运筹学通论I
运筹学-第15章--对策论
1 8 5 8 5 5*
2 2 3 2 1 1
3 4
9 0
5 2
6 3
5 5*
3
0
max 9 5* 8 5*
可知 ai* j* =5，i*=1,3，j*=2,4．故（α1，β2）（α1，β4）（α2，
β2）（α2，β4）为对策的纳管 什理均运衡，筹 V学G=5．
15
• 最优纯策略求解步骤：
• 1、行中取小，小中取大得最大化最小收益 值；
• 2、列中取大，大中取小得最小化最大支付 值；
• 3、比较两值是否相等。若相等便存在最优 纯策略。若不等，则不存在最优纯策略。
管理运筹学
16
§3 矩阵对策的混合策略
设矩阵对策 G = { S1, S2, A }。当
max
i
min
j
aij
min
j
max
i
aij
时，不存在最优纯策略。
例：设一个赢得矩阵如下:
一个局势，一个局势决定了各局中人的对策结果（量化） 称为该局势对策的益损值。
管理运筹学
3
§1 对策论的基本概念
出赛的次序是一个策略 “齐王赛马”齐王在各局势中的益损值表（单位：千金）
管理运筹学
4
§1 对策论的基本概念
其中：齐王的策略集: S1={ 1, 2, 3, 4, 5, 6 }， 田忌的策略集：S2={ 1, 2, 3, 4, 5, 6 }。
A=[aij]m×n i 行代表甲方策略 i=1, 2, …, m；j 列代表乙方策略 j=1, 2, …, n；aij 代表甲方取策略 i，乙方取策略 j，这一局势下甲方的 益损值。此时乙方的益损值为 -aij（零和性质）。
__运筹学概述
第一讲 运筹学概述一、运筹学是什么？----------------------晕愁学其实，这绝对一种误解，事实上运筹学方法及应用早在中小学就比较系统地学过，并且在我们每时每刻的生活过程中都在利用。
北师大版小学语文第六册教材中就有一篇课文《田忌赛马》，在座的各位应该都不陌生。
这是战国时期运筹学思想成功应用的典型实例。
孙膑同志合理地利用当时的现有资源、条件和比赛规则，只建议田忌调换了赛马的出场顺序，就使得原来屡战屡败的战局得到了彻底的扭转，以获胜而告终。
形成了本文主题中“初战失败”、“孙膑献计”、“再赛获胜”的三部分内容。
运筹学思想体现的是，将现有资源的作用得到充分发挥，以获得最优的结果。
运筹让生活得更有条理的艺术。
谈起运筹学，是否会想到很通俗的例子——沏茶水。
沏茶，看起来是一件日常生活中再小不过的事情，却包含着运筹学的道理。
让我们来看一看，沏茶的过程可以分为烧开水、洗茶壶、放茶叶多道“工序”。
其中，烧开水所需的时间最长，洗茶壶、放茶叶的时间则较短。
善于运筹的人，应该是先将水烧上，在烧水的过程中，从从容容地把茶壶洗净，把茶叶放好。
而不善运筹的人，可能会先把茶壶洗净，把茶叶放好，才想起来水还没有烧；或者先把水烧开了，才急急忙忙去洗茶壶、放茶叶，搞得手忙脚乱。
另外还有一个例子我们外地生到上海的路线选择，虽然条条大路都能通到上海，但我们都有一个明确的目标，有些人的目标是准备用最短的时间到达，有些人的目标是用最少费用到达，这样基于不同的目标，就会选择不同的最佳路线。
这两个生活中的运筹学实例说明了运筹学应用的思想并不神秘，而现实的生活中，从沏茶、选择路线这样一件小事，到规模宏大的建设项目，都能运用运筹学的原理。
在人生大事的安排上，也同样需要下功夫好好运筹一番。
从技术是，也就是运筹学解决决策问题的工具方面，在初中的数学教材中有一个重要的内容是《线性规划》，其中比较详细地讲述了线性规划的数学表述形式和求解方法。
上海海事大学运筹学通论试卷--2013A
2
3
000
由于检验数σ1、σ2 大于零，P1、P2 有正分量，进入下一步. 计算得 max{σ1, σ2}= max{2, 3}=3，故选取 x2 为入基变量. 又， θ= min{bi/ai2 | ai2 >0}= min{4, 3}=3. 故选取 x5 为出基变量。进行基变换，得到新单纯形表如下：
1. 使用图解法求解下述线性规划问题，得其最优解是（ x1=2, x2=6 ）。
max z = 2x1 + 5x2
装 订
⎧x1 ≤ 4
s.t.
