >的解集为{|31x x -<<或}3x >.（2）由不等式()()()R m g x f x x m -≥+∈可得()min 21,21m x x m x ≥-++∴≥-++，()21213,3x x x x m -++≥--+=∴≥，故实数m 的最小值是3.。
黄山市2020届高中毕业班第二次质量检测数学(理)试题
黄山市2020届高中毕业班第二次质量检测高三数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.D2.A3.C4.C5.B6.D7.C 8.D 9.A 10.D 11.C 12.A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.511 14. }9,3,1{ 15. 415 16. y x 5162= 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）解: （1）由0sin 3cos =--+c a C b C b 则C A C B C B sin sin sin sin 3cos sin +=+ ⇒C C B C B C B sin sinsin sin 3cos sin ++=+）（ ⇒C B C C B sin cos sin sin sin 3+=，而0sin >C ⇒1cos sin 3=-B B……………………………………3分 所以1)6sin(2=-πB ⇒21)6sin(=-πB 而),0(π∈B ，又)65,6(6πππ-∈-B ，所以66ππ=-B 故3π=B ………………………………………………6分（2）由A sin ，B sin ，C sin 成等差数列 且2=b所以C A B sin sin sin 2+=⇒42==+b c a ……………………………………………………8分又222cos 2b B ac c a =-+ 则43cos 22)(2=--+πac ac c a 4316=-ac 所以4=ac ， 则323421sin 21=⨯⨯==B ac S …………………………………12分 18.（本小题满分12分）（1）证明： 因为CF AE //，所以A 、C 、F 、E 四点共面.D 又⊥CF 平面ABCD ，而⊂BD 平面ABCD ，所以CF BD ⊥由菱形ABCD ，所以AC BD ⊥，令O AC BD =I且C AC CF =I ,所以⊥BD 平面ACFE而⊂OF 平面ACFE ，所以BD OF ⊥ …………………………3分因为CF AE //且⊥CF 平面ABCD ，所以⊥AE 平面ABCD则AO AE ⊥且CO FC ⊥ 33=AE ，3=CF ，由菱形ABCD 且ο120=∠BAD 所以1==OC AO 故33tan =∠EOA ，3tan =∠FOC ，则6π=∠EOA ，3π=∠FOC 所以2π=∠EOF ，即OE OF ⊥ 又O BD OE =I ，所以⊥OF 平面BDE ，⊂OF 平面BDF平面⊥BDE 平面BDF …………………………………………6分 （2）由菱形ABCD ，所以AC BD ⊥，以OA ，OB 所在的直线分别为x 轴，y 轴，过O 做垂直于平面ABCD 的为z 轴建立空间直角坐标系。
安徽省黄山市2020届高考数学模拟考试(文科)试题Word版含解析
安徽省黄山市2020届高考数学模拟考试（文科）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|x2﹣x﹣2≥0}，B={x|0＜x＜3}，则A∩B（）A．（0，2] B．[﹣1，3）C．[2，3）D．[﹣1，0）2．若复数z满足，其中i是虚数单位，则复数z的共轭复数为=（）A．1+i B．﹣1+i C．1﹣i D．﹣1﹣i3．已知数列{an }是等差数列，a3+a13=20，a2=﹣2，则a15=（）A．20 B．24 C．28 D．344．若圆锥曲线Γ： =1（m≠0且m≠5）的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则实数m=（）A．9 B．7 C．1 D．﹣15．已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ≤π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ=（）A．B．C．D．6．中国的计量单位可以追溯到4000多年前的氏族社会末期，公元前221年，秦王统一中国后，颁布同一度量衡的诏书并制发了成套的权衡和容量标准器．下图是古代的一种度量工具“斗”（无盖，不计量厚度）的三视图（其正视图和侧视图为等腰梯形），则此“斗”的体积为（单位：立方厘米）（）A．2000 B．2800 C．3000 D．60007．已知，c=cos50°cos10°+cos140°sin170°，则实数a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a8．若函数f（x）=（ax2+bx）e x的图象如图所示，则实数a，b的值可能为（）A．a=1，b=2 B．a=1，b=﹣2 C．a=﹣1，b=2 D．a=﹣1，b=﹣29．三棱锥P﹣ABC中，侧棱PA=2，PB=PC=，则当三棱锥P﹣ABC的三个侧面的面积和最大时，经过点P，A，B，C的球的表面积是（）A．4π B．8π C．12πD．16π10．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，直线与双曲线的一个交点P满足∠PF2F1=2∠PF1F2，则双曲线的离心率e为（）A．B．C．D．11．已知MOD函数是一个求余函数，其格式为MOD（n，m），其结果为n除以m的余数，例如MOD（8，3）=2．右面是一个算法的程序框图，当输入n的值为12时，则输出的结果为（）A．2 B．3 C．4 D．512．已知数列{an }满足，Sn是数列{an}的前n项和，若S 2017+m=1010，且a1•m＞0，则的最小值为（）A．2 B．C．D．二、填空题13.已知平面向量=（1，m），=（2，5），=（m，3），且（+）∥（﹣），则m= ．14．已知θ是第四象限，且，则= ．15．过定点P（2，﹣1）作动圆C：x2+y2﹣2ay+a2﹣2=0的一条切线，切点为T，则线段PT长的最小值是．16．已知实x，y数满足，则的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC中角A，B，C的对边，函数且f（A）=5．（1）求角A的大小；（2）若a=2，求△ABC面积的最大值．18．（12分）某民调机构为了了解民众是否支持英国脱离欧盟，随机抽调了100名民众，他们的年龄的频数及支持英国脱离欧盟的人数分布如下表：年龄段18﹣24岁25﹣49岁50﹣64岁65岁及以上频数35202520支持脱欧的人数10101515（Ⅰ）由以上统计数据填下面列联表，并判断是否有99%的把握认为以50岁胃分界点对是否支持脱离欧盟的态度有差异；年龄低于50岁的人数年龄不低于50岁的人数合计支持“脱欧”人数不支持“脱欧”人数合计附：P（K2≥k0）0.250.150.100.050.0250.01K1.3232.0722.7063.8415.0246.635（Ⅱ）若采用分层抽样的方式从18﹣64岁且支持英国脱离欧盟的民众中选出7人，再从这7人中随机选出2人，求这2人至少有1人年龄在18﹣24岁的概率．19．（12分）如图，四边形ABCD是边长为的正方形，CG⊥平面ABCD，DE∥BF∥CG，．P 为线段EF的中点，AP与平面ABCD所成角为60°．在线段CG上取一点H，使得．（Ⅰ）求证：PH⊥平面AEF；（Ⅱ）求多面体ABDEFH的体积．20．（12分）如图所示，在直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=4x，Q（﹣1，0），设点P是第一象限内抛物线C上一点，且PQ为抛物线C的切线．（1）求点P的坐标；（2）圆C1、C2均与直线OP相切于点P，且均与x轴相切，求圆C1、C2的半径之和．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）当0＜a＜2时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知a=1，函数．若对任意x1∈（0，e]，都存在x2∈（0，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，求实数b的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知P为曲线上的动点，直线C2的参数方程为（t为参数）求点P到直线C2距离的最大值，并求出点P的坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的方程在x∈[0，3]上有解．（Ⅰ）求正实数a取值所组成的集合A；（Ⅱ）若t2﹣at﹣3≥0对任意a∈A恒成立，求实数t的取值范围．安徽省黄山市2020届高考数学模拟考试（文科）试题参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|x2﹣x﹣2≥0}，B={x|0＜x＜3}，则A∩B（）A．（0，2] B．[﹣1，3）C．[2，3）D．[﹣1，0）【考点】交集及其运算．【分析】先求出集合A和B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣x﹣2≥0}={x|x≤﹣1或x≥2}，B={x|0＜x＜3}，∴A∩B={x|2≤x＜3}=[2，3）．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．若复数z满足，其中i是虚数单位，则复数z的共轭复数为=（）A．1+i B．﹣1+i C．1﹣i D．﹣1﹣i【考点】复数相等的充要条件．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：∵，∴z=i（1+i）=﹣1+i，∴，故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知数列{an }是等差数列，a3+a13=20，a2=﹣2，则a15=（）A．20 B．24 C．28 D．34【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知结合等差数列的性质求得a8，进一步求得公差，再由等差数列的通项公式求得a15．【解答】解：∵a3+a13=2a8=20，∴a8=10，又a2=﹣2，∴d=2，得a15=a2+13d=24．故选：B．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础的计算题．4．若圆锥曲线Γ： =1（m≠0且m≠5）的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则实数m=（）A．9 B．7 C．1 D．﹣1【考点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质．【分析】由抛物线的性质求得焦点坐标，则c=2，由椭圆的性质可得m﹣5=4，即可求得m的值．【解答】解：由抛物线y2=8x的焦点（2，0），则抛物线的焦点在x轴上，c=2，∴m﹣5=4，∴m=9，故选A．【点评】本题考查圆锥曲线的简单几何性质，属于基础题．5．已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ≤π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ=（）A．B．C．D．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】利用在的函数值相等为，得到φ的表达式，利用已知范围求角．【解答】解：，或，或，又因为0≤φ≤π，所以；故选A．【点评】本题考查了函数值的求法，关键是将问题转化为在的函数值相等为，求出范围内的角．6．中国的计量单位可以追溯到4000多年前的氏族社会末期，公元前221年，秦王统一中国后，颁布同一度量衡的诏书并制发了成套的权衡和容量标准器．下图是古代的一种度量工具“斗”（无盖，不计量厚度）的三视图（其正视图和侧视图为等腰梯形），则此“斗”的体积为（单位：立方厘米）（）A．2000 B．2800 C．3000 D．6000【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得出该几何体是正四棱台，结合图中数据计算四棱台的体积即可．【解答】解：由三视图得该几何体是正四棱台，其上、下底面边长分别为10、20，棱台的高为12，所以棱台的体积为=×（102+202+10×20）×12=2800．