⎪⎪⎨⎪32xx12
≤ 12 + 2x2
≤ 18
min w = 4y1 +12 y2 +18y3
⎪⎩x1, x2 ≥ 0
线
s.t. ⎧⎪⎨2y1y2++32y3y3≥≥25
故选取 x3 为出基变量. 进行基变换，得到新单纯表如下：
cj→
CB
XB
b
2
x1
2
0
x4
8
3
x2
3
cj−zj
23 0 0
0
θi
x1 x2 x3 x4
x5
1 0 1 0 −1/2
0 0 −4 1
[2]
4
0 1 0 0 1/4 12
0 0 −2 0 1/4
第 3 页 共 10 页
由于检验数σ5 大于零，进入下一步. 选取 x5 为入基变量. 又，θ= min{bi/ai5 | ai5 >0}= min{4, 12}=4. 故选取 x4 为出基变量. 进行基变换，得到新单纯表如下：
D. 若对偶问题无可行解，则其原问题有无界解。
运筹学ppt课件
– 无界解。即可行域的范围延伸到无穷远，目标 函数值可以无穷大或无穷小。一般来说，这说 明模型有错，忽略了一些必要的约束条件；
– 无可行解。若在例1的数学模型中再增加一个约 束条件4x1+3x2≥1200，则可行域为空域，不存在 满足约束条件的解，当然也就不存在最优解了。
• 交叉学科 --涉及经济、管理、数学、工程和系统等 多学科
• 开放性 --不断产生新的问题和学科分支
• 多分支 --问题的复杂和多样性
2
运筹学的主要内容
线性规划
数 非线性规划
学
整数规划
规
动态规划
划
多目标规划
学
双层规划
最优计数问题
科
组 合
网络优化
内
优 排序问题 化 统筹图
容
对策论
随 排队论
机 优 化
13
组织 宝洁公司 法国国家铁路
应用
Interface 每年节支 期刊号 （美元）
重新设计北美生产和分销系统以 1-2/1997 2亿 降低成本并加快了市场进入速 度
制定最优铁路时刻表并调整铁路 1-2/1998 1500万更多
日运营量
年收入
Delta航空公司 IBM
进行上千个国内航线的飞机优化 配置来最大化利润
负。当某一个右端项系数为负时，如 bi<0，则把该 等式约束两端同时乘以-1，得到：-ai1 x1-ai2 x2… -ain xn = -bi。
30
例：将以下线性规划问题转化为标准形式
则该极小化问题与下面的极大化问题有相同的最优解，
运筹学讲义
第一章绪论一运筹学的发展历史1学科起源：二战期间英美等国军事部门集中多学科人员，研究提高武器系统效能，如反空袭雷达控制系统，使雷达和高炮相配合。
诺将物理学家布莱克特（Blackett）领导研究小组“Operational Research”，多学科构成（布莱克特马戏团）。
战争结束后专家转移到企业和院校——学科形成。
2我国古代的运筹思想：齐王赛马——齐王“上中下”，田忌“下上中”丁渭修皇宫——北宋真宗宰相丁渭（澶chan州之盟的主和派），主持皇宫失火后的修复。
宫前大街取土、引汴河运料、完工后回填废土。
3我国近代以来：50年代开始钱学森、许志国等引进运筹学理论，华罗庚教授回国后从事优选法和统筹法研究推广（烧茶壶的故事）4翻译：来自汉高祖“夫运筹帷幄之中,决胜千里之外,吾不如子房;填国家,抚百姓,给饷馈,不绝粮道,吾不如萧何;连百万之众,战必胜,攻必取,吾不如韩信。
”台湾地区直译为“运作研究”。
二运筹学的特点运筹学存在多种定义，如“依照给定目标和条件，从众多方案中选择最优方案的最优化技术”，学科特点：最优化、定量化1 多种专家的协作2 科学的方法：从实际情况出发，通过假设的模型打到一个符合实际的结论3 目的在于解决实际问题。
4 需要系统的信息资料5 需要建立模型——运筹学的核心问题就是通过合适的模型分析系统的未来情况6 对于复杂问题，需要计算机三运筹学的模型运筹学的主要特点是通过模型来描述和分析所认定范围内的系统状态。
分析过程包括：1 系统分析和问题描述。
认定问题的实质——社会经济问题复杂性、不可重复性，不同于具有可控性的物理模型（提高企业效益：开发市场？增加设备？加强研发？）。
明确系统的主要目标（利润最大化、市场占有率最大化、销售收入最大化？GDP增长、可持续协调增长？）、找出系统主要变量和参数、变化范围、相互关系及其对目标的影响。
分析问题的可行性：技术可行性—有无现成的运筹学方法？经济可行性—研究的成本和预期的效果，考虑运筹决策的时间和代价，要对研究问题的深度和广度作出一定限制操作可行性—研究人员的配备2 建立数学模型——要尽可能简单；要能完整的描述所研究的系统。
第四章_最优化理论运输问题
m
n
（4.2）
m n
如果 ai b j ，就称此运输 i 1 j 1 问题为非平衡运输问题，包含 产大于销和销大于产两种情况， 这我们将在第3节介绍。
m
n
Min Z cij X ij
i 1 j 1
s.t 下面我们只考虑产销平衡 问题，产销平衡运输问题的一 般模型为：
B3 3 2 10
B4 10 8 5
产量 7
A2
A3 销量 3
4
9
6
5
6
21
（3）继续按照上述步骤进行，可知A2向B2运送2个单位物资， 此时B2的物资已经满足，划去B2列.