V四棱台故选：B．【点评】本题考查了几何体三视图与棱台体积公式的应用问题，是基础题．7．已知，c=cos50°cos10°+cos140°sin170°，则实数a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【分析】利用诱导公式与和差公式可得c，再利用指数的运算性质可得a，b．【解答】解：＞1，b==∈，c=cos50°cos10°﹣sin50°sin10°=cos（50°+10°）=cos60°=．∴a＞b＞c．故选：C．【点评】本题考查了诱导公式与和差公式、指数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．若函数f（x）=（ax2+bx）e x的图象如图所示，则实数a，b的值可能为（）A．a=1，b=2 B．a=1，b=﹣2 C．a=﹣1，b=2 D．a=﹣1，b=﹣2【考点】函数的图象．【分析】根据函数的零点可得其中一个零点x=﹣＞1，即可判断．【解答】解：令f（x）=0，则（ax2+bx）e x=0，解得x=0或x=﹣，由图象可得﹣＞1，故当a=1，b=﹣2时符合，故选：B【点评】本题考查了函数的图象和识别，属于基础题．9．三棱锥P﹣ABC中，侧棱PA=2，PB=PC=，则当三棱锥P﹣ABC的三个侧面的面积和最大时，经过点P，A，B，C的球的表面积是（）A．4π B．8π C．12πD．16π【考点】球的体积和表面积．【分析】三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，三棱锥P﹣ABC的三个侧面的面积之和最大，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的表面积．【解答】解：当PA，PB，PC两两垂直时，三棱锥P﹣ABC的三个侧面的面积和最大，此时2R==4，S=4π•4=16π，故选D．【点评】本题考查球的表面积，几何体的外接球，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．10．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，直线与双曲线的一个交点P满足∠PF2F1=2∠PF1F2，则双曲线的离心率e为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意∠F1PF2=90°，利用直角三角形的边角关系即可得到|PF2|=c，|PF1|=c，再利用双曲线的定义及离心率的计算公式即可得出．【解答】解：如图所示，∠PF2F1=2∠PF1F2=60°，∠F1PF2=90°，∴|PF2|=c，|PF1|=c，由双曲线的定义可得：|PF1|﹣|PF2|=2a，∴，解得e==．故选：D．【点评】熟练掌握圆的性质、直角三角形的边角关系、双曲线的定义、离心率的计算公式是解题的关键．11．已知MOD函数是一个求余函数，其格式为MOD（n，m），其结果为n除以m的余数，例如MOD（8，3）=2．右面是一个算法的程序框图，当输入n的值为12时，则输出的结果为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量j的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：n=12，i=2，j=0满足条件i＜12，MOD（12，0）无意义，其逻辑值为0，j=1，i=3满足条件i＜n，MOD（12，1）=0，j=2，i=4满足条件i＜n，MOD（12，2）=0，j=3，i=5满足条件i＜n，MOD（12，3）=0，j=4，i=6满足条件i＜n，MOD（12，4）=0，j=5，i=7满足条件i＜n，MOD（12，5）=2，i=8满足条件i＜n，MOD（12，5）=2，i=9满足条件i＜n，MOD（12，5）=2，i=10满足条件i＜n，MOD（12，5）=2，i=11满足条件i＜n，MOD（12，5）=2，i=12不满足条件i＜n，退出循环，输出j的值为5．故选：D．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的MOD（n，i）的值是解题的关键，属于基础题．12．已知数列{an }满足，Sn是数列{an}的前n项和，若S 2017+m=1010，且a1•m＞0，则的最小值为（）A．2 B．C．D．【考点】数列与函数的综合；基本不等式．【分析】由S2017﹣a1=（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a2016+a2017），结合余弦函数值求和，再由S2017+m=1010，可得a1+m=2，由a1•m＞0，可得a1＞0，m＞0，运用乘1法和基本不等式即可得到所求最小值．【解答】解：数列{an}满足，可得a2+a3=3cosπ=﹣3，a4+a5=5cos2π=5，a6+a7=7cos3π=﹣7，…，a2016+a2017=2017cos1008π=2017，则S2017﹣a1=（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a2016+a2017）=﹣3+5﹣7+9﹣…+2017=1008，又S2017+m=1010，所以a1+m=2，由a1•m＞0，可得a1＞0，m＞0，则=（a1+m）（）=（2++）≥（2+2）=2．当且仅当a1=m=1时，取得最小值2．故选：A．【点评】本题考查数列与三角函数的结合，注意运用整体思想和转化思想，考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，考查运算能力，属于中档题．二、填空题13.已知平面向量=（1，m），=（2，5），=（m，3），且（+）∥（﹣），则m= ．【考点】平行向量与共线向量．【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列出方程求出m的值．【解答】解：平面向量=（1，m），=（2，5），=（m，3），则+=（1+m，m+3），﹣=（﹣1m﹣5），且（+）∥（﹣），∴（1+m）（m﹣5）+（m+3）=0，m2﹣3m﹣2=0，解得m=或m=．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理应用问题，是基础题目．14．已知θ是第四象限，且，则= ﹣．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】利用同角三角函数的基本关系，诱导公式，求得cos（θ﹣）和sin（θ﹣）的值，再利用两角差的正切公式求得的值．【解答】解：因为θ为第四象限角且=cos（﹣θ）=cos（θ﹣），∴θ﹣还是第四象限角，故，∴==﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式，以及三角函数在各个象限中的符号，两角差的正切公式的应用，属于基础题．15．过定点P（2，﹣1）作动圆C：x2+y2﹣2ay+a2﹣2=0的一条切线，切点为T，则线段PT长的最小值是．【考点】圆的切线方程．【分析】利用勾股定理表示PT，即可得出结论．【解答】解：由题意，当a=﹣1时PT长最小为，故答案为．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．16．已知实x，y数满足，则的取值范围为[0，1] ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，由的几何意义，即可行域内的动点与定点P（0，﹣1）连线的斜率结合导数求得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，的几何意义为可行域内的动点与定点P（0，﹣1）连线的斜率．设过P（0，﹣1）的直线与曲线y=lnx相切于点B（x0，lnx），则，切线方程为y﹣lnx0=（x﹣x），把（0，﹣1）代入得：﹣1﹣lnx0=﹣1，得x=1．∴切线的斜率为1．则的取值范围为[0，1]．故答案为：[0，1]．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2017•安徽模拟）已知a，b，c分别为△ABC中角A，B，C的对边，函数且f（A）=5．（1）求角A的大小；（2）若a=2，求△ABC面积的最大值．【考点】余弦定理．【分析】（1）利用三角恒等变换求得f（A）的解析式，由f（A）=5求得 sin（2A+）的值，从而求得2A+的值，可得A的值．（2）利用余弦定理，基本不等式，求得bc的最大值，可得△ABC面积bc•sinA的最大值．【解答】解：（1）由题意可得：=3+sin2A+cos2A+1=4+2sin（2A+），∴sin（2A+）=，∵A∈（0，π），∴2A+∈（，），∴2A+=，∴A=．（2）由余弦定理可得：，即4=b2+c2﹣bc≥bc（当且仅当b=c=2时“=”成立），即bc≤4，∴，故△ABC面积的最大值是．【点评】本题主要考查三角恒等变换，余弦定理，基本不等式的应用，属于中档题．18．（12分）（2017•安徽模拟）某民调机构为了了解民众是否支持英国脱离欧盟，随机抽调了100名民众，他们的年龄的频数及支持英国脱离欧盟的人数分布如下表：年龄段18﹣24岁25﹣49岁50﹣64岁65岁及以上频数35202520支持脱欧的人数10101515（Ⅰ）由以上统计数据填下面列联表，并判断是否有99%的把握认为以50岁胃分界点对是否支持脱离欧盟的态度有差异；年龄低于50岁的人数年龄不低于50岁的人数合计支持“脱欧”人数不支持“脱欧”人数合计附：P（K2≥k0）0.250.150.100.050.0250.01K1.3232.0722.7063.8415.0246.635（Ⅱ）若采用分层抽样的方式从18﹣64岁且支持英国脱离欧盟的民众中选出7人，再从这7人中随机选出2人，求这2人至少有1人年龄在18﹣24岁的概率．【考点】独立性检验．【分析】（Ⅰ）根据统计数据，可得2×2列联表，根据列联表中的数据，计算K2的值，即可得到结论；（Ⅱ）利用列举法确定基本事件的个数，即可得出这2人至少有1人年龄在18﹣24岁的概率．【解答】解：（Ⅰ）年龄低于50岁的人数年龄不低于50岁的人数合计支持“脱欧”人数203050不支持“脱欧”人数351550合计5545100所以有99%的把握认为以50岁为分界点对是否支持脱离欧盟的态度有差异．（Ⅱ）18﹣24岁2人，25﹣49岁2人，50﹣64岁3人．记18﹣24岁的两人为A，B；25﹣49岁的两人为C，D；50﹣64岁的三人为E，F，G，则AB，AC，AD，AE，AF，AG，BC，BD，BE，BF，BG，CD，CE，CF，CG，DE，DF，DG，EF，EG，FG共21种，其中含有A或B的有11种．故．【点评】本题考查独立性检验，考查概率的计算，考查学生的阅读与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2017•安徽模拟）如图，四边形ABCD是边长为的正方形，CG⊥平面ABCD，DE∥BF∥CG，．P为线段EF的中点，AP与平面ABCD所成角为60°．在线段CG上取一点H，使得．（Ⅰ）求证：PH⊥平面AEF；（Ⅱ）求多面体ABDEFH的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连接AC，BD交于点O，连接OP，则O为BD中点，说明∠PAO为AP与平面ABCD 所成角，通过计算勾股定理证明AP⊥PH．结合PH⊥EF．证明PH⊥平面AEF．（Ⅱ）证明AC⊥平面BDEF．求解，推出点H到平面BFED的距离等于点C到平面BFED的距离，通过V=VA﹣BFED +VH﹣EFBD，求解即可【解答】解：（1）连接AC，BD交于点O，连接OP，则O为BD中点，∴OP⊥DE∴OP⊥平面ABCD，∴∠PAO为AP与平面ABCD所成角，∴∠PAO=60°．在Rt△AOP中，∴．在Rt△AHC中，．梯形OPHC中，．∴AP2+PH2=AH2∴AP⊥PH．又EH=FH，∴PH⊥EF．又AP∩EF=P，∴PH⊥平面AEF．（2）由（1）知，OP⊥平面ABCD，∴OP⊥AC．又AC⊥BD，BD∩OP=O，∴AC⊥平面BDEF．∴．∵CG∥BF，BF⊂平面BFED，CG⊄平面BFED，∴CG∥平面BFED，∴点H到平面BFED的距离等于点C到平面BFED的距离，∴．．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，转化思想的应用．20．（12分）（2017•安徽模拟）如图所示，在直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=4x，Q（﹣1，0），设点P是第一象限内抛物线C上一点，且PQ为抛物线C的切线．