12
4.1.2 运输问题数学模型的特点
对于产销平衡运输问题（4.3），将其约束条件加以整理， 可知其系数矩阵具有下述形式：
x11 x12 x1n x 21 x 22 x 2 n x m1 x m 2 x mn 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 m行 n行
6
,b1中较大数方向移动一格（或向右，或向下），这 里是向右移动一格，移动到(A1,B2)位置. B2需要6个单位物资， 而A1只剩有4个单位，故在(A1,B2)处填4，A1的物资已经全部 发完，划去A1行，如下表4-11所示.
销地
产地
A1 3
B1 3 1 7 4
B2 11 9 4
（4.4）
由此可知，产销平衡运输问题数学模型有下述特点：
13
（1）约束条件中决策变量的系数等于0或1. （2）所有约束条件都是等式. （3）约束条件的系数矩阵中每一列有两个非零元素，对应于 变量Xij的系数列向量Pij，其分量除第i个和第m+j个等于1以外， 其余的均为零，即Pij=ei+em+j. 这对应于每一个变量在前m个约 束方程中出现一次，在后n个约束方程中也出现一次. （4）由于（4.2）成立，因而约束条件中m个约束方程并不是 独立的，实际上只有个m+n-1方程是独立的，因而约束方程系 数矩阵的秩为m+n-1. （5）运输问题（4.3）总存在基可行解，下节我们将给出找基 可行解的方法. （6）运输问题存在有限最优解 这是由于对运输问题（4.3），若令其变量
运筹学通论
运筹学通论
等）
运筹学，即英文Optimization Theory，即优化理论，是指研究问题的基本模型、关系的最优求解的研究，运筹学关注的是怎样以最有效的方式满足特定的目标。
它兼具数学、计算机算法、和决策论等多种学科的元素，是计算机科学的主要分支之一，它主要用于求解各种复杂科学、技术和经济问题。
运筹学通论是运筹学的基础课，它具有广泛的应用范围，如操作研究、管理学、气象学、量子力学等。
运筹学通论从历史上讲，是运筹学的基础学科，包括传统的运筹学数学模型的求解的方法。
运筹学通论强调建立符合实际环境的有效数学模型、求解这些模型的方法以及得出可行解的评价方法。
它涉及多学科之间的交叉，如数学分析、模糊数学、模式识别、诊断论等等，广泛地应用在建筑、交通、制造业、农业、电气、计算机系统等各行各业，深受各方关注。
运筹学以其全面性来支持多种决策。
它把飞行计划制定、路线网络优化、系统控制设计等多种解决方案都整合到一起，利用数学方法对问题的层次结构及其相关的决策进行模拟和预测，可以有效解决各类复杂的问题，为社会的应用和管理提供有效的支持。
例如在运输、工厂调度等行业中，可以有效地管理仓储资源，进行合理的目标分配，提高运输效率，实现最大程度的节约。
总之，运筹学通论具有重要意义，它是计算机科学、管理学、决策论等诸多学科交叉、深入研究的重要学科，因而有越来越多的人将其作为上本、研究的重要基础。
运筹学习题集（第二章）
运筹学习题集（第二章）判断题判断正误，如果错误请更正第二章线形规划的对偶理论1.原问题第i个约束是<=约束,则对偶变量yi>=0.2.互为对偶问题,或则同时都有最优解,或则同时都无最优解.3.原问题有多重解,对偶问题也有多重解.4.对偶问题有可行解,原问题无可行解,则对偶问题具有无界解.5.原问题无最优解,则对偶问题无可行解.6.设X,Y分别为｛minZ=CX｜AX>=b,X>=0｝和｛maxw=Yb｜YA<=C,Y>=0｝的可行解,则有(1)CX<=Yb;(2)CX是w的上界;(3)当X,Y为最优解,CX=Yb;(4)当CX=Yb 时,有YXs+YsX=0;(5)X为最优解且B是最优基时,则Y=C B B-1是最优解;(6)松弛变量Ys的检验数是λs,则X=-λs是基本解,若Ys是最优解, 则X=-λs是最优解.7.原问题与对偶问题都可行,则都有最优解.8.原问题具有无界解,则对偶问题可行.9.若X,Y是原问题与对偶问题的最优解.则X=Y.10.若某种资源影子价格为0,则该资源一定有剩余.11影子价格就是资源的价格.12.原问题可行对偶问题不可行,可用对偶单纯形法计算.13.对偶单纯形法比值失效说明原问题具有无界解.14.对偶单纯形法是直接解对偶问题的一种解法.15.减少一个约束,目标值不会比原来变差.16.增加一个约束,目标值不会比原来变好.17增加一个变量, 目标值不会比原来变差.18.减少一个非基变量, 目标值不变.19.当Cj(j=1,2,3,……，n)在允许的最大范围内同时变化时，最优解不变。