（1）求点P的坐标；（2）圆C1、C2均与直线OP相切于点P，且均与x轴相切，求圆C1、C2的半径之和．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】（1）设直线PQ 的方程为：x=my ﹣1，联立利用PQ 为抛物线C 的切线，所以△=0求出m ，可得点P （1，2）．（2）OP 直线方程为：y=2x ，设圆C 1、C 2的圆心坐标分别为（a 1，b 1），（a 2，b 2），其中b 1＞0，b 2＞0，则圆C 1、C 2的半径分别为b 1、b 2，利用圆C 1与直线OP 相切于点P ，推出．说明圆C 1、C 2的半径b 1、b 2是方程b 2﹣5b+5=0的两根，利用韦达定理求解即可． 【解答】解：（1）设直线PQ 的方程为：x=my ﹣1因为PQ 为抛物线C 的切线，所以△=16m 2﹣16=0⇒m=±1． 又因为点P 是第一象限内抛物线C 上一点，所以m=1， 此时点P （1，2）．（2）OP 直线方程为：y=2x ，设圆C 1、C 2的圆心坐标分别为（a 1，b 1），（a 2，b 2），其中b 1＞0，b 2＞0， 则圆C 1、C 2的半径分别为b 1、b 2，因为圆C 1与直线OP 相切于点P ，所以．同理因为圆C2与直线OP相切于点P，所以．即圆C1、C2的半径b1、b2是方程b2﹣5b+5=0的两根，故b1+b2=5．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．21．（12分）（2017•安徽模拟）已知函数．（Ⅰ）当0＜a＜2时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知a=1，函数．若对任意x1∈（0，e]，都存在x2∈（0，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，求实数b的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）当0＜a＜2时，求出函数的导数，当时，当时，分别求解导函数的符号，判断函数的单调性求解单调区间即可．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=1，f（x）在（0，1）内单调递减，（1，2）内单调递增，（2，e）内单调递减，推出x1∈（0，e]，f（x）|min=f（1）=﹣1，∀x1∈（0，e]，∃x2∈[0，2]有f（x1）≥g（x2），转化为：只需g（x）在[0，2]上最小值小于等于﹣1即可．【解答】解：（Ⅰ）当0＜a＜2时，，当时，或0＜x＜2，f（x）在上递增，在（0，2）和上递减；当时，或，f（x）在上递增，在和（2，+∞）上递减；，f（x）在（0，+∞）上递减．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=1，f（x）在（0，1）内单调递减，（1，2）内单调递增，（2，e）内单调递减，又，∴x1∈（0，e]，f（x）|min=f（1）=﹣1故∀x1∈（0，e]，∃x2∈[0，2]有f（x1）≥g（x2），只需g（x）在[0，2]上最小值小于等于﹣1即可．x=2b＜0即b＜0时g（x）最小值，不合题意，舍去；x=2b∈[0，2]，即0≤b≤1时g（x）最小值，；x=2b＞2即b＞1时g（x）最小值，∴b＞1；综上所述：．【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及极值的求法，函数的最值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•安徽模拟）已知P为曲线上的动点，直线C2的参数方程为（t为参数）求点P到直线C2距离的最大值，并求出点P的坐标．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】化简直线的参数方程为普通方程，设椭圆的P的参数，利用点到直线的距离公式，通过三角函数的最值求解即可．【解答】解：由条件：．设点，点P到C2之距离.．此时cosθ=﹣，此时点．【点评】本题考查直线的参数方程椭圆的参数方程的应用，点到直线的距离公式以及三角函数的最值，考查转化思想以及计算能力．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•安徽模拟）已知关于x的方程在x∈[0，3]上有解．（Ⅰ）求正实数a取值所组成的集合A；（Ⅱ）若t2﹣at﹣3≥0对任意a∈A恒成立，求实数t的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数零点的判定定理．【分析】（Ⅰ）求出，然后推出2≤|2a﹣1|≤3求解即可．（Ⅱ）设g（a）=t•a+t2﹣3，利用恒成立列出不等式组，求解即可．【解答】解：（Ⅰ）当x∈[0，3]时，2≤|2a﹣1|≤3且，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，设g（a）=t•a+t2﹣3，则，可得或t≥3．【点评】本题考查函数的零点判定定理的应用，函数恒成立，考查转化思想以及计算能力．。
2020年安徽省黄山市高考(理科)数学二模试卷 (解析版)
2020年高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12个小题）1．已知集合A ＝{x |x 2﹣6x +5≤0}，B ＝{x |y =√x −3}，A ∩B ＝（ ） A ．[1，+∞）B ．[1，3]C ．（3，5]D ．[3，5]2．若复数z 满足（z ﹣1）（i ﹣1）＝i ，则z 对应的点在第（ ）象限． A ．一B ．二C ．三D ．四3．已知log 5a =25，b 15=25，(25)c =5，则（ ）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ．a ＜c ＜b4．已知变量x ，y 满足约束条件{x +y ≥2x −2y +4≥02x −y −4≤0，若x 2+y 2+2x ≥k 恒成立，则实数k 的最大值为（ ） A ．40B ．9C ．8D ．725．已知函数f （x ）的定义域为D ，满足：①对任意x ∈D ，都有f （x ）+f （﹣x ）＝0，②对任意x 1，x 2∈D 且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，则称函数f （x ）为“成功函数“，下列函数是“成功函数”的是（ ） A ．f （x ）＝tan x B ．f （x ）＝x +sin x C ．f(x)=ln 2−x2+xD ．f （x ）＝e ﹣x ﹣e x6．任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘3再加上1，在这样的变换下，我们就得到一个新的自然数．如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，最终我们都会陷在4→2→1这个循环中，这就是世界数学名题“3x +1问题”．如图所示的程序框图的算法思路源于此，执行该程序框图，若N ＝6，则输出的i ＝（ ）A ．6B ．7C ．8D ．97．{a n }为等差数列，若a 2019a 2020＜−1，且它的前n 项和S n 有最小值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝（ ） A ．2019B ．2020C ．4039D ．40408．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲．乙．丙．丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ） A ．甲地：总体均值为3，中位数为4 B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C ．丙地：中位数为2，众数为3 D ．丁地：总体均值为2，总体方差为39．如图，角α的顶点在坐标原点O ，始边在y 轴的非负半轴，终边经过点P （﹣3，﹣4），角β的顶点在原点O ，始边在x 轴的非负半轴，终边OQ 落在第二象限，且tan β＝﹣2，则tan ∠QOP 的值为（ ）A ．﹣2B ．−211C ．−112D ．−1210．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB =√2，BC =CC 1=1，平面α过长方体顶点D ，且平面α∥平面AB 1C ，平面α∩平面ABB 1A 1＝l ，则直线l 与BC 1所成角的余弦值为（ ） A ．√33B ．√32C ．√36D ．√6611．点F 2是双曲线C ：x 29−y 23=1的右焦点，动点A 在双曲线左支上，直线l 1：tx ﹣y +t ﹣2＝0与直线l 2：x +ty +2t ﹣1＝0的交点为B ，则|AB |+|AF 2|的最小值为（ ） A ．8B ．5√3C ．9D ．6√312．设函数f （x ）在定义域（0，+∞）上是单调函数，且∀x ∈（0，+∞），f （f （x ）﹣e x +x ）＝e ．若不等式2f （x ）﹣f ′（x ）﹣3≥ax 对x ∈（0，+∞）恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，e ﹣2]B ．（﹣∞，e ﹣1]C ．（﹣∞，2e ﹣3]D ．（﹣∞，2e ﹣1]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请在答题卷的相应区域答题.） 13．（x +2）9＝a 0+a 1（x +1）+a 2（x +1）2+…+a 9（x +1）9，则a 1+a 2+…+a 9＝ （用数字作答）．14．已知函数f （x ）={x ，x ≤1log 2(x −1)，x ＞1，则函数y ＝f （f （x ））﹣1的所有零点构成的集合为 ．15．在△ABC 中，D 为AB 边的中点，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，E ，F 分别为边BC ，AC 上的动点，且EF ＝1，则DE →⋅DF →最小值为 ．16．已知点A （0，4），抛物线C ：x 2＝2py （0＜p ＜4）的准线为1，点P 在C 上，作PH ⊥l 于H ，且|PH |＝|PA |，∠APH ＝120°，则抛物线方程为 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卷的相应区域答题.）（一）必考题：共60分．17．已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，且bcosC+√3bsinC−a−c=0．（1）求B；（2）若b＝2，且sin A，sin B，sin C成等差数列，求△ABC的面积．18．如图，已知边长为2的菱形ABCD，其中∠BAD＝120°，AE∥CF，CF⊥平面ABCD，AE=√33，CF=√3．（1）求证：平面BDE⊥平面BDF；（2）求二面角D﹣EF﹣B的大小．19．已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为√22，左右焦点分别为F1，F2，且A、B分别是其左右顶点，P是椭圆上任意一点，△PF1F2面积的最大值为4．（1）求椭圆Γ的方程．（2）如图，四边形ABCD为矩形，设M为椭圆Γ上任意一点，直线MC、MD分别交x 轴于E、F，且满足AE2+BF2＝AB2，求证：AB＝2AD．20．在党中央的英明领导下，在全国人民的坚定支持下，中国的抗击“新型冠状肺炎”战役取得了阶段性胜利，现在摆在我们大家面前的是有序且安全的复工复产．某商场为了提振顾客的消费信心，对某中型商品实行分期付款方式销售，根据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期付款的期数ξ的分布列为ξ456P 0.4 a b其中0＜a ＜1，0＜b ＜1．（1）求购买该商品的3位顾客中，恰有1位选择分4期付款的概率；（2）商场销售一件该商品，若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为2000元；若顾客选择分5期付款，则商场获得的利润为2500元；若顾客选择分6期付款，则商场获得的利润为3000元，假设该商场销售两件该商品所获得的利润为X （单位：元）， （i ）设X ＝5500时的概率为m ，求当m 取最大值时，利润X 的分布列和数学期望； （ii ）设某数列{x n }满足x 1＝0.4，x n ＝a ，2x n +1＝b ，若a ＜0.25，求n 的最小值． 21．已知函数f （x ）＝e x ﹣a （x +1）（a ∈R ）． （1）讨论函数f （x ）极值点的个数；（2）当a ＝1时，不等式f （x ）≥kx 1n （x +1）在[0，+∞）上恒成立，求实数k 的取值范围．选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2cosαy =√3sinα（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=√22，且在极坐标下点P (1，π2)．（1）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程； （2）若曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，求1|PA|+1|PB|的值．[选修4--5：不等式选讲]23．已知实数x ，y 满足x +4y ＝2． （1）若|1+y |＜|x |﹣2，求x 的取值范围； （2）若x ＞0，y ＞0，求4x+1y 的最小值．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卷的相应区域答题.）1．已知集合A ＝{x |x 2﹣6x +5≤0}，B ＝{x |y =√x −3}，A ∩B ＝（ ） A ．[1，+∞）B ．[1，3]C ．（3，5]D ．[3，5]【分析】分别求出集合A 、B ，从而求出A ∩B 即可． 解：∵集合A ＝{x |x 2﹣6x +5≤0}＝{x |1≤x ≤5}， B ＝{x |y =√x −3}＝{x |x ≥3}， ∴A ∩B ＝[3，5]， 故选：D ．【点评】本题考查了集合的运算，考查二次函数以及二次根式的性质，是一道基础题． 2．若复数z 满足（z ﹣1）（i ﹣1）＝i ，则z 对应的点在第（ ）象限． A ．一B ．二C ．三D ．四【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z ，进一步求出z 的坐标得答案．解：由（z ﹣1）（i ﹣1）＝i ，得z ﹣1=ii−1=i(−1−i)(−1+i)(−1−i)=12−12i ， ∴z =32−12i ，则z =32+12i ． ∴z 对应的点的坐标为（32，12），在第一象限． 故选：A ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．已知log 5a =25，b 15=25，(25)c =5，则（ ）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ．a ＜c ＜b【分析】化对数式为指数式判断a ＞1，求解b ∈（0，1），化指数式为对数式判断c ＜0，则答案可求．解：由log 5a =25，得a =525＞50＝1，由b 15=25，得b =(25)5∈（0，1），由(25)c =5，得c =log 255＜0， ∴c ＜b ＜a ． 故选：C ．【点评】本题考查对数值的大小比较，考查有理指数幂与对数的运算性质，考查数学转化思想方法，是基础题．4．已知变量x ，y 满足约束条件{x +y ≥2x −2y +4≥02x −y −4≤0，若x 2+y 2+2x ≥k 恒成立，则实数k 的最大值为（ ） A ．40B ．9C ．8D ．72【分析】已知x 、y 满足以下约束条件画出可行域，目标函数z ＝x 2+y 2+2x 是可行域中的点（x ，y ）到原点的距离的平方减1，求出最小值，然后求解z 的最大值． 解：变量x ，y 满足约束条件{x +y ≥2x −2y +4≥02x −y −4≤0的可行域如图，x 2+y 2+2x 是点（x ，y ）到（﹣1，0）的距离的平方减1，故最小值为点P 到（﹣1，0）的距离的平方加1，z ＝x 2+y 2+2x 的最小值为：(2)2−1=72 若x 2+y 2+2x ≥k 恒成立，即72≥k ．k 的最大值为：72．故选：D ．【点评】此题主要考查简单的线性规划问题，是一道中档题，要学会画图．考查转化思想的应用．5．已知函数f （x ）的定义域为D ，满足：①对任意x ∈D ，都有f （x ）+f （﹣x ）＝0，②对任意x 1，x 2∈D 且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，则称函数f （x ）为“成功函数“，下列函数是“成功函数”的是（ ） A ．f （x ）＝tan x B ．f （x ）＝x +sin x C ．f(x)=ln 2−x2+xD ．f （x ）＝e ﹣x ﹣e x【分析】由①对任意x ∈D ，都有f （x ）+f （﹣x ）＝0，得f （﹣x ）＝﹣f （x ）即函数为奇函数；②对任意x 1，x 2∈D 且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，即函数单调递增，然后结合选项进行判断即可．解：由①对任意x ∈D ，都有f （x ）+f （﹣x ）＝0，得f （﹣x ）＝﹣f （x ）即函数为奇函数；②对任意x 1，x 2∈D 且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，即函数单调递增，A ：y ＝tan x 在定义域内不单调，不符合题意；B ：由f （x ）＝x +sin x 可得f （﹣x ）＝﹣x ﹣sin x ＝﹣f （x ）且由于f ′（x ）＝1+cos x ≥0恒成立，即f （x ）在R 上单调递增，符合题意；C ：结合复合函数单调性可知，y ＝ln2−x 2+x在（﹣2，2）内单调递减，不符合题意；D ：y ＝e ﹣x ﹣e x 在定义域R 上单调递减，不符合题意． 故选：B ．【点评】本题主要考查了函数单调性与奇偶性的判断，属于函数性质的综合应用． 6．任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘3再加上1，在这样的变换下，我们就得到一个新的自然数．如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，最终我们都会陷在4→2→1这个循环中，这就是世界数学名题“3x +1问题”．如图所示的程序框图的算法思路源于此，执行该程序框图，若N ＝6，则输出的i ＝（ ）A．6B．7C．8D．9【分析】根据该程序的功能是利用循环结构计算n的值并输出相应的i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：由题意，模拟程序的运行，可得n＝6，i＝1n不是奇数，n＝3，i＝2，不满足条件n＝1；n是奇数，n＝10，i＝3，不满足条件n＝1，执行循环体，n不是奇数，n＝5，i＝4；不满足条件n＝1，执行循环体，n是奇数，n＝16，i＝5；不满足条件n＝1，执行循环体，n不是奇数，n＝8，i＝6；不满足条件n＝1，执行循环体，n不是奇数，n＝4，i＝7；不满足条件n＝1，执行循环体，n不是奇数，n＝2，i＝8；不满足条件n＝1，执行循环体，n不是奇数，n＝1，i＝9；满足条件n＝1，退出循环，输出i的值为9．故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7．{a n }为等差数列，若a 2019a 2020＜−1，且它的前n 项和S n 有最小值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝（ ） A ．2019 B ．2020 C ．4039 D ．4040【分析】若a 2019a 2020＜−1，且它的前n 项和S n 有最小值，可得a 2019＜0，a 2020＞0．a 2019+a 2020＜0．再利用求和公式即可判断出结论． 解：若a 2019a 2020＜−1，且它的前n 项和S n 有最小值，∴a 2019＜0，a 2020＞0． ∴a 2019+a 2020＜0．S 4038＝2019（a 1+a 4038）＝2019（a 2019+a 2020）＜0． S 4039=4039(a 1+a 4039)2=4039a 2020＞0． 那么当S n 取得最小正值时，n ＝4039． 故选：C ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲．乙．丙．丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ） A ．甲地：总体均值为3，中位数为4 B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C ．丙地：中位数为2，众数为3 D ．丁地：总体均值为2，总体方差为3【分析】平均数和中位数不能限制某一天的病例超过7人，当总体方差大于0，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小，中位数和众数也不能确定，当总体平均数是2，若有一个数据超过7，则方差就接近3，符合要求． 解：∵平均数和中位数不能限制某一天的病例超过7人， 故A 不正确，当总体方差大于0，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小， 故B 不正确，中位数和众数也不能确定，故C不正确，当总体平均数是2，若有一个数据超过7，则方差就接近3，∴总体均值为2，总体方差为3时，没有数据超过7．故D正确．故选：D．【点评】本题考查数据的几个特征量，这几个量各自表示数据的一个方面，有时候一个或两个量不能说明这组数据的特点，若要掌握这组数据则要全面掌握．9．如图，角α的顶点在坐标原点O，始边在y轴的非负半轴，终边经过点P（﹣3，﹣4），角β的顶点在原点O，始边在x轴的非负半轴，终边OQ落在第二象限，且tanβ＝﹣2，则tan∠QOP的值为（）A．﹣2B．−211C．−112D．−12【分析】由已知可得：tanα=43．可得tan∠QOP＝tan（α﹣β）=tanα−tanβ1+tanα⋅tanβ，代入即可得出．解：由已知可得：tanα=−4−3=43．∴tan∠QOP＝tan（α﹣β）=tanα−tanβ1+tanα⋅tanβ=43−(−2)1+43×(−2)=−2．故选：A．【点评】本题考查了三角函数的定义、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=√2，BC=CC1=1，平面α过长方体顶点D，且平面α∥平面AB1C，平面α∩平面ABB1A1＝l，则直线l与BC1所成角的余弦值为（）A．√33B．√32C．√36D．√66【分析】由题意画出图形，得到平面α与平面ABB 1A 1的交线l ，找出异面直线所成角，由已知结合余弦定理求解． 解：如图，∵平面α过长方体顶点D ，且平面α∥平面AB 1C ， ∴平面α与平面A 1DC 1 重合，在平面ABB 1A 1中，过A 1作A 1E ∥AB 1，则A 1E ∥DC 1，即A 1E 为平面α与平面ABB 1A 1的交线l ， 连接AD 1，可得AD 1∥BC 1，又l ∥AB 1，则∠D 1AB 1 即为直线l 与BC 1所成角． 连接D 1B 1，由AB =√2，BC =CC 1=1，得AB 1=B 1D 1=√3，AD 1=√2，由余弦定理可得：cos ∠D 1AB 1=(√3)2+(√2)2−(√3)22×√3×√2=√66．即直线l 与BC 1所成角的余弦值为√66． 故选：D ．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题． 11．点F 2是双曲线C ：x 29−y 23=1的右焦点，动点A 在双曲线左支上，直线l 1：tx ﹣y +t ﹣2＝0与直线l 2：x +ty +2t ﹣1＝0的交点为B ，则|AB |+|AF 2|的最小值为（ ） A ．8B ．5√3C ．9D ．6√3【分析】由题意求出直线l 1，l 2的交点B 为圆心在（0，﹣2），半径为1的圆，由双曲线的定义可得|AF 2|＝|AF 1|+2a ，所以|AB |+|AF 2|＝|AB |+|AF 1|+6，当A ，F 1，B 三点共线时，|AB |+|AF 2|最小，过F 1与圆心的直线与圆的交点B 且在F 1和圆心之间时最小．解：由双曲线的方程可得a ＝3，b =√3，焦点F （﹣2√3，0）， 可得|AF 2|＝|AF 1|+2a ＝|AF 1|+6， 所以|AB |+|AF 2|＝|AB |+|AF 1|+6，当A ，F 1，B 三点共线时，|AB |+|AF 2|最小，联立直线l 1，l 2的方程{tx −y +t −2=0x +ty +2t −1=0，可得{x =−t 2−1t 2+1y +2=2tt 2+1，消参数t 可得x 2+（y +2）2＝1，所以可得交点B 的轨迹为圆心在（0，﹣2），半径为1的圆， 所以|AB |+|AF 2|＝|AB |+|AF 1|+6≥|BF 1|﹣1+6=√(−2√3)2+22+5＝9， 当过F 1与圆心的直线与圆的交点B 且在F 1和圆心之间时最小． 