选择题在下列各题中，从4个备选答案中选出一个或从5个备选答案中选出2~5个正确答案。
第二章线性规划的对偶理论1.如果决策变量数列相等的两个线规划的最优解相同，则两个线性规划A约束条件相同B目标函数相同C最优目标函数值相同D以上结论都不对2.对偶单纯形法的最小比值规则是为了保证A使原问题保持可行B 使对偶问题保持可行C逐步消除原问题不可行性D逐步消除对偶问题不可行性3.互为对偶的两个线性规划问题的解存在关系A若最优解存在，则最优解相同B原问题无可行解，则对偶问题也无可行解C对偶问题无可行解，原问题可能无可行解D一个问题无界，则另一个问题无可行解E一个问题无可行解，则另一个问题具有无界解4.已知规范形式原问题（max）的最优表中的检验数为（λ1，λ2，……λn），松弛变量的检验数为（λn+1,λn+2,……λn+m）,则对偶问题的最优解为A—（λ1，λ2，……λn）B （λ1，λ2，……λn）C —（λn+1,λn+2,……λn+m）D （λn+1,λn+2,……λn+m）5.原问题与对偶问题都有可行解，则A原问题有最优解，对偶问题可能没有最优解B原问题与对偶问题可能都没有最优解C可能一个问题有最优解，另一个问题具有无界解D原问题与对偶问题都有最优解计算题线性规划问题和对偶问题2.1 对于如下的线性规划问题min z = 3x1 + 2x2 +x3s.t. x1 + x2+ x3 ≤ 15 (1)2x1 - x2+ x3≥ 9 (2)-x1 + 2x2+2x3≤ 8 (3)x1 x2x3 ≥ 01、写出题目中线性规划问题的对偶问题；2、分别求出原始问题和对偶问题的最优解（求解的次序和方法不限）；解答：1、写出题目中线性规划问题的对偶问题；解：max w = 15y1 + 9y2 + 8y3s.t. y1 + 2y- y3 ≤ 3 (1)y1 - y2+ 2y3≤ 2 (2)y1 + y2+ 2y3≤ 1 (3)y1≤0、y2 ≥0、y3 ≤02、分别求出原始问题和对偶问题的最优解（求解的次序和方法不限）；解：先将原问题化成以下形式，则有mi n z = 3x1 + 2x2 + x3s.t. x1 + x2+ x3+ x4= 15 (1)-2x1 + x23+ x5= -9 (2)-x1 + 2x2+2x3+x6= 8 (3)原始问题的最优解为（X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6）=（2，0，5，8，0，0），minz=11 对偶问题的最优解为（y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6）=（0，7/5，-1/5，0，19/5，0），maxw=112.2 对于以下线性规划问题max z = -x 1 - 2x 2s.t. -2x 1 + 3x 2 ≤ 12 (1) -3x 1 + x 2 ≤ 6 (2) x 1 + 3x 2 ≥ 3 (3) x 1 ≤ 0，x 2 ≥ 01、写出标准化的线性规划问题；2、用单纯形表求出这个线性规划问题的最优解和最优的目标函数值；3、写出这个（极大化）线性规划问题的对偶问题；4、求出对偶问题的最优解和最优解的目标函数值；5、第（2）个约束右端常数b 2=6在什么范围内变化，最优解保持不变。
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引言－续一
在算筹计数法中，以纵横两种排列方式来表示单位数目的， 其中1-5均分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，6-9则 以上面的算筹再加下面相应的算续二
表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式， 千位用横式，以此类推，遇零则置空。这种计数法遵循十进位 制。 4 2 8 5 3 2 5 91 6 0 8 3 7 9 2 4
运筹学通论I
胡晓东
应用数学研究所 中国科学院数学与系统科学研究院 北京2734信箱，北京100190 /member/huxiaodong/
Institute of Applied Mathematics
xdhu 1
引言