所以|AB |+|AF 2|的最小值为9， 故选：C ．【点评】本题考查求轨迹方程及双曲线的性质，三点共线时线段之和最小，属于中档题． 12．设函数f （x ）在定义域（0，+∞）上是单调函数，且∀x ∈（0，+∞），f （f （x ）﹣e x +x ）＝e ．若不等式2f （x ）﹣f ′（x ）﹣3≥ax 对x ∈（0，+∞）恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，e ﹣2]B ．（﹣∞，e ﹣1]C ．（﹣∞，2e ﹣3]D ．（﹣∞，2e ﹣1]【分析】先利用换元法求出f （x ）的解析式，然后再用分离变量法，借助函数的单调性来解决问题．解：设f （x ）﹣e x +x ＝t ，则f （t ）＝e ，∴f （x ）＝e x ﹣x +t ，令x ＝t 得f （t ）＝e t ﹣t +t ＝e ，解得t ＝1， ∴f （x ）＝e x ﹣x +1， f ′（x ）＝e x ﹣1，不等式2f （x ）﹣f ′（x ）﹣3≥ax ，x ∈（0，+∞）．即：a ≤e xx−2．令g （x ）=e xx−2，x ∈（0，+∞）．g ′（x ）=e x (x−1)2，可得x ＝1时，函数g （x ）取得极小值即最小值．∵不等式2f （x ）﹣f ′（x ）﹣3≥ax 对x ∈（0，+∞）恒成立， ∴a ≤e ﹣2．∴a 的取值范围是（﹣∞，e ﹣2]． 故选：A ．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式解法、换元法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请在答题卷的相应区域答题.） 13．（x +2）9＝a 0+a 1（x +1）+a 2（x +1）2+…+a 9（x +1）9，则a 1+a 2+…+a 9＝ 511 （用数字作答）．【分析】在所给的等式中，分别令x ＝﹣1，x ＝0，可得要求式子的值． 解：∵（x +2）9＝a 0+a 1（x +1）+a 2（x +1）2+…+a 9（x +1）9， ∴令x ＝﹣1，可得a 0＝1．再令x ＝0，可得 1+a 1+a 2+…+a 9＝29，∴a 1+a 2+…+a 9＝511， 故答案为：511．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．14．已知函数f （x ）={x ，x ≤1log 2(x −1)，x ＞1，则函数y ＝f （f （x ））﹣1的所有零点构成的集合为 {1，3，9} ．【分析】函数y ＝f [f （x ）]﹣1的零点，即求方程f [f （x ）]﹣1＝0的解，利用换元法进行求解即可．解：由y ＝f （f （x ））﹣1＝0得f （f （x ））＝1， 设t ＝f （x ），则等价为f （t ）＝1， 当x ≤1时，由f （x ）＝x ＝1得x ＝1，当x ＞1时，由f （x ）＝log 2（x ﹣1）＝1得x ＝3， 即t ＝1或t ＝3，当x ≤1时，由f （x ）＝x ＝1，得x ＝1，由f （x ）＝x +1＝3，得x ＝2（舍），故此时x ＝1，当x ＞1时，由f （x ）＝log 2（x ﹣1）＝1得x ＝3，由f （x ）＝log 2（x ﹣1）＝3，得x ＝9， 综上x ＝1，或x ＝3或x ＝9，所以函数y ＝f [f （x ）]﹣1的所有零点所构成的集合为：{1，3，9} 故答案为：{1，3，9}．【点评】本小题主要考查函数的零点、方程的解法等基础知识，利用换元法结合数形结合是解决本题的关键．15．在△ABC 中，D 为AB 边的中点，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，E ，F 分别为边BC ，AC 上的动点，且EF ＝1，则DE →⋅DF →最小值为154．【分析】建立平面直角坐标系，设E （x ，0），求出DE →⋅DF →的坐标，则DE →⋅DF →可表示为x 的函数，利用函数的性质得出最小值．【解答】解以三角形的直角边为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：则A （0，4），B （3，0），C （0，0），D （32，2）．设E （x ，0），则F （0，√1−x 2）.0≤x ≤1．∴DE →=（x −32，﹣2），DF →=（−32，√1−x 2−2）．∴DE →⋅DF →=94−32x +4﹣2√1−x 2=254−32x ﹣2√1−x 2． 令f （x ）=254−32x ﹣2√1−x 2，则f ′（x ）=−322x √1−x ． 令f ′（x ）＝0得x =35．当0≤x ＜35时，f ′（x ）＜0，当35＜x ＜1时，f ′（x ）＞0．∴当x =35时，f （x ）取得最小值f （35）=154． 故答案为：154．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系是解题关键，属于中档题． 16．已知点A （0，4），抛物线C ：x 2＝2py （0＜p ＜4）的准线为1，点P 在C 上，作PH⊥l于H，且|PH|＝|PA|，∠APH＝120°，则抛物线方程为x2=165y．【分析】设抛物线的焦点为F（0，p2），则|AF|＝4−p2，由抛物线的定义可知，|PH|＝|PF|＝|PA|，不妨设点P在第一象限，过点P作PQ⊥y轴于点Q，则Q为AF的中点，结合∠APH＝120°，可以用p表示出点P的坐标，然后将其代入抛物线方程，列出关于p 的方程，解之可得p的值，从而求得抛物线的方程．解：设抛物线的焦点为F（0，p2），|AF|＝4−p2，由抛物线的定义可知，|PH|＝|PF|，∵|PH|＝|PA|，∴|PA|＝|PF|，不妨设点P在第一象限，过点P作PQ⊥y轴于点Q，则Q为AF的中点，|AQ|＝|FQ|=12|AF|=12(4−p2)，∵∠APH＝120°，∴∠APQ＝120°﹣90°＝30°，∴|PQ|=√3|AQ|=√32(4−p2)，|OQ|＝|FQ|+|OF|=12(4−p2)+p2=2+p4，∴点P的坐标为(√32(4−p2)，2+p4)，∵点P在抛物线C上，∴[√32(4−p2)]2=2p×(2+p4)，化简得5p2+112p﹣192＝0，解之得p=85或−24（舍负），∴抛物线方程为x2=165y．故答案为：x2=165y．【点评】本题考查抛物线的定义，求抛物线的标准方程，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卷的相应区域答题.）（一）必考题：共60分．17．已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，且bcosC+√3bsinC−a−c=0．（1）求B；（2）若b＝2，且sin A，sin B，sin C成等差数列，求△ABC的面积．【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合sin C＞0，可得sin(B−π6)=12，又根据范围B−π6∈(−π6，5π6)，可求B的值．（2）由等差数列的性质，正弦定理可得a+c＝2b＝4，又根据余弦定理可求ac的值，进而根据三角形的面积公式即可计算求解．解：（1）由bcosC+√3bsinC−a−c=0，则sinBcosC+√3sinBsinC=sinA+sinC，sinBcosC+√3sinBsinC=sin(B+C)+sinC，√3sinBsinC=sinCcosB+sinC，而sin C＞0，√3sinB−cosB=1，所以2sin(B−π6)=1，可得sin(B−π6)=12，而B∈（0，π），又B−π6∈(−π6，5π6)，所以B−π6=π6，故B=π3．（2）由sin A，sin B，sin C成等差数列，且b＝2，所以2sin B＝sin A+sin C，可得a+c＝2b＝4，又a2+c2﹣2ac cos B＝b2，则(a+c)2−2ac−2accos π3=4，可得：16﹣3ac＝4，所以ac＝4，则S=12acsinB=12×4×√32=√3．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，等差数列的性质，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．18．如图，已知边长为2的菱形ABCD，其中∠BAD＝120°，AE∥CF，CF⊥平面ABCD，AE=√33，CF=√3．（1）求证：平面BDE⊥平面BDF；（2）求二面角D﹣EF﹣B的大小．【分析】（1）证明BD⊥CF，BD⊥AC，推出BD⊥平面ACFE，得到OF⊥BD，推出AE⊥平面ABCD，证明AE⊥AO且FC⊥CO，OF⊥OE，证明OF⊥平面BDE，然后证明平面BDE⊥平面BDF．（2）以OA，OB所在的直线分别为x轴，y轴，过O做垂直于平面ABCD的为z轴建立空间直角坐标系．求出平面DEF的一个法向量，平面BEF的一个法向量，通过空间向量的数量积求解二面角D﹣EF﹣B的大小．【解答】（1）证明：因为AE∥CF，所以A、C、F、E四点共面．又CF⊥平面ABCD，而BD⊂平面ABCD，所以BD⊥CF，由菱形ABCD，所以，BD⊥AC，令BD∩AC＝O，且CF∩AC＝C，所以，BD⊥平面ACFE，而OF⊂平面ACFE，所以，OF⊥BD，因为AE∥CF且CF⊥平面ABCD，所以AE⊥平面ABCD，则AE⊥AO且FC⊥CO AE=√33，CF=√3，由菱形ABCD且∠BAD＝120，所以AO＝OC＝1，故tan∠EOA=√33，tan∠FOC=√3，则∠EOA=π6，∠FOC=π3，所以∠EOF=π2，即OF⊥OE，又OE∩BD＝O，所以OF⊥平面BDE，OF⊂平面BDF，平面BDE⊥平面BDF．（2）由菱形ABCD ，所以BD ⊥AC ，以OA ，OB 所在的直线分别为x 轴，y 轴，过O 作垂直于平面ABCD 的直线为z 轴建立空间直角坐标系． 则∠BAD =2π3，所以A （1，0，0），B(0，√3，0)，D(0，−√3，0)，F(−1，0，√3)，E(1，0，√33)，所以EF →=(−2，0，2√33)，DF →=(−1，√3，√3)，BF →=(−1，−√3，√3)，令平面DEF 的一个法向量为n →=(1，y 1，z 1)，且EF →=(−2，0，2√33)，DF →=(−1，√3，√3)，由n →⋅EF →=0，−2+2√33z 1=0，所以z 1=√3，由n →⋅DF →=0，−1+√3y 1+√3z 1=0，所以y 1=−2√33，即n →=(1，−2√33，√3)，令平面BEF 的一个法向量为：m →=(1，y 2，z 2)，且EF →=(−2，0，2√33)，BF →=(−1，−√3，√3)，由m →⋅EF →=0，−2+2√33z 2=0，所以z 2=√3，由n →⋅BF →=0，−1−√3y 2+√3z 2=0，所以y 2=2√33，即m →=(1，2√33，√3)，所以cosθ=−cos ＜n →，m →＞=−n →⋅m →|n →|⋅|m →|=−1−43+31+43+3=−12，则θ=23π， 即二面角D ﹣EF ﹣B 的大小为23π．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及平面与平面垂直的判定定理得到应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，逻辑推理能力，以及计算能力，是中档题． 19．已知椭圆Γ：x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)的离心率为√22，左右焦点分别为F 1，F 2，且A 、B 分别是其左右顶点，P 是椭圆上任意一点，△PF 1F 2面积的最大值为4． （1）求椭圆Γ的方程．（2）如图，四边形ABCD 为矩形，设M 为椭圆Γ上任意一点，直线MC 、MD 分别交x 轴于E 、F ，且满足AE 2+BF 2＝AB 2，求证：AB ＝2AD ．【分析】（1）由椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，结合a ，b ，c 的关系，解方程可得所求椭圆方程；（2）设C （2√2，﹣t ），D （﹣2√2，﹣t ），t ＞0，可令M （x 0，y 0），运用直线方程和两直线的交点，化简整理，即可得证．解：（1）由题意可得e =c a =√22，又c 2＝a 2﹣b 2，可得b ＝c ，而S ≤12×2c ×b ＝4，所以b ＝c ＝2，解得a 2＝8，b 2＝4， 所以椭圆的方程为x 28+y 24=1；（2）证明：设C （2√2，﹣t ），D （﹣2√2，﹣t ），t ＞0，可令M （x 0，y 0）， 由k MC =0x 0−22，故MC 的方程为y ﹣y 0=0x 0−22（x ﹣x 0）， 直线MC 交x 轴于E ，可令y ＝0，则x =y 0(2√2−x 0)y 0+t +x 0=2√2y 0+tx 0y 0+t ，即E （2√2y 0+tx 0y 0+t，0）， 由k MD =0x 0+2√2，故MD 的方程为y ﹣y 0=0x 0+2√2（x ﹣x 0），直线MD 交x 轴于F ，可令y ＝0，则x =−y 0(2√2+x 0)y 0+t +x 0=−2√2y 0+tx 0y 0+t，即F （−2√2y 0+tx 0y 0+t，0），因为AE 2+BF 2＝AB 2，所以（2√2y 0+tx 0y 0+t +2√2）2+（−2√2y 0+tx 0y 0+t−2√2）2＝（4√2）2，可得16y 02+2t 2x 02(y 0+t)+32y 0y 0+t=16，即8y 02+t 2x 02+16y 02+16y 0t ＝8（y 0+t ）2， 即t2x 02+16y 02＝8t 2，而x28+y 024=1，所以x 02＝8﹣2y 02，可得t 2（8﹣2y 02）+16y 02＝8t 2，可得（16﹣2t 2）y 02＝0，而M 为椭圆上一点，所以16﹣2t2＝0，解得t＝2√2，所以ABAD=2，即AB＝2AD．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程的求法和应用，以及两点的距离公式，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．20．在党中央的英明领导下，在全国人民的坚定支持下，中国的抗击“新型冠状肺炎”战役取得了阶段性胜利，现在摆在我们大家面前的是有序且安全的复工复产．某商场为了提振顾客的消费信心，对某中型商品实行分期付款方式销售，根据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期付款的期数ξ的分布列为ξ456P0.4a b其中0＜a＜1，0＜b＜1．（1）求购买该商品的3位顾客中，恰有1位选择分4期付款的概率；（2）商场销售一件该商品，若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为2000元；若顾客选择分5期付款，则商场获得的利润为2500元；若顾客选择分6期付款，则商场获得的利润为3000元，假设该商场销售两件该商品所获得的利润为X（单位：元），（i）设X＝5500时的概率为m，求当m取最大值时，利润X的分布列和数学期望；（ii）设某数列{x n}满足x1＝0.4，x n＝a，2x n+1＝b，若a＜0.25，求n的最小值．【分析】（1）方法1：设恰有一位顾客选择分4期付款的概率的概率为P．由题可知：a+b＝0.6，然后求解即可．方法2：由于3位顾客中恰有1位选择“分4期付款”，则另外两位均不选“分4期付款”，利用相互独立事件乘法乘积求解概率即可．（2）（ⅰ）由题可得X的值分别为4000，4500，5000，5500，6000．求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．（ⅱ）由题可得x n+2x n+1＝a+b＝0.6，得到x n+1=−12x n+0.3，判断数列{x n﹣0.2}是等比数列，然后分类求解n的最小值．解：（1）方法1：设恰有一位顾客选择分4期付款的概率的概率为P．由题可知：a+b＝0.6，则P＝3×0.4×（a2+2ab+b2）＝0.4×（a+b）2＝0.4×0.62＝0.432．方法2：由于3位顾客中恰有1位选择“分4期付款”，则另外两位均不选“分4期付款”，所以P＝3×0.4×（1﹣0.4）×（1﹣0.4）＝0.432．（2）（ⅰ）由题可得X的值分别为4000，4500，5000，5500，6000．P（X＝4000）＝0.4×0.4＝0.16，P（X＝4500）＝2×0.4×a＝0.8a，P（X＝5000）＝a2+2×0.4×b＝a2+0.8b，P（X＝5500）＝2ab，P（X＝6000）＝b2，所以P(X=5500)=2ab≤2×(a+b2)2=0.362=0.18，取最大值的条件为a＝b＝0.3所以分布列为：X40004500500055006000P0.160.240.330.180.09∴E（X）＝4000×0.16+4500×0.24+5000×0.33+5500×0.18+6000×0.09＝4900．（ⅱ）解：由题可得x n+2x n+1＝a+b＝0.6，所以x n+1=−12x n+0.3，化简得x n+1−0.2=−12(x n−0.2)，即{x n﹣0.2}是等比数列，首项为x1﹣0.2＝0.2，公比为−1 2，所以x n−0.2=(0.4−0.2)×(−12)n−1，化简得x n=0.2[1+(−12)n−1]由题可知：（1）由题可知：a=x n=0.2[1+(−12)n−1]＜0.6⇒(−12)n−1＜2，显然对所有n∈一、选择题*都成立；（2）b=2x n+1=0.4[1+(−12)n]＜0.6⇒(−12)n＜12，也是对所有n∈N*都成立；（3）a=x n=0.2[1+(−12)n−1]＜0.25⇒(−12)n−1＜14当n为偶数时，上述不等式恒成立；当n为奇数时，(12)n−1＜14，解得n＞5即n≥5综上所述，n的最小值为5．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，数列与函数的应用，考查转化思想以及计算能力，题目比较新颖，是难题．21．已知函数f（x）＝e x﹣a（x+1）（a∈R）．（1）讨论函数f（x）极值点的个数；（2）当a＝1时，不等式f（x）≥kx1n（x+1）在[0，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）求出导函数f'（x）＝e x﹣a，通过①当a≤0时，②当a＞0时，判断导函数的符号，判断函数的单调性，求解函数的极值即可．（2）当a＝1时，由题即e x﹣x﹣1≥kxln（x+1）在[0，+∞）上恒成立，令h（x）＝e x ﹣x﹣1﹣kxln（x+1）且h（0）＝0，通过函数的导数，结合（ⅰ）当1﹣2k≥0时，（ⅱ）当1﹣2k＜0时，判断函数的单调性求解函数的最值，推出结果．求解k的取值范围．解：（1）f'（x）＝e x﹣a，①当a≤0时，f'（x）＝e x﹣a＞0，所以f（x）在R上单调递增，无极值．②当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝lna，当x∈（﹣∞，lna）时，f'（x）＜0；当x∈（lna，+∞）时，f'（x）＞0即函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，此时只有一个极值点．综上所述，当a≤0时，f（x）在R上无极值点；当a＞0时，函数f（x）在R上只有一个极值点．（2）当a＝1时，由题即e x﹣x﹣1≥kxln（x+1）在[0，+∞）上恒成立令h（x）＝e x﹣x﹣1﹣kxln（x+1）且h（0）＝0，则h′(x)=e x−1−k[ln(x+1)+xx+1](x≥0)，令g(x)=h′(x)=e x−1−k[ln(x+1)+x x+1](x≥0)，则g，(x)=e x−k[1x+1+1(x+1)2](x≥0)且g'（0）＝1﹣2k，（ⅰ）当1﹣2k≥0时，即k≤12时，由于x≥0，e x≥1，而k[1x+1+1(x+1)2]≤12[1x+1+1(x+1)2]≤1，所以g'（x）≥0，故g（x）在[0，+∞）上单调递增，所以g（x）≥g（0）＝0，即h'（x）≥0，故h（x）在[0，+∞）上单调递增，所以h（x）≥h（0）＝0，即e x﹣x﹣1≥kxln（x+1）在[0，+∞）上恒成立，故k≤12符合题意．（ⅱ）当1﹣2k＜0时，即k＞12时g'（0）＜0，由于g′(x)=e x−k[1x+1+1(x+1)2]在[0，+∞）上单调递增，令x ＝ln （2k ）＞0因为g′(ln2k)=eln2k−k[1ln2k+1+1(ln2k+1)2]＞2k −2k=0，故在（0，ln 2k ）上存在唯一的零点x 0，使g '（x 0）＝0，因此，当x ∈（0，x 0）时，g '（x ）＜0，g （x ）单调递减，所以g （x ）＜g （0）＝0， 即h '（x ）＜0，h （x ）在（0，x 0）上单调递减，故h （x ）＜h （0）＝0，与题不符． 综上所述，k 的取值范围是(−∞，12]．【点评】本题考查函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力，分类讨论思想的应用，是难题．选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2cosαy =√3sinα（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=√22，且在极坐标下点P (1，π2)．（1）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程； （2）若曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，求1|PA|+1|PB|的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用直线和曲线的位置关系式的应用和一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（1）C 1的参数方程：{x =2cosαy =√3sinα（α为参数）得(x2)2+(3)2=1，曲线C 1的直角坐标方程：x 24+y 23=1．由ρsin(θ+π4)=√22，得√22ρsinθ+√22ρcosθ=√22， 所以曲线C 2的直角坐标方程为x +y ﹣1＝0．（2）点P的极坐标为(1，π2)，故其直角坐标为（0，1），由C2：x+y﹣1＝0，则其参数方程为{x=−√22ty=1+√22t，将C2的参数方程代入曲线C1的方程x24+y23=1，得7t2+8√2t−16=0①由于△＞0恒成立，不妨令方程①有两个不等实根t1、t2，由于t1t2=−167＜0，所以t1、t2异号，且|PA|⋅|PB|=16 7，则|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1−t2|=√(t1+t2)2−4t1t2=(−827)2+647=247，1 |PA|+1|PB|=|PA|+|PB||PA|⋅|PB|=247167=32．【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程的根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4--5：不等式选讲]23．已知实数x，y满足x+4y＝2．（1）若|1+y|＜|x|﹣2，求x的取值范围；（2）若x＞0，y＞0，求4x+1y的最小值．【分析】（1）由x+4y＝2，得y=12−x4，代入|1+y|＜|x|﹣2，可得|32−x4|＜|x|−2，即|6﹣x|＜4|x|﹣8，然后对x分类求解，取并集得答案；（2）由x＞0，y＞0，且x+4y＝2，得4x +1y=12(4x+1y)(x+4y)，展开后利用基本不等式求最值．解：（1）由x+4y＝2，得y=12−x4由|1+y|＜|x|﹣2⇒|32−x4|＜|x|−2，即|6﹣x|＜4|x|﹣8，当x＜0，则6﹣x＜﹣4x﹣8⇒x＜−143，∴x＜−143；当0≤x ≤6时，则6﹣x ＜4x ﹣8⇒x ＞145，∴145＜x ≤6； 当x ＞6时，则x ﹣6＜4x ﹣8⇒x ＞23，∴x ＞6． 故x 的取值范围为{x |x ＜−143或x ＞145}； （2）∵x ＞0，y ＞0，且x +4y ＝2 ∴4x +1y=12(4x+1y )(x +4y)=12(4+4+16y x +x y)≥12(4+4+2√16)=8．当且仅当16y x=xy，即x ＝1，y =14时，4x+1y的最小值为8．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．。
2020届安徽省黄山市普通高中高三毕业班下学期第二次质量检测(二模)数学(文)试题及答案
.……………………………7分
因为 ,, 单调递增；
又当 时, ………………………………………………9分
所以,要使函数 在 有两个零点,当且仅当：
………………………………10分
解得 ；
综上所述,实数 的取值范围是 ………………………………12分
要证 只需证
当直线 的斜率存在时,设
则 所以 ①……………………………………7分
由 得
当
=
=
由①得 所以 ……………………………………………10分
当直线BC的斜率不存在时,B,C两点的坐标为
则 ,所以 …………………………………………………11分
又 ,由直角三角形的射影定理可得 ……………12分
21.【解析】(1)依题意, , .