《史记－高祖本纪》中有一段话 ：“夫运筹策帷帐之中， 决胜于千里之外，吾不如子房（张良）。镇国家，抚百姓， 给粮饷，不绝粮道。吾不如萧何。连百万之军，战必胜，攻 必取，吾不如韩信。此三者，皆人杰也，吾能用之，此吾所 以取天下也。项羽有一范增而不能用，此其所以为我擒也。” 筹策又叫算筹，它是中国古代普遍采用的一种计算工具。 算筹不仅可以替代手指来帮助计数，而且能做加减乘除等数 学运算。中国古代数学家正是以“算筹计算机”为工具，运筹 帷幄，殚精竭虑，写下了数学史上光辉的一页。 中国在古代曾经有过一种小圆棍作为计算数字的重要工 具，材料一般用竹子制成，也有用木头或其他材料制作的， 2 直径1公分，长约6寸（合现在的13.8厘米）。
严 复在 翻 译 苏 格 兰 经 济 学 家 哲 学 家 严 复（1854-1921）
7
·
课程思路
20世纪数学的五大指导理论 Five Golden Rules 叶其孝、刘宝光 Great Theories of 20th Century Math 上海教育出版社，2000 -and Why They Matter 1. 线性规划 (8学时) 对偶定理 2. 对策论 (6学时) 极大极小定理 3. 非线性规划 (10学时) K-K-T 定理 4. 计算复杂性理论 (6学时) 停机定理,库克定理 拓扑学 不动点定理 奇点理论 莫尔斯定理 5. 组合最优化 (10学时) 算法设计技巧 xdhu
运筹学主线
建立实际问题的数学模型 分析求解该数学问题的难易程度 设计求解该数学问题的算法 对算法进行性能分析 对算法进行编程和实现 对数值结果进行分析 给出原始实际问题的解决方案
运筹学：模型、理论、算法
xdhu 5
运筹学主线－续一
欺 世 误 人 之 术 也 之 真 理 为 基 础 者 学 也 用
试
学 与 术
梁启超（1873-1929）
6
运筹学主线－续二
学 主 知 既 术 主 行 求 可 成 之 功 例 对 学 与 术
xdhu
术 者 据 自 知 之 理 立 必 然 之 理 之 然 考 者
学 学 与 术 异
盖 关 系 也 写 道
的 The Wealth of Nations) 时
亚 当 斯 密所 著 的 原 富
8
参考书目
运筹学导论(初级篇第8版) 作者：(美)塔哈 译者:薛毅、刘德刚、朱建明、侯思祥 审校:韩继业 出版：人民邮电出版社, 2008年 说明：运筹学方面的经典著作之一，为全球众多高校采用。
xdhu
9
参考书目－续一
Linear and Nonlinear Programming (2nd Edition) D. G. Luenberger, Addison-Wesley Publishing Com., 1984. Linear Programming and Network Flows M. S. Bazaraa, J. J. Jarvis, John Wiley & Sons, Inc., 1977. 组合最优化算法和复杂性 蔡茂诚、刘振宏 清华大学出版社，1988 Combinatorial Optimization Algorithms and Complexity Printice-Hall Inc.,1982
11
计算复杂性导论 堵丁柱、葛可一、王洁 高教出版社，2002 近似算法的设计与分析 堵丁柱、葛可一、胡晓东 xdhu 高教出版社，2011
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相关课程
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算筹可以进行加减乘除的计算，也可做乘方、开方等复杂运 算。范例 1 3 7 ＋ 5 4 2 8 ＝5 5 6 5
算筹的出现年代已经不可考，但据史料推测，算筹最晚 出现在春秋晚期战国初年（公元前722年～公元前221年），一 直到算盘发明推广之前都是中国最重要的计算工具。祖冲之就 是用算筹计算圆周率的。 xdhu 4
xdhu
术 而 不 以 科 学 上 于 术 者 用 应 以 足 不 而
学 者 如 辅 车 相 依 西 不 可 离 无 益 之
二 此 言 之
由 取 其 发 明 之 学 真 者 理 术 而 之 致 体 诸 用 术 者 者 也 学 之
而 发 明 其 真 理 者 也 也 术 也 者 察 事 物 观 者 学 则 要 概 其 语