20.【解析】、解：（1）因为短轴的一个端点到右焦点的距离为2,所以 ,……2分
又离心率为 ,所以 ,所以 ,…………………………………………3分
所以椭圆 的方程为 ．………………………………………………4分
（2）由对称性知,椭圆 长轴和短轴四个端点连接而成的四边形为菱形
……………………………………………………5分
由 成等比数列可得
所以 解得 或 …………………………3分
由递增的等差数列 知 ,所以 ………………………………4分
所以 ……………………………………………………6分
（2）因为 …………8分
所以
=
= ………………………………………………………12分
19.【解析】：(1)因为AD＝CD＝1,∠ADC＝120°
安徽省黄山市普通高中2020届高三毕业班下学期第二次质量检测(二模)
安徽省黄山市2020届高中毕业班第二次质量检测数学(理)试题与答案
x
y0
(2 y0
2 t
x0
)
x0
2
2 y0 tx0 y0 t
因为 AE 2 BF 2 AB 2
…………………………………………9 分
2 所以 (
2 y0 tx0 2
2)2
(
2
2 y0 tx0 2
2)2 (4
2)2
y0 t
y0 t
16
y
2 0
2t 2 x02
(y0 t)2
32 y0 y0 t
黄山市 2020 届高中毕业班第二次质量检测
高三数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)
1.D
2.A
3.C
4.C
7.C
8.D
9.A
10.D
5.B 11.C
6.D 12.A
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13.511
AE 3 ， CF 3 ，由菱形 ABCD 且 BAD 120 所以 AO OC 1 3
故 tan EOA 3 ， tan FOC 3 ，则 EOA ， FOC
3
6
3
所以 EOF ，即 OF OE 2
又 OE BD O ，所以 OF 平面 BDE ， OF 平面 BDF
由菱形 ABCD ，所以 BD AC ，令 BD AC O
且 CF AC C ,所以 BD 平面 ACFE
而 OF 平面 ACFE ，所以 OF BD
…………………………3 分
因为 AE // CF 且 CF 平面 ABCD ，所以 AE 平面 ABCD
则 AE AO 且 FC CO
2020-2021学年安徽省高考数学二模试卷(文科)及答案解析
安徽省高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M={x||x﹣1|＜2，x∈R}，N={﹣1，0，1，2，3}，则M∩N=（）A．{0，1，2} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，2，3} D．{0，1，2，3}2．已知sin（π﹣α）=﹣2sin（+α），则tanα的值为（）A．B．2 C．﹣D．﹣23．“m=﹣1”是“直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+2=0垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知数列{a n}满足：a n+1+2a n=0，且a2=2，则{a n}前10项和等于（）A．B．﹣C．210﹣1 D．1﹣2105．以双曲线﹣y2=1的左右焦点为焦点，离心率为的椭圆的标准方程为（）A．+=1 B．+=1C．+=1 D．+=16．函数y=xsinx+cosx的图象大致为（）A．B．C．D．7．欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm的圆，中间有边长为1cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），则油滴正好落入孔中的概率是（）A．B．C．D．8．若执行如图所示的程序框图，输入x1=1，x2=2，x3=3，=2，则输出的数S等于（）A．B．1 C．D．9．若变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值是（）A．3 B．1 C．﹣3 D．不存在10．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且，点O在线段CD上（与点C、D不重合），若的取值范围是（）A．B．C．D．11．一个三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的体积为（）A．1000πB．125πC．D．12．已知y=f（x）为定义在R上的单调递增函数，y=f′（x）是其导函数，若对任意x∈R的总有＜x，则下列大小关系一定正确的是（）A．＞B．＜C．＞D．＜二、填空题（每题5分，满分20分）13．已知复数z=，则|z|= ．14．求函数f（x）=的单调减区间．15．过点（2，0）引直线l与圆x2+y2=2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB面积取最大值时，直线l的斜率为．16．设数列{a n}的前项和为S n，若为常数，则称数列{a n}为“精致数列”．已知等差数列{b n}的首项为1，公差不为0，若数列{b n}为“精致数列”，则数列{b n}的通项公式为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，边a、b、c分别是内角A、B、C所对的边，且满足2sinB=sinA+sinC，设B的最大值为B0．（1）求B0的值；（2）当B=B0，a=3，b=6时，又=，求CD的长．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D、E分别为A1B1、AA1的中点，点F在棱AB 上，且．（Ⅰ）求证：EF∥平面BDC1；（Ⅱ）在棱AC上是否存在一个点G，使得平面EFG将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15，若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由．19．为了传承经典，促进课外阅读，某市从高中年级和初中年级各随机抽取40名同学进行有关对“四大名著”常识了解的竞赛．如图1和图2分别是高中和初中年级参加竞赛的学生成绩按[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分组，得到频率分布直方图．（1）若初中年级成绩在[70，80）之间的学生中恰有4名女同学，现从成绩在该组的初中年级的学生任选2名同学，求其中至少有1名男同学的概率；（2）完成下列2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为“两个学段的学生对‘四大名著’的了解有差异”？成绩小于60分人数成绩不小于60分人数合计高一年级高二年级合计附：K2=临界值表：P（K2≥k0）0.10 0.05 0.010 k0 2.706 3.841 6.63520．已知椭圆C：=1，（a＞b＞0）的两个焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0）．其短轴长是2，原点O到过点A（a，0）和B（0，﹣b）两点的直线的距离为．（I）求椭圆C的方程；（II）若点PQ是定直线x=4上的两个动点，且•=0，证明以PQ为直径的圆过定点，并求定点的坐标．21．已知函数g（x）=（2﹣a）lnx，h（x）=lnx+ax2（a∈R），令f（x）=g（x）+h′（x）（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当﹣3＜a＜﹣2时，若对任意λ1，λ2∈[1，3]，使得|f（λ1）﹣f（λ2）|＜（m+ln3）a﹣2ln3恒成立，求m的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．选做题：平面几何已知在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，过D点作⊙O的切线交AC于E．求证：（1）DE⊥AC；（2）BD2=CE•CA．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|．（I）当a=1时，求不等式f（x）≥的解集；（Ⅱ）若对任意a∈[0，1]，不等式f（x）≥b的解集为空集，求实数b的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
2020年安徽省黄山市高考数学二模试卷(理科)(含答案解析)
2020年安徽省黄山市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，A. B. C. D.2.若复数z满足，则对应的点在第象限．A. 一B. 二C. 三D. 四3.已知，则A. B. C. D.4.已知变量x，y满足约束条件，若恒成立，则实数k的最大值为A. 40B. 9C. 8D.5.已知函数的定义域为D，满足：对任意，都有，对任意，且，都有，则称函数为“成功函数“，下列函数是“成功函数”的是A. B.C. D.6.任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘3再加上1，在这样的变换下，我们就得到一个新的自然数．如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，最终我们都会陷在这个循环中，这就是世界数学名题“问题”如图所示的程序框图的算法思路源于此，执行该程序框图，若，则输出的A. 6B. 7C. 8D. 97.为等差数列，若，且它的前n项和有最小值，那么当取得最小正值时，A. 2019B. 2020C. 4039D. 40408.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是A. 甲地：总体均值为3，中位数为4B. 乙地：总体均值为1，总体方差大于0C. 丙地：中位数为2，众数为3D. 丁地：总体均值为2，总体方差为39.如图，角的顶点在坐标原点O，始边在y轴的非负半轴，终边经过点，角的顶点在原点O，始边在x轴的非负半轴，终边OQ落在第二象限，且，则的值为A.B.C.D.10.在长方体中，，平面过长方体顶点D，且平面平面，平面平面，则直线l与所成角的余弦值为A. B. C. D.11.点是双曲线的右焦点，动点A在双曲线左支上，直线：与直线：的交点为B，则的最小值为A. 8B.C. 9D.12.设函数在定义域上是单调函数，且，若不等式对恒成立，则a的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.，则______用数字作答．14.已知函数，则函数的所有零点构成的集合为______．15.在中，D为AB边的中点，，，，E，F分别为边BC，AC上的动点，且，则最小值为______．16.已知点，抛物线C：的准线为1，点P在C上，作于H，且，，则抛物线方程为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知a，b，c分别是三个内角A，B，C所对的边，且．求B；若，且sin A，sin B，sin C成等差数列，求的面积．18.如图，已知边长为2的菱形ABCD，其中，，平面ABCD，，．求证：平面平面BDF；求二面角的大小．19.已知椭圆：的离心率为，左右焦点分别为，，且A、B分别是其左右顶点，P是椭圆上任意一点，面积的最大值为4．求椭圆的方程．如图，四边形ABCD为矩形，设M为椭圆上任意一点，直线MC、MD分别交x轴于E、F，且满足，求证：．20.在党中央的英明领导下，在全国人民的坚定支持下，中国的抗击“新型冠状肺炎”战役取得了阶段性胜利，现在摆在我们大家面前的是有序且安全的复工复产．某商场为了提振顾客的消费信心，对某中型商品实行分期付款方式销售，根据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期付款的期数的分布列为456P a b其中，．求购买该商品的3位顾客中，恰有1位选择分4期付款的概率；商场销售一件该商品，若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为2000元；若顾客选择分5期付款，则商场获得的利润为2500元；若顾客选择分6期付款，则商场获得的利润为3000元，假设该商场销售两件该商品所获得的利润为单位：元，设时的概率为m，求当m取最大值时，利润X的分布列和数学期望；设某数列满足，，，若，求n的最小值．21.已知函数．讨论函数极值点的个数；当时，不等式在上恒成立，求实数k的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且在极坐标下点．求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；若曲线与曲线交于A，B两点，求的值．23.已知实数x，y满足．若，求x的取值范围；若，，求的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：集合，，，故选：D．分别求出集合A、B，从而求出即可．本题考查了集合的运算，考查二次函数以及二次根式的性质，是一道基础题．2.答案：A解析：解：由，得，，则．对应的点的坐标为，在第一象限．故选：A．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，进一步求出的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：C解析：解：由，得，由，得，由，得，．故选：C．化对数式为指数式判断，求解，化指数式为对数式判断，则答案可求．本题考查对数值的大小比较，考查有理指数幂与对数的运算性质，考查数学转化思想方法，是基础题．4.答案：D解析：解：变量x，y满足约束条件的可行域如图，是点到的距离的平方减1，故最小值为点P到的距离的平方加1，的最小值为：若恒成立，即的最大值为：．故选：D．已知x、y满足以下约束条件画出可行域，目标函数是可行域中的点到原点的距离的平方减1，求出最小值，然后求解z的最大值．此题主要考查简单的线性规划问题，是一道中档题，要学会画图．考查转化思想的应用．5.答案：B解析：解：由对任意，都有，得即函数为奇函数；对任意，且，都有，即函数单调递增，A ：在定义域内不单调，不符合题意；B：由可得且由于恒成立，即在R上单调递增，符合题意；C：结合复合函数单调性可知，在内单调递减，不符合题意；D：在定义域R上单调递减，不符合题意．故选：B．由对任意，都有，得即函数为奇函数；对任意，且，都有，即函数单调递增，然后结合选项进行判断即可．本题主要考查了函数单调性与奇偶性的判断，属于函数性质的综合应用．6.答案：D解析：解：由题意，模拟程序的运行，可得，n不是奇数，，，不满足条件；n是奇数，，，不满足条件，执行循环体，n不是奇数，，；不满足条件，执行循环体，n是奇数，，；不满足条件，执行循环体，n不是奇数，，；不满足条件，执行循环体，n不是奇数，，；不满足条件，执行循环体，n不是奇数，，；不满足条件，执行循环体，n不是奇数，，；满足条件，退出循环，输出i的值为9．故选：D．根据该程序的功能是利用循环结构计算n的值并输出相应的i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．解析：解：若，且它的前n项和有最小值，，．．．．那么当取得最小正值时，．故选：C．若，且它的前n项和有最小值，可得，再利用求和公式即可判断出结论．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.答案：D解析：【分析】本题考查数据分析，中位数，众数，方差等概念，属于基础题．逐一分析即可求得答案．【解答】解：由于甲地总体均值为3，中位数为4，即中间两个数第5、6天新增人数的平均数为4，因此之后的几天中感染人数可能大于7，故甲地不符合；乙地总体均值为1，因此这10天感染的人数总和为10，故这10天中可以有一天感染人数大于7，故乙地不符合；丙地中位数为2，众数为3，可以有一天感染人数为8，故丙地不符合；丁地由于总体均值为2，方差为3，故若有一天超过7，比如8，则故丁地符合，故选D．9.答案：A解析：解：由已知可得：．．故选：A．由已知可得：可得，代入即可得出．本题考查了三角函数的定义、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．解析：解：如图，平面过长方体顶点D，且平面平面，平面与平面重合，在平面中，过作，则，即为平面与平面的交线l，连接，可得，又，则即为直线l与所成角．连接，由，得，，由余弦定理可得：．即直线l与所成角的余弦值为．故选：D．由题意画出图形，得到平面与平面的交线l，找出异面直线所成角，由已知结合余弦定理求解．本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．11.答案：C解析：解：由双曲线的方程可得，，焦点，可得，所以，当A，，B三点共线时，最小，联立直线，的方程，可得，消参数t可得，所以可得交点B的轨迹为圆心在，半径为1的圆，所以，当过与圆心的直线与圆的交点B且在和圆心之间时最小．所以的最小值为9，故选：C．由题意求出直线，的交点B为圆心在，半径为1的圆，由双曲线的定义可得，所以，当A，，B三点共线时，最小，过与圆心的直线与圆的交点B且在和圆心之间时最小．本题考查求轨迹方程及双曲线的性质，三点共线时线段之和最小，属于中档题．12.答案：A解析：解：设，则，，令得，解得，，，不等式，即：．令，．，可得时，函数取得极小值即最小值．不等式对恒成立，．的取值范围是．故选：A．先利用换元法求出的解析式，然后再用分离变量法，借助函数的单调性来解决问题．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式解法、换元法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.答案：511解析：解：，令，可得．再令，可得，，故答案为：511．在所给的等式中，分别令，，可得要求式子的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．14.答案：3，解析：解：由得，设，则等价为，当时，由得，当时，由得，即或，当时，由，得，由，得舍，故此时，当时，由得，由，得，综上，或或，所以函数的所有零点所构成的集合为：3，故答案为：3，．函数的零点，即求方程的解，利用换元法进行求解即可．本小题主要考查函数的零点、方程的解法等基础知识，利用换元法结合数形结合是解决本题的关键．15.答案：解析：解以三角形的直角边为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：则，，，设，则．，．．令，则．令得．当时，，当时，．当时，取得最小值．故答案为：．建立平面直角坐标系，设，求出的坐标，则可表示为x的函数，利用函数的性质得出最小值．本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系是解题关键，属于中档题．16.答案：解析：解：设抛物线的焦点为，，由抛物线的定义可知，，，，不妨设点P在第一象限，过点P作轴于点Q，则Q为AF的中点，，，，，，点P的坐标为，点P在抛物线C上，，化简得，解之得舍负，抛物线方程为．故答案为：．设抛物线的焦点为，则，由抛物线的定义可知，，不妨设点P在第一象限，过点P作轴于点Q，则Q为AF的中点，结合，可以用p表示出点P的坐标，然后将其代入抛物线方程，列出关于p的方程，解之可得p的值，从而求得抛物线的方程．本题考查抛物线的定义，求抛物线的标准方程，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题．17.答案：解：由，则，，，而，，所以，可得，而，又，所以，故．由sin A，sin B，sin C成等差数列，且，所以，可得，又，则，可得：，所以，则．解析：由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合，可得，又根据范围，可求B的值．由等差数列的性质，正弦定理可得，又根据余弦定理可求ac的值，进而根据三角形的面积公式即可计算求解．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，等差数列的性质，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．18.答案：证明：因为，所以A、C、F、E四点共面．又平面ABCD，而平面ABCD，所以，由菱形ABCD，所以，，令，且，所以，平面ACFE，而平面ACFE，所以，，因为且平面ABCD，所以平面ABCD，则且，，由菱形ABCD且，所以，故，，则，，所以，即，又，所以平面BDE，平面BDF，平面平面BDF．由菱形ABCD，所以，以OA，OB所在的直线分别为x轴，y轴，过O作垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系．则，所以0，，，，，，所以，，，令平面DEF的一个法向量为，且，，由，，所以，由，，所以，即，令平面BEF的一个法向量为：，且，，由，，所以，由，，所以，即，所以，则，即二面角的大小为．解析：证明，，推出平面ACFE，得到，推出平面ABCD，证明且，，证明平面BDE，然后证明平面平面BDF．以OA，OB所在的直线分别为x轴，y轴，过O做垂直于平面ABCD的为z轴建立空间直角坐标系．求出平面DEF的一个法向量，平面BEF的一个法向量，通过空间向量的数量积求解二面角的大小．本题考查直线与平面垂直的判定定理以及平面与平面垂直的判定定理得到应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，逻辑推理能力，以及计算能力，是中档题．19.答案：解：由题意可得，又，可得，而，所以，解得，，所以椭圆的方程为；证明：设，，，可令，由，故MC的方程为，直线MC交x轴于E，可令，则，即，由，故MD的方程为，直线MD交x轴于F，可令，则，即，因为，所以，可得，即，即，而，所以，可得，可得，而M为椭圆上一点，所以，解得，所以，即．解析：由椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，结合a，b，c的关系，解方程可得所求椭圆方程；设，，，可令，运用直线方程和两直线的交点，化简整理，即可得证．本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程的求法和应用，以及两点的距离公式，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．20.答案：解：方法1：设恰有一位顾客选择分4期付款的概率的概率为P．由题可知：，则．方法2：由于3位顾客中恰有1位选择“分4期付款”，则另外两位均不选“分4期付款”，所以．由题可得X的值分别为4000，4500，5000，5500，6000．，，，，，所以，取最大值的条件为所以分布列为：X40004500500055006000P．解：由题可得，所以，化简得，即是等比数列，首项为，公比为，所以，化简得由题可知：由题可知：，显然对所有都成立；，也是对所有都成立；当n为偶数时，上述不等式恒成立；当n为奇数时，，解得即综上所述，n的最小值为5．解析：方法1：设恰有一位顾客选择分4期付款的概率的概率为由题可知：，然后求解即可．方法2：由于3位顾客中恰有1位选择“分4期付款”，则另外两位均不选“分4期付款”，利用相互独立事件乘法乘积求解概率即可．由题可得X的值分别为4000，4500，5000，5500，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．由题可得，得到，判断数列是等比数列，然后分类求解n的最小值．本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，数列与函数的应用，考查转化思想以及计算能力，题目比较新颖，是难题．21.答案：解：，当时，，所以在R上单调递增，无极值．当时，令，得，当时，；当时，即函数在上单调递减，在上单调递增，此时只有一个极值点．综上所述，当时，在R上无极值点；当时，函数在R上只有一个极值点．当时，由题即在上恒成立令且，则，，则且，当时，即时，由于，，而，所以，故在上单调递增，所以，即，故在上单调递增，所以，即在上恒成立，故符合题意．当时，即时，由于在上单调递增，令因为，故在上存在唯一的零点，使，因此，当时，，单调递减，所以，即，在上单调递减，故，与题不符．综上所述，k的取值范围是．解析：求出导函数，通过当时，当时，判断导函数的符号，判断函数的单调性，求解函数的极值即可．当时，由题即在上恒成立，令且，通过函数的导数，结合当时，当时，判断函数的单调性求解函数的最值，推出结果．求解k的取值范围．本题考查函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力，分类讨论思想的应用，是难题．22.答案：解：的参数方程：为参数得，曲线的直角坐标方程：．由，得，所以曲线的直角坐标方程为．点P的极坐标为，故其直角坐标为，由：，则其参数方程为，将的参数方程代入曲线的方程，得由于恒成立，不妨令方程有两个不等实根、，由于，所以、异号，且，则，．解析：直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用直线和曲线的位置关系式的应用和一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程的根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：由，得由，即，当，则，；当时，则，；当时，则，．故x的取值范围为或；，，且．当且仅当，即，时，的最小值为8．解析：由，得，代入，可得，即，然后对x分类求解，取并集得答案；由，，且，得，展开后利用基本不等式求最值．本题考查绝对值不等式的解